专题05 圆中重要模型之婆罗摩笈多定理（几何模型讲义）数学湘教版九年级下册

该初中数学讲义以婆罗摩笈多定理为核心，通过“模型趣事—真题现模型—提炼模型”的递进逻辑构建知识体系，用图文结合的方式呈现定理条件、结论及逆定理的证明框架，清晰梳理对角线垂直、中点关系等重难点的内在联系。 讲义亮点在于用“池塘竹竿”“商人测绳”等生活化案例培养数学眼光，设计分层例题如2024山西太原三模证明题和半径为4的应用题，引导学生用数学思维推理，配套模型提炼表格助力数学语言表达，既帮助基础生掌握方法，也供优秀生深入探究，为教师精准教学提供系统支持。

专题05 圆中重要模型之婆罗摩笈多定理 若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于该四边形一边且过对角线交点的直线将平分对边。这个定理有另一个名称,叫做"布拉美古塔定理"（又译"卜拉美古塔定理"）。 2 模型趣事 2 真题现模型 2 提炼模型 6 模型 婆罗摩笈多定理（古拉美古塔定理）模型 6 12 一、池塘边的意外灵感​ 公元 7 世纪的印度，数学家婆罗摩笈多正在恒河沿岸的寺庙修行。夏日午后，他蹲在寺庙后院的方形池塘边纳凉，看着僧人将四根细长的竹竿斜插入水中，竹竿顶端恰好连成一个四边形，水面上的交点泛起圈圈涟漪。突然，一阵风掠过，两根相对的竹竿顶端同时晃动，溅起的水珠竟沿着水面交点的连线对称落下 —— 这个偶然的画面，让婆罗摩笈多瞬间来了兴致。​ 他起身测量：池塘是边长为 10 肘尺的正方形，竹竿插入水底的端点形成四个点，水面上的四边形对角线恰好交于池中心。更奇妙的是，当他调整其中一根竹竿的角度，让水面四边形的一组对角和为 180 度时，池中心到四个竹竿顶端的距离，竟然满足 “对角线乘积等于两组对边乘积之和” 的规律！婆罗摩笈多当即在沙地上演算，发现这一规律对所有圆内接四边形都成立，这便是后来震惊数学界的婆罗摩笈多定理。​ 二、商人的 “带货” 验证​ 定理发现后，婆罗摩笈多并未急于著书立说，反而将其悄悄告诉了往来寺庙的香料商人。当时印度商人常通过河流运输货物，方形木船在水中航行时，船身四角的绳索固定点恰好构成圆内接四边形（因船体漂浮时四角到水面的距离恒定，四点共圆）。​ 有个商人尝试用定理计算绳索长度：他的木船对角线长 12 肘尺和 16 肘尺，一组对边分别为 9 肘尺和 15 肘尺，按定理计算另一组对边乘积之和应为 12×16=192，实际测量后果然分毫不差！这让商人在加固船身时省去了反复丈量的麻烦，定理也随着商队的足迹，在印度各地悄悄流传开来。​ 三、趣味模型的隐藏巧思​ 婆罗摩笈多定理的经典模型里，藏着很多生活化的巧思。比如用四个可滑动的圆环套在两根交叉的细杆上，组成圆内接四边形的活动模型：当你滑动圆环改变四边形的形状时，始终能发现 “对角线乘积 = 对边乘积之和”。​ 更有趣的是，这个模型还能解释古代印度的灌溉智慧 —— 农民在方形田地里挖对角线水渠，根据定理可精准计算水渠长度与灌溉面积的关系，让每一寸土地都能均匀浇水。婆罗摩笈多或许从未想到，自己池塘边的偶然发现，竟成了惠及万民的实用工具。 （2024·山西太原·三模）请阅读下面的材料，并解答问题． 婆罗摩笈多（Brahmagupta）约公元598年生，约660年卒，在数学、天文学方面有所成就，他编著了《婆罗摩修正体系》《肯达克迪迦》，婆罗摩笈多的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位，其中有著名的婆罗摩笈多定理．婆罗摩笈多定理：圆的内接四边形的对角线与垂直相交于M，过点M的直线与边分别相交于点F、E．则有下两个结论： 如果，那么； 如果，那么． 数学课上，赵老师带领大家对该定理的第一条进行了探究． 证明：， ，即， ， ， 在中，， …… 请解答以下问题： (1)请完成所给材料的证明过程； (2)请证明结论（2）； (3)应用：如图圆O中，半径为4，A，B，C，D为圆上的点，，连接交于点F，过点F作于E，延长交于G，则的长度为______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用圆周角定理及直角三角形的性质得到进而推出，同理得到，根据等边对等角即可得出结论； （2）根据题意得到，进而得到，利用圆周角定理结合对顶角推出，从而得到，即可证明； （3）连接，设交于点M，先利用等腰三角形的性质结合题意易证，再利用三角形内角和定理推出，从而证明，由（1）中结论易得，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得到，再根据勾股定理求出，即可得出结果． 【详解】（1）证明：， ，即， ， ， 在中，， ， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴； （2）证明：∵ ∴， ∴ 又∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴； （3）解：如图，连接，设交于点M， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ， 由（1）中结论可得， ， ， 在中，， ． 【点睛】本题考查圆的内接四边形，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理，勾股定理，熟练运用等腰三角形等角对等边的性质是解题的关键． 婆罗摩笈多定理（古拉美古塔定理）模型 条件：如图，四边形ABCD内接于，对角线，垂足为点M，直线，垂足为点E，并且交直线AD于点F．结论：． 证明：∵，，∴， ∴，， ∴，∵，∴． 又∵，∴，∴． 在Rt△ADM中，∠ADM＝90°，∴∠DMF＝90°﹣∠AMF，∠ADM＝90°﹣∠CAD， 又∠AMF＝∠CAD，∴∠DMF＝∠ADM，∴FM＝FD，∴AF＝FD 2）婆罗摩笈多定理（古拉美古塔定理）的逆定理 条件：如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD，垂足为M，F为AD上一点，直线FM交BC于点E，FA=FD．结论：FE⊥BC． 证明：∵AF=FD，AC⊥BD，∴∠AMD=90°，∴AF=MF=FD，∴∠FMD=∠ADM， ∵∠DAM+∠ADM=90°，∴∠FMD+∠DAM=90°， ∵∠FMD=∠BME，∠DAM=∠DBC，∴∠DBC+∠BME=90°，∴∠MEB=90°，∴FE⊥BC． 模型 婆罗摩笈多定理（古拉美古塔定理）模型 例1（24-25九年级上·山西长治·期末）阅读与思考 阅读下列材料，完成相应的任务． 婆罗摩笈多（Brahmagupta）是古印度著名的数学家、天文学家，他在三角形、四边形、零和负数的算数运算法则、二次方程等方面均有建树，特别在研究一阶和二阶不定方程方面作出了巨大贡献，他曾提出了“婆罗摩笈多定理”，该定理也称为“布拉美古塔定理”，该定理的内容及部分证明过程如下． 婆罗摩笈多定理：如图，已知四边形内接于，对角线，，相交于点M，如果直线，垂足为E，并且交边于点F，那么． 证明：， ，． ． 又_______，， ． … 任务： (1)材料中横线部分缺少的条件为_______________． (2)补全后面的证明过程． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了同弧所对的圆周角相等，等腰三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余等知识．熟练掌握同弧所对的圆周角相等，等腰三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余是解题的关键． （1）由等量代换作答即可； （2）根据等边对等角可得，由，可得，则，进而结论得证． 【详解】（1）解：由题意知，材料中横线部分缺少的条件为， 故答案为：； （2）证明：，， ，， ， 又，， ， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 例2（2023·江苏·九年级假期作业）阅读材料并完成相应任务： 婆罗摩笈多是一位印度数学家与天文学家，他的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位．其中就包括他提出的婆罗摩笈多定理（也称布拉美古塔定理）． 婆罗摩笈多定理：若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边． 下面对该定理进行证明． 已知：如图（1），四边形内接于，对角线于点， 于点，延长交于点． 求证：． 证明：，， ，， ．…… 任务：(1)请完成该证明的剩余部分；(2)请利用婆罗摩笈多定理完成如下问题：如图（2），已知中，，，，分别交于点，，连接，交于点．过点作，分别交，于点，．若，求的长． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】（1）应用圆周角定理，等腰三角形的判定，可证明； （2）应用（1）的结论，圆内接四边形的性质，可求解． 【详解】（1）解：证明：，， ，，， ，，， ，同理，，； （2）四边形是内接四边形，， ，，，， ，，． 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，关键是能熟练应用圆的有关性质． 例3（2024·河南新乡·模拟预测）阅读下列材料，完成相应的任务． 婆罗摩笈多定理： 如图，四边形内接于，对角线，垂足为M，如果直线，垂足为E，并且交边于点F，那么． 证明：∵，， ∴，． ∴． 又∵① ，（同弧所对的圆周角相等） ， ∴． ∴② ． … 任务： (1)材料中①处缺少的条件为______，②处缺少的条件为______； (2)根据材料，应用婆罗摩笈多定理解决下面试题： 如图，已知中，，，分别交于点D，E，连接交于点P．过点P作，分别交于点M，N．若，求的长． 【答案】(1)①；② (2)1 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形斜边的性质，关键是能熟练应用圆的有关性质，掌握相应角的定义和计算是关键． （1）根据圆周角定理和等角对等边的性质可得结论； （2）应用（1）的结论，圆内接四边形的性质，可求解．． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，． ∴． 又∵，（同弧所对的圆周角相等） ， ∴． ∴． … 故答案为：①；②； （2）解：四边形是内接四边形， ， ， ，即， ， ， ， ， ． 例4（2023·河南周口·统考二模）婆罗摩笈多（Brahmagupta）是古代印度著名数学家、天文学家，他在三角形、四边形、零和负数的算术运算规则、二次方程等方面均有建树，他曾经提出了“婆罗摩笈多定理”，该定理也称为“古拉美古塔定理”，该定理的内容及部分证明过程如下： 古拉美古塔定理：如图①，四边形ABCD内接于，对角线，垂足为点M，直线，垂足为点E，并且交直线AD于点F．则． 证明：∵，，∴， ∴，，∴， ∵，∴．又∵，∴，∴．… 任务：(1)将上述证明过程补充完整；(2)古拉美古塔定理的逆命题：如图②，四边形ABCD内接于，对角线，垂足为点M，直线FM交BC于点E，交AD于点F．若，则．请证明该命题． 【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析 【分析】（1）可推出∠DMF＝∠ADM，进而得证； （2）先推出FM＝AF＝FD，进而可推出∠CBD+∠BME＝90°即可得证． 【详解】（1）在Rt△ADM中，∠ADM＝90°，∴∠DMF＝90°﹣∠AMF，∠ADM＝90°﹣∠CAD， 又∠AMF＝∠CAD，∴∠DMF＝∠ADM，∴FM＝FD，∴AF＝FD （2）在Rt△AMD中，AF＝FD，∴FM＝AF＝FD，∴∠MAD＝∠AMF，∠ADM＝∠FMD， ∵，∴∠MAD＝∠CBD，∵∠BME＝∠FMD，∴∠BME＝∠ADM， ∴∠CBD+∠BME＝∠MAD+∠ADM＝90°，∴∠BEM＝90°，∴FE⊥BC． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，圆周角定理及等腰三角形的判定和性质，解决问题的关键是熟练掌握相关图形的性质和判定． 1．（22-23九年级上·浙江温州·期中）婆罗摩芨多是公元7世纪古印度伟大的数学家，他研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把这类四边形称为“婆氏四边形”．如图，在中，四边形是“婆氏四边形”，对角线相交于点E，过点E作于点H，延长交于点F，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先证明，再根据同弧所对的圆周角相等推出，则，再证明，得到，则． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等，等腰三角形的判定，同角的余角相等，直角三角形两锐角互余，证明，是解题的关键． 2．（22-23九年级上·浙江衢州·期末）婆罗摩笈多，是位印度数学家和天文学家，他提出了著名的婆罗摩笈多定理： 婆罗摩笈多定理的已知与结论符号表示如下： 已知：如图，四边形内接于，对角线于点，于点，延长交于点．结论：． 证明：略（感兴趣的同学考后可以加以证明） 根据上述已知条件，回答下列问题： （1）若，则 ； （2）若，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据同角的余角相等得出，即可得解； （2）证明，由相似三角形的性质得出的长，再由直角三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 3．（22-23九年级下·江西南昌·期末）婆罗摩笈多是公元7世纪的古印度伟大数学家，曾研究对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把这类四边形称为“婆罗摩笈多四边形”．如图，四边形是的内接四边形，且是“婆罗摩笈多四边形”、若，则的半径为 ．    【答案】1 【分析】连接，交于点E，连接并延长交于F，连接，设的半径为r，根据圆周角定理的推论得出，然后求出，再利用勾股定理得出，同理可得，然后得出，即可求出的半径． 【详解】解：连接，交于点E，连接并延长交于F，连接，设的半径为r，      ∵是直径， ∴， 由题意知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可得， ∴， ∴，即的半径为1， 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理的推论，圆心角、弧、弦的关系，勾股定理，作出合适的辅助线，证明是解题的关键． 4．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）婆罗摩笈多是公元7世纪古印度伟大的数学家，他研究发现：当圆中两弦互相垂直时，图形中相对的几何元素间存在着特殊的关系．如图，中两条互相垂直的弦、交于点，弦和将圆分成了四个部分．其面积分别记为、、、，若点到和的距离分别为2和1，则 ． 【答案】8 【分析】本题考查了中心对称，作弦和关于O的对称弦，结合圆的对称性，将转化为中间长方形的面积即可． 【详解】解：如图，作弦和关于O的对称弦， 根据圆的对称性可知，， 所以． 又因为点O到和的距离分别为2和1， 所以， 所以． 故答案为：8． 5（25-26九年级上·浙江嘉兴·期中）【背景知识】对角线互相垂直的圆内接四边形，称为婆氏四边形．   注：婆氏（婆罗摩笈多 Brahmagupta，598-668年，印度数学家和天文学家） 【性质探究】 （1）婆氏定理：若圆内接四边形的对角线互相垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线平分对边． 即如图，四边形是的婆氏四边形，过点M作于E，延长交于F，求证：F为中点； （2）如图，在直径为d的中，弦互相垂直，垂足为M．  求证： 【性质运用】 （3）如图， 是圆中两条互相垂直的弦，交点为M，分别以为弦作直角扇形（即扇形的圆心角为），若此圆的面积为S，这四个直角扇形的面积之和为S1，是否为定值？若是，求出这个值；若否，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）是， 【分析】本题主要考查了同弧所对的圆周角，等角对等边，勾股定理，“弧，弦，圆心角”之间的关系，求扇形面积， 对于（1），先根据婆氏四边形的定义得，再根据可得 “同弧所对的圆周角”，然后根据“等角对等边”得，则此题可证； （2）作直径，连接，先根据“弧，弦之间的关系”得，再根据勾股定理得，则此题可证； 对于（3），由（2）得，再表示出，求出比值即可. 【详解】（1）证明：∵四边形是的婆氏四边形， ∴， ∴， 即. ∵， ∴， ∴， 即， ∴. ∵， ∴， ∴， 即， 则点F是的中点； （2）证明：作直径，连接， ∴. ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴； （3）解：是， 由（2）得， 则 ，， ∴为定值. 6．（2024·山西·模拟预测）阅读与思考： 阅读以下材料，并按要求完成相应任务： 婆罗摩笈多（）是古代印度著名数学家、天文学家，他在三角形、四边形、零和负数的算术运算规则、二次方程等方面均有建树，他曾经提出了“婆罗摩笈多定理”，该定理也称为“古拉美古塔定理”，该定理的内容及部分证明过程如下：古拉美古塔定理，如图，四边形内接于，对角线，垂足为点M，直线，垂足为点E，并且交直线于点F，则． ，证明：，， ， ，， ． ， ∴_____________________（同弧所对的圆周角相等）． 又∵， ． ． … 任务： (1)材料中横线部分缺少的内容为：______； (2)古拉美古塔定理的逆命题：如图，四边形内接于，对角线，垂足为点M，直线交于点E，交于点F．若，则．请证明该命题． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查圆周角定理，斜边上的中线，等角对等边： （1）根据圆周角定理，作答即可； （2）斜边上的中线，得到，得到，， 圆周角定理，得到，推出，即可得证． 【详解】（1）证明：，， ， ，， ． ， ∴（同弧所对的圆周角相等）． 又∵， ． ． 故答案为：； （2）证明：在中，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 7．（23-24九年级上·山西临汾·期末）阅读下列材料，完成相应的任务． 婆罗摩笈多（Brahmagup1a）是古印度著名数学家、天文学家，他在三角形、四边形、零和负数的算术运算规则、二次方程等方面均有建树，特别是在研究一阶和二阶不定方程方面作出了巨大贡献．他曾经提出了“婆罗摩笈多定理”，该定理也称为“布拉美古塔定理”，该定理的内容及部分证明过程如下： 布拉美古塔定理：已知：如图1，四边形内接于，对角线，垂足为，点为的中点，连结并延长，交于点，则． 证明：， ， ， （依据）， ， … (1)上述证明过程中的依据是指______． (2)请补全上述证明过程． (3)请利用布拉美古塔定理完成如下问题：如图2，三角形内接于，，点是弧的中点，，请直接写出线段的长度． 【答案】(1)等边对等角； (2)见解析； (3)． 【分析】（1）根据条件和结论即可判断出答案； （2）根据前面的证明过程得到，由等量代换得到，即可得到，结论得证； （3）由圆周角定理求出，根据等腰三角形三线合一得到，，由勾股定理求出，由等积法求出，在中，由勾股定理求出，根据布拉美古塔定理可得，则，即可证明，得到，代入已知线段即可得到答案． 【详解】（1）∵， （等边对等角）， ∴上述证明过程中的依据是指等边对等角； 故答案为：等边对等角 （2）证明：， ， ， （等边对等角）， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵， ∴是等腰三角形， ∵点是弧的中点， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 由题意得，四边形内接于，对角线，垂足为F，点G为的中点，连结并延长，交于点，根据布拉美古塔定理可得，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、圆周角定理、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关定理并进行正确推理是解题的关键． 8．（22-23九年级下·江苏泰州·阶段练习）阅读材料并完成相应任务： 婆罗摩笈多是一位印度数学家与天文学家，他的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位．其中就包括他提出的婆罗摩笈多定理（也称布拉美古塔定理）． 婆罗摩笈多定理：若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边． 下面对该定理进行证明． 已知：如图（1），四边形内接于，对角线于点P，于点M，延长交于点N． 求证：． 证明：∵，， ∴， ∴． …… 任务： (1)请完成该证明的剩余部分； (2)请利用婆罗摩笈多定理完成如下问题：如图（2），已知中，分别交于点D，E，连接交于点P．过点P作，分别交于点M，N．若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）先根据垂直的定义和三角形内角和定理证明，再由对顶角相等和圆周角定理证明，得到，同理可证，即可证明； （2）根据圆内接四边形对角互补得到，即，再由平行线的性质得到，即可利用题中定理得到，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可证， ∴； （2）解：∵四边形 为圆内接四边形， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴，即点N为的中点， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质与判定，平行线的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，证明题中所给定理是解题的关键． 9．（2022·河南三门峡·一模）阅读下列相关材料，并完成相应的任务． 婆罗摩笈多是古印度著名的数学家、天文学家，他编著了《婆罗摩修正体系》，曾经提出了“婆罗摩笈多定理”，也称“布拉美古塔定理”． 定理的内容是：“若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边”． 按图写出这个定理的已知和求证，并完成这个定理的证明过程； 已知：________________________________________________________________________________， 求证：________________________________________________________________________________， 证明：________________________________________________________________________________． 【答案】见解析 【分析】由AC⊥BD，EF⊥AB，即可得出∠BMF＝∠MAF，进而证得∠EDM＝∠EMD，得出DE＝ME，同理可证ME＝CE，即可证得结论． 【详解】解：已知：如图，在圆内接四边形ABCD中，对角线AC⊥BD于点M，过点M作AB的垂线分别交AB、DC于点F，E． 求证：点E是DC的中点． 证明：∵AC⊥BD，EF⊥AB， ∴∠BMF＋∠AMF＝90°，∠MAF＋∠AMF＝90°， ∴∠BMF＝∠MAF， ∵∠EDM＝∠MAF，∠EMD＝∠BMF， ∴∠EDM＝∠EMD， ∴DE＝ME， 同理可证ME＝CE， ∴DE＝CE， ∴点E是DC的中点． 点E是DC的中点． ∵AC⊥BD，EF⊥AB， ∴∠BMF＋∠AMF＝90°，∠MAF＋∠AMF＝90°， ∴∠BMF＝∠MAF， ∵∠EDM＝∠MAF，∠EMD＝∠BMF， ∴∠EDM＝∠EMD， ∴DE＝ME， 同理可证ME＝CE， ∴DE＝CE； 【点睛】本题考查圆的综合问题，同弧所对的圆周角相等，对顶角相等，等角的余角相等，掌握以上知识是解题的关键． 10.（2025·河南南阳·一模）阅读下列相关材料，并完成相应的任务．婆罗摩笈多是古印度著名的数学家、天文学家，他编著了《婆罗摩修正体系》，他曾经提出了“婆罗摩笈多定理”，也称“布拉美古塔定理”．定理的内容是：“若圆内接四边形的对角线互相垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线平分对边”． 任务： （1）按图（1）写出了这个定理的已知和求证，并完成这个定理的证明过程； 已知：__________________ 求证：_________________ 证明： （2）如图（2），在中，弦于M，连接分别是上的点，于于H，当M是中点时，直接写出四边形是怎样的特殊四边形：__________． 【答案】（1）见解析；（2）菱形 【分析】（1）先写出已知、求证，先证明，再证明，即可证明 （2）先证明，再证明,由布拉美古塔定理证明即可证明 【详解】（1）已知：如图，在圆内接四边形中，对角线于点M，过点M作的垂线分别交于点． 求证：点E是的中点 证明： ， ， ， ， ， 同理可证， ， ∴点E是的中点 故答案为：已知：如图，在圆内接四边形中，对角线于点M，过点M作的垂线分别交于点． 求证：点E是的中点 （2）四边形是菱形 理由：由布拉美古塔定理可知，分别是的中点， 是中点 ∴四边形是菱形 故答案为：四边形是菱形 【点睛】本题考查菱形的判定、根据题意写已知求证、灵活进行角的和差关系的转换是解题的关键 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 圆中重要模型之婆罗摩笈多定理 若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于该四边形一边且过对角线交点的直线将平分对边。这个定理有另一个名称,叫做"布拉美古塔定理"（又译"卜拉美古塔定理"）。 2 模型趣事 2 真题现模型 2 提炼模型 4 模型 婆罗摩笈多定理（古拉美古塔定理） 4 10 一、池塘边的意外灵感​ 公元 7 世纪的印度，数学家婆罗摩笈多正在恒河沿岸的寺庙修行。夏日午后，他蹲在寺庙后院的方形池塘边纳凉，看着僧人将四根细长的竹竿斜插入水中，竹竿顶端恰好连成一个四边形，水面上的交点泛起圈圈涟漪。突然，一阵风掠过，两根相对的竹竿顶端同时晃动，溅起的水珠竟沿着水面交点的连线对称落下 —— 这个偶然的画面，让婆罗摩笈多瞬间来了兴致。​ 他起身测量：池塘是边长为 10 肘尺的正方形，竹竿插入水底的端点形成四个点，水面上的四边形对角线恰好交于池中心。更奇妙的是，当他调整其中一根竹竿的角度，让水面四边形的一组对角和为 180 度时，池中心到四个竹竿顶端的距离，竟然满足 “对角线乘积等于两组对边乘积之和” 的规律！婆罗摩笈多当即在沙地上演算，发现这一规律对所有圆内接四边形都成立，这便是后来震惊数学界的婆罗摩笈多定理。​ 二、商人的 “带货” 验证​ 定理发现后，婆罗摩笈多并未急于著书立说，反而将其悄悄告诉了往来寺庙的香料商人。当时印度商人常通过河流运输货物，方形木船在水中航行时，船身四角的绳索固定点恰好构成圆内接四边形（因船体漂浮时四角到水面的距离恒定，四点共圆）。​ 有个商人尝试用定理计算绳索长度：他的木船对角线长 12 肘尺和 16 肘尺，一组对边分别为 9 肘尺和 15 肘尺，按定理计算另一组对边乘积之和应为 12×16=192，实际测量后果然分毫不差！这让商人在加固船身时省去了反复丈量的麻烦，定理也随着商队的足迹，在印度各地悄悄流传开来。​ 三、趣味模型的隐藏巧思​ 婆罗摩笈多定理的经典模型里，藏着很多生活化的巧思。比如用四个可滑动的圆环套在两根交叉的细杆上，组成圆内接四边形的活动模型：当你滑动圆环改变四边形的形状时，始终能发现 “对角线乘积 = 对边乘积之和”。​ 更有趣的是，这个模型还能解释古代印度的灌溉智慧 —— 农民在方形田地里挖对角线水渠，根据定理可精准计算水渠长度与灌溉面积的关系，让每一寸土地都能均匀浇水。婆罗摩笈多或许从未想到，自己池塘边的偶然发现，竟成了惠及万民的实用工具。 （2024·山西太原·三模）请阅读下面的材料，并解答问题． 婆罗摩笈多（Brahmagupta）约公元598年生，约660年卒，在数学、天文学方面有所成就，他编著了《婆罗摩修正体系》《肯达克迪迦》，婆罗摩笈多的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位，其中有著名的婆罗摩笈多定理．婆罗摩笈多定理：圆的内接四边形的对角线与垂直相交于M，过点M的直线与边分别相交于点F、E．则有下两个结论： 如果，那么； 如果，那么． 数学课上，赵老师带领大家对该定理的第一条进行了探究． 证明：， ，即， ， ， 在中，， …… 请解答以下问题： (1)请完成所给材料的证明过程； (2)请证明结论（2）； (3)应用：如图圆O中，半径为4，A，B，C，D为圆上的点，，连接交于点F，过点F作于E，延长交于G，则的长度为______． 婆罗摩笈多定理（古拉美古塔定理）模型 条件：如图，四边形ABCD内接于，对角线，垂足为点M，直线，垂足为点E，并且交直线AD于点F．结论：． 证明：∵，，∴， ∴，， ∴，∵，∴． 又∵，∴，∴． 在Rt△ADM中，∠ADM＝90°，∴∠DMF＝90°﹣∠AMF，∠ADM＝90°﹣∠CAD， 又∠AMF＝∠CAD，∴∠DMF＝∠ADM，∴FM＝FD，∴AF＝FD 2）婆罗摩笈多定理（古拉美古塔定理）的逆定理 条件：如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD，垂足为M，F为AD上一点，直线FM交BC于点E，FA=FD．结论：FE⊥BC． 证明：∵AF=FD，AC⊥BD，∴∠AMD=90°，∴AF=MF=FD，∴∠FMD=∠ADM， ∵∠DAM+∠ADM=90°，∴∠FMD+∠DAM=90°， ∵∠FMD=∠BME，∠DAM=∠DBC，∴∠DBC+∠BME=90°，∴∠MEB=90°，∴FE⊥BC． 模型 婆罗摩笈多定理（古拉美古塔定理） 例1（24-25九年级上·山西长治·期末）阅读与思考 阅读下列材料，完成相应的任务． 婆罗摩笈多（Brahmagupta）是古印度著名的数学家、天文学家，他在三角形、四边形、零和负数的算数运算法则、二次方程等方面均有建树，特别在研究一阶和二阶不定方程方面作出了巨大贡献，他曾提出了“婆罗摩笈多定理”，该定理也称为“布拉美古塔定理”，该定理的内容及部分证明过程如下． 婆罗摩笈多定理：如图，已知四边形内接于，对角线，，相交于点M，如果直线，垂足为E，并且交边于点F，那么． 证明：， ，． ． 又_______，， ． … 任务： (1)材料中横线部分缺少的条件为_______________． (2)补全后面的证明过程． 例2（2023·江苏·九年级假期作业）阅读材料并完成相应任务： 婆罗摩笈多是一位印度数学家与天文学家，他的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位．其中就包括他提出的婆罗摩笈多定理（也称布拉美古塔定理）． 婆罗摩笈多定理：若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边． 下面对该定理进行证明． 已知：如图（1），四边形内接于，对角线于点， 于点，延长交于点． 求证：． 证明：，， ，， ．…… 任务：(1)请完成该证明的剩余部分；(2)请利用婆罗摩笈多定理完成如下问题：如图（2），已知中，，，，分别交于点，，连接，交于点．过点作，分别交，于点，．若，求的长． 例3（2024·河南新乡·模拟预测）阅读下列材料，完成相应的任务． 婆罗摩笈多定理： 如图，四边形内接于，对角线，垂足为M，如果直线，垂足为E，并且交边于点F，那么． 证明：∵，， ∴，． ∴． 又∵① ，（同弧所对的圆周角相等） ， ∴． ∴② ． … 任务： (1)材料中①处缺少的条件为______，②处缺少的条件为______； (2)根据材料，应用婆罗摩笈多定理解决下面试题： 如图，已知中，，，分别交于点D，E，连接交于点P．过点P作，分别交于点M，N．若，求的长． 例4（2023·河南周口·统考二模）婆罗摩笈多（Brahmagupta）是古代印度著名数学家、天文学家，他在三角形、四边形、零和负数的算术运算规则、二次方程等方面均有建树，他曾经提出了“婆罗摩笈多定理”，该定理也称为“古拉美古塔定理”，该定理的内容及部分证明过程如下： 古拉美古塔定理：如图①，四边形ABCD内接于，对角线，垂足为点M，直线，垂足为点E，并且交直线AD于点F．则． 证明：∵，，∴， ∴，，∴， ∵，∴．又∵，∴，∴．… 任务：(1)将上述证明过程补充完整；(2)古拉美古塔定理的逆命题：如图②，四边形ABCD内接于，对角线，垂足为点M，直线FM交BC于点E，交AD于点F．若，则．请证明该命题． 1．（22-23九年级上·浙江温州·期中）婆罗摩芨多是公元7世纪古印度伟大的数学家，他研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把这类四边形称为“婆氏四边形”．如图，在中，四边形是“婆氏四边形”，对角线相交于点E，过点E作于点H，延长交于点F，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·浙江衢州·期末）婆罗摩笈多，是位印度数学家和天文学家，他提出了著名的婆罗摩笈多定理： 婆罗摩笈多定理的已知与结论符号表示如下： 已知：如图，四边形内接于，对角线于点，于点，延长交于点．结论：． 证明：略（感兴趣的同学考后可以加以证明） 根据上述已知条件，回答下列问题： （1）若，则 ； （2）若，，，则的长为 ． 3．（22-23九年级下·江西南昌·期末）婆罗摩笈多是公元7世纪的古印度伟大数学家，曾研究对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把这类四边形称为“婆罗摩笈多四边形”．如图，四边形是的内接四边形，且是“婆罗摩笈多四边形”、若，则的半径为 ．    4．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）婆罗摩笈多是公元7世纪古印度伟大的数学家，他研究发现：当圆中两弦互相垂直时，图形中相对的几何元素间存在着特殊的关系．如图，中两条互相垂直的弦、交于点，弦和将圆分成了四个部分．其面积分别记为、、、，若点到和的距离分别为2和1，则 ． 5（25-26九年级上·浙江嘉兴·期中）【背景知识】对角线互相垂直的圆内接四边形，称为婆氏四边形．   注：婆氏（婆罗摩笈多 Brahmagupta，598-668年，印度数学家和天文学家） 【性质探究】 （1）婆氏定理：若圆内接四边形的对角线互相垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线平分对边． 即如图，四边形是的婆氏四边形，过点M作于E，延长交于F，求证：F为中点； （2）如图，在直径为d的中，弦互相垂直，垂足为M．  求证： 【性质运用】 （3）如图， 是圆中两条互相垂直的弦，交点为M，分别以为弦作直角扇形（即扇形的圆心角为），若此圆的面积为S，这四个直角扇形的面积之和为S1，是否为定值？若是，求出这个值；若否，请说明理由． 6．（2024·山西·模拟预测）阅读与思考： 阅读以下材料，并按要求完成相应任务： 婆罗摩笈多（）是古代印度著名数学家、天文学家，他在三角形、四边形、零和负数的算术运算规则、二次方程等方面均有建树，他曾经提出了“婆罗摩笈多定理”，该定理也称为“古拉美古塔定理”，该定理的内容及部分证明过程如下：古拉美古塔定理，如图，四边形内接于，对角线，垂足为点M，直线，垂足为点E，并且交直线于点F，则． ，证明：，， ， ，， ． ， ∴_____________________（同弧所对的圆周角相等）． 又∵， ． ． … 任务： (1)材料中横线部分缺少的内容为：______； (2)古拉美古塔定理的逆命题：如图，四边形内接于，对角线，垂足为点M，直线交于点E，交于点F．若，则．请证明该命题． 7．（23-24九年级上·山西临汾·期末）阅读下列材料，完成相应的任务． 婆罗摩笈多（Brahmagup1a）是古印度著名数学家、天文学家，他在三角形、四边形、零和负数的算术运算规则、二次方程等方面均有建树，特别是在研究一阶和二阶不定方程方面作出了巨大贡献．他曾经提出了“婆罗摩笈多定理”，该定理也称为“布拉美古塔定理”，该定理的内容及部分证明过程如下： 布拉美古塔定理：已知：如图1，四边形内接于，对角线，垂足为，点为的中点，连结并延长，交于点，则． 证明：， ， ， （依据）， ， … (1)上述证明过程中的依据是指______． (2)请补全上述证明过程． (3)请利用布拉美古塔定理完成如下问题：如图2，三角形内接于，，点是弧的中点，，请直接写出线段的长度． 8．（22-23九年级下·江苏泰州·阶段练习）阅读材料并完成相应任务： 婆罗摩笈多是一位印度数学家与天文学家，他的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位．其中就包括他提出的婆罗摩笈多定理（也称布拉美古塔定理）． 婆罗摩笈多定理：若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边． 下面对该定理进行证明． 已知：如图（1），四边形内接于，对角线于点P，于点M，延长交于点N． 求证：． 证明：∵，， ∴， ∴． …… 任务： (1)请完成该证明的剩余部分； (2)请利用婆罗摩笈多定理完成如下问题：如图（2），已知中，分别交于点D，E，连接交于点P．过点P作，分别交于点M，N．若，求的长． 9．（2022·河南三门峡·一模）阅读下列相关材料，并完成相应的任务． 婆罗摩笈多是古印度著名的数学家、天文学家，他编著了《婆罗摩修正体系》，曾经提出了“婆罗摩笈多定理”，也称“布拉美古塔定理”． 定理的内容是：“若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边”． 按图写出这个定理的已知和求证，并完成这个定理的证明过程； 已知：________________________________________________________________________________， 求证：________________________________________________________________________________， 证明：________________________________________________________________________________． 10.（2025·河南南阳·一模）阅读下列相关材料，并完成相应的任务．婆罗摩笈多是古印度著名的数学家、天文学家，他编著了《婆罗摩修正体系》，他曾经提出了“婆罗摩笈多定理”，也称“布拉美古塔定理”．定理的内容是：“若圆内接四边形的对角线互相垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线平分对边”． 任务： （1）按图（1）写出了这个定理的已知和求证，并完成这个定理的证明过程； 已知：__________________ 求证：_________________ 证明： （2）如图（2），在中，弦于M，连接分别是上的点，于于H，当M是中点时，直接写出四边形是怎样的特殊四边形：__________． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $