专题01 空间向量及其运算6种题型归类（压轴题专项训练）数学苏教版选择性必修第二册

专题01 空间向量及其运算问题 目录 类型一、利用空间向量的线性运算求参数 类型二、空间向量的共线与共面问题 类型三、空间向量数量积的范围与最值问题 类型四、空间向量的投影、投影向量问题 类型五、空间向量的模与参数范围问题 类型六、空间向量的夹角与参数范围问题 压轴专练 类型一、利用空间向量的线性运算求参数 解题技巧： 1.空间向量的加减运算 加法运算 三角形法则 语言叙述 首尾顺次相接，首指向尾为和 图形叙述 平行四边形法则 语言叙述 共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和 图形叙述 减法运算 三角形法则 语言叙述 共起点，连终点，方向指向被减向量 图形叙述 2.空间向量的数乘运算 定义 与平面向量一样，实数λ与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为空间向量的数乘 几何意义 与向量的方向相同 的长度是的长度的倍 与向量的方向相反 ，其方向是任意的 3.空间向量的运算律 交换律 结合律 ， 分配律 例1．平行六面体中，，则实数的值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】将都用基底表示出来，得到，即可得到. 【详解】 ， 所以， 故选：C. 变式1-1．如图，设为平行四边形所在平面外任意一点，为的中点，若，则的值是（    ） A． B．0 C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的线性运算的几何表示，得出，结合条件即可得出答案. 【详解】为的中点， ， 四边形为平行四边形，， . ， ，， ， 故选：B. 变式1-2．《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，M，N分别是的中点，是的中点，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，利用空间向量运算即可求得正确答案. 【详解】连接，因为是的中点，所以，    因为底面为直角三角形的直棱柱， 所以四边形为长方形， 又因M，N分别是的中点， 所以， 则， 又因，所以可得，解得， 所以. 故选：A. 变式1-3．设是四面体，是的重心，G是上的一点，且，若，则 . 【答案】 【分析】利用向量三角形法则，结合三角形重心的性质和中线的性质即可得解． 【详解】取的中点，连接，如图所示， 因为，是的重心， 所以 ， 又， 所以，则. 故答案为：． 变式1-4．在正四面体ABCD中，P是内部或边界上一点，满足，． 设，求的取值范围． 【答案】 【分析】先探究与的关系，再利用二次函数的性质求范围. 【详解】易知， . 所以，，， 故（）. 根据二次函数的性质，当时，有最小值，为； 当或时，有最大值，为. 故的取值范围为： 类型二、空间向量的共线与共面问题 解题技巧： 共线向量与共面向量 1、共线（平行）向量的定义：若表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，若与是共线向量，则记为． 2、共线向量定理：对空间任意两个向量，的充要条件是存在实数，使． 3、共面向量定理：如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使 4、拓展 对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）． 例2.已知空间中，，，四点共面，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】由空间向量共面的基本定理即可求解. 【详解】设原点，，即， 则，，因为四点共面，所以，所以，． 故选：A. 变式2-1．已知A，B，C三点共线，O为空间任一点，则①；②存在三个不为0的实数，m，n，使，那么使①②成立的与的值分别为（    ） A．1， B．，0 C．0，1 D．0，0 【答案】B 【分析】根据三点共线的推理即可求得，. 【详解】，B，C三点共线，，，解得， 又由，得， 由A，B，C三点共线知，，则. 故选：B 变式2-2．已知基底，，，若，则 . 【答案】 【分析】根据向量平行的判定定理运算求解. 【详解】因为，且，则存在唯一实数，使得， 即， 可得，解得或， 所以. 故答案为：. 变式2-3．已知三棱锥中，点平面ABC，若，则 . 【答案】3 【分析】由空间四点共面的向量表示即可求解. 【详解】由题意得，则， 因为A，B，C，D四点共面，所以，解得. 故答案为：3 变式2-4．在空间四边形中，已知空间内一点满足，若，，共面，则 . 【答案】 【分析】分析可知，，，，四点共面，根据四点共面的结论运算求解即可. 【详解】因为， 若，，共面，则，，，四点共面， 则，解得. 故答案为：. 类型三、空间向量数量积的范围与最值问题 解题技巧： 1．空间向量的数量积 已知两个非零向量，则叫做的数量积，记作，即． 零向量与任意向量的数量积为0，即. 2．数量积的运算律 数乘向量与数量积的结合律 交换律 分配律 3.解题步骤 ①建系代数化：根据几何体特征建立空间直角坐标系，确定各定点坐标，将动点坐标设为含参数的形式，把几何向量问题转化为坐标运算问题。 ②数量积坐标化：用坐标表示相关向量，依据数量积坐标公式写出数量积的代数表达式（通常为关于参数的函数）。 ③锁定参数范围：结合几何图形的位置约束（如点在线段/面上、角度范围等），明确参数的取值区间，这是求最值的关键前提。 ④核心求最值方法：二次函数型：利用对称轴、开口方向，结合参数范围求最值；分式/根式型：用均值不等式、分析单调性求最值； ⑤验证取等条件：检验最值对应的参数值是否在有效范围内，且符合几何图形的实际位置，排除无效解。 4. 极化恒等式解决共起点的向量数量积问题 例3．在正三棱柱中，，点为侧面内的一点，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】作出辅助线，利用极化恒等式得到，并求出的最小值，得到答案. 【详解】如图所示，取的中点，连接， 则，，两式平方后相减可得 ，即， 其中，故， 故当取得最小值时，取得最小值， 当位于矩形的中心时，取得最小值，最小值为等边的中线长，即， 故. 故选：B 变式3-1．已知是棱长为1的正方体表面上不同的三点，则的最小值是 【答案】/ 【分析】方法一：利用极化恒等式把转化为，再利用正方体性质，先确定，再确定最小值，最大值，从而可求得最小值； 方法二：利用空间向量的坐标运算，先研究关于三元函数最小值，再求剩下变量构造成两点间距离的最大值，最后确保它们能同时取到最值的条件是三点共面即可. 【详解】 根据正方体的性质，可不妨设在下底面的棱上动点，又设中点为， 则 当与中点重合时，取到最小值， 当为底面对角线的顶点时，取到最大值， 所以当为底面中心，为底面对角线的顶点时, 取到最小值； 变式3-2．（多选）在平行六面体中，，，且，则的值可能为（   ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】BC 【分析】利用向量的平行四边形法则，将转化为之间的关系，结合向量的数量积公式即可求解. 【详解】如图，设，则，所以，，， 又，，所以，因为，所以的值可能为4和5. 故选：BC. 变式3-3．在正方体中，，P是棱的中点，E，F是矩形内的任意两点（包括边界），则的最小值是 . 【答案】 【分析】设正方体的中心为，连接，设，连接，由已知线面关系可证得平面，从而可得，，根据空间向量的数量积计算，从而可得其最小值. 【详解】设正方体的中心为，连接，设，连接，    因为正方体中，所以平面， 因为平面，， 又平面，所以平面， 因为P是棱的中点，正方体的中心为， 所以，则四边形为平行四边形，则， 故平面，由于平面， 则，， 所以， 因为，，所以， 因为，所以|，所以， 因为E，F是矩形内的任意两点，所以，当且仅当E，F为或的两端点时，等号成立， 则，即的最小值是. 故答案为：. 变式3-4．在棱长为4的正方体中，点在该正方体表面上运动，球为该正方体的内切球，为球的一条直径，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，，由空间向量的线性运算和数量积运算计算， 再由正方体的性质求得的范围即可求解. 【详解】因为球是棱长为的正方体的内切球，是球的直径， 所以，，， 因为 ， 又因为点是正方体表面上的一个动点， 所以当为正方体顶点时，有最大值为； 当为内切球与正方体的切点时，有最小值为， 即，，所以， 故选：B. 类型四、空间向量的投影、投影向量问题 解题技巧： 投影与投影向量 （1）投影：向量在向量上的投影为 （2）投影向量：在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，，向量称为向量在向量上的投影向量 例4-1．已知向量，则向量在向量上的投影向量（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用投影向量公式：向量在向量上的投影向量求解. 【详解】，， ，， 向量在向量上的投影向量， . 故选：D. 例4-2．空间向量，向量与夹角为，且，若在上的投影向量为，则等于 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，求出在上的投影向量即可得解. 【详解】由向量，得，， 因此在上的投影向量，所以. 故答案为： 变式4-1．若向量，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据投影向量公式计算即可. 【详解】在上的投影向量为. 故选：C 变式4-2．如图，在长方体中，是的中点，，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以为原点，分别以、、为、、轴建立空间直角坐标系，写出，的坐标，然后代入投影向量公式可得到正确答案. 【详解】以为原点，分别以、、为、、轴建立空间直角坐标系, 由，，是的中点，得： ，，， 故， 故， 故， 故选：D 变式4-3．若，，，则在上的投影向量的模为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的坐标运算得，进而利用数量积的坐标运算求得和，最后代入投影向量公式求解即可. 【详解】因为，，所以， 又，所以， 又， 所以在上的投影向量的模为 . 故选：A 类型五、空间向量的模与参数范围问题 解题技巧： 利用向量方法求长度或距离的基本方法 （1）将相应线段用向量表示,通过向量运算来求对应向量的模. （2）因为a·a=|a|2,所以|a|=,这是利用向量解决长度或距离问题的基本公式.另外,该公式还可以推广为|a±b|==. （3）若，则，即 例5-1．已知空间向量，，两两夹角均为，其模均为1，则 . 【答案】 【分析】根据已知，应用空间向量数量积的运算律求模长. 【详解】 . 故答案为： 例5-2．已知空间向量，，，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先通过空间向量垂直的坐标运算求得，然后计算出，最后利用求解最小值即可. 【详解】因为，，所以， 所以，， 所以， 因为，当且仅当时等号成立， 所以，故的最小值为. 故选：A 变式5-1．正方体棱长为4，点满足，点满足，则的最小值为 . 【答案】 【分析】依题意，建立空间直角坐标系，由求得，再由得到动点的轨迹是以B为球心，1为半径的球，因，则的最小值为到球心B的最小距离减去半径1，计算，利用二次函数的性质即可求得的最小值. 【详解】如图建立空间直角坐标系,    则由题意可得， 则， 则，由可知，动点的轨迹是以B为球心，1为半径的球， 的最小值为到球心B的最小距离减去半径1， 而， 则当时，取到最小值为，故的最小值为. 故答案为：. 变式5-2．如图所示，为棱长为1的正方体内部（含边界）一点，则的最值之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，设，用坐标表示，可求出最大值和最小值. 【详解】如图所示建立空间直角坐标系， 设， 则， 则， 当时取到最小值0，当时取到最大值． 故选：C． 变式5-3．已知、是空间相互垂直的单位向量，且，，则的最小值是 . 【答案】4 【分析】利用坐标法，根据空间向量数量积的坐标运算，向量线性运算，不等式思想即可求解． 【详解】是空间相互垂直的单位向量， 设，，设， 又，， 又， ， ，其中， ， ， 当且仅当时取得等号， 的最小值是4． 故答案为：4． 变式5-4．（1）已知，． ①当时，求实数的值；②当时，求实数的值． （2）已知，，求的最小值 【答案】（1）①，②；（2）. 【分析】（1）①先计算出，再根据平行得到方程，求出；②根据垂直得到方程，求出； （2）利用模长公式得到，利用单调性求出最小值. 【详解】（1）①， ， ，设， 故， 所以，解得，故； ② ， 解得； （2）已知， 所以， 故当时，取得最小值，最小值为. 类型六、空间向量的夹角与参数范围问题 解题技巧： 求两个非零向量夹角 1.如图，已知两个非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量的夹角，记作， 夹角的范围：，特别地，如果，那么向量互相垂直，记作 2.为锐角；为钝角．由此，通常通过计算的值来判断两向量夹角是锐角还是钝角． 例6-1．已知为单位向量，且与夹角的余弦值为，向量，则（   ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值 【答案】A 【分析】利用空间向量数量积的定义和坐标运算可得，再结合即可得出，最后利用夹角公式求最值. 【详解】由题可知①， 又②，①②联立， 结合，得，. 因为， 所以当时，取得最大值为. 故选：A 例6-2．已知空间中三点，，. (1)求平行四边形的顶点的坐标； (2)当与的夹角为钝角时，求的范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质和空间向量的运算求解即可 （2）求出向量坐标，再利用向量夹角为钝角，结合向量数量积列式求解作答. 【详解】（1）设， 因为是平行四边形，所以, 由，，. 得， 所以，故， （2）依题意得，， ， 因为当与的夹角为钝角时， 则，且与不共线， 当时，， 当与共线时，存在实数t，有， 于是得，解得， 所以与不共线，则， 所以k的范围为 变式6-1．已知，，若与夹角是钝角，则取值范围是 . 【答案】 【分析】根据与不共线，且数量积小于0列式求解. 【详解】若，则； 由. 所以与夹角是钝角，可得. 故答案为： 变式6-2．已知向量，，则“与的夹角为钝角”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】若与的夹角为钝角，则且与不共线，结合向量的坐标运算求得的取值范围，再根据范围之间的关系即可判断其充分性或必要性. 【详解】依题意得，，， 当与的夹角为钝角时， ，且与不共线， 当时，， 当与共线时，存在实数，使， 于是得解得，. 所以与不共线时，， 所以的取值范围为． 所以“与的夹角为钝角”是“”的充分不必要条件． 故选: 变式6-3．已知向量． (1)若，求实数k； (2)若向量与所成角为锐角，求实数k的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量垂直的坐标表示求解； （2）将问题转化为两个向量的数量积为正且不共线求解. 【详解】（1）因为， 所以， 因为，则， 解得； （2）因为向量与所成角为锐角， 所以，且与不同向共线． 由（1）知，， 若向量与同向共线，则存在，使得，即， 可得，解得，若两个向量不同向共线，则， 故，解得且， 即的取值范围为． 变式6-4．已知空间四点，，，. (1)若、、、四点共面，求的值； (2)求直线和直线夹角余弦值的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意知，存在唯一一对实数，使得，代入坐标，列出方程组，求解即得； （2）设直线和直线的夹角为，利用空间向量的夹角公式求出的表达式，借助于二次函数的性质即可求得其取值范围. 【详解】（1）由题意，得，, ，，，四点共面， 存在实数使得， 即， 则，解得，，， 故的值为. （2），，      设直线和直线的夹角为， ，              因为，，所以，所以， 所以两直线和的夹角余弦值的范围是 . 压 轴专练 1.向量、不平行，则存在两个非零常数、，使是、、共面的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件与必要条件的概念，结合共面向量与向量运算的性质，可得答案. 【详解】充分性证明：由不平行，则可作为所在平面内的一组基底， 由，则必定共面，所以充分性成立； 必要性证明：由共面，且不平行，当共线时，， 则不存在两个非零常数，使得，所以必要性不成立. 综上，该条件是充分非必要条件. 故选：A. 2.已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据投影向量的坐标公式计算. 【详解】已知，则， 向量在向量上的投影向量的坐标为： . 故选：B 3.已知，，，四点共面于，且其中任意三点均不共线.设为空间中任意一点且，若，则（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】利用共面定理和空间向量的线性运算可求答案. 【详解】因为，，，四点共面，所以，其中， 所以， 即； 因为，所以， 而不共面，则，即. 故选：C 4.已知非零向量，，且、、不共面，若，则（   ） A． B． C．8 D．13 【答案】B 【分析】根据题意可得存在，使得，进而列式求解即可. 【详解】因为，则存在，使得， 即， 则，解得，， 所以. 故选：B. 5.已知在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面为PC上一动点，，若为钝角，则实数的值可能为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】以为原点建系，根据得出即可判断. 【详解】以为原点，所在直线为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则， 因为，所以，则， 则， 故， 因为为钝角，所以，即， 又一元二次函数，，所以恒成立， 故，得， 故只有B选项满足题意. 故选：B    6.已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，满足，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】借助平面向量线性运算及空间中四点共面性质可得，再利用基本不等式“1”的活用计算即可得解. 【详解】因为，则， 所以， ， 当且仅当“”即“”时取“”， 故的最小值为 故选：B 7.已知是棱长为6的正方体的一条体对角线，点在正方体表面上运动，则的最小值为（    ） A．0 B．-9 C．-18 D．-36 【答案】C 【分析】求得正方体外接球的半径，根据空间向量的数量积运算求得的表达式，确定的最小值，即得答案. 【详解】如图， 是棱长为6的正方体的一条体对角线，则也是正方体外接球的一条直径，由正方体的特征可得其外接球半径为，设外接球球心为，则， 则 ， 由于点在正方体表面上运动，故的最小值为球心与正方体面的中心连线的长， 即为正方体棱长的一半，为，所以的最小值为. 故选：C 8.设空间两个单位向量，与向量的夹角都等于，则 ． 【答案】 【分析】由数量积的定义及坐标运算求出，再由向量模得到，即可求出，最后由夹角公式计算可得. 【详解】因为两个单位向量，与向量的夹角都等于， ，又，， ， ，， ，则，所以， ，， 故答案为：. 9.已知，，三点，点在平面内，点是平面外一点，且，则 ． 【答案】/ 【分析】由空间向量共面的推论可得，再应用空间向量夹角的坐标公式求夹角余弦值. 【详解】因为四点共面，， 所以，则， 所以，，则，， 所以，，， 所以. 故答案为： 10.已知三棱锥的棱长均为4，点满足，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据向量的线性运算法则，将转化为，则题意求得的取值范围，即可得到的取值范围. 【详解】分别取，的中点，，则，即，故点的轨迹是以为球心，以为半径的球面． 又， 因为三棱锥的棱长均为4，所以三棱锥是正四面体，其每个面均为边长为的正三角形. 所以，. 因为， 所以，. 所以的取值范围为． 故答案为：． 11.已知空间向量、、两两垂直，空间中点满足，记，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】不妨设，，，，由空间向量模的意义及条件可得，进而求出范围. 【详解】不妨设，，，则. 设，则有， 所以， 由，及， 因此得到等式，即， 所以. 故答案为：. 12.已知向量，． (1)若，求实数； (2)若向量与所成角为锐角，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)且. 【分析】（1）先求出，，根据向量垂直得到方程，求出； （2）由题意得到，且与不同向共线，从而得到不等式，求出答案. 【详解】（1）因为，， 所以，， 因为，所以，解得：； （2）因为向量与所成角为锐角， 所以，且与不同向共线， 由（1）知，，， 故， 解得且， 即的取值范围为且. 13.已知空间三点，，． (1)求向量与的夹角； (2)若，，求与夹角为锐角时，实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出向量与的坐标，根据数量积求向量与的夹角的余弦值，进而求得向量与的夹角； （2）根据与夹角为锐角，可得且与不共线，解不等式即得的取值范围． 【详解】（1）由已知得：，， 则， ∵，∴向量与的夹角为． （2）， ∵与夹角为锐角，∴且与不共线. 由，可得，解得① 当与共线时，存在实数，使得. 即，解得，∵与不共线，∴②， 由①②得. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 空间向量及其运算问题 目录 类型一、利用空间向量的线性运算求参数 类型二、空间向量的共线与共面问题 类型三、空间向量数量积的范围与最值问题 类型四、空间向量的投影、投影向量问题 类型五、空间向量的模与参数范围问题 类型六、空间向量的夹角与参数范围问题 压轴专练 类型一、利用空间向量的线性运算求参数 解题技巧： 1.空间向量的加减运算 加法运算 三角形法则 语言叙述 首尾顺次相接，首指向尾为和 图形叙述 平行四边形法则 语言叙述 共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和 图形叙述 减法运算 三角形法则 语言叙述 共起点，连终点，方向指向被减向量 图形叙述 2.空间向量的数乘运算 定义 与平面向量一样，实数λ与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为空间向量的数乘 几何意义 与向量的方向相同 的长度是的长度的倍 与向量的方向相反 ，其方向是任意的 3.空间向量的运算律 交换律 结合律 ， 分配律 例1．平行六面体中，，则实数的值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 变式1-1．如图，设为平行四边形所在平面外任意一点，为的中点，若，则的值是（    ） A． B．0 C． D． 变式1-2．《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，M，N分别是的中点，是的中点，若，则（    ）    A． B． C． D． 变式1-3．设是四面体，是的重心，G是上的一点，且，若，则 . 变式1-4．在正四面体ABCD中，P是内部或边界上一点，满足，． 设，求的取值范围． 类型二、空间向量的共线与共面问题 解题技巧： 共线向量与共面向量 1、共线（平行）向量的定义：若表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，若与是共线向量，则记为． 2、共线向量定理：对空间任意两个向量，的充要条件是存在实数，使． 3、共面向量定理：如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使 4、拓展 对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）． 例2.已知空间中，，，四点共面，则（    ） A． B． C．1 D．2 变式2-1．已知A，B，C三点共线，O为空间任一点，则①；②存在三个不为0的实数，m，n，使，那么使①②成立的与的值分别为（    ） A．1， B．，0 C．0，1 D．0，0 变式2-2．已知基底，，，若，则 . 变式2-3．已知三棱锥中，点平面ABC，若，则 . 变式2-4．在空间四边形中，已知空间内一点满足，若，，共面，则 . 类型三、空间向量数量积的范围与最值问题 解题技巧： 1．空间向量的数量积 已知两个非零向量，则叫做的数量积，记作，即． 零向量与任意向量的数量积为0，即. 2．数量积的运算律 数乘向量与数量积的结合律 交换律 分配律 3.解题步骤 ①建系代数化：根据几何体特征建立空间直角坐标系，确定各定点坐标，将动点坐标设为含参数的形式，把几何向量问题转化为坐标运算问题。 ②数量积坐标化：用坐标表示相关向量，依据数量积坐标公式写出数量积的代数表达式（通常为关于参数的函数）。 ③锁定参数范围：结合几何图形的位置约束（如点在线段/面上、角度范围等），明确参数的取值区间，这是求最值的关键前提。 ④核心求最值方法：二次函数型：利用对称轴、开口方向，结合参数范围求最值；分式/根式型：用均值不等式、分析单调性求最值； ⑤验证取等条件：检验最值对应的参数值是否在有效范围内，且符合几何图形的实际位置，排除无效解。 4. 极化恒等式解决共起点的向量数量积问题 例3．在正三棱柱中，，点为侧面内的一点，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 变式3-1．已知是棱长为1的正方体表面上不同的三点，则的最小值是 变式3-2．（多选）在平行六面体中，，，且，则的值可能为（   ） A．2 B．4 C．5 D．6 变式3-3．在正方体中，，P是棱的中点，E，F是矩形内的任意两点（包括边界），则的最小值是 . 变式3-4．在棱长为4的正方体中，点在该正方体表面上运动，球为该正方体的内切球，为球的一条直径，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 类型四、空间向量的投影、投影向量问题 解题技巧： 投影与投影向量 （1）投影：向量在向量上的投影为 （2）投影向量：在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，，向量称为向量在向量上的投影向量 例4-1．已知向量，则向量在向量上的投影向量（   ） A． B． C． D． 例4-2．空间向量，向量与夹角为，且，若在上的投影向量为，则等于 ． 变式4-1．若向量，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 变式4-2．如图，在长方体中，是的中点，，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 变式4-3．若，，，则在上的投影向量的模为（    ） A． B． C． D． 类型五、空间向量的模与参数范围问题 解题技巧： 利用向量方法求长度或距离的基本方法 （1）将相应线段用向量表示,通过向量运算来求对应向量的模. （2）因为a·a=|a|2,所以|a|=,这是利用向量解决长度或距离问题的基本公式.另外,该公式还可以推广为|a±b|==. （3）若，则，即 例5-1．已知空间向量，，两两夹角均为，其模均为1，则 . 例5-2．已知空间向量，，，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 变式5-1．正方体棱长为4，点满足，点满足，则的最小值为 . 变式5-2．如图所示，为棱长为1的正方体内部（含边界）一点，则的最值之和为（   ） A． B． C． D． 变式5-3．已知、是空间相互垂直的单位向量，且，，则的最小值是 . 变式5-4．（1）已知，． ①当时，求实数的值；②当时，求实数的值． （2）已知，，求的最小值 类型六、空间向量的夹角与参数范围问题 解题技巧： 求两个非零向量夹角 1.如图，已知两个非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量的夹角，记作， 夹角的范围：，特别地，如果，那么向量互相垂直，记作 2.为锐角；为钝角．由此，通常通过计算的值来判断两向量夹角是锐角还是钝角． 例6-1．已知为单位向量，且与夹角的余弦值为，向量，则（   ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值 例6-2．已知空间中三点，，. (1)求平行四边形的顶点的坐标； (2)当与的夹角为钝角时，求的范围. 变式6-1．已知，，若与夹角是钝角，则取值范围是 . 变式6-2．已知向量，，则“与的夹角为钝角”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变式6-3．已知向量． (1)若，求实数k； (2)若向量与所成角为锐角，求实数k的取值范围． 变式6-4．已知空间四点，，，. (1)若、、、四点共面，求的值； (2)求直线和直线夹角余弦值的取值范围. 压 轴专练 1.向量、不平行，则存在两个非零常数、，使是、、共面的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 2.已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（   ） A． B． C． D． 3.已知，，，四点共面于，且其中任意三点均不共线.设为空间中任意一点且，若，则（   ） A．0 B．1 C． D． 4.已知非零向量，，且、、不共面，若，则（   ） A． B． C．8 D．13 5.已知在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面为PC上一动点，，若为钝角，则实数的值可能为（   ） A． B． C．1 D．2 6.已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，满足，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7.已知是棱长为6的正方体的一条体对角线，点在正方体表面上运动，则的最小值为（    ） A．0 B．-9 C．-18 D．-36 8.设空间两个单位向量，与向量的夹角都等于，则 ． 9.已知，，三点，点在平面内，点是平面外一点，且，则 ． 10.已知三棱锥的棱长均为4，点满足，则的取值范围为 ． 11.已知空间向量、、两两垂直，空间中点满足，记，则的取值范围为 . 12.已知向量，． (1)若，求实数； (2)若向量与所成角为锐角，求实数的取值范围． 13.已知空间三点，，． (1)求向量与的夹角； (2)若，，求与夹角为锐角时，实数的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $