重难点突破02 利用数量积求最值范围（寒假预习讲义）高一数学人教B版

重难点突破02 利用数量积求最值范围 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 【题型01：定义法】 【题型02：基底法】 【题型03：坐标法】 【题型04：求数量积的最值范围】 【题型05：求夹角的最值范围】 【题型06：求模长的最值范围】 第二步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点 平面向量求最值范围的常用方法： 1.定义法：先利用数量积的概念及其运算律转化所求问题，再运用基本不等式或二次函数性质求其最值问题 2.基底法：利用基底转化向量，然后根据向量运算律化简目标，接着运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论 3.坐标法：先根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标，将平面向量的运算坐标化，然后运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解 4.数形结合法：结合条件进行向量关系推导，然后利用向量之间的关系确定向量所表达的点的轨迹，结合图形,确定临界位置的动态分析求出范围。 【题型01：定义法】 1．蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的．若不计蜂巢壁的厚度，蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示，图中7个正六边形的边长都为1，O，M是其中一个正六边形的顶点，N为图中7个正六边形内一点（包含边界），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．如图，“六芒星”是由两个边长为正三角形组成，中心重合于点且三组对边分别平行，点，是“六芒星”（如图）的两个顶点，动点在“六芒星”上（内部以及边界），则的取值范围是（      ） A． B． C． D． 3．《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图.图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田，已知正八边形的边长为，点是正八边形的内部（包含边界）任一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．如图，是边长2的正方形，为半圆弧上的动点（含端点）则的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 5．在边长为4的正方形中，动圆Q的半径为1、圆心在线段（含端点）上运动，点P是圆Q上及其内部的动点，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 6．已知6个边长均为2的正六边形摆放如图所示位置，是这6个正六边形内部（包括边界）的动点，则的取值范围是 ． 【题型02：基底法】 7．在菱形中，，，E为边上的动点（包括端点），F为的中点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．如图，正方形的边长为1，为的边上一点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 9．已知是边长为2的等边三角形，为三角形内一点（包括边界），为的中点，则的取值范围是 ． 10．如图，在平行四边形中，，，，点为中点，，点为边上的点．若点满足，且，则 ：若点为线段上的动点，则的取值范围为 ．    11．如图，在等腰梯形中，是边上一点（含端点），与交于点，若，且设.    (1)若，求的值； (2)求的取值范围. 12．如图，扇形所在圆的半径为1，，为弧的中点，动点分别在线段，上运动（包含端点），且总有，设. (1)若，用表示； (2)求的取值范围. 【题型03：坐标法】 13．已知平面直角坐标系中，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．在梯形中，，，，点E在线段上，则的取值范围为（    ）. A． B． C． D． 15．在矩形中，，，，交于点，，分别为边，边上的点，且关于点中心对称.为矩形所在平面内的动点，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 16．直角梯形中，，，，，点O，E为，的中点，F在边上运动（包含端点），则的取值范围为 . 17．在等腰直角中，为边上的两个动点（不与重合），且满足，则的取值范围为 ． 18．已知在平面四边形中，，，，，若为边上的动点，则的取值范围为 . 19．在中，，F为线段上的一点，则的取值范围为 ． 【题型04：求数量积的最值范围】 20．在菱形中，，点是的中点，点在线段上（包含端点），则的取值范围为（） A． B． C． D． 21．如图所示，在边长为4的正八边形中，点为正八边形的中心，点是其内部任意一点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 22．在平行四边形中，，，，分别为边，上的动点.若，，则 ；若，，则的取值范围是 . 23．已知边长为2的正内一点（包含边界）满足（其中为任意实数），则的取值范围为 ． 24．如图，扇形所在圆的半径为2，，C为弧的中点，动点P，Q分别在线段OA，OB上运动（包含端点），且总有，设，． (1)若，用，表示； (2)求的取值范围． 25．“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦.”太极和八卦组合成了太极八卦图（如图1）.某太极八卦图的平面图如图2所示，其中正八边形的中心与圆心重合，是正八边形的中心，是圆的一条直径，且正八边形内切圆的半径为，.若点是正八边形边上的一点，求的取值范围.    【题型05：求夹角的最值范围】 26．已知向量，不共线，且，，若，都有，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 27．已知与均为单位向量，其夹角为，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 28．已知 均为单位向量，若对任意的恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 29．平面向量，满足，且，则与夹角的余弦值的最大值是（    ） A． B． C． D． 30．已知矩形中，，点分别在边上（包含端点），若，则与夹角的余弦值的最大值是 . 31．为等边三角形所在平面内的一点，向量，且，.设向量与的夹角为，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【题型06：求模长的最值范围】 32．在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 33．在等腰直角三角形中，为斜边的中点，以为圆心，为半径作，点在线段上，点在上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 34．已知平面向量、、满足且，向量满足，则的最大值是 . 35．已知平面向量，满足，且，则的最大值是 . 36．已知和是互相垂直的两个单位向量，且，则的最大值为 ． 37．设点在单位圆的内接正六边形的边上，则的取值范围是 . 1．已知向量满足与的夹角为，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．在直角中，，，为边上的点且，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．如图，正六边形的边长为 ，半径为 1 的圆 的圆心为正六边形的中心，若点 在正六边形的边上运动，动点 在圆 上运动且关于圆心 对称，则 的最大值为（     ）    A．1 B．2 C．3 D．4 5．已知中，，，且的最小值为，若P为边上任意一点，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 6．窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图是一个正八边形窗花隔断，图是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图，若正八边形的边长为，是正八边形八条边上的动点，则的最小值为（ ） A． B．2 C． D． 7．在中，，，，，且与交于点F，则 （用表示），若，则的最大值为 ． 8．已知点，，不重合，且，，若平面内一点满足，则的取值范围是 ． 9．在平面四边形中，E，F分别是边和的中点，．四边形所在平面内一点P满足，则的最大值为 ． 10．如图，已知正方形的边长为2，圆弧是以为直径的半圆弧．当点为圆弧的中点时，在上的投影向量的模长为 ；当点为圆弧上的动点时，的最小值为 ． 11．已知平面向量，的夹角为，，，则 ；若非零向量满足：，则的最小值为 ． 12．已知是边长为1的等边三角形，为的中点，，则的最大值为 13．在直角梯形中，已知，，，动点、分别在线段和上，且，． (1)当时，求的值； (2)求的取值范围． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点突破02 利用数量积求最值范围 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 【题型01：定义法】 【题型02：基底法】 【题型03：坐标法】 【题型04：求数量积的最值范围】 【题型05：求夹角的最值范围】 【题型06：求模长的最值范围】 第二步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点 平面向量求最值范围的常用方法： 1.定义法：先利用数量积的概念及其运算律转化所求问题，再运用基本不等式或二次函数性质求其最值问题 2.基底法：利用基底转化向量，然后根据向量运算律化简目标，接着运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论 3.坐标法：先根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标，将平面向量的运算坐标化，然后运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解 4.数形结合法：结合条件进行向量关系推导，然后利用向量之间的关系确定向量所表达的点的轨迹，结合图形,确定临界位置的动态分析求出范围。 【题型01：定义法】 1．蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的．若不计蜂巢壁的厚度，蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示，图中7个正六边形的边长都为1，O，M是其中一个正六边形的顶点，N为图中7个正六边形内一点（包含边界），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设向量在向量上的投影向量为，则， 如图，过作，垂足为，过作，垂足为． 当在处时，最小，最小值为； 当在处时，最大，最大值为． 综上所述，的取值范围是． 故选D． 2．如图，“六芒星”是由两个边长为正三角形组成，中心重合于点且三组对边分别平行，点，是“六芒星”（如图）的两个顶点，动点在“六芒星”上（内部以及边界），则的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由对称性可得，连接，与的交点为， 则为的中点，为的中点， 故，，，， 过点作直线的垂线，垂足记为， 则向量在向量上的投影向量为， 所以， 如图过点作，，垂足分别为， 所以，， 观察图象可得，其中与同向，与反向， 所以当点位于点的位置时，取最大值，最大值为， 当点位于点的位置时，取最小值，最小值为， 所以的取值范围是. 故选：B. 3．《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图.图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田，已知正八边形的边长为，点是正八边形的内部（包含边界）任一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】延长交于点，延长交于点， 如图所示： 根据正八边形的特征，可知， 又， 所以， ， 则的取值范围是. 故选：B. 4．如图，是边长2的正方形，为半圆弧上的动点（含端点）则的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，由投影的定义知，结合图形得， 当过P的直线与半圆弧相切于P点且平行于BC时，最大为， 此时； 当P在C或B点重合时，最小为， 此时 ∴ 故选：C 5．在边长为4的正方形中，动圆Q的半径为1、圆心在线段（含端点）上运动，点P是圆Q上及其内部的动点，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系， 由数量积的几何意义可知：等于与在上的投影的乘积， 故当在上的投影最大时，数量积最大，此时点在以为圆心的圆的最上端处，此时投影为，故数量积为， 故当在上的投影最小时，数量积最小，此时点在以为圆心的圆的最下端处，此时投影为，故数量积为, 故， 故选：A    6．已知6个边长均为2的正六边形摆放如图所示位置，是这6个正六边形内部（包括边界）的动点，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】如图，由数量积几何意义，当C为G或F时，数量积最大， 此时； 当C为D或E时，数量积最小， 此时. 故答案为： 【题型02：基底法】 7．在菱形中，，，E为边上的动点（包括端点），F为的中点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设， 则， 由为的中点，得， 在菱形中，，， 所以，， 所以， 故选：D 8．如图，正方形的边长为1，为的边上一点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】过点作，垂足为， ， 又，且共线同向， 所以 故选：B 9．已知是边长为2的等边三角形，为三角形内一点（包括边界），为的中点，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】如图，在等边中，为的中点，连接，取的中点并连接. ， 由于，，得：，， 因此可得：， 如图易知：由于为三角形内一点（包括边界）， 因此当点与点重合时，取得最小值，最小值为， 当点与点或点重合时，取得最大值，最大值为， 综上可得：，即. 故答案为： 10．如图，在平行四边形中，，，，点为中点，，点为边上的点．若点满足，且，则 ：若点为线段上的动点，则的取值范围为 ．    【答案】 /0.25 【详解】由题意， 又， 所以，则， 设， 可得， 而， 得到 ， ， 设，对称轴是， 故在上单调递增， 从而当点F为线段上的动点时，的取值范围为. 故答案为：；. 11．如图，在等腰梯形中，是边上一点（含端点），与交于点，若，且设.    (1)若，求的值； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由三点共线，且，可知， 在等腰梯形中，由，， 可得， 又，所以， 所以， 因为三点共线，所以向量共线， 可得，结合，解得， 所以. （2）由（1）知，又， 则， 分别过作的垂线，垂足分别为，    因为等腰梯形中，， 所以，可得， 又，得， 所以，， 可得 ， 又是边上一点（含端点），，则， 所以. 12．如图，扇形所在圆的半径为1，，为弧的中点，动点分别在线段，上运动（包含端点），且总有，设. (1)若，用表示； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）连接AC、BC，如图所示，因为，所以， 所以均为等边三角形， 所以四边形为菱形. 所以， 因为， 所以. （2）设，则， 所以， ， 因为扇形所在圆的半径为1，， 所以， 所以 ， 因为，所以当时，取得最小值， 当或1时，取得最大值， 所以的取值范围为. 【题型03：坐标法】 13．已知平面直角坐标系中，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意，设，则，即， 因为，所以，即，所以. 因为，则， 所以， 又因为，即， 所以， 由可得，则的取值范围是. 故选：A. 14．在梯形中，，，，点E在线段上，则的取值范围为（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意，以为坐标原点，为x轴，以为y轴建立平面直角坐标系如图所示， 则，，，， 所以，，. 设点. 因为点E在线段上，所以设，其中， 所以，所以， 所以. 故选：D. 15．在矩形中，，，，交于点，，分别为边，边上的点，且关于点中心对称.为矩形所在平面内的动点，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 建立如图所示坐标系，由题意得：，，，,,则， 设，则， ，， ，，， ， 对于，的最小值是0，最小值是， 对于，的最小值是，最大值是0， 所以值域为. 故选：A 16．直角梯形中，，，，，点O，E为，的中点，F在边上运动（包含端点），则的取值范围为 . 【答案】 【详解】建立平面直角坐标系如图， 则，，，， 因为点，为的中点，则，， 可得，，， 又因为点在边上运动(包含端点)，设， 则， 可得， 所以的取值范围为. 故答案为：. 17．在等腰直角中，为边上的两个动点（不与重合），且满足，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】不妨设点靠近点，点靠近点，以等腰直角三角形的直角边所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示，则， 线段的方程为． 由，设，则有，，， ，则由二次函数的知识可得． 故答案为： 18．已知在平面四边形中，，，，，若为边上的动点，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】因为，，，故， 所以， 故， 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系， 则、、、，设点，其中， 则，， 所以，， 因为，则，故， 所以， 故答案为：. 19．在中，，F为线段上的一点，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】 因为，以为坐标原点，建立直角坐标系， ，因为是线段上的点， 所以，设，所以， 所以，，所以， 故，故， 当时，有最大值，当时，有最小值. 所以的取值范围是. 故答案为： 【题型04：求数量积的最值范围】 20．在菱形中，，点是的中点，点在线段上（包含端点），则的取值范围为（） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，因为四边形是菱形， 所以， 由点是的中点，得， 由题意得，， 所以 ， 因为，所以的取值范围是． 故选：D． 21．如图所示，在边长为4的正八边形中，点为正八边形的中心，点是其内部任意一点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】正八边形中，， 所以，， 连接，过点作，交、于点、，交于点， 设， 中，由余弦定理得，， △OAF中，， 所以，解得， ，解得， 所以， 当在上的投影点与重合时，在上的投影向量为， 此时取得最小值为， 当在上的投影点与重合时，在上的投影向量为， 此时取得最大值为， 因为点P是其内部任意一点，所以的取值范围是． 故选：A． 22．在平行四边形中，，，，分别为边，上的动点.若，，则 ；若，，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】第一空：因为，所以， 又，所以， 所以 ； 第二空：因为，所以， 所以， ， 所以 ， 又因为，所以.. 故答案为：3;[1,3] 23．已知边长为2的正内一点（包含边界）满足（其中为任意实数），则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】记线段靠近点的三等分点为，线段靠近点的三等分点为， 因为，所以点在线段上，， ． 因为点在线段上，所以， 所以． 故答案为：.    24．如图，扇形所在圆的半径为2，，C为弧的中点，动点P，Q分别在线段OA，OB上运动（包含端点），且总有，设，． (1)若，用，表示； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1） 如图所示，可知，均为等边三角形，所以四边形为菱形. 所以， 因为，则， 所以， 则； （2）设，则，， 所以，， 因为扇形所在圆的半径为2，， 所以, 可知， 因为，所以当时，取得最小值，当或1时，取得最大值2， 所以的取值范围为． 25．“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦.”太极和八卦组合成了太极八卦图（如图1）.某太极八卦图的平面图如图2所示，其中正八边形的中心与圆心重合，是正八边形的中心，是圆的一条直径，且正八边形内切圆的半径为，.若点是正八边形边上的一点，求的取值范围.    【答案】 【详解】如图，连接. 因为，， 所以. 因为正八边形内切圆的半径为，， 所以. 因为，所以，所以， 即的取值范围是.      【题型05：求夹角的最值范围】 26．已知向量，不共线，且，，若，都有，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 则，即， 所以，解得， 因为向量，不共线，则， 故，故的取值范围是. 故选：B 27．已知与均为单位向量，其夹角为，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为与均为单位向量，其夹角为， 由，可得，所以， 所以，所以， 由，，所以， 所以，所以， 所以，又，所以， 所以的取值范围是. 故选：D. 28．已知 均为单位向量，若对任意的恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由得，设 即，即对任意的恒成立， 所以，解得， 又因为，所以， 故选：A. 29．平面向量，满足，且，则与夹角的余弦值的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，两边平方得，又， 所以， 所以， 当且仅当时，取等号， 所以与夹角的余弦值的最大值为. 故选：A. 30．已知矩形中，，点分别在边上（包含端点），若，则与夹角的余弦值的最大值是 . 【答案】/0.8 【详解】如图建立直角坐标系，则可设，, ， ， 当时，， 当时，由， 故, ∴,∴, 当且仅当时取等号， ∴最大值为， ∴的最小值为, 此时取得最大值为， 即与夹角的余弦值的最大值为. 故答案为：    31．为等边三角形所在平面内的一点，向量，且，.设向量与的夹角为，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设等边三角形的边长为1， 以为原点，所在直线为轴，以过点且与垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系， 所以， 所以， 则， 所以， 则. 又因为， 函数在上单调递增， 所以在上单调递减， 所以在上单调递增， 所以， 所以. 故选：C. 【题型06：求模长的最值范围】 32．在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，， 由平方可得，，所以． ，， 所以， ， 又，即， 所以，即， 故选：D. 33．在等腰直角三角形中，为斜边的中点，以为圆心，为半径作，点在线段上，点在上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】以为圆心，以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 由于所以， 由于点在，不妨设 ，, ，其中， , 所以， 可看作是上的点到点的距离， 由于点在线段上运动， 故当点运动到点时，此时距离最大，为, 当点运动到点时，此时距离最小为0， 综上可知：， 故选：A    34．已知平面向量、、满足且，向量满足，则的最大值是 . 【答案】/ 【详解】因为平面向量、、满足且，故， ， 因为，则，即，即， 所以， 当且仅当与方向相反时，等号成立， 故的最大值为. 故答案为：. 35．已知平面向量，满足，且，则的最大值是 . 【答案】/ 【详解】由，得， 整理得，则 ，当且仅当与同向时取等号，解得， 因此， 所以的最大值是. 故答案为： 36．已知和是互相垂直的两个单位向量，且，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】几何法：如图，设，连接，， 则，      依题意，是等腰直角三角形，且，由， 得向量的终点在以为直径的圆上运动，而点在此圆上，所以的最大值为. 代数法：由和是互相垂直的两个单位向量，得，， 由，得，即， 则或（当且仅当与同向时取等号）， 所以的最大值为. 故答案为： 37．设点在单位圆的内接正六边形的边上，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】如图，在平面直角坐标系中，不妨取， 设， 则， 故， ， ， 可得， ∵，则， ∴. 故答案为：. 1．已知向量满足与的夹角为，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为与的夹角为，所以， 所以， 由二次函数性质可知，当时，取得最小值， 所以，所以，即的取值范围为. 故选：D 2．在直角中，，，为边上的点且，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】以为坐标原点，正方向为轴正方向，可建立如图平面直角坐标系， 则，，，，， 为边上的点，，； ，，，， ，， ，，解得：， 又，，即的取值范围为. 故选：C. 3．在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，， 由平方可得，，所以． ，， 所以， ， 又，即， 所以，即， 故选：D. 4．如图，正六边形的边长为 ，半径为 1 的圆 的圆心为正六边形的中心，若点 在正六边形的边上运动，动点 在圆 上运动且关于圆心 对称，则 的最大值为（     ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】连接、、、，则为的中点， 由正六边形性质得，，而， 因此 ， 当且仅当与正六边形的顶点重合时，取最大值. 故选：B 5．已知中，，，且的最小值为，若P为边上任意一点，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题可知：设，则， ， 又的最小值为，则的最小值为3， 所以当时，有，又，所以. 设，则， 所以， 当时，有最小值为. 故选：C 6．窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图是一个正八边形窗花隔断，图是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图，若正八边形的边长为，是正八边形八条边上的动点，则的最小值为（ ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【详解】设的夹角为， 当与重合时，； 当在线段（除）、线段、线段，线段，线段（除）点上运动时， ，所以， 当与重合时，，所以， 以为原点，、分别为轴建立平面直角坐标系， 根据正八边形的性质可知，G到AF的距离为， 则， 直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为， 当在线段（除）上运动时，设， 所以， 当在线段上运动时，设， 所以， 当在线段（除）上运动时，设， 所以. 综上所述，的最小值为. 故选：C 7．在中，，，，，且与交于点F，则 （用表示），若，则的最大值为 ． 【答案】 ； . 【详解】如图：    设，则，且，所以. 又因为，所以，. 因为三点共线，设，则，即， 因为不共线，由平面向量基本定理得，解得 所以，. 若，设，则，即， ，，， 又因为，且在上单调递减， 所以，故的最大值为. 故答案为：；. 8．已知点，，不重合，且，，若平面内一点满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由，得三点在以为圆心，1为半径的圆上， 由，得，即，则线段是圆的直径，， 因此 ，而， 即，则， 所以. 故答案为： 9．在平面四边形中，E，F分别是边和的中点，．四边形所在平面内一点P满足，则的最大值为 ． 【答案】13 【详解】如图所示： 因为，，又点是的中点， 所以，所以， ， 又，所以，又点是的中点，所以， 所以在以为圆心，2为半径的圆上，又， 故，即， 所以的最大值为5，即三点共线，且在两点之间取得最大值， 所以. 故答案为：. 10．如图，已知正方形的边长为2，圆弧是以为直径的半圆弧．当点为圆弧的中点时，在上的投影向量的模长为 ；当点为圆弧上的动点时，的最小值为 ． 【答案】 0 【详解】如图，以中点为坐标原点，以为轴，为轴建立平面直角坐标系， 因为正方形的边长为，所以，，，， 当为圆弧的中点时，， 此时，， 则，， 所以在上的投影向量的模长为； 当点为圆弧上的动点时，设，，， 所以满足，则，所以， 所以，， 则， 因为，所以当时，取得最小值. 故答案为：；. 11．已知平面向量，的夹角为，，，则 ；若非零向量满足：，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】，所以； ，且， 不妨设且，则， 由得，，即，则， 由，则，解得， 则， 所以， 所以的最小值为； 故答案为：，． 12．已知是边长为1的等边三角形，为的中点，，则的最大值为 【答案】/0.09375 【详解】如图以为坐标原点，为轴正半轴，垂直于方向为轴正半轴建立平面直角坐标系. ，，，得. ，. ，. ，则. ， 当时，原式有最大值. 故答案为：. 13．在直角梯形中，已知，，，动点、分别在线段和上，且，． (1)当时，求的值； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）当时，依题意知，，，. 则， . 因为，， . 所以. 因此. 因为， ，， 所以，，所以. （2）由题意， . 则. 因为，， ， 所以， 由题意知，， 所以的取值范围是， ∴的取值范围是． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $