2026年浙江省杭州市中考数学专题二十二：尺规作图

2026年浙江省杭州市中考专题十九：尺规作图 1.如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点， 以下结论错误的是（　 　）    A．是的平分线 B． C．点在线段的垂直平分线上 D． 【答案】D 【分析】A根据作图的过程可以判定是的角平分线；B利用角平分线的定义可以推知，则由直角三角形的性质来求的度数；C利用等角对等边可以证得，由线段垂直平分线的判定可以证明点在的垂直平分线上；D利用角所对的直角边是斜边的一半求出，进而可得，则． 【详解】解：根据作图方法可得是的平分线，故A正确，不符合题意； ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴，故B正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴点在的垂直平分线上，故C正确，不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 则，故D错误，符合题意， 故选：D． 2.用直尺和圆规作Rt△ABC斜边AB上的高线CD，以下四个作图中，作法错误的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A、根据垂径定理作图的方法可知，CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，不符合题意； B、根据直径所对的圆周角是直角的方法可知，CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，不符合题意； C、根据相交两圆的公共弦的性质可知，CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，不符合题意； D、无法证明CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，符合题意． 故选：D． 3.已知锐角∠AOB如图，（1）在射线OA上取一点C， 以点O为圆心，OC长为半径作，交射线OB于点D，连接CD； （2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交于点M，N； （3）连接OM，MN． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（    ） A．∠COM=∠COD B．若OM=MN，则∠AOB=20° C．MN∥CD D．MN=3CD 【答案】D 【分析】由作图知CM=CD=DN，再利用圆周角定理、圆心角定理逐一判断可得． 【详解】解：由作图知CM=CD=DN， ∴∠COM=∠COD，故A选项正确； ∵OM=ON=MN， ∴△OMN是等边三角形， ∴∠MON=60°， ∵CM=CD=DN， ∴∠MOA=∠AOB=∠BON=∠MON=20°，故B选项正确； ∵∠MOA=∠AOB=∠BON， ∴∠OCD=∠OCM= ， ∴∠MCD=， 又∠CMN=∠AON=∠COD， ∴∠MCD+∠CMN=180°， ∴MN∥CD，故C选项正确； ∵MC+CD+DN＞MN，且CM=CD=DN， ∴3CD＞MN，故D选项错误； 故选D． 4.如图，在△ABC中，∠C＝90°，，以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交BC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径，在MN下方画弧交于点P，连接BP，则tan∠PBA的值为　　 ． 【解答】解：由作图知，BP是∠ABC的角平分线， ∴∠CBP＝∠PBA， ∴tan∠PBA＝tan∠CBP， ∵∠C＝90°，， ∴， ∴设BC＝3x，AC＝4x， ∴AB5x， 设AC，BP交于D，过D作DE⊥AB于E， ∴CD＝DE， ∴S△ABCAC•BCBC•CDAB•DE， ∴3x•4x＝（3x+5x）•CD， ∴CDx， ∴tan∠PBA＝tan∠CBP， 故答案为：． 5.如图，已知平行四边形ABCD，AD＞AB． （1）尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，作以AB为边的菱形ABEF，点E，F分别在BC，AD边上．（要求：不写作法，保留作图痕迹） （2）在第（1）问的条件下，连结CF，若CF＝AB＝5，tanD＝2，求AD的长． 【解答】解：（1）如图，四边形ABEF即为所求； （2）过点C作CH⊥DF于点H． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD， ∵CF＝AB＝5， ∴CD＝AB＝5， ∵tanD2， ∴CH＝2，DH， ∵CF＝CD，CH⊥DF， ∴FH＝DH， ∵四边形ABEF是菱形， ∴AF＝AB＝5， ∴AD＝AF+DF＝5+2． 6.在学习了矩形与菱形的相关知识后，智慧小组进行了更深入的研究，他们发现，过矩形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他们的想法与思路，完成下列题目： （1）如图，在矩形中，点O是对角线的中点，用尺规过点O作的垂线，分别交，于点E，F，连接，（不写作法，保留作图痕迹） （2）求证：四边形是菱形． （3）进一步思考，如果四边形是平行四边形呢？请你模仿题中表述，直接写出你猜想的结论． 【答案】（1）见详解； （2）见详解； （3）猜想：过平行四边形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与平行四边形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形性质，平行四边形的性质与判定，菱形的判定，垂线的尺规作图： （1）根据垂线的尺规作图方法作图即可； （2）根据矩形或平行四边形的对边平行得到，，进而证明，得到，即可证明四边形是平行四边形．再由，即可证明四边形是菱形． （3）根据前面的作图和证明过程即可得出猜想的结论． 【小问1详解】 解：如图所示，分别以、为圆心，大于为半径画弧，两弧交于两侧，过两弧交点作直线，分别交，于点E，F，连接，，下图即为所求； 【小问2详解】 证明：∵四边形是矩形， ∴． ∴，． ∵点是的中点， ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形． 【小问3详解】 猜想：过平行四边形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与平行四边形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形； 证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∴，． ∵点是的中点， ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形． 7.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，要用尺规在直角边BC上找一点P使∠BAP＝∠ACB． 作图方法：延长AB，以B为圆心，AB为半径作圆，交AB的延长线于点D，连结CD交圆于点E，连接AE交BC的点即为P． （1）求证：通过尺规作图，∠BAP＝∠ACB； （2）若BP＝2，CP＝7，求tan∠ACB． 【解答】（1）证明：∵AB＝BD，∠ABC＝90°， ∴BC垂直平分AD， ∴CA＝CD， ∴∠CAD＝∠D，即∠BAC＝∠D， ∵∠ABC＝90°， ∴∠ACP+∠BAC＝90°， ∵AD是直径， ∴∠AED＝90°， ∴∠BAP+∠D＝90°， ∴∠BAP＝∠ACB， （2）解：∵∠BAP＝∠ACP， ∴tan∠BAP＝tan∠ACP， ∴， ∵BP＝2，CP＝7， ∴BC＝BP+PC＝9， ∴， ∴AB2＝2×9＝18， ∴（负值舍去）， ∴． 8.请用不带刻度的直尺和圆规作出符合要求的点（不写作法，保留作图痕迹）． （1）在图1中作一点D，使∠ADB＝2∠C． （2）在图2中作一点E，使∠C＝2∠AEB． 【解答】解：（1）如图1，分别作线段AB，AC的垂直平分线，相交于点D，以点D为圆心，AD的长为半径画圆， 此时⊙D为△ABC的外接圆， ∴∠ADB＝2∠C， 则点D满足题意． 设线段AB的垂直平分线交AB于点O，以点O为圆心，OD的长为半径画弧，交线段AB的垂直平分线于点D'， 此时∠AD'B＝∠ADB， 则点D'满足题意． （2）如图2，延长BC，以点C为圆心，AC的长为半径画弧，交BC的延长线于点E， 可得∠AEB＝∠CAE， ∴∠ACB＝∠AEB+∠CAE＝2∠AEB， 则点E即为所求（答案不唯一）． 9. 尺规作图问题：如图，在平行四边形中，用尺规作的角平分线． 小温：这简单！我们在八上就学过用尺规作角平分线的方法，除此之外，小外你还有其它做法吗？ 小外：我想到了！如图，以为圆心，为半径作弧，交于点，连结，则平分． （1）按照小温的说法，在图中用尺规作的角平分线． （2）小外的做法是否正确？若错误，请说明理由；若正确，请证明． 【答案】（1）见解析 （2）正确，证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查尺规作角平分线，平行四边形的性质，等边对等角的性质，掌握以上知识是关键． （1）根据尺规作角平分线的方法作图即可； （2）根据平行四边形的性质，等边对等角的方法证明即可． 【小问1详解】 解：如图，射线即为所求， 【小问2详解】 解：正确， 证明：四边形为平行四边形， ， ， 由作图可知，， ， ， 平分． 10.如图1，，点P在的平分线上，交于点B．用尺规作图的方法在射线上确定一点C，使是等腰三角形． 小明：如图2，以点A圆心，为半径作弧，交于点C，连结，则是等腰三角形． 小华：以P为圆心，为半径作弧，交于点C，连结，则是等腰三角形． 小明：小华，你的作法有问题． 小华：真的吗？让我们仔细想一想． （1）证明：小明所作的是等腰三角形； （2）小华所作的一定是等腰三角形吗？如果是，请说明理由；如果不是，请给出反例． 【答案】（1）详见解析 （2）是，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由角平分线的定义以及平行线的性质得出，由等角对等边可得出，再证明，由全等三角形的性质得出，进而可得出，即可得出是等腰三角形． （2）设以P为圆心，为半径作弧，交于点，，过点P分别作，的垂线，垂足分别为E，F，则有，证明，由全等三角形的性质得出，再根据已知条件和三角形外角的定义和性质得出为等腰三角形．进而根据等腰三角形的性质得出，即可得出为等腰三角形． 【小问1详解】 证明：因为点P在的平分线上，， 所以， 所以． 因为，，， 所以． 所以， 所以， 即是等腰三角形． 【小问2详解】 解：小华的作法没有问题，理由如下： 设以P为圆心，为半径作弧，交于点，， 过点P分别作，的垂线，垂足分别为E，F，则有， 因为， 所以， 所以， 由（1）知， 所以， 所以， 所以， 所以为等腰三角形． 因为， 所以， 所以， 所以为等腰三角形． 因此，小华的作法没有问题． 11.已知：如图，在中，是边上一点． 求作：在边上作一点，使得． 以下是小成和小亦两位同学的作法： 小成：如图1，以点为圆心，为半径画弧，再以点为圆心，长为半径画弧，两弧在上方交于点，作直线交于点． 小亦：如图2，先作的平分线，然后．．．．．． （1）请判断小成作法是否正确，并给出理由． （2）补全小亦的尺规作图过程（保留作图痕迹），并证明． 【答案】（1）小成正确，理由见分析 （2）补全图形见详解，证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了作图－复杂作图，平行四边形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用相关知识解决问题． （1）利用平行四边形的判定和性质求解； （2）以为圆心，长为半径作弧交于点，作直线交于点，直线即为所求． 【小问1详解】 解：小成作法正确． 理由：由作图可知，， 四边形是平行四边形， ． 【小问2详解】 解：如下图，直线即为所求． 理由：由作图可知平分，， ，， ， ． 12.如图1，AC＝2AB＝4．以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点M，N．分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在∠BAC内交于点E．作射线AE．过点C作CD∥AB，交AE于点D． （1）求CD的长； （2）如图2，连接BD．分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，Q．作直线PQ，交AB的延长线于点F．连接CF，交BD于点G．当∠BAC＝60°时，求的值． 【解答】解：（1）由作图可知：AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD． ∵CD∥AB， ∴∠ADC＝∠BAD． ∴∠ADC＝∠CAD． ∴CA＝CD． ∵AC＝4， ∴CD＝4． （2）由作图可知：PQ垂直平分AC， ∴FA＝FC． ∵∠BAC＝60°， ∴△ACF为等边三角形． ∴AF＝AC＝4． ∵AC＝2AB， ∴AB＝2． ∴BF＝AF﹣AB＝4﹣2＝2． 由（1）知，CD＝4，CD∥AB， ∴∠BFG＝∠DCG，∠FBG＝∠CDG． ∴△BFG∽△DCG． ∴． 13.尺规作图问题： 已知△ABC，∠ABC是钝角，AB＞BC，请用尺规作AC的中点P． 小聪：如图1，以点A为圆心，BC长为半径作弧，以点C为圆心，AB长为半径作弧，两弧相交于点Q，连结BQ交AC于点P，则点P为AC的中点． 小明：如图2，作AB的中垂线，垂足为点M，作BC的中垂线，垂足为点N，以点M为圆心，BN为半径作弧，交AC边于点P，则点P为AC的中点． 小聪：小明，你的作法有问题． 小明：哦…我明白了． （1）证明：小聪的作法是正确的． （2）指出小明作法中存在的问题． 【解答】（1）证明：由作图可得，AQ＝BC，AB＝CQ， ∴四边形ABCD为平行四边形， ∵点P为AC与BQ的交点， ∴点P为AC的中点． （2）解：以点M为圆心，BN为半径作弧，与AC边可能交于两点P1，P2，如图所示． 14.如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝3． （1）尺规作图：请在图中AB的左侧作∠BAE＝∠B．（保留作图痕迹，不作写法） （2）在（1）的条件下，在射线AE上取点D，连结CD交AB于点O，若点BO＝5，求AD的长． 【解答】解：（1）图形如图所示： （2）∵∠BAE＝∠B， ∴AD∥BC， ∴， ∴， ∴AD． 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年浙江省杭州市中考专题十九：尺规作图 1.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、 AC于点M和N,再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P,连 接AP并延长交BC于点D, 以下结论错误的是( A 'M B A.AD是∠BAC的平分线 B.∠ADC=60° C.点D在线段AB的垂直平分线上 D.S△4BD:SA4Bc=1:2 2.用直尺和圆规作Rt△ABC斜边AB上的高线CD,以下四个作图中，作法错误的是() 4 B C B D. 3.己知锐角∠AOB如图，(1)在射线OA上取一点C, 以点0为圆心，OC长为半径作PQ,交射线OB于点D,连接CD: (2)分别以点C,D为圆心，CD长为半径作弧，交PQ于点M,N; (3)连接OM,MN 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是() A.∠COM=∠COD B.若0M=MN,则∠AOB=20 C.MN∥CD D.MN=3CD 4如图，在△4BC中，∠C=90°，tan∠BAC=星，以点B为圆心，任意长为半径画弧， 分别交BC、AB于点M、N,再分别以点M、N为圆心，大于专MN的长为半径，在MN 下方画弧交于点P,连接BP,则tan∠PBA的值为一· B N 5.如图，已知平行四边形ABCD,AD>AB. A (I)尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，作以AB为边的菱形ABEF,点E,F分别在 BC,AD边上.（要求：不写作法，保留作图痕迹） (2)在第(1)问的条件下，连结CF,若CF=AB=5,tanD=2,求AD的长. 2 6在学习了矩形与菱形的相关知识后，智慧小组进行了更深入的研究，他们发现，过矩形的 一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构 成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论.根据他们的想法与思路，完成下列 题月： 0 0 A (1)如图，在矩形ABCD中，点O是对角线AC的中点，用尺规过点O作AC的垂线， 分别交AB,CD于点E,F,连接AF,CE(不写作法，保留作图痕迹) (2)求证：四边形AECF是菱形 (3)进一步思考，如果四边形ABCD是平行四边形呢？请你模仿题中表述，直接写出你猜 想的结论. 3 7.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，要用尺规在直角边BC上找一点P使∠BAP=∠ACB 作图方法：延长AB,以B为圆心，AB为半径作圆，交AB的延长线于点D,连结CD交 圆于点E,连接AE交BC的点即为P. (1)求证：通过尺规作图，∠BAP=∠ACB; (2)若BP=2,CP=7,求tan∠ACB, A B P D 8请用不带刻度的直尺和圆规作出符合要求的点（不写作法，保留作图痕迹）， (1)在图1中作一点D,使∠ADB=2∠C (2)在图2中作一点E,使∠C=2∠AEB y B A 图1 图2 9.尺规作图问题：如图1，在平行四边形ABCD中(AD>AB),用尺规作∠ABC的角平 分线 小温：这简单！我们在八上就学过用尺规作角平分线的方法，除此之外，小外你还有其它做 法吗？ 小外：我想到了！如图2，以A为圆心，AB为半径作弧，交AD于点E,连结BE,则 BE平分∠ABC. E D B 图1 图2 (1)按照小温的说法，在图1中用尺规作∠ABC的角平分线， (2)小外的做法是否正确？若错误，请说明理由；若正确，请证明. 10.如图1，∠MAN=72°，点P在∠MAN的平分线上，PB∥AN交AM于点B.用尺 规作图的方法在射线AN上确定一点C,使△APC是等腰三角形. 小明：如图2，以点A圆心，AB为半径作弧，交AN于点C,连结PC,则△APC是等腰 三角形. 小华：以P为圆心，PB为半径作弧，交AN于点C,连结PC,则△APC是等腰三角形 小明：小华，你的作法有问题 小华：真的吗？让我们仔细想一想. M 图1 图2 (1)证明：小明所作的△APC是等腰三角形： (2)小华所作的△APC一定是等腰三角形吗？如果是，请说明理由；如果不是，请给出反 例. 7 11.已知：如图，在ABC中，D是边AC上一点. 求作：在边AB上作一点E,使得DE∥BC. D B 以下是小成和小亦两位同学的作法： 小成：如图1，以点D为圆心，BC为半径画弧，再以点B为圆心，CD长为半径画弧，两 弧在BC上方交于点F,作直线DF交AB于点E· 小亦：如图2，先作∠ACB的平分线CM,然后.··· D D B (1)请判断小成作法是否正确，并给出理由. (2)补全小亦的尺规作图过程（保留作图痕迹），并证明. 6 12.如图1，AC=2AB=4.以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB,AC于点M,N.分 别以点M,N为圆心，以大于号MN的长为半径画弧，两弧在∠BAC内交于点E.作射线AE. 过点C作CD∥AB,交AE于点D. (1)求CD的长； (2)如图2，连接BD.分别以点A,C为圆心，大于专AC的长为半径画弧，两弧交于 点P,Q.作直线PQ,交AB的延长线于点F.连接CF,交BD于点G.当∠BAC=60 时，求器的值。 D F G B, M 米E B P N 米Q 图1 图2 13.尺规作图问题： 已知△ABC,∠ABC是钝角，AB>BC,请用尺规作AC的中点P. 小聪：如图1，以点A为圆心，BC长为半径作弧，以点C为圆心，AB长为半径作弧， 两弧相交于点Q,连结BQ交AC于点P,则点P为AC的中点. 小明：如图2，作AB的中垂线，垂足为点M,作BC的中垂线，垂足为点N,以点M为 圆心，BN为半径作弧，交AC边于点P,则点P为AC的中点. 小聪：小明，你的作法有问题 小明：哦…我明白了 B NY 图1 图2 (1)证明：小聪的作法是正确的. (2)指出小明作法中存在的问题， 10