2025-2026学年九年级寒假中考专题训练：圆几何小综合（适合重庆）

圆的综合练习 姓名： 班级： 一、填空题 1,(2025重庆·中考真题)如图，AB是⊙0的直径，点C在O0上，连接AC.以AC为边 作菱形ACDE,CD交OO于点F,AB⊥CD,垂足为G.连接AD,交OO于点H,连接 EH.若AG=12,GF=5,则DF的长度为 ,EH的长度为 【答案】 号g1BG 4 【难度】0.4 【知识点】利用菱形的性质求线段长、利用垂径定理求值、圆周角定理、解直角三角形的相 关计算 【分析】本题主要考查了垂径定理、圆周角定理、菱形的性质、解直角三角形等知识点，正 确作出辅助线、运用解直角三角形解决问题成为解题的关键， 由垂径定理以及勾股定理可得CG=GF=5,即CF=2CG=10、AC=13,由菱形的性质可 得CD=AC=13,进而得到GD=8、DF=3、AD=4V3；如图：连接BC,BH,由圆周 角定理可得∠4CB=90°、∠AH8=90,再解直角三角形可得B=169、H=2店，由 12 A 菱形的性质以及平行线的性质可得∠DAE=∠CDA,如图：过H作HM⊥AE于M,解直角 三角形可行M州-？、A仙一号、易得E=悬后根锯垂直平分袋的性质求解即可。 【详解】解：：AB⊥CD,AG=12,GF=5, .CG=GF=5,ECF=2CG=10, .AC=VAG2+CG2=V122+52=13, :菱形ACDE, .CD=AC=13, GD=CD-GC=13-5=8,DF=CD-CF=13-10=3; 试卷第1页，共3页 AD=VAG2+GD2=122+82=4V13 如图：连接BC,BH, B :AB是O0的直径， .∠ACB=90°，∠AHB=90° :cos∠CAB=4C=4C 即213 AC AB 13 AB 解得：AB=169 12 12 AH COS∠DAB= AG AH AD AB ，即4√13169， 12 解5：-号： :菱形ACDE, CD∥AE, ∠DAE=∠CDA, 如图：过H作HM⊥AE于M, sin∠DAE=sin∠GDA,cos∠DAE=cos∠GDA, MH AG AM GD AH AD'AH AD MH=12,AM=& 、13134√131313 4v13, 4 (MH=AM-3 2, ME=AE-AM=13-13-13 22 :AM ME, HM垂直平分AE, 试卷第1页，共3页 ÷EH=AH=35, 故答案为：3； 2.(2024重庆·中考真题)如图，以AB为直径的00与AC相切于点A,以AC为边作平行 四边形ACDE,点D、E均在OO上，DE与AB交于点F,连接CE,与OO交于点G,连 接DG.若AB=10,DE=8,则AF=一·DG= 【答案】 2020s 1313 【难度】0.4 【知识点】利用垂径定理求值、半圆（直径）所对的圆周角是直角、切线的性质定理、相似 三角形的判定与性质综合 【分析】连接DO并延长，交⊙O于点H,连接GH,设CE、AB交于点M,根据四边形 ACDE为平行四边形，得出DE∥AC,AC=DE=8,证明AB⊥DE,根据垂径定理得出 DF=EF=DE=4,根据勾股定理得出0F=V0D-DF=3,求出 ,很据勾 AF=OA+OF=5+3=8:证明EFMACAM,得出ES=EM,求出FM=8, AC AM 股定理得出EM=VEF2+FM=4+8 41 3 ,证明aEFM∽aHGD,得出 FM EM 20W13 DG DH 求出DG= 13 【详解】解：连接DO并延长，交OO于点H,连接GH,设CE、AB交于点M,如图所示： B D ·以AB为直径的OO与AC相切于点A, 试卷第1页，共3页 AB⊥AC, .∠CAB=90°， :四边形ACDE为平行四边形， .DE∥AC,AC=DE=8, .∠BFD=∠CAB=90°， AB⊥DE, :DF=EF =-DE=4, 2 AB=10, D0=B0=A0=)AB=5) .0F=V0D2-DF2=3, AF=0A+0F=5+3=8; :DE∥AC, ∴.△EFM∽aCAM, EF FM ·ACAM AF-FM 即4FM 88-FM' 解得：FM= 31 :EM =EF2+FM2 /42+ 8)2 413 3 :DH为直径， .∠DGH=90°， LDGH=∠EFM, .DG=DG, .∠DEG=∠DHG, .△EFM∽aHGD, FM EM DG DH 试卷第1页，共3页 8 413 即3 DG 10 解得：DG=203 13 故答案为：8： 20W13 13 【点晴】本题主要考查了平行四边形的性质，垂径定理，圆周角定理，切线的性质，勾股定 理，三角形相似的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法 3.(2024重庆中考真题)如图，AB是⊙0的直径，BC是⊙0的切线，点B为切点.连接 AC交OO于点D,点E是OO上一点，连接BE,DE,过点A作AF∥BE交BD的延长线 于点F.若BC=5,CD=3,∠F=∠ADE,则AB的长度是 一；DF的长度是 E 【答案】 3/63 20 /23 3 3 【难度】0.65 【知识点】同弧或等弧所对的圆周角相等、半圆（直径）所对的圆周角是直角、切线的性质 定理、解直角三角形的相关计算 【分析】由直径所对的圆周角是直角得到∠ADB=∠BDC=90°，根据勾股定理求出BD=4, 则cosC=CD3 8C亏，由切线的性质得到∠A8C=90°，则可证明∠C=∠ABD,解直角三角形 即可求出AB= cos∠ABD3:连接AE,由平行线的性质得到∠B4F=∠ABE,再由 BD 20 ∠F=∠ADE,L4ADE=LABE,推出∠P=LBAP,得到BF=AB=0,则 DF=BF-BD=20-4=8 8 3 3 【详解】解：：AB是⊙O的直径， .∠ADB=∠BDC=90°， 试卷第1页，共3页 在RtABDC中，由勾股定理得BD=√BC2-CD2=4, .cosC= CD 3 BC5' :BC是⊙O的切线， .∠ABC=90°， ∠C+∠CBD=∠CBD+∠ABD=90°， .∠C=∠ABD, BD 420 在Rt△ABD中，AB= cos∠ABD了=3； 5 如图所示，连接AE, B :AF∥BE, .∠BAF=∠ABE, .∠F=∠ADE,∠ADE=∠ABE, .∠F=∠BAF, ·BF=AB= 3, :DF BF-BD= 20-4 8 3 3 故答案为：3了 208 【点晴】本题主要考查了切线的性质，同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角， 勾股定理，解直角三角形，等腰三角形的判定等等，证明∠F=∠BAF是解题的关键， 4.(25-26九年级上重庆期中)如图，在圆0的内接四边形ABCD中，AB=BC, AC=AD,点E为四边形ABCD对角线交点，过点C的切线与AB的延长线交于点F,若 an∠BCF=,AC=4,则圆O半径为一，AB=一 试卷第1页，共3页 【答案】 20 【难度】0.4 【知识点】圆周角定理、切线的性质定理、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的 相关计算 【分析】本题考查了圆的切线性质、圆周角定理、相似三角形及解直角三角形的综合应用等， 解题的关键是利用圆周角与圆心角的关系找到角的关系，结合三角函数和相似三角形求解. 连接A0并延长交CD于点N,连接BO,CO,设BO交AC于点Q,过点O作OP⊥BC于 点P,过点C作CM∥AD,交DB延长线于点M,先证明 ∠BCF=∠BDC=∠BDA=∠CoP=∠BOP-ZCOR,结合tm∠BCF=tama=分得出 tan∠Poc=CP、1 OP2,设PB=PC=x,则oP=2x,OB=0C=V5x,利用 S.BCxOP=oB×c0,得c0=BCg0P_45x =2,求出x=5 ,即可求半径， OB 5 2 用平行证明△4DE∽△CME,CM=CD,利用cosL4DC=c0sLC0B,求出DN 即可得CD=2DN=4,利用相似的性质即可求解 【详解】解：如图，连接AO并延长交CD于点N,连接BO,CO,设BO交AC于点Q, 过点O作OP⊥BC于点P,过点C作CM∥AD,交DB延长线于点M, M :0B=0C,OP⊥BC, 试卷第1页，共3页 BP=CP,∠COP=∠BOP= 1∠COB, :∠BDC= ∠C0B, 2 1 .∠BDC=∠COP=∠BOP= ∠COB, .FCLOC, .∠BCF+∠BC0=90°， :OP⊥BC, .∠C0P+∠BC0=90°， :∠BCF=∠BDC=∠COP=∠BOP=∠COB, .AB=BC, :AB=BC,OB⊥AC, A0=C0=4C=2,∠B04=∠B0C, :∠BCF=∠BDC=∠BDA=∠COP=∠BOP=I∠COB, 设∠BCF=∠BDC=∠BDA=∠COP=∠BOP= 2 ∠COB=a, :tan∠BCF=tana=2' 1 tan∠POC= CP 1 0P=2’ 设PB=PC=x,则0P=2x,0B=0C=VPC2+0P2=V5x, S.obc=BCxOP=OBxCO, 2 2 co=BCxOp45 OB5x=2, 2 5 :.OB=OC=5x= “00=0c2-cg=3 :CM∥AD, △ADE∽△CME,∠ADB=∠M, :∠ADB=LCDB, 试卷第1页，共3页 LM=∠CDB, .CM =CD, AD=AC, AN⊥CD,DN=CN, :∠ADC=∠ADB+∠CDB=2a=∠COB, ·cos∠ADC=cos∠COB=Og_3 CO 5 号得0号 :CD=2DN= 24 .△ADE∽△CME, 4 AD AE 即4CAE AE C04C-1E,即244AE, 5 解得：AE=20 11 故答案为： 520 2’11 5.(25-26九年级上·重庆阶段练习)如图，⊙0的直径AB垂直于弦CD,垂足为点H,点 F是D的中点，在CD延长线上取点E,连接0F,DF,EF,使得∠DFE=∠A0F, 若DF=4i3,cos∠DFE=3 13 .则⊙0的半径为一，HE=一 【答案】 698 13 39 【难度】0.4 【知识点】利用垂径定理求值、圆周角定理、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形 的相关计算 【分析】根据图周角定理得出乙ADF=40F,结合∠DFE=∠A0F,待出 试卷第1页，共3页 ∠ADF=∠DFE,则EF∥AD,，cOS∠DFE=coS∠ADF=3B ,根据垂径定理推论得出 13 OF⊥AD,AG=DG,解直角三角形求出DG,AG,勾股定理求出GF,设OO的半径为r, 在R1△AOG中，根据勾股定理列方程求出r,即可求出OO的半径；根据半径即可求出 GO,AO,AD,根据垂径定理得出AH⊥DC,证明△AGO∽aAHD,根据相似三角形的性质 求出DH,AH,过点D作DM⊥EF,结合EF∥AD,得出DM⊥AD,证明四边形FGDM 是矩形，得出DM=FG=8,再证明△ADH∽△DEM,求出DE,即可解答. 【详解】解：“AF=AF, :∠ADF=2∠A0F, :∠DFE=2 ∠AOF, ·,∠ADF=∠DFE, &EF∥AD,cos∠DFE=cos∠ADF-3i3 13 :点F是AD的中点，OF是半径， OF⊥AD,AG=DG, :DF=4V13, DG-4G-DF.C0sL4DF412.GF-DF-DG-)-12 13 设⊙0的半径为r, 在R1aA0G中，AO2=OG2+AG2, 即r2=(r-8)2+122, 解得：r=13, 即⊙0的半径为13： G0=OF-GF=13-8=5,A0=13,AD=24, :OO的直径AB垂直于弦CD,垂足为点H, .AH⊥DC, 即∠AHD=90°， ∠GAO=∠HAD,∠AGO=∠AHD=90°， .△AG0n△AHD, 试卷第1页，共3页 圆的综合练习 姓名： 班级： 重庆中考 15 题作为圆的小综合填空题，属于中档偏难题，核心考查圆的基本性质、与三角形 / 四边形的综合应用，侧重几何模型识别、边角转化和计算能力，解题关键是抓核心模型、找等量关系、简化解算步骤，以下是针对性的答题技巧和方法，附高频模型和避坑要点。 一、先明确核心考查范围（重庆考情专属） 重庆中考 15 题圆的综合不会考复杂的圆与圆位置关系、切线证明（切线多为条件），核心考点集中在： 圆的基本性质：垂径定理、同弧 / 等弧所对圆周角相等、圆心角与圆周角关系、直径所对圆周角为直角； 三角形综合：直角三角形勾股定理、等腰 / 等边三角形性质、解直角三角形（三角函数）、三角形相似 / 全等； 辅助线基础：连半径、作垂线、连直径所对圆周角、作弦心距； 计算核心：线段长、角度、面积（以线段长计算为主）。 二、解题核心步骤（固定流程，避免漏条件） 读题标条件→定核心模型→作辅助线→找等量关系→计算验证 标条件：把题干中的半径、直径、垂直、相等角 / 线段、三角函数值直接标在图上，圆的题无图先补图（按条件画精准示意图，避免视觉误差）； 定模型：根据条件快速判断核心模型（如垂径定理模型、直径直角模型、圆内接直角三角形等）； 作辅助线：优先选最简洁的辅助线（圆的题辅助线不超过 2 条，多则思路错）； 找关系：利用圆的性质转化边角，结合三角形定理列等式（勾股、三角函数、相似比）； 计算：重庆题计算量适中，多为整数 / 根式 / 分数，计算后回代验证（避免勾股数算错）。 1．如图，是的直径，点C在上，连接．以为边作菱形，交于点F，，垂足为G．连接，交于点H，连接．若，，则的长度为 ，的长度为 ． 2．如图，以为直径的与相切于点，以为边作平行四边形，点D、E均在上，与交于点，连接，与交于点，连接．若，则 ． ． 3．如图，是的直径，是的切线，点为切点．连接交于点，点是上一点，连接，，过点作交的延长线于点．若，，，则的长度是 ；的长度是 ． 4．如图，在圆的内接四边形中，，，点为四边形对角线交点，过点的切线与的延长线交于点，若，，则圆半径为 ， ． 5．如图，的直径垂直于弦，垂足为点，点是的中点，在延长线上取点，连接，，，使得，若，．则的半径为 ， ． 6．如图，已知是圆O的直径，弦于点H，过点B作圆O的切线交的延长线于点E，连接，F为的中点，连接．若圆O的半径为2，，则 ， ． 7．如图，为的直径；弦于点，且，，连接，以为边作菱形，点恰好落在弦上，连接交于点，则 ， ． 8．如图，⊙是的外接圆，过点A作的切线与的延长线交于点D，E在上且，连接，，已知，，则 ；若点F在的延长线上，与交于点G且，则 ． 9．如图，线段是的直径，点B在上，四边形是平行四边形，于点E，边交于点G，连接交于点M，点M平分，若，，则的长度为 ；连接交于点N，则的长度为 ． 10．如图，四边形内接于，是圆的直径，于点，连接，若．，，则的长度为_____，四边形的面积为_____． 11．如图，在中，是直径，点是上一点，连接，以为边在的右侧作矩形，与相切于点，与交于点，连接交于点，连接和交于点，若，，则的半径为 ，的长为 ． 12．如图，是的外接圆，是的直径，AD与相切，且与的延长线交于点D，过点C作分别交，于F，G两点，若，则 ；且，则 ． 13．如图，是内接三角形，的半径是，，，的角平分线交于点，交于点，连接，过点作的切线交的延长线于点，则线段的长度为 ，线段的长度为 ．    14．如图，是的直径，弦垂直交于，连接，F为上一点，连接，过作交于点，交于点，若则的长度为 ；连接，则长度为 ． 15．如图，在中，，以为直径的圆交边于点D，点E为的中点，连接．过点C作圆O的切线，切点为F．连接．点H为圆O上一点，且弧等于弧，连接，交于点G．若，则圆的半径为 ， ． 16．如图，为圆O的直径，E为圆O上一点，连接并延长至C点，使得，连接交圆O于点D，过点B在下方作，使得，交的延长线于点F．连接并延长交的延长线于点M，若且，则直径 17．如图，为的直径，弦于点H，点E为上一点，弧等于弧，过点C 作交于点G，交于点F．若， ，则 ， ．    18．是以等腰的腰为直径的圆，交底于点，过点作于点，交过点的切线于点，交的延长线于点，连接，交于点，若，，则的半径为 ；连接，交于点，则 ． 19．如图，四边形内接于圆O，点O在上，，过点C作圆O的切线，分别交，的延长线于点E，F．若G为圆O上一点且位于下方，且，则 ， ． 20．如图，在中，，，点O为中点，以点O为圆心，为半径的交延长线于点E，的中垂线交于点F，交于点G，H，连接，．若，则的长度为 ，的面积为 ． 21．如图，是△的外接圆，是的切线，且，作射线交于点，连接交于点，连接，作平分，交于点， 则的值为 ；若，，则的半径为 ． 22．如图，内接于，是的直径，点D为圆上的一点，且，连接交于点E，过点D作交延长线于点F，连接．若，，则 ； ． 23．如图，⊙是锐角的外接圆，为⊙的切线，连接交于点，交圆于点，点恰好为的中点，连接并延长交于点，连接、．若，，，则 ，的周长为 ． 24．如图，在中，弦与直径交于点，点是圆上一点，点为的中点，过点的切线与延长线交于点，且，若，，则 ， ． 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $