重难点突破01 求三角函数中的ω（寒假预习讲义）高一数学人教B版

重难点突破01 求三角函数中的ω 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 【题型01：单调性与ω的取值范围】 【题型02：图象平移与ω的取值范围】 【题型03：对称性与ω的取值范围】 【题型04：函数最值与ω的取值范围】 【题型05：零点或方程的解与ω的取值范围】 【题型06：零点、对称轴、单调性综合性问题与ω的取值范围】 第二步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：与三角函数的周期性相关 因为的最小正周期是，所以，也就是说只要确定了周期T，就可以确定的取值. 知识点2：与三角函数的对称性相关 （1）三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，也就是说，我们可以根据三角函数的对称性来研究其周期性，进而可以研究的取值。 （2）三角函数的对称轴比经过图象的最高点或最低点，函数的对称中心就是其图象与轴的交点（零点），也就是说我们可以利用函数的最值、零点之间的“差距”来确定其周期，进而可以确定的取值. 知识点3：与三角函数的单调性相关 函数的每一“完整”单调区间的长度（即两相邻对称轴的间距）恰好等于，据此可用来求的值或范围。 反之，从函数变换的角度来看ω的大小变化决定了函数图象的横向伸缩，要使函数在指定区间上具有单调性，我们往往可以通过调整周期长度来实现，犹如通过弹簧的伸缩来抬举三角函数在区间上的单调性和最值等。 【题型01：单调性与ω的取值范围】 1．已知函数，其中．若在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数在区间内单调递增，所以，所以， 因为，所以，若在区间上单调递增， 则，，解得， 当时，，又，则； 当k取其它值时不满足，∴的取值范围为， 故选：B． 2．已知函数在上单调递增，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】正弦函数的单调递增区间为， 因为函数，， 所以， 要使函数在上单调递增， 所以，解得，结合，故的取值范围是 故答案为：. 3．若函数在上单调，则实数的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由函数在上单调可知，得， 所以，所以， 当 时，，函数 在该区间不单调，故舍去， 因此只需考虑 的情况， 因为，所以， 当时，由正弦函数性质可知，要使在上单调，则， 所以即； 当时，要使在上单调，则， 所以即. 综上，的最大值为. 故选：C 4．若函数在上严格减，则正实数的取值范围是 【答案】 【详解】设函数的最小正周期为. 因为，所以. 又因为函数在上严格减， 所以且，， 即且，， 所以且，， 所以当时，；当时，， 所以正实数的取值范围是：. 故答案为： 5．已知函数（）在上单调递增，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】令，， 解得，， 所以的单调递增区间为，， 因为在上单调递增，所以，解得，所以， 即的取值范围是. 故答案为：. 6．已知函数（为正整数）在上不单调，求的最小值． 【答案】3 【详解】解：当函数严格增时，， 整理得（）． 若函数在上严格增， 则（）， 即，整理得． 当时，；① 当函数严格减时，（）， 整理得（）， 若函数在上严格减， 则（）， 即，整理得， 当时，．② 由于函数在上不单调，且为正整数， 所以的取值为①②所表示的不等式的补集， 所以的最小值为3． 【题型02：图象平移与ω的取值范围】 7．若函数的图象向右平移个单位长度后关于点对称，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【详解】将函数的图象向右平移得到， 将点代入得， 所以，解得，又， 所以， 故选：B. 8．将函数（）的图象向左平移4个单位长度后，所得图象与原图象重合，则（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】D 【详解】由题意得，则，即，． 因为，则当时，取得最小值为，当时，取得最大值为． 故选：D. 9．已知函数的图象向右平移个单位长度后与原图象重合，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题可知是该函数的周期的整数倍，即， 解得，故的最小值为 故选：D. 10．已知函数，将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若与的图象关于原点对称，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【详解】因为将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，所以． 因为与的图象关于原点对称，函数的图象关于原点对称的图象对应的函数解析式为 所以， 即， 所以， 所以， 又，所以． 故选：A 11．将函数的图象向左平移个单位长度后，所得函数的图象与曲线重合，则的最小值为 . 【答案】 【详解】将的图象向左平移个单位长度后得到 ， 又与函数的图象重合， 所以，解得， 又，所以的最小值为. 故答案为： 12．若函数的图象向左平移后，得到的函数图象与的图象重合，则的最小值为 ． 【答案】3 【详解】的图象向左平移得到, 因为图象重合，所以, 即, 因为,所以的最小值为3. 故答案为：3. 【题型03：对称性与ω的取值范围】 13．函数的图象关于直线对称，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【详解】函数的图象关于直线对称， 所以，，得，， 因为，所以当时，取最小值，为， 故选：A. 14．若函数的图象的一个对称中心的横坐标为1，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由函数的性质知， 其图象的对称中心的横坐标满足， 因为点是函数图象的一个对称中心， 所以， 又，故当时，， 所以的最小值为， 故选：C． 15．已知，则的最小值为（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】由， 则或， 即或， 因为，则为正整数，可以为或， 由， 则或， 即或， 由于为正整数，则可以为或， 综上所述，可以为则的最小值为2. 故选：B 16．已知，函数满足，且在区间上恰好存在两条对称轴，则的最大值为（   ） A．2 B．5 C．8 D．11 【答案】C 【详解】函数的最小正周期为，则，在区间上恰好存在两条对称轴， ，所以，即，解得， 因为，所以点是函数图象的一个对称中心， 则，得，，即，， 因，则，且随k的增大而增大， 当时，，此时在内有三条对称轴，不合题意， 当时，，此时，其中，有两条对称轴， 则的最大值为8． 故选：C． 17．记函数的最小正周期为，若，且函数的图象关于点对称，则当取得最小值时， ． 【答案】 【详解】由题可得，则. 因的图象关于点对称，则， 则， 则. 结合，可知时，最小为4，则， 则. 故答案为： 18．已知函数在区间上有定义，且其图象在区间上至少有两个对称中心，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】当，， 若函数（）在区间上有定义， 则，解得， 函数的对称中心满足，，整理得，， 其图象在区间上至少有两个对称中心，则在区间上至少有两解， 整理得至少存在两个值使，， 故至少有两个取值，所以， 综上，的取值范围为. 故答案为:. 【题型04：函数最值与ω的取值范围】 19．已知函数，其图象关于直线对称，且在上有最大值，则的最小值为（   ） A．1 B．4 C．7 D．11 【答案】C 【详解】 因为图象关于直线对称，所以，解得， 因为，且在上有最大值， 所以存在，使得， 当，，则，解得 又且，当时，满足 所以的最小值为 故选：C. 20．已知函数，若对于，都有恒成立，则的取值不可能是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【详解】因为函数，且， 所以，则， 因为，所以， 当时，，，符合题意； 当时，，，符合题意； 当时，， ∵，∴，，∴， 即存在，使得，不符合题意； 当时，， ∵，，∴且， 即，符合题意； 所以的取值不可能是， 故选：C 21．已知函数（）在区间内有且仅有一个，使得，则的最大值为（    ） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】A 【详解】由题设在区间内有且仅有一个最小值，此时， 故在内有且仅有一个最小值，则， 所以，则的最大值为11. 故选：A 22．已知函数的图象过点，且在区间上恰有三个最值点，则的最大值为 【答案】 【详解】由函数的图象过点，得，解得， 又，∴，； 由，解得， 又，即，整理得， 当，，对应； 当，，对应； 当，，对应； 要使在区间上有三个最值点，则当时对应的最值点应在区间内， 当时对应的最值点应在区间外或在区间端点处， 故有，解得，所以的最大值为. 故答案为： 23．已知函数在区间上恰有2个最大值点，则实数的所有取值构成的集合为 【答案】 【详解】因为，， 所以， 因为函数在区间上恰有2个最大值点， 所以， 因此实数的所有取值构成的集合为. 故答案为： 24．若函数在上的值域为，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】由，则， 的值域为，则，解得. 故答案为：. 25．已知函数在区间内既有最大值也有最小值，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】当时，， 因为在区间内既有最大值，又有最小值， 所以或，解得或. 故答案为：. 【题型05：零点或方程的解与ω的取值范围】 26．已知函数为偶函数，在区间上单调递减，且在该区间内没有零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数为偶函数，所以， 由，得， 因为函数在单调递减，且在该区间上没有零点， 所以，解得， 所以的取值范围为， 故选：B 27．若函数有个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，由题意得单调递增， 令，解得，此时具有唯一零点， 又因为有个根，所以当时，有个零点， 因为，所以， 所以有，解得，即. 故选：B． 28．若关于的方程在上有且仅有3个解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 所以，解得或， 即或，，则在上一定有一个解是， 有以下两种情况： ①在上有且仅有2个异于的解，即且，，解得， ②在上有且仅有3个解，且其中有一个是，即，且或或，无解. 综上，. 故选：D 29．已知函数，在上恰有两个零点，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】令，解得， 因为，所以， 因为在上恰有两个零点，所以，解得， 所以的取值范围是． 故答案为：． 30．已知函数在区间上恰好有3个零点，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】当时，， 由题意函数在区间上恰好有3个零点， 则根据余弦函数的图象与性质知， 结合解得， 即的取值范围是， 故答案为：． 31．已知函数，其中． (1)当时，求函数的单调递减区间； (2)若关于的方程在区间上恰有两个不同解，求的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】 【详解】（1）当时，， 由，得， ∴函数的单调递减区间为． （2）由，得， 当时，． ∵有两个解，∴， ∴，即的取值范围为． 32．已知函数. (1)求的单调递增区间； (2)求在区间上的最大值和最小值； (3)若在区间上有且仅有一个解，求的取值范围. 【答案】(1)， (2)最大值为，最小值为 (3) 【分析】 【详解】（1）令，， 解得，， 故的单调递增区间为，； （2）当时，， 则在区间上的最大值为，最小值为； （3）令，即， 当时，， 即方程在区间上有且仅有一个解， 即，解得， 即的取值范围为. 【题型06：零点、对称轴、单调性综合性问题与ω的取值范围】 33．已知函数在区间上单调递增，且在区间内至少有一个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，，且时，， 由函数在区间上单调递增， 故，解得，即. 当时，， 由函数在区间内至少有一个零点， 则，解得. 综上所述，，则的取值范围是. 故选：B. 34．已知函数在区间上单调递增且存在零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设函数的最小正周期为，因为在区间上单调递增， 所以，解得，所以． 令，则当时，． 则在区间上单调递增且存在零点等价于在上单调递增且存在零点， 所以，解得， 又，当时，得；时，得，其他值，均不合要求， 所以或，所以的取值范围是. 故选：C. 35．已知函数，若在区间内有且仅有3个零点和2条对称轴，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 由于函数在区间上有且仅有3个零点和2条对称轴， 根据函数的图像：    所以，整理得：． 故选：A． 36．设是函数与函数的图象连续相邻的三个交点，若是锐角三角形，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，， 作出两个函数的图象，如图： 为连续三个交点（不妨设在轴下方），为的中点， 由对称性，得是以为顶角的等腰三角形，， 由，整理得， 解得，则， 即，所以， 因为为锐角三角形，则， 所以，解得. 故选：A. 37．将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，得到函数的图象，若在上单调递减，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的， 得到函数的图象，再将函数的图象向左平移个单位长度， 得到的图象. 当时，，因为函数在上单调递减， 所以，，解得，， 当时，；当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意. 故实数的取值范围为. 故选：B. 38．将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到的图象，若在区间上恰有两个零点，且在上单调递减，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】依题意可得， 当时，， 因为在上恰有两个零点， 所以，解得． 令，得， 令，得在上单调递减， 所以，所以又，所以． 综上所述，，即的取值范围是． 故答案为： 1．已知在上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知，，又， 则， 因为在上单调递增， 则，解得， 所以，故的取值范围是． 故选：B 2．已知函数，当时，若方程有4个实数根，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由得，， 又，则， 如图，要使恰有4个实数根，结合图象需满足， 解得． 故选：D.    3．设，已知在上有10个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，则或， 或， 即或，，， 则当，时，零点从小到大依次为，， ,解得， 即的取值范围为． 故选：C 4．已知函数，为的最小正周期，且对任意的恒成立，若函数在区间上恰有3个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得：的最小正周期， 又对任意的恒成立， 所以为的一条对称轴， 所以，解得， 又，则，， 所以． 当时，， 若函数在区间上恰有3个零点，则，解得， 即的取值范围是. 故选：D． 5．若函数有4个零点，则正数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数在上单调递增，则函数在上单调递增， 而，则，使得，函数在上有1个零点， 由函数有4个零点，得函数有3个零点， 由，得，则，解得， 所以正数的取值范围是. 故选：D 6．若函数在区间上单调递增，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】由题可知在上单调递增， 令， 余弦函数的递增区间， 则，即， ，仅满足，代入可得：. 故的取值范围为. 故答案为： 7．已知函数的图象在区间上有且仅有1条对称轴和1个对称中心，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】当时，， 由函数的图象在区间上有且仅有1条对称轴和1个对称中心，得或 解得或则， 所以实数的取值范围是， 故答案为：. 8．已知函数在区间上单调递增，且在区间上恰好取得一次最大值，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】， 又在区间上单调递增， 所以，解得， ， 又在区间上恰好取得一次最大值， 所以， 综上，. 故答案为：. 9．函数，其中，若，使得，求的取值范围． 【答案】 【详解】由题可知，函数的最大值是， 若，使得， 则在的图象上至少有2个最大值， 即在上至少有两个解， 因为，所以，所以，解得． 综上，的取值范围是． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点突破01 求三角函数中的ω 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 【题型01：单调性与ω的取值范围】 【题型02：图象平移与ω的取值范围】 【题型03：对称性与ω的取值范围】 【题型04：函数最值与ω的取值范围】 【题型05：零点或方程的解与ω的取值范围】 【题型06：零点、对称轴、单调性综合性问题与ω的取值范围】 第二步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：与三角函数的周期性相关 因为的最小正周期是，所以，也就是说只要确定了周期T，就可以确定的取值. 知识点2：与三角函数的对称性相关 （1）三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，也就是说，我们可以根据三角函数的对称性来研究其周期性，进而可以研究的取值。 （2）三角函数的对称轴比经过图象的最高点或最低点，函数的对称中心就是其图象与轴的交点（零点），也就是说我们可以利用函数的最值、零点之间的“差距”来确定其周期，进而可以确定的取值. 知识点3：与三角函数的单调性相关 函数的每一“完整”单调区间的长度（即两相邻对称轴的间距）恰好等于，据此可用来求的值或范围。 反之，从函数变换的角度来看ω的大小变化决定了函数图象的横向伸缩，要使函数在指定区间上具有单调性，我们往往可以通过调整周期长度来实现，犹如通过弹簧的伸缩来抬举三角函数在区间上的单调性和最值等。 【题型01：单调性与ω的取值范围】 1．已知函数，其中．若在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数在上单调递增，则的取值范围是 . 3．若函数在上单调，则实数的最大值为（ ） A． B． C． D． 4．若函数在上严格减，则正实数的取值范围是 5．已知函数（）在上单调递增，则的取值范围是 . 6．已知函数（为正整数）在上不单调，求的最小值． 【题型02：图象平移与ω的取值范围】 7．若函数的图象向右平移个单位长度后关于点对称，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 8．将函数（）的图象向左平移4个单位长度后，所得图象与原图象重合，则（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最大值为 9．已知函数的图象向右平移个单位长度后与原图象重合，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 10．已知函数，将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若与的图象关于原点对称，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 11．将函数的图象向左平移个单位长度后，所得函数的图象与曲线重合，则的最小值为 . 12．若函数的图象向左平移后，得到的函数图象与的图象重合，则的最小值为 ． 【题型03：对称性与ω的取值范围】 13．函数的图象关于直线对称，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 14．若函数的图象的一个对称中心的横坐标为1，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 15．已知，则的最小值为（    ） A． B．2 C．3 D．4 16．已知，函数满足，且在区间上恰好存在两条对称轴，则的最大值为（   ） A．2 B．5 C．8 D．11 17．记函数的最小正周期为，若，且函数的图象关于点对称，则当取得最小值时， ． 18．已知函数在区间上有定义，且其图象在区间上至少有两个对称中心，则的取值范围为 . 【题型04：函数最值与ω的取值范围】 19．已知函数，其图象关于直线对称，且在上有最大值，则的最小值为（   ） A．1 B．4 C．7 D．11 20．已知函数，若对于，都有恒成立，则的取值不可能是（    ） A． B．1 C． D． 21．已知函数（）在区间内有且仅有一个，使得，则的最大值为（    ） A．11 B．10 C．9 D．8 22．已知函数的图象过点，且在区间上恰有三个最值点，则的最大值为 23．已知函数在区间上恰有2个最大值点，则实数的所有取值构成的集合为 24．若函数在上的值域为，则的取值范围为 . 25．已知函数在区间内既有最大值也有最小值，则的取值范围是 . 【题型05：零点或方程的解与ω的取值范围】 26．已知函数为偶函数，在区间上单调递减，且在该区间内没有零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 27．若函数有个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 28．若关于的方程在上有且仅有3个解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 29．已知函数，在上恰有两个零点，则的取值范围是 ． 30．已知函数在区间上恰好有3个零点，则的取值范围是 ． 31．已知函数，其中． (1)当时，求函数的单调递减区间； (2)若关于的方程在区间上恰有两个不同解，求的取值范围． 32．已知函数. (1)求的单调递增区间； (2)求在区间上的最大值和最小值； (3)若在区间上有且仅有一个解，求的取值范围. 【题型06：零点、对称轴、单调性综合性问题与ω的取值范围】 33．已知函数在区间上单调递增，且在区间内至少有一个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 34．已知函数在区间上单调递增且存在零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 35．已知函数，若在区间内有且仅有3个零点和2条对称轴，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 36．设是函数与函数的图象连续相邻的三个交点，若是锐角三角形，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 37．将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，得到函数的图象，若在上单调递减，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 38．将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到的图象，若在区间上恰有两个零点，且在上单调递减，则的取值范围为 ． 1．已知在上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．已知函数，当时，若方程有4个实数根，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．设，已知在上有10个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数，为的最小正周期，且对任意的恒成立，若函数在区间上恰有3个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．若函数有4个零点，则正数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．若函数在区间上单调递增，则的取值范围为 . 7．已知函数的图象在区间上有且仅有1条对称轴和1个对称中心，则实数的取值范围是 ． 8．已知函数在区间上单调递增，且在区间上恰好取得一次最大值，则的取值范围是 ． 9．函数，其中，若，使得，求的取值范围． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $