第02讲 空间向量的数量积（八大题型+思维导图+知识梳理+课后作业）（寒假预习讲义）-2026年高二数学寒假预科讲义（苏教版）

第02讲 空间向量的数量积 【苏教版】 模块一 空间向量的夹角与数量积 1．空间向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉． (2)范围：0≤〈a，b〉≤π. 特别地，当〈a，b〉＝时，a⊥b. 2．空间向量的数量积 定义 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b. 即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 性质 ①a⊥b⇔a·b＝0 ②a·a＝a2＝|a|2 运算律 ①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R. ②a·b＝b·a(交换律)． ③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律). 3．空间向量夹角的计算 求两个向量的夹角：利用公式＝求，进而确定． 4．空间向量数量积的计算 求空间向量数量积的步骤： (1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式． (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积． (3)代入求解． 5．空间向量数量积的应用 (1)利用公式和，可以解决空间中有关距离或长度的问题； (2)利用公式＝可以解决两向量夹角，特别是两异面直线夹角的问题. 【题型1 空间向量数量积的概念辨析】 【例1】（24-25高二上·内蒙古赤峰·期中）关于空间向量，，，下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据空间向量数量积的运算律可知选项A，B，C正确；根据与表示的意义可知选项D错误. 【解答过程】由数量积运算的交换律可得,选项A正确. 由数量积运算的分配率可得，选项B正确. 由数量积运算的数乘结合律可得，选项C正确. 表示与共线的向量，表示与共线的向量，与不一定相等，选项D错误. 故选：D. 【变式1.1】（24-25高二上·山东·阶段练习）对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B． C．若，则，的夹角是钝角 D． 【答案】B 【解题思路】由空间向量的位置关系可得A错误；由数量积的运算律可得B正确，D错误；当两向量的夹角为时，也成立可得D错误； 【解答过程】对于A，若，，则或，故A错误； 对于B，由数量积的运算律可知，故B正确； 对于C，若，则，的夹角是钝角或反向共线，故C错误； 对于D，由数量积的运算律可知，等号左面与共线，等号右面与，两边不一定相等，故D错误； 故选：B. 【变式1.2】（24-25高二上·广东东莞·阶段练习）已知空间向量，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则与共线 C．若，则 D． 【答案】B 【解题思路】对ACD，举特例零向量判断即可；对B，根据数量积公式判断即可. 【解答过程】对A，若，则，不能得出，故A错误； 对B，，当与存在零向量时，与共线成立； 当与均不为零向量时，，故夹角为或，则与共线，故B正确； 对C，若，则，不能得出，故C错误； 对D，，，故不成立，故D错误； 故选：B. 【变式1.3】（24-25高二下·四川凉山·期中）对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（    ） A．若且，则 B． C．若，且，则 D． 【答案】B 【解题思路】根据数量积的运算律即可判断BCD，根据向量共线的性质即可求解A. 【解答过程】对于A，若，则且，不能得到，故A错误， 对于B，，B正确， 对于C，若，且，则，则，无法得出，所以C错误， 对于D，表示与共线的向量，而表示与共线的向量，所以与不一定相等，故D错误， 故选：B. 【题型2 空间向量数量积的计算】 【例2】（24-25高二下·甘肃兰州·期中）设正四面体的棱长为，，分别是，的中点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题意，得到，，结合向量的数量积的定义与运算，即可求得的值，得到答案. 【解答过程】如图所示，因为分别为的中点，可得，， 又因为四面体为正四面体，且棱长为， 可得 . 故选：D. 【变式2.1】（24-25高二上·新疆博尔塔拉·期末）如图，在棱长为2的正方体中，E是棱的中点，则（   ） A．4 B．5 C．6 D． 【答案】B 【解题思路】根据，计算可求数量积. 【解答过程】 . 故选：B. 【变式2.2】（24-25高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知，(其中，，是两两垂直的单位向量)，则与的数量积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据数量积的运算律计算即可. 【解答过程】由题意 . 故选：A. 【变式2.3】（24-25高二下·福建龙岩·期中）如图，在斜三棱柱中，，，，则（    ） A．48 B．32 C． D． 【答案】C 【解题思路】把变成，然后再根据空间向量的数量积公式及运算律直接计算即可. 【解答过程】 . 故选：C. 【题型3 空间向量的夹角的计算】 【例3】（24-25高二上·广东·期中）已知空间向量满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先根据已知化简得出，再两边平方结合数量积公式计算得出夹角余弦进而求出夹角. 【解答过程】设与的夹角为.由，得， 两边平方得，所以， 解得.又，所以. 故选：C. 【变式3.1】（24-25高二下·江苏·课前预习）如图，在直三棱柱中， ，，则向量与的夹角是（　　）    A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】C 【解题思路】由线面垂直推导出线线垂直，再利用向量运算及夹角公式运算求解. 【解答过程】∵平面，平面，平面， ∴. ∵，，∴， 又，∴E为的中点， ∴. ∵，∴. ∵ ∴＝, 又，∴. 故选：C. 【变式3.2】（24-25高二上·湖南·阶段练习）如图所示，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用基底表示出向量，然后求出的模，余弦定理求出的长，在中，利用余弦定理的变形即可求出 【解答过程】如图连接, 则 由题可知， ∴ ， ， ， ∴， 在中,, , 在中, 故选：D. 【变式3.3】（2025高二·全国·专题练习）已知空间向量满足，则向量的夹角为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由，求得，结合向量的夹角公式，即可求解. 【解答过程】由向量， 因为，可得，解得， 所以. 又因为，所以. 故选：D. 【题型4 利用空间向量的数量积求模】 【例4】（24-25高二上·重庆九龙坡·阶段练习）已知空间单位向量，，两两垂直，则（ ） A． B． C．3 D．6 【答案】A 【解题思路】根据向量数量积的定义和运算律，可求得，由此可得结果. 【解答过程】由题意，，，，， ， . 故选：A. 【变式4.1】（24-25高二上·云南·期中）已知空间单位向量，，两两垂直，则（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】D 【解题思路】根据向量数量积的定义和运算律，可求得，由此可得结果. 【解答过程】由题意，，，，， ， . 故选：D. 【变式4.2】（24-25高二上·江苏南通·期末）已知平行六面体的所有棱长均为，，则对角线的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据向量的线性运算，可得的表达式，两边平方即可求得. 【解答过程】由已知：平行六面体所有棱长均为， ，则， 又因为：， 同理可得：， 则 ，则. 故选：D. 【变式4.3】（24-25高二上·河北邯郸·期末）如图，已知三棱锥的侧棱，，且两两所成的角均为60°．若空间中的点D，E满足，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先利用余弦定理求出，再对已知式子化简可得，，从而可得点D，E分别在以AB，AC为直径的球面上，进而可求出的最大值. 【解答过程】因为，，且两两所成的角均为60°， 所以， ． 由，得， 所以， 由，得， 所以，所以， 因此点D，E分别在以AB，AC为直径的球面上，两个球的半径分别为，， 设点，分别是AB，AC的中点，则， 所以DE的最大值为， 故选：A． 【题型5 向量垂直的应用】 【例5】（24-25高二上·内蒙古赤峰·期末）如图，设动点在棱长为的正方体的对角线上（不含端点），，当为直角时，的值是（    ）    A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【解题思路】用表示，再根据它们的数量积为零可求的值. 【解答过程】由题设有， 故， 而， 同理，， 因为为直角，故， 故，故， 故（舍）或， 故选：D. 【变式5.1】（24-25高二上·山东潍坊·期中）A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足，，，M为的中点，则是（    ） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．不确定 【答案】C 【解题思路】利用向量数量积的运算律计算可得，即可判断得出结论. 【解答过程】因为M为的中点，所以， 可得， 所以，即， 可得是直角三角形. 故选：C. 【变式5.2】（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在三棱锥中，，，两两垂直，且，为的中点. (1)证明：；（用向量方法证明） (2)求直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）根据空间向量的线性运算易得，，进而结合空间向量的数量积计算即可； （2）利用空间向量的数量积的定义求解即可. 【解答过程】（1）证明：由题意，因为，， 所以 ， 所以，即. （2）由（1）知，， 所以 ， 又， 所以， 即直线与所成角的余弦值为. 【变式5.3】（2025高二·全国·专题练习）如图，正方体的棱长是，和相交于点． (1)求； (2)判断与是否垂直． 【答案】(1) (2)垂直 【解题思路】（1）根据数量积的定义直接计算即可； （2）计算与的数量积，根据结果可得答案. 【解答过程】（1）正方体中，， 故. （2）由题意，， ， 故与垂直. 【题型6 向量数量积的应用】 【例6】（24-25高二上·湖北·期中）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱的长度都为，且.    (1)求的长度； (2)求直线和直线所成角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）设，，，将用、、表示，利用空间向量数量积的运算性质可求得线段的长度； （2）计算得出，利用空间向量数量积的运算性质可求得直线和直线所成角的余弦值. 【解答过程】（1）设，，， 由题意可知，，， 由空间向量数量积的定义可得， ， 则， 故. （2）， 则， ，则. 故直线和直线所成角的余弦值为. 【变式6.1】（25-26高二上·全国·课堂例题）在平行六面体中，，，，，． (1)求； (2)求证：； (3)求的长． 【答案】(1)10 (2)证明见解析 (3) 【解题思路】（1）由向量数量积的定义计算即可； （2）根据数量积为0证明垂直； （3）由，再计算模长即可. 【解答过程】（1）； （2）因为， 所以； （3）因为， 所以 . 所以. 【变式6.2】（24-25高二上·浙江台州·阶段练习）如图，在三棱锥中，若，，，点为棱上一点，且，点为线段的中点 (1)求的长度； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据向量的四则运算，用，，表示，结合向量数量积的运算律求解即可； （2）根据向量数量积公式和运算律求解即可. 【解答过程】（1）因为为线段的中点，，所以，， 所以 ， 又因为，， 所以. （2）由（1）得 ， 所以， 则异面直线与所成角的余弦值为. 【变式6.3】（2025高二·全国·专题练习）如图，正方体的棱长是，和相交于点． (1)求； (2)求与的夹角的余弦值 (3)判断与是否垂直． 【答案】(1) (2) (3)垂直 【解题思路】（1）利用数量积的公式可得； （2）先用表示，利用数量积运算律可得、进而利用公式可得与的夹角的余弦值. （3）利用数量积运算律得，进而可得与是否垂直． 【解答过程】（1）正方体中，， 故. （2）由题意知，， ， ， 故， 故 . （3）由题意， ， ， 故与垂直. 【题型7 求空间向量数量积的最值（范围）】 【例7】（24-25高二上·海南·期中）已知是空间中的三个单位向量，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题意可求得，再结合数量积的定义分析运算. 【解答过程】因为，则， ， 又， 故当，即与同向时，有最大值. 所以. 故选：D. 【变式7.1】（24-25高二上·黑龙江大庆·阶段练习）在棱长为的正方体中，是正方体外接球的直径，点是正方体表面上的一点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设正方体的外接球的球心为，球的半径为，分析可得，求出的取值范围，即可得出的取值范围，再由可得出的取值范围. 【解答过程】设正方体的外接球的球心为，球的半径为， 则，可得，所以， 又 ， 当为正方体某个面的中心时，取最小值； 当与正方体的顶点重合时，取最大值. 则，所以. 所以，.    故选：C. 【变式7.2】（24-25高二上·河北保定·开学考试）正方体的棱长为2，P是空间内的动点，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】取的中点M，连接，取的中点N，连接，则由已知条件可得动点P的轨迹为正方体的外接球，然后由向量的运算可得，从而可求得结果. 【解答过程】取的中点M，连接， 则，则，即， 故动点P的轨迹为以M为球心，为半径的球. 由正方体的棱长为2，可知正方体外接球的半径为3， 即动点P的轨迹为正方体的外接球. 取的中点N，连接， 则 . 由题可知，，则，， 则. 所以的最小值为， 故选：C. 【变式7.3】（24-25高二上·河北保定·阶段练习）在棱长为1的正方体中，P为正方体内一动点（包括表面），若，且．则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由题意得点在三棱柱内，设为的中点，由，求出的取值范围可得答案． 【解答过程】满足的点在三棱柱内． 如图，设为的中点，连接相交于点，连接， 因为，，且，平面， 所以平面，又，所以平面，且， ，所以， 所以． 因为，所以的取值范围为． 故选：D. 模块二 向量的投影 1．向量的投影 (1)如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图(2))． (2)如图(3)，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为，得到，向量称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角． 【题型8 投影向量的求解】 【例8】（24-25高一下·山西大同·期末）已知向量满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据数量积的运算律可求得，根据投影向量定义直接求解即可. 【解答过程】，，， ，， ，，. 故选：C. 【变式8.1】（24-25高二上·河北唐山·期中）在空间四边形中，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】在四面体中，用向量加法法则表示，再结合投影向量的计算方法求解. 【解答过程】在四面体中，因为， 设，且，， 则， 在上的投影向量为. 故选：B. 【变式8.2】（24-25高二上·河南洛阳·阶段练习）如图，在八面体中，平面均垂直于底面，且，则下列向量中与向量在平面上的投影向量相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】取分别为的中点，连接，结合题意，由面面垂直的性质定理结合共线向量的定义即可求解. 【解答过程】取分别为的中点，连接， 因为，所以， 因为平面平面，平面平面平面， 所以平面， 同理可得平面， 所以向量在平面上的投影向量为，且. 故选：C. 【变式8.3】（24-25高二上·宁夏银川·阶段练习）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量的模长为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由空间向量在向量方向上的投影数量为，运算即可得解. 【解答过程】由题意，，，， 则空间向量在向量方向上的投影数量为. 所以所求投影向量的模长为2. 故选：A. 一、单选题 1．（24-25高二上·安徽安庆·阶段练习）给出下列四个命题，其中正确的有（    ） （1）若空间向量，，，满足，，则； （2）空间任意两个单位向量必相等； （3）对于非零向量，由，则； （4）在向量的数量积运算中 A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 【答案】A 【解题思路】根据题意，由空间向量的相关性质以及运算，逐一判断，即可得到结果. 【解答过程】对于（1），当时，与不一定平行，故（1）错误； 对于（2），空间任意两个单位向量的模长相等，方向不一定相同，故（2）错误； 对于（3），取，满足， 且，但是，故（3）错误； 对于（4），因为与都是常数，所以和表示两个向量， 若与方向不同，则与不相等，故（4）错误； 故选：A. 2．（24-25高一上·重庆·期末）已知空间向量，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据模长公式即可代入求解. 【解答过程】由可得， 故，故， 故选：B. 3．（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）如图，已知平面，，，则向量在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据线面垂直以及已知角度求出，再结合投影向量可求得结果. 【解答过程】平面ABC，则，， 向量在上的投影向量为. 故选：D. 4．（24-25高二上·湖南株洲·期末）在正四棱台中，，，，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【解题思路】根据空间向量法求. 【解答过程】在正四棱台中，过点向作垂线，垂足为点， 则，所以， . 故选：A. 5．（25-26高二上·全国·课后作业）在空间四边形中，，，则的值是（    ） A． B． C． D．0 【答案】D 【解题思路】利用，以及两个向量的数量积的定义可得的值，即可得出结果． 【解答过程】由题意 ， 又，即，得， 所以． 故选：D． 6．（24-25高二上·广东·阶段练习）设是空间不共面的四点，且满足，则是（    ） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【解题思路】利用余弦定理证明的内角都为锐角即可. 【解答过程】设， 因为， 所以， 因此 从而， 即的三个内角都为锐角，因此是锐角三角形， 故选：. 7．（25-26高二上·全国·单元测试）正多面体又称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形），数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．已知正四面体的棱的中点为，且（点为空间中一动点），则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】取的中点，则，根据向量加法的几何性质求出的取值范围即可求解. 【解答过程】取的中点，由题意则， 所以， 又因为，所以，当且仅当方向相同时等号成立； ，当且仅当方向相反时等号成立， 因为正四面体的棱长为2，所以在中，，，， 所以，即， 所以，， 又，所以，即， 所以的最大值为, 故选：B. 8．（25-26高二上·全国·单元测试）如图，在三棱柱中，分别是，上的点，且，．设，，，若，，，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】对于A，根据向量的线性运算法则利用基底，，表示即可判断，对于B，由，结合模的性质及数量积的运算律求，即可判断，对于C，由基底，，表示，计算，即可判断，对于D，计算，，利用向量夹角公式求即可判断. 【解答过程】对于A， ，A错误； 对于B，由题可知，，， 所以 ， 所以，B错误； 对于C，因为，， 所以，所以不垂直，C错误， 对于D，由选项C的解析可得， ，，， 所以， ， 所以 ,D正确， 故选：D. 二、多选题 9．（25-26高二上·全国·课后作业）（多选）已知空间向量，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C． D．若向量同向共线，则 【答案】AD 【解题思路】根据空间向量数量积和空间向量共线逐一判断，即可得出结果． 【解答过程】选项A，因为，所以A正确； 选项B，当时，，但无法得到，所以B错误； 选项C，，，而与未必共线且不一定同时为，所以C错误； 选项D，由于向量同向共线，所以，所以，所以D正确． 故选：AD． 10．（25-26高二上·全国·单元测试）已知空间单位向量，，两两之间的夹角均为60°，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解题思路】对于A，由数量积定义可判断选项正误；对于B，由题可得，然后由数量积运算律可判断选项正误；对于C，由题可得，然后由向量模长公式可判断选项正误；对于D，由题可得，据此可判断选项正误. 【解答过程】对于A，由题：，故A正确； 对于B， ，故B正确； 对于C，由，得，由，得 ，所以， 则 ．故C正确； 对于D，，所以 ，故．故D错误. 故选：ABC. 11．（2025·福建宁德·模拟预测）已知空间单位向量，，两两夹角均为，，，则下列说法中正确的是（    ） A．、、、四点可以共面 B． C． D． 【答案】BC 【解题思路】根据向量共面即可判断点共面，进而可判断A，根据数量积的运算律即可求解B，根据模长的计算公式即可判断C，根据夹角公式即可求解D. 【解答过程】由于单位向量，，两两夹角均为， 所以， 假设、、、四点可以共面，则共面， 所以存在，使得，分别用，，与点乘， 则，由于该方程组无解，所以不存在，使得共面， 故、、、四点不共面，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，由得， 由得, 所以， 则 ,故C正确； 对于D，， ， 故，故D错误； 故选：BC. 三、填空题 12．（24-25高二上·湖南常德·阶段练习）已知空间向量，，两两夹角均为，其模均为1，则 . 【答案】 【解题思路】根据已知，应用空间向量数量积的运算律求模长. 【解答过程】 . 故答案为：. 13．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，平行六面体的所有棱长均为2，两两所成夹角均为，点分别在棱上，且，，则 ． 【答案】 【解题思路】设，连接，根据向量的线性运算法则，化简得到，，结合向量的数量积的运算公式，即可求解. 【解答过程】由平行六面体的所有棱长均为2，且两两所成夹角均为， 设，则 且， 如图所示，连接，由，， 可得， 所以 . 故答案为：. 14．（24-25高二上·湖北荆门·期中）已知空间四边形各边及对角线长都相等，分别为的中点，则向量与夹角的余弦值为 . 【答案】 【解题思路】根据向量的四则运算，用表示，，再根据数量积的计算公式和运算律求解即可. 【解答过程】如图，设，，，， 由题意易知，则， 因为，，， 所以， 所以, 所以向量与夹角的余弦值为， 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高二上·全国·课后作业）已知正四面体的棱长为1，如图所示.求： (1)； (2). 【答案】(1) (2)1 【解题思路】（1）根据题意易得，，进而根据空间向量的数量积计算即可； （2）根据空间向量的数量积的运算性质求解即可. 【解答过程】（1）在正四面体中，， ， 则. （2） . 16．（24-25高二上·上海·课后作业）已知，与、的夹角都是，并且，，．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据数量积的运算律，结合数量积的定义即可求得答案； （2）利用向量模的计算公式，结合数量积的运算律以及数量积定义，即可求得答案. 【解答过程】（1）由题意知，与、的夹角都是，并且，，， 故 ； （2） . 17．（24-25高二上·浙江台州·阶段练习）如图，在三棱锥中，若，，，点为棱上一点，且，点为线段的中点 (1)求的长度； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据向量的四则运算，用，，表示，结合向量数量积的运算律求解即可； （2）根据向量数量积公式和运算律求解即可. 【解答过程】（1）因为为线段的中点，，所以，， 所以 ， 又因为，， 所以. （2）由（1）得 ， 所以， 即异面直线与所成角的余弦值为. 18．（24-25高二上·福建三明·开学考试）已知空间向量与夹角的余弦值为，且，，令，． (1)求，为邻边的平行四边形的面积S； (2)求，夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用算出答案即可； （2）分别求出、、的值即可. 【解答过程】（1）根据条件，，∴； ∴； （2） ； ， ； ∴. 19．（24-25高二上·湖北宜昌·期中）如图，在三棱柱中，，，，点满足.    (1)用表示； (2)若三棱锥的所有棱长均为，求及. 【答案】(1) (2)， 【解题思路】（1）根据，可表示出； （2）先确定的模长以及两两之间的夹角，然后根据计算出， 再根据展开计算求得结果. 【解答过程】（1）因为，所以， 所以 . （2）因为三棱锥的所有棱长均为， 所以，所以， 所以， 所以 ， 所以 . 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 空间向量的数量积 【苏教版】 模块一 空间向量的夹角与数量积 1．空间向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉． (2)范围：0≤〈a，b〉≤π. 特别地，当〈a，b〉＝时，a⊥b. 2．空间向量的数量积 定义 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b. 即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 性质 ①a⊥b⇔a·b＝0 ②a·a＝a2＝|a|2 运算律 ①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R. ②a·b＝b·a(交换律)． ③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律). 3．空间向量夹角的计算 求两个向量的夹角：利用公式＝求，进而确定． 4．空间向量数量积的计算 求空间向量数量积的步骤： (1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式． (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积． (3)代入求解． 5．空间向量数量积的应用 (1)利用公式和，可以解决空间中有关距离或长度的问题； (2)利用公式＝可以解决两向量夹角，特别是两异面直线夹角的问题. 【题型1 空间向量数量积的概念辨析】 【例1】（24-25高二上·内蒙古赤峰·期中）关于空间向量，，，下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式1.1】（24-25高二上·山东·阶段练习）对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B． C．若，则，的夹角是钝角 D． 【变式1.2】（24-25高二上·广东东莞·阶段练习）已知空间向量，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则与共线 C．若，则 D． 【变式1.3】（24-25高二下·四川凉山·期中）对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（    ） A．若且，则 B． C．若，且，则 D． 【题型2 空间向量数量积的计算】 【例2】（24-25高二下·甘肃兰州·期中）设正四面体的棱长为，，分别是，的中点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2.1】（24-25高二上·新疆博尔塔拉·期末）如图，在棱长为2的正方体中，E是棱的中点，则（   ） A．4 B．5 C．6 D． 【变式2.2】（24-25高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知，(其中，，是两两垂直的单位向量)，则与的数量积等于（    ） A． B． C． D． 【变式2.3】（24-25高二下·福建龙岩·期中）如图，在斜三棱柱中，，，，则（    ） A．48 B．32 C． D． 【题型3 空间向量的夹角的计算】 【例3】（24-25高二上·广东·期中）已知空间向量满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（24-25高二下·江苏·课前预习）如图，在直三棱柱中， ，，则向量与的夹角是（　　）    A．30° B．45° C．60° D．90° 【变式3.2】（24-25高二上·湖南·阶段练习）如图所示，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，且，则（ ） A． B． C． D． 【变式3.3】（2025高二·全国·专题练习）已知空间向量满足，则向量的夹角为（ ） A． B． C． D． 【题型4 利用空间向量的数量积求模】 【例4】（24-25高二上·重庆九龙坡·阶段练习）已知空间单位向量，，两两垂直，则（ ） A． B． C．3 D．6 【变式4.1】（24-25高二上·云南·期中）已知空间单位向量，，两两垂直，则（    ） A．1 B． C．3 D． 【变式4.2】（24-25高二上·江苏南通·期末）已知平行六面体的所有棱长均为，，则对角线的长为（    ） A． B． C． D． 【变式4.3】（24-25高二上·河北邯郸·期末）如图，已知三棱锥的侧棱，，且两两所成的角均为60°．若空间中的点D，E满足，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【题型5 向量垂直的应用】 【例5】（24-25高二上·内蒙古赤峰·期末）如图，设动点在棱长为的正方体的对角线上（不含端点），，当为直角时，的值是（    ）    A．2 B．1 C． D． 【变式5.1】（24-25高二上·山东潍坊·期中）A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足，，，M为的中点，则是（    ） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．不确定 【变式5.2】（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在三棱锥中，，，两两垂直，且，为的中点. (1)证明：；（用向量方法证明） (2)求直线与所成角的余弦值. 【变式5.3】（2025高二·全国·专题练习）如图，正方体的棱长是，和相交于点． (1)求； (2)判断与是否垂直． 【题型6 向量数量积的应用】 【例6】（24-25高二上·湖北·期中）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱的长度都为，且.    (1)求的长度； (2)求直线和直线所成角的余弦值. 【变式6.1】（25-26高二上·全国·课堂例题）在平行六面体中，，，，，． (1)求； (2)求证：； (3)求的长． 【变式6.2】（24-25高二上·浙江台州·阶段练习）如图，在三棱锥中，若，，，点为棱上一点，且，点为线段的中点 (1)求的长度； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【变式6.3】（2025高二·全国·专题练习）如图，正方体的棱长是，和相交于点． (1)求； (2)求与的夹角的余弦值 (3)判断与是否垂直． 【题型7 求空间向量数量积的最值（范围）】 【例7】（24-25高二上·海南·期中）已知是空间中的三个单位向量，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式7.1】（24-25高二上·黑龙江大庆·阶段练习）在棱长为的正方体中，是正方体外接球的直径，点是正方体表面上的一点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式7.2】（24-25高二上·河北保定·开学考试）正方体的棱长为2，P是空间内的动点，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【变式7.3】（24-25高二上·河北保定·阶段练习）在棱长为1的正方体中，P为正方体内一动点（包括表面），若，且．则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 模块二 向量的投影 1．向量的投影 (1)如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图(2))． (2)如图(3)，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到，向量称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角． 【题型8 投影向量的求解】 【例8】（24-25高一下·山西大同·期末）已知向量满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【变式8.1】（24-25高二上·河北唐山·期中）在空间四边形中，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【变式8.2】（24-25高二上·河南洛阳·阶段练习）如图，在八面体中，平面均垂直于底面，且，则下列向量中与向量在平面上的投影向量相等的是（    ） A． B． C． D． 【变式8.3】（24-25高二上·宁夏银川·阶段练习）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量的模长为（    ） A．2 B． C． D． 一、单选题 1．（24-25高二上·安徽安庆·阶段练习）给出下列四个命题，其中正确的有（    ） （1）若空间向量，，，满足，，则； （2）空间任意两个单位向量必相等； （3）对于非零向量，由，则； （4）在向量的数量积运算中 A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 2．（24-25高一上·重庆·期末）已知空间向量，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）如图，已知平面，，，则向量在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·湖南株洲·期末）在正四棱台中，，，，则（    ） A． B．2 C． D． 5．（25-26高二上·全国·课后作业）在空间四边形中，，，则的值是（    ） A． B． C． D．0 6．（24-25高二上·广东·阶段练习）设是空间不共面的四点，且满足，则是（    ） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 7．（25-26高二上·全国·单元测试）正多面体又称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形），数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．已知正四面体的棱的中点为，且（点为空间中一动点），则的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·全国·单元测试）如图，在三棱柱中，分别是，上的点，且，．设，，，若，，，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高二上·全国·课后作业）（多选）已知空间向量，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C． D．若向量同向共线，则 10．（25-26高二上·全国·单元测试）已知空间单位向量，，两两之间的夹角均为60°，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（2025·福建宁德·模拟预测）已知空间单位向量，，两两夹角均为，，，则下列说法中正确的是（    ） A．、、、四点可以共面 B． C． D． 三、填空题 12．（24-25高二上·湖南常德·阶段练习）已知空间向量，，两两夹角均为，其模均为1，则 . 13．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，平行六面体的所有棱长均为2，两两所成夹角均为，点分别在棱上，且，，则 ． 14．（24-25高二上·湖北荆门·期中）已知空间四边形各边及对角线长都相等，分别为的中点，则向量与夹角的余弦值为 . 四、解答题 15．（24-25高二上·全国·课后作业）已知正四面体的棱长为1，如图所示.求： (1)； (2). 16．（24-25高二上·上海·课后作业）已知，与、的夹角都是，并且，，．计算： (1)； (2)． 17．（24-25高二上·浙江台州·阶段练习）如图，在三棱锥中，若，，，点为棱上一点，且，点为线段的中点 (1)求的长度； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 18．（24-25高二上·福建三明·开学考试）已知空间向量与夹角的余弦值为，且，，令，． (1)求，为邻边的平行四边形的面积S； (2)求，夹角的余弦值． 19．（24-25高二上·湖北宜昌·期中）如图，在三棱柱中，，，，点满足.    (1)用表示； (2)若三棱锥的所有棱长均为，求及. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $