专题04 圆中的重要模型之圆中的全等三角形模型（几何模型讲义）数学沪科版九年级下册

专题04 圆中的重要模型之圆中的全等三角形模型 圆中常见全等模型：切线长模型、燕尾模型、蝴蝶模型、手拉手（旋转）模型、对角互补模型等。 知识储备：垂径定理及推理、圆周角、圆心角、弧、弦、弦心距的关系等。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 5 模型运用 6 模型1、切线长模型 6 模型2、燕尾模型 8 模型3、蝴蝶模型 11 模型4、手拉手（旋转）模型 13 模型5、对角互补模型 18 22 圆中的全等模型在几何学发展史中源远流长，其历史脉络可追溯至古代文明，并在不同时期得到深化与扩展。首先古埃及工程师利用圆的性质进行土地测量与金字塔建造，通过经验发现全等三角形的拼接可形成稳定结构；然后欧几里得‌（约公元前300年）在《几何原本》中首次系统化几何理论：提出全等三角形公设（如SSS判定法），为圆中全等模型奠定逻辑基础；接着阿基米德‌（公元前287–前212年）在著作中记录弦切角、垂径性质等命题，隐含全等证明思想；最后在近现代数学教育中形成了一些重要的全等模型。圆的全等模型从经验实践到公理体系，历经文明交融与数学革命，至今仍是连接古典几何与现代科技的纽带。 （24-25·广东九年级期中）如图，已知，，分别切于点A，B，D，若，则的周长是 ．若，则 ．    【答案】 30 【详解】解：连接、、，∵，，分别切于点A，B，D， ∴，，， ∴ ∵、分别与相切于点A、B，∴， 又∵，∴， ∵与相切于点D，∴， 在和中，，∴，∴， 在和中，，∴，∴， ∴，故答案为：30；．    （24-25九年级上·江苏泰州·期中）欧几里得，古希腊数学家，被称为“几何之父”，他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛的认为是历史上最成功的教科书．他在第Ⅲ卷中提出这样一个命题：“由已知点作直线切于已知圆”．如图，设是已知点，小圆为已知圆．具体作法是：以为圆心，为半径作大圆，连接交小圆于点，过作，交大圆于点，连接，交小圆于点，连接，则是小圆的切线．(1)为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明，如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”的过程； 已知：如图，点，和点，分别在以为圆心的同心圆上，______．求证：______．证明：______ (2)如图1，长不变，改变小圆的半径，延长交大圆于点，延长线交大圆于点，当经过圆心时，求的值；(3)在（2）中，若改变小圆的半径时，与小圆相切，直接写出的度数．       【答案】(1)证明见解析(2)(3) 【详解】（1）已知：如图，点A，C和点B，D分别在以O为圆心的同心圆上， 求证：是小圆O的切线 证明：∵点A，C和点B，D分别在以O为圆心的同心圆上，∴． 在和中，∴，∴， ∵，∴，∴，∴是小圆O的切线． （2）由（1）得：，，， ∴，，∴， ∵，∴，∴，∴AO==2∴=． （3）如图，∵，，都为小圆O的切线，记与小圆O的切点为H，    ∴，， ∵，，， ∴，，∴，而， ∴∴． （24-25九年级上·江苏宿迁·期中）（1）如图①，点A、B、P均在上，，则锐角的大小为 度． （2）【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，是等边的外接圆，点在上（点不与点、重合），连结、、．求证：．小明发现，延长至点，使，连结，通过证明，可推得是等边三角形，进而得证．下面是小明的部分证明过程： 证明：延长至点E，使，连接 ∵四边形是的内接四边形，∴，∵，∴， ∵是等边三角形，∴，∴．请你补全余下的证明过程． （3）【应用】如图③，已知四边形内接于圆O，，，连接、，请直接写出线段之间的数量关系 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【详解】（1）解：∵点，，均在上，，∴，故答案为：； （2）证明：延长至点，使，连接，       ∵四边形是的内接四边形，∴，∵，∴， ∵是等边三角形，∴，∴，∴， ∵在等边中，，∴，∴是等边三角形，∴， 又∵，∴； （3）解：如图，延长至点，使，连接，由（2）知，， 在和中，，，，， ，，由圆周角定理得：，，， ∵，∴，∴ 1-1切线长模型1 条件：如图1，P为外一点，PA，PB是的切线，切点分别为A，B。 结论：①△OAP≌△OBP；②∠AOB+∠APB=180°；③OP垂直平分AB； 图1 图2 图3 图4 1-2切线长模型2 条件：如图2，AD，CD，BC是的切线，切点分别为A，E，B。 结论：①△AOD≌△EOD；②△BOC≌△EOC；③AD+BC=DC；④∠DOC=90°； 2. 燕尾模型 条件：如图3，OA，OB是的半径，OC=OD。 结论：①△AOC≌△BOD；②△PAD≌△PBC； 3. 蝴蝶模型 条件：如图4，OA，OE是的半径，AD⊥OE，EB⊥OA。结论：①△AOD≌△EOB；②△ABD≌△EDB； 4. 手拉手（旋转）模型 图5 图6 条件：如图5，是△ABD的外接圆，且AD=BD，∠ADB=，C为圆O上一点。 结论：①△ADC≌△BDC’；②△DCC’是等腰三角形； 特别地，当=60°时，CD=CA+CB； 当=90°时，CD=CA+CB； 5. 对角互补模型 条件：如图6，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB。结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC。 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∴∠CDO+∠CEO＝180°， ∵∠CDO+∠CDM＝180°，∴∠MDC＝∠CEO，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE， ∵OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM=OC，NC=MC=OC。 又∵OE+OD＝ON+NE+OM-DM，∴OE+OD=ON+OM=OC， 模型1、切线长模型 例1（25-26九年级上·安徽阜阳·月考）如图，与相切于点，与相切于点，为上一点，过点与相切的直线分别交，于点，．若△的周长为12，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查切线长定理．解题的关键在于利用切线长定理得出线段间的等量关系，进而将△的周长转化为与相关的表达式来求解．本题可根据切线长定理，将△的周长转化为与、有关的线段长度，再结合与的关系求解的长． 【详解】解：由题意可得：．． 同理，，是的切线，切点分别为，， ． ． ． 又， ． △的周长为12，即， ，可得， 解得． 故选：B． 例2（25-26九年级上·湖北荆门·月考）如图，、、是的切线，点、、是切点，分别交、于、两点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了切线的性质和全等三角形的性质，掌握切线的性质是解题的关键．连接，根据切线性质，，再根据为切线可知，即可求解出的度数． 【详解】解：如图，连接， 由切线性质得：， ， ， ， ， ， ， ， ， 则的度数为． 故选：D． 例3（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，，为的切线，点在圆周上，且，，连接，则的长为 【答案】2 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，特殊角的正弦值求边长等知识， 连接，根据圆周角定理可得，再证明，即可得出，在中求出的长即可． 【详解】解：连接， ， ， ，为的切线， ， ， ， ， ， ． 故答案为：2． 例4（2024九年级上·山东青岛·专题练习）如图，直线、、分别与相切于、、，且，，．求： (1)的度数； (2)的长； (3)的半径． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据切线长定理得 ，，由可知，则，题目可求； （2）在利用勾股定理可求得长，根据切线长定理得，，则可求； （3）由与相切于点，得，，代入数据可求长，即的半径． 【详解】（1）解：根据切线长定理得，； ， ， ， ； （2）解：由（1）知，． ∵，， 由勾股定理得到：， 根据切线长定理得，， ； （3）解：连接， 与相切于点， ， ， 即． ． 【点睛】本题考查切线长定理，切线的性质，勾股定理，平行线的性质，三角形的面积，掌握相关知识是解决问题的关键． 模型2、燕尾模型 例1（25-26九年级上·宁夏银川·期末）如图，是的外接圆，是的直径．半径，垂足为点E，连接． (1)求证：平分； (2)若，，求的半径． (3)在（2）的条件下，设与交与点F，求． 【答案】(1)见详解； (2) (3) 【分析】本题考查了垂径定理，角平分线，直径所对的圆周角为直角，勾股定理等知识．熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由垂径定理可得，则，进而结论得证； （2）如图，设，则，由勾股定理得即，求解即可； （3）连接，得，由勾股定理得，代入求值即可． 【详解】（1）证明：∵半径， ∴， ∴， ∴平分 （2）解：∵半径， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， （3）由（1）得， 连接，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 例2（25-26九年级上·安徽淮北·月考）如图1，在半径为1的中，弦，点是的延长线与的交点，连接． (1)求证：平分． (2)如图2，若点是的中点，且，求所对应的圆心角的度数． (3)如图2，当时，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)圆心角为； (3) 【分析】本题考查了圆的综合问题，涉及垂径定理，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，角直角三角形的性质，勾股定理等知识点． （1）证明即可； （2）由等腰三角形可得，而，可求，再由三角形内角和定理可得； （3）连接，由垂径定理得，然后由线段的垂直平分线性质可得，继而可证明是等边三角形，求出，在中，运用角直角三角形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵点都在上， ∴， 在和中， ∴ ∴ 即平分； （2）解：由（1）得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴所对应的圆心角为； （3）解：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴. ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴． 例3（25-26九年级上·山东济宁·期中）如图，已知的弦垂直于直径，垂足是点．连接并延长交于点．若，求当时，的长． 【答案】 【分析】本题考查垂径定理，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，连接，垂径定理结合中垂线的性质，得到，，进而得到为等边三角形，三线合一结合含30度角的直角三角形的性质和勾股定理进行求解即可． 【详解】解：连接， ∵的弦垂直于直径， ∴垂直平分， ∴， ∵连接并延长交于点，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， 在中，，， ∴， ∴， ∴． 例4（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在中，直径垂直于弦，垂足为点E，连接、，延长交于点F． (1)求证：； (2)如果，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】（1）连接，由垂径定理得，则，由，得，所以，即可证明，得，即可得出结论； （2）先由勾股求得，，所以，则，根据相似三角形的性质得，则，由，得，解方程求得． 【详解】（1）证明：连接， ∵直径垂直于弦，垂足为点E， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴的长是． 【点睛】此题重点考查垂径定理、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 模型3、蝴蝶模型 例1（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图所示，射线交于点，，射线交于点，，且． (1)求证：圆心在的角平分线上． (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了圆心角、弧、弦、弦心距的关系定理、垂径定理、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． （1）过点作于点，于点，连接，，由，，且，得，可证明，得，则圆心在的角平分线上． （2）连接，由，得，则，即可求证． 【详解】（1）证明：如图，过点作于点，于点，连接，， ∵， ． ，， ，． ． 又， ． ∴． ∴圆心在的角平分线上． （2）证明：连接CE， ∵， ∴， ∴． ∴． 例2（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图：为的直径，是弦延长线上一点，，的延长线交于点，连接． (1)求证：． (2)若的度数为，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题主要考查了圆周角定理、圆心角、弧、弦的关系、三角形外角定理． 连接，可证是的垂直平分线，根据等腰三角形的性质可证，根据圆周角定理可证，等量代换即可证明结论成立； 连接，根据圆周角定理可知，，根据直角三角形两锐角互余，可知，根据三角形外角定理可得，根据圆周角定理可知的度数． 【详解】（1）证明：如下图所示，连接， 为的直径， ， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ； （2）解：如下图所示，连接， 的度数为， ， 是的直径， ， ， 是的外角， ， ， ， ． 例3（2025·广东东莞·模拟预测）如图，为的直径，点C和点D为上位于直径同侧的两点，且，连接． (1)求证：； (2)连接，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质，圆心角、弧、弦的关系，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）根据直径所对的圆周角是直角可得：，再根据已知易得：，然后证明，即可解答； （2）利用（1）的结论可得：，再根据垂径定理可得：，从而可得，然后利用等弧所对的圆周角相等即可解答． 【详解】（1）证明：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 例4（24-25九年级上·安徽六安·月考）如图，为直径，弦分别与半径相交，且． (1)求证：； (2)若，且，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆心角、弧、圆周角的关系，熟练掌握圆周角定理，圆心角、弧、圆周角的关系是解题的关键． （1）利用弧和弦的对应关系，得出，即可得出结论； （2）利用弧和圆周角的关系得出的度数，最后根据弧的度数再求圆心角即可． 【详解】（1）证明：∵为直径， ， ∵， ∴， ， 即， ∴； （2）解：∵， ∴的度数为， ∴的度数为， 的度数为， ∴的度数为． 模型4、手拉手（旋转）模型 例1（25-26九年级上·广东江门·期末）综合与实践 【阅读材料】小明遇到这样一个问题：如图1，是等边三角形的外接圆，点在上（点不与点，重合），连接，，．求证：．小明发现，延长至点，使，连接，通过证明，可推得是等边三角形，进而得证． 【问题提出】 （1）请你根据小明的想法，写出解答过程． 【深入探究】 （2）如图2，是的外接圆，，，点在上，且点与点在的两侧，连接．求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）由圆内接四边形对角互补和平角的定义可证明，由等边三角形的性质得到，则可证明，证明，得到， 则可证明是等边三角形，得到，据此可证明结论； （2）延长至点，使，连接，同理可证明，得到， ，证明，得到，由勾股定理可得，据此可证明结论． 【详解】证明：（1）∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴； 又∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴； （2）如图，延长至点，使，连接，   四边形是的内接四边形， ∴， ∵ ∴， 在和中， ， ， ， ， ， ∵ ∴， ， ， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，勾股定理，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 例2（25-26九年级上·湖南长沙·月考）【感知】（1）如图①，点、、、均在上，点在外，点、、三点共线，，则为______度； 【理解】（2）如图②，是四边形的外接圆，连接、，点在上，，若延长到点，使，连接，请探究线段，，之间的数量关系； 【应用】（3）如图③，是的直径，点、在上，点是弧的中点，点为圆周上一动点，若，，求的长度． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【分析】（1）根据圆内接四边形的对角互补，即可求解； （2）根据圆内接四边形的对角互补可得，推出，证明，得到，，推出，根据勾股定理得到，结合，，，即可求解； （3）分两种情况讨论：当点与点分别在直径的异侧时，当点与点分别在直径的同侧时，分别求得即可． 【详解】解：（1）点、、、均在上，， ， ， 点、、三点共线， ， 故答案为：； （2）是四边形的外接圆， ， ， ， ，， 在和中， ， ， ，， 点在上， ，即， ，即， ， ，，， ， 线段，，之间的数量关系为； （3）当点与点分别在直径的异侧时，如图，连接，，，，过点作交的延长线于点， 是的直径， ， 点是弧的中点， ， ， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∵， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∴， ∴； 当点与点分别在直径的同侧时，如图，连接，，，过点作交的延长线于点， 是的直径， ， 点是弧的中点， ， ， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∵， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∴， ∴ 综上所述：或． 【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的综合题，圆内接四边形的性质，圆周角定理，旋转的性质，等腰直角三角形的判定，勾股定理，全等三角形的判定与性质，理解题意并学会运用是解题的关键． 例3（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）【特例感知】 （1）如图1，是的圆周角，为直径，平分交于点，，若，，则______，______． 【类比迁移】 （2）如图2，是的圆周角，为的弦，平分交于点，过点作，垂足为，探索线段、、之间的数量关系，并说明理由． 【问题解决】 （3）如图3，是的圆周角，为的弦，平分交于点，若，，，则的内心与外心之间的距离为______． 【答案】（1）；  （2），理由见解析  （3） 【分析】（1）如图①中，作于F，根据角平分线的性质得到，然后证明，即可得到，然后根据勾股定理求出长，再由面积法求出即可解题； （2）过点作，交的延长线于点，连接，，证明，推出，然后证明，推出即可解决问题； （3）过点作，交的延长线于点，于点，连接，由（2）可知：四边形是正方形，是对角线，作的内切圆，圆心为M，N为切点，连接，．由切线长定理可知：，推出，由面积法可知内切圆半径为，在中，理由勾股定理即可解决问题； 【详解】（1）作于点， ∵平分，，， ∴，， 又∵是圆内接四边形， ∴，即， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴. ∵，， ∴ ∵， ∴； 故答案为：；； （2），理由如下： 过点作，交的延长线于点，连接，，如图所示：    ∵平分，，， ∴，. ∵，， ∴. 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴. ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）如图，过点作，交的延长线于点，于点，连接， ∵， ∴点在上， 作的内切圆，圆心为点，切点为，连接，， 由（2）可知，四边形是正方形，是对角线， ∵， ∴正方形的边长为， 由（2）可知，， ∴， ∴， 由切线长定理可知，， ∴， 设内切圆的半径为，则， 解得， 即， 在中，， 故答案为：． 【点睛】本题考查角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 例4（2025九年级·江西·专题练习）【课本再现】在人教版九年级上册课本第88页，利用圆周角定理研究了关于圆内接四边形的一个性质，圆内接四边形的对角互补． 【问题探究】完成上述性质的证明过程： （1）如图①，已知点A，B，C，D在上，求证：． 【解决问题】 （2）如图②，已知点A，B，C，D在上，若的半径为4． ①求BD的长； ②连接CA．若CA平分，如图③，请判断BC，CD，AC之间有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析（2）①②．理由见解析 【分析】（1）根据圆内接四边形对角互补可以得出； （2）①连接OB，OD，过点O作于点M，根据垂径定理求出，再利用勾股定理求出；②延长CB至点N，使，连接AN，先证明，再判定为等边三角形，即可得出． 【详解】解：（1）证明：连接OD，OB，如图①． ，， ． （2）①由（1）可知． ， ． 连接OB，OD，过点O作于点M，如图②． ， ， 则， ． ②．理由如下： 延长CB至点N，使，连接AN，如图③． 平分， ． 由（1）可知， ， ． 点在上， ． ． 在和中， ， ． 又， 为等边三角形， ． 即． 模型5.对角互补模型 例1（25-26九年级上·陕西铜川·期末）如图，四边形内接于，连接AC．若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质，利用弧相等得到弦相等从而推出等腰三角形，再结合圆内接四边形的对角互补进行角度计算是解题的关键． 由，根据弧、弦、圆心角的关系可得，由等边对等角得，再由三角形内角和定理得，最后由圆内接四边形对角互补即可得出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形内接于， ∴． 故选：D． 例2（25-26九年级上·安徽·期末）如图，四边形是的内接四边形，，点在上，连接，．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，则四边形是的内接四边形，根据“圆的内接四边形对角互补”可得 ，由可得，再根据“圆的内接四边形对角互补”可得． 本题主要考查了圆周角定理和“圆的内接四边形对角互补”，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 则四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴． 故选：B． 例3（25-26九年级上·浙江湖州·期中）如图，四边形内接于一圆，延长到点． (1)求证：； (2)连接、，若，平分，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查圆内接四边形的性质、同弧或等弧所对的圆周角相等， （1）根据圆内接四边形的性质得到，根据邻补角的定义得到，即可得证； （2）根据角平分线的定义求出，再根据同弧所对的圆周角相等进行解答即可； 理解和掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵四边形内接于圆， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， 由（1）知：， ∵平分， ∴， ∴， ∵圆周角、所对的弧都是， ∴， 即的度数为． 例4（25-26九年级上·浙江·期中）如图，是等腰直角三角形的外接圆，是直线下方的圆上一动点，的角平分线交于点，连接． (1)若，， ①求的长； ②求的长； (2)探究线段、、三者间的数量关系，并加以证明． 【答案】(1)①；② (2)，证明见解析 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质定理，勾股定理，直径定理，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，圆周角定理等内容，解题的关键是掌握以上性质． （1）①根据直径定理得出直角，然后利用勾股定理求解即可； ②利用等腰直角三角形的性质得出相等边和角的度数，然后利用勾股定理求出，根据圆周角定理得出，根据等边对等角即可求解； （2）将绕点逆时针旋转得，得出相等边，根据圆内接四边形的性质得出点D、B、F三点共线，然后利用勾股定理得出结论即可． 【详解】（1）解：①等腰直角三角形内接， 为圆的直径， ， 由勾股定理得； ②在等腰直角三角形中， ，， 由勾股定理得，即， 解得，（负值已舍）， 在中，， 为的角平分线， . ， ， ； （2）解：，证明如下： ，， 如图，将绕点逆时针旋转得， 即， ∴，， 四边形为圆的内接四边形， ， ， 即点D、B、F三点共线． ∴， ， ， ． 1．（25-26九年级上·全国·期末）如图，为外一点，、分别相切于点、，相切于点，分别交、于点、．若的周长为，则的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆的切线的性质，全等三角形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于过切点的半径是解题关键．连接、、、，根据圆的切线的性质，得到，再证明，得到，同理可证，，，从而得出的周长，即可求解． 【详解】解：如图，连接、、、， 、分别相切于点、，相切于点， ， 在和中， ， ， ， 同理可证，，， 的周长为， ， ， 故选：B． 2．（25-26九年级上·河南许昌·期中）如图，，，是的切线，切点分别为，，.若，，则的长为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了切线长定理，两次运用切线长定理并利用等式的性质是解题的关键． 由于、、是的切线，则，，求出的长即可求出的长． 【详解】解：、为的切线， ， 、为的切线， ， ． 故选：A． 3．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，的周长为26，，与三边分别相切于点，，，若，则的长为（　　） A．4 B． C．5 D． 【答案】C 【分析】本题考查的是切线的性质、切线长定理，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．连接，根据切线长定理得到，根据圆周角定理求出，根据切线的性质得到，再根据等边三角形的判定和性质解答即可． 【详解】解：如图，连接， ∵的周长为26， ∴， ∵， ∴， ∵与三边分别相切于点D，E，F， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵分别与相切于点E，F， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴． 故选：C． 4．（25-26九年级上·重庆綦江·期中）如图，在中，直径于点E，，，则弦的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键． 由垂径定理得，设的半径为，则，在中，由勾股定理得出方程，求出，即可得出，在中，由勾股定理即可求解． 【详解】解：，， ， 设的半径为，则， 在中，由勾股定理得：，即， 解得：， ，， ， 在中，由勾股定理得：， 故答案为：． 5．（25-26九年级上·江苏南通·月考）如图，是圆的直径，点为左半圆上一点，的平分线与圆交于点，连接交于点，若时，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查圆的基础知识，余弦的计算，理解图示，掌握余弦的计算方法是关键． 结合角平分线的定义得到，可证，设，则，运用勾股定理得到，根据余弦的计算方法即可求解． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， 同理，， ∴， ∴， 设，则， ∵是直径， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：． 6．（25-26九年级上·江西南昌·月考）如图，是的直径，，若，则圆心角的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等弧所对的圆心角相等，圆周角定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据，可得，结合圆周角定理，可得，最后结合平角即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， 是直径， ， ， 故答案为：． 7．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，内接于，，为弧上一点，连结，交于点E，连结，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等边对等角，同弧所对圆周角相等的知识，掌握以上知识，判定是解题的关键． 根据题意，可证，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， 故答案为： ． 8．（25-26九年级上·山西运城·月考）如图，在中，分别为弦的中点，，不平行于．求证： (1) (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了垂径定理的推论，全等三角形的判定和性质，等边对等角． （1）连接，则，根据中点的定义得到，根据垂径定理的推论得到，根据证明，即可得到； （2）根据垂径定理的推论得到，根据等边对等角得到，即可证明． 【详解】（1）证明：连接， ∴， ∵分别为弦的中点，， ∴，， ∴ ∴； （2）证明：∵分别为弦的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 9．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，内接于，是的直径，，垂足为． (1)求证：； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握垂径定理是解决问题的关键． （1）由垂径定理得出，由等腰三角形的性质得出，由得，即可得出结论； （2）利用勾股定理求出，依题意，得，然后在中利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵是的直径，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得， 即的半径为． 10．（25-26九年级上·江苏无锡·月考）如图，已知为的直径，是弦，且于点．连接、、． (1)若，求的度数． (2)若，求长度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质，圆周角定理，熟练掌握垂径定理和等腰三角形的性质是解题的关键， （1）先由，得，再根据为的直径得到，结合得，最后通过角的和差关系及同角的余角相等推出的度数； （2）先由得到，结合求出的长度，再在中，用勾股定理算的长，最后根据垂径定理得出结果． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵为的直径， ∴，即， ∵， ∴，即， ∴． （2）解：∵，且为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，且为直角三角形， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴． 11．（25-26九年级上·浙江绍兴·月考）如图1，在中，，且，垂足为点E． (1)求证：； (2)如图2，连接，当，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了正方形的判定与性质、直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）过点O作，，垂足分别为M、N，证明四边形是正方形，得出，再由即可得证； （2）由（1）可得，，，求出，再解直角三角形即可得解． 【详解】（1）证明：如图1，过点O作，，垂足分别为M、N， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， 又∵，，， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， 即． （2）解：由（1）可得，，， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ， ∴． 12．（25-26九年级上·江苏南通·月考）已知是半圆的直径，弦于，过点作交半圆于点，过点作于．若，． (1)求的长； (2)连接，求的长． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题主要考查了垂径定理以及勾股定理，全等三角形的判定和性质： （1）根据垂径定理以及勾股定理解答，即可； （2）证明，可得，再由勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：∵是半圆的直径，， ∴， ∵弦，， ∴， ∴； （2）解：如图， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 13．（25-26九年级上·河北石家庄·月考）如图，为的直径，点在上，的平分线交于点，， (1)求的度数． (2)若的半径为5．求的长． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题考查圆周角定理，解直角三角形，熟练掌握圆周角定理是解题的关键： （1）根据直径所对的圆周角是直角，结合三角形的内角和定理，求出的度数，角平分线求出，再根据三角形的内角和定理求出的度数即可； （2）解直角三角形即可． 【详解】（1）解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）∵的半径为5， ∴， 在中，． 14．（2025九年级上·山东·专题练习）如图，为的外接圆，交于点D，直径平分交于点F，连接． (1)证明：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】本题考查圆周角定理的推论，勾股定理，余角的性质，掌握圆周角定理，等腰三角形的三线合一是解题的关键． （1）根据圆周角定理得到，根据等角的余角相等证明结论； （2）过点B作于H，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式求出，根据勾股定理计算即可． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴； （2）解：过点B作于， ∵，， ∴， ∴， 在中，，， 则， ∵， ∴， ∴， ∴． 15．（2025九年级上·山东·专题练习）如图，点A、B、C在上，是直径，的角平分线与交于点D，与交于点M，且，连接，交于点N． (1)证明：； (2)试猜想与之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题考查了圆周角定理、垂径定理以及全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关的定理和性质． （1）根据，证得，进而根据垂径定理证得； （2）先证明是的中位线，得出，进而得出结论． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：猜想：． 证明：∵，， ∴． ∵， ∴是的中位线， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． 16．（2026九年级上·江苏·专题练习）如图所示，是的直径，点是半圆上的一动点（不与，重合），弦平分，过点作交射线于点．    (1)求证：与相切； (2)若，，求长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】此题主要考查直线与圆的位置关系、相似三角形的判定与性质，熟练掌握，即可解题． （1）首先连接，通过半径和角平分线的性质进行等角转换，得出，进而得出，即可得证； （2）连接，根据相似三角形的判定得出，进而得出，再根据勾股定理得出即可． 【详解】（1）证明：连接，如图所示：    ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵是的半径， ∴与相切； （2）解：连接，    ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴中． 17．（25-26九年级上·北京·期末）如图，在中，，以为直径的交于点D，且，垂足是点E，延长交于点F． (1)求证：是的切线； (2)连接DF，若，，求的长和的值． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】（1）连接，则，进而得到，即，根据是的半径，且，从而得出结论； （2）连接、，根据是的直径得到，进而得到根据题意得及，由得到，进而得到，，据此解答即可． 【详解】（1）证明：连接，如图： 则， ， ， ， ， ， 于点， ， 是的半径，且， 是的切线； （2）解：连接、，如下图： 是的直径 、 的长是3，的值为． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、切线的判定定理、圆周角定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 18．（25-26九年级上·山东日照·月考）如图，在中，，是的平分线，点O在上，经过B，D两点，交于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见详解 (2)的长为3 【分析】本题主要考查了切线的判定、平行线的判定、相似三角形的判定与性质，掌握相关图形的性质是解题的关键． （1）已知圆心和直线上一点，联想到连接半径，证明垂直于半径，因此构造辅助线，利用角平分线和等腰三角形得到，进而得到是的切线； （2）首先在中利用求得，，再利用相似三角形得到的半径的长，即可在中利用求得，最终利用线段的和差即可得到的长 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵经过B，D两点， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：在中，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 设的半径为r， ∴，解得：， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴的长为3． 19．（25-26九年级上·甘肃武威·期末）如图，四边形内接于，，过点D作的切线与延长线交于点E，连接． (1)求证：； (2)若，，，求半径长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，因为是的切线，所以，再根据四边形内接于求出，则，从而得到，又由等弧所对的圆周角相等得，即可得出结论； （2）连接，设与相交于点F，设．由垂径定理求出，由勾股定理求出，然后根据求解即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴是的直径， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵四边形内接于，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，连接，设与相交于点F，设． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理的推论，圆内接四边形的性质，垂径定理，勾股定理，本题属圆的综合题目，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 20．（25-26九年级上·天津宝坻·月考）已知在中，弦与直径交于点． (1)如图①，若，，求的度数． (2)如图②，过点作的切线交的延长线于点．若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了切线的性质、圆周角定理、三角形的外角性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握切线的性质和圆周角定理是解题的关键． （1）由三角形的外角性质得出，由圆周角定理得，即可得出答案； （2）连接，由切线的性质得出，求出，由等腰三角形的性质可得出答案． 【详解】（1）解：如图，连接， 是的直径， ． ，， ． ． ． （2）如图，连接， ， ． 切于点， ，即． ． ， ． ． 21．（25-26九年级上·辽宁鞍山·期末）如图，四边形是平行四边形，是的外接圆，连接并延长交于点E，连结并延长交边于点 F，已知；    (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了切线的判定、圆周角定理、垂径定理、平行四边形的判定和性质等知识，熟练掌握切线的判定、圆周角定理、垂径定理是解题的关键． （1）连接并延长交于点P，连接，求出．再根据四边形是平行四边形，则，，得到．即可证明结论成立； （2）根据垂径定理得到．根据勾股定理得到．设的半径r，在中，利用勾股定理即可求出答案． 【详解】（1）证明：连接并延长交于点P，连接，   ， ， ． BE是直径， ， ． ， ， ． ． 四边形是平行四边形， ， ， ． 过圆心， 是的切线． （2）四边形是平行四边形， ， ，过圆心， ． ． 设的半径为r，在中， ， ． 解得． 的半径为． 22．（25-26九年级上·江苏泰州·月考）如图，已知中，半径，点B在外，点C在上，连接交于点D． (1)在①②③中，选择一个作为条件，一个作为结论，组成一个真命题，并证明． ①，②与相切，③． 你选择的是 为条件， 为结论． 证明： (2)在（1）的条件下，若，求的值． 【答案】(1)选择①为条件，②与相切为结论或选择①为条件，③为结论或选择②与相切为条件，①为结论或选择③为条件，①为结论或选择②与相切为条件，③为结论或选择③为条件，②与相切为结论；证明见解析 (2) 【分析】（1）选择①为条件，②与相切为结论或选择①为条件，③为结论或选择②与相切为条件，①为结论或选择③为条件，①为结论或选择②与相切为条件，③为结论或选择③为条件，②与相切为结论，结合切线的判定和性质，等腰三角形的性质，即可得到结论； （2）过点B、O分别作的垂线，垂足分别为E、F，设，则，证明，推出， ，利用勾股定理求得，再利用三角函数的定义求解即可． 【详解】（1）解：选择①为条件，② 与相切为结论． 证明：连接， ∵， ， ∵， ∴， ∵半径， ∴， ∴， ∴半径， ∴与相切； 证明：选择①为条件，③为结论； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即； 选择②与相切为条件，①为条件为结论． 证明：连接， ∵与相切， ∴半径， ∴， ∵半径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 选择③为条件，①为结论； 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵； 选择②与相切为条件，③为结论； 证明：连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵与相切， ∴半径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， 即； 选择③为条件，②与相切为结论； 证明：连接， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴半径， ∴与相切， （2）解：过点B、O分别作的垂线，垂足分别为E、F，则，如图： ∵， ∴可设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即① ∵，， ∴， ∴， ∴② 由①②得：， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角函数，勾股定理等知识，解决问题的关键是根据相似三角形的性质结合勾股定理列出方程． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 圆中的重要模型之圆中的全等三角形模型 圆中常见全等模型：切线长模型、燕尾模型、蝴蝶模型、手拉手（旋转）模型、对角互补模型等。 知识储备：垂径定理及推理、圆周角、圆心角、弧、弦、弦心距的关系等。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 5 模型运用 6 模型1、切线长模型 6 模型2、燕尾模型 8 模型3、蝴蝶模型 11 模型4、手拉手（旋转）模型 13 模型5、对角互补模型 18 22 圆中的全等模型在几何学发展史中源远流长，其历史脉络可追溯至古代文明，并在不同时期得到深化与扩展。首先古埃及工程师利用圆的性质进行土地测量与金字塔建造，通过经验发现全等三角形的拼接可形成稳定结构；然后欧几里得‌（约公元前300年）在《几何原本》中首次系统化几何理论：提出全等三角形公设（如SSS判定法），为圆中全等模型奠定逻辑基础；接着阿基米德‌（公元前287–前212年）在著作中记录弦切角、垂径性质等命题，隐含全等证明思想；最后在近现代数学教育中形成了一些重要的全等模型。圆的全等模型从经验实践到公理体系，历经文明交融与数学革命，至今仍是连接古典几何与现代科技的纽带。 （24-25·广东九年级期中）如图，已知，，分别切于点A，B，D，若，则的周长是 ．若，则 ．    （24-25九年级上·江苏泰州·期中）欧几里得，古希腊数学家，被称为“几何之父”，他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛的认为是历史上最成功的教科书．他在第Ⅲ卷中提出这样一个命题：“由已知点作直线切于已知圆”．如图，设是已知点，小圆为已知圆．具体作法是：以为圆心，为半径作大圆，连接交小圆于点，过作，交大圆于点，连接，交小圆于点，连接，则是小圆的切线．(1)为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明，如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”的过程； 已知：如图，点，和点，分别在以为圆心的同心圆上，______．求证：______．证明：______ (2)如图1，长不变，改变小圆的半径，延长交大圆于点，延长线交大圆于点，当经过圆心时，求的值；(3)在（2）中，若改变小圆的半径时，与小圆相切，直接写出的度数．       （24-25九年级上·江苏宿迁·期中）（1）如图①，点A、B、P均在上，，则锐角的大小为 度． （2）【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，是等边的外接圆，点在上（点不与点、重合），连结、、．求证：．小明发现，延长至点，使，连结，通过证明，可推得是等边三角形，进而得证．下面是小明的部分证明过程： 证明：延长至点E，使，连接 ∵四边形是的内接四边形，∴，∵，∴， ∵是等边三角形，∴，∴．请你补全余下的证明过程． （3）【应用】如图③，已知四边形内接于圆O，，，连接、，请直接写出线段之间的数量关系 1-1切线长模型1 条件：如图1，P为外一点，PA，PB是的切线，切点分别为A，B。 结论：①△OAP≌△OBP；②∠AOB+∠APB=180°；③OP垂直平分AB； 图1 图2 图3 图4 1-2切线长模型2 条件：如图2，AD，CD，BC是的切线，切点分别为A，E，B。 结论：①△AOD≌△EOD；②△BOC≌△EOC；③AD+BC=DC；④∠DOC=90°； 2. 燕尾模型 条件：如图3，OA，OB是的半径，OC=OD。 结论：①△AOC≌△BOD；②△PAD≌△PBC； 3. 蝴蝶模型 条件：如图4，OA，OE是的半径，AD⊥OE，EB⊥OA。结论：①△AOD≌△EOB；②△ABD≌△EDB； 4. 手拉手（旋转）模型 图5 图6 条件：如图5，是△ABD的外接圆，且AD=BD，∠ADB=，C为圆O上一点。 结论：①△ADC≌△BDC’；②△DCC’是等腰三角形； 特别地，当=60°时，CD=CA+CB； 当=90°时，CD=CA+CB； 5. 对角互补模型 条件：如图6，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB。结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC。 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∴∠CDO+∠CEO＝180°， ∵∠CDO+∠CDM＝180°，∴∠MDC＝∠CEO，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE， ∵OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM=OC，NC=MC=OC。 又∵OE+OD＝ON+NE+OM-DM，∴OE+OD=ON+OM=OC， 模型1、切线长模型 例1（25-26九年级上·安徽阜阳·月考）如图，与相切于点，与相切于点，为上一点，过点与相切的直线分别交，于点，．若△的周长为12，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 例2（25-26九年级上·湖北荆门·月考）如图，、、是的切线，点、、是切点，分别交、于、两点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 例3（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，，为的切线，点在圆周上，且，，连接，则的长为 例4（2024九年级上·山东青岛·专题练习）如图，直线、、分别与相切于、、，且，，．求： (1)的度数； (2)的长； (3)的半径． 模型2、燕尾模型 例1（25-26九年级上·宁夏银川·期末）如图，是的外接圆，是的直径．半径，垂足为点E，连接． (1)求证：平分； (2)若，，求的半径． (3)在（2）的条件下，设与交与点F，求． 例2（25-26九年级上·安徽淮北·月考）如图1，在半径为1的中，弦，点是的延长线与的交点，连接． (1)求证：平分． (2)如图2，若点是的中点，且，求所对应的圆心角的度数． (3)如图2，当时，求的长． 例3（25-26九年级上·山东济宁·期中）如图，已知的弦垂直于直径，垂足是点．连接并延长交于点．若，求当时，的长． 例4（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在中，直径垂直于弦，垂足为点E，连接、，延长交于点F． (1)求证：； (2)如果，，求的长． 模型3、蝴蝶模型 例1（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图所示，射线交于点，，射线交于点，，且． (1)求证：圆心在的角平分线上． (2)求证：． 例2（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图：为的直径，是弦延长线上一点，，的延长线交于点，连接． (1)求证：． (2)若的度数为，求的度数． 例3（2025·广东东莞·模拟预测）如图，为的直径，点C和点D为上位于直径同侧的两点，且，连接． (1)求证：； (2)连接，若，求的度数． 例4（24-25九年级上·安徽六安·月考）如图，为直径，弦分别与半径相交，且． (1)求证：； (2)若，且，求的度数． 模型4、手拉手（旋转）模型 例1（25-26九年级上·广东江门·期末）综合与实践 【阅读材料】小明遇到这样一个问题：如图1，是等边三角形的外接圆，点在上（点不与点，重合），连接，，．求证：．小明发现，延长至点，使，连接，通过证明，可推得是等边三角形，进而得证． 【问题提出】 （1）请你根据小明的想法，写出解答过程． 【深入探究】 （2）如图2，是的外接圆，，，点在上，且点与点在的两侧，连接．求证：． 例2（25-26九年级上·湖南长沙·月考）【感知】（1）如图①，点、、、均在上，点在外，点、、三点共线，，则为______度； 【理解】（2）如图②，是四边形的外接圆，连接、，点在上，，若延长到点，使，连接，请探究线段，，之间的数量关系； 【应用】（3）如图③，是的直径，点、在上，点是弧的中点，点为圆周上一动点，若，，求的长度． 例3（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）【特例感知】 （1）如图1，是的圆周角，为直径，平分交于点，，若，，则______，______． 【类比迁移】 （2）如图2，是的圆周角，为的弦，平分交于点，过点作，垂足为，探索线段、、之间的数量关系，并说明理由． 【问题解决】 （3）如图3，是的圆周角，为的弦，平分交于点，若，，，则的内心与外心之间的距离为______． 例4（2025九年级·江西·专题练习）【课本再现】在人教版九年级上册课本第88页，利用圆周角定理研究了关于圆内接四边形的一个性质，圆内接四边形的对角互补． 【问题探究】完成上述性质的证明过程： （1）如图①，已知点A，B，C，D在上，求证：． 【解决问题】 （2）如图②，已知点A，B，C，D在上，若的半径为4． ①求BD的长； ②连接CA．若CA平分，如图③，请判断BC，CD，AC之间有怎样的数量关系，并说明理由． 模型5.对角互补模型 例1（25-26九年级上·陕西铜川·期末）如图，四边形内接于，连接AC．若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 例2（25-26九年级上·安徽·期末）如图，四边形是的内接四边形，，点在上，连接，．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 例3（25-26九年级上·浙江湖州·期中）如图，四边形内接于一圆，延长到点． (1)求证：； (2)连接、，若，平分，求的度数． 例4（25-26九年级上·浙江·期中）如图，是等腰直角三角形的外接圆，是直线下方的圆上一动点，的角平分线交于点，连接． (1)若，， ①求的长； ②求的长； (2)探究线段、、三者间的数量关系，并加以证明． 1．（25-26九年级上·全国·期末）如图，为外一点，、分别相切于点、，相切于点，分别交、于点、．若的周长为，则的长为（ ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·河南许昌·期中）如图，，，是的切线，切点分别为，，.若，，则的长为（    ） A．1 B． C．2 D． 3．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，的周长为26，，与三边分别相切于点，，，若，则的长为（　　） A．4 B． C．5 D． 4．（25-26九年级上·重庆綦江·期中）如图，在中，直径于点E，，，则弦的长为 ． 5．（25-26九年级上·江苏南通·月考）如图，是圆的直径，点为左半圆上一点，的平分线与圆交于点，连接交于点，若时，则的值为 ． 6．（25-26九年级上·江西南昌·月考）如图，是的直径，，若，则圆心角的度数是 ． 7．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，内接于，，为弧上一点，连结，交于点E，连结，若，，则的长为 ． 8．（25-26九年级上·山西运城·月考）如图，在中，分别为弦的中点，，不平行于．求证： (1) (2)． 9．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，内接于，是的直径，，垂足为． (1)求证：； (2)若，求的半径． 10．（25-26九年级上·江苏无锡·月考）如图，已知为的直径，是弦，且于点．连接、、． (1)若，求的度数． (2)若，求长度． 11．（25-26九年级上·浙江绍兴·月考）如图1，在中，，且，垂足为点E． (1)求证：； (2)如图2，连接，当，，求的长度． 12．（25-26九年级上·江苏南通·月考）已知是半圆的直径，弦于，过点作交半圆于点，过点作于．若，． (1)求的长； (2)连接，求的长． 13．（25-26九年级上·河北石家庄·月考）如图，为的直径，点在上，的平分线交于点，， (1)求的度数． (2)若的半径为5．求的长． 14．（2025九年级上·山东·专题练习）如图，为的外接圆，交于点D，直径平分交于点F，连接． (1)证明：； (2)若，，求的长． 15．（2025九年级上·山东·专题练习）如图，点A、B、C在上，是直径，的角平分线与交于点D，与交于点M，且，连接，交于点N． (1)证明：； (2)试猜想与之间的数量关系，并证明． 16．（2026九年级上·江苏·专题练习）如图所示，是的直径，点是半圆上的一动点（不与，重合），弦平分，过点作交射线于点．    (1)求证：与相切； (2)若，，求长． 17．（25-26九年级上·北京·期末）如图，在中，，以为直径的交于点D，且，垂足是点E，延长交于点F． (1)求证：是的切线； (2)连接DF，若，，求的长和的值． 18．（25-26九年级上·山东日照·月考）如图，在中，，是的平分线，点O在上，经过B，D两点，交于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 19．（25-26九年级上·甘肃武威·期末）如图，四边形内接于，，过点D作的切线与延长线交于点E，连接． (1)求证：； (2)若，，，求半径长． 20．（25-26九年级上·天津宝坻·月考）已知在中，弦与直径交于点． (1)如图①，若，，求的度数． (2)如图②，过点作的切线交的延长线于点．若，，求的度数． 21．（25-26九年级上·辽宁鞍山·期末）如图，四边形是平行四边形，是的外接圆，连接并延长交于点E，连结并延长交边于点 F，已知；    (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径． 22．（25-26九年级上·江苏泰州·月考）如图，已知中，半径，点B在外，点C在上，连接交于点D． (1)在①②③中，选择一个作为条件，一个作为结论，组成一个真命题，并证明． ①，②与相切，③． 你选择的是 为条件， 为结论． 证明： (2)在（1）的条件下，若，求的值． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $