专题03 圆中的重要模型之圆中的全等三角形模型（几何模型讲义）数学沪教版五四制九年级下册

专题03 圆中的重要模型之圆中的全等三角形模型 圆中常见全等模型：切线长模型、燕尾模型、蝴蝶模型、手拉手（旋转）模型、对角互补模型等。 知识储备：垂径定理及推理、圆周角、圆心角、弧、弦、弦心距的关系等。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 5 模型运用 6 模型1、切线长模型 6 模型2、燕尾模型 8 模型3、蝴蝶模型 11 模型4、手拉手（旋转）模型 13 模型5、对角互补模型 18 22 圆中的全等模型在几何学发展史中源远流长，其历史脉络可追溯至古代文明，并在不同时期得到深化与扩展。首先古埃及工程师利用圆的性质进行土地测量与金字塔建造，通过经验发现全等三角形的拼接可形成稳定结构；然后欧几里得‌（约公元前300年）在《几何原本》中首次系统化几何理论：提出全等三角形公设（如SSS判定法），为圆中全等模型奠定逻辑基础；接着阿基米德‌（公元前287–前212年）在著作中记录弦切角、垂径性质等命题，隐含全等证明思想；最后在近现代数学教育中形成了一些重要的全等模型。圆的全等模型从经验实践到公理体系，历经文明交融与数学革命，至今仍是连接古典几何与现代科技的纽带。 （24-25·广东九年级期中）如图，已知，，分别切于点A，B，D，若，则的周长是 ．若，则 ．    【答案】 30 【详解】解：连接、、，∵，，分别切于点A，B，D， ∴，，， ∴ ∵、分别与相切于点A、B，∴， 又∵，∴， ∵与相切于点D，∴， 在和中，，∴，∴， 在和中，，∴，∴， ∴，故答案为：30；．    （24-25九年级上·江苏泰州·期中）欧几里得，古希腊数学家，被称为“几何之父”，他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛的认为是历史上最成功的教科书．他在第Ⅲ卷中提出这样一个命题：“由已知点作直线切于已知圆”．如图，设是已知点，小圆为已知圆．具体作法是：以为圆心，为半径作大圆，连接交小圆于点，过作，交大圆于点，连接，交小圆于点，连接，则是小圆的切线．(1)为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明，如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”的过程； 已知：如图，点，和点，分别在以为圆心的同心圆上，______．求证：______．证明：______ (2)如图1，长不变，改变小圆的半径，延长交大圆于点，延长线交大圆于点，当经过圆心时，求的值；(3)在（2）中，若改变小圆的半径时，与小圆相切，直接写出的度数．       【答案】(1)证明见解析(2)(3) 【详解】（1）已知：如图，点A，C和点B，D分别在以O为圆心的同心圆上， 求证：是小圆O的切线 证明：∵点A，C和点B，D分别在以O为圆心的同心圆上，∴． 在和中，∴，∴， ∵，∴，∴，∴是小圆O的切线． （2）由（1）得：，，， ∴，，∴， ∵，∴，∴，∴AO==2∴=． （3）如图，∵，，都为小圆O的切线，记与小圆O的切点为H，    ∴，， ∵，，， ∴，，∴，而， ∴∴． （24-25九年级上·江苏宿迁·期中）（1）如图①，点A、B、P均在上，，则锐角的大小为 度． （2）【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，是等边的外接圆，点在上（点不与点、重合），连结、、．求证：．小明发现，延长至点，使，连结，通过证明，可推得是等边三角形，进而得证．下面是小明的部分证明过程： 证明：延长至点E，使，连接 ∵四边形是的内接四边形，∴，∵，∴， ∵是等边三角形，∴，∴．请你补全余下的证明过程． （3）【应用】如图③，已知四边形内接于圆O，，，连接、，请直接写出线段之间的数量关系 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【详解】（1）解：∵点，，均在上，，∴，故答案为：； （2）证明：延长至点，使，连接，       ∵四边形是的内接四边形，∴，∵，∴， ∵是等边三角形，∴，∴，∴， ∵在等边中，，∴，∴是等边三角形，∴， 又∵，∴； （3）解：如图，延长至点，使，连接，由（2）知，， 在和中，，，，， ，，由圆周角定理得：，，， ∵，∴，∴ 1-1切线长模型1 条件：如图1，P为外一点，PA，PB是的切线，切点分别为A，B。 结论：①△OAP≌△OBP；②∠AOB+∠APB=180°；③OP垂直平分AB； 图1 图2 图3 图4 1-2切线长模型2 条件：如图2，AD，CD，BC是的切线，切点分别为A，E，B。 结论：①△AOD≌△EOD；②△BOC≌△EOC；③AD+BC=DC；④∠DOC=90°； 2. 燕尾模型 条件：如图3，OA，OB是的半径，OC=OD。 结论：①△AOC≌△BOD；②△PAD≌△PBC； 3. 蝴蝶模型 条件：如图4，OA，OE是的半径，AD⊥OE，EB⊥OA。结论：①△AOD≌△EOB；②△ABD≌△EDB； 4. 手拉手（旋转）模型 图5 图6 条件：如图5，是△ABD的外接圆，且AD=BD，∠ADB=，C为圆O上一点。 结论：①△ADC≌△BDC’；②△DCC’是等腰三角形； 特别地，当=60°时，CD=CA+CB； 当=90°时，CD=CA+CB； 5. 对角互补模型 条件：如图6，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB。结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC。 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∴∠CDO+∠CEO＝180°， ∵∠CDO+∠CDM＝180°，∴∠MDC＝∠CEO，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE， ∵OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM=OC，NC=MC=OC。 又∵OE+OD＝ON+NE+OM-DM，∴OE+OD=ON+OM=OC， 模型1、切线长模型 例1（25-26九年级上·江苏泰州·月考）如图，在中，，是的内切圆，三个切点分别为，，，若，，则的半径是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查切线长定理、三角形的内切圆及勾股定理，解题的关键是理解切线长定理、三角形的内切圆的性质． 根据切线长定理得到，，，代入求解即可得到答案． 【详解】解：连接，， 设的半径为， 在四边形中，， 四边形为矩形， 又因为， 四边形为正方形， 则， 由切线长定理易知：，， ，， 在中，， ， 解得：，（负值舍去）， 故选：A． 例2（25-26九年级上·河南周口·月考）如图，是的切线，切点分别为A、B，若，，则的半径为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了切线长定理，直角三角形性质，勾股定理，根据切线长定理推出，，再结合直角三角形性质和勾股定理求解，即可解题． 【详解】解：是的切线，切点分别为A、B， ， ， ， ， ， ， ， 解得（负值舍去）； 故选：A． 例3（25-26九年级上·江苏徐州·月考）如图，半径为1的与的边分别相切于点D、E、F，若，，，则面积为 【答案】9 【分析】本题考查切线长定理，三角形内切圆，掌握知识点是解题的关键． 连接， 推导出，，再根据，代入计算即可． 【详解】解：连接，如图， ∵半径为1的与的边分别相切于点D、E、F，若，，， ∴ ， ， ∴， ∴ ． 故答案为：9． 例4（25-26九年级上·天津宝坻·月考）如图，的直径，和是的两条切线，与的相切于点，并与分别相交于两点． （1）的大小为 度； （2）设，则关于的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查切线的性质，切线长定理，勾股定理，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是根据题意作出辅助线，再找出线段间的关系． （1）连接，则，证明，，再证明，可得，进而可得结论； （2）过点D作于点F，证明四边形为矩形，则，，由切线长定理得，，；则；由勾股定理得，则整理得，即可求出答案． 【详解】解：（1）连接，则， 又和是的两条切线，是的直径， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）如图，过点D作于点F， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵分别是的切线， ∴，； ∴， 由勾股定理得， 即， 整理得， ∴， 故答案为：（1）（2）． 例5（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，，O是上一点，以点O为圆心，的长为半径的圆与相切于点D，与相交于点E，且．求： (1)的半径． (2)的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了圆的切线的判定与性质定理、切线长定理、勾股定理，掌握方程思想是解题的关键． （1）连接，由点为的切点，可得，设的半径为，在中，根据勾股定理即可求得半径． （2）利用切线的判定与切线长定理可得，设，则，由（1）得，在中，再利用勾股定理即可得出，即可求出的长． 【详解】（1）解：如图，连接． 与相切于点D， ．设的半径为． 在中，，解得， 的半径为． （2）解：由题意，得是的切线． 是的切线，． 设，则． 由（1），得． 在中，，解得， 的长为． 模型2、燕尾模型 例1（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，、为弦，为直径，于E，于F，与相交于G．已知的半径为5，，则的长度为（　　） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查了利用垂径定理求值，用勾股定理解三角形，相似三角形的判定与性质综合等知识点，解题关键是熟练掌握和应用相关的性质定理． 先利用垂径定理求得，再利用勾股定理求得，进而求得AC，然后证得三角形相似即可求得和，最后证得，即可求得，利用即可求得． 【详解】解：∵，， ∴， 设， ∵的半径为5， ∴，， 在中，， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴， 在中，， ∵于F， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 故选：D． 例2（25-26九年级上·青海西宁·期中）如图，AB是的直径，C，D是上点，且，分别与，相交于点，，则下列结论：①；②平分；③；④；⑤，其中正确的结论有 ． 【答案】①②④⑤ 【分析】本题主要考查圆周角定理及圆的有关性质，掌握圆中有关的线段、角的相等是解题的关键，特别注意垂径定理的应用． 是的直径，可证①；，，，可证②；不可能是的垂直平分线，可得，可证③；是的直径，，，可证④；由④有，，点为中点，是的中位线，可证⑤，由此即可求解． 【详解】解：①∵是的直径， ∴， ∴，故①正确； ②∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴平分，故②正确； ③∵在中，是外角， ， 在中，是外角，， 又∵， ， ∴不可能是的垂直平分线， ∴， ∴ ∴，故③不正确； ④∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点为圆心， ∴，故④正确； ⑤由④有，， ∵点为中点， ∴是的中位线， ∴，故⑤正确； 综上可知：其中一定成立的有①②④⑤， 故答案为：①②④⑤． 例3（25-26九年级上·重庆·期中）如图， 是 的直径，弦 ，连接 ， ，若 ，则 ． 【答案】/26度 【分析】题目主要考查垂径定理及圆周角定理，连接，根据题意得出，再由圆周角定理求解即可． 【详解】解：连接， ∵ 是 的直径，弦 ， ∴， ∴， 故答案为：． 例4（24-25九年级下·广东东莞·自主招生）如图，为的两条弦，于E，于H，已知，，则的半径为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．作直径，连接，，由此可得则，再由可证得，最后再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，作直径，连接，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 的半径为． 故答案为：． 例5（25-26九年级上·河南漯河·月考）如图，是的直径，平分分别与相交于点． (1)求证； (2)若，求的直径． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】主要考查角平分线的定义以及圆周角定理(同圆中相等的圆周角所对的弧相等)，等弧的性质、垂径定理，还结合勾股定理与方程思想解决线段长度计算问题，同时体现了圆性质与直角三角形知识的综合应用． （）利用角平分线的定义得到，再依据圆周角定理中“相等的圆周角所对的弧相等”，即可证明； （）由等弧推出垂直平分，结合已知条件求出的长度，设圆的半径为表示出，再在中利用勾股定理列方程求解半径，进而得到圆的直径． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵对应，对应， ∴． （2）解：∵， ∴，且， ∵， ∴， 设的半径为，则， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理：， 代入得：， 解得：， ∴的直径． 模型3、蝴蝶模型 例1（24-25九年级上·河北石家庄·期末）如图，是的直径，是弦（不是直径），于点E，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定，掌握相关知识点是解题的关键． 根据垂径定理，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定对各选项依次判断，即可求解． 【详解】解：A、是的直径，，，故选项A错误，不符合题目要求； B、由图形可知，，，，故选项B错误，不符合题目要求； C、由图形可知，故选项C错误，不符合题目要求； D、，，故选项D正确，符合题目要求． 故选：D． 例2（25-26九年级上·安徽淮南·期末）如图，的半径为，为弦，为的中点，若，则弦的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理及推论，圆周角定理，直角三角形的性质，设与交于点，由为的中点，为半径，得，所以，，又，然后通过直角三角形性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，设与交于点， ∵为的中点，为半径， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：． 例3（25-26九年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，是的直径，，，E是弧边上一动点，连接 交于点D，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆周角所对的弦是直径，垂径定理，相似三角形的判定与性质等知识点，解决此题的关键是要找到何时取最大． 作于，证得，得到，将的最大值转化成求的最大值，当点为弧中点时，最大，进而即可求解． 【详解】解：作于， ∵是的直径， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴当点为弧中点时，最大，即 的值最大； 此时为中点，故，此时三点在一条直线上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 例4（25-26九年级上·山东滨州·期中）如图，中，弦的长为，点在上，，．所在的平面内有一点，若，则点与的位置关系是点在 ． 【答案】外 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，点与圆的位置关系，锐角三角函数，掌握圆的相关性质是解题关键．由垂径定理可得，由圆周角定理可得，再结合特殊角的正弦值，求出的半径，即可得到答案． 【详解】解：如图，令与的交点为， 为半径，为弦，且， ， ， 在中，，，， ， ，即的半径为4， ， 点在外， 故答案为：外． 例5（25-26九年级上·江西新余·期中）如图，在中，弦垂直平分半径． (1)求的度数； (2)若弦的长为，求的直径． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了等边三角形的判定，利用垂径定理求值，用勾股定理解三角形等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）先根据垂径定理得出，，从而可得，于是就有，再结合，可判定是等边三角形，从而可得； （2）先根据垂径定理得出，再利用勾股定理得到，求得即可得出圆的直径为． 【详解】（1）解：∵弦垂直平分半径． ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴； （2）设的半径为r， ∵垂直平分半径，， ∴， 在中，， 即， 解得：， 所以圆的直径为． 模型4、手拉手（旋转）模型 例1（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，是的内接三角形，，，将绕A点顺时针方向旋转，旋转后的三角形为（点B与点对应，点C与点对应），若点落在上，则 ． 【答案】/27度 【分析】本题考查了旋转性质，圆内接四边形，等边对等角，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先作图，再运用三角形内角和性质，得，结合四边形是的内接四边形，得，再根据旋转的性质，得，，则，运用三角形内角性质列式计算得，再把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】解：依题意，点落在⊙上，连接如图所示： ∵，， ∴， ∵点落在⊙上，是的内接三角形， ∴四边形是的内接四边形， ∴， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， 则， ∴， 故答案为：． 例2（2025·广东中山·三模）如图，为圆的内接三角形，，将绕A点依顺时针方向旋转，B点恰好落在圆上，此时旋转角大小为 ° 【答案】54 【分析】本题考查了旋转性质，圆内接四边形对角互补，三角形内角和性质，等边对等角，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先运用三角形内角和性质得，再根据圆内接四边形对角互补，得，因为旋转得，则，即可作答． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，， ∴， ∵为圆的内接三角形，将绕A点依顺时针方向旋转，B点恰好落在圆上， ∴， ∴， ∴， 即旋转角大小为， 故答案为： 例3（24-25九年级上·福建厦门·期中）下面是小慧同学的一篇数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务． 旋转是几何图形运动中的一种重要变换，经过旋转，往往能使图形的几何性质清晰显现．题设和结论中的元素由分散变为集中，相互之间的关系清楚明了，从而将求解问题灵活转化．在数学学习中注意归纳总结一些数学方法，对积累解题经验，提高解题能力有重要的促进作用． 【探究发现】 问题1：如图1，点是等边内的一点，，，．你能求出的度数吗？ 探究思路：如图2，将绕点逆时针旋转，得到，连接，可得是等边三角形，根据勾股定理逆定理可得是直角三角形，从而可求线段，，； 【类比探究】 问题2：如图3，若点是正方形内一点，，，，则可求； 【深入探究】 问题3：如图4，是的外接圆，平分交于点，探究线段，，的之间的数量关系． 探究思路：如图5，连接，，则四边形是圆的内接四边形．由于圆内接四边形对角互补，并且由平分易得，所以我们也可以利用旋转变换解决这个问题．具体解答过程如下：任务： (1)填空：图2中线段______； (2)如图3，若点是正方形内一点，，，，则______； (3)请写出问题3的探究结论及完整的证明过程； 【答案】(1)12 (2) (3)，证明见解析 【分析】（1）由旋转的性质可得，，，可证是等边三角形，可得； （2）将绕点B按顺时针方向旋转，使与重合；则，，，根据勾股定理得，再由，可知，可求，即可求； （3）延长到点E，使得，连接．构造，即可得出，再证是等腰直角三角形，即可得出和的关系，即的关系． 【详解】（1）解：如图2， ∵将绕点B逆时针旋转，得到， ∴，，， 是等边三角形， ； （2）解：将绕点B按顺时针方向旋转，使与重合，连接， 则，， 由勾股定理得：； ，， ， ， 又， ， ； （3）解：，理由如下： 延长到点E，使得，连接．如图： ∵四边形是圆的内接四边形， ， ∵， ， 是角平分线，, ，是直径， ， ，，， 是直径， ， ， ，即． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了圆内接四边形性质，全等三角形的性质和判定，正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理与逆定理，解题的关键是熟练掌握旋转的性质． 例4（2025·江苏泰州·三模）已知，如图，等边，点D是平面内一点（点D不在直线上），连接、．将绕点A按逆时针方向旋转得到，点D的对应点是点E． 设直线与直线交于点G． (1)如图1，判断线段与线段的数量关系，并说明理由； (2)当点D是线段的中点，根据题意，在图2中画出图形，求的度数； (3)探索与的数量关系，直接写出结论． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3)或 【分析】（1）根据旋转的性质得到，即可得到； （2）根据题意画出图形，证明和是等边三角形，再利用对角线相互平分且相等的四边形是矩形即可得到结论； （3）分两种情况，画出图形，利用圆内接四边形的判定和性质求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下， ∵将绕点A按逆时针方向旋转得到， ∴， ∴； （2）解：画出图形，如图， 由旋转的性质知，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵点D是线段的中点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； （3）解：如图， 是等边三角形， ∴，， ∵将绕点A按逆时针方向旋转得到， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是圆内接四边形， ∴； 如图，同理和是等边三角形， ∴， ∴四边形是圆内接四边形， ∴， 综上，或． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的判定和性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 例5（24-25九年级上·江西宜春·期末）图形的旋转是全等变换重要的变换方式之一，利用图形旋转中的对应线段长度相等，对应角大小相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变等性质，可以将一般图形转化成特殊图形，从而达到解决问题的目的． (1)初步感知：如图1，在四边形中，，，垂足为，且，，求四边形的面积．可作如下思考：将绕点逆时针旋转，得到，可以证到，即点落在的延长线上，进一步得出四边形的形状为 ，最后得出四边形的面积为 ； (2)延伸探究：如图2，在四边形中，，，，求四边形的面积； (3)拓展应用：如图3，四边形是的内接四边形，，，求四边形的面积． 【答案】(1)正方形， (2)四边形的面积为 (3) 【分析】本题考查了四边形的综合问题，掌握正方形的判定与性质、三角形全等的判定及性质运用、等边三角形的判定与性质、圆的内接四边形 性质及旋转的性质是解题的关键． （1）先得到B、C、F三点共线，然后得到，进而得到四边形为正方形，求解即可； （2）过点作交延长线于点， 证明， 从而得到四边形为的面积，根据即可求解； （3）将绕点逆时针旋转，交延长线于点， 则， 证明， 进而得为等边三角形， 根据求解即可. 【详解】（1）解：如图， 由旋转可得，，， ∴， ∴， ∴B、C、F三点共线， 又∵， ∴， ∴四边形是正方形， ， ∴四边形的面积为正方形的面积， ∴四边形的面积为：， 故答案为：正方形，； （2）解：如图， 过点作交延长线于点，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ， ∴四边形的面积为的面积， ∵， ∴， ， ∴四边形的面积为； （3）如图， 将绕点逆时针旋转， 交延长线于点， 则， ∵，， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， 在和中， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ∴四边形的面积为的面积， ∴， 过点D作于点H， ∴， ∴， ， ∴四边形的面积为． 模型5.对角互补模型 例1（天津市西青区2025-2026学年九年级上学期期末考试数学试题）如图，四边形内接于，，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，弦、弧、圆心角的关系．通过弦、弧、圆心角的关系可得，所以，由四边形内接于，则，然后代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴， 故选：C． 例2（25-26九年级上·江苏泰州·月考）如图，在的内接四边形中，，，点E在上，则 ． 【答案】125 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．等腰三角形的性质和三角形内角和定理．先根据圆内接四边形的性质计算出，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出，然后再根据圆内接四边形的性质可得的度数． 【详解】解：连接， 在的内接四边形中，， ， ， ， ， ， ∵四边形为圆的内接四边形， ， ． 故答案为：125． 例3（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在中，弦，点在上． (1)如图①，若是的直径，求的度数； (2)如图②，在弧上取一点，若，请用含的式子表示的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查圆周角定理，圆内接四边形的性质以及等腰三角形的性质，正确运用相关知识是解答本题的关键． （1）根据圆周角的性质和圆内接四边形性质即可求解； （2）连接，根据等弦对等弧，等弧对等角并结合圆内接四边形性质即可得到和的关系． 【详解】（1）解：∵是的直径， ， 又， 是等腰直角三角形， ， ∵四边形是的内接四边形， ； （2）解：如图，连接， ， ， ， ， ， ∵四边形是的内接四边形， ， ， ． 例4（24-25九年级上·河南洛阳·期末）我们定义：有一组对角相等的四边形叫做“等对角四边形”． (1)如图1，“等对角四边形”内接于，，则 ， ； (2)如图2，“等对角四边形”内接于，且，，点E在的延长线上，连接，，，，请证明：四边形是“等对角四边形”； (3)如图3，“等对角四边形”内接于，且其一个内角为，，，若，求的长． 【答案】(1)90，120 (2)见解析 (3)或 【分析】（1）根据圆内接四边形对角互补，并结合“等对角四边形”的定义计算即可得解； （2）由“等对角四边形”的定义可得，，，再由等腰三角形的性质并结合圆周角定理得出，即可得证； （3）连接，分四种情况：当时，则；当时；当时；当时；分别结合“等对角四边形”的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵“等对角四边形”内接于，， ∴，，， ∴， 故答案为：90，120； （2）证明：∵“等对角四边形”内接于， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是“等对角四边形”； （3）解：如图1，连接，当时，则， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是“等对角四边形”，是直径， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图2，当时，此时，， ∴， ∴， ∴四边形是“等对角四边形”， 作，交于E， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设，则，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，则，，， ∴四边形不是“等对角四边形”， 当时，则， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形不是“等对角四边形”， 综上所述：或． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、勾股定理、“等对角四边形”的定义， 掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 例5（21-22九年级上·江苏扬州·期中）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形． 理解：（1）如图1，点A，B，C在上，的平分线交于点D，连接． 求证：四边形是等补四边形． 探究：（2）如图2，在等补四边形中，，连接，是否平分？请说明理由． 运用：（3）如图3，在等补四边形中，，其外角的平分线交的延长线于点E，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）平分，见解析；（3） 【分析】（1）根据圆内接四边形的性质可得，再由弧，弦，圆心角的关系，可得，即可解答； （2）过点B分别作于点E，垂直的延长线于点F，则，结合等补四边形的定义可证明，可得到，即可解答； （3）连接，证明，即可解答． 【详解】解：（1）证明：∵四边形为圆内接四边形， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是等补四边形； （2）平分，理由如下： 如图：过点B分别作于点E，垂直的延长线于点F，则， ∵四边形是等补四边形， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的平分线，即平分； （3）连接，如图： ∵四边形是等补四边形， ∴， 又， ∴， ∵平分， ∴， 由（2）知，平分， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：（负值舍去）． 【点睛】本题考查了新定义等补四边形，圆的有关性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，相似三角形的判定与性质等，解题关键是要能够通过自主学习来进行探究，运用等． 1．（25-26九年级上·山东菏泽·期中）如图，中，，点在上，与相切于点，交于点，连接，，下列结论：①；②；③，其中正确的结论是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查了切线的性质，相似三角形的性质与判定，直径所对的圆周角是直角；连接，根据切线的性质结合已知证明得出，得出，根据得出即可得出，从而判断①；根据是直径，得出，即可证明，根据相似三角形的性质即可判定③，假设成立，得出，即可判断②，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵与相切于点， ∴， 又∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴，故①正确； ∵是直径， ∴ ∴ ∴，即，故③正确， ∵， ∴， ∴， 若 ∴ ∴ ∴ ∴，而题干无此条件， ∴不一定成立，故②错误， 故选：B． 2．（2025九年级·全国·专题练习）如图，PA，PB是的两条切线，A，B为切点，点C在上，连接OP．若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆的切线性质，掌握切线长定理是解题关键． 连接，利用切线长定理得，，利用圆心角和圆周角的关系得，可求． 【详解】解：连接，如图： ∵是的两条切线， ∴平分， 即，， ∵所对的为同弧， ∴， ∴， ∴， 故选：B ． 3．（2025九年级·全国·专题练习）将直尺、含角的直角三角板和光盘按如图所示的方式摆放，A为三角板的角与直尺的交点，B为光盘与直尺的唯一交点，三角板的斜边与光盘相切．若，则光盘的直径是（    ） A． B． C．6 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了圆的切线性质，熟练掌握切线长定理是解题关键． 设光盘的圆心为点O，直角三角板与光盘的切点为C，连接，根据题意知与分别相切于点，则平分，所以，再利用正切函数，求长即半径，即可解答． 【详解】解：如图，设光盘的圆心为点O，直角三角板与光盘的切点为，连接． 为三角板的角与直尺的交点， ． ，分别为的切点， ，． ，， 光盘的直径是． 故选：A ． 4．（25-26九年级上·重庆·月考）如图，在中，弦与直径相交于点，点为的中点，连接，点在上，且，连接，交于点．若，则的角度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查垂径定理，圆周角，三角形的内角和，对顶角相等，正确作出辅助线是解题的关键． 连接，先证明，，得到，，则，继而推导出，可得到，即可解答． 【详解】解：连接，如图 ∵为直径，点为的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选C． 5．（2025·四川巴中·模拟预测）如图，点A，B，C，D都在半径为的上，，则弦的长为（   ） A．3 B． C． D．9 【答案】A 【分析】本题考查的是垂径定理、圆周角定理，解直角三角形，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键． 根据垂径定理得到，根据圆周角定理求出，根据正弦的定义求出，计算即可． 【详解】解：如图，设与交于点H， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 6．（25-26九年级上·全国·周测）如图，四边形ABCD内接于，，连接BD．若，，则的周长是（    ）    A． B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了圆内接四边形，等边三角形的性质，掌握相关性质是解题的关键． 根据四边形内接于得出，再证明是等边三角形，可求周长． 【详解】解：∵四边形内接于 是等边三角形， ∴的周长 故选：C． 7．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，四边形是的内接四边形，，，，将绕点旋转至，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据得，进而得，由旋转得，则，作，根据等腰三角形的性质及解直角三角形得，进而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵将绕点旋转至， ∴， ∴， ∴， 作， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】此题考查了圆周角定理、旋转的性质、等腰三角形的性质，解直角三角形等知识，添加适当的辅助线是解答此题的关键． 8．（2024·湖南·二模）如图，四边形内接于，点为弧上任意一点（点不与点D，C重合），连接交于点．若，则的度数可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，解题关键是熟练掌握圆内接四边形对角互补．由圆内接四边形的性质得，再由为的外角求解． 【详解】解：四边形内接于， ， ， ， 为的外角， ，只有D选项满足题意； 故选：D． 9．（2023·湖北武汉·模拟预测）如图，中，，，，经过点B且半径为5的与交于D，与的延长线交于E，则线段的长为（　　） A．6.4 B．7 C．7.2 D．8 【答案】D 【分析】本题主要考查了解直角三角形，圆周角定理，圆内接四边形的性质，勾股定理等知识，连接并延长交于，连接，由圆周角定理可得，由勾股定理可得，求出，再由圆内接四边形的性质可得，即可得出，从而即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接并延长交于，连接， ∵是直径， ∴， 在中，，，， ∴， ∴， 四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ， 故选：D． 10．（2025·陕西汉中·一模）如图，四边形内接于，连接、、，于点P，若，，则的半径长为（   ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆内接四边形、圆周角、等腰三角形性质以及解直角三角形等知识，正确确定的角度以及的长度是解题关键．首先根据圆内接四边形的性质确定的值，进而可得的度数，再根据等腰三角形“三线合一”的性质确定的角度，的长度，然后利用三角函数解得的值，即可获得答案． 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， 即的半径长为4． 故选：D． 11．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图，是的直径，点，在上，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，由圆周角定理可得，求出，再由圆内接四边形的性质即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， 由圆内接四边形的性质可得：， ∴， 故答案为：． 12．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）如图，已知四边形是的内接四边形，是的直径，，则的度数为 ． 【答案】/116度 【分析】本题考查了圆周角和圆心角的关系、圆内接四边形，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 连接，根据求出，进而求出，然后根据圆内接四边形对角互补解题即可． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵圆内接四边形对角互补， ∴． 故答案为： ． 13．（25-26九年级上·全国·期中）如图，在圆内接四边形中，，，，，延长，交于点，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆内接四边形，解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相关性质．先根据圆内接四边形性质得出，解直角三角形得出，然后求出结果即可． 【详解】解：四边形为圆内接四边形，， 根据圆内接四边形对角互补，可得， ，， ， ， ，， 故． 答案：． 14．（25-26九年级上·江苏苏州·月考）如图，是的直径，为上一点，连接，过点作于点，交于点，连接．若，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，直径所对的圆周角是直角，连接，由直径所对的圆周角是直角得到，利用勾股定理可得，则由垂径定理可得的长，再由勾股定理可得的长，据此求出的长，再由勾股定理得到的长，进一步可得的长． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的直径， ∴，， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15．（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）如图，为的直径，点、为圆上两点，且，交于点，交于点，给出下面四个结论：①；②；③；④当时，，上述结论中，正确结论的序号有 ． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了圆与几何综合，圆的相关性质定理，等腰三角形的判定，平行四边形的判定与性质，垂径定理的推论；熟练掌握相关知识点并灵活运用是解题的关键；利用圆周角定理推论可得结论①不正确；利用题中条件推出，可得故结论②正确；设与相交于点G，证明四边形是平行四边形，可得，再利用圆周角定理推论和等腰三角形的判定可得，故结论③正确；利用垂径定理的推论可得结论④正确． 【详解】解：为的直径，点C在圆上， ，而的度数无法确定，故结论①不正确； ， ， ， ，故结论②正确； 如图，设与相交于点G， ，， 四边形是平行四边形， ， 又在中，，， ， ，故结论③正确； 当时， 由，可得， 垂直平分， 经过圆心O， 又∵， ∴， ∴ ∴， ∴，即， ∴， 又∵ ∴，故结论④正确； 结论正确的是：②③④． 故答案为：②③④． 16．（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，是的弦，交于点，交于点，点是上一点，连接，．若，，则的半径为 ． 【答案】4 【分析】本题考查圆周角定理、含角的直角三角形、垂径定理，根据圆周角定理求出的度数，由垂径定理求出，从而求出即可． 【详解】解：如图，设交于点E． ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴（负值舍去）， ∴的半径长为4． 故答案为：4． 17．（25-26九年级上·江苏苏州·月考）如图，是一个梯形，，梯形的两腰与上底均与半圆O相切，已知，则 ． 【答案】7 【分析】此题考查了切线的性质定理和梯形的面积等知识，熟练掌握切线的性质定理是关键． 连接，根据切线的性质得到，利用梯形面积等于三个三角形面积之和列式即可求出答案． 【详解】解：连接， 则， ∵梯形的两腰与上底均与半圆O相切， ∴， ∵， ∴是梯形的高， ∴ ∴ 解得 故答案为：7 18．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，、切于点、，直线切于点，交于，交于点，若，则的周长是________． 【答案】 【分析】本题考查了切线长定理，根据切线长定理将的周长转化为． 【详解】解：、切于点、，直线切于点， ， 的周长是， ， ， 的周长为：． 故答案为：． 19．（2025·四川凉山·模拟预测）如图，，，与以为直径的相切于点，，，求四边形的面积 ． 【答案】78 【分析】本题主要考查了切线的性质，矩形的性质与判定，勾股定理，相似三角形的性质与判定，设与相交于点，连接、，交于H，可证明四边形为矩形，则∴，；由切线的性质得到，则可证明四边形是矩形，则，即，可证明，得到，进而可得，则，再根据可得答案． 【详解】解：设与相交于点，连接、交于H， 是直径， ， ，， ∴四边形为矩形， ∴， ； 与圆相切于， ， ∴四边形是矩形， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 20．（2025·江苏无锡·二模）如图，经过的顶点、，分别与、相交于点、，连接、交于点，且平分． (1)求证：； (2)若，，当时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆内接四边形的性质，圆周角定理，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键； （1）根据圆内接四边形的性质得到，则可证明，然后证明，从而得到结论； （2）先证明，则可判断，利用相似三角形的性质可计算，，进而证明，然后利用相似比，即可求解． 【详解】（1）（1）证明：，， ， 平分， ， ， ， ； （2） 由（1）得，， ， ， ， 又，， ， ，即， ∴，； ，， ， ． 21．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）（1）如图①，点A、B、P均在上，，则锐角的大小为 度． （2）【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，是等边的外接圆，点在上（点不与点、重合），连结、、．求证：．小明发现，延长至点，使，连结，通过证明，可推得是等边三角形，进而得证．下面是小明的部分证明过程： 证明：延长至点E，使，连接 ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴． 请你补全余下的证明过程． （3）【应用】如图③，已知四边形内接于圆O，，，连接、，请直接写出线段之间的数量关系 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】（1）根据在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半求解即可得； （2）根据证明，根据全等三角形的性质可得，由此即可得证； （3）延长至点，使，连接，先证出，由全等三角形的性质可得，，根据等腰三角形的性质可得，再证出，然后根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵点，，均在上，， ∴， 故答案为：； （2）证明：延长至点，使，连接，    ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵在等边中，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又∵， ∴； （3）解：如图，延长至点，使，连接，    由（2）知，， 在和中， ， ，， ， ， ， 由圆周角定理得：， ， ， ∵， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、圆内接四边形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握其性质并能通过作辅助线，构造全等三角形是解决此题的关键． 22．（24-25九年级上·山东济宁·月考）如图，是圆的内接四边形的外角，是的外角的平分线，，相交于点P．求证： (1)为等腰三角形； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查圆内角四边形，圆周角定理，相似三角形的判定和性质： （1）圆内角四边形的性质结合平角的定义得到，角平分线的定义结合圆周角定理得到，进而得到，即可得证； （2）证明，即可得证． 【详解】（1）证明：∵是圆的内接四边形的外角， ∴， ∴， ∵是的外角的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2）∵， ∴， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴． 23．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，的两弦，交于点，且． (1)如图1，求证： (2)如图2，若点为的中点，连接交于点，，的半径为，求的长度． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）由 得弧相等，推导弧 弧 ，证 ； （2）连接 ，用垂径定理得垂直平分，勾股定理求 ，进而得 ． 【详解】（1）∵， ∴， ∴，即， ∴． （2）如图所示，连接， ∵点是的中点， ∴，且（垂径定理）． 在中，由勾股定理得： ， 又，故． 【点睛】本题考查圆的弦、弧的关系及垂径定理的应用，涉及知识点：等弦对等弧、圆周角定理、垂径定理（垂直于弦的直径平分弦）、勾股定理．解题方法是利用等弦推等弧证线段相等；通过弧的中点得垂直关系，结合垂径定理和勾股定理计算线段长．解题关键是关联弦、弧的对应关系，构造直角三角形，易错点是垂径定理的条件应用不充分． 24．（22-23九年级上·福建龙岩·期中）如图，是的直径，点、是上的点，且，分别与、相交于点、． (1)求证：点为弧的中点； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆周角定理的推论，平行线的性质，垂径定理，勾股定理等，熟练掌握垂径定理是解题的关键． （1）根据圆周角定理的推论得出，根据平行线的性质推得，然后根据垂径定理即可证明； （2）根据勾股定理得出，根据垂径定理得出，结合勾股定理即可求出，即可求解． 【详解】（1）证明：∵是的直径，点是上的点， ∴， 即， ∵， ∴， ∴点为弧的中点． （2）解：∵，，， 故在中，， ∵， ∴， ∵， 故在中，， ∴． 25．（25-26九年级上·山东济宁·期中）如图，已知的弦垂直于直径，垂足是点．连接并延长交于点．若，求当时，的长． 【答案】 【分析】本题考查垂径定理，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，连接，垂径定理结合中垂线的性质，得到，，进而得到为等边三角形，三线合一结合含30度角的直角三角形的性质和勾股定理进行求解即可． 【详解】解：连接， ∵的弦垂直于直径， ∴垂直平分， ∴， ∵连接并延长交于点，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， 在中，，， ∴， ∴， ∴． 26．（25-26九年级上·天津红桥·月考）已知为的直径，点，在上，． (1)如图①，若，求和的大小； (2)如图②，若，的半径为2，求弦的长． 【答案】(1)，； (2) 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理． （1）根据圆周角定理得到，即，根据垂径定理得到，，根据圆周角定理作答即可； （2）根据垂径定理得到，，根据得到，证明，得到，，根据勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，； （2）解：如图， ∵， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴，， ∴， ∴． 27．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，直径弦于点E，于点F，交于点H，连接． (1)求证：； (2)， ，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了垂径定理和圆周角定理． （1）连接，如图，利用垂直的定义得到，，则利用等角的余角相等得到，再根据圆周角定理得到，所以，然后根据等腰三角形的判定得到结论； （2）设，则，根据等腰三角形的性质得到，，在中利用勾股定理得到，解方程即可得到圆的半径． 【详解】（1）证明：连接，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：设，则， ∵， ∴， ∴， 在中，∵， ∴， 解得（舍）， ∴， 即的半径为5． 28．（25-26九年级上·天津滨海新·期中）如图，是的直径，弦于点，点在上，． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)的半径为4 【分析】此题主要考查了圆周角定理和垂径定理，以及勾股定理的应用，关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． （1）根据同圆中，同弧所对的圆周角相等可得，再由条件可得，然后可得； （2）根据垂径定理可得，在中，根据勾股定理可得方程，再解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴（内错角相等，两直线平行）； （2）解：连接， 设，则， ∵弦于点E，， ∴， ∵， ∴， 在中：， ∴， 解得：， ∴的半径为4． 29．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，、相交于点E，平分． (1)求证：； (2)如果的半径为3，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理、垂径定理及圆心角、弧、弦之间的关系； （1）作于， 于， 连接、， 如图， 由垂径定理得到， ，由勾股定理得 再利用角平分线性质得， 则， 所以， 根据圆心角、弧、弦的关系得到则，即可证明结论； （2）先证明为等腰直角三角形得到， 设， 则， ， 则， 在中利用勾股定理列方程，然后解方程求出值解答即可． 【详解】（1）证明： 作于， 于， 连接、， 如图， 则， ， 在中， 在中， ∵平分， ∴， 而， ∴， ∴， ∴，即， ∴ ∴； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 为等腰直角三角形， ， 设，则，， ， 在中， ， ， 解得 (舍去) ， ． 30．（25-26九年级上·重庆·期末）如图，是的直径，点A是上一点，于B，分别连接． (1)求证：是的切线； (2)作平分交于点D，连接．若，，请补全图形，并求的长． 【答案】(1)见解答 (2)图见解析， 【分析】本题考查了切线的判定，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． （1）利用证明，得到，据此即可得到结论； （2）证明是等腰直角三角形，求得直径，证明是等边三角形，在中，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：补全图形如图所示： 连接， ， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 31．（25-26九年级上·江苏盐城·月考）如图，在中，，以为直径的与的平分线相交于点D，过点D作，分别交，的延长线于点E，F． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为5，，求的长． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质及角平分线的定义得出，再根据平行线的性质，结合可得出，即可得出结论； （2）利用勾股定理求出的长，根据（1）的结论可证明四边形是矩形，根据垂径定理可求出的长及是的中位线，即可求出、，由可得出，根据相似三角形的性质即可得出答案． 【详解】（1）证明：如图，连接，交于点G， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线． （2）解：∵的半径为5， ∴， ∵，，， ∴， 由（1）知，， ∴四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：． 【点睛】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，角平分线定义，平行线的性质，勾股定理，矩形的判定，三角形中位线定理及相似三角形的判定与性质． 32．（25-26九年级上·湖南邵阳·月考）如图，点在的边上，以为半径的与相切于点，与相交于点，为的直径，与相交于点，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）如图，连接，证明，，即，可得，进一步证明，可得； （2）求解，设的半径为，结合，可得，可得：，，求解，证明，可得，进一步可得答案． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵以为半径的⊙与相切于点， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， 设的半径为， ∴，，而，， ∴， 解得：， ∴，，， ∵，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，圆周角定理的应用，切线的性质，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键. 33．（25-26九年级上·内蒙古通辽·期末）如图，中，，是角平分线，O是上一点，经过点A、M的分别交于点E、F． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)3 【分析】本题考查了圆的切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识点． （1）连接，根据角平分线以及等边对等角得到，继而得到，则，即可证明； （2）连接，证明即可； （3）根据（2）中的结论求解即可． 【详解】（1）证明：连接 ∵是角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵是半径， ∴是的切线； （2）解：连接， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：由（2）知，，， ∴， ∴， ∴， ∴的半径为． 34．（25-26九年级上·山西吕梁·期末）如图，是半圆的直径，是半圆上的一点，过点的直线交的延长线于点，于点，的延长线于点，已知平分， (1)求证：是的切线． (2)若，的半径为2，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理． （1）连接，根据等边对等角，角平分线的定义可推出，进而证明，根据则，即可得证； （2）根据切线的性质，含30度角的直角三角形的性质，求得，进而勾股定理求得，再根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接 ∵平分 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 又∵是半径 ∴是的切线 （2）解：∵的半径为2，，， ∴ 由（1）可得， ∴， 又∵， ∴， ∴ 又∵，， ∴ 35．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，是的外接圆，，连接并延长至点，使交于点． (1)求证：是的切线； (2)求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，如图所示，由圆周角定理及其推论得到，，再结合直角三角形两锐角互余、等腰三角形性质、外角性质求出相关角度，即可得到，从而由切线的判定定理求证即可得到答案； （2）由（1）中得到，在中，利用正切函数值定义列式求出长即可得到答案． 【详解】（1）证明：连接，如图所示： ， ， 为直径， ， ， ， ， ， ， 即， 为半径， ∴是的切线； （2）解：由（1）知， ， 由（1）知，在中，，，，则， ， 则． 【点睛】本题考查圆综合，涉及圆周角定理及其推论、等腰三角形性质和判定、直角三角形两锐角互余、三角形外角性质、切线的判定、解直角三角形性质的应用，熟记圆的基本性质及三角形相关几何性质是解决问题的关键． 36．（25-26九年级上·江苏常州·月考）如图，是的直径，，为上两点，连接，，交于点．过点作的切线交的延长线于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，则的长为______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）因为，得，根据，得，又因为是的切线，故，由等边对等角，得，整理得，即； （2）先得，因为是的直径，得，结合，得，证明，故； （3）根据等边对等角，得，证明，得，整理得，设，故，再把数值代入，进行计算，得，即可算出，即可作答． 【详解】（1）证明：连接， ， ， ， ， ， 是的切线， ， ， ， （等边对等角）， ， ； （2）证明：， ， 是的直径， ， ， ， ， 又， ， ， 即； （3）解：， ， ， ， ， （相似三角形的对应边成比例）， ， ， 设， 则， ， ， ， 解得或（舍去）， ． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 37．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图1，在中，和互余，点D是上一点，以为直径作切于点E，连接． (1)若，求的度数； (2)如图2，与交于点F，点F是的中点，，求的半径． 【答案】(1)的度数是； (2)的半径是2． 【分析】本题考查了切线的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，弧、弦、圆周角之间的关系，直角三角形的性质，作出辅助线是解决本题的关键． （1）连接，首先根据切线的性质可证得，，再根据等腰三角形的性质，可证得，再利用三角形内角和定理即可求得； （2）连接、，根据圆周角定理可证得，从而求出，则可求，，根据含直角三角形的性质求出，，结合即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接， 则， ∴， ∵和互余， ∴， ∵， ∴ ∵切于点E， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的度数是． （2）解：如图，连接、． ∵点F是的中点， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵和互余 ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴的半径是2． 38．（25-26九年级上·辽宁营口·期末）如图，四边形内接于，，过点D作的切线与延长线交于点E，连接． (1)求证： (2)若，，，求半径长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，因为是的切线，所以，再根据四边形内接于求出，则，从而得到，又由等弧所对的圆周角相等得，即可得出结论； （2）连接，设与相交于点F，设．由垂径定理求出，由勾股定理求出，然后根据求解即可． 【详解】（1）证明：连接， ， ∵， ∴是的直径， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵四边形内接于，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，连接，设与相交于点F，设． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理的推论，圆内接四边形的性质，垂径定理，勾股定理，本题属圆的综合题目，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 39．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图，，，分别与相切于，，三点，且，，． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了切线的性质，角平分线的判定定理，勾股定理，平行线的性质等等，熟知切线的性质是解题的关键． （1）连接，由切线的性质和圆的性质可得，则可证明，根据平行线的性质和角平分线的定义可证明，据此由三角形内角和定理可证明结论； （2）利用勾股定理求出的长，则由等面积法可求出的长，进而得到的长，再利用勾股定理即可求出答案． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵，，分别与相切于，，三点， ∴， ∴分别平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵在中，，，， ∴； 由切线的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得． 40．（25-26九年级上·福建厦门·月考）如图，在四边形中，是的切线，，，为的外接圆． (1)如图1，若，求； (2)如图2，交于点，过点作，垂足为，交于点，若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由圆的切线定理可知，进而得出，由平行线的性质得出，由直径所对的圆周角等于90度可得出，由直角三角形两锐角互余可得出，由同弧与等弧所对的圆周角相等可得出，，等量代换可得出． （2）连接，由圆内接四边形对角互补结合可得出，由同角的余角相等可得出，结合可得出，再利用等角对等边可证出，由，可证出，利用全等三角形的性质可求出的长，设，在中，利用勾股定理可求出x的值，此题得 【详解】（1）解：连接并延长交于点E，连接． ∵是的切线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， 在中， ， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． （2）解：如图2，连接， ∵，为的外接圆． ∴垂直平分， 由（1）可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中 ∴ ∴，， 设， 在中，，， ∴ 由勾股定理，得：， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、圆周角定理、平行线的性质、圆内接四边形、等腰三角形的判定以及勾股定理等知识点，解题的关键是正确添加辅助线． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 圆中的重要模型之圆中的全等三角形模型 圆中常见全等模型：切线长模型、燕尾模型、蝴蝶模型、手拉手（旋转）模型、对角互补模型等。 知识储备：垂径定理及推理、圆周角、圆心角、弧、弦、弦心距的关系等。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 5 模型运用 6 模型1、切线长模型 6 模型2、燕尾模型 8 模型3、蝴蝶模型 11 模型4、手拉手（旋转）模型 13 模型5、对角互补模型 18 22 圆中的全等模型在几何学发展史中源远流长，其历史脉络可追溯至古代文明，并在不同时期得到深化与扩展。首先古埃及工程师利用圆的性质进行土地测量与金字塔建造，通过经验发现全等三角形的拼接可形成稳定结构；然后欧几里得‌（约公元前300年）在《几何原本》中首次系统化几何理论：提出全等三角形公设（如SSS判定法），为圆中全等模型奠定逻辑基础；接着阿基米德‌（公元前287–前212年）在著作中记录弦切角、垂径性质等命题，隐含全等证明思想；最后在近现代数学教育中形成了一些重要的全等模型。圆的全等模型从经验实践到公理体系，历经文明交融与数学革命，至今仍是连接古典几何与现代科技的纽带。 （24-25·广东九年级期中）如图，已知，，分别切于点A，B，D，若，则的周长是 ．若，则 ．    （24-25九年级上·江苏泰州·期中）欧几里得，古希腊数学家，被称为“几何之父”，他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛的认为是历史上最成功的教科书．他在第Ⅲ卷中提出这样一个命题：“由已知点作直线切于已知圆”．如图，设是已知点，小圆为已知圆．具体作法是：以为圆心，为半径作大圆，连接交小圆于点，过作，交大圆于点，连接，交小圆于点，连接，则是小圆的切线．(1)为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明，如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”的过程； 已知：如图，点，和点，分别在以为圆心的同心圆上，______．求证：______．证明：______ (2)如图1，长不变，改变小圆的半径，延长交大圆于点，延长线交大圆于点，当经过圆心时，求的值；(3)在（2）中，若改变小圆的半径时，与小圆相切，直接写出的度数．       （24-25九年级上·江苏宿迁·期中）（1）如图①，点A、B、P均在上，，则锐角的大小为 度． （2）【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，是等边的外接圆，点在上（点不与点、重合），连结、、．求证：．小明发现，延长至点，使，连结，通过证明，可推得是等边三角形，进而得证．下面是小明的部分证明过程： 证明：延长至点E，使，连接 ∵四边形是的内接四边形，∴，∵，∴， ∵是等边三角形，∴，∴．请你补全余下的证明过程． （3）【应用】如图③，已知四边形内接于圆O，，，连接、，请直接写出线段之间的数量关系 1-1切线长模型1 条件：如图1，P为外一点，PA，PB是的切线，切点分别为A，B。 结论：①△OAP≌△OBP；②∠AOB+∠APB=180°；③OP垂直平分AB； 图1 图2 图3 图4 1-2切线长模型2 条件：如图2，AD，CD，BC是的切线，切点分别为A，E，B。 结论：①△AOD≌△EOD；②△BOC≌△EOC；③AD+BC=DC；④∠DOC=90°； 2. 燕尾模型 条件：如图3，OA，OB是的半径，OC=OD。 结论：①△AOC≌△BOD；②△PAD≌△PBC； 3. 蝴蝶模型 条件：如图4，OA，OE是的半径，AD⊥OE，EB⊥OA。结论：①△AOD≌△EOB；②△ABD≌△EDB； 4. 手拉手（旋转）模型 图5 图6 条件：如图5，是△ABD的外接圆，且AD=BD，∠ADB=，C为圆O上一点。 结论：①△ADC≌△BDC’；②△DCC’是等腰三角形； 特别地，当=60°时，CD=CA+CB； 当=90°时，CD=CA+CB； 5. 对角互补模型 条件：如图6，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB。结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC。 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∴∠CDO+∠CEO＝180°， ∵∠CDO+∠CDM＝180°，∴∠MDC＝∠CEO，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE， ∵OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM=OC，NC=MC=OC。 又∵OE+OD＝ON+NE+OM-DM，∴OE+OD=ON+OM=OC， 模型1、切线长模型 例1（25-26九年级上·江苏泰州·月考）如图，在中，，是的内切圆，三个切点分别为，，，若，，则的半径是（   ） A． B． C． D． 例2（25-26九年级上·河南周口·月考）如图，是的切线，切点分别为A、B，若，，则的半径为（   ） A． B． C．2 D． 例3（25-26九年级上·江苏徐州·月考）如图，半径为1的与的边分别相切于点D、E、F，若，，，则面积为 例4（25-26九年级上·天津宝坻·月考）如图，的直径，和是的两条切线，与的相切于点，并与分别相交于两点． （1）的大小为 度； （2）设，则关于的函数解析式为 ． 例5（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，，O是上一点，以点O为圆心，的长为半径的圆与相切于点D，与相交于点E，且．求： (1)的半径． (2)的长． 模型2、燕尾模型 例1（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，、为弦，为直径，于E，于F，与相交于G．已知的半径为5，，则的长度为（　　） A． B．2 C． D．3 例2（25-26九年级上·青海西宁·期中）如图，AB是的直径，C，D是上点，且，分别与，相交于点，，则下列结论：①；②平分；③；④；⑤，其中正确的结论有 ． 例3（25-26九年级上·重庆·期中）如图， 是 的直径，弦 ，连接 ， ，若 ，则 ． 例4（24-25九年级下·广东东莞·自主招生）如图，为的两条弦，于E，于H，已知，，则的半径为 ． 例5（25-26九年级上·河南漯河·月考）如图，是的直径，平分分别与相交于点． (1)求证； (2)若，求的直径． 模型3、蝴蝶模型 例1（24-25九年级上·河北石家庄·期末）如图，是的直径，是弦（不是直径），于点E，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 例2（25-26九年级上·安徽淮南·期末）如图，的半径为，为弦，为的中点，若，则弦的长为（    ） A． B． C． D． 例3（25-26九年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，是的直径，，，E是弧边上一动点，连接 交于点D，则的最大值为 ． ∵是的直径， 例4（25-26九年级上·山东滨州·期中）如图，中，弦的长为，点在上，，．所在的平面内有一点，若，则点与的位置关系是点在 ． 例5（25-26九年级上·江西新余·期中）如图，在中，弦垂直平分半径． (1)求的度数； (2)若弦的长为，求的直径． 模型4、手拉手（旋转）模型 例1（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，是的内接三角形，，，将绕A点顺时针方向旋转，旋转后的三角形为（点B与点对应，点C与点对应），若点落在上，则 ． 例2（2025·广东中山·三模）如图，为圆的内接三角形，，将绕A点依顺时针方向旋转，B点恰好落在圆上，此时旋转角大小为 ° 例3（24-25九年级上·福建厦门·期中）下面是小慧同学的一篇数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务． 旋转是几何图形运动中的一种重要变换，经过旋转，往往能使图形的几何性质清晰显现．题设和结论中的元素由分散变为集中，相互之间的关系清楚明了，从而将求解问题灵活转化．在数学学习中注意归纳总结一些数学方法，对积累解题经验，提高解题能力有重要的促进作用． 【探究发现】 问题1：如图1，点是等边内的一点，，，．你能求出的度数吗？ 探究思路：如图2，将绕点逆时针旋转，得到，连接，可得是等边三角形，根据勾股定理逆定理可得是直角三角形，从而可求线段，，； 【类比探究】 问题2：如图3，若点是正方形内一点，，，，则可求； 【深入探究】 问题3：如图4，是的外接圆，平分交于点，探究线段，，的之间的数量关系． 探究思路：如图5，连接，，则四边形是圆的内接四边形．由于圆内接四边形对角互补，并且由平分易得，所以我们也可以利用旋转变换解决这个问题．具体解答过程如下：任务： (1)填空：图2中线段______； (2)如图3，若点是正方形内一点，，，，则______； (3)请写出问题3的探究结论及完整的证明过程； 例4（2025·江苏泰州·三模）已知，如图，等边，点D是平面内一点（点D不在直线上），连接、．将绕点A按逆时针方向旋转得到，点D的对应点是点E． 设直线与直线交于点G． (1)如图1，判断线段与线段的数量关系，并说明理由； (2)当点D是线段的中点，根据题意，在图2中画出图形，求的度数； (3)探索与的数量关系，直接写出结论． 例5（24-25九年级上·江西宜春·期末）图形的旋转是全等变换重要的变换方式之一，利用图形旋转中的对应线段长度相等，对应角大小相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变等性质，可以将一般图形转化成特殊图形，从而达到解决问题的目的． (1)初步感知：如图1，在四边形中，，，垂足为，且，，求四边形的面积．可作如下思考：将绕点逆时针旋转，得到，可以证到，即点落在的延长线上，进一步得出四边形的形状为 ，最后得出四边形的面积为 ； (2)延伸探究：如图2，在四边形中，，，，求四边形的面积； (3)拓展应用：如图3，四边形是的内接四边形，，，求四边形的面积． 模型5.对角互补模型 例1（天津市西青区2025-2026学年九年级上学期期末考试数学试题）如图，四边形内接于，，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 例2（25-26九年级上·江苏泰州·月考）如图，在的内接四边形中，，，点E在上，则 ． 例3（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在中，弦，点在上． (1)如图①，若是的直径，求的度数； (2)如图②，在弧上取一点，若，请用含的式子表示的度数． 例4（24-25九年级上·河南洛阳·期末）我们定义：有一组对角相等的四边形叫做“等对角四边形”． (1)如图1，“等对角四边形”内接于，，则 ， ； (2)如图2，“等对角四边形”内接于，且，，点E在的延长线上，连接，，，，请证明：四边形是“等对角四边形”； (3)如图3，“等对角四边形”内接于，且其一个内角为，，，若，求的长． 例5（21-22九年级上·江苏扬州·期中）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形． 理解：（1）如图1，点A，B，C在上，的平分线交于点D，连接． 求证：四边形是等补四边形． 探究：（2）如图2，在等补四边形中，，连接，是否平分？请说明理由． 运用：（3）如图3，在等补四边形中，，其外角的平分线交的延长线于点E，，求的长． 1．（25-26九年级上·山东菏泽·期中）如图，中，，点在上，与相切于点，交于点，连接，，下列结论：①；②；③，其中正确的结论是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 2．（2025九年级·全国·专题练习）如图，PA，PB是的两条切线，A，B为切点，点C在上，连接OP．若，则等于（    ） A． B． C． D． 3．（2025九年级·全国·专题练习）将直尺、含角的直角三角板和光盘按如图所示的方式摆放，A为三角板的角与直尺的交点，B为光盘与直尺的唯一交点，三角板的斜边与光盘相切．若，则光盘的直径是（    ） A． B． C．6 D．3 4．（25-26九年级上·重庆·月考）如图，在中，弦与直径相交于点，点为的中点，连接，点在上，且，连接，交于点．若，则的角度为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·四川巴中·模拟预测）如图，点A，B，C，D都在半径为的上，，则弦的长为（   ） A．3 B． C． D．9 6．（25-26九年级上·全国·周测）如图，四边形ABCD内接于，，连接BD．若，，则的周长是（    ）    A． B．4 C．6 D．8 7．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，四边形是的内接四边形，，，，将绕点旋转至，则的长度为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·湖南·二模）如图，四边形内接于，点为弧上任意一点（点不与点D，C重合），连接交于点．若，则的度数可能为（　　） A． B． C． D． 9．（2023·湖北武汉·模拟预测）如图，中，，，，经过点B且半径为5的与交于D，与的延长线交于E，则线段的长为（　　） A．6.4 B．7 C．7.2 D．8 10．（2025·陕西汉中·一模）如图，四边形内接于，连接、、，于点P，若，，则的半径长为（   ） A． B．2 C．3 D．4 11．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图，是的直径，点，在上，若，则的度数为 ． 12．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）如图，已知四边形是的内接四边形，是的直径，，则的度数为 ． 13．（25-26九年级上·全国·期中）如图，在圆内接四边形中，，，，，延长，交于点，则 ． 14．（25-26九年级上·江苏苏州·月考）如图，是的直径，为上一点，连接，过点作于点，交于点，连接．若，则的长是 ． 15．（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）如图，为的直径，点、为圆上两点，且，交于点，交于点，给出下面四个结论：①；②；③；④当时，，上述结论中，正确结论的序号有 ． 16．（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，是的弦，交于点，交于点，点是上一点，连接，．若，，则的半径为 ． 17．（25-26九年级上·江苏苏州·月考）如图，是一个梯形，，梯形的两腰与上底均与半圆O相切，已知，则 ． 18．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，、切于点、，直线切于点，交于，交于点，若，则的周长是________． 19．（2025·四川凉山·模拟预测）如图，，，与以为直径的相切于点，，，求四边形的面积 ． 20．（2025·江苏无锡·二模）如图，经过的顶点、，分别与、相交于点、，连接、交于点，且平分． (1)求证：； (2)若，，当时，求的值． 21．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）（1）如图①，点A、B、P均在上，，则锐角的大小为 度． （2）【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，是等边的外接圆，点在上（点不与点、重合），连结、、．求证：．小明发现，延长至点，使，连结，通过证明，可推得是等边三角形，进而得证．下面是小明的部分证明过程： 证明：延长至点E，使，连接 ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴． 请你补全余下的证明过程． （3）【应用】如图③，已知四边形内接于圆O，，，连接、，请直接写出线段之间的数量关系 22．（24-25九年级上·山东济宁·月考）如图，是圆的内接四边形的外角，是的外角的平分线，，相交于点P．求证： (1)为等腰三角形； (2)． 23．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，的两弦，交于点，且． (1)如图1，求证： (2)如图2，若点为的中点，连接交于点，，的半径为，求的长度． 24．（22-23九年级上·福建龙岩·期中）如图，是的直径，点、是上的点，且，分别与、相交于点、． (1)求证：点为弧的中点； (2)若，，求的长． 25．（25-26九年级上·山东济宁·期中）如图，已知的弦垂直于直径，垂足是点．连接并延长交于点．若，求当时，的长． 26．（25-26九年级上·天津红桥·月考）已知为的直径，点，在上，． (1)如图①，若，求和的大小； (2)如图②，若，的半径为2，求弦的长． 27．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，直径弦于点E，于点F，交于点H，连接． (1)求证：； (2)， ，求的半径． 28．（25-26九年级上·天津滨海新·期中）如图，是的直径，弦于点，点在上，． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 29．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，、相交于点E，平分． (1)求证：； (2)如果的半径为3，，，求的长． 30．（25-26九年级上·重庆·期末）如图，是的直径，点A是上一点，于B，分别连接． (1)求证：是的切线； (2)作平分交于点D，连接．若，，请补全图形，并求的长． 31．（25-26九年级上·江苏盐城·月考）如图，在中，，以为直径的与的平分线相交于点D，过点D作，分别交，的延长线于点E，F． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为5，，求的长． 32．（25-26九年级上·湖南邵阳·月考）如图，点在的边上，以为半径的与相切于点，与相交于点，为的直径，与相交于点，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 33．（25-26九年级上·内蒙古通辽·期末）如图，中，，是角平分线，O是上一点，经过点A、M的分别交于点E、F． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若，，求的半径． 34．（25-26九年级上·山西吕梁·期末）如图，是半圆的直径，是半圆上的一点，过点的直线交的延长线于点，于点，的延长线于点，已知平分， (1)求证：是的切线． (2)若，的半径为2，求的长． 35．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，是的外接圆，，连接并延长至点，使交于点． (1)求证：是的切线； (2)求的长． 36．（25-26九年级上·江苏常州·月考）如图，是的直径，，为上两点，连接，，交于点．过点作的切线交的延长线于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，则的长为______． 37．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图1，在中，和互余，点D是上一点，以为直径作切于点E，连接． (1)若，求的度数； (2)如图2，与交于点F，点F是的中点，，求的半径． 38．（25-26九年级上·辽宁营口·期末）如图，四边形内接于，，过点D作的切线与延长线交于点E，连接． (1)求证： (2)若，，，求半径长． 39．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图，，，分别与相切于，，三点，且，，． (1)求证：； (2)求的长． 40．（25-26九年级上·福建厦门·月考）如图，在四边形中，是的切线，，，为的外接圆． (1)如图1，若，求； (2)如图2，交于点，过点作，垂足为，交于点，若，求的长． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $