专题03 圆中的重要模型之圆中的全等三角形模型（几何模型讲义）数学华东师大版九年级下册

专题03 圆中的重要模型之圆中的全等三角形模型 圆中常见全等模型：切线长模型、燕尾模型、蝴蝶模型、手拉手（旋转）模型、对角互补模型等。 知识储备：垂径定理及推理、圆周角、圆心角、弧、弦、弦心距的关系等。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 5 模型运用 6 模型1、切线长模型 6 模型2、燕尾模型 9 模型3、蝴蝶模型 14 模型4、手拉手（旋转）模型 9 模型5、对角互补模型 14 17 圆中的全等模型在几何学发展史中源远流长，其历史脉络可追溯至古代文明，并在不同时期得到深化与扩展。首先古埃及工程师利用圆的性质进行土地测量与金字塔建造，通过经验发现全等三角形的拼接可形成稳定结构；然后欧几里得‌（约公元前300年）在《几何原本》中首次系统化几何理论：提出全等三角形公设（如SSS判定法），为圆中全等模型奠定逻辑基础；接着阿基米德‌（公元前287–前212年）在著作中记录弦切角、垂径性质等命题，隐含全等证明思想；最后在近现代数学教育中形成了一些重要的全等模型。圆的全等模型从经验实践到公理体系，历经文明交融与数学革命，至今仍是连接古典几何与现代科技的纽带。 （24-25·广东九年级期中）如图，已知，，分别切于点A，B，D，若，则的周长是 ．若，则 ．    【答案】 30 【详解】解：连接、、，∵，，分别切于点A，B，D， ∴，，， ∴ ∵、分别与相切于点A、B，∴， 又∵，∴， ∵与相切于点D，∴， 在和中，，∴，∴， 在和中，，∴，∴， ∴，故答案为：30；．    （24-25九年级上·江苏泰州·期中）欧几里得，古希腊数学家，被称为“几何之父”，他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛的认为是历史上最成功的教科书．他在第Ⅲ卷中提出这样一个命题：“由已知点作直线切于已知圆”．如图，设是已知点，小圆为已知圆．具体作法是：以为圆心，为半径作大圆，连接交小圆于点，过作，交大圆于点，连接，交小圆于点，连接，则是小圆的切线．(1)为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明，如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”的过程； 已知：如图，点，和点，分别在以为圆心的同心圆上，______．求证：______．证明：______ (2)如图1，长不变，改变小圆的半径，延长交大圆于点，延长线交大圆于点，当经过圆心时，求的值；(3)在（2）中，若改变小圆的半径时，与小圆相切，直接写出的度数．       【答案】(1)证明见解析(2)(3) 【详解】（1）已知：如图，点A，C和点B，D分别在以O为圆心的同心圆上， 求证：是小圆O的切线 证明：∵点A，C和点B，D分别在以O为圆心的同心圆上，∴． 在和中，∴，∴， ∵，∴，∴，∴是小圆O的切线． （2）由（1）得：，，， ∴，，∴， ∵，∴，∴，∴AO==2∴=． （3）如图，∵，，都为小圆O的切线，记与小圆O的切点为H，    ∴，， ∵，，， ∴，，∴，而， ∴∴． （24-25九年级上·江苏宿迁·期中）（1）如图①，点A、B、P均在上，，则锐角的大小为 度． （2）【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，是等边的外接圆，点在上（点不与点、重合），连结、、．求证：．小明发现，延长至点，使，连结，通过证明，可推得是等边三角形，进而得证．下面是小明的部分证明过程： 证明：延长至点E，使，连接 ∵四边形是的内接四边形，∴，∵，∴， ∵是等边三角形，∴，∴．请你补全余下的证明过程． （3）【应用】如图③，已知四边形内接于圆O，，，连接、，请直接写出线段之间的数量关系 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【详解】（1）解：∵点，，均在上，，∴，故答案为：； （2）证明：延长至点，使，连接，       ∵四边形是的内接四边形，∴，∵，∴， ∵是等边三角形，∴，∴，∴， ∵在等边中，，∴，∴是等边三角形，∴， 又∵，∴； （3）解：如图，延长至点，使，连接，由（2）知，， 在和中，，，，， ，，由圆周角定理得：，，， ∵，∴，∴ 1-1切线长模型1 条件：如图1，P为外一点，PA，PB是的切线，切点分别为A，B。 结论：①△OAP≌△OBP；②∠AOB+∠APB=180°；③OP垂直平分AB； 图1 图2 图3 图4 1-2切线长模型2 条件：如图2，AD，CD，BC是的切线，切点分别为A，E，B。 结论：①△AOD≌△EOD；②△BOC≌△EOC；③AD+BC=DC；④∠DOC=90°； 2. 燕尾模型 条件：如图3，OA，OB是的半径，OC=OD。 结论：①△AOC≌△BOD；②△PAD≌△PBC； 3. 蝴蝶模型 条件：如图4，OA，OE是的半径，AD⊥OE，EB⊥OA。结论：①△AOD≌△EOB；②△ABD≌△EDB； 4. 手拉手（旋转）模型 图5 图6 条件：如图5，是△ABD的外接圆，且AD=BD，∠ADB=，C为圆O上一点。 结论：①△ADC≌△BDC’；②△DCC’是等腰三角形； 特别地，当=60°时，CD=CA+CB； 当=90°时，CD=CA+CB； 5. 对角互补模型 条件：如图6，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB。结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC。 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∴∠CDO+∠CEO＝180°， ∵∠CDO+∠CDM＝180°，∴∠MDC＝∠CEO，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE， ∵OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM=OC，NC=MC=OC。 又∵OE+OD＝ON+NE+OM-DM，∴OE+OD=ON+OM=OC， 模型1、切线长模型 例1（24-25·成都市九年级下期中）如图，，分别切于点A，B，切于点E，交，于点C，D．若的周长为半径的3倍，则的值为(   )    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：连接、，，在上取点F，使，连接，如图所示：    根据切线长定理可知，，，， ∴，∴， ∵，，，∴， ∴，∴，∵，∴， ∴，∴， 设，则，∵为的切线，∴， ∴，∴，即，解得：， ∴，∴，故A正确．故选：A． 例2（2025·江西新余·模拟预测）如图，在中，O为上一点，以O为圆心，长为半径作圆，与相切于点C，过点A作，交的延长线于点D，且． (1)求证：为的切线；(2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：过点作边上的垂线，并交于点， ，，，， ，，又∵是的切线，， ∴，∴，∵，∴， ∴，即，∵，∴， 又∵，∴，∴，又∵，∴是的切线； （2）∵，， 又∵，，， ∵，，， ，，，即的半径为， ，，， ∵，，，，． 例3（2025·湖北·一模）如图，，分别与相切于E，F两点，点G是圆上一点，直线过点G，且，交于C点，且．(1)求证：是的切线；(2)若，，求图中阴影部分的面积（保留根号和）． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：连接， ，是的切线，，，， ，，． 在和中，，，，， 是的半径，是的切线； （2）解：，是的切线，平分，平分， ，，， ．，，． 在中，，在中，， ，． 模型2、燕尾模型 例1（24-25·江苏·九年级专题练习）如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD，连结AC． (1)△ACD为等边三角形；(2)请证明：E是OB的中点；(3)若AB＝8，求CD的长． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3) 【详解】（1）证明：连接AC，如图 ∵直径AB垂直于弦CD于点E，∴，AC＝AD， ∵过圆心O的线CF⊥AD，∴AF＝DF，即CF是AD的中垂线， ∴AC＝CD，∴AC＝AD＝CD．即：△ACD是等边三角形， （2）△ACD是等边三角形，CF是AD的中垂线，＝30°， 在Rt△COE中，OE＝OC，∴OE＝OB，∴点E为OB的中点； （3）解：在Rt△OCE中，AB=8 ∴OC＝AB＝4， 又∵BE＝OE，∴OE＝2，∴CE＝，∴CD＝2CE＝． 例2（24-25·重庆九年级期中）如图，以O为圆心的两个圆中，大圆的半径分别交小圆于点C，D，连结，下列选项中不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由圆的基本性质可知：，， ∴，即：，故A正确；∴和均为等腰三角形， ∵和的顶角均为， ∴，， ∴，∴，故B正确； ∵当是的中位线时，满足，由于不一定为的中点， ∴不一定等于，故C错误； 在和中，∴，∴，故D正确；故选：C． 例3．（2025·河南·校考一模）欧几里得，古希腊数学家，被称为“几何之父”，他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛的认为是历史上最成功的教科书．他在第Ⅲ卷中提出这样一个命题：“由已知点作直线切于已知圆”．如图，设A是已知点，小圆O为已知圆．具体作法是：以O为圆心，为半径作大圆O，连接交小圆O于点B，过B作，交大圆O于点C，连接，交小圆O于点D，连接，则是小圆O的切线． 为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明，如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”的过程． 已知：如图，点A，C和点B，D分别在以O为圆心的同心圆上，_________．求证：___________． 证明： 【答案】，是小圆O的切线，证明见解析 【详解】已知：如图，点A，C和点B，D分别在以O为圆心的同心圆上， 求证：是小圆O的切线 证明：∵点A，C和点B，D分别在以O为圆心的同心圆上，∴． 在和中,∴，∴， ∵，∴，∴，∴是小圆O的切线． 例4（2025·河北唐山·二模）如图，将半径为10的扇形，绕点逆时针旋转得到扇形． (1)求证：；(2)当为直径时，，求的值及优弧的长． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：由题意可得：，， 由旋转的性质可知，，．由旋转的性质可知，，， ，即，，． 在与中，，． （2）解：当为直径时，，∵，∴， ∵，∴，∴， ∵为直径，∴，即， ∴，∴优弧的长度为． 模型3、蝴蝶模型 例1（24-25九年级下·江西赣州·期中）已知线段、为的弦，且，求证：． 【答案】（1）；（2）见解析 【详解】解：如图，连接，，，，， 在和中，，，． 例2（24-25·河南·一模）概念引入在一个圆中，圆心到该圆的任意一条弦的距离，叫做这条弦的弦心距． 概念理解(1)如图1，在中，半径是5，弦，则这条弦的弦心距长为　　． (2)通过大量的做题探究；小明发现：在同一个圆中，如果两条弦相等，那么这两条弦的弦心距也相等．但是小明想证明时却遇到了麻烦．请结合图2帮助小明完成证明过程如图2，在中，，，，求证：． 概念应用如图3，在中，的直径为20，且弦垂直于弦于，请应用上面得出的结论求的长． 【答案】(1)3；(2)证明见解析； 【详解】（1）解：连接，，，， ，，，，故答案为：3； （2）证明：连接、，，，， ，，，，，， ，； 概念应用解：过点作交于，过点作交于，连接， ，，，，四边形是正方形，， ，，的直径为20，，，，. 例3（24-25九年级上·河南郑州·期末）在《圆的对称性》一节，我们学习了“圆心角、弧、弦之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等”． 定义：从圆心到弦的距离叫做弦心距，弦心距也可以说成圆心到弦的垂线段的长度．如图①，在中垂足为，垂足为，和都是弦心距． 实际上我们还可以得到“圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系”如下：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 请直接运用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系解答下列问题： 如图②，是的平分线上一点，以点为圆心的圆与角的两边分别交于．    (1)求证：； (2)若角的顶点在圆上或圆内，上述结论是否成立？若不成立，请说明理由；若成立，请加以证明． 【答案】(1)证明见解析(2)结论仍然成立，证明见解析 【详解】（1）证明：如图②过点作于点，于点， 又∵平分，∴，∴；    （2）解：结论仍然成立．理由如下：如图③，当点在上时，由（1）知．∴， 如图④，当点在内时，由（1）知．∴． 模型4、手拉手（旋转）模型 例1（24-25九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，在圆内接四边形中， ，为直径，若四边形的面积是S，的长是x，则S与x之间的数关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，延长到E，使，连接， 四边形是圆内接四边形，∴，， 在和中，∴，， ∴， 即，∴，故选：C． 例2（24-25·河南许昌·九年级校考期末）已知，点、、、是圆上的四个点， (1)如图1，如果，判断的形状，并证明．(2)如果是等边三角形，点在圆上运动，连接、、，请直接写出这三条线段的数量关系．(3)如图2，如果是等边三角形，圆半径为2，当点在弧上运动时，四边形周长最大值为______． 【答案】(1)等边三角形，证明见解析(2)见解析(3) 【详解】（1）解：等边三角形，理由是：∵，∴，， ∴，，∴是等边三角形； （2）当点在劣弧上时，如图，延长到点，使， 为等边三角形，，， ，，， 在和中，，， ，，，为等边三角形，，； 同理：当点在劣弧上时，；当点在劣弧上时，； （3）由（2）可得：当点在弧上运动时，， ∴四边形周长为， 由于固定不变，则当最大时，即为直径时，周长最大， 连接并延长，交于E，则， ∵是等边三角形，∴， ∴， ∴，∴， 则四边形周长的最大值为． 例3（2024·山西吕梁·一模）阅读与思考 下面是小宇同学的数学日记，请你仔细阅读并完成相应的任务． 圆内接正三角形的有趣结论：我在学完“圆内接正多边形”之后，知道了圆内接正多边形有许多有趣的结论.于是，我通过查阅资料发现了一个与圆内接正三角形相关的结论. 如图1，等边三角形内接于，点P是弧上的任意一点，连接，可得下面是这个结论的证明过程：以点为顶点，作，交于点D，            在等边三角形中，，， （依据），，是等边三角形，， ∵，∴，即， ∴，∴，∵，∴ 任务：(1)小宇的日记中的“依据”是 ，(2)如图，若，，则线段的长度是 ， (3)如图，正方形内接于，点是弧上的任意一点，连接，则之间有怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】(1)在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等(2)(3) 【详解】（1）在等边三角形中，，， （在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等）， 故答案为：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等 （2）过点作于点，在中， ∴，，∴，， 在中，，， ，．， 由题可知， ． （3） 连接，过点作交于点 ∵正方形内接于，， 是等腰直角三角形∴， 即 ． 例4（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角． (1)如图1，若四边形是圆美四边形，求美角的度数． (2)在（1）的条件下，若的半径为8．①求的长．②如图2，在四边形中，若平分，试求四边形面积的最大值．(3)在（1）的条件下，如图3，若是的直径，请用等式表示线段、之间的数量关系______．（直接写答案） 【答案】(1)(2)①；②(3) 【详解】（1）解： 四边形是圆美四边形，， 四边形是圆的内接四边形，，，． （2）①作直径．连接，如图， 为圆的直径，，由（1）知：，， 的半径为8，．． ②延长至点，使，连接，如图， 由（1）知：，， 平分，．，， 四边形是圆的内接四边形，， ，． 在△和△中，，， ，，为等边三角形． ，，． 的面积最大时，四边形面积最大． 当取得最大值时，的面积最大，当为圆的直径时，四边形面积最大． 即时，四边形面积取得最大值的面积的最大值， 四边形面积的最大值． （3）．理由：延长交的延长线于点，如图， 是的直径，，． 由（1）知：，，，． ，，．故答案为：． 例4（24-25九年级上·浙江·期末）如图，四边形是圆内接四边形，． (1)求的度数；(2)若的半径为6．①求的长；②如图2在四边形中，若平分，求的最大值．(3)如图3，连接，若是的直径，，请直接用含m，n的式子表示的长． 【答案】(1)(2)①；②(3) 【详解】（1）四边形是圆的内接四边形， ，有，． （2）①作直径．连接，如图， 为圆的直径，，由（1）知：，， 的半径为6，．． ②延长至点，使，连接，如图， 由（1）知：，， 平分，．，， 四边形是圆的内接四边形，，，． 在△和△中，，， ，，为等边三角形． ，，． 的面积最大时，四边形面积最大． 当取得最大值时，的面积最大，当为圆的直径时，四边形面积最大． 即时，四边形面积取得最大值的面积的最大值， 四边形面积的最大值． （3）．理由：延长交的延长线于点，如图， 是的直径，，．由（1）知：， ，，． ，，，．故答案为：． 例5（24-25九年级下·广西贵港·阶段练习）如图，圆是的外接圆，是上的点，连接、、．(1)如图甲，，点在延长线上，判断之间的数量关系，并证明你的结论．(2)如图乙，，点不在延长线上，判断之间的数量关系，并证明你的结论．(3)若，直接写出之间的数量关系．（用含的式子表示） 【答案】(1)，见解析(2)，见解析(3) 【详解】（1）解：，证明如下： ∵点在延长线上，∴为的直径，∴， ∵，∴，∴，∴； （2）解：，理由如下：在上截取， ∵，∴为等边三角形，∴，， 在和中，，∴，∴， ∴； （3）解：，理由如下： 过点C分别作于点M，延长线于点N， ∵，∴，，在和中， ∴，∴， 在和中，∵，∴，， ∴ ∴． 模型5.对角互补模型 例1（24-25九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，是圆的直径，为圆的弦，且平分，若，则的长为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，作交的延长线于，作交于，则， ， 平分，，，， 四边形是圆的内接四边形，， ，， 在和中，，，， 是圆的直径，，平分，， 、是等腰直角三角形， ，，， ，，，， ，故选：D． 例2（2025·湖南·模拟预测）【感知】如图①，为等边三角形的外接圆．为的直径，线段与交于点，探究线段，，的数量关系． 小明同学的做法：过点作的垂线交延长线于点，连接．易证．进而得出，．则线段，，的数量关系是； 【探究】如图②，等腰三角形中．，为的外接圆，为弧上一点，于点，探究上述结论是否成立，如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由； 【应用】如图③，是的外接圆，是直径，．点在上，且点与点位于线段两侧，过点作线段的垂线，交线段于点，若点为的三等分点，则的值为 ． 【答案】【探究】成立，见解析；【应用】 【详解】解：【探究】成立，证明：过点作的垂线交延长线于点，连接，如图所示： ∵，∴，∵，∴， ∵，∴在和中，， ∴，∴，， ∴在和中，，∴， ∴，∴； 【应用】过点作的垂线交延长线于点，如图所示： ∵是直径，，∴，∴四边形是矩形， ∵四边形是的内接四边形，∴， ∵，∴，∵， ∴在和中，，∴， ∴，，∴四边形是正方形，∴， ∵点为的三等分点，点与点位于线段两侧，∴， 设，则，∴，， ∴． 例3（2025九年级下·江苏南京·专题练习）小敏在查阅资料时得知：已知一个四边形各边长均为定值，当它的四个顶点在同一个圆上时，四边形的面积最大． 【从特殊验证】已知四边形的各边长依次为7，15，20，24，它的面积S何时最大？ 小敏的演算纸 综上所述，s的最大值为…… （1）探索情形Ⅰ：①求证：点A，B，C，D在同一个圆上．②S的值为______． （2）探索情形Ⅱ：说明此时S的值小于情形Ⅰ中S的值． 【向一般进发】（3）已知四边形的各边长依次为6，8，8，12，借助已有结论对它展开探索，求它的面积S的最大值． 【答案】（1）①证明见解析；②234；（2）见解析；（3） 【详解】解：（1）①证明：连接，取的中点O，连接， ，， 又，，， 为的中点，，点A，B，C，D在同一个圆上； ②解：， 故答案为：234； （2）解：，，， 在中，，在中，，，即； （3）解：由题意可知，当四边形四顶点共圆时，它的面积最大， 连接，过点C分别作于点E，于点F， ，，， ，，，，， 同理可证，，，， ∵，，，， ，， 即四边形面积S的最大值为 1．（24-25·陕西铜川·九年级校考阶段练习）如图，已知半圆O与四边形的边相切，切点分别为D，E，C，设半圆的半径为2，，则四边形的周长为（　　） A．7 B．9 C．12 D．14 【答案】D 【详解】解：∵半圆O与四边形的边相切，切点分别为D，E，C， ∴，∴， ∵，∴四边形是周长．故选：D． 2．（24-25·青海西宁·九年级统考期末）如图，，为的两条切线，切点分别为，，连接交于点，交弦于点．下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D．是等边三角形 【答案】D 【详解】解：由切线长定理可得：，， ∴，，∴， 故A，B，C正确，而中只满足，无其他条件证明是等边三角形，故选D． 3．（2023·湖北·统考中考真题）如图，在中，的内切圆与分别相切于点，，连接的延长线交于点，则 ．    【答案】/度 【详解】解：如图所示，连接，设交于H， ∵是的内切圆，∴分别是的角平分线， ∴，∵，∴， ∴，∴， ∵与分别相切于点，，∴， 又∵，∴是的垂直平分线，∴，即， ∴，故答案为：．    4.（2025·陕西西安·九年级校考期末）如图，为圆的弦，半径，分别交于点，．且．（1）求证：．（2）作半径于点，若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析   （2）3． 【详解】解：（1）证明：连接OA、OB，如图所示： ∵∴∠AOE=∠BOD∵OA=OB∴∠OAE=∠OBF ∴∴ （2）∵∴AM=BM=4设OM=x，则OA=ON=x+2 在RtAOM中，由勾股定理得：42+x2=（x+2）2，解得：x=3∴OM=3． 5．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）【定义】圆心到弦的距离叫做弦心距． 【探究】等弧所对弦的弦心距相等． （1）请在图1中画出图形，写出已知、求证并证明． 【应用】（2）如图2，的弦，的延长线相交于点，且，连接．求证：平分． 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【详解】（1）已知：，于点，于点．求证：． 证明：∵，∴．∵，，∴，，∴． 在和中，，∴（HL），∴． （2）证明：过点作，，垂足分别为、，连接． 由（1）可知，当时，．在和中，， ∵∴（HL），∴，即平分． 6．（24-25·北京西城·九年级校考开学考试）如图，线段为的直径，，分别切于点，，射线交的延长线于点，的延长线交于点，于点．若，．    (1)求证：；(2)求线段的长． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）∵线段为的直径，，分别切于点，， ∴，    ∵，∴， ∵，∴，∴． （2）连接，∵，是圆的切线， ∴，∴， ∴，∴， ∵是圆的切线，是圆的切线，∴，， 设，则，    ∴，解得，∴，∴， ∵，∴，解得， ∴，故． 7．（24-25·绵阳市·九年级专题练习）如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD．（1）证明：点E是OB的中点；（2）若AB=8，求CD的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【详解】（1）证明：连接AC，如图 ∵直径AB垂直于弦CD于点E，∴，AC＝AD， ∵过圆心O的线CF⊥AD，∴AF＝DF，即CF是AD的中垂线， ∴AC＝CD，∴AC＝AD＝CD．即：△ACD是等边三角形，∴∠FCD＝30°， 在Rt△COE中，OE＝OC，∴OE＝OB，∴点E为OB的中点； （2）解：在Rt△OCE中，AB=8 ∴OC＝AB＝4， 又∵BE＝OE，∴OE＝2，∴CE＝，∴CD＝2CE＝． 8．（24-25·江苏泰州·九年级专题练习）如图，是的直径，点是外一点，切于点，连接，过点作交于点，点是的中点，且，． (1)与有怎样的位置关系？为什么？(2)求的长． 【答案】(1)为的切线，原因见解答过程(2) 【详解】（1）解：为的切线．理由如下：连接，如图所示： ，，， ，，， 在和中，，，， 切于点，，， 是的半径，为的切线； （2）连接、、，过点作于，如图所示： ，是的直径，， 点是的中点，，， ，由勾股定理得：， ． 9．（24-25·江苏南京·九年级专题练习）【问题情境】学完《探索全等三角形的条件》后，老师提出如下问题：如图①，中，若，，求边上中线的取值范围．通过分析、思考，小丽同学形成两种解题思路． 思路1：将绕着点D旋转，使得和重合，得到； 思路2：延长到E，使得，连接，根据可证得； (1)根据上面任意一种解题思路，再结合三角形三边关系，我们都可以得到的取值范围为 ． (2)【类比探究】如图②，，，，是的边上的中线，试探索与的数量关系，并说明理由． (3)【迁移应用】【应用1】如图③，已知的半径为6，四边形是的圆内接四边形．，，求的长． 【应用2】如图④，，，，，，，、相交于点G，连接，若的度数发生改变，请问是否存在最小值？如果存在，则直接写出其最小值（用含a和b的式子表示），如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)，见解析(3)；存在最小值，其最小值为 【详解】（1）解：延长到E，使得，连接，如图①，， 在和中，，，． ，，．故答案为：； （2）解：与的数量关系为：． 理由如下：延长至点G，使，连接，如图，则． 是的边上的中线，， 在和中，，， ，，，． ，．，． 在和中，，，．． （3）解：应用1：过点O作于点E，于点F，如图， 则，．，，， ，，．，． ，． 在和中，，， ，．； 应用2：存在最小值，其最小值为， 理由如下：取的中点F，连接，延长DF至点H，使，连接，，如图， ，．，， ，，即． 在和中，，，， ∴点E，D，G、B四点共圆，，， ∵F为的中点，∴．，， ∴四边形为平行四边形，，，． ，．，． 在和中，，，， ．若的度数发生改变，当点G，D，F三点在一条直线上时， 的值最小为：． 10．（2025·河北石家庄·统考二模）乒乓球台（如图①）的支架可近似看成圆弧，其示意图如图②，与所在的直线过弧所在圆的圆心，直线与弧所在的圆相切于点G，连接，，且，． (1)求证：； (2)若弓形的高为，，且，求的长． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：如图，延长，交于点O，则点O是弧所在圆的圆心，连接， ∵直线与圆O相切于点G，∴，， ∵，，，∴， ∴，，∵，， ∴，∵，，∴； （2）解：如图，连接，设与交于点H， ∵，，，∴，∴， ∵，，∴，，弓形高，∴， 在中，由勾股定理得：，∴． 11．（24-25·江苏盐城·九年级统考期中）如图1，直角坐标系中，OT为第一象限的角平分线， ， ，点P为OA上一动点，Q为y轴上一动点， ，以PQ为直径的圆与OT相交于点C． (1)若 ，求点P坐标；(2)求证： ；(3)判断OP、OQ、OC之间的数量关系并证明； (4)如图2，将题设条件“ ”更换为“ ”，以PQ为直径的圆与AB相交于M、N两点，则MN的最大值为　 　． 【答案】(1)(2)见解析(3)，证明见解析(4) 【详解】（1），，，， ，，即P为OA的中点，； （2）PQ为直径，， ，为等腰直角三角形，； （3），  证明：连接AC， ∵四边形OPCQ是圆的内接四边形，         在和中，，， ，，即 ； （4）如图，设P Q的中点为，连接， ，，点在以O为圆心，3为半径的圆上运动， 设到MN的距离为d，，， 当到MN的距离最小时，MN最大，作CD与相切，切点为I，且， 当在I时，MN最大，连接OI并延长交MN与点E，，， ，，， ，MN的最大值为；故答案为：． 12．（24-25·江苏南通·九年级统考期中）如图，四边形是内正方形，P是圆上一点（点P与点A，B，C，D不重合），连接． (1)若点P是弧上一点，①∠BPC度数为 ___________； ②求证：；小明的思路为：这是线段和差倍半问题，可采用截长补短法，请按小明思路完成下列证明过程（也可按自己的想法给出证明）．证明：在的延长线上截取点E．使，连接． (2)探究当点P分别在，，上，求的数量关系，直接写出答案，不需要证明． 【答案】(1)①，②见解析(2)；；；证明见解析 【详解】（1）①解：，理由： ∵四边形是正方形，∴， ∴的度数为，∴，故答案为：； ②证明：在的延长线上截取点E，使．连接，如图， ∵四边形是内接正方形，∴， 又∵点P在上，∴四边形为内接四边形∴． 在和中， ，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴为等腰直角三角形，∴，∴； （2）当点P在上时，；在上取点E，使，连接，如图， ∵四边形是内接正方形，∴， 在和中， ，∴，∴， ∵，∴， ∴，∴为等腰直角三角形， ∴，∴； 当点P在上时，，在上取点E，使，连接，如图， ∵四边形是内接正方形，∴， 在和中， ，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴为等腰直角三角形，∴，∴； 当点P在上时，，理由： 在的延长线上截取点E，使，连接，如图， ∵四边形是内接正方形，∴， 又∵点P在上，∴四边形为内接四边形∴． 在和中， ，∴，∴． ∵，∴，∴． ∴为等腰直角三角形，∴，∴． 13．（24-25·江苏·九年级校联考阶段练习）如图1，已知圆内接中，，D为弧的中点． (1)写出与相等的角（不添加任何线段） ___________； (2)过点D作于E，判断之间的数量关系并证明；(3)求证：． 【答案】(1)(2)，见解析(3)见解析 【详解】（1）解：∵D为弧的中点，∴，∴，故答案为：； （2）数量关系：． 证明：在上截取，连，如图2， ∵D为弧的中点，∴，∴， 又∵，∴，∴，而，∴， ，即． （3）由（2）知：，又∵， ∴．即． 14．（24-25·浙江杭州·九年级期末）如图，已知是的直径，点、为圆上两点，且弧弧，于点，的延长线于点． （1）试说明：；（2）若，，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2） 【详解】解：（1）证明：∵弧CB=弧CD，∴CB=CD，∠CAE=∠CAB， 又∵CF⊥AB，CE⊥AD，∴CE=CF，∴Rt△CED≌Rt△CFB（HL）∴DE=BF； （2）∵CE=CF，∠CAE=∠CAB，∴△CAE≌△CAF， ∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠DAB=60°，∴∠CAB=30°，AB=6，∴BC=3， ∵CF⊥AB于点F，∴∠FCB=30°，∴CF＝，BF=， ∴S△ACD=S△ACE-S△CDE=S△ACF-S△CFB=（AF-BF）•CF=（AB-2BF）•CF=. 15．（24-25·浙江杭州·模拟预测）如图，已知圆内接四边形的边长分别为，，，求四边形的面积．    【答案】8 【详解】解：连接BD，延长BC到E,使CE=AB=2，连接DE，过点D作DF⊥BC，垂足为F， ∵圆内接四边形，∴∠A+∠BCD=∠DCE+∠BCD，∴∠A=∠DCE， ∵AB=CE,AD=DC，∴△ABD≌△CED，∴BD=DE， ∴四边形ABCD的面积与三角形BDE的面积相等， ∵DF⊥BC，∴BF=EF=(BC+CE)=BE=×8=4，∴FC=EF-CE=4-2=2， 在Rt△DEC中，DF=，∴=×8×2=8．    16．（24-25·九年级广东课时练习）如图，已知A、B、C是圆O上的三点，AB＝AC，M、N分别是AB、AC的中点，E、F分别是OM、ON上的点． (1)求证：∠AOM＝∠AON；(2)如果AEON，AFOM，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）证明：∵M、N分别是AB、AC的中点，OM、ON过圆心， ∴，．又∵，∴． ∵在Rt△AOM和Rt△AON中，， ∴Rt△AOM≌Rt△AON（HL），∴． （2）解：连接EF，交AO于点P． ∵，，∴四边形AEOF是平行四边形． ∵，∴，∵，∴． ∴，∴四边形AEOF是菱形．∴，． ∵，∴．∵， ∴．∴，∴，即． 17．（24-25·四川校考模拟预测）如图，边长为2的圆内接正方形中，P为边的中点，直线交圆于E点．(1)求证：；(2)求弦的长；(3)若Q是线段上一动点，当线段的长度为何值时，． 【答案】(1)见解析(2)DE=(3)当线段的长度为时， 【详解】（1）证明：（1）连接交于点O， ∵四边形是正方形，∴，， ∴，∴； （2）解：∵点P是的中点，∴， 在中，，在中，， ∵，，∴， ∴，即，∴； （3）解：如图：连接，延长到F，使，连接， ∵四边形是正方形，∴，， ∵，，∴，∴，， 若， ∴，∴，∴， ∵，，∴，∴， ∵，∴， 在中，，∴，∴． 18．（24-25上·江苏泰州·九年级校考阶段练习）欧几里得，古希腊数学家，被称为“几何之父”，他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛的认为是历史上最成功的教科书．他在第Ⅲ卷中提出这样一个命题：“由已知点作直线切于已知圆”．如图，设是已知点，小圆为已知圆．具体作法是：以为圆心，为半径作大圆，连接交小圆于点，过作，交大圆于点，连接，交小圆于点，连接，则是小圆的切线．       (1)为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明，如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”的过程； 已知：如图，点，和点，分别在以为圆心的同心圆上，______． 求证：______．证明： (2)如图1，长不变，改变小圆的半径，延长交大圆于点，延长线交大圆于点，当经过圆心时，求的值； (3)在（2）中，若改变小圆的半径时，与小圆相切，直接写出的度数． 【答案】(1)证明见解析(2)(3) 【详解】（1）已知：如图，点A，C和点B，D分别在以O为圆心的同心圆上， 求证：是小圆O的切线 证明：∵点A，C和点B，D分别在以O为圆心的同心圆上，∴． 在和中，∴，∴， ∵，∴，∴，∴是小圆O的切线． （2）由（1）得：，，， ∴，，∴， ∵，∴，∴． （3）如图，∵，，都为小圆O的切线，记与小圆O的切点为H， ∴，，    ∵，，，∴，， ∴，而， ∴∴． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 圆中的重要模型之圆中的全等三角形模型 圆中常见全等模型：切线长模型、燕尾模型、蝴蝶模型、手拉手（旋转）模型、对角互补模型等。 知识储备：垂径定理及推理、圆周角、圆心角、弧、弦、弦心距的关系等。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 5 模型运用 6 模型1、切线长模型 6 模型2、燕尾模型 9 模型3、蝴蝶模型 14 模型4、手拉手（旋转）模型 9 模型5、对角互补模型 14 17 圆中的全等模型在几何学发展史中源远流长，其历史脉络可追溯至古代文明，并在不同时期得到深化与扩展。首先古埃及工程师利用圆的性质进行土地测量与金字塔建造，通过经验发现全等三角形的拼接可形成稳定结构；然后欧几里得‌（约公元前300年）在《几何原本》中首次系统化几何理论：提出全等三角形公设（如SSS判定法），为圆中全等模型奠定逻辑基础；接着阿基米德‌（公元前287–前212年）在著作中记录弦切角、垂径性质等命题，隐含全等证明思想；最后在近现代数学教育中形成了一些重要的全等模型。圆的全等模型从经验实践到公理体系，历经文明交融与数学革命，至今仍是连接古典几何与现代科技的纽带。 （24-25·广东九年级期中）如图，已知，，分别切于点A，B，D，若，则的周长是 ．若，则 ．    （24-25九年级上·江苏泰州·期中）欧几里得，古希腊数学家，被称为“几何之父”，他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛的认为是历史上最成功的教科书．他在第Ⅲ卷中提出这样一个命题：“由已知点作直线切于已知圆”．如图，设是已知点，小圆为已知圆．具体作法是：以为圆心，为半径作大圆，连接交小圆于点，过作，交大圆于点，连接，交小圆于点，连接，则是小圆的切线．(1)为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明，如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”的过程； 已知：如图，点，和点，分别在以为圆心的同心圆上，______．求证：______．证明：______ (2)如图1，长不变，改变小圆的半径，延长交大圆于点，延长线交大圆于点，当经过圆心时，求的值；(3)在（2）中，若改变小圆的半径时，与小圆相切，直接写出的度数．       （24-25九年级上·江苏宿迁·期中）（1）如图①，点A、B、P均在上，，则锐角的大小为 度． （2）【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，是等边的外接圆，点在上（点不与点、重合），连结、、．求证：．小明发现，延长至点，使，连结，通过证明，可推得是等边三角形，进而得证．下面是小明的部分证明过程： 证明：延长至点E，使，连接 ∵四边形是的内接四边形，∴，∵，∴， ∵是等边三角形，∴，∴．请你补全余下的证明过程． （3）【应用】如图③，已知四边形内接于圆O，，，连接、，请直接写出线段之间的数量关系 1-1切线长模型1 条件：如图1，P为外一点，PA，PB是的切线，切点分别为A，B。 结论：①△OAP≌△OBP；②∠AOB+∠APB=180°；③OP垂直平分AB； 图1 图2 图3 图4 1-2切线长模型2 条件：如图2，AD，CD，BC是的切线，切点分别为A，E，B。 结论：①△AOD≌△EOD；②△BOC≌△EOC；③AD+BC=DC；④∠DOC=90°； 2. 燕尾模型 条件：如图3，OA，OB是的半径，OC=OD。 结论：①△AOC≌△BOD；②△PAD≌△PBC； 3. 蝴蝶模型 条件：如图4，OA，OE是的半径，AD⊥OE，EB⊥OA。结论：①△AOD≌△EOB；②△ABD≌△EDB； 4. 手拉手（旋转）模型 图5 图6 条件：如图5，是△ABD的外接圆，且AD=BD，∠ADB=，C为圆O上一点。 结论：①△ADC≌△BDC’；②△DCC’是等腰三角形； 特别地，当=60°时，CD=CA+CB； 当=90°时，CD=CA+CB； 5. 对角互补模型 条件：如图6，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB。结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC。 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∴∠CDO+∠CEO＝180°， ∵∠CDO+∠CDM＝180°，∴∠MDC＝∠CEO，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE， ∵OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM=OC，NC=MC=OC。 又∵OE+OD＝ON+NE+OM-DM，∴OE+OD=ON+OM=OC， 模型1、切线长模型 例1（24-25·成都市九年级下期中）如图，，分别切于点A，B，切于点E，交，于点C，D．若的周长为半径的3倍，则的值为(   )    A． B． C． D． 例2（2025·江西新余·模拟预测）如图，在中，O为上一点，以O为圆心，长为半径作圆，与相切于点C，过点A作，交的延长线于点D，且． (1)求证：为的切线；(2)若，，求的长． 例3（2025·湖北·一模）如图，，分别与相切于E，F两点，点G是圆上一点，直线过点G，且，交于C点，且．(1)求证：是的切线；(2)若，，求图中阴影部分的面积（保留根号和）． 模型2、燕尾模型 例1（24-25·江苏·九年级专题练习）如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD，连结AC．(1)△ACD为等边三角形；(2)请证明：E是OB的中点；(3)若AB＝8，求CD的长． 例2（24-25·重庆九年级期中）如图，以O为圆心的两个圆中，大圆的半径分别交小圆于点C，D，连结，下列选项中不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 例3．（2025·河南·校考一模）欧几里得，古希腊数学家，被称为“几何之父”，他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛的认为是历史上最成功的教科书．他在第Ⅲ卷中提出这样一个命题：“由已知点作直线切于已知圆”．如图，设A是已知点，小圆O为已知圆．具体作法是：以O为圆心，为半径作大圆O，连接交小圆O于点B，过B作，交大圆O于点C，连接，交小圆O于点D，连接，则是小圆O的切线． 为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明，如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”的过程． 已知：如图，点A，C和点B，D分别在以O为圆心的同心圆上，_________．求证：___________． 证明： 例4（2025·河北唐山·二模）如图，将半径为10的扇形，绕点逆时针旋转得到扇形． (1)求证：；(2)当为直径时，，求的值及优弧的长． 模型3、蝴蝶模型 例1（24-25九年级下·江西赣州·期中）已知线段、为的弦，且，求证：． 例2（24-25·河南·一模）概念引入在一个圆中，圆心到该圆的任意一条弦的距离，叫做这条弦的弦心距． 概念理解(1)如图1，在中，半径是5，弦，则这条弦的弦心距长为　　． (2)通过大量的做题探究；小明发现：在同一个圆中，如果两条弦相等，那么这两条弦的弦心距也相等．但是小明想证明时却遇到了麻烦．请结合图2帮助小明完成证明过程如图2，在中，，，，求证：． 概念应用如图3，在中，的直径为20，且弦垂直于弦于，请应用上面得出的结论求的长． 例3（24-25九年级上·河南郑州·期末）在《圆的对称性》一节，我们学习了“圆心角、弧、弦之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等”． 定义：从圆心到弦的距离叫做弦心距，弦心距也可以说成圆心到弦的垂线段的长度．如图①，在中垂足为，垂足为，和都是弦心距． 实际上我们还可以得到“圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系”如下：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 请直接运用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系解答下列问题： 如图②，是的平分线上一点，以点为圆心的圆与角的两边分别交于．    (1)求证：； (2)若角的顶点在圆上或圆内，上述结论是否成立？若不成立，请说明理由；若成立，请加以证明． 模型4、手拉手（旋转）模型 例1（24-25九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，在圆内接四边形中， ，为直径，若四边形的面积是S，的长是x，则S与x之间的数关系式是（    ） A． B． C． D． 例2（24-25·河南许昌·九年级校考期末）已知，点、、、是圆上的四个点， (1)如图1，如果，判断的形状，并证明．(2)如果是等边三角形，点在圆上运动，连接、、，请直接写出这三条线段的数量关系．(3)如图2，如果是等边三角形，圆半径为2，当点在弧上运动时，四边形周长最大值为______． 例3（2024·山西吕梁·一模）阅读与思考 下面是小宇同学的数学日记，请你仔细阅读并完成相应的任务． 圆内接正三角形的有趣结论：我在学完“圆内接正多边形”之后，知道了圆内接正多边形有许多有趣的结论.于是，我通过查阅资料发现了一个与圆内接正三角形相关的结论. 如图1，等边三角形内接于，点P是弧上的任意一点，连接，可得下面是这个结论的证明过程：以点为顶点，作，交于点D，            在等边三角形中，，， （依据），，是等边三角形，， ∵，∴，即， ∴，∴，∵，∴ 任务：(1)小宇的日记中的“依据”是 ，(2)如图，若，，则线段的长度是 ， (3)如图，正方形内接于，点是弧上的任意一点，连接，则之间有怎样的数量关系？请说明理由． 例4（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角． (1)如图1，若四边形是圆美四边形，求美角的度数． (2)在（1）的条件下，若的半径为8．①求的长．②如图2，在四边形中，若平分，试求四边形面积的最大值．(3)在（1）的条件下，如图3，若是的直径，请用等式表示线段、之间的数量关系______．（直接写答案） 例4（24-25九年级上·浙江·期末）如图，四边形是圆内接四边形，． (1)求的度数；(2)若的半径为6．①求的长；②如图2在四边形中，若平分，求的最大值．(3)如图3，连接，若是的直径，，请直接用含m，n的式子表示的长． 例5（24-25九年级下·广西贵港·阶段练习）如图，圆是的外接圆，是上的点，连接、、．(1)如图甲，，点在延长线上，判断之间的数量关系，并证明你的结论．(2)如图乙，，点不在延长线上，判断之间的数量关系，并证明你的结论．(3)若，直接写出之间的数量关系．（用含的式子表示） 模型5.对角互补模型 例1（24-25九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，是圆的直径，为圆的弦，且平分，若，则的长为（    ） A．2 B． C． D． 例2（2025·湖南·模拟预测）【感知】如图①，为等边三角形的外接圆．为的直径，线段与交于点，探究线段，，的数量关系． 小明同学的做法：过点作的垂线交延长线于点，连接．易证．进而得出，．则线段，，的数量关系是； 【探究】如图②，等腰三角形中．，为的外接圆，为弧上一点，于点，探究上述结论是否成立，如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由； 【应用】如图③，是的外接圆，是直径，．点在上，且点与点位于线段两侧，过点作线段的垂线，交线段于点，若点为的三等分点，则的值为 ． 例3（2025九年级下·江苏南京·专题练习）小敏在查阅资料时得知：已知一个四边形各边长均为定值，当它的四个顶点在同一个圆上时，四边形的面积最大． 【从特殊验证】已知四边形的各边长依次为7，15，20，24，它的面积S何时最大？ 小敏的演算纸 综上所述，s的最大值为…… （1）探索情形Ⅰ：①求证：点A，B，C，D在同一个圆上．②S的值为______． （2）探索情形Ⅱ：说明此时S的值小于情形Ⅰ中S的值． 【向一般进发】（3）已知四边形的各边长依次为6，8，8，12，借助已有结论对它展开探索，求它的面积S的最大值． 1．（24-25·陕西铜川·九年级校考阶段练习）如图，已知半圆O与四边形的边相切，切点分别为D，E，C，设半圆的半径为2，，则四边形的周长为（　　） A．7 B．9 C．12 D．14 2．（24-25·青海西宁·九年级统考期末）如图，，为的两条切线，切点分别为，，连接交于点，交弦于点．下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D．是等边三角形 3．（2023·湖北·统考中考真题）如图，在中，的内切圆与分别相切于点，，连接的延长线交于点，则 ．    4.（2025·陕西西安·九年级校考期末）如图，为圆的弦，半径，分别交于点，．且．（1）求证：．（2）作半径于点，若，，求的长． 5．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）【定义】圆心到弦的距离叫做弦心距． 【探究】等弧所对弦的弦心距相等． （1）请在图1中画出图形，写出已知、求证并证明． 【应用】（2）如图2，的弦，的延长线相交于点，且，连接．求证：平分． 6．（24-25·北京西城·九年级校考开学考试）如图，线段为的直径，，分别切于点，，射线交的延长线于点，的延长线交于点，于点．若，． (1)求证：；(2)求线段的长．    7．（24-25·绵阳市·九年级专题练习）如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD．（1）证明：点E是OB的中点；（2）若AB=8，求CD的长． 8．（24-25·江苏泰州·九年级专题练习）如图，是的直径，点是外一点，切于点，连接，过点作交于点，点是的中点，且，． (1)与有怎样的位置关系？为什么？(2)求的长． 9．（24-25·江苏南京·九年级专题练习）【问题情境】学完《探索全等三角形的条件》后，老师提出如下问题：如图①，中，若，，求边上中线的取值范围．通过分析、思考，小丽同学形成两种解题思路． 思路1：将绕着点D旋转，使得和重合，得到； 思路2：延长到E，使得，连接，根据可证得； (1)根据上面任意一种解题思路，再结合三角形三边关系，我们都可以得到的取值范围为 ． (2)【类比探究】如图②，，，，是的边上的中线，试探索与的数量关系，并说明理由． (3)【迁移应用】【应用1】如图③，已知的半径为6，四边形是的圆内接四边形．，，求的长． 【应用2】如图④，，，，，，，、相交于点G，连接，若的度数发生改变，请问是否存在最小值？如果存在，则直接写出其最小值（用含a和b的式子表示），如果不存在，请说明理由． 10．（2025·河北石家庄·统考二模）乒乓球台（如图①）的支架可近似看成圆弧，其示意图如图②，与所在的直线过弧所在圆的圆心，直线与弧所在的圆相切于点G，连接，，且，．(1)求证：；(2)若弓形的高为，，且，求的长． 11．（24-25·江苏盐城·九年级统考期中）如图1，直角坐标系中，OT为第一象限的角平分线， ， ，点P为OA上一动点，Q为y轴上一动点， ，以PQ为直径的圆与OT相交于点C． (1)若 ，求点P坐标；(2)求证： ；(3)判断OP、OQ、OC之间的数量关系并证明； (4)如图2，将题设条件“ ”更换为“ ”，以PQ为直径的圆与AB相交于M、N两点，则MN的最大值为　 　． 12．（24-25·江苏南通·九年级统考期中）如图，四边形是内正方形，P是圆上一点（点P与点A，B，C，D不重合），连接． (1)若点P是弧上一点，①∠BPC度数为 ___________； ②求证：；小明的思路为：这是线段和差倍半问题，可采用截长补短法，请按小明思路完成下列证明过程（也可按自己的想法给出证明）．证明：在的延长线上截取点E．使，连接． (2)探究当点P分别在，，上，求的数量关系，直接写出答案，不需要证明． 13．（24-25·江苏·九年级校联考阶段练习）如图1，已知圆内接中，，D为弧的中点． (1)写出与相等的角（不添加任何线段） ___________； (2)过点D作于E，判断之间的数量关系并证明；(3)求证：． 14．（24-25·浙江杭州·九年级期末）如图，已知是的直径，点、为圆上两点，且弧弧，于点，的延长线于点．（1）试说明：；（2）若，，求的面积． 15．（24-25·浙江杭州·模拟预测）如图，已知圆内接四边形的边长分别为，，，求四边形的面积．    16．（24-25·九年级广东课时练习）如图，已知A、B、C是圆O上的三点，AB＝AC，M、N分别是AB、AC的中点，E、F分别是OM、ON上的点． (1)求证：∠AOM＝∠AON；(2)如果AEON，AFOM，求证：． 17．（24-25·四川校考模拟预测）如图，边长为2的圆内接正方形中，P为边的中点，直线交圆于E点．(1)求证：；(2)求弦的长；(3)若Q是线段上一动点，当线段的长度为何值时，． 18．（24-25上·江苏泰州·九年级校考阶段练习）欧几里得，古希腊数学家，被称为“几何之父”，他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛的认为是历史上最成功的教科书．他在第Ⅲ卷中提出这样一个命题：“由已知点作直线切于已知圆”．如图，设是已知点，小圆为已知圆．具体作法是：以为圆心，为半径作大圆，连接交小圆于点，过作，交大圆于点，连接，交小圆于点，连接，则是小圆的切线．       (1)为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明，如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”的过程； 已知：如图，点，和点，分别在以为圆心的同心圆上，______． 求证：______．证明： (2)如图1，长不变，改变小圆的半径，延长交大圆于点，延长线交大圆于点，当经过圆心时，求的值； (3)在（2）中，若改变小圆的半径时，与小圆相切，直接写出的度数． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $