专题03 利用向量法求线线角、线面角、二面角及距离问题（4大题型）-2024-2025学年高二数学下学期期末必考题型归纳及过关测试（苏教版2019）

专题03利用向量法求线线角、线面角、二面角及距离问题 【题型归纳目录】 题型一：异面直线所成的角 题型二：直线与平面所成的角 题型三：二面角 题型四：距离问题 【知识点梳理】 知识点1、设异面直线，的夹角为，方向向量为，，其夹角为，则有． 知识点2、设直线的方向向量为，平面的法向量为，与所成的角为，与的夹角为，则有． 知识点3、设，是二面角的两个面，的法向量，则向量，的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小．若二面角的平面角为，则． 知识点4、点与点之间的距离可以转化为两点对应向量的模计算． 知识点5、在直线上找一点，过定点且垂直于直线的向量为，则定点到直线的距离为． 知识点6、点是平面外一点，是平面内的一定点，为平面的一个法向量，则点到平面的距离为． 【典型例题】 题型一：异面直线所成的角 【例1】（23-24高二上·北京朝阳·期末）在正方体中，分别为和的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（    ） A．0 B． C． D． 【变式1-1】（24-25高二上·四川成都·期末）如图，在平行六面体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高二上·湖南·期中）刍甍是中国古代算数中的一种几何体，是底面为矩形的屋脊状的楔体.现有一个刍甍如图所示，底面 BCDE为矩形，平面BCDE，和是全等的正三角形，，，，则异面直线AE与BD所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（23-24高二下·河南驻马店·期末）已知M，N 分别是正四面体中棱AD，BC的中点，若点 P 满足则DP与AB夹角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 题型二：直线与平面所成的角 【例2】（23-24高二上·云南迪庆·期末）如图形中，底面是菱形，，与交于点，底面，为的中点，. (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的正弦值. 【变式2-1】（23-24高二下·北京海淀·期末）在五面体中，平面，平面. (1)求证：； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 【变式2-2】（24-25高二上·广东江门·期末）在四棱锥中，底面∥，. (1)证明：∥平面； (2)证明：； (3)求与平面所成的角的正切值. 【变式2-3】（23-24高二下·安徽阜阳·期末）如图，在三棱柱中，底面，点到平面的距离为2.    (1)证明：. (2)若直线与之间的距离为4，求直线与平面所成角的正弦值. 题型三：二面角 【例3】（24-25高二下·湖南长沙·期中）如图，已知四边形为等腰梯形，为以为直径的半圆弧上一点，平面平面，为的中点，为的中点，，. (1)求证平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 【变式3-1】（24-25高二下·山西·期中）如图，在直三棱柱中，为的中点，，，. (1)求与平面所成角的正弦值； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【变式3-2】（24-25高二下·湖北·期中）如图，在三棱台中，底面，，，为的中点，. (1)证明：； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值. 【变式3-3】（24-25高二上·海南海口·期末）如图，在四棱锥中，平面，．    (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值． 题型四：距离问题 【例4】（23-24高二上·辽宁大连·期末）三棱台中，，平面平面ABC，，与交于D．    (1)证明：平面； (2)求异面直线与DE的距离． 【变式4-1】（24-25高二上·江苏无锡·期中）在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，底面，为的中点，为的中点，    (1)证明：直线平面； (2)求直线AC与平面OCD所成角的余弦值． (3)求点N到平面OCD的距离． 【变式4-2】（24-25高二上·四川绵阳·期中）如图，已知正方体的棱长为2，、分别是，的中点． (1)求证：平面； (2)求到平面的距离. 【变式4-3】（24-25高二下·福建宁德·期中）已知空间中的三点，，，则点到直线AB的距离为 . 【强化训练】 1．（24-25高二上·广东·期末）已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，若直线、所成的角等于，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·山西·期中）如图，已知多面体中，底面是边长为的正方形，，，平面，平面，，若异而直线与所成的角的余弦值为，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·河南漯河·期末）如图，在直三棱柱中，，，点是棱的中点，则平面与平面夹角的正弦值为（    ） A． B． C． D．1 4．（24-25高二上·重庆·期中）如图，正方体的棱长为，的中点为，则下列说法不正确的是（   ） A．直线和所成的角为 B．四面体的体积是 C．点到平面的距离为 D．到直线的距离为 5．（24-25高二上·海南省直辖县级单位·期中）已知直线的方向向量为，且过点，则点到直线的距离的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D．6 6．（24-25高二上·江苏常州·期中）如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点在线段上，点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·浙江杭州·期中）长方体中，，点分别是棱和的中点，点在侧面（包括边界）移动．若，则异面直线与所成角的余弦值的最大值为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高二下·福建漳州·期中）在空间直角坐标系中，已知，，，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 9．（多选题）（24-25高二下·江苏泰州·期中）在长方体中，，，E、F分别是、的中点，则下列结论中成立的是（   ） A．平面 B．平面 C．点到平面的距离为 D．直线到平面的距离为 10．（多选题）（24-25高二下·福建漳州·期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，，M为PC的中点，则（    ） A．直线与所成的角为 B． C．直线AM与平面所成角的余弦值为 D．点M到平面的距离为 11．（多选题）（24-25高二下·江苏盐城·期中）在正方体 中，点分别是面和面的中心，则下列结论正确的是（ ） A．与共面 B．与夹角为 C．平面与平面夹角的正弦值为 D．若正方体棱长为2，则点到直线的距离 12．（24-25高二上·江苏常州·期中）如图，长方体的顶点在平面内，其余顶点均在平面的同侧，.若顶点到平面的距离为，顶点到平面的距离为，则顶点到平面的距离为 . 13．（24-25高二下·福建漳州·期中）已知直三棱柱中，，，则点到直线的距离为 . 14．（24-25高二下·江苏泰州·期中）空间四面体中，，，且，，则直线与直线所成角的余弦值为 15．（24-25高二上·广东广州·期中）如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，，，是的中点，，若点在矩形内，且平面，则 ． 16．（23-24高二上·河南漯河·期末）在梯形中，，为的中点，线段与交于点（如图1）.将沿折起到位置，使得（如图2）. (1)求证：平面平面； (2)线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由 17．（24-25高二上·北京·期中）如图，四棱锥P-ABCD中，平面.    (1)若，求证：平面平面PCD； (2)若AD=DC，PB中点为，试问在棱CD上是否存在点，使，若存在，指出点位置，若不存在说明理由； (3)若与平面PBC成角大小，求DC边长. 18．（24-25高二下·重庆·期中）如图，在正三棱台中，，侧棱长为2，P为棱上的动点.    (1)求证：平面； (2)是否存在点P，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出点P；若不存在，请说明理由. 19．（24-25高二上·广西南宁·期末）如图，在四棱锥中，底面满足，底面，且. (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 20．（23-24高二上·天津·期末）如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，，是的中点，点在棱上且 (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离. 21．（23-24高二上·北京朝阳·期末）如图，三棱锥中，，平面平面，点是棱的中点，再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知. (1)求证：； (2)求二面角的余弦值. 条件①：；条件②：直线与平面所成角为. 22．（23-24高二下·江苏扬州·期末）已知三棱柱的棱长均为. (1)证明：平面平面； (2)若，且直线与平面所成角的正弦值为，求点到直线的距离. 23．（24-25高二上·贵州六盘水·期末）如图，在三棱柱中，平面． (1)证明：． (2)求平面与平面夹角的余弦值． 24．（24-25高二上·辽宁锦州·期末）如图，在四棱锥中，平面，底面是平行四边形，且，点为线段的中点，点是线段上靠近点的三等分点． (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面所成角的正弦值． 25．（24-25高二上·四川·期末）如图，在三棱锥中，，，，二面角为直二面角，M为线段的中点，点N在线段上（不含端点位置）.    (1)若平面，求的值； (2)若，求的值； (3)若平面与平面所成锐二面角的余弦值为，求的值. 26．（24-25高二上·河南驻马店·期末）如图，在三棱柱中，平面，，分别为，的中点，，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求点到平面的距离. 27．（24-25高二上·北京·期末）如图，在三棱柱中，平面，，点分别在棱和棱上，且为棱的中点.    (1)求证：； (2)求二面角的余弦值. 28．（24-25高二下·江苏常州·期中）如图，圆锥的顶点为，底面圆心为，为底面直径，为底面圆周上异于一点，且四边形是边长为2的正方形． (1)求证：平面； (2)若，求二面角的正弦值． 29．（24-25高二下·浙江·期中）如图，在四棱锥中，，，，点E在AD上，且，. (1)若点Q为线段PE的中点，证明：平面PCD； (2)若平面PAD，，求直线PD与平面PAB所成的角的正弦值. 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03利用向量法求线线角、线面角、二面角及距离问题 【题型归纳目录】 题型一：异面直线所成的角 题型二：直线与平面所成的角 题型三：二面角 题型四：距离问题 【知识点梳理】 知识点1、设异面直线，的夹角为，方向向量为，，其夹角为，则有． 知识点2、设直线的方向向量为，平面的法向量为，与所成的角为，与的夹角为，则有． 知识点3、设，是二面角的两个面，的法向量，则向量，的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小．若二面角的平面角为，则． 知识点4、点与点之间的距离可以转化为两点对应向量的模计算． 知识点5、在直线上找一点，过定点且垂直于直线的向量为，则定点到直线的距离为． 知识点6、点是平面外一点，是平面内的一定点，为平面的一个法向量，则点到平面的距离为． 【典型例题】 题型一：异面直线所成的角 【例1】（23-24高二上·北京朝阳·期末）在正方体中，分别为和的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【解析】设正方体棱长为，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 则， 又异面直线与所成角为锐角， 则异面直线与.所成角的余弦值为. 故选：B. 【变式1-1】（24-25高二上·四川成都·期末）如图，在平行六面体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设， ， . ，. ， 异面直线与所成角的余弦值. 故选：D. 【变式1-2】（24-25高二上·湖南·期中）刍甍是中国古代算数中的一种几何体，是底面为矩形的屋脊状的楔体.现有一个刍甍如图所示，底面 BCDE为矩形，平面BCDE，和是全等的正三角形，，，，则异面直线AE与BD所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意得，， 所以 ， 又，， 所以设异面直线AE与BD所成的角为， 则 故选：A. 【变式1-3】（23-24高二下·河南驻马店·期末）已知M，N 分别是正四面体中棱AD，BC的中点，若点 P 满足则DP与AB夹角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设， 因为，所以 ， 设正四面体的棱长为1， 故 ， 又 ， 所以， 故， DP与AB夹角的余弦值为. 故选：A 题型二：直线与平面所成的角 【例2】（23-24高二上·云南迪庆·期末）如图形中，底面是菱形，，与交于点，底面，为的中点，. (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的正弦值. 【解析】（1）证明：如图所示，连接， 因为底面是菱形，且与交于点，则点为的中点， 因为为的中点，所以为的中位线，可得， 又因为平面，平面， 所以平面. （2）以所在的直线分别为轴，以过点作的垂线所在的直线为轴， 建立空间直角坐标系，如图所示， 可得，则， 设平面的一个法向量为，则， 令，可得，所以， 又由， 设直线与平面所成的角为， 则， 即直线与平面所成的角的正弦值为. 【变式2-1】（23-24高二下·北京海淀·期末）在五面体中，平面，平面. (1)求证：； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 【解析】（1）由平面，平面，得，而平面，平面， 则平面，又平面，平面平面， 所以. （2）令，则，有， 于是，由已知得直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量，则，令，得， 设直线与平面所成的角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【变式2-2】（24-25高二上·广东江门·期末）在四棱锥中，底面∥，. (1)证明：∥平面； (2)证明：； (3)求与平面所成的角的正切值. 【解析】（1）因为∥，平面，平面， 所以∥平面. （2）在四边形中，作于，于， 因为， 可知四边形为等腰梯形，则， 可得，， 即，所以， 因为平面，平面，所以， 又因为，可得平面， 且平面，所以. （3）如图，以点为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 因为，则， 可得， 设平面的法向量，则有， 令，则，可得， 则， 设与平面所成角为，则， 可得， 所以与平面所成角的正切值为. 【变式2-3】（23-24高二下·安徽阜阳·期末）如图，在三棱柱中，底面，点到平面的距离为2.    (1)证明：. (2)若直线与之间的距离为4，求直线与平面所成角的正弦值. 【解析】（1）底面平面，   ，又平面， 平面，又平面， 平面平面. 过作交于，又平面平面， 平面，平面． 点到平面的距离为. 在中，， 设，则. 均为直角三角形，且， ，解得， ，即. （2）， ，过作交于，则为的中点. 由直线与之间的距离为4，得， 在中，. 以为坐标原点，直线为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 则，，， 显然为平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， 则 则直线与平面所成角的正弦值为. 题型三：二面角 【例3】（24-25高二下·湖南长沙·期中）如图，已知四边形为等腰梯形，为以为直径的半圆弧上一点，平面平面，为的中点，为的中点，，. (1)求证平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 【解析】（1）取的中点，连接，则且， 又且，所以且， 所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面； （2）取的中点，连接， 因为四边形为等腰梯形，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 过点作直线的垂线交于点， 以为坐标原点，分别以所在直线为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为为直径，所以， 所以，，， 在等腰梯形中，，， 所以， 所以， 所以，， ，， 设平面的法向量为，则， 所以， 令，则，，所以， 设平面的法向量为，则， 所以， 令，则，，所以， 设平面与平面的夹角为，则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 【变式3-1】（24-25高二下·山西·期中）如图，在直三棱柱中，为的中点，，，. (1)求与平面所成角的正弦值； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【解析】（1）以为原点，以分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，，，所以， 则， ， 设平面的法向量， 则，令，则， 设与平面所成角为， 则与平面所成角的正弦值为. （2）设平面的法向量， 则，令，则，， ， ， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 【变式3-2】（24-25高二下·湖北·期中）如图，在三棱台中，底面，，，为的中点，. (1)证明：； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值. 【解析】（1）在三棱台中， ∵，，∴，，． ∵为的中点，∴，， ∴四边形为平行四边形，故． ∵，∴． ∵底面，底面，∴． ∵平面，为相交直线，∴平面， ∵平面，∴． （2） 以为原点，以分别为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系， 则，； ∴，； 设是平面的法向量，则，即， 取； 设是平面的法向量，则，即， 取； ∴， ∴平面与平面夹角的余弦值为． 【变式3-3】（24-25高二上·海南海口·期末）如图，在四棱锥中，平面，．    (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值． 【解析】（1）在梯形中，过点作于点． 由已知可知， ． 所以，即，① 因为平面，平面，所以，② 由①②及，平面，得平面． 又由平面，所以平面平面． （2）因为两两垂直，所以以为原点， 以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 可得． 设平面的法向量为， 则，取，则，则． 平面的一个法向量为， 所以， 所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为． 题型四：距离问题 【例4】（23-24高二上·辽宁大连·期末）三棱台中，，平面平面ABC，，与交于D．    (1)证明：平面； (2)求异面直线与DE的距离． 【解析】（1）三棱台中，，则， 有，得，所以， 又，所以在平面内，，有， 平面平面，所以平面． （2）已知平面平面ABC，平面平面，， 平面，所以平面，由平面，得， 又平面ABC，平面ABC， 所以平面ABC，由平面ABC，得. 以B为坐标原点的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图空间直角坐标系． 则有， ， 因为，所以， 设向量，且满足：， 则有，令， 在的投影数量为， 异面直线与DE的距离. 【变式4-1】（24-25高二上·江苏无锡·期中）在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，底面，为的中点，为的中点，    (1)证明：直线平面； (2)求直线AC与平面OCD所成角的余弦值． (3)求点N到平面OCD的距离． 【解析】（1）在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，底面，则两两垂直， 以A为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图， 由为的中点，为的中点，得， 即， 设平面的法向量为，则，取，得， 则平面，所以直线平面． （2）由（1）知，，且平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为，则， 所以，故直线与平面所成角的余弦值为. （3）由（1）知，，且平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离. 【变式4-2】（24-25高二上·四川绵阳·期中）如图，已知正方体的棱长为2，、分别是，的中点． (1)求证：平面； (2)求到平面的距离. 【解析】（1）如图，建立空间直角坐标系， 所以， 则， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，即， 显然，所以平面； （2）由（1）可知平面的法向量为； 又 所以到平面的距离. 【变式4-3】（24-25高二下·福建宁德·期中）已知空间中的三点，，，则点到直线AB的距离为 . 【答案】 【解析】因为空间中的三点，，，所以，， 所以，， 点到直线AB的距离为． 故答案为：. 【强化训练】 1．（24-25高二上·广东·期末）已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，若直线、所成的角等于，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得，解得. 故选：B. 2．（24-25高二上·山西·期中）如图，已知多面体中，底面是边长为的正方形，，，平面，平面，，若异而直线与所成的角的余弦值为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】以点为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系， 则， 所以，， ， 可得， 所以， 所以，可得． 故选：C. 3．（23-24高二上·河南漯河·期末）如图，在直三棱柱中，，，点是棱的中点，则平面与平面夹角的正弦值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【解析】如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，令， 则， 设平面的法向量为， ∵，，则， 令，则，∴， 又平面的法向量为， 故， 设平面与平面所成角为，，则， 故平面与平面夹角的正弦值为. 故选：C. 4．（24-25高二上·重庆·期中）如图，正方体的棱长为，的中点为，则下列说法不正确的是（   ） A．直线和所成的角为 B．四面体的体积是 C．点到平面的距离为 D．到直线的距离为 【答案】C 【解析】建立如图所示空间直角坐标系， 则,0,，,2,，,2,，,0,，,0,，,2,，,2,， 对于A，， 故， 故， 即直线和所成的角为，故A正确； 对于B，易得四面体为正四面体， 则，故B正确； 对于C，， 设平面的法向量为， 则，有， 令，则， 故点到平面的距离，故C错误； 对于D， 则到直线的距离为，故D正确． 故选：C 5．（24-25高二上·海南省直辖县级单位·期中）已知直线的方向向量为，且过点，则点到直线的距离的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D．6 【答案】B 【解析】，所以点到直线的距离为 ， 所以当时，距离有最小值为. 故选：B 6．（24-25高二上·江苏常州·期中）如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点在线段上，点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 则，可得， 设，所以可得； 因此， 因此点到直线的距离为 . 当（满足题意）时，取得最小值，即点到直线的距离的最小值为. 故选：A 7．（24-25高二下·浙江杭州·期中）长方体中，，点分别是棱和的中点，点在侧面（包括边界）移动．若，则异面直线与所成角的余弦值的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在长方体中，以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 设是的中点，所以. 设，， 因为，所以，所以， 设异面直线与所成角为， 因为异面直线成角的范围是， 则， 因为，所以，当且仅当时取等号， ， 因此，异面直线与所成角的余弦值的最大值为. 故选：A. 8．（24-25高二下·福建漳州·期中）在空间直角坐标系中，已知，，，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，得，． 因此在上得投影长为， 所以点到直线的距离为． 故选：B． 9．（多选题）（24-25高二下·江苏泰州·期中）在长方体中，，，E、F分别是、的中点，则下列结论中成立的是（   ） A．平面 B．平面 C．点到平面的距离为 D．直线到平面的距离为 【答案】ABD 【解析】，以直线DA、DC、分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，在中，如图： 则， ，所以，， 设平面的一个法向量为， 则，令，得， 因为，又平面， 所以平面，故A正确； 所以直线到平面的距离为点到平面的距离，又， 所以点到平面的距离为， 所以直线到平面的距离为，故D正确； 设平面的一个法向量为，又， 则，令，得， 又，所以，所以平面，故B正确； 设平面的一个法向量为，又， 则，令，得， 则点到平面的距离为，故C错误. 故选：ABD 10．（多选题）（24-25高二下·福建漳州·期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，，M为PC的中点，则（    ） A．直线与所成的角为 B． C．直线AM与平面所成角的余弦值为 D．点M到平面的距离为 【答案】AD 【解析】过A作，垂足为，则， 以A为坐标原点，分别以，，所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，，. 对于A，因为， 所以直线AM与BC所成的角为，故A正确. 对于B，因为，所以B不正确. 对于C，设平面的法向量为， 因为，， 所以令，得. 设直线与平面所成的角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为，所以其余弦值为，故C错误. 对于D，设点到平面的距离为，则， 即点到平面的距离为，故D正确. 故选：AD. 11．（多选题）（24-25高二下·江苏盐城·期中）在正方体 中，点分别是面和面的中心，则下列结论正确的是（ ） A．与共面 B．与夹角为 C．平面与平面夹角的正弦值为 D．若正方体棱长为2，则点到直线的距离 【答案】ACD 【解析】选项A，因为，所以与，共面，即选项A正确； 选项B，连接， 因为，所以或其补角即为与的夹角， 因为，所以△是等边三角形，所以， 所以与夹角为，即选项B错误； 选项C，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 设正方体的棱长为2，则,,，， 所以,1,，,2,， 设平面的法向量为,,，则， 取，则，，所以,1,， 易知平面的一个法向量为,0,， 设平面与平面夹角为， 则,， 所以，即选项C正确； 选项D，由对称性知，， 由勾股定理知，， 设到直线的距离为， 因为， 所以，解得， 所以到直线的距离为，即选项D正确． 故选：ACD． 12．（24-25高二上·江苏常州·期中）如图，长方体的顶点在平面内，其余顶点均在平面的同侧，.若顶点到平面的距离为，顶点到平面的距离为，则顶点到平面的距离为 . 【答案】 【解析】以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，所以． 设平面的一个法向量为， 则，则， 所以顶点到平面的距离为． 故答案为：. 13．（24-25高二下·福建漳州·期中）已知直三棱柱中，，，则点到直线的距离为 . 【答案】/ 【解析】 如图，以点为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 因为，所以， 所以直线的方向向量为，而， 则，在上的投影长为. 所以点B到直线的距离. 故答案为：. 14．（24-25高二下·江苏泰州·期中）空间四面体中，，，且，，则直线与直线所成角的余弦值为 【答案】 【解析】在空间四面体中，，， 将四面体补成长方体， 则，解得， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 因为为的中点，则，由，可得， 所以，， 所以. 因此，直线与直线所成角的余弦值为. 故答案为：. 15．（24-25高二上·广东广州·期中）如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，，，是的中点，，若点在矩形内，且平面，则 ． 【答案】 【解析】如图，以为坐标原点，，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，， ， 设平面的法向量为 则 令，得,所以， 设，则，又平面，则， 所以，解得，，所以. 故答案为：. 16．（23-24高二上·河南漯河·期末）在梯形中，，为的中点，线段与交于点（如图1）.将沿折起到位置，使得（如图2）. (1)求证：平面平面； (2)线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由 【解析】（1）因为，， 所以，，所以，则， 则， 又P为的中点，连接，则且，，所以为菱形， 同理可得为菱形，所以， 所以，连接，则， 又，所以，即， 又，，平面， 所以平面， 又平面， 所以平面平面； （2）线段上存在点，使得与平面所成角的正弦值为. 因为平面，所以，，两两互相垂直， 如图，以点为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 则，， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，则，， ， 设，因为，， 所以， 设与平面所成角为，则， 即，，解得或（舍去）， 所以线段上存在点，且，使得与平面所成角的正弦值为. 17．（24-25高二上·北京·期中）如图，四棱锥P-ABCD中，平面.    (1)若，求证：平面平面PCD； (2)若AD=DC，PB中点为，试问在棱CD上是否存在点，使，若存在，指出点位置，若不存在说明理由； (3)若与平面PBC成角大小，求DC边长. 【解析】（1）因为平面平面ABCD， 所以， 又，所以 又平面PAD 所以平面PAD， 又平面PCD， 所以平面平面PCD. （2）因为平面，所以AP，AB，AC两两垂直，如图建立空间直角坐标系 设，则， 则 设， ， 假设存在满足，因为等价于， 解得，所以不存在 （3）因为，所以，   ， 设，其中，又， ， 设平面PBC法向量，依题意，即 令则，所以， 因为PD与平面PBC成角大小，所以 或， 即 又，此方程组无解 综上可得. 18．（24-25高二下·重庆·期中）如图，在正三棱台中，，侧棱长为2，P为棱上的动点.    (1)求证：平面； (2)是否存在点P，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出点P；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）延长三条侧棱交于一点， 因为正三棱台的侧棱长为2，且，即， 可得，且， 所以，， 即，，， 且，平面， 所以平面，即平面. （2）由（1）知， 以为原点，分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设， 可得，， 设平面的法向量为，则， 取，则，可得， 由题意可得：， 整理可得，解得或（舍去）， 故当点为靠近的三等分点时，使得直线与平面所成角的正弦值为. 19．（24-25高二上·广西南宁·期末）如图，在四棱锥中，底面满足，底面，且. (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 【解析】（1）由底面，底面，则， 又，且均在面内，则平面； （2）由题设，构建如下图示空间直角坐标系， 则，故， 若为面的一个法向量，则， 令，则，而是面的一个法向量， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 20．（23-24高二上·天津·期末）如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，，是的中点，点在棱上且 (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离. 【解析】（1）连接交于，连接， 由底面为矩形，则为的中点， 又为的中点，所以， 又平面，平面，所以平面; （2）根据题意，以点为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系， 由 ， 则 ， 则，，， 故平面的一个法向量为， 设为平面的法向量，则，即， 令，则，故， 所以， 根据题意，可得平面与平面夹角为锐角， 故平面与平面夹角的余弦值为； （3）由（2）可知为平面的法向量，， 所以， 所以点到平面的距离为. 21．（23-24高二上·北京朝阳·期末）如图，三棱锥中，，平面平面，点是棱的中点，再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知. (1)求证：； (2)求二面角的余弦值. 条件①：；条件②：直线与平面所成角为. 【解析】（1）选择条件①. 取的中点，连接. 因为，所以， 又平面平面，平面， 平面平面， 故平面， 而平面，故，即， 所以， 又，故， 则，即. 因为，平面， 所以平面，平面， 所以. 选择条件②. 取的中点，连接. 因为，所以， 又平面平面，平面， 平面平面， 故平面， 所以在平面内的射影是， 所以是直线与平面所成角. 所以. 由平面，而平面，故，即， 所以，又， 故，则，即. 因为，平面， 所以平面，平面， 所以. （2）由（1）知两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 于是， 由点是棱的中点，所以， 于是，又， 设是平面的法向量， 则， 令，则， 所以是平面的一个法向量，， 又是平面的一个法向量， 设二面角的大小为，由题可知为锐角， 所以. 22．（23-24高二下·江苏扬州·期末）已知三棱柱的棱长均为. (1)证明：平面平面； (2)若，且直线与平面所成角的正弦值为，求点到直线的距离. 【解析】（1） 如图，取AC的中点，连接， 由余弦定理，， 故有，所以， 由题设可知，为边长为2的等边三角形，所以， 因为，所以，所以， 又因为平面， 所以平面， 又因为平面，所以平面平面； （2）由（1）可知两两垂直，故可分别以所在直线为轴 建立空间直角坐标系如图所示. 则， . 因为，则， 设平面的法向量为， 则 不妨取， 可得是平面的一个法向量. 设直线与平面所成角为， 则， 化简整理得解得，或（舍去），则， 又因为，可得. 设点到直线的距离为， 则，解得. 故点到直线的距离为. 23．（24-25高二上·贵州六盘水·期末）如图，在三棱柱中，平面． (1)证明：． (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【解析】（1）平面， 平面，， 又，，平面， 平面， 又平面，； （2）由（1）知平面，平面，， 以为原点，以，，为轴建立空间直角坐标系， 设，则， ，， ， 设平面的法向量为， 则， ， 设平面的法向量为， 则， ， 设平面与平面夹角为， 则 24．（24-25高二上·辽宁锦州·期末）如图，在四棱锥中，平面，底面是平行四边形，且，点为线段的中点，点是线段上靠近点的三等分点． (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面所成角的正弦值． 【解析】（1）因为点是线段上靠近点的三等分点，，所以； 在中，，， 由余弦定理可得， 满足，即； 因为平面，平面，所以； 又平面， 所以平面， 因为平面， 因此平面平面； （2）过点作，由平面，可得平面； 又平面，所以； 因为，故， 故以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 则， ， 设平面的一个法向量为， 则，解得，取，则； 所以； 设平面的一个法向量为， 则，解得，取，则； 所以； 可得； 所以平面与平面所成角的正弦值为. 即可得平面与平面所成角的正弦值为. 25．（24-25高二上·四川·期末）如图，在三棱锥中，，，，二面角为直二面角，M为线段的中点，点N在线段上（不含端点位置）.    (1)若平面，求的值； (2)若，求的值； (3)若平面与平面所成锐二面角的余弦值为，求的值. 【解析】（1）由平面，平面平面，平面， 故，又为线段的中点，故为线段的中点，即. （2）由，则，则， 由，，则， 因为，故， 又二面角为直二面角，故平面平面， 由平面平面，，平面， 故平面，又平面，故， 即有，，两两垂直，故可建立如图所示空间直角坐标系， 有，，，，， 即，，， 设，则， 若，则，解得， 即，故. （3）由（2）得，，，， 则， 设平面与平面的法向量分别为，， 则有， ， 令，则有，，，， 即可取，， 由平面与平面所成锐二面角的余弦值为， 则有， 整理得，解得或， 即或，故或. 26．（24-25高二上·河南驻马店·期末）如图，在三棱柱中，平面，，分别为，的中点，，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求点到平面的距离. 【解析】（1）在三棱柱中，D，E为的中点， ， 平面， 平面， 平面，， 在三角形中，，为中点， ， ，，平面， 平面； （2）如图，以为原点，建立空间直角坐标系， 在直角三角形中，，， ，，，，， ，，， 设平面的法向量为， ，令，则，， 所以， 设直线与平面所成角为， 所以； （3）设点到平面的距离为，所以， 故点到平面的距离. 27．（24-25高二上·北京·期末）如图，在三棱柱中，平面，，点分别在棱和棱上，且为棱的中点.    (1)求证：； (2)求二面角的余弦值. 【解析】（1）由于,故建立如图所示的空间直角坐标系，则, , 故， 故，因此 （2）由于平面，故平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， , 故，令，则， 设二面角的平面角为，由图可知为钝角， 故 28．（24-25高二下·江苏常州·期中）如图，圆锥的顶点为，底面圆心为，为底面直径，为底面圆周上异于一点，且四边形是边长为2的正方形． (1)求证：平面； (2)若，求二面角的正弦值． 【解析】（1）因为为底面圆周上异于一点， 可得：, 又四边形是边长为2的正方形，得， 又平面， 所以平面，又在平面内， 所以，又为平面内两条相交直线， 所以平面， （2） 以为坐标原点，分别以所在直线为轴，过点作垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 因为，所以， 取的中点，连接，，， 则， 所以， 设平面的法向量为，则 ，令，则， 设平面的法向量为，则 ，令，则， 所以， 所以二面角的正弦值 29．（24-25高二下·浙江·期中）如图，在四棱锥中，，，，点E在AD上，且，. (1)若点Q为线段PE的中点，证明：平面PCD； (2)若平面PAD，，求直线PD与平面PAB所成的角的正弦值. 【解析】（1）过点Q作交PD于点G，连接CG， 因为Q为PE中点，所以G为PD中点，， 又因为，所以，， 所以四边形BCGQ是平行四边形，所以， 又因为平面PCD，平面PCD，所以平面PCD. （2）因为平面PAD，平面PAD，所以， 又因为，，所以面ABCD， 以E为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， ，，， 设平面PAB的一个法向量为， 所以令，，则，故， 设直线PD与平面PAB所成的角为， ， 所以直线PD与平面PAB所成的角的正弦值为. 14 学科网（北京）股份有限公司 $$