专题03 空间向量中的探究性问题4种题型归类（压轴题专项训练）数学苏教版选择性必修第二册

专题03 空间向量中的探究性问题 目录 类型一、利用空间向量解决位置关系探究性问题 类型二、利用空间向量解决距离探究性问题 类型三、利用空间向量解决线面角探究性问题 类型四、利用空间向量解决平面与平面夹角或二面角探究性问题 压轴专练 类型一、利用空间向量解决位置关系探究性问题 解题技巧： 1.建系优先，简化坐标 优先选择几何体中有垂直关系的棱/边作为坐标轴（如长方体、正方体、直棱柱等），让各点坐标尽可能简单，降低计算难度；若无明显垂直关系，可作辅助线构造垂直后再建系。 2. 精准表示向量 直线方向向量：取直线上两点，坐标差即为方向向量。 平面法向量：设平面内两个不共线向量，设平面法向量列方程组求解。 3.位置关系的向量判定（核心） 4.探究性问题的解题思路 设出探究点的坐标（如线段上的点用参数表示），将“是否存在”转化为方程是否有解（参数是否存在且在合理范围，若方程有解且参数符合题意，则存在；无解则不存在，必要时分类讨论点的位置。 5.计算与验证：坐标运算、点积、法向量求解需细心，避免计算错误。求出结果后，验证几何意义（如点的位置、向量关系是否对应实际几何位置）。 例1-1．在四棱锥中，已知，是线段上的点. (1)是否存在点使得与平面平行？若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由. (2)若为的中点，求二面角的正弦值. 例1-2．如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面ABCD，，M，N分别为棱SB，SC的中点. (1)证明：平面SAD； (2)求直线SD与平面ADNM所成角的正弦值； (3)线段SD上是否存在点Q，使得平面平面ADNM？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 例1-3．在如图所示的几何体中，底面是菱形，，底面，，，且平面平面． (1)在线段EB上是否存在点M，使得四点共面？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由． (2)若，求二面角的正弦值． 变式1-1．在多面体中（如图所示），底面正三角形ABC边长为2，EA⊥底面，AE//BF//CD，CD=3，AE=2，BF=1. (1)求AD与平面DEF所成角的正弦值； (2)求点A到平面CEF的距离； (3)AB的中点为G，线段CD上是否存在点P使得PG与平面DEF平行，若存在求PC长度，若不存在说明理由. 变式1-2．如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，. (1)取线段中点，连接，证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 变式1-3．如图，正四棱锥 的所有棱长均为，为侧棱上的点，是中点. (1)若是中点，求直线与平面所成角的余弦值； (2)是否存在点，使得直线与平面平行？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 即存在点 ，使得直线与平面平行，此时的值为. 变式1-4．如图，四棱锥中，底面为直角梯形，满足底面．设．记平面与平面的交线为．    (1)若，且. （i）证明：平面； （ii）直线上是否存在一点，使得平面？若存在，求的值．若不存在，说明理由． (2)是否存在点，使三棱锥的外接球球心在底面所在平面上，若存在，求出的长（用表示）．若不存在，说明理由． 类型二、利用空间向量解决距离探究性问题 解题技巧： 1.建系与参数化（基础） 优先以几何体中垂直棱/边为坐标轴建系，简化各点坐标；对探究性动点（如线段上的点），用参数表示其坐标，将“是否存在”转化为参数方程是否有解。 2.核心距离公式（向量法） 3.探究性问题解题流程 ①设参：用参数表示动点坐标 ②列式：代入距离公式，得到关于的方程 ③求解：解出参数值，判断是否在合理范围 ④验证：排除增根，确认几何意义 4.计算避错要点 ①法向量求解需准确（由平面内两不共线向量点积为0列方程） ②距离公式分子必取绝对值，避免符号错误 ③优先将复杂距离转化为点到面距离，简化运算 ④注意参数范围 5.辅助技巧 ①等体积法：与向量法互补，验证点到面距离 ②投影转化：将线线、线面距离转化为点到点距离，减少计算量 例2-1．如图，在三棱锥中，与均是以为斜边的等腰直角三角形，，. (1)求证：平面平面； (2)若，分别是，边的中点，线段上一动点满足，判断是否存在使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 例2-2．如图1，在等腰直角中，分别为的中点.将沿向平面上方翻折，得到如图2所示的四棱锥，且.记的中点为，动点在线段上运动.    (1)证明：平面； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值； (3)求动点到直线的距离的取值范围. 变式2-1．如图，在三棱柱中，四边形为正方形，为等边三角形，平面平面为BC的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在棱上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 变式2-2．如图，在四棱锥中，侧面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中为的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)线段上是否存在，使得它到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 变式2-3．如图，等边三角形ABC的边长为，，分别为所在边的中点，为线段的中点，现将三角形沿直线折起，使得二面角为直二面角． (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)棱上是否存在异于端点的点，使得点到平面的距离为．若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由． 变式2-4．如图，四棱锥的底面是正方形，平面.已知，分别为的中点，平面与棱交于点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的正弦值； (3)判断线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，请求出点的位置；若不存在，请说明理由. 类型三、利用空间向量解决线面角探究性问题 解题技巧： 1.建系设参：先建空间直角坐标系，把探究的动点（如线段上的点）用参数表示，将问题转化为含参数的计算。 2.核心方法：线面角的大小，用直线方向向量和平面法向量夹角的余弦绝对值来求（线面角取正弦值）。 3.解题步骤： ①设参数表示动点坐标，得到直线的方向向量 ②求出平面的法向量 ③代入线面角的计算方法，得到含参数的方程或函数 ④解出参数，判断是否在合理范围（如线段上的点参数在0到1之间） ⑤验证结果是否符合几何意义 4.避错要点： ①线面角用正弦，别和线线、面面角的余弦搞混 ②法向量计算要准确，避免出错 ③计算时绝对值不能丢，保证结果非负 ④注意动点的参数范围，超出范围则点不存在 例3-1．如图，在五面体中，四边形为矩形，为等腰直角三角形，且.平面平面. (1)求证：： (2)在线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，请求出的长度；若不存在，请说明理由. 例3-2．如图，在四棱锥中，平面平面，平面平面，，，，是线段上的动点． (1)证明：； (2)若是线段的中点，求平面与平面夹角的余弦值； (3)设直线与平面所成角为，求的取值范围． 变式3-1．如图①所示，四边形是直角梯形、，，且，为线段的中点，现沿着将折起，使点到达点，如图②所示；连接，其中为线段的中点. (1)求证：平面； (2)若，，则在线段（不含端点）是否存在一点，使得直线与平面 所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 变式3-2．如图，在四棱锥中，底面是直角梯形．，且平面平面． (1)若是直角三角形，且，求证：． (2)若是等边三角形，求平面与平面夹角的余弦值． (3)若是等腰直角三角形，，在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 变式3-3．如图，四棱锥中，平面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，，，且．    (1)若点E满足，求证：平面BDE； (2)点M在线段AB上，且，动点Q在平面ABCD内，且满足． （i）求三棱锥的体积的最大值； （ii）求直线PQ与平面PBD所成角的正弦值的取值范围． 变式3-4．在如图所示的圆柱中，轴截面是边长为4的正方形，点M为底面半圆弧上的动点点不与点重合 (1)当三棱锥体积最大时， （i）求二面角的余弦值; （ii）点N在线段MB上运动，求的最小值. (2)是否存在动点，使得直线与平面所成角最大?若不存在，请说明理由. 类型四、利用空间向量解决平面与平面夹角或二面角探究性问题 解题技巧： 1.建系设参：先建空间直角坐标系，把探究的动点（如线段上的点）用参数表示，将二面角探究问题转化为含参数的计算问题。 2.核心方法：二面角的大小，用两个平面的法向量的夹角来求；二面角和法向量夹角要么相等，要么互补，需结合图形判断是锐角还是钝角。 3.解题步骤 ①设参数表示动点坐标，确定两个相关平面 ②分别求出这两个平面的法向量 ③代入二面角的计算方法，得到含参数的方程（定值二面角）或函数（最值二面角） ④解出参数，判断是否在合理范围（如线段上的点参数在0到1之间） ⑤验证结果是否符合几何意义，确认二面角的实际大小 4.避错要点 ①别直接用法向量夹角代替二面角，要结合图形判断锐角/钝角 ②法向量计算要准确，避免出错 ③盯紧动点的参数范围，超出范围则点不存在 ④注意二面角的范围是0到180°，平面与平面的角度是0到90°，计算时符号和绝对值要处理好 例4-1．如图所示，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，． (1)取线段中点，连接，判断直线与平面是否平行并说明理由； (2)线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 例4-2．如图，在四棱锥中，，底面ABCD是边长为2的菱形且.设为AD的中点且，点到平面ABCD的距离为3.    (1)求证：. (2)在线段PC上是否存在一点，使得锐二面角的余弦值为，若存在，说明点的位置；若不存在，请说明理由. 变式4-1．在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，且． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在棱上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，说明理由． 变式4-2．如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，，，N为棱BC的中点． (1)求证：； (2)在棱AM上是否存在一点E，使得二面角的大小为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 变式4-3．如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面平面ABCD，是边长为2的等边三角形，底面ABCD为直角梯形，其中，，，M为线段PA中点，连接BM．    (1)求M到平面PCD的距离； (2)线段PD上是否存在一点E，使得平面EAC与平面DAC夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 变式4-4．如图，在四棱锥中，四边形为矩形，，．平面平面为的中点，点为线段上的动点（点不与点重合）． (1)求证：平面． (2)当时，求证：平面． (3)是否存在点，使得平面和平面夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 压轴专 练 1.如图1，正三角形的边长为4，是边上的高，分别是和边的中点，现将沿翻折成直二面角，如图2． (1)试判断直线与平面的位置关系，并说明理由； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)在线段BC上是否存在一点P，使?如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由. 2.如图，在直三棱柱中，，，点分别为的中点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在棱上是否存在一点，使得点在平面内？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 3.在中，，，，分别是AC，AB上的点，满足，且.将沿DE折起到的位置，使，存在动点使如图所示.    (1)求证：平面BCDE； (2)当时，求二面角的余弦值； (3)设直线BM与平面所成线面角为，求的最大值. 4.如图，圆柱的轴截面是边长为4的正方形，点B是AC上一点，且,连接AB，BC，，过点A作于E．    (1)求证：平面 (2)连接，在线段上是否存在一点D，使得平面与平面BCD所成角的余弦值为若存在，试确定点D的位置，若不存在，说明理由． 5.如图，在多面体中，平面平面，底面为直角梯形，，，，，． (1)证明：； (2)在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 6.如图，等腰直角三角形中，，D是中点，E、F分别是、边上的动点，且，，将沿折起，将点B折至点P的位置，得到四棱锥．设，，．    (1)试用表示． (2)若时，平面．求与垂直的平面和平面所成角的余弦值； (3)当时，是否存在这样的点F，使得二面角为，且直线与平面所成角为，若存在，求出的长，若不存在，请说明理由． 7.如图，在四棱锥中，，底面ABCD是边长为2的菱形且.设为AD的中点且，点到平面ABCD的距离为. (1)求证：. (2)在线段PC上是否存在一点，使得锐二面角的余弦值为，若存在，说明点的位置；若不存在，请说明理由. 8.如图，在四棱锥中，底面为菱形，且面，，，点为的中点，点M，F分别为线段，上的动点（端点除外）. (1)求证：面面； (2)是否存在点F使得二面角的余弦值为，若存在，求出点F的位置；若不存在，请说明理由； (3)当F为的中点时，试判断与平面是否平行，并写出理由？ 9.如图，在长方体中，，，是棱上的点.    (1)求证：； (2)设二面角的大小为，直线与平面所成的角为，是否存在点使得？若存在求的值；若不存在，说明理由. 10.如图，在四棱锥中，平面平面是以为斜边的等腰直角三角形. (1)证明：. (2)在棱上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. (3)在棱上是否存在点，使得三棱锥外接球的球心在平面内？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 空间向量中的探究性问题 目录 类型一、利用空间向量解决位置关系探究性问题 类型二、利用空间向量解决距离探究性问题 类型三、利用空间向量解决线面角探究性问题 类型四、利用空间向量解决平面与平面夹角或二面角探究性问题 压轴专练 类型一、利用空间向量解决位置关系探究性问题 解题技巧： 1.建系优先，简化坐标 优先选择几何体中有垂直关系的棱/边作为坐标轴（如长方体、正方体、直棱柱等），让各点坐标尽可能简单，降低计算难度；若无明显垂直关系，可作辅助线构造垂直后再建系。 2. 精准表示向量 直线方向向量：取直线上两点，坐标差即为方向向量。 平面法向量：设平面内两个不共线向量，设平面法向量列方程组求解。 3.位置关系的向量判定（核心） 4.探究性问题的解题思路 设出探究点的坐标（如线段上的点用参数表示），将“是否存在”转化为方程是否有解（参数是否存在且在合理范围，若方程有解且参数符合题意，则存在；无解则不存在，必要时分类讨论点的位置。 5.计算与验证：坐标运算、点积、法向量求解需细心，避免计算错误。求出结果后，验证几何意义（如点的位置、向量关系是否对应实际几何位置）。 例1-1．在四棱锥中，已知，是线段上的点. (1)是否存在点使得与平面平行？若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由. (2)若为的中点，求二面角的正弦值. 【答案】(1)存在，为的中点 (2). 【分析】（1）利用中位线性质得出平行四边形，结合线面平行的判定可证结论； （2）先证明垂直关系，建立坐标系，求解法向量，利用二面角的向量求法可得答案. 【详解】（1）当为的中点时，平面， 证明如下：取的中点，连接， 在中，分别为的中点， 则为的中位线，则，且， 因为，，所以且，即四边形为平行四边形， 所以，又平面平面， 所以平面，此时为的中点. （2）取的中点，连接交于点，连接， 由，可得四边形为菱形，则有， 由可得，. 又因为，所以. 因为，，平面， 所以平面， 因为平面，所以平面 平面. 因为为的中点，所以，平面平面， 所以平面，因为，，所以. 以为坐标原点，为基底建立空间直角坐标系. ， . 设为平面的法向量， 即 令，得， 设为平面的法向量， 即 令，得， ∴平面的法向量为， 可得. 设二面角的平面角为， 则，可得. 综上，二面角的正弦值为. 例1-2．如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面ABCD，，M，N分别为棱SB，SC的中点. (1)证明：平面SAD； (2)求直线SD与平面ADNM所成角的正弦值； (3)线段SD上是否存在点Q，使得平面平面ADNM？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见详解 (2) (3)存在； 【分析】（1）先证明，再根据线面平行的判定定理证明即可； （2）设直线SD与平面ADNM所成角为.先求出平面ADNM的法向量，再根据公式计算即可； （3）假设在线段SD上存在点Q，并设，求出平面的法向量，根据，求出符合条件的值，即可判断点Q存在，根据即可求出比值. 【详解】（1）ABCD为正方形，， M，N分别为棱SB，SC的中点，，， 平面SAD，平面SAD，平面SAD； （2）以为坐标原点，以所在的直线分别为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， ，，. 设平面ADNM的法向量为， 则，即. 令，则，. 设直线SD与平面ADNM所成角为， 则 直线SD与平面ADNM所成角的正弦值为； （3）假设在线段SD上存在点Q，使得平面平面ADNM. 设，则. ， . 设平面的法向量为， 则，即. 令，则，即. 若平面平面ADNM，则， 即，解得. 假设成立，即在线段SD上存在点Q，使得平面平面ADNM， 且. 例1-3．在如图所示的几何体中，底面是菱形，，底面，，，且平面平面． (1)在线段EB上是否存在点M，使得四点共面？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由． (2)若，求二面角的正弦值． 【答案】(1)存在，证明见解析 (2) 【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明得平面，再由面面垂直的性质定理证明得平面，从而证明得，可得四点共面； （2）建立空间直角坐标系，写出对应点的坐标与向量的坐标，求解平面与平面的法向量，利用空间向量的夹角计算公式计算即可. 【详解】（1）线段上存在点，且为的中点，使得四点共面.证明如下： 连接.∵四边形是菱形，. 又平面，平面，. 又，平面，平面. 连接.∵为的中点，，. 又平面平面，平面平面，平面，平面. ，（垂直于同一个平面的两条直线互相平行）， ∴在线段上存在点，且为的中点，使得四点共面. （2）取的中点，连接，设交于点，连接，， 则，且. 平面，平面. 又，∴以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系.    ∵底面是菱形，，，. ，. 由（1）知，∴四边形是矩形，， ∴，，，， ，，. 设平面的法向量为， 则，即， 取，则. 设平面的法向量为， 所以，即， 取，则. ， 所以二面角的正弦值为. 变式1-1．在多面体中（如图所示），底面正三角形ABC边长为2，EA⊥底面，AE//BF//CD，CD=3，AE=2，BF=1. (1)求AD与平面DEF所成角的正弦值； (2)求点A到平面CEF的距离； (3)AB的中点为G，线段CD上是否存在点P使得PG与平面DEF平行，若存在求PC长度，若不存在说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）建立空间直角坐标系，得到平面DEF的法向量，利用线面角的计算公式得到答案； （2）求出平面CEF的法向量，利用点到平面距离公式进行求解； （3）设，由（1）得平面DEF的法向量为，PG与平面DEF平行，故，从而得到方程，求出答案 【详解】（1）EA⊥底面，底面正三角形ABC边长为2， 以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，， ，，，. 所以，， 设平面DEF的法向量为， ，故， 令，则，，故， 又，设AD与平面DEF所成角为， ； （2）平面CEF的法向量为， 其中，， ，故，令，则， 故，， 所以点A到平面CEF的距离； （3）由（1）知，平面DEF的法向量为， 其中，设，， PG与平面DEF平行，故， 即， 解得，此时. 变式1-2．如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，. (1)取线段中点，连接，证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2) (3)存在， 【分析】（1）取中点，连接，证出四边形为平行四边形，即可得证. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量以及平面的一个法向量，利用向量公式即可求解. （3）令，求出平面的法向量，再由两平面垂直得进行求解． 【详解】（1）在四棱锥中，取中点，连接， 由为的中点，且，，得，， 则四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面， 所以平面． （2）取的中点，连接，，由为等边三角形，得， 而平面平面，平面平面，平面， 则平面，由，得四边形是平行四边形， 于是，而，则，直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，， 设平面的法向量为，则， 取，得， 平面的一个法向量为， 则， 设平面与平面夹角为，由于为锐角， 则， 故平面与平面夹角的余弦值为． （3）令， ，， 设平面的法向量为，则， 取，得，平面的法向量为， 由平面平面，得， 得， 得， 故存在点，使得平面平面，此时． 变式1-3．如图，正四棱锥 的所有棱长均为，为侧棱上的点，是中点. (1)若是中点，求直线与平面所成角的余弦值； (2)是否存在点，使得直线与平面平行？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在点 ，使得直线与平面平行，此时的值为 【分析】（1）设，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，得到，求得向量和平面的法向量，结合向量的夹角公式，即可求解； （2）设，得到，求得平面的法向量为，根据直线与平面平行，利用，列出方程，求得的值，即可求解. 【详解】（1）如图所示，设， 以点为坐标原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 在正方形中，由，可得， 又因为，所以，所以，可得， 则， 因为分别为的中点，可得，， 可得， 设平面的法向量为， 则，令，可得，所以， 设直线与平面所成角为， 可得， 所以直线与平面所成角的余弦值为. （2）因为， 可得， 设，可得， 设平面的法向量为， 则，令，可得， 所以， 若直线与平面平行，可得，即可得， 解得，所以， 即存在点 ，使得直线与平面平行，此时的值为. 变式1-4．如图，四棱锥中，底面为直角梯形，满足底面．设．记平面与平面的交线为．    (1)若，且. （i）证明：平面； （ii）直线上是否存在一点，使得平面？若存在，求的值．若不存在，说明理由． (2)是否存在点，使三棱锥的外接球球心在底面所在平面上，若存在，求出的长（用表示）．若不存在，说明理由． 【答案】(1)（i）证明见解析；（ii） (2)存在； 【分析】（1）（i）先得四边形为正方形，再证明平面，再结合题意证明，从而可求证；（ii）建立空间直角坐标系，设，再由向量法求线面垂直从而可求得，再利用空间中两点距离公式即可求解. （2）假设存在，不妨设，再根据球心到四个顶点的距离相等从而可作出相应图形，确定球心位于上，从而可得，即可求解. 【详解】（1）（i）证明：由题可得，又因为，， 所以四边形为正方形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又因为平面，平面与平面的交线为，所以， 又因为平面，平面，所以平面. （ii）上存在点，使得平面， 理由如下：假设上存在点，使得平面， 因为底面，，所以，、两两垂直， 故以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 则，， 因直线经过点，且，则设，即， 当平面时，则为平面的一个法向量， 则，解得，此时， 所以假设成立； 此时.    （2）假设存在点，使三棱锥的外接球球心在底面所在平面上， 此时设，由题及题中图可知，即， 因为，，，在同一球面上，则球心到四个点的距离相等， 又因为底面为直角梯形， 所以在中，到三角形三顶点距离相等的点是该三角形的外心， 作出，的垂直平分线，如下图所示，    由几何知识得，， ， 又因为底面，所以， 所以， 所以要使，，，在同一球面上， 则只需 即，则， 化简得，可解得，则. 所以当时，此时可使三棱锥的外接球球心在底面所在平面上， 故假设成立，此时. 类型二、利用空间向量解决距离探究性问题 解题技巧： 1.建系与参数化（基础） 优先以几何体中垂直棱/边为坐标轴建系，简化各点坐标；对探究性动点（如线段上的点），用参数表示其坐标，将“是否存在”转化为参数方程是否有解。 2.核心距离公式（向量法） 3.探究性问题解题流程 ①设参：用参数表示动点坐标 ②列式：代入距离公式，得到关于的方程 ③求解：解出参数值，判断是否在合理范围 ④验证：排除增根，确认几何意义 4.计算避错要点 ①法向量求解需准确（由平面内两不共线向量点积为0列方程） ②距离公式分子必取绝对值，避免符号错误 ③优先将复杂距离转化为点到面距离，简化运算 ④注意参数范围 5.辅助技巧 ①等体积法：与向量法互补，验证点到面距离 ②投影转化：将线线、线面距离转化为点到点距离，减少计算量 例2-1．如图，在三棱锥中，与均是以为斜边的等腰直角三角形，，. (1)求证：平面平面； (2)若，分别是，边的中点，线段上一动点满足，判断是否存在使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，或. 【分析】（1）取的中点，连接，，利用面面垂直的判定定理即可得证； （2）建立空间直角坐标系，求平面的法向量为，利用向量法求点到平面的距离得，进而求出，即可求解. 【详解】（1）如图，取的中点，连接，， 在等腰直角三角形中有，①. 同理可得，， 在中，， 由勾股定理可知，，即②. 又，平面，且， 由①②可得平面，又平面， 平面平面. （2）存在或，使得到平面的距离为，理由如下： 由（1）可知，，， 以为原点，分别以，，所在的直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系： ，，，，， ，，，. 设平面的法向量为，则，取，则. 由得，， 点到平面的距离为：，解得或. 例2-2．如图1，在等腰直角中，分别为的中点.将沿向平面上方翻折，得到如图2所示的四棱锥，且.记的中点为，动点在线段上运动.    (1)证明：平面； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值； (3)求动点到直线的距离的取值范围. 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据空间中的垂直关系的转化，结合线面垂直的判定即可求证； （2）建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角即可求解平面的夹角； （3）根据向量共线求出，利用空间向量表示出点到直线距离，利用二次函数性质求范围即可． 【详解】（1）因为折叠前为中点，，所以，折叠后，， 所以，所以，在折叠前分别为中点， 所以，又因为折叠前，所以， 所以在折叠后，，； 以为坐标原点， 、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，    则，，，，， 为中点，所以，， 设平面的法向量为，又，， 所以，即，令，则，，所以， 所以，则， 所以平面； （2）设，由（1）知，，因为动点Q在线段上， 且，所以，所以， 所以，，，所以，， ，设平面的法向量为， ，即，令，则，，所以， 设平面的法向量为， 所以， 所以平面与平面的夹角的余弦值为； （3）设，，，动点Q在线段上， 所以，，即，即， 所以，，， 设点Q到线段的距离为，， ，， ，，令，， 则，，根据二次函数的性质可知， 所以，由此可知动点Q到线段的距离的取值范围为． 变式2-1．如图，在三棱柱中，四边形为正方形，为等边三角形，平面平面为BC的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在棱上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见详解 (2) (3)存在， 【分析】（1）利用直线与平面平行的判定定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，进而利用线面角的向量方法即可求解； （3）假设存在点，设，再利用点到平面的距离为即可求出的值. 【详解】（1） 连接,连接， 四边形为正方形，为中点，为BC的中点，， 平面，平面，平面； （2）取的中点，的中点，连接，， 为等边三角形，， 平面平面，平面平面，平面， 平面，平面，， 两两垂直， 以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， ，， ，，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则，令，则，，， 设直线与平面所成角为， ， 直线与平面所成角的正弦值为； （3）假设在棱上存在一点，使得点到平面的距离为，设， ，，， ，， ，， 设平面的法向量为， 则，令，则，，， 则点到平面的距离为， 解得，或（舍）， 在棱上存在一点，使得点到平面的距离为，此时. 变式2-2．如图，在四棱锥中，侧面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中为的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)线段上是否存在，使得它到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）已知侧面底面，应用面面垂直性质定理证明线面垂直； （2）建立空间向量求出平面PAD的法向量和平面的法向量，再应用二面角余弦公式计算求解； （3）设点，再应用点到平面距离公式计算求参即可. 【详解】（1）为的中点， 侧面底面. 侧面底面平面， 平面. （2）∵底面为直角梯形， 其中， ，又平面， ∴以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立 如图所示的空间直角坐标系. 则， ， 设平面PAD的法向量. 设平面的法向量， 则，取，得. 设平面与平面夹角为， 则， 故平面与平面夹角的余弦值为. （3）设线段上存在， 使得它到平面的距离为， 到平面的距离， 解得或（舍去）， 则，则 变式2-3．如图，等边三角形ABC的边长为，，分别为所在边的中点，为线段的中点，现将三角形沿直线折起，使得二面角为直二面角． (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)棱上是否存在异于端点的点，使得点到平面的距离为．若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点位于线段的靠近点的三等分点 【分析】（1）连接，证明，结合面面垂直性质定理证明平面，取边的中点记为，建立空间直角坐标系，求平面的法向量，结合向量夹角公式求直线与平面所成角的正弦值； （2）设，求平面的法向量，结合点到平面的距离的向量求法求点到平面的距离，列方程求，由此可得结论. 【详解】（1）由已知，连接，因为为线段的中点，所以； 因为平面平面，又平面平面，又面， 所以平面；取边的中点记为，则； 以点为原点，以为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 记平面的法向量为， 所以， 不妨取，得， 所以为平面的一个法向量； 记直线与平面的所成角为， 则， 所以，直线与平面所成角的正弦值为 （2）设，其中， ，， ，， ， 记平面的一个法向量为， 则有， 不妨取，解得， 即；     则点到平面的距离， 整理得：即， 解得或（舍去）， 所以，当点位于线段的靠近点的三等分点时，点到平面的距离为． 变式2-4．如图，四棱锥的底面是正方形，平面.已知，分别为的中点，平面与棱交于点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的正弦值； (3)判断线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，请求出点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，或 【分析】（1）先由条件证明平面，再由平面得，由等腰三角形三线合一证得，最后利用线面垂直的判定定理即可证得结论； （2）结合图形利用线面垂直的判定定理和性质定理证明平面，得到，再证，求得，从而可得，依题建系，写出相关点的坐标，求出两平面的法向量的坐标，利用空间向量夹角公式计算即得； （3）假设线段上存在一点，满足，表示出的坐标，结合平面的法向量，利用点到平面的距离坐标公式列方程，求解即得的值，从而得到点H的坐标. 【详解】（1）因为平面，平面，则， 在正方形中，，因平面， 则平面，因平面，则， 又，点是的中点，则， 因平面，故平面. （2）由（1）平面，因平面，则， 因平面，平面，则， 又，平面，平面， 因平面，则， 因点是的中点，.，则， 因平面，则平面， 因平面，则， 因平面，则平面， 因平面，则，即. 由（1）平面，因平面，则，即， 又，则，则， 因为，， ， 则，即，即. 以点为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以， ， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 而平面的法向量可取为， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以 即平面与平面的夹角的正弦值为. （3）由（2）可得，则， 假设线段上存在一点，满足， 则， 所以，则，即，则， 由（2）已得平面的一个法向量为， 则点H到平面的距离，解得或， 则得或. 故在线段上是否存在一点或，使得点到平面的距离为. 类型三、利用空间向量解决线面角探究性问题 解题技巧： 1.建系设参：先建空间直角坐标系，把探究的动点（如线段上的点）用参数表示，将问题转化为含参数的计算。 2.核心方法：线面角的大小，用直线方向向量和平面法向量夹角的余弦绝对值来求（线面角取正弦值）。 3.解题步骤： ①设参数表示动点坐标，得到直线的方向向量 ②求出平面的法向量 ③代入线面角的计算方法，得到含参数的方程或函数 ④解出参数，判断是否在合理范围（如线段上的点参数在0到1之间） ⑤验证结果是否符合几何意义 4.避错要点： ①线面角用正弦，别和线线、面面角的余弦搞混 ②法向量计算要准确，避免出错 ③计算时绝对值不能丢，保证结果非负 ④注意动点的参数范围，超出范围则点不存在 例3-1．如图，在五面体中，四边形为矩形，为等腰直角三角形，且.平面平面. (1)求证：： (2)在线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，请求出的长度；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)或. 【分析】（1）利用面面垂直的性质、线面垂直的判定性质推理即得. （2）取的中点，以为原点，建立空间直角坐标系，设，求出平面的法向量，再利用线面角的向量求法求解即得. 【详解】（1）由矩形，得，而平面平面， 平面平面， 平面，则平面，又平面，于是， 因为，所以，又，平面， 因此平面，又平面，所以. （2）取的中点，作，连接，由（1）知，平面， 而平面，则，又，，则，即两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 假设在线段上存在点，使得与平面所成角的正弦值为，设， 则， ， 设平面的法向量，则，令，得， 于是， 整理得，解得或， 所以在线段上存在点，使得与平面所成角的正弦值为，此时或. 例3-2．如图，在四棱锥中，平面平面，平面平面，，，，是线段上的动点． (1)证明：； (2)若是线段的中点，求平面与平面夹角的余弦值； (3)设直线与平面所成角为，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据空间中线面垂直的性质定理，证明线线垂直即可； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，进而求出面面夹角的余弦值； （3）根据线面夹角正弦值的向量方法，求出方向向量和法向量，求出夹角正弦值的函数关系式，根据函数值域求出结果. 【详解】（1）因为平面平面，平面平面， 又因为平面平面, 所以面，所以， 因为，所以， 因为面，面，， 所以面， 因为面，所以. （2）由（1）可知面，又因为，所以两两垂直， 则以为坐标原点，以为轴建立空间直角坐标系，如下图所示， 因为，，所以为等边三角形， 可得且， 由，所以， 因为是线段的中点，可得， 所以， 设平面的法向量为， 可知,即， 令，解得，所以平面一个法向量； 设平面的法向量为， 可知，即， 令，解得，所以平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为， 则， 平面与平面夹角的余弦值为； （3）由（2）可知，所以，所以，则， 设，， 因为，， 则，解得， 可得，， 由（2）可知平面的法向量为， 得,即， 令，解得， 所以平面一个法向量； 设直线与平面所成角为， 则 由，化简得， 则， 令，即， 代入得， 令，则函数是开口向上，对称轴为的二次函数，在上单调递减，在上单调递增， 根据二次函数对称性可知，在处取得最小值，在处取得最大值， 则， 则，可得. 变式3-1．如图①所示，四边形是直角梯形、，，且，为线段的中点，现沿着将折起，使点到达点，如图②所示；连接，其中为线段的中点. (1)求证：平面； (2)若，，则在线段（不含端点）是否存在一点，使得直线与平面 所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，此时点为靠近点的三等分点. 【分析】（1）通过线面垂直可证面，再由线面垂直的性质定理可得再通过线面垂直的判定定理证明即可. （2）由条件可得，为等边三角形，再由第一问的结论可建立空间直角坐标系，利用空间向量表示线面角的正弦值，解方程求出的比值即可求解. 【详解】（1）由题意可知，，，所以，，， 又因为，为线段的中点，所以， 所以四边形为正方形，由翻折可知，，， 又因为，面， 所以面，因为面，所以， 因为四边形为正方形，所以，所以， 因为，为线段的中点，所以， 又因为，平面，所以平面. （2）因为，，所以为等边三角形， 又因为，所以，. 如图，取中点，连接，    又因为为等边三角形，所以，过点作， 由（1）可得， 面，又因为面，所以， 所以，而，， 所以以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 所以，所以，，，，， 设，因为，，三点共线， 所以，所以，， 所以，即， 所以，所以， 所以，，， 设平面的法向量为，所以， 所以， 令，所以，，则， 记直线与平面所成角为， 则， 即，解得或（舍），所以， 所以存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，此时点为靠近点的三等分点. 变式3-2．如图，在四棱锥中，底面是直角梯形．，且平面平面． (1)若是直角三角形，且，求证：． (2)若是等边三角形，求平面与平面夹角的余弦值． (3)若是等腰直角三角形，，在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)存在， 【分析】（1）利用面面垂直的性质定理得到平面，从而得到，利用线面垂直的判定定理得到平面，从而得到； （2）取中点，由是等边三角形得到，利用面面垂直的性质定理得到平面，以为原点建系，写出坐标，求平面的法向量和平面的法向量，设平面与平面的夹角为，利用数量积求出，从而得解. （3）取中点，由得到，利用面面垂直的性质定理得到平面，以为原点建系，设，则，利用向量求出的坐标，求出平面的法向量，设直线与平面的夹角为，利用数量积求出，计算得解. 【详解】（1）取中点，连接，， 且，是矩形， 且，，， ，，， ，，， ，，， ，， 平面平面，平面平面，平面， 平面，， ，平面，平面，平面， ； （2）取中点，连接，是等边三角形，， 平面平面，平面平面，平面， 以为原点，过作的平行线作为轴， 分别以，所在直线为轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示： ，，，，， 是等边三角形，，， ，，设平面的法向量为， ，，解得，，取，则， ，，， ，，设平面的法向量为， ，， 解得，取，解得，则， ，，，，， 设平面与平面的夹角为， 则， 平面与平面夹角的余弦值为. （3）由（2）知，，，，， 是等腰直角三角形，， ，，， 设，则，设， ，，，， ，，，， ， ，，设平面的法向量为， ，， 解得，取，解得，则， ，， ，，， 设直线与平面的夹角为， 则， 直线与平面所成角的正弦值为， ，或， ，，，是线段的中点， 即在线段上存在点，且是线段的中点， 使得直线与平面所成角的正弦值为，. 变式3-3．如图，四棱锥中，平面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，，，且．    (1)若点E满足，求证：平面BDE； (2)点M在线段AB上，且，动点Q在平面ABCD内，且满足． （i）求三棱锥的体积的最大值； （ii）求直线PQ与平面PBD所成角的正弦值的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii） 【分析】（1）以为原点建系，通过坐标运算得出即可证明； （2）（i）求出点的轨迹方程，求出面积的最大值即可利用体积公式计算； （ii）求出平面的法向量，求的取值范围即可. 【详解】（1）以为原点，分别以所在直线为轴、轴、轴建立如图所示空间直角坐标系， 则， 因，则， 则， 则，则共面， 又平面，则平面BDE； （2）（i）因，则， 设，由得， 整理得，， 则当位于轴上时，的面积最大，最大值为， 则三棱锥的体积的最大值为； （ii）， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 则， 令，则，即， 因该关于的一元二次方程有解，则， 得， 则，则， 故直线PQ与平面PBD所成角的正弦值的取值范围为    变式3-4．在如图所示的圆柱中，轴截面是边长为4的正方形，点M为底面半圆弧上的动点点不与点重合 (1)当三棱锥体积最大时， （i）求二面角的余弦值; （ii）点N在线段MB上运动，求的最小值. (2)是否存在动点，使得直线与平面所成角最大?若不存在，请说明理由. 【答案】(1)（i）；（ii） (2)存在；理由见解析 【分析】（1）（i）建系，求得平面法向量代入夹角公式即可求解；（ii）将面与面绕旋转，展开成平面图，连接AD，结合余弦定理即可求解； （2）过点M作，确定为直线MB与平面ABCD所成角，取最小值，夹角最大，结合线面夹角公式即可求解. 【详解】（1）（i）， 又是定值，当三棱锥体积最大时即高h最大，即点M为半圆弧的中点. 以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以， 设平面BMC的法向量为， 则，则，令， 得， 则 平面，平面， ， 又，平面， 平面， 是平面MAB的法向量. 设二面角的平面角为，则 二面角的平面角是钝角， 二面角的余弦值为 （ii）将面与面绕旋转，展开成平面图，连接AD，如图所示，此时最小，即为长， 由题意可知，，， 所以， ， 再由余弦定理可知， 即的最小值为 （2）过点M作， 由圆柱结构可知：底面AMD，且底面AMD， 又，，平面， 平面 因此为在平面内的射影， 为直线与平面所成角， 当直线与平面所成角最大时，取最小值， 设，，，则 在直角三角形内，，即， ，，，，， ， ， 当且仅当，即时，取最小值，直线与平面所成角最大， 即存在点M，使得直线与平面所成角最大. 类型四、利用空间向量解决平面与平面夹角或二面角探究性问题 解题技巧： 1.建系设参：先建空间直角坐标系，把探究的动点（如线段上的点）用参数表示，将二面角探究问题转化为含参数的计算问题。 2.核心方法：二面角的大小，用两个平面的法向量的夹角来求；二面角和法向量夹角要么相等，要么互补，需结合图形判断是锐角还是钝角。 3.解题步骤 ①设参数表示动点坐标，确定两个相关平面 ②分别求出这两个平面的法向量 ③代入二面角的计算方法，得到含参数的方程（定值二面角）或函数（最值二面角） ④解出参数，判断是否在合理范围（如线段上的点参数在0到1之间） ⑤验证结果是否符合几何意义，确认二面角的实际大小 4.避错要点 ①别直接用法向量夹角代替二面角，要结合图形判断锐角/钝角 ②法向量计算要准确，避免出错 ③盯紧动点的参数范围，超出范围则点不存在 ④注意二面角的范围是0到180°，平面与平面的角度是0到90°，计算时符号和绝对值要处理好 例4-1．如图所示，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，． (1)取线段中点，连接，判断直线与平面是否平行并说明理由； (2)线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线与平面平行，理由见解析； (2)线段上存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为，，理由见解析 【分析】（1）作出辅助线，得到四边形是平行四边形，故，从而证明线面平行； （2）取的中点，连接，由面面垂直得到线面垂直，建立空间直角坐标系，设，当时，重合，不合要求；时，求出两平面的法向量，利用向量夹角余弦公式得到方程，求出答案. 【详解】（1）直线与平面平行，理由如下： 取的中点，连接，是线段的中点， 是边长为2的等边三角形，故，， 又，，故，， 所以四边形是平行四边形，故， 又平面，平面，所以平面； （2）线段上存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为，， 理由如下： 取的中点，连接， 是边长为2的等边三角形，故⊥，， 因为侧面平面，两平面交线为，平面， 所以⊥平面，又平面， 所以⊥，⊥， 因为，，，所以四边形为矩形， 故⊥，所以两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设，则， 故，设，则， ，故，故， 所以，， 当时，重合，平面与平面夹角为0，余弦值为1，不合要求； 当，即，设平面的法向量为， 则， 令，则，，故， 显然平面的一个法向量为， 所以， 化简得，解得或3（舍去），故， 线段上存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为，此时. 例4-2．如图，在四棱锥中，，底面ABCD是边长为2的菱形且.设为AD的中点且，点到平面ABCD的距离为3.    (1)求证：. (2)在线段PC上是否存在一点，使得锐二面角的余弦值为，若存在，说明点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，点为线段PC上靠近的三等分点处 【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明平面，再证明线线垂直即可. （2）建立空间直角坐标系，根据向量法求锐二面角的余弦，即可确定点的位置. 【详解】（1）因为，且为AD的中点，所以. 又因为四边形是边长为2的菱形且， 所以，因为，平面 所以平面，因为平面，所以， 又因为，所以. （2）由（1）知，平面，且平面， 所以平面平面，且平面平面， 过点作平面的垂线，垂足为，则， 因为，所以，因为，所以， 以点为坐标原点，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，， 所以，， 设为上一点，则， 所以， 设平面的法向量为， 由，得， 令，则，，即， 又平面的一个法向量为， 由题意，得，解得， 即当点为线段PC上靠近C的三等分点时，锐二面角的余弦值为. 变式4-1．在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，且． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在棱上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见详解 (2) (3)存在点，是靠近的三等分点. 【分析】（1）证明平面平面，即可得到答案. （2）由题意建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，利用线面角的向量公式，可得答案； （3）假设存在，设，求出平面和平面的法向量，根据向量的夹角公式计算得到答案. 【详解】（1）因为正方形，所以，平面，平面，所以平面， 同理，平面，平面，所以平面， 又，平面，故平面平面， 又平面，所以平面. （2）由，则，， 在正方形中，，所以两两垂直， 以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如下图： 则，，，，故，， 设平面的法向量为，则， 令，得，，所以， 又， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （3）假设存在，设，又，则，， 设平面的一个法向量为， 则，令，得， 由题得平面，则，又，，平面， 所以平面，故为平面的法向量，且， ，解得或（舍去）， 所以在棱上存在一点，满足题意，此时是靠近的三等分点. 变式4-2．如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，，，N为棱BC的中点． (1)求证：； (2)在棱AM上是否存在一点E，使得二面角的大小为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)存在，. 【分析】（1）由线面垂直判定定理推出线线垂直； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【详解】（1），N为棱BC的中点，， 又因为平面平面ABCD，平面平面ABCD平面， 所以平面ABCD，平面， （2）在直角梯形中，取的中点为， 易知，，， 则四边形是正方形，故. 在中，. 在中，，，. 又因为平面平面，且平面平面， 平面，故平面， 连接，， 则，故平面， 故可以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 因，则，，，， 于是， 易知平面的一个法向量为. 假设在棱上存在一点E，使得二面角的大小为. 不妨设（），则， 设为平面的一个法向量， 则 ，. 从而， 解得或（舍去） 由题知二面角为锐二面角. 所以在棱上存在一点，使得二面角的大小为， 此时. 变式4-3．如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面平面ABCD，是边长为2的等边三角形，底面ABCD为直角梯形，其中，，，M为线段PA中点，连接BM．    (1)求M到平面PCD的距离； (2)线段PD上是否存在一点E，使得平面EAC与平面DAC夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)存在，. 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量以及，因为平面，所以M到平面的距离为到平面的距离，然后利用点到平面的距离向量公式即可求解. （2）求得平面的法向量以及，利用向量夹角公式即可求解． 【详解】（1）取的中点，连接，，由为等边三角形，得， 而平面平面，平面平面，平面， 则平面，由，得四边形是平行四边形， 于是，而，则，直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，    则，， 设平面的法向量为，则，取，得， 又，所以到平面的距离. （2）令， ，， 设平面的法向量为，则， 取，得， 平面的法向量为， 则， 化简得，又，解得，即， 所以线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为，.． 变式4-4．如图，在四棱锥中，四边形为矩形，，．平面平面为的中点，点为线段上的动点（点不与点重合）． (1)求证：平面． (2)当时，求证：平面． (3)是否存在点，使得平面和平面夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在，或. 【分析】（1）连接交于点，连接，可证，再由线面平行的判定证明平面即可； （2）根据题意先证平面，进而得到两两垂直，再以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量证明，再由线面垂直的判定证明即可； （3）设，平面的一个法向量为，求得，结合平面和平面夹角的余弦值为进行求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接交于点，连接. 因为四边形是矩形，所以为的中点． 又因为为的中点，所以在中，. 因为平面平面，所以平面. （2）证明：因为，所以． 又因为平面平面，平面平面平面， 所以平面. 因为平面，所以． 因为，所以两两垂直． 以点为坐标原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以. 因为，所以． 因为 ， 所以，即. 又因为平面平面， 所以平面. （3）解：设， 则． 设平面的法向量为， 则 即 令，则， 所以， 取平面的法向量， 则 ， 化简得，解得或． 所以或． 压轴专 练 1.如图1，正三角形的边长为4，是边上的高，分别是和边的中点，现将沿翻折成直二面角，如图2． (1)试判断直线与平面的位置关系，并说明理由； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)在线段BC上是否存在一点P，使?如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由. 【答案】(1)平面，理由见解析 (2) (3)存在，． 【分析】（1）根据线面平行的判定定理即可求解； （2）建立空间直角坐标系，求平面和平面的法向量，即可求解； （3）设，根据，求出点的坐标，即可得. 【详解】（1）在中， ∵分别是中点， ∴．又平面， 平面， ∴平面． （2）因为二面角为直二面角，即平面平面, 且，平面平面，平面， 所以平面. 如图，以点为坐标原点，以直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，． 易知平面的法向量． 设平面的法向量， 则即, 取，得， 则， 所以 所以平面与平面夹角的余弦值为． （3）存在．设，有，则， ∴ 又，，， ∴， ∴． 把代入上式得， ∴，在线段上存在点，使，此时，． 2.如图，在直三棱柱中，，，点分别为的中点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在棱上是否存在一点，使得点在平面内？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2) (3)存在； 【分析】（1）连接，证明点为的中点即可证明，再根据线面平行判定定理即可证明； （2）结合题意，过作平面，以为原点，分别为轴的正方向，利用坐标法求解即可； （3）设，则，利用点满足即可求解； 【详解】（1）证明：连接，因为在直三棱柱中，四边形是平行四边形，点为的中点. 所以点为的中点， 又因为点为的中点， 所以， 又平面，平面 所以平面 （2）因为，为中点，所以，且， 过作平面，以为原点，分别为轴的正方向， 则， ， 设平面的一个法向量为， 则，取，则， 设直线与平面所成角为， 则. 所以直线与平面所成角的正弦值为 （3）设，则，， 由在平面内可知，即，解得， 所以存在点，当时，点在平面内. 3.在中，，，，分别是AC，AB上的点，满足，且.将沿DE折起到的位置，使，存在动点使如图所示.    (1)求证：平面BCDE； (2)当时，求二面角的余弦值； (3)设直线BM与平面所成线面角为，求的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）先证平面，可得，进而可得平面； （2）建系标点，分别求平面、平面的法向量，利用空间向量求二面角； （3）根据题意可得和平面的法向量，利用空间向量求线面夹角. 【详解】（1）因为，则， 且，可得， 将沿折起到的位置，始终有，， 因为，平面，所以平面， 由平面，可得， 且，，平面， 所以平面. （2）由（1）可知，，，两两垂直，翻折前，因为，且， 所以，，所以， 翻折后， 由勾股定理得， 所以以为原点，直线，，分别为，，轴建立如下空间直角坐标系，    则，，，，，， 可得，，， 设平面的法向量，则， 令，则，，可得， 设平面的法向量，则， 令，则，，可得， 可得， 所以二面角的余弦值为. （3）由（2）可知，， 设平面的法向量，则， 令，则，，可得， 且， 因为直线与平面线面角为， 则 当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为. 4.如图，圆柱的轴截面是边长为4的正方形，点B是AC上一点，且,连接AB，BC，，过点A作于E．    (1)求证：平面 (2)连接，在线段上是否存在一点D，使得平面与平面BCD所成角的余弦值为若存在，试确定点D的位置，若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，. 【分析】（1）根据给定条件，利用圆柱的结构特征，结合线面垂直的性质判定推理得证. （2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面BCD的法向量，再利用面面角的向量法列式求解. 【详解】（1）在圆柱中，母线底面，而底面，则， 由是圆的直径，得，而平面， 因此平面，又平面，则， 而平面，所以平面. （2）假设在线段上存在一点，在平面内过作，则直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，由， 得，则，   ，设平面的一个法向量为， 则，令，得， 设，则， 设平面的法向量为，则， 令，得， 由平面与平面BCD所成角的余弦值为，得， 解得，所以在线段上存在一点，满足题意，此时. 5.如图，在多面体中，平面平面，底面为直角梯形，，，，，． (1)证明：； (2)在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，． 【分析】（1）根据勾股定理可证得，再根据平面平面得到平面，进而求证即可； （2）建立空间直角坐标系，利用点到平面距离的空间向量公式求解即可. 【详解】（1）因为，，， 所以，则． 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又因为平面，所以． （2）存在，由（1）知，平面且， 以为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，， 设， 则． 设平面的一个法向量为， 则，故可取． 设点到平面的距离为， 则，解得或（舍）． 所以在线段上存在点，且． 6.如图，等腰直角三角形中，，D是中点，E、F分别是、边上的动点，且，，将沿折起，将点B折至点P的位置，得到四棱锥．设，，．    (1)试用表示． (2)若时，平面．求与垂直的平面和平面所成角的余弦值； (3)当时，是否存在这样的点F，使得二面角为，且直线与平面所成角为，若存在，求出的长，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在点F，此时. 【分析】（1）直接根据向量加减法的几何意义可得； （2）根据空间向量基本定理，用基底向量分别表示两个平面的法向量，再用向量的方法计算平面与平面的所成角的余弦值； （3）通过建立空间直角坐标系，根据面面角及线面角的值计算得到所求点的位置. 【详解】（1）由向量的加减法运算的法则可得， 又因为且，， ． （2）且为等腰直角三角形，，. 设，则． 因为平面，平面，所以， 即，所以.又因为，，所以，即. 所以为平面的法向量．而平面与垂直，所以是平面的法向量. 因为，所以，且，， 所以 所以 所以平面与平面夹角的余弦值为. （3）分别以所在直线为x轴、y轴，过F作垂线为z轴建立空间直角坐标系，如图：    设，则，， 由（1）得，二面角的平面角为，即， ，. 由题意得，平面的法向量为， ， 即，，解得或（舍去） 存在点F，此时． 7.如图，在四棱锥中，，底面ABCD是边长为2的菱形且.设为AD的中点且，点到平面ABCD的距离为. (1)求证：. (2)在线段PC上是否存在一点，使得锐二面角的余弦值为，若存在，说明点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，点为线段PC上靠近的三等分点处 【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明平面，再证明线线垂直即可； （2）建立空间直角坐标系，根据向量法求锐二面角的余弦，即可确定点的位置. 【详解】（1）因为，且为AD的中点，所以. 又因为四边形是边长为2的菱形且， 所以，因为，平面 所以平面，因为平面， 所以，又因为， 所以. （2）由（1）知，平面，且平面. 所以平面平面，且平面平面. 过点作平面的垂线，垂足为，则. 因为，所以. 因为，所以. 以点为坐标原点，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，. 所以. 设为上一点，则. 所以. 设平面的法向量为， 由，得，令， 则，即， 又平面的一个法向量为. 由题意，得，解得. 即当点为线段PC上靠近的三等分点处时，锐二面角的余弦值为. 8.如图，在四棱锥中，底面为菱形，且面，，，点为的中点，点M，F分别为线段，上的动点（端点除外）. (1)求证：面面； (2)是否存在点F使得二面角的余弦值为，若存在，求出点F的位置；若不存在，请说明理由； (3)当F为的中点时，试判断与平面是否平行，并写出理由？ 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，点为线段的靠近点的三等分点 (3)不平行，理由见解析 【分析】（1）连接，与相交于点，连接，根据可得平面，根据面面垂直的判定定理可证明结论. （2）以为原点建立空间直角坐标系，表示平面与平面的法向量，根据两平面夹角的余弦值求出点的坐标即可确定点的位置. （3）利用空间向量法判断与平面的关系. 【详解】（1）连接与交于点，连接， ∵底面为菱形，∴点为的中点， 又∵点为的中点，∴， 又∵平面，∴面， 又∵面，∴面面； （2）∵四边形为菱形，且，∴为等边三角形， ∴. ∵平面，且底面为菱形，∴两两垂直， 以为原点，向量的方向分别为轴，轴，轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ∴. 设，则. 设平面的法向量为， 则令，可得. 由题意得为平面的一个法向量. 设平面与平面的夹角为， 则，解得， ∴存在点为棱上靠近点的三等分点， 使得平面与平面夹角的余弦值为 （3）因为动点M在线段（端点除外）上，设， ，，，则，， 则，则， 又当为的中点时，，平面的一个法向量为， 此时， 又因为，所以， 即与不垂直，故与平面不平行. 9.如图，在长方体中，，，是棱上的点.    (1)求证：； (2)设二面角的大小为，直线与平面所成的角为，是否存在点使得？若存在求的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在点使得，. 【分析】（1）先建立空间直角坐标系，列出向量的坐标，根据向量的数量积判断是否垂直即可. （2）先将平面和平面的法向量坐标求出来，然后求出，并列出等式，化简即可求得的坐标，然后根据两点距离公式求出结果即可. 【详解】（1）根据题意，以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，设， 那么. 所以，所以. （2）由题意知，平面的一个法向量是. 设平面的一个法向量为，则有. 则，令，那么，所以. 因为二面角的大小为，由观察可得为锐角， 所以. 因为直线与平面所成的角为，所以. 若存在点使得，则. 那么有，化简得. 解得，即或，由于， 所以，所以，又， 所以，所以. 所以存在点使得，此时.    10.如图，在四棱锥中，平面平面是以为斜边的等腰直角三角形. (1)证明：. (2)在棱上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. (3)在棱上是否存在点，使得三棱锥外接球的球心在平面内？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， (3)存在， 【分析】（1）根据边长关系，结合勾股定理得，结合面面垂直性质定理证明平面得，进而证明平面即可证明结论； （2）根据（1）的证明，两两垂直，建立空间直角坐标系，利用坐标求解平面与平面夹角即可； （3）假设存在，设三棱锥外接球的球心，，，再根据球心到的距离相等解方程即可得答案. 【详解】（1）证明： 因为，， 是以为斜边的等腰直角三角形. 所以，，即 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，因为平面， 所以，因为，平面， 所以平面，因为平面， 所以 （2）由（1）知两两垂直，如图建立空间直角坐标系， ，，，，， ，， 设，， 所以， 设平面的法向量为， 则，即，令，则，， 所以， 又平面的法向量为，平面与平面夹角的余弦值为 所以， 整理得，解得或（舍）， 所以，当为棱靠近点的三等分点时，平面与平面夹角的余弦值为，此时. （3）假设棱上存在点，使得三棱锥外接球的球心在平面内， 设三棱锥外接球的球心，， 所以三棱锥外接球的球心到的距离相等， 即，即， 解方程得，， 所以，棱上存在点，使得三棱锥外接球的球心在平面内，此时 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $