专题04 圆中的重要模型之阿基米德折弦（定理）模型、婆罗摩笈多（定理）模型（几何模型讲义）数学苏科版九年级上册

专题04 圆中的重要模型之阿基米德折弦（定理）模型、婆罗摩笈多（定理）模型 圆在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就圆形中的重要模型（阿基米德折弦（定理）模型、婆罗摩笈多（布拉美古塔）（定理）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 5 模型运用 6 模型1.阿基米德折弦模型 6 模型2.圆中的“婆罗摩笈多”模型 11 15 折断的琴弦：“折弦”之名源于其几何形态—从圆周一点 B 引出的两条弦 AB 与 BC 宛如一根被折弯的琴弦。阿基米德通过观察此类折线结构，揭示了隐藏的等量关系，后人便以“折弦定理”命名此模型‌。 数学家的浪漫：据传阿基米德曾用诗歌形式记录该定理（如“折弦端点连中点，垂线落处定等分”），将抽象几何化为韵律，体现了古希腊学者对数学与艺术融合的追求‌尽管原始诗作已佚，这一传说仍被数学史研究者津津乐道。 婆罗摩笈多（布拉美古塔）（定理）模型以‌7世纪印度数学家婆罗摩笈多‌（Brahmagupta）命名，他是首个系统研究圆内接四边形性质的学者。其著作《婆罗摩历算书》首次记载了该定理，比欧洲同类研究早近千年，彰显了古印度数学的卓越成就。有趣的是，西方文献常称其为“布拉美古塔定理”，实为同一人名的音译差异。‌ （2025·湖南长沙·一模）【问题呈现】阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点M是的中点，则从M向所作垂线的垂足D是折弦的中点，即．下面是运用“截长法”证明的部分证明过程． 证明：如图2，在上截取，连接、、和，∵M是的中点，，又，，， 又，，，即 (1)【理解运用】如图1，、是的两条弦，，点M是的中点，于点D，求的长；(2)【变式探究】如图3，若点M是中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断、、之间存在怎样的数量关系？并加以证明． (3)【实践应用】根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下面问题：如图4，是的直径，点A是圆上一定点，点D是圆上一动点，且满足，若，的半径为10，求长． （2024·山西太原·三模）请阅读下面的材料，并解答问题． 婆罗摩笈多（Brahmagupta）约公元598年生，约660年卒，在数学、天文学方面有所成就，他编著了《婆罗摩修正体系》《肯达克迪迦》，婆罗摩笈多的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位，其中有著名的婆罗摩笈多定理．婆罗摩笈多定理：圆的内接四边形的对角线与垂直相交于M，过点M的直线与边分别相交于点F、E．则有下两个结论： 如果，那么；如果，那么． 数学课上，赵老师带领大家对该定理的第一条进行了探究． 证明：，，即，，， 在中，，…… 请解答以下问题：(1)请完成所给材料的证明过程；(2)请证明结论（2）；(3)应用：如图圆O中，半径为4，A，B，C，D为圆上的点，，连接交于点F，过点F作于E，延长交于G，则的长度为______． 1）阿基米德折弦（定理）模型 条件：如图1所示，AB和BC是⊙O的两条弦(即ABC是圆的一条折弦)，BC>AB，M是 的中点，则从M向BC所作垂线之垂足D是折弦ABC的中点，结论：CD=AB+BD。 图1 图2 图3 图4 证明：法1（垂线法）：如图2，过点M作射线AB，垂足为点H，连接，AC； ∵M是的中点，∴．∵，，∴． 又∵，∴，∴，．∵，， ∴．∴．∴． 法2（截长法）：如图3，在CD上截取DG=BD，连接BM，MC，MA，AC； ∵BD=DG，MD⊥BG，∴MB=MG，∠MBG=∠MGB，∵M是的中点，∴∠MAC=∠MCA，∴MA=MC， ∵∠CMG＋∠MCG=∠MGB=∠MBG=∠MAC=∠MCA=∠ACB＋∠MCG，∴∠CMG=∠ACB=∠AMB， ∵MB=MG，MA=MC，∠BMA=∠GMC，∴△MBA≌△MGC（SAS），∴BA=GC，CD=AB+BD． 法3（补短法）：如图4，如图，延长DB至F，使BF=BA；连接MA、MB、MC、MF、AC， ∵M是的中点， ∴MA=MC，∠MAC=∠MCA， ∵∠MBA=180°-∠MCA，∠MBF=180°-∠CBC=180°-∠MAC=180°-∠MCA，， ∴∠MBA=∠MBF， 在△MBF和△MBA中，， ∴△MBF≌△MBA（SAS）， ∴MF=MA=MC， 又∵MD⊥BC，∴FD=CD， ∴DC=BF+BD=BA+BD； 2）婆罗摩笈多定理（古拉美古塔定理）模型 条件：如图，四边形ABCD内接于，对角线，垂足为点M，直线，垂足为点E，并且交直线AD于点F．结论：． 证明：∵，，∴， ∴，， ∴，∵，∴． 又∵，∴，∴． 在Rt△ADM中，∠ADM＝90°，∴∠DMF＝90°﹣∠AMF，∠ADM＝90°﹣∠CAD， 又∠AMF＝∠CAD，∴∠DMF＝∠ADM，∴FM＝FD，∴AF＝FD 2）婆罗摩笈多定理（古拉美古塔定理）的逆定理 条件：如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD，垂足为M，F为AD上一点，直线FM交BC于点E，FA=FD．结论：FE⊥BC． 证明：∵AF=FD，AC⊥BD，∴∠AMD=90°，∴AF=MF=FD，∴∠FMD=∠ADM， ∵∠DAM+∠ADM=90°，∴∠FMD+∠DAM=90°， ∵∠FMD=∠BME，∠DAM=∠DBC，∴∠DBC+∠BME=90°，∴∠MEB=90°，∴FE⊥BC． 模型1.阿基米德折弦模型 例1（2025·江西赣州·二模）阿基米德不仅是物理学家，还是伟大的数学家，阿基米德折弦定理就是圆中关于弦的一个定理，其条件大致如下：如图，，为的两条弦，点是的中点，过点作于点，根据以上条件，下列说法错误的是（    ） A． B．连接、，则 C． D．作射线交于点，则平分 例2（24-25九年级上·安徽阜阳·期中）阅读理解：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点是的中点，则从点向所作垂线的垂足是折弦的中点，即．下面是运用“截长法”证明的部分证明过程． 证明：如图1，在上截取，连接，，，． 是的中点，． 任务：(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；(2)如图2，已知等腰三角形内接于，，，点为上一点，，于点，求的周长． 例3（24-25·山东日照·九年级校考期中）【问题呈现】阿基米德折弦定理： 如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，点M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝DB+BA．下面是运用“截长法”证明CD＝DB+BA的部分证明过程． 证明：如图2，在CD上截取CG＝AB，连接MA、MB、MC和MG． ∵M是的中点，∴MA＝MC① 又∵∠A＝∠C②∴△MAB≌△MCG③∴MB＝MG 又∵MD⊥BC∴BD＝DG∴AB+BD＝CG+DG即CD＝DB+BA 根据证明过程，分别写出下列步骤的理由：①　 　，②　 　，③　 　； 【理解运用】如图1，AB、BC是⊙O的两条弦，AB＝4，BC＝6，点M是的中点，MD⊥BC于点D，则BD＝　 　； 【变式探究】如图3，若点M是的中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断CD、DB、BA之间存在怎样的数量关系？并加以证明． 【实践应用】根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下列问题：如图4，BC是⊙O的直径，点A圆上一定点，点D圆上一动点，且满足∠DAC＝45°，若AB＝6，⊙O的半径为5，求AD长． 例4（2024·河南商丘校考一模）阅读下面材料，完成相应的任务： 阿基米德是有史以来最伟大的数学家之一、《阿基米德全集》收集了已发现的阿基米德著作，它对于了解古希腊数学，研究古希腊数学思想以及整个科技史都是十分宝贵的．其中论述了阿基米德折弦定理：从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，称之为该圆的一条折弦．一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点． 如图1，AB和BC是的两条弦（即ABC是圆的一条折弦），．M是弧的中点，则从M向所作垂线之垂足D是折弦的中点，即． 小明认为可以利用“截长法”，如图2：在线段上从C点截取一段线段，连接． 小丽认为可以利用“垂线法”，如图3：过点M作于点H，连接 任务：(1)请你从小明和小丽的方法中任选一种证明思路，继续书写出证明过程， (2)就图3证明：． 模型2.圆中的“婆罗摩笈多”模型 例1（24-25九年级上·山西长治·期末）阅读与思考 阅读下列材料，完成相应的任务． 婆罗摩笈多（Brahmagupta）是古印度著名的数学家、天文学家，他在三角形、四边形、零和负数的算数运算法则、二次方程等方面均有建树，特别在研究一阶和二阶不定方程方面作出了巨大贡献，他曾提出了“婆罗摩笈多定理”，该定理也称为“布拉美古塔定理”，该定理的内容及部分证明过程如下． 婆罗摩笈多定理：如图，已知四边形内接于，对角线，，相交于点M，如果直线，垂足为E，并且交边于点F，那么． 证明：，，．． 又_______，，．… 任务：(1)材料中横线部分缺少的条件为_______________．(2)补全后面的证明过程． 例2（2025·山西·校考模拟预测）阅读以下材料，并按要求完成相应任务： 婆罗摩笈多（Brahmagupta）是古代印度著名数学家、天文学家，他在三角形、四边形、零和负数的算术运算规则、二次方程等方面均有建树．他曾经提出了“婆罗摩笈多定理”，该定理也称为“古拉美古塔定理”，该定理的内容及部分证明过程如下： 古拉美古塔定理：如图1，四边形内接于，对角线，垂足为点，直线，垂足为点，并且交直线于点，则． 证明：∵，，∴ ∴，．∴． ∵，∴．（依据） 又∵，∴．∴．…… 任务：（1）上述证明过程中的依据是______；（2）将上述证明过程补充完整； （3）古拉美古塔定理的逆命题：如图，四边形内接于，对角线，垂足为点，直线交于点，交于点．若，则．请证明该命题． 例3（24-25九年级下·江苏泰州·阶段练习）阅读材料并完成相应任务： 婆罗摩笈多是一位印度数学家与天文学家，他的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位．其中就包括他提出的婆罗摩笈多定理（也称布拉美古塔定理）． 婆罗摩笈多定理：若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边． 下面对该定理进行证明． 已知：如图（1），四边形内接于，对角线于点P，于点M，延长交于点N．求证：． 证明：∵，，∴，∴．…… 任务：(1)请完成该证明的剩余部分；(2)请利用婆罗摩笈多定理完成如下问题：如图（2），已知中，分别交于点D，E，连接交于点P．过点P作，分别交于点M，N．若，求的长． 1.（24-25·广东九年级期中）如图，AB和BC是的两条弦（即ABC是圆的一条折弦），，M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，若，，则CD的长为（    ）． A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江温州·期中）婆罗摩芨多是公元7世纪古印度伟大的数学家，他研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把这类四边形称为“婆氏四边形”．如图，在中，四边形是“婆氏四边形”，对角线相交于点E，过点E作于点H，延长交于点F，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·湖南株洲·二模）阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，是弧的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即．请应用阿基米德折弦定理解决问题：如图2，已知等边内接于，，为上一点，，于点，则的周长是 ．    4．（24-25九年级下·江西南昌·期末）婆罗摩笈多是公元7世纪的古印度伟大数学家，曾研究对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把这类四边形称为“婆罗摩笈多四边形”．如图，四边形是的内接四边形，且是“婆罗摩笈多四边形”、若，则的半径为 ．    5.（2024·广东·校考一模）定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC组成圆的折弦，AB＞BC，M是弧ABC的中点，MF⊥AB于F，则AF＝FB+BC． 如图2，△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝8，BC＝6，D是AB上一点，BD＝1，作DE⊥AB交△ABC的外接圆于E，连接EA，则∠EAC＝ °． 6．（2025·广西贵港·一模）在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理．如图，已知劣弧，是弦上一点． (1)根据提示完成尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）； ①作线段的垂直平分线，分别交劣弧于点，交于点； ②以点为圆心，长为半径作弧，交劣弧于点（，两点不重合），连接； (2)请连接，，，，引理的结论为：．请你证明此结论． 7．（2025·广东清远·一模）请阅读材料，并完成下列问题． 阿基米德折弦定理 阿基米德，伟大的数学家之一，其与牛顿、高斯并成为三大数学王子．在《阿基米德全集》中记载了阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦，其中是的中点，过点向作交于点，则就是折弦的中点，即． (1)下面是用“截长法”证明的部分过程． 证明：如图2，在上截取，连接． 是的中点，．．．．． 请根据上面的证明思路，写出证明的剩余部分． (2)在图1中，若，求的半径． 8．（24-25九年级上·浙江丽水·期中）如图中所示，AB和BC组成圆的折弦，AB＞BC，D是的中点，DE⊥AB，垂足为E．连结AD，AC，BD．（1）写出所有与∠DBA相等的角（不添加任何线段）__________． （2）判断AE，BE，BC之间的数量关系并证明．（3）如图，已知AD＝7，BD＝3，求AB·BC的值． 9．（2024·贵州·校考一模）（1）问题发现：学完垂径定理后，小红对弧的中点与弦的关系再次做了研究，如图甲，中，点C是劣弧AB的中点，D点在BC弧之间，过点C作，垂足为点E，小红在电脑上用几何画板的度量功能度量了线段ED、DB、AE的长度如下表所示，小红发现了一个数量关系，这个关系是______（用ED、DB、AE的式子表示） ED DB AE 1.37 2.23 3.60 1.51 2.07 3.58 1.63 1.93 3.56 1.91 1.60 3.51 （2）探索结论：怎么完成（1）中关系的证明呢？小红根据学习经验想到了“截长补短”中的“截长”思想，如图乙，在线段AE上截取点F，使得，连接CF、CD．小红试图构造关于AF、DB所在的三角形，通过全等完成证明，请接着小红的想法完成证明．（3）结论应用：如图丙，等边三角形ABC内接于，点D在上，连接BD、CD，过点C作，垂足为点E，若，，求的半径． 10.（24-25九年级上·江苏盐城·期中）【了解概念】我们知道，折线段是由两条不在同一直线上且有公共端点的线段组成的图形．如图1，线段、组成折线段．若点在折线段上，，则称点是折线段的中点． (1)如图2，的半径为2，是的切线，为切点，点是折线段的中点．若，则　　； (2)【定理证明】阿基米德折弦定理：如图3，和是的两条弦（即折线段是圆的一条折弦），，点是的中点，从向作垂线，垂足为，求证：是折弦的中点； 【变式探究】(3)如图4，若点是的中点，【定理证明】中的其他条件不变，则、、之间存在怎样的数量关系？请直接写出结论． 【灵活应用】(4)如图5，是的直径，点为上一定点，点为上一动点，且满足，若，，则　　． 11．（24-25九年级上·江苏南京·期中）问题提出 如图1，AB、AC是⊙O的两条弦，AC＞AB，M是的中点，MD⊥AC，垂足为D，求证：CD＝BA+AD． 小敏在解答此题时，利用了“补短法”进行证明，她的方法如下： 如图2，延长CA至E，使AE＝AB，连接MA、MB、MC、ME、BC． ∵M是的中点∴∴∠MCB＝∠MAC（请你在下面的空白处完成小敏的证明过程．） 推广运用：如图3，等边△ABC内接于⊙O，AB＝1，D是上一点，∠ABD＝45°，AE⊥BD，垂足为E，则△BDC的周长是 　 　． 拓展研究:如图4，若将“问题提出”中“M是的中点”改成“M是的中点”，其余条件不变，“CD＝BA+AD”这一结论还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，写出CD、BA、AD三者之间存在的关系，并说明理由． 12．（2024重庆·校考一模）阅读下列相关材料，并完成相应的任务．婆罗摩笈多是古印度著名的数学家、天文学家，他编著了《婆罗摩修正体系》，他曾经提出了“婆罗摩笈多定理”，也称“布拉美古塔定理”．定理的内容是：“若圆内接四边形的对角线互相垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线平分对边”． 任务：（1）按图（1）写出了这个定理的已知和求证，并完成这个定理的证明过程； 已知：__________________ 求证：_________________证明： （2）如图（2），在中，弦于M，连接分别是上的点，于于H，当M是中点时，直接写出四边形是怎样的特殊四边形：__________． 13．（2024·江苏·校考一模）【阅读】婆罗摩笈多是七世纪印度数学家，他曾提出一个定理：若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线平分对边． 证明：如图1所示内接于圆的四边形的对角线互相垂直，垂足为点，过点的直线垂直于，垂足为点，与边交于点，由垂直关系得，，所以，由同弧所对的圆周角相等得，所以，则，同理，，故； 【思考】命题“若圆内接四边形的对角线相互垂直，则平分对边且过对角线交点的直线垂直于另一边”为　 　（填“真命题”，“假命题”）； 【探究】（1）如图2，和为共顶点的等腰直角三角形，，过点的直线垂直于，垂足为点，与边交于点．证明：点是的中点； （2）如图3，和为共顶点的等腰直角三角形，点是的中点，连接交于点，若，求的长． 14.（2024·山西太原·三模）请阅读下面的材料，并解答问题． 婆罗摩笈多（Brahmagupta）约公元598年生，约660年卒，在数学、天文学方面有所成就，他编著了《婆罗摩修正体系》《肯达克迪迦》，婆罗摩笈多的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位，其中有著名的婆罗摩笈多定理．婆罗摩笈多定理：圆的内接四边形的对角线与垂直相交于M，过点M的直线与边分别相交于点F、E．则有下两个结论： 如果，那么；如果，那么． 数学课上，赵老师带领大家对该定理的第一条进行了探究． 证明：，，即， ，， 在中，，…… 请解答以下问题：(1)请完成所给材料的证明过程；(2)请证明结论（2）； (3)应用：如图圆O中，半径为4，A，B，C，D为圆上的点，，连接交于点F，过点F作于E，延长交于G，则的长度为______． 15．（24-25·江苏·九年级月考）阅读材料并完成相应任务： 婆罗摩笈多是一位印度数学家与天文学家，他的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位．其中就包括他提出的婆罗摩笈多定理（也称布拉美古塔定理）． 婆罗摩笈多定理：若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边． 下面对该定理进行证明． 已知：如图（1），四边形内接于，对角线于点， 于点，延长交于点．求证：． 证明：，，，， ．…… 任务：(1)请完成该证明的剩余部分；(2)请利用婆罗摩笈多定理完成如下问题：如图（2），已知中，，，，分别交于点，，连接，交于点．过点作，分别交，于点，．若，求的长． 16．（24-25九年级上·广西南宁·期中）婆罗摩芨多是公元7世纪古印度伟大的数学家，他在三角形、四边形、零和负数的运算规则，二次方程等方面均有建树，他也研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把这类对角线互相垂直的圆内接四边形称为“婆氏四边形”． (1)若平行四边形是“婆氏四边形”，则四边形是____________．（填序号） ①矩形；②菱形；③正方形 (2)如图1，中，，以为弦的交于，交于，连接、、．其中，交于，，，若四边形是“婆氏四边形”，求的长． (3)如图2，四边形为的内接四边形，连接，，，，，，已知．①求证：四边形是“婆氏四边形”；②当时，请直接写出半径的最小值． 17．（2024·河南驻马店·校考三模）阅读以下材料，并完成相应的任务： 西姆松定理是一个平面几何定理，其表述为：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边或其延长线的垂线，则三垂足共线（此线常称为西姆松线）．数学兴趣小组的同学们尝试证明该定理．如图1，已知内接于⊙O，点P在⊙O上（不与点A、B、C重合），过点P分别作AB，BC，AC的垂线，垂足分别为D，E，F求证：点D，E，F在同一条直线上 以下是他们的证明过程： 如图1，连接PB，PC，DE，EF，取PC的中点Q，连接QE，QF， 则（依据1）， ∴E，F，P，C四点共圆．∴（依据2）． 又∵，∴． ∵，∴B，D，P，E四点共圆．∴（依据3）． ∵，∴（依据4）． ∴点D，E，F在同一条直线上． 任务：(1)填空：①依据1指的的是中点的定义及______；②依据2指的是______； ③依据3指的是______；④依据4指的是______． (2)善于思考的小英发现当点P是的中点时，．请你利用图2证明该结论的正确性． 18．（2025·山西吕梁·一模）阅读与思考：下面是小宇同学写的一篇数学小论文，请认真阅读并完成相应学习任务：对角线互相垂直的四边形的性质探究 在平行四边形一章中，我们已经学习过平行四边形、矩形、菱形及正方形的性质，那么对于对角线互相垂直的四边形，它有哪些特殊的性质呢？容易得知： 对角线互相垂直的四边形，两组对边的平方和相等，证明过程如下： 如图1，在四边形中，对角线，垂足为． 求证：． 证明：∵于点， ∴（依据1） 若对角线互相垂直的四边形内接于圆，它还有什么特殊性质呢，通过探究，我得出如下结论：对角线互相垂直的圆内接四边形，每组对边的平方和等于它的外接圆半径平方的4倍，证明过程如下（不完整）： 如图2，已知的半径为，四边形内接于，且．求证：． 证明：过点作直径，分别连接． ∵是的直径，∴（依据2）∴， ∵，∴． 学习任务：(1)小宇同学的论文中，画横线部分的“依据1”和“依据2”分别是： 依据1：______________；依据2：______________．(2)请完成图2的剩余证明过程； (3)如图3，已知四边形内接于，为上一点，，若的直径为8，，请直接写出的长度． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 圆中的重要模型之阿基米德折弦（定理）模型、婆罗摩笈多（定理）模型 圆在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就圆形中的重要模型（阿基米德折弦（定理）模型、婆罗摩笈多（布拉美古塔）（定理）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 5 模型运用 6 模型1.阿基米德折弦模型 6 模型2.圆中的“婆罗摩笈多”模型 11 15 折断的琴弦：“折弦”之名源于其几何形态—从圆周一点 B 引出的两条弦 AB 与 BC 宛如一根被折弯的琴弦。阿基米德通过观察此类折线结构，揭示了隐藏的等量关系，后人便以“折弦定理”命名此模型‌。 数学家的浪漫：据传阿基米德曾用诗歌形式记录该定理（如“折弦端点连中点，垂线落处定等分”），将抽象几何化为韵律，体现了古希腊学者对数学与艺术融合的追求‌尽管原始诗作已佚，这一传说仍被数学史研究者津津乐道。 婆罗摩笈多（布拉美古塔）（定理）模型以‌7世纪印度数学家婆罗摩笈多‌（Brahmagupta）命名，他是首个系统研究圆内接四边形性质的学者。其著作《婆罗摩历算书》首次记载了该定理，比欧洲同类研究早近千年，彰显了古印度数学的卓越成就。有趣的是，西方文献常称其为“布拉美古塔定理”，实为同一人名的音译差异。‌ （2025·湖南长沙·一模）【问题呈现】阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点M是的中点，则从M向所作垂线的垂足D是折弦的中点，即．下面是运用“截长法”证明的部分证明过程． 证明：如图2，在上截取，连接、、和，∵M是的中点，，又，，， 又，，，即 (1)【理解运用】如图1，、是的两条弦，，点M是的中点，于点D，求的长；(2)【变式探究】如图3，若点M是中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断、、之间存在怎样的数量关系？并加以证明． (3)【实践应用】根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下面问题：如图4，是的直径，点A是圆上一定点，点D是圆上一动点，且满足，若，的半径为10，求长． 【答案】(1)3(2)，证明见解析；(3)或． 【详解】（1）解：由阿基米德折弦定理可知，， ，，，； （2）解：，证明如下：如图3，在上取，连接、、、， 点M是中点，，， 在和中，，，，， ，，，即； （3）解：是的直径，， 的半径为10，，，由勾股定理得：，， ①当点在上方时，如图，过点作于点，连接、， ，，，，， ，即点是的中点，， ，； ②当点在下方时，如图，过点作于点， ，，，，即点是的中点， 由（2）可知，，，在中，， 综上可知，长为或． （2024·山西太原·三模）请阅读下面的材料，并解答问题． 婆罗摩笈多（Brahmagupta）约公元598年生，约660年卒，在数学、天文学方面有所成就，他编著了《婆罗摩修正体系》《肯达克迪迦》，婆罗摩笈多的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位，其中有著名的婆罗摩笈多定理．婆罗摩笈多定理：圆的内接四边形的对角线与垂直相交于M，过点M的直线与边分别相交于点F、E．则有下两个结论： 如果，那么；如果，那么． 数学课上，赵老师带领大家对该定理的第一条进行了探究． 证明：，，即，，， 在中，，…… 请解答以下问题：(1)请完成所给材料的证明过程；(2)请证明结论（2）；(3)应用：如图圆O中，半径为4，A，B，C，D为圆上的点，，连接交于点F，过点F作于E，延长交于G，则的长度为______． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3) 【详解】（1）证明：，，即， ，，在中，，， 又∵，∴，∴， ∵，∴∴，∴； （2）证明：∵∴，∴ 又∵，∴， ∵，∴∴，∴； （3）解：如图，连接，设交于点M， ，， ，，即，，， ，，，由（1）中结论可得， ，，在中，，． 1）阿基米德折弦（定理）模型 条件：如图1所示，AB和BC是⊙O的两条弦(即ABC是圆的一条折弦)，BC>AB，M是 的中点，则从M向BC所作垂线之垂足D是折弦ABC的中点，结论：CD=AB+BD。 图1 图2 图3 图4 证明：法1（垂线法）：如图2，过点M作射线AB，垂足为点H，连接，AC； ∵M是的中点，∴．∵，，∴． 又∵，∴，∴，．∵，， ∴．∴．∴． 法2（截长法）：如图3，在CD上截取DG=BD，连接BM，MC，MA，AC； ∵BD=DG，MD⊥BG，∴MB=MG，∠MBG=∠MGB，∵M是的中点，∴∠MAC=∠MCA，∴MA=MC， ∵∠CMG＋∠MCG=∠MGB=∠MBG=∠MAC=∠MCA=∠ACB＋∠MCG，∴∠CMG=∠ACB=∠AMB， ∵MB=MG，MA=MC，∠BMA=∠GMC，∴△MBA≌△MGC（SAS），∴BA=GC，CD=AB+BD． 法3（补短法）：如图4，如图，延长DB至F，使BF=BA；连接MA、MB、MC、MF、AC， ∵M是的中点， ∴MA=MC，∠MAC=∠MCA， ∵∠MBA=180°-∠MCA，∠MBF=180°-∠CBC=180°-∠MAC=180°-∠MCA，， ∴∠MBA=∠MBF， 在△MBF和△MBA中，， ∴△MBF≌△MBA（SAS）， ∴MF=MA=MC， 又∵MD⊥BC，∴FD=CD， ∴DC=BF+BD=BA+BD； 2）婆罗摩笈多定理（古拉美古塔定理）模型 条件：如图，四边形ABCD内接于，对角线，垂足为点M，直线，垂足为点E，并且交直线AD于点F．结论：． 证明：∵，，∴， ∴，， ∴，∵，∴． 又∵，∴，∴． 在Rt△ADM中，∠ADM＝90°，∴∠DMF＝90°﹣∠AMF，∠ADM＝90°﹣∠CAD， 又∠AMF＝∠CAD，∴∠DMF＝∠ADM，∴FM＝FD，∴AF＝FD 2）婆罗摩笈多定理（古拉美古塔定理）的逆定理 条件：如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD，垂足为M，F为AD上一点，直线FM交BC于点E，FA=FD．结论：FE⊥BC． 证明：∵AF=FD，AC⊥BD，∴∠AMD=90°，∴AF=MF=FD，∴∠FMD=∠ADM， ∵∠DAM+∠ADM=90°，∴∠FMD+∠DAM=90°， ∵∠FMD=∠BME，∠DAM=∠DBC，∴∠DBC+∠BME=90°，∴∠MEB=90°，∴FE⊥BC． 模型1.阿基米德折弦模型 例1（2025·江西赣州·二模）阿基米德不仅是物理学家，还是伟大的数学家，阿基米德折弦定理就是圆中关于弦的一个定理，其条件大致如下：如图，，为的两条弦，点是的中点，过点作于点，根据以上条件，下列说法错误的是（    ） A． B．连接、，则 C． D．作射线交于点，则平分 【答案】B 【详解】解：∵点是的中点，∴， ∵，∴，则选项A正确； 如图，连接，，，∵，∴， ∵，∴，则选项B错误； 如图，在上截取点，使得，连接，，，， 由圆周角定理得：，∵，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，∴，∴，则选项C正确； 由题意，画出图形如下：∵是的直径，∴， 又∵，∴，∴，∴平分，则选项D正确；故选：B． 例2（24-25九年级上·安徽阜阳·期中）阅读理解：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点是的中点，则从点向所作垂线的垂足是折弦的中点，即．下面是运用“截长法”证明的部分证明过程． 证明：如图1，在上截取，连接，，，． 是的中点，． 任务：(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；(2)如图2，已知等腰三角形内接于，，，点为上一点，，于点，求的周长． 【答案】(1)见解析；(2)的周长为． 【详解】（1）证明：如图1所示，在上截取，连接，，，， 是的中点， ，又所对圆周角为与，∴， 在和中， ，，， ，，； （2）解：如图2所示，在上截取， ，，，∴，， 又所对圆周角为与，∴， 在和中， ，，， ，，， 的周长为，答：的周长为． 例3（24-25·山东日照·九年级校考期中）【问题呈现】阿基米德折弦定理： 如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，点M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝DB+BA．下面是运用“截长法”证明CD＝DB+BA的部分证明过程． 证明：如图2，在CD上截取CG＝AB，连接MA、MB、MC和MG． ∵M是的中点，∴MA＝MC① 又∵∠A＝∠C②∴△MAB≌△MCG③∴MB＝MG 又∵MD⊥BC∴BD＝DG∴AB+BD＝CG+DG即CD＝DB+BA 根据证明过程，分别写出下列步骤的理由：①　 　，②　 　，③　 　； 【理解运用】如图1，AB、BC是⊙O的两条弦，AB＝4，BC＝6，点M是的中点，MD⊥BC于点D，则BD＝　 　； 【变式探究】如图3，若点M是的中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断CD、DB、BA之间存在怎样的数量关系？并加以证明． 【实践应用】根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下列问题：如图4，BC是⊙O的直径，点A圆上一定点，点D圆上一动点，且满足∠DAC＝45°，若AB＝6，⊙O的半径为5，求AD长． 【答案】（问题呈现）相等的弧所对的弦相等；同弧所对的圆周角相等；有两组边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等；（理解运用）1；（变式探究）DB＝CD+BA；证明见解析；（实践应用）7或． 【详解】（问题呈现）①相等的弧所对的弦相等②同弧所对的圆周角相等 ③有两组边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等 故答案为：相等的弧所对的弦相等；同弧所定义的圆周角相等；有两组边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等； （理解运用）CD＝DB+BA，即CD＝6﹣CD+AB，即CD＝6﹣CD+4，解得：CD＝5， BD＝BC﹣CD＝6﹣5＝1，故答案为：1； （变式探究）DB＝CD+BA．证明：在DB上截去BG＝BA，连接MA、MB、MC、MG， ∵M是弧AC的中点，∴AM＝MC，∠MBA＝∠MBG． 又MB＝MB∴△MAB≌△MGB（SAS）∴MA＝MG∴MC＝MG， 又DM⊥BC，∴DC＝DG，AB+DC＝BG+DG，即DB＝CD+BA； （实践应用）如图，BC是圆的直径，所以∠BAC＝90°． 因为AB＝6，圆的半径为5，所以AC＝8． 已知∠D1AC＝45°，过点D1作D1G1⊥AC于点G1，则CG1′+AB＝AG1， 所以AG1＝（6+8）＝7．所以AD1＝7． 如图∠D2AC＝45°，同理易得AD2＝．所以AD的长为7或． 例4（2024·河南商丘校考一模）阅读下面材料，完成相应的任务： 阿基米德是有史以来最伟大的数学家之一、《阿基米德全集》收集了已发现的阿基米德著作，它对于了解古希腊数学，研究古希腊数学思想以及整个科技史都是十分宝贵的．其中论述了阿基米德折弦定理：从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，称之为该圆的一条折弦．一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点． 如图1，AB和BC是的两条弦（即ABC是圆的一条折弦），．M是弧的中点，则从M向所作垂线之垂足D是折弦的中点，即． 小明认为可以利用“截长法”，如图2：在线段上从C点截取一段线段，连接． 小丽认为可以利用“垂线法”，如图3：过点M作于点H，连接 任务：(1)请你从小明和小丽的方法中任选一种证明思路，继续书写出证明过程， (2)就图3证明：． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【详解】（1）证明：如图2，在CB上截取C，连接， ∵是的中点，∴ 在和中，∴，∴ ∵，∴∴ ； （2）证明：在中，， 在中，， 由（1）可知， ， ∴ ； 模型2.圆中的“婆罗摩笈多”模型 例1（24-25九年级上·山西长治·期末）阅读与思考 阅读下列材料，完成相应的任务． 婆罗摩笈多（Brahmagupta）是古印度著名的数学家、天文学家，他在三角形、四边形、零和负数的算数运算法则、二次方程等方面均有建树，特别在研究一阶和二阶不定方程方面作出了巨大贡献，他曾提出了“婆罗摩笈多定理”，该定理也称为“布拉美古塔定理”，该定理的内容及部分证明过程如下． 婆罗摩笈多定理：如图，已知四边形内接于，对角线，，相交于点M，如果直线，垂足为E，并且交边于点F，那么． 证明：，，．． 又_______，，．… 任务：(1)材料中横线部分缺少的条件为_______________．(2)补全后面的证明过程． 【答案】(1)(2)见解析 【详解】（1）解：由题意知，材料中横线部分缺少的条件为，故答案为：； （2）证明：，， ，，， 又，，，，∴， ∵，∴，∴，∴． 例2（2025·山西·校考模拟预测）阅读以下材料，并按要求完成相应任务： 婆罗摩笈多（Brahmagupta）是古代印度著名数学家、天文学家，他在三角形、四边形、零和负数的算术运算规则、二次方程等方面均有建树．他曾经提出了“婆罗摩笈多定理”，该定理也称为“古拉美古塔定理”，该定理的内容及部分证明过程如下： 古拉美古塔定理：如图1，四边形内接于，对角线，垂足为点，直线，垂足为点，并且交直线于点，则． 证明：∵，，∴ ∴，．∴． ∵，∴．（依据） 又∵，∴．∴．…… 任务：（1）上述证明过程中的依据是______；（2）将上述证明过程补充完整； （3）古拉美古塔定理的逆命题：如图，四边形内接于，对角线，垂足为点，直线交于点，交于点．若，则．请证明该命题． 【答案】（1）同弧所对的圆周角相等；（2）见解析；（3）见解析． 【详解】（1）同弧所对的圆周角相等 （2）…，∵，， ∴，∴，∴． （3）证明：∵，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴，∴，∴． 例3（24-25九年级下·江苏泰州·阶段练习）阅读材料并完成相应任务： 婆罗摩笈多是一位印度数学家与天文学家，他的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位．其中就包括他提出的婆罗摩笈多定理（也称布拉美古塔定理）． 婆罗摩笈多定理：若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边． 下面对该定理进行证明． 已知：如图（1），四边形内接于，对角线于点P，于点M，延长交于点N．求证：． 证明：∵，，∴，∴．…… 任务：(1)请完成该证明的剩余部分；(2)请利用婆罗摩笈多定理完成如下问题：如图（2），已知中，分别交于点D，E，连接交于点P．过点P作，分别交于点M，N．若，求的长． 【答案】(1)见解析(2)3 【详解】（1）证明：∵，， ∴，∴， ∵，∴，∴，同理可证，∴； （2）解：∵四边形 为圆内接四边形，∴， ∵，∴，即，∵，∴， ∵，∴，即点N为的中点，∴． 1.（24-25·广东九年级期中）如图，AB和BC是的两条弦（即ABC是圆的一条折弦），，M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，若，，则CD的长为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，在CD上截取DG=BD，连接BM，MC，MA，AC； ∵BD=DG，MD⊥BG，∴MB=MG，∠MBG=∠MGB， ∵M是的中点，∴∠MAC=∠MCA，∴MA=MC， ∵∠CMG＋∠MCG=∠MGB=∠MBG=∠MAC=∠MCA=∠ACB＋∠MCG，∴∠CMG=∠ACB=∠AMB， ∵MB=MG，MA=MC，∠BMA=∠GMC，∴△MBA≌△MGC（SAS）， ∴BA=GC，CD=AB+BD=，故选：D． 2．（24-25九年级上·浙江温州·期中）婆罗摩芨多是公元7世纪古印度伟大的数学家，他研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把这类四边形称为“婆氏四边形”．如图，在中，四边形是“婆氏四边形”，对角线相交于点E，过点E作于点H，延长交于点F，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，∴， ∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴， ∴，∴，∴，故选A． 3．（2024·湖南株洲·二模）阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，是弧的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即．请应用阿基米德折弦定理解决问题：如图2，已知等边内接于，，为上一点，，于点，则的周长是 ．    【答案】/ 【详解】解：∵是等边三角形，∴，， ∴外接圆中，，即点是弧的中点，且于点， ∴根据阿基米德折弦定理得，， ∵中，，于点，且， ∴，，即是等腰直角三角形，则， ∴，∴， ∵的周长为，∴，故答案为：． 4．（24-25九年级下·江西南昌·期末）婆罗摩笈多是公元7世纪的古印度伟大数学家，曾研究对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把这类四边形称为“婆罗摩笈多四边形”．如图，四边形是的内接四边形，且是“婆罗摩笈多四边形”、若，则的半径为 ．    【答案】1 【详解】解：连接，交于点E，连接并延长交于F，连接，设的半径为r，      ∵是直径，∴，由题意知，∴， ∵，∴，∴，∴，∴，∵， ∴，同理可得， ∴，∴，即的半径为1，故答案为：1． 5.（2024·广东·校考一模）定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC组成圆的折弦，AB＞BC，M是弧ABC的中点，MF⊥AB于F，则AF＝FB+BC． 如图2，△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝8，BC＝6，D是AB上一点，BD＝1，作DE⊥AB交△ABC的外接圆于E，连接EA，则∠EAC＝ °． 【答案】60°． 【详解】解：如图2，连接OA、OC、OE， ∵AB＝8，BC＝6，BD＝1，∴AD＝7，BD+BC＝7，∴AD＝BD+BC，而ED⊥AB， ∴点E为弧ABC的中点，即，∴∠AOE＝∠COE， ∵∠AOC＝2∠ABC＝2×60°＝120°，∴∠AOE＝∠COE＝120°， ∴∠CAE＝∠COE＝60°．故答案为60°． 6．（2025·广西贵港·一模）在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理．如图，已知劣弧，是弦上一点． (1)根据提示完成尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）； ①作线段的垂直平分线，分别交劣弧于点，交于点； ②以点为圆心，长为半径作弧，交劣弧于点（，两点不重合），连接； (2)请连接，，，，引理的结论为：．请你证明此结论． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【详解】（1）解：作出线段的垂直平分线，连接；   以为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，如图示： （2）证明：由作图可得：是的垂直平分线， 四边形是圆的内接四边形， ， ． 7．（2025·广东清远·一模）请阅读材料，并完成下列问题． 阿基米德折弦定理 阿基米德，伟大的数学家之一，其与牛顿、高斯并成为三大数学王子．在《阿基米德全集》中记载了阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦，其中是的中点，过点向作交于点，则就是折弦的中点，即． (1)下面是用“截长法”证明的部分过程． 证明：如图2，在上截取，连接． 是的中点，．．．．． 请根据上面的证明思路，写出证明的剩余部分． (2)在图1中，若，求的半径． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：是的中点，，，在中，， 在和中，，，， ，，． （2）解：如图，过点作于点，于点，连接，，， 由（1）可知， 过圆心且，，， ，四边形是矩形，， ，， ，． 8．（24-25九年级上·浙江丽水·期中）如图中所示，AB和BC组成圆的折弦，AB＞BC，D是的中点，DE⊥AB，垂足为E．连结AD，AC，BD． （1）写出所有与∠DBA相等的角（不添加任何线段）__________． （2）判断AE，BE，BC之间的数量关系并证明．（3）如图，已知AD＝7，BD＝3，求AB·BC的值． 【答案】（1）；（2），见解析；（3）40 【详解】（1）是的中点，故答案为： （2） 理由如下：如图，在线段上截取， ∵∴是的中垂线∴ ， ∵点D是的中点，∴，，∴ ∵∴， ∵，∴ ，∴，∴， ∴即 （3）∵∴ ∴ 9．（2024·贵州·校考一模）（1）问题发现：学完垂径定理后，小红对弧的中点与弦的关系再次做了研究，如图甲，中，点C是劣弧AB的中点，D点在BC弧之间，过点C作，垂足为点E，小红在电脑上用几何画板的度量功能度量了线段ED、DB、AE的长度如下表所示，小红发现了一个数量关系，这个关系是______（用ED、DB、AE的式子表示） ED DB AE 1.37 2.23 3.60 1.51 2.07 3.58 1.63 1.93 3.56 1.91 1.60 3.51 （2）探索结论：怎么完成（1）中关系的证明呢？小红根据学习经验想到了“截长补短”中的“截长”思想，如图乙，在线段AE上截取点F，使得，连接CF、CD．小红试图构造关于AF、DB所在的三角形，通过全等完成证明，请接着小红的想法完成证明． （3）结论应用：如图丙，等边三角形ABC内接于，点D在上，连接BD、CD，过点C作，垂足为点E，若，，求的半径． 【答案】（1）AE=DE+BD；（2）证明见解析；（3）． 【详解】（1）解：由表格可得：当AE=3.60，DE=1.37，BD=2.23时，有3.60=1.37+2.23，即AE=DE+BD； 当AE=3.58，DE=1.51，BD=2.07时，有3.58=1.51+2.07，即AE=DE+BD； 当AE=3.56，DE=1.63，BD=1.93时，有3.56=1.63+1.93，即AE=DE+BD； 当AE=3.51，DE=1.91，BD=1.60时，有3.56=1.91+1.60，即AE=DE+BD； 因此，线段ED、DB、AE的关系为AE=DE+BD，故答案为AE=DE+BD； （2）证明：如图1，在线段AE上取一点F，使得EF=DE，连接CD、BC、CF、AC， ，EF=DE，CF=CD，， ， 中，点C是劣弧AB的中点，，， ，，  ， ，，， AE=AF+EF=DE+BD； （3）解：如图2，作直径AF，连接CF， 等边三角形ABC内接于，，， ，， ，，，AE=CE， ，，， ， DE=1，AE=，， AF是的直径，，，的半径为． 10.（24-25九年级上·江苏盐城·期中）【了解概念】我们知道，折线段是由两条不在同一直线上且有公共端点的线段组成的图形．如图1，线段、组成折线段．若点在折线段上，，则称点是折线段的中点． (1)如图2，的半径为2，是的切线，为切点，点是折线段的中点．若，则　　； (2)【定理证明】阿基米德折弦定理：如图3，和是的两条弦（即折线段是圆的一条折弦），，点是的中点，从向作垂线，垂足为，求证：是折弦的中点； 【变式探究】(3)如图4，若点是的中点，【定理证明】中的其他条件不变，则、、之间存在怎样的数量关系？请直接写出结论． 【灵活应用】(4)如图5，是的直径，点为上一定点，点为上一动点，且满足，若，，则　　． 【答案】(1)3(2)见解析(3)(4)或 【详解】（1）解：是的切线，为切点，，， ，，，，是折线段的中点，，故答案为：3； （2）证明：在上截取，连接、、、， 点是的中点，，，（SAS），， ，，，是折弦的中点； （3）解：，理由如下： 如图，在上截取，连接、、、，点是的中点，， ，（SAS），，， ，，； （4）解：是的直径，， ，，，当点在上时，如图， ，，过点作交于点， ，，； 当点在上时，如图，，过点作交于点， ，，； 综上所述：的长为或，故答案为：或． 11．（24-25九年级上·江苏南京·期中）问题提出 如图1，AB、AC是⊙O的两条弦，AC＞AB，M是的中点，MD⊥AC，垂足为D，求证：CD＝BA+AD． 小敏在解答此题时，利用了“补短法”进行证明，她的方法如下： 如图2，延长CA至E，使AE＝AB，连接MA、MB、MC、ME、BC． ∵M是的中点∴∴∠MCB＝∠MAC（请你在下面的空白处完成小敏的证明过程．） 推广运用：如图3，等边△ABC内接于⊙O，AB＝1，D是上一点，∠ABD＝45°，AE⊥BD，垂足为E，则△BDC的周长是 　 　． 拓展研究:如图4，若将“问题提出”中“M是的中点”改成“M是的中点”，其余条件不变，“CD＝BA+AD”这一结论还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，写出CD、BA、AD三者之间存在的关系，并说明理由． 【答案】问题提出：见解析；推广运用：1+；拓展研究：不成立，CD、BA、AD三者之间的关系：AD=BA+CD，理由见解析 【详解】问题提出：证明：如图2，延长CA至E，使AE=AB，连接MA、MB、MC、ME、BC， ∵M是的中点， ∴MB=MC，∠MBC=∠MCB， ∵∠MAB=180°-∠MCB，∠EAM=180°-∠CAM=180°-∠MBC， ∴∠EAM=∠BAM， 在△EAM和△BAM中，， ∴△EAM≌△BAM（SAS）， ∴ME=MB=MC， 又∵MD⊥AC，∴ED=CD， ∴DC=AD+AE=BA+AD； 推广运用：解：如图3，截取BF=CD，连接AF，AD，CD， 由题意可得：AB=AC，∠ABF=∠ACD， 在△ABF和△ACD中， ∴△ABF≌ACD（SAS）， ∴AF=AD， ∵AE⊥BD， ∴FE=DE，则CD+DE=BE， ∵∠ABD=45°， ∴BE= ， 则△BDC的周长=BC+BD+CD=BC+2BE=1+， 故答案为：1+； 拓展研究：不成立，CD、BA、AD三者之间的关系：AD=BA+CD， 证明：延长MD交圆O于点E，如图④，连接EA，EF，ED，EB交AC于N， ∵M是的中点， ∴∠BEM=∠CEM， 在△EDN和△EDC中，,∴△EDN≌△EDC ,∴CD=ND，∠ECD=∠END， ∵∠ECD=∠ABE，∠ENC=∠ANB， ∴∠ANB=∠ABE， ∴AN=AB， ∴AD=AN+ND=BA+CD． 12．（2024重庆·校考一模）阅读下列相关材料，并完成相应的任务．婆罗摩笈多是古印度著名的数学家、天文学家，他编著了《婆罗摩修正体系》，他曾经提出了“婆罗摩笈多定理”，也称“布拉美古塔定理”．定理的内容是：“若圆内接四边形的对角线互相垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线平分对边”． 任务：（1）按图（1）写出了这个定理的已知和求证，并完成这个定理的证明过程； 已知：__________________ 求证：_________________证明： （2）如图（2），在中，弦于M，连接分别是上的点，于于H，当M是中点时，直接写出四边形是怎样的特殊四边形：__________． 【答案】（1）见解析；（2）菱形 【详解】（1）已知：如图，在圆内接四边形中，对角线于点M，过点M作的垂线分别交于点． 求证：点E是的中点 证明：，， ，，， 同理可证，，∴点E是的中点 故答案为：已知：如图，在圆内接四边形中，对角线于点M，过点M作的垂线分别交于点． 求证：点E是的中点 （2）四边形是菱形 理由：由布拉美古塔定理可知，分别是的中点， 是中点 ∴四边形是菱形故答案为：四边形是菱形 13．（2024·江苏·校考一模）【阅读】婆罗摩笈多是七世纪印度数学家，他曾提出一个定理：若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线平分对边． 证明：如图1所示内接于圆的四边形的对角线互相垂直，垂足为点，过点的直线垂直于，垂足为点，与边交于点，由垂直关系得，，所以，由同弧所对的圆周角相等得，所以，则，同理，，故； 【思考】命题“若圆内接四边形的对角线相互垂直，则平分对边且过对角线交点的直线垂直于另一边”为　 　（填“真命题”，“假命题”）； 【探究】（1）如图2，和为共顶点的等腰直角三角形，，过点的直线垂直于，垂足为点，与边交于点．证明：点是的中点； （2）如图3，和为共顶点的等腰直角三角形，点是的中点，连接交于点，若，求的长． 【答案】【思考】真命题；【探究】（1）证明见解析；（2）4． 【详解】解：【思考】“若圆内接四边形的对角线相互垂直，则平分对边且过对角线交点的直线垂直于另一边”为真命题．理由如下：如下图， ∵，为的中点，∴．∴． ∵，∴．∵， ∴．∴．∴．即：． ∴命题“若圆内接四边形的对角线相互垂直，则平分对边且过对角线交点的直线垂直于另一边”为真命题． 故答案为：真命题． 【探究】（1）如下图，过点作，交的延长线于点， ∵，∴．∵，∴． ∵，∴．∴． ∵，∴．∵，∴．∴． ∵为等腰直角三角形，∴．在和中， ∴．∴．∵，∴． 在和中，∴．∴．即是的中点． （2）如下图，过点作，交的延长线于点， ∵，∴． 在和中，∴． ∴．∴． ∵，∴． ∵，∴． 在和中，∴．∴． 14.（2024·山西太原·三模）请阅读下面的材料，并解答问题． 婆罗摩笈多（Brahmagupta）约公元598年生，约660年卒，在数学、天文学方面有所成就，他编著了《婆罗摩修正体系》《肯达克迪迦》，婆罗摩笈多的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位，其中有著名的婆罗摩笈多定理．婆罗摩笈多定理：圆的内接四边形的对角线与垂直相交于M，过点M的直线与边分别相交于点F、E．则有下两个结论： 如果，那么；如果，那么． 数学课上，赵老师带领大家对该定理的第一条进行了探究． 证明：，，即， ，， 在中，，…… 请解答以下问题：(1)请完成所给材料的证明过程；(2)请证明结论（2）； (3)应用：如图圆O中，半径为4，A，B，C，D为圆上的点，，连接交于点F，过点F作于E，延长交于G，则的长度为______． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3) 【详解】（1）证明：，，即， ，，在中，，， 又∵，∴，∴， ∵，∴∴，∴； （2）证明：∵∴，∴ 又∵，∴， ∵，∴∴，∴； （3）解：如图，连接，设交于点M， ，， ，，即， ， ，， ，，由（1）中结论可得， ，，在中，，． 15．（24-25·江苏·九年级月考）阅读材料并完成相应任务： 婆罗摩笈多是一位印度数学家与天文学家，他的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位．其中就包括他提出的婆罗摩笈多定理（也称布拉美古塔定理）． 婆罗摩笈多定理：若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边． 下面对该定理进行证明． 已知：如图（1），四边形内接于，对角线于点， 于点，延长交于点．求证：． 证明：，，，， ．…… 任务：(1)请完成该证明的剩余部分；(2)请利用婆罗摩笈多定理完成如下问题：如图（2），已知中，，，，分别交于点，，连接，交于点．过点作，分别交，于点，．若，求的长． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）解：证明：，， ，，， ，，， ，同理，，； （2）四边形是内接四边形，， ，，，， ，，． 16．（24-25九年级上·广西南宁·期中）婆罗摩芨多是公元7世纪古印度伟大的数学家，他在三角形、四边形、零和负数的运算规则，二次方程等方面均有建树，他也研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把这类对角线互相垂直的圆内接四边形称为“婆氏四边形”． (1)若平行四边形是“婆氏四边形”，则四边形是____________．（填序号） ①矩形；②菱形；③正方形 (2)如图1，中，，以为弦的交于，交于，连接、、．其中，交于，，，若四边形是“婆氏四边形”，求的长． (3)如图2，四边形为的内接四边形，连接，，，，，，已知． ①求证：四边形是“婆氏四边形”； ②当时，请直接写出半径的最小值． 【答案】(1)③(2)；(3)①见解析；②半径的最小值为． 【详解】（1）解：如图，∵平行四边形为的内接四边形，∴，， ∴，∴平行四边形为矩形， ∵四边形是“婆氏四边形”，∴，∴矩形为正方形，故答案为：③； （2）解：∵，，，∴，为直径，∴， ∵四边形是“婆氏四边形”，∴，∴，， 设，则，， 在中，根据勾股定理，，即，解得，即； （3）解：①设相交于点E如图所示 ∵，，， ∴，∴，即， 又∵四边形是的内接四边形，∴四边形是“婆氏四边形”； ②如图，作，垂足分别为M，N， ∴，，，∴， ∵，∴，， ∵，∴，∴， 在和中，∵，∴，∴， ∵，设，则，，， 在中，， 当时，取得最小值，即半径的最小值为． 17．（2024·河南驻马店·校考三模）阅读以下材料，并完成相应的任务： 西姆松定理是一个平面几何定理，其表述为：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边或其延长线的垂线，则三垂足共线（此线常称为西姆松线）．数学兴趣小组的同学们尝试证明该定理．如图1，已知内接于⊙O，点P在⊙O上（不与点A、B、C重合），过点P分别作AB，BC，AC的垂线，垂足分别为D，E，F求证：点D，E，F在同一条直线上 以下是他们的证明过程： 如图1，连接PB，PC，DE，EF，取PC的中点Q，连接QE，QF， 则（依据1）， ∴E，F，P，C四点共圆．∴（依据2）． 又∵，∴． ∵，∴B，D，P，E四点共圆．∴（依据3）． ∵，∴（依据4）． ∴点D，E，F在同一条直线上． 任务：(1)填空：①依据1指的的是中点的定义及______；②依据2指的是______； ③依据3指的是______；④依据4指的是______． (2)善于思考的小英发现当点P是的中点时，．请你利用图2证明该结论的正确性． 【答案】(1)①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；②圆内接四边形对角互补；③同弧或等弧所对的圆周角相等；④等量代换(2)见解析 【详解】（1）解：①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；②圆内接四边形对角互补； ③同弧或等弧所对的圆周角相等；④等量代换； （2）证明：如图，连接PA，PB，PC． ∵点P是的中点，∴．∴，． 又∵，，∴． ∴（HL）．∴． 18．（2025·山西吕梁·一模）阅读与思考：下面是小宇同学写的一篇数学小论文，请认真阅读并完成相应学习任务：对角线互相垂直的四边形的性质探究 在平行四边形一章中，我们已经学习过平行四边形、矩形、菱形及正方形的性质，那么对于对角线互相垂直的四边形，它有哪些特殊的性质呢？容易得知： 对角线互相垂直的四边形，两组对边的平方和相等，证明过程如下： 如图1，在四边形中，对角线，垂足为． 求证：． 证明：∵于点， ∴（依据1） 若对角线互相垂直的四边形内接于圆，它还有什么特殊性质呢，通过探究，我得出如下结论：对角线互相垂直的圆内接四边形，每组对边的平方和等于它的外接圆半径平方的4倍，证明过程如下（不完整）： 如图2，已知的半径为，四边形内接于，且． 求证：． 证明：过点作直径，分别连接． ∵是的直径，∴（依据2）∴， ∵，∴． 学习任务：(1)小宇同学的论文中，画横线部分的“依据1”和“依据2”分别是： 依据1：______________；依据2：______________．(2)请完成图2的剩余证明过程； (3)如图3，已知四边形内接于，为上一点，，若的直径为8，，请直接写出的长度． 【答案】(1)勾股定理（或直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方）；直径所对的圆周角等于90° (2)见解析(3) 【详解】（1）解：勾股定理（或直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方）； 直径所对的圆周角等于90°． （2）证明：过点作直径，分别连接． ∵是的直径，∴，∴，∵，∴． ∵，∴，∵，；∴， ∴，∴， ∴ （3）连接交于，如图，∵，，∴， ∴，，由（2）得：， ∴，解得：，∴． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$