精品解析：湖南省株洲市醴陵市2025-2026学年九年级上学期期末质量检测数学试题

2025年下学期九年级期末质量检测 数学试卷 （时量：120分钟 总分：120分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 关于抛物线，下列说法错误的是（ ） A. 开口方向向上 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，随的增大而增大 6. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比均为，根据“两天不练丢一半”，可列一元二次方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点在反比例函数的图象上，且轴于点，连接，则下列说法错误的是（ ） A. 点到轴的距离为1 B. 当时，随的增大而减小 C. 点也在反比例函数的图象上 D. 8. 如图，正方形的顶点在正方形的边上，与交于点，若，则的长为（　　） A. 2 B. 3 C. D. 9. 如图，是的直径，弦于点E，，，则圆心到弦的距离为（ ） A. B. C. D. 10. 已知是关于的函数，如果能在其函数图象上能找到横坐标与纵坐标相同的一个点，则称点为函数图象上的“郡点”．例如：直线上存在“郡点”．若抛物线上有“郡点”，且“郡点”、的坐标分别为，，则的值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______． 12. 已知，且，，则______．（填写角的度数） 13. 如图，四边形和是以点为位似中心的位似图形，若，则四边形与四边形的面积比为______． 14. 如图，在中，，经尺规作图得到、与相交于点，有下列结论：①；②；③．其中一定成立的有______（填序号）． 15. 菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，，则点B的坐标为__________． 16. 如图，在矩形中，点是边上的一点，点，分别是、的中点，延长，交于点，若，，． ①的长为______；②的长为______． 三、解答题（17-18题6分，19-20题每题8分，21-22题10分，23-24题每题12分） 17. 计算： 18. 解一元二次方程：. 19. 如图，在中，，，，为边上一点，过点作的平行线交于点，过点作的平行线交于点． （1）求证：； （2）若，求与的面积比． 20. 眼睛是心灵的窗户，每年的6月6日是全国爱眼日，株洲市外国语学校对八年级某班学生进行了一次视力调查，绘制出频数分布表和频数直方图的部分如下： 视力 频数（人数） 频率 请根据图表信息回答下列问题： （1）在频数分布表中，的值为__________，的值为__________； （2）将频数直方图补充完整； （3）甲同学说“我的视力情况是此次调查所得数据的中位数”，请问甲同学的视力情况在哪个范围内? （4）若视力在以上（含）均属正常，求视力正常的人数占被调查人数的百分比． 21. 城市露营成为一种新的周末生活方式．某公司向厂家购买了精英型帐篷和豪华型帐篷两种产品．已知购买3顶精英型帐篷和2顶豪华型帐篷成本为1650元，1顶精英型帐篷比1顶豪华型帐篷少450元． （1）求购进的精英型帐篷和豪华型帐篷的单价各是多少？ （2）该公司准备将购进的精英型帐篷进行零售，经过市场调研发现，每顶精英型帐篷售价为200元时，每天销量为60顶，售价每降低1元每天可多售出5顶．该公司现决定对精英型帐篷进行降价销售，若降价元，该公司每天销售精英型帐篷的利润为4400元，求精英型帐篷的售价． 22. 综合与实践：如图1是我国古代提水的器具桔槔，创造于春秋时期．选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上． 【操作原理】如图2是桔槔的示意图，大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里． 【已知数据】如图2，大竹竿米，O为的中点，支架垂直地面． 【问题解决】根据以上操作原理和已知数据，解答下列问题： （1）当水桶在井里时，， ① ． ②求此时支点O到小竹竿的距离（结果精确到）． （2）如图3，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置，此时，求点A上升的高度（结果精确到）． （参考数据：，，，） 23. 中，点E是线段延长线上的一个动点，连接，过点A作交射线于点F． （1）如图1，若四边形是正方形，写出与之间的数量关系： ；（直接写出结论） （2）如图2，若四边形是矩形，且，试判断与之间的数量关系，写出结论并证明； （3）如图3，若四边形是菱形，且，过点A作于点E，过点A作，交过D点与垂直的直线于点F，求． 24. 如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，连接，点为线段上一个动点（不与点，重合），过点作轴交抛物线于点， （1）求抛物线的表达式； （2）设 的横坐标为，请用含的式子表示线段的长，并求出线段的最大值； （3）已知点是抛物线对称轴上的一个点，点是平面直角坐标系内一点，当线段取得最大值时，是否存在这样的点、，使得四边形是菱形？ 若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年下学期九年级期末质量检测 数学试卷 （时量：120分钟 总分：120分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．用因式分解法求解即可． 【详解】解：∵ ∴或 ∴ 故选C． 2. 用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键． 通过将方程两边加上一次项系数一半的平方，再利用完全平方公式配方即可． 【详解】解：∵， ∴ 两边加4得 ，即． 故选C． 3. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式的求值． 将所求分式拆分为已知比例与1的和，代入计算． 【详解】解：∵， ∴． 故选：A． 4. 在平面直角坐标系中，点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，根据的在各象限内点的坐标的符号特征解答即可． 【详解】解：∵点， ∴点P在第二象限， 故选：B． 5. 关于抛物线，下列说法错误的是（ ） A. 开口方向向上 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，随的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的图象和性质逐一进行判断即可． 【详解】A. 因为二次项系数大于0，所以开口方向向上，故正确； B. 对称轴是直线，故正确； C. 顶点坐标为，故错误； D. 当时，随的增大而增大，故正确； 故选：C． 【点睛】本题主要考查二次函数，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 6. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比均为，根据“两天不练丢一半”，可列一元二次方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据“两天不练丢一半”的含义，两天后剩余知识量是原始量的一半，每天剩余比例是，进行列方程，即可作答． 【详解】解：设原始知识量为1， ∵ 每天遗忘百分比为x， ∴ 每天剩余比例为， ∴两天后剩余知识量为， 根据题意， 故选：C 7. 如图，点在反比例函数的图象上，且轴于点，连接，则下列说法错误的是（ ） A. 点到轴的距离为1 B. 当时，随的增大而减小 C. 点也在反比例函数的图象上 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，反比例函数的几何意义，反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．根据，即可判断A选项，根据反比例函数的图象即可判断B选项，求得，进而判断C选项，根据k的几何意义，即可判断D选项，即可求解． 【详解】解∶A、点在反比例函数的图象上， ，解得，经检验得是原方程的解， ． 点到轴的距离为1，故该选项正确，不符合题意； B、根据函数图象，可知，当时，y随x的增大而减小，故该选项正确，不符合题意； C．当时，，则点也在反比例函数，上的图象上，故该选项正确，不符合题意； D． ，故该选项不正确，符合题意； 故选：D． 8. 如图，正方形的顶点在正方形的边上，与交于点，若，则的长为（　　） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 根据题意得出，，，，得到，可证，得到，计算即可得到答案． 【详解】解：∵正方形的顶点在正方形的边上， ∴，，，， ，， ， ， ， ， 故选：D ． 9. 如图，是的直径，弦于点E，，，则圆心到弦的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理与勾股定理，利用圆周角定理判断出与的关系是解题的关键． 根据，判断出，所以为含特殊角的直角三角形，已知的长度，利用勾股定理即可求出的长度． 【详解】解：∵， ∴，∵， ∴， ∴， ∴，结合勾股定理， 解得， 故选A 10. 已知是关于的函数，如果能在其函数图象上能找到横坐标与纵坐标相同的一个点，则称点为函数图象上的“郡点”．例如：直线上存在“郡点”．若抛物线上有“郡点”，且“郡点”、的坐标分别为，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质、一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数之间的关系公式是解题的关键． 根据“郡点”定义，点A和B的坐标满足横纵坐标相等，代入抛物线方程得到关于的方程，和是该方程的两个根，利用根与系数的关系计算即可． 【详解】∵点和是抛物线上的郡点， ∴，且满足，， ∴， 整理得， ∴和是方程的两个实数根， 由根与系数的关系，得，， ∴． 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______． 【答案】k＜1． 【解析】 【分析】由方程有两个不等实数根可得出关于k的一元一次不等式，解不等式即可得出结论． 【详解】∵关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有两个不相等的实数根， ∴△=， 解得：， 故答案为. 【点睛】本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式，解题的关键是得出关于k的一元一次不等式．熟知“在一元二次方程中，若方程有两个不相等的实数根，则△=”是解答本题的关键. 12. 已知，且，，则______．（填写角的度数） 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，三角形内角和定理，根据三角形内角和定理求出的度数，再由相似三角形对应角相等可得答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 13. 如图，四边形和是以点为位似中心的位似图形，若，则四边形与四边形的面积比为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，利用位似图形面积比为相似比的平方即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形和是以点为位似中心的位似图形，， ∴， ∴四边形与四边形的面积比为， 故答案为：． 14. 如图，在中，，经尺规作图得到、与相交于点，有下列结论：①；②；③．其中一定成立的有______（填序号）． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题考查作图基本作图，解题的关键是熟练掌握角平分线性质，线段垂直平分线性质． 由作图可知平分，得，可判断①；根据线段垂直平分线性质得，结合，得，可判断②：由垂直平分线段性质得，结合，可判断③． 【详解】解：由作图可知平分， ∴， ∴①正确； ， ∴， ∵垂直平分线段， ∴， ∴， ∴②正确； ∵，， ∴， ∴③正确． 故①②③正确， 故答案为：①②③． 15. 菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，，则点B的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的性质，作轴，设，先利用勾股定理求出、的长度，从而得出点坐标，然后利用菱形的性质求得点的坐标． 【详解】解：如图，边点作轴， 由题意可得，， 轴， ， ， 设， 中，， ， （负值舍去）， ， 点的坐标为， 则点的坐标为． 16. 如图，在矩形中，点是边上的一点，点，分别是、的中点，延长，交于点，若，，． ①的长为______；②的长为______． 【答案】 ①. 3 ②. 【解析】 【分析】过点作交于点，可得，，可证，．延长交于点，易证，，．过点作于点，易证四边形是矩形，．在中，，，通过勾股定理即可求的长，从而求的长． 【详解】解：如图，过点作交于点， ， ， 是的中点， ， ，， ， ， ， ， ， ， ； 延长交于点， ， ， 又，， ， ，， 过点作于点， ；四边形是矩形， 点是的中点， ，，， ． 故答案为：①3；②． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，掌握相关知识是解题的关键． 三、解答题（17-18题6分，19-20题每题8分，21-22题10分，23-24题每题12分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键. 【详解】解： 18. 解一元二次方程：. 【答案】，. 【解析】 【分析】根据因式分解法即可求解. 【详解】解： ∴x-1=0或2x-1=0 解得，. 【点睛】此题主要考查一元二次方程的求解，解题的关键是熟知因式分解法的应用. 19. 如图，在中，，，，为边上一点，过点作的平行线交于点，过点作的平行线交于点． （1）求证：； （2）若，求与的面积比． 【答案】（1）证明见解析； （2）与的面积比为． 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质定理是解题的关键． （1）根据平行相似证明、，即可得出； （2）先证明四边形为平行四边形，得出边的关系，再运用相似三角形的面积比等于相似比的平方的性质解答即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴． ∵在和中， ， ∴． 同理： ∵， ∴． ∵在和中， ， ∴． ∴． 【小问2详解】 ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴． ∵， ∴设，， ∴． ∵由（1）得， ∴． ∴与的面积比为． 20. 眼睛是心灵的窗户，每年的6月6日是全国爱眼日，株洲市外国语学校对八年级某班学生进行了一次视力调查，绘制出频数分布表和频数直方图的部分如下： 视力 频数（人数） 频率 请根据图表信息回答下列问题： （1）在频数分布表中，的值为__________，的值为__________； （2）将频数直方图补充完整； （3）甲同学说“我的视力情况是此次调查所得数据的中位数”，请问甲同学的视力情况在哪个范围内? （4）若视力在以上（含）均属正常，求视力正常的人数占被调查人数的百分比． 【答案】（1）； （2） 如图所示， （3）甲同学的视力情况在范围内 （4） 【解析】 【分析】本题考查频数分布表、频数分布直方图等知识； （1）根据频数分布表中的数据，可以计算出本次调查的人数，然后即可计算出和的值； （2）根据（1）中的值，可以将频数分布直方图补充完整； （3）根据中位数的定义直接解答即可； （4）用视力在以上（含）的人数除以总人数即可． 【小问1详解】 解：抽取的总人数是：（人）， 则（人）， ， 故答案为：，． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵； ∴中位数落在第3组内， 即甲同学的视力情况在范围内； 【小问4详解】 视力正常的人数占被调查人数的百分比是 21. 城市露营成为一种新的周末生活方式．某公司向厂家购买了精英型帐篷和豪华型帐篷两种产品．已知购买3顶精英型帐篷和2顶豪华型帐篷成本为1650元，1顶精英型帐篷比1顶豪华型帐篷少450元． （1）求购进的精英型帐篷和豪华型帐篷的单价各是多少？ （2）该公司准备将购进的精英型帐篷进行零售，经过市场调研发现，每顶精英型帐篷售价为200元时，每天销量为60顶，售价每降低1元每天可多售出5顶．该公司现决定对精英型帐篷进行降价销售，若降价元，该公司每天销售精英型帐篷的利润为4400元，求精英型帐篷的售价． 【答案】（1）每顶精英型帐篷成本为150元，豪华型帐篷的成本为600元． （2）精英型帐篷的售价为元或元． 【解析】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元二次方程的应用． （1）设每顶精英型帐篷成本是x元，豪华型帐篷的成本分别是y元，利用“购买3顶精英型帐篷和2顶豪华型帐篷成本为1650元，1顶精英型帐篷比1顶豪华型帐篷少450元”建立方程组求解即可； （2）由原有的销售量加上增加的销售量得到精英型帐篷每天的销量，由每顶帐篷的利润乘以销售量等于总利润建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：设每顶精英型帐篷成本是x元，豪华型帐篷的成本分别是y元，根据题意得： ， 解得， 答：每顶精英型帐篷成本为150元，豪华型帐篷的成本为600元． 【小问2详解】 解：降价m元，该公司精英型帐篷每天的销量为顶； 由题意可得：， 整理得：， 解得：，， ∴或， ∴精英型帐篷的售价为元或元． 22. 综合与实践：如图1是我国古代提水的器具桔槔，创造于春秋时期．选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上． 【操作原理】如图2是桔槔的示意图，大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里． 【已知数据】如图2，大竹竿米，O为的中点，支架垂直地面． 【问题解决】根据以上操作原理和已知数据，解答下列问题： （1）当水桶在井里时，， ① ． ②求此时支点O到小竹竿的距离（结果精确到）． （2）如图3，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置，此时，求点A上升的高度（结果精确到）． （参考数据：，，，） 【答案】（1）①；②此时支点O到小竹竿的距离约为2.6米 （2）点A上升的高度约为0.9米 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意； （1）①由题意易得，然后根据平行线的性质可进行求解；②过点O作于点G，由题意易得，然后根据三角函数可进行求解； （2）设交于点H，由题意得，，，米，然后根据三角函数可进行求解． 【小问1详解】 解：①∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为； ②过点O作于点G，如图所示： ∵米，O为的中点， ∴， ∴； 即此时支点O到小竹竿的距离约为2.6米； 【小问2详解】 解：如图，设交于点H， 由题意得，，，米， ∴， 在中，（米）， ∵米， ∴（米）， ∴点A上升的高度约为0.9米． 23. 中，点E是线段延长线上的一个动点，连接，过点A作交射线于点F． （1）如图1，若四边形是正方形，写出与之间的数量关系： ；（直接写出结论） （2）如图2，若四边形是矩形，且，试判断与之间的数量关系，写出结论并证明； （3）如图3，若四边形是菱形，且，过点A作于点E，过点A作，交过D点与垂直的直线于点F，求． 【答案】（1） （2） 解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即． （3） 【解析】 【分析】（1）利用正方形的性质证明，即可得到； （2）证明，即可求出，再利用即可求出； （3）设和交于点H，设，求出，，再求出，，即可求出，再利用勾股定理求出，所以． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设和交于点H， ∵四边形是菱形，且， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正方形性质，矩形性质，菱形性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，所对的直角边等于斜边的一半，解题的关键是熟练掌握以上相关知识点，并能够综合运用，难度较大． 24. 如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，连接，点为线段上一个动点（不与点，重合），过点作轴交抛物线于点， （1）求抛物线的表达式； （2）设 的横坐标为，请用含的式子表示线段的长，并求出线段的最大值； （3）已知点是抛物线对称轴上的一个点，点是平面直角坐标系内一点，当线段取得最大值时，是否存在这样的点、，使得四边形是菱形？ 若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2），最大值是4 （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）设抛物线的解析式为，根据抛物线与轴交点可得交点式，化简即可求解； （2）求出点坐标后可求得直线的表达式，设点，则，利用二次函数的性质即可求出的最大值； （3）当四边形是菱形时，，设点，由方程，求出的值即得答案． 【小问1详解】 解：设抛物线的解析式为， 抛物线与轴交于点、， ， 故抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：抛物线的表达式为， 时，，即， 设直线的表达式为， 将代入得， 解得， 则直线的表达式为， 设点，则， 则， ， 其中， 有最大值，当时，取最大值； 【小问3详解】 解：存在，理由如下： 当时，点， 抛物线的表达式为， 抛物线对称轴为， 设点，而， 四边形是菱形， ， 即， 解得， 即点的坐标为或． 【点睛】本题考查的知识点是二次函数综合、二次函数交点式、求一次函数解析式、二次函数的图象与性质、菱形的性质、一元二次方程的应用，解题关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $