第11讲 等比数列的前n项和（思维导图+4知识点+四大考点+过关检测）（寒假预习讲义）高二数学人教B版

第11讲 等比数列的前n项和 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 【题型01：等比数列前n项和公式的基本运算】 【题型02：等比数列的片段和性质的应用】 【题型03：等比数列奇偶项和的性质】 【题型04：等比数列前n项和其他性质】 【题型05：等比数列中an与Sn的关系】 【题型06：等比数列的简单应用】 【题型07：等差数列、等比数列的综合问题】 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：等比数列的前n项和公式 首项为，公比为的等比数列的前项和的公式为 知识点2：等比数列及其前n项和的性质 若数列是公比为的等比数列，前n项和为，则有如下性质： （1）若，则；若，则． 推广：若，则． （2）若成等差数列，则成等比数列． （3）若项数为，则，若项数为，则． （4）当时，连续项的和（如）仍组成等比数列（公比为，）．注意：这里连续m项的和均非零． 【题型01：等比数列前n项和公式的基本运算】 1．若一个等比数列的前3项和等于3，前6项和等于，则该等比数列的第4项等于（   ） A．16 B．8 C． D． 2．已知为等比数列的前项和，，，则（   ） A．0 B． C． D． 3．已知等比数列的前项和为，，，则公比的值为（    ） A．3 B． C． D． 4．已知为等比数列，若，，则（    ） A． B． C． D． 5．设等比数列的前项和为，公比，若，则 ． 6．设等比数列的前项和为，且，，则 . 【题型02：等比数列的片段和性质的应用】 7．已知为等比数列的前项和，，，则（   ） A． B． C． D． 8．（多选）设正项等比数列的公比为q，前n项和为，则下列选项不正确的是（　 　） A． B． C．，，成等比数列 D． 9．已知等比数列的前项和为，若，且，则 . 10．已知是等比数列的前项和，，，则 11．已知正项等比数列的前项和为，且，则 . 【题型03：等比数列奇偶项和的性质】 12．在等比数列中，已知，且公比，则该数列前100项的和是（    ） A．150 B．200 C．250 D．300 13．已知一个项数为偶数的等比数列所有项之和为所有奇数项之和的3倍，前2项之积为8，则（   ） A．2 B．-2 C．-1 D．2或-2 14．已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的倍，前项之积为，则（ ） A． B． C． D． 15．若等比数列 共有奇数项，且所有奇数项和 ，所有偶数项和 ， 末项是192，则公比 . 16．等比数列共有2n项，其和为240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比 . 17．设无穷等比数列所有奇数项的和为15，所有偶数项的和为，求首项的值． 【题型04：等比数列前n项和其他性质】 18．记等比数列的前项和为.若，，则（    ） A． B． C． D． 19．设公比为q的等比数列的前n项和为，前n项积为，且，，，则下列结论正确的是（   ） A． B．数列无最大值 C．是数列中的最大值 D． 20．设是首项为正数，公比为q的无穷等比数列，其前n项和为.若存在无穷多个正整数，使，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 21．已知等比数列的前项和为，若，则 . 22．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是（填序号） . ① ② ③的最大值为 ④的最大值为 【题型05：等比数列中an与Sn的关系】 23．已知数列的前项和满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 24．（多选）记为数列的前项和.若，则（    ） A． B． C． D． 25．在数列中，它的前项和为（为常数），若是以为公比的等比数列，则（    ） A．0 B．1 C．3 D．4 26．已知等比数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 27．已知等比数列的前项和为，则 ． 28．在等比数列中，前项和，则实数的值为 ． 【题型06：等比数列的简单应用】 29．海南有着深厚的排球运动传统，民间普及度高，被誉为“排球之乡”．已知一个排球从4m高的高度自由落下，每次落下后反弹的高度都是原来高度的，当这个排球第5次着地时，它经过的总路程是（   ） A． B． C． D． 30．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤.问本持金几何？”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金为持金的，第2关收税金为剩余金的，第3关收税金为剩余金的，第4关收税金为剩余金的，第 5关收税金为剩余金的，5关所收税金之和恰好重1斤.问原来持金多少?”.记这个人原来持金为斤，则（    ） A． B． C． D． 31．近日，某网站发表了一项针对新冠肺炎疫情数据的最新分析，该研究显示，新冠病毒的中位潜伏期约4.75天，即病毒侵入人体到人体出现反应或开始呈现症状时平均4.75天；基本传染数（R0）达3.77，即每位患者平均传染3.77人．假如有一种细菌能够杀死新冠病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个新冠病毒的同时自身分裂为2个，现有一个这样的细菌和500个病毒，则细菌将新冠病毒全部杀死至少需要（    ） A．7秒钟 B．8秒钟 C．9秒钟 D．10秒钟 32．龙门石窟､莫高窟､云冈石窟､麦积山石窟并称中国四大石窟.若某一石窟的某处浮雕像共7层，自上而下，每一层的浮雕像个数是其下一层的2倍，共有1016个浮雕像，这些浮雕像构成一幅优美的图案，若从最下层开始，往上每一层的浮雕像的个数构成数列，则的值为 . 33．已知一个热气球在第一分钟上升了的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它前一分钟上升高度的60%，该热气球在前3分钟里上升的总高度为（   ） A． B． C． D． 【题型07：等差数列、等比数列的综合问题】 34．已知数列是以2为首项，1为公差的等差数列，是以1为首项，2为公比的等比数列，则（　　） A．264 B．520 C．521 D．265 35．已知是首项和公差均为的等差数列，是首项和公比均为的等比数列，．若的前5项和与的前4项和都等于，则（   ） A．30 B．32 C．42 D．46 36．已知等比数列的首项，且是和的等差中项．数列的前项和为，且． (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和． 37．已知数列满足，若数列的前5项依次成等差数列，从第4项起依次成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 38．已知等差数列与等比数列满足，，. (1)求，的通项公式； (2)记，为数列的前项和.求 39．已知数列的前n项和为，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前n项和； (3)若，，成等差数列，其中p，q，r为正整数且，证明：，，是数列中连续的三项. 一、单选题 1．《九章算术》中有问题：“今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺.蒲生日自半，莞生日自倍.”意思是说今有蒲第一天长高三尺，莞第一天长高一尺，以后蒲每天长高为前一天的一半，莞每天长高为前一天的两倍.要使莞的长度大于蒲的长度（蒲与莞原先的长度忽略不计），需要经过的时间最少为（    ） A．天 B．天 C．天 D．天 2．数列中，，，若，则（    ） A．11 B．10 C．9 D．8 3．某零件加工厂设备更新后，预计每月加工某零件的数量比上一个月增加10%.若该零件加工厂本月加工该零件1000件，从本月起（即本月为第1个月），该零件加工厂个月加工完2万件该零件，则的最小值是（    ）（参考数据：） A．11 B．12 C．13 D．14 4．已知为等比数列的前项和，若，则（    ） A． B． C． D． 5．已知数列为公比为的等比数列，为数列的前n项和.设甲：公比；乙：.则甲是乙的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知正项数列的前项和为，且，则满足的的最大值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 二、多选题 7．已知公比为的正项等比数列的前3项和为，，则下列结论正确的有（    ） A． B． C．数列是递减数列 D． 8．已知数列是等差数列，是等比数列，且满足；，则下列说法正确的是（    ） A．等差数列的公差 B．等差数列的通项公式为 C．等比数列的公比 D．等比数列的前4项和为40或 三、填空题 9．已知等比数列的前项和为，且.若，则 . 10．已知等比数列的前3项和为168，前6项和为189，则数列的公比 . 11．已知是递增的等比数列，若，且的前项和，则 . 四、解答题 12．已知数列满足，且. (1)证明：数列是等比数列； (2)求的通项公式； (3)求的前项和. 13．已知是公差为2的等差数列，是公比为4的等比数列，满足，. (1)求数列，的通项公式； (2)记，的前n项和分别为，，若，求m的值. 14．已知数列的前n项和为，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前n项和； (3)若，，成等差数列，其中p，q，r为正整数且，证明：，，是数列中连续的三项. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 等比数列的前n项和 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 【题型01：等比数列前n项和公式的基本运算】 【题型02：等比数列的片段和性质的应用】 【题型03：等比数列奇偶项和的性质】 【题型04：等比数列前n项和其他性质】 【题型05：等比数列中an与Sn的关系】 【题型06：等比数列的简单应用】 【题型07：等差数列、等比数列的综合问题】 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：等比数列的前n项和公式 首项为，公比为的等比数列的前项和的公式为 知识点2：等比数列及其前n项和的性质 若数列是公比为的等比数列，前n项和为，则有如下性质： （1）若，则；若，则． 推广：若，则． （2）若成等差数列，则成等比数列． （3）若项数为，则，若项数为，则． （4）当时，连续项的和（如）仍组成等比数列（公比为，）．注意：这里连续m项的和均非零． 【题型01：等比数列前n项和公式的基本运算】 1．若一个等比数列的前3项和等于3，前6项和等于，则该等比数列的第4项等于（   ） A．16 B．8 C． D． 【答案】D 【分析】 【详解】设等比数列为，其公比为，且前项和为， 若，则，所以，又，故不符合题意， 若，则根据题意可知，且， 解得，，故. 故选：D. 2．已知为等比数列的前项和，，，则（   ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，可知， 由，得， 由，得，所以， 所以. 故选：D. 3．已知等比数列的前项和为，，，则公比的值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【详解】由，可得， 故，即，故公比. 故选：B 4．已知为等比数列，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得为等比数列，则设首项为，公比为， 因为，，所以， 联立方程组，解得， 结合题意可得是首项为1，公比为4的等比数列的前50项和， 由求和公式得前50项和为，故D正确. 故选：D 5．设等比数列的前项和为，公比，若，则 ． 【答案】 【详解】因为数列是等比数列，所以，， 所以是方程的两根，所以或， 所以公比或，所以或， 又，所以，所以 所以. 故答案为：. 6．设等比数列的前项和为，且，，则 . 【答案】1020 【详解】设数列的公比为，又，，则， 所以，则. 故答案为：. 【题型02：等比数列的片段和性质的应用】 7．已知为等比数列的前项和，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设等比数列的公比为， 若，则 ，与题意矛盾， 因为为等比数列的前项和，所以、、成等比数列， 所以， 又因为，，则，整理可得， 解得或（舍去）， 故选：A. 8．（多选）设正项等比数列的公比为q，前n项和为，则下列选项不正确的是（　 　） A． B． C．，，成等比数列 D． 【答案】ABC 【详解】对于A，，， 当时，若，则，， 当时，若，则，故A错误； 对于B，若，，则， 故，B错误； 对于C，等比数列中，因为，故成等比数列， 而非成等比数列，所以，，不一定成等比数列， 例如，若，，则， 此时，，不是等比数列，故C错误； 对于D，当时，，，等式成立； 当时，， ， 故，等式成立，故D正确． 故选：ABC 9．已知等比数列的前项和为，若，且，则 . 【答案】17 【详解】设的公比为，则，解得， 所以. 故答案为：17 10．已知是等比数列的前项和，，，则 【答案】 【详解】设等比数列的公比为， 因为为等比数列，故， 而 ， 故答案为：. 11．已知正项等比数列的前项和为，且，则 . 【答案】52 【详解】因为为正项等比数列，所以也成等比数列， 则， 即， 两式相除得， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 解得， 所以. 故答案为：52 【题型03：等比数列奇偶项和的性质】 12．在等比数列中，已知，且公比，则该数列前100项的和是（    ） A．150 B．200 C．250 D．300 【答案】B 【详解】在等比数列中，公比，则有， 而，于是得， 所以数列的前100项和． 故选：B 13．已知一个项数为偶数的等比数列所有项之和为所有奇数项之和的3倍，前2项之积为8，则（   ） A．2 B．-2 C．-1 D．2或-2 【答案】D 【详解】设首项为，公比为，数列共有项，则满足首项为，公比为，项数为项，设所有奇数项之和为， 因为所有项之和是奇数项之和的3倍，所以， 所以，， 故满足，解得， 又， 所以. 故选：D 14．已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的倍，前项之积为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得所有项之和是所有偶数项之和的倍，所以，，故 设等比数列的公比为，设该等比数列共有项， 则，所以，， 因为，可得，因此，. 故选：C. 15．若等比数列 共有奇数项，且所有奇数项和 ，所有偶数项和 ， 末项是192，则公比 . 【答案】 【详解】设等比数列有项，则奇数项有项，偶数项有项， 设公比为，得到奇数项和为， 偶数项和为， 所以， 即， 可得：，解得． 故答案为： 16．等比数列共有2n项，其和为240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比 . 【答案】/ 【详解】设等比数列的奇数项的和、偶数项的和分别为，. 由题意可得 解得 所以． 故答案为：. 17．设无穷等比数列所有奇数项的和为15，所有偶数项的和为，求首项的值． 【答案】 【详解】解：设无穷等比数列的公比为，首项为， 有题意知，且奇数项和偶数项的公比为， 则， 解得． 【题型04：等比数列前n项和其他性质】 18．记等比数列的前项和为.若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设等比数列的公比为（）， 则，解得：， 又， 所以， 故选：C. 19．设公比为q的等比数列的前n项和为，前n项积为，且，，，则下列结论正确的是（   ） A． B．数列无最大值 C．是数列中的最大值 D． 【答案】D 【详解】A选项，，若，则对任意的，都有，则，不合要求，A错误； BC选项，若，则，与矛盾，不合要求， 当时，，又， 所以，即， 又，故满足要求， 故当时，，当时，， 故有最大值，最大值为，BC错误； D选项，当时，，当时，， 故，， 所以，D正确. 故选：D 20．设是首项为正数，公比为q的无穷等比数列，其前n项和为.若存在无穷多个正整数，使，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，， 若，则，，此时不存在符合题意的，所以. 若，则， 当为正偶数时，，所以存在无穷多个正整数，使. 当时，， 其中，，所以，此时不存在符合题意的. 当时，， 其中，当是正奇数时，，所以，此时不存在符合题意的； 当是正偶数时，，，所以存在无穷多个正整数，使. 综上所述，的取值范围是. 故选：B 21．已知等比数列的前项和为，若，则 . 【答案】 【详解】设等比数列公比为，则， 即等比数列的前项和要满足， 又因为， 所以. 故答案为： 22．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是（填序号） . ① ② ③的最大值为 ④的最大值为 【答案】①②③ 【详解】因为，，， 所以，所以，故①正确. ，故②正确； 又，所以的最大值为，故③正确. 因为，，所以恒有，所以无最大值，故④错误； 故答案为：①②③ 【题型05：等比数列中an与Sn的关系】 23．已知数列的前项和满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，，解得； 当时，，即， 数列是以为首项，为公比的等比数列，所以， 所以， 因为，所以. 故选：B 24．（多选）记为数列的前项和.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】当时，，解得，A正确. 当时，，所以，即， 则是以为首项，2为公比的等比数列，所以，C正确； 由上知，B错误； ，D正确. 故选：ACD 25．在数列中，它的前项和为（为常数），若是以为公比的等比数列，则（    ） A．0 B．1 C．3 D．4 【答案】B 【分析】 【详解】是以为公比的等比数列,     所以， 所以公比进而， 所以， 故选：B 26．已知等比数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，， 在等比数列中，， 设公比为q， ，解得， ∴， 当时，，解得：， ∴是以2为首项，3为公比的等比数列， ∴. 故选：A. 27．已知等比数列的前项和为，则 ． 【答案】 【详解】解法一：当时，， 显然不合题意，可得； 当时，； 若为等比数列，则，且，解答； 解法二：因为， 设等比数列的公比为，由题可知，1， 因为等比数列的前项和（为常数，且）， 所以，得． 故答案为：. 28．在等比数列中，前项和，则实数的值为 ． 【答案】/ 【详解】，当时，， 依题意，也应满足，所以有，得． 此时，，，满足是等比数列，所以. 故答案为： 【题型06：等比数列的简单应用】 29．海南有着深厚的排球运动传统，民间普及度高，被誉为“排球之乡”．已知一个排球从4m高的高度自由落下，每次落下后反弹的高度都是原来高度的，当这个排球第5次着地时，它经过的总路程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意可得，这个排球第5次着地时，它经过的总路程为： ， 故选：A. 30．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤.问本持金几何？”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金为持金的，第2关收税金为剩余金的，第3关收税金为剩余金的，第4关收税金为剩余金的，第 5关收税金为剩余金的，5关所收税金之和恰好重1斤.问原来持金多少?”.记这个人原来持金为斤，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知：这个人原来持金为斤， 第1关收税金为：斤； 第2关收税金为斤； 第3关收税金为斤， 以此类推可得的，第4关收税金为斤，第5关收税金为斤， 所以， 即，解得. 故选：C. 31．近日，某网站发表了一项针对新冠肺炎疫情数据的最新分析，该研究显示，新冠病毒的中位潜伏期约4.75天，即病毒侵入人体到人体出现反应或开始呈现症状时平均4.75天；基本传染数（R0）达3.77，即每位患者平均传染3.77人．假如有一种细菌能够杀死新冠病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个新冠病毒的同时自身分裂为2个，现有一个这样的细菌和500个病毒，则细菌将新冠病毒全部杀死至少需要（    ） A．7秒钟 B．8秒钟 C．9秒钟 D．10秒钟 【答案】C 【详解】设第秒种的细菌的个数为，且， 又每个细菌在每秒钟杀死一个新冠病毒的同时自身分裂为2个， 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，所以， 则经过秒钟共杀死个新冠病毒， 依题意，需使，即，所以， 因是增函数，且，故. 即细菌将新冠病毒全部杀死至少需要9秒钟. 故选：C 32．龙门石窟､莫高窟､云冈石窟､麦积山石窟并称中国四大石窟.若某一石窟的某处浮雕像共7层，自上而下，每一层的浮雕像个数是其下一层的2倍，共有1016个浮雕像，这些浮雕像构成一幅优美的图案，若从最下层开始，往上每一层的浮雕像的个数构成数列，则的值为 . 【答案】13 【详解】从最下层开始，往上每一层“浮雕像”的数量构成一个数列， 因为每一层的“浮雕像”个数是其下一层的2倍， 所以是以2为公比的等比数列， 由于共有1016个“浮雕像”，即， 整理得：，解得， 所以， 所以. 故答案为：13 33．已知一个热气球在第一分钟上升了的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它前一分钟上升高度的60%，该热气球在前3分钟里上升的总高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，热气球每分钟上升的高度构成等比数列，且首项，公比． 则该热气球在前3分钟里上升的总高度． 故选：C． 【题型07：等差数列、等比数列的综合问题】 34．已知数列是以2为首项，1为公差的等差数列，是以1为首项，2为公比的等比数列，则（　　） A．264 B．520 C．521 D．265 【答案】B 【详解】因为数列是首项为2，公差为1的等差数列，所以， 数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以， 所以， 所以. 故选：B 35．已知是首项和公差均为的等差数列，是首项和公比均为的等比数列，．若的前5项和与的前4项和都等于，则（   ） A．30 B．32 C．42 D．46 【答案】A 【详解】依题意，，显然， ，则， 又，故， 所以，由，得， 则，解得，所以. 故选：A 36．已知等比数列的首项，且是和的等差中项．数列的前项和为，且． (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) 【分析】 【详解】（1）设数列的公比为， 由题意可知，即，解得 ∴， 当时，， 当时，， 验证当时，， ∴ （2） 37．已知数列满足，若数列的前5项依次成等差数列，从第4项起依次成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)，其中. (2)，其中. 【分析】 【详解】（1）解：由数列满足， 因为数列的前5项依次成等差数列，从第4项起依次成等比数列， 设数列的前5项的公差为，可得，， 设从第4项起构成的等比数列的公比为，可得，则， 所以，解得， 当时，， 当时，， 所以数列的通项公式为，其中. （2）解：由（1）知数列的通项公式为，其中， 当时，； 当时，， 所以数列的前项和为，其中. 38．已知等差数列与等比数列满足，，. (1)求，的通项公式； (2)记，为数列的前项和.求 【答案】(1)， (2) 【分析】 【详解】（1）记公差为，公比为， 则，， 故， 则 即， 故，解得，故，. （2）由， 当为偶数时， ， 而， 两式相减，可得到 ， 故此时； 当为奇数时， ， 于是. 39．已知数列的前n项和为，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前n项和； (3)若，，成等差数列，其中p，q，r为正整数且，证明：，，是数列中连续的三项. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】 【详解】（1）由， 当时，，解得； 当时，，则，即， 所以数列是首项为，公比为2的等比数列， 则. （2）由（1）知，则， 所以， . 两式作差得，. （3）证明：由，，成等差数列，得， 即，整理得， 因为，，所以，， 所以为偶数，故必有，即，， 又，所以， 故，，是数列中连续的三项. 一、单选题 1．《九章算术》中有问题：“今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺.蒲生日自半，莞生日自倍.”意思是说今有蒲第一天长高三尺，莞第一天长高一尺，以后蒲每天长高为前一天的一半，莞每天长高为前一天的两倍.要使莞的长度大于蒲的长度（蒲与莞原先的长度忽略不计），需要经过的时间最少为（    ） A．天 B．天 C．天 D．天 【答案】A 【详解】由题意，蒲第一天长高尺，以后蒲每天长高为前一天的一半， 所以蒲每天生长的高构成首项为，公比为的等比数列， 其前项和， 又由莞第一天长高尺，以后每天长高为前一天的两倍， 所以莞每天生长的高构成首项为，公比为的等比数列， 其前项和，令， 解得或， 因为，所以， 故选：A. 2．数列中，，，若，则（    ） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】D 【详解】由题可知，数列为等比数列，且公比， 又因为，故. 所以， 所以. 故选：D. 3．某零件加工厂设备更新后，预计每月加工某零件的数量比上一个月增加10%.若该零件加工厂本月加工该零件1000件，从本月起（即本月为第1个月），该零件加工厂个月加工完2万件该零件，则的最小值是（    ）（参考数据：） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】B 【详解】由于每月加工的零件数构成一个等比数列，首项，公比. 那么由题意得. 化简得，对不等式两边取对数得，即. 因为，所以 因为为正整数，所以的最小值是12. 故选：B. 4．已知为等比数列的前项和，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为①，当时，②， ①-②得：，因为是等比数列， 设公比为，所以，因为， 所以，解得； 当时，，即， 所以，又因为， 所以，解得，所以， 故选：A． 5．已知数列为公比为的等比数列，为数列的前n项和.设甲：公比；乙：.则甲是乙的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】当时，，， 所以，即甲是乙的充分条件； 当时，若，则，由等比数列中知，对任意不成立， 所以，所以，即， 可得，而已知，则不恒成立， 故必有，解得，即甲是乙的必要条件， 综上，甲是乙的充要条件. 故选：C 6．已知正项数列的前项和为，且，则满足的的最大值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】A 【详解】由题设，又，即是首项、公比都为2的等比数列， 所以，则， 由，则，即. 所以满足的的最大值为9. 故选：A. 二、多选题 7．已知公比为的正项等比数列的前3项和为，，则下列结论正确的有（    ） A． B． C．数列是递减数列 D． 【答案】ABD 【详解】对于AB，由题意得且，， 由得，由得， 所以，化简得， 解得或（舍），将2代入，解得，故AB正确； 对于C，由AB选项可知，，所以数列是递增数列，故C错误； 对于D，法一：由等比数列的性质，得，因为，所以； 法二：因为，所以，所以； 故D正确． 故选：ABD． 8．已知数列是等差数列，是等比数列，且满足；，则下列说法正确的是（    ） A．等差数列的公差 B．等差数列的通项公式为 C．等比数列的公比 D．等比数列的前4项和为40或 【答案】AB 【详解】由题意可知，解得，故A正确； 通项公式为，故B正确； ∴，又因为，即，∴，C选项错误； ∵，设为数列的前项和， ∴， 当时，∴； 当时，．∴，故D错误． 故选：AB． 三、填空题 9．已知等比数列的前项和为，且.若，则 . 【答案】4 【详解】设等比数列的公比为q，由，得， 则，则， 由得，解得， 故答案为：4 10．已知等比数列的前3项和为168，前6项和为189，则数列的公比 . 【答案】/ 【详解】由题可得， 所以， 即，解得. 故答案为： 11．已知是递增的等比数列，若，且的前项和，则 . 【答案】4 【详解】设等比数列的公比为， 由等比数列的性质，可得， 又由，所以是方程的两个根，解方程得或， 因为等比数列为递增数列，所以， 又因为，解得， 因为，解得. 故答案为：. 四、解答题 12．已知数列满足，且. (1)证明：数列是等比数列； (2)求的通项公式； (3)求的前项和. 【答案】(1)证明见详解 (2) (3) 【分析】 【详解】（1）∵，∴，即， ∴数列是以为首项，为公比的等比数列 （2）由（1）可知， ∴ （3） . 13．已知是公差为2的等差数列，是公比为4的等比数列，满足，. (1)求数列，的通项公式； (2)记，的前n项和分别为，，若，求m的值. 【答案】(1)，. (2) 【分析】 【详解】（1）由题意得：，， 解得，， 所以，. （2）由（1）可得，， 若，即， 整理可得，解得或（舍去）， 所以m的值为15. 14．已知数列的前n项和为，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前n项和； (3)若，，成等差数列，其中p，q，r为正整数且，证明：，，是数列中连续的三项. 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【分析】 【详解】（1）当时，，解得. 当时，，则，即. 所以数列是首项为，公比为2的等比数列，所以， 即数列的通项公式为. （2）由（1）知，所以，，记. 所以——①，——②. 由得，即. 故. （3）由，，成等差数列，得，即，，整理得. 又因为p，q，r为正整数且，得，，所以，. 而为偶数，故必有，即，. 再由，所以，故，，是数列中连续的三项. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $