第八章 向量的数量积与三角恒等变换（单元测评卷）高一数学人教B版

品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 第八章向量的数量积与三角恒等变换·单元测评卷 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 月要求的. 1,已知向量a=(1,0),b=(2,3),c=(1,-1),若(2a+)1c,则1=() A.-5 B.-1 C.1 D.5 【答案】C 【详解】因为ā=(1,0)，b=(2,3),c=(1,-1,所以2à+b=2(1,0)+(2,3)=(2+元，3)， 因为2ā+b⊥c,所以2ā+bc=1×(2+)+(-1×3=元-1=0，解得元=1. 故选：C 2.如图，设Ox,Oy是平面内相交成角(0<0<π)的两条数轴，，e,分别是与x轴、y轴正方向同向的单 位向量，若向量00=x,+ye,则称有序实数对(x,)为向量O0在坐标系Oy中的坐标，己知在该坐标系下， 向量OM=(1,2),ON=(2,1,若0M⊥0N,则c0s0=() A 0 e A.- B 3 C.- D. 3-5 【答案】A 【详解】由向量e,e分别是与x轴和y轴正方向同向的单位向量，可得==1，且（仁，6）=0， 又由向量OM=(1,2)和ON=(2,1,可得0M=g+2g和0N=2e+e, 因为OM⊥ON,可得OM.ON=0 即0M.0N-(8+28)2g+6)=28+586+26=4+5cos6=0, →2 1/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 解得cos日=-4 故选：A 3.已知非零向量a,b满足a2=2a6,则=2”是“a-=2”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】充分性 已知|a2=2a.b,|a-bP=a2-2a.b+1b2 代入a=2a,b,得a-b2=2a.b-2a.6+1b2=6日 若1b=2,则|ā-bP=22=4,因此1ā-b=2,充分性成立 必要性 a-b2=2a.b-2a.6+6P=62=4 因为五是非零向量，所以b=2,必要性成立 综上，b=2是|ā-=2的充要条件 故选：C 4.sin15°cos45°-cos165°sin45°=() A.3 B.-3 2 2 C. D. 【答案】A 【详解】sinl5°cos45°-cos165°sin45° =sin15°c0s45°-c0s180°-15°sin45 =sin15°c0s45°+c0s15°sin45° =sim15°+459)=sin60°=V5 2 故选：A 5.已知sin(a+B)= ,tana=2tanB,则cos2a-2β)=() A. B.17 18 c D.、17 18 【答案】B 2/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1 【详解】由sin(a+B)=2,得sn+sin os=2 2, 由tana=2tanβ，得sina cosβ=2 sin B cosa, 1 联立解得sin B cosa= 1 sinacos 111 因为sin(au-β)=sina cosβ-sinβcosa= 3661 质以cos2a-2p=1-2sim2a-B=8/ 故选：B π 6.己知∈0， cosB=2cos(2a+B),tan(2a+B)=2,tana=() A.1 B. 2 c 【答案】C 【详解】：cosB=2cos2a+B),即cos(a+B)-a=2cos(a+B)+a, .cosa+β)cosa+sina+β)sina=2cosa+βcosa-2sina+β)sina, 整理可得：3sin(a+B)sina=cos(a+B)cosa，∴tand tan(a+B)=3 :tan(2a+p）= tan(B)tana=2.tan(+)+tana 1-tan(a+β)）tana 31 1 tana tan(a+B）=。 由 3,得：tana=,或tana=l, 4 tan(a+B)+tana 又a∈0， 1 4 .tana 3 故选：C 7.已知向量0A=(cosB,sinB),将向量OA绕坐标原点0逆时针旋转θ角得到向量OB(0°<0<180)，则下 列说法正确的是() A.ABkK√2 B.04+0B04-0B C.OA+0B≥1 D.(OA+0B)⊥(OA-0B) 【答案】D 【详解】因为0A=(cosB,sinB),所以OA=Vcos2B+sin2B=1,所以OB=1, 3/12 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 对于A,AB=0B-0A,所以A8=oB-0=V6B2-20B.0A+0a -08-2-cos0+02-2coso, 当cos0<0时，即90°<0<180°时，|AB>√2，故A错误； 对于B,由A可知0A-0B=V2-2cos0, 0A+0B=04+0B0+204.0B+0B 0+2040B cose+0B=2+2cos0, 当90°<0<180°时，c0s0<0,可得0A+0Bk0A-0B,故B错误； 对于C当120<0<180，-1<co0<-,可得2+2co0<1 所以0A+0Bk1,故C错误； 对于D,因为(OA+0B)-(OA-0B)=0-OB2=O-OB=1-1=0, 所以(OA+OB)⊥(OA-OB),故D正确. 故选：D. 0 8.已知0<a-B<分，0<a+B<x,B≥0，snla-j-写sin-i=2,则es2a=《） 12 A.、 2W30+1 B.-230-1 12 12 C. 2V30-1 D.-230+1或230-1 12 12 12 【答案】A 【详解】因为i-=(sno+-)=d 即sma+]snla-)=2因为sma-刷-行所以sina+)-4 4/12 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 因为0<a-B<受且sina-p)=背，所以cosa-)=2 因为B>0,所以a-B<a+B, 若0<a+B<受时，由0<a-B<a+B<受则有inla-创i+, 这与sma-刷=}sma+)=不质，所以子<a+B<x 又因为sna+)=子，所以cosa+B1=-店 4 cos2a=cos (a+B)+(a-B)=cos(a+B)cos(a-B)-sin(a+B)sin(a-B) =-压x22_1x1-230+1 4 343 12 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知向量a=(cos0,sin0),b=(-3,4),则() A若a6,则m0=青 B.若a16,则sn8=亏 3 C.a-的最大值为20 D.若a-a-)=0,则a-=26 【答案】AD 【详解】由向量a=(cocs8,sin8),石=(-34到，ab,则4cos0=-3sm0→m0=专故A正确： 由向量a=(cos0,sin0),万=(-3,4)，a16,则-3cos0+4sin9=0→cos0=4sin0, 3 又因为cos20+sin20=1→ 信m0小+sm0=1→sm0-名年n0=号放B结误： 由向量a=(cos0,sin0),b=(-3,4)，则a-=cos0+3,sin0-4=Vcos6+3)2+(sin0-4) =√26+6cos6-8sin0=V26+10cos0+p≤V36=6,故C错误； 由向量a=(cos0,sin0),b=(-3,4), 可得aa-=a2-a-i=1-(-3cos6+4sin0)=0→3cos0-4sin0=-1, 而a-=26+6cos0-8sin0=v26-2=2W6,故D正确： 故选：AD 5/12 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 10.下列表达式中，正确的是() A.cos cos2-sinπ nπ-v2 tan22.5°1 sin-= B. 12 6 1262 1-tan222.5°2 C. 1-tan15 =√5 1+tanl5 D.cos-sin=1 8 82 【答案】AB 【】选项小m曲后如g-m后+引-m- ,选项A正确 6 42 选项B, m22写号如51分选项B正跪 tan22.5°1 选项C, 1-tanl5°tan45-tanl5° 1+tan 15'1+tan 45'tan15' an(45-15=an30-5,选项C错误 3 选项D,cos4元-sin刀 8 8 (c0s2π sin2 )cos2元+sin2 8 8 8 =cosx1=5-,选项D错误 4 22 故选：AB ll.O为坐标原点，点P(cosa,sina),P(cosB,-sinB),P(cos(a+),sin(a+B),A1,0)则() A.OP=OP B.AP=AP C.0A.0P=0p.0P D.0A.0P=0p.0p 【答案】ACD 【详解】对于A、易知OP=Op=1,A正确； 对于B、AE=(cosa-l)2+sin2a=V2-2cosa, AD=(cosB-)+sin2B=V2-2cosB,B不正确； 对于C、OA.OE=cos(a+B), OE.0p=cosa cosB-sina sin B=cos(a+B),C正确； 对于D、0A.0P,=cosB, OP.OP:cosa cos(a+B)+sina sin(a +B)=cos(a-(a+B))=cosB,D 故选：ACD 6/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12.已知△ABC为单位圆O的内接等边三角形，D为AB边的中点，则OAOD=一· 【答案14025 【详解】 D B 由正三角形性质可知，O为等边三角形ABC的重心， 则∠A0B=120°，故∠A0D=60°，0D=1 -2' 111 所以OAOD=OA tOD cos∠AOD=1x×= 224 故答案为： 1 π 13.己知tana- 2 =2则3sin2a+sin2a= 11 【答案】 5 sin a- π 【详解】因为tana- 2 2 π -cosa=2,所以c0sa=-2sina, sina cos a- 则3sin2a+sin2a= 3sin2a+sin'a6sina cosa+sin'a 6sina(-2sina)+sin'a 1 sin a cos a sin'a +(-2sina) =-12sin'a+sin'a-11sin'a 11 sin'a +4sina 5sin'a 5 11 故答案为： 5 14.在平面直角坐标系中，已知点A(0,-2),B(0,2,E,F是x轴上的两个动点，且EF=2,则AE.BF的最 小值为」 【答案】-5 【详解】当点E在点F左侧时，设E(t,0),F(t+2,0), 7112 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 则AE=(t,2),BF=(t+2,-2), 所以AE.BF=t(t+2-4=(t+1)2-5, 则1=-1时，AE.BF取得最小值为-5： 当点E在点F右侧时，设E(1,0),F(t-2,0), 则AE=(t,2,BF=(t-2,-2), 所以AE·BF=1(t-2)-4=t-1)2-5, 则t=1时，AE.BF取得最小值为-5. 综上所述，AEBF的最小值为-5 故答案为：-5 四、解答题：本题共5小题，共计77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)已知向量ā=(-1,3)，b=(1,-2); (①)求a+2b: (2)若a-b/1ā+kb),求k的值： (3)求a与2a+2b的夹角0的余弦值. 【详解】(1)因为a=(-1,3),b=(1,-2),则ā+2b=（-1,3)+(2,-4=(1,-1), 则a+26=VP+(-l2=2. ……2分 (2)a-b=（-1,3)-(1,-2）=(-2,5), 则ā+kb=(-1,3)+(k,-2k)=(k-1,3-2k), 4分 因为（ā-b)/(a+k6),所以(-2x3-2k)-5x(k-1刂=0， 即-6+4k-5k+5=0,解得k=-1.… 6分 (3)由题知2a=2×(-1,3)=(-2,6),2b=(2,-4), 则2a+2b=(-2,6)+(2,-4）=(0,2）,又=（-1,3)，.8分 所以ā2a+2b)=(-1×0+3×2=6, 又|d=-12+32=10,2a+26=V02+22=2， 10分 8/12 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 -(2a+2b)631o 所以cos0= 1d:2a+2b10×210 13分 16.(15分)己知a∈(0，，sina-cosa=} 5 (I)求sina cosa的值； (2)求tana的值 若B引，且cosB-3而，求ae+1的他 10 【详解】1)解：由sina-cosa-行两边平方得sna-2 2sinacosa+6osa 1 25’ .1分 24 因为sin2a+cos2a=1,所以2 sinacosa= ,则sinacosa= 12 25 25 …3分 (2)解：由(1)得sinacosa= 12 >0, 25 因为a∈(0，π)，可得sin>0，则c0sa>0，所以sina+c0sa>0…5分 247 则sina+cosa= sina +cosa) =1+2sinacosa =1+ 255 .7分 1 sina-cosa 3 联立方程组 5 sina 4 7， 解得sina= 5.cosa= ,所以tana= cosa 3 …10分 sina +cosa 5 3)解：因为ws0=30,且B∈0 10 所以sinB=V-cos'B= 10 sinβ1 所以tanB= cosB 3' 12分 41 则tan(a+B)= tana+tanβ=3T3=3=3 = 1-tanctanp 1-4xI5 … 15分 33 9 17.(15分)已知向量i=(2,sina),m=(cosa,-),其中a∈0， 且n⊥m (1)求sin2a和cos2a的值； ②)若sina-)=i0,且B∈0. ,求角B 10 2 【详解】(1)因为n=(2,sina),m=(cosa,-1),且n⊥， 所以2cosa-sina=0,即2cosa=sina, 1 代入sin2a+cos2a=1,得5cos2a=1,cos2a= 5’2分 9/12 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 因为ae0 所以sina>0,c0sa>0,故cosa=5 则sina=2cosa= 25 4分 5 根据二倍角的正余弦公式：sim2a=2=2x5x25_4 55 cos2a-2cos'a-1=2x(5)-1=- 6分 (2)因为a∈ e0》所以a-e 又_sin(a-B)=D,所以a-B∈0， cos(a-β)>0， 8分 10 所以ca-=-- 10分 10 sin B sin a-(a -B)]=sin a cos(a-B)-cosa sin(a -B) 25.310√510√2 -X -X 13分 105102 因为Be0引，所以B-子 .15分 18.(17分)如图，记0A=a,0B=b,0C=c,已知1b=21a=2,(a,b)=60°. ①)若点D在线段OA上，且OD=OA,求BD,BA的值； (2)若向量c-a与方向相同，且c=√5，求∠ACB; (3)若(6-c)c=0,求1a-c1的最大值. 【详解】1)由题可知8D=80+0D=五-6，B=a-6, 又a.b=a‖b|cos(a,b)=1x2cos60°=1， 而厨-传-小---+6背4=3 33 3分 (2)设c-a=1b(2>0),则c=a+2b, 10/12 第八章 向量的数量积与三角恒等变换·单元测评卷 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知向量，，，若，则（   ） A． B． C．1 D．5 2．如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴、 轴正方向同向的单位向量，若向量则称有序实数对为向量在坐标系中的坐标，已知在该坐标系下，向量，，若，则（　　）    A． B． C． D． 3．已知非零向量满足，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（   ） A． B． C． D． 5．已知，则（ ） A． B． C． D． 6．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 7．已知向量，将向量绕坐标原点逆时针旋转角得到向量，则下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 8．已知，，，，，则（   ） A． B． C． D．或 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．已知向量，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．的最大值为 D．若，则 10．下列表达式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 11．为坐标原点，点，，，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．已知为单位圆的内接等边三角形，为边的中点，则 ． 13．已知 则 14．在平面直角坐标系中，已知点是轴上的两个动点，且，则的最小值为 . 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知向量； (1)求； (2)若，求的值； (3)求与的夹角的余弦值． 16．（15分）已知，. (1)求的值； (2)求的值. (3)若，且，求的值. 17．（15分）已知向量，，其中，且. (1)求和的值； (2)若，且，求角. 18．（17分）如图，记，，，已知，． (1)若点在线段OA上，且，求的值； (2)若向量与方向相同，且，求； (3)若，求的最大值． 19．（17分）已知是的三个内角，. (1)若是正三角形，求的值； (2)若中有一内角为，求的最小值. 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八章 向量的数量积与三角恒等变换·单元测评卷 参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C A C A B C D A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AD AB ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14．-5 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．【详解】（1）因为，则， 则． 2分 （2）， 则， 4分 因为，所以， 即，解得． 6分 （3）由题知， 则，又， 8分 所以， 又，， 10分 所以． 13分 16．【详解】（1）解：由，两边平方得， 1分 因为，所以，则. 3分 （2）解：由（1）得， 因为，可得，则，所以 5分 则， 7分 联立方程组，解得，所以. 10分 （3）解：因为，且，所以， 所以， 12分 则. 15分 17．【详解】（1）因为，，且， 所以，即， 代入，得，， 2分 因为，所以，，故， 则， 4分 根据二倍角的正余弦公式：， . 6分 （2）因为，，所以， 又，所以，， 8分 所以， 10分 故 ， 13分 因为，所以. 15分 18．【详解】（1）由题可知，， 又， . 3分 （2）设，则， ， 解得或（舍去）， 6分 ，， 7分 ，， 10分 ， 结合向量的夹角范围为大于等于小于等于，； 13分 （3），， ， ， 15分 四点均在以OB为直径的圆上， 的最大值为该圆的直径，为2， 即的最大值为2. 17分 19．【详解】（1）若是正三角形，则， . 3分 （2）因， 则 6分 ， 9分 ∴若任意交换中两个角的位置，则的值不会发生变化， 因中有一内角为， 不妨设，则，角 都是锐角， 11分 因， 则得， 当且仅当时取等号， 13分 不妨设，则得，解得， 即的最大值为， 15分 而. 故当除内角为的那个角之外的另两个角都等于时， 取得最小值为. 17分 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $