第12讲 数学归纳法（思维导图+2知识点+6大题型+过关检测）（寒假预习讲义）高二数学人教B版

第12讲 数学归纳法 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 【题型01：相关关系的概念和判断】 【题型01：数学归纳法的概念】 【题型02：数学归纳法的增项】 【题型03：用数学归纳法证明恒等式】 【题型04：用数学归纳法证明不等式】 【题型05：用数学归纳法证明整除问题】 【题型06：数学归纳法证明数列问题】 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：数学归纳法 一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行: （1）（归纳奠基）证明当时命题成立; （2）（归纳递推）以“当时命题成立”为条件,推出“当时命题也成立”. 只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立.这种证明方法称为数学归纳法. 知识点2：用数学归纳法证明恒等式 （1）弄清取第一个值时等式两端项的情况; （2）弄清从到等式两端增加了哪些项,减少了哪些项; （3）证明时结论也成立,要设法将待证式与归纳假设建立联系,并朝证明目标的表达式变形. 【题型01：数学归纳法的概念】 1．用数学归纳法证明，第一步应验证 （    ） A．当时，不等式成立 B．当时，不等式成立 C．当时，不等式成立 D．当时，不等式成立 2．用数学归纳法证明“对于的正整数n都成立”时，第一步证明中的初始值应取（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．利用数学归纳法证明时，第一步应证明（    ） A． B． C． D． 4．设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，总可推出成立”，那么下列命题总成立的是（    ） A．若成立，则当时，均有成立 B．若成立，则当时，均有成立 C．若成立，则当时，均有成立 D．若成立，则当时，均有成立 5．用数学归纳法证明：，在验证成立时，左边所得的代数式是（    ） A．1 B． C． D． 6．正方形ABCD的边长为1，取正方形各边的中点，，，作第二个正方形，然后再取正方形各边中点，，，作第三个正方形，依此方法一直继续下去，则前10个正方形的面积和为（    ） A． B． C． D． 【题型02：数学归纳法的增项】 7．用数学归纳法证明时，由的假设证明时，不等式左端的变化是（    ） A．增加项 B．增加和两项 C．增加和两项，减少项 D．以上结论均不正确 8．用数学归纳法证明不等式：，从到，不等式左边需要（    ） A．增加一项 B．增加两项、 C．增加，且减少一项 D．增加、，且减少一项 9．用数学归纳法证明：，第二步从到，等式左边应添加的项是（    ） A． B． C． D． 10．用数学归纳法证明，由到时，不等式左边应添加的项是（    ） A． B． C． D． 11．用数学归纳法证明等式“”时，从到时，等式左边需要增加的是 . 【题型03：用数学归纳法证明恒等式】 12． 求的和. 13．用数学归纳法证明：． 14．用数学归纳法证明（为正整数）． 15．是否存在常数，，使得对一切自然数都成立？证明你的结论． 16．设是定义在上的增函数，且，求证：． 【题型04：用数学归纳法证明不等式】 17．用数学归纳法证明：对任意的正整数． 18．当且时，求证：． 19．若，，，，，，求证：． 20．当且时，求证：． 21．用数学归纳法证明不等式：． 22．用数学归纳法证明： 【题型05：用数学归纳法证明整除问题】 23．用数学归纳法证明“对任意偶数，能被整除时，其第二步论证应该是（    ） A．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 B．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 C．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 D．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 24．用数学归纳法证明：能被64整除． 25．用数学归纳法证明：能被整除（） 26．求证：对任何正整数n，数都能被8整除 27．先猜想，再用数学归纳法证明你的猜想：能被哪些自然数整除？ 【题型06：数学归纳法证明数列问题】 28．已知数列满足，，，证明：数列的第项（）能被3整除． 29．已知数列满足，且，． (1)求，，； (2)猜想通项公式，并用数学归纳法证明． 30．在数列中，，. (1)求，，猜想数列的通项公式； (2)用数学归纳法证明你的猜想. 31．设数列的各项均为正整数，且．记．如果对于所有的正整数均有． (1)求，，，，； (2)猜想的通项公式，并加以证明． 32．设数列满足，，2，3，． (1)当时，求，，，并由此猜想出的一个通项公式； (2)当时，用数学归纳法证明对所有，有． 33．已知数列1，，，，…，（）的前项和为． (1)求，，； (2)猜想前项和，并证明． 一、单选题 1．利用数学归纳法证明不等式（，且）的过程，由到时，左边增加了（   ） A．项 B．项 C．项 D．k项 2．对于不等式，某同学用数学归纳法的证明过程如下： （1）当时，左边，右边，不等式成立. （2）假设当（且）时，不等式成立，即， 那么当时，， 所以当时，不等式成立，则上述证法（    ） A．过程全部正确 B．验证不正确 C．归纳假设不正确 D．从到的推理不正确 3．已知n为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设（，k为偶数）时命题为真，则还需要再证（    ） A．时等式成立 B．时等式成立 C．时等式成立 D．时等式成立 4．平面上个圆最多把平面分成个区域，通过归纳推理猜测的表达式，再利用数学归纳法证明.用数学归纳法证明的过程中，当时，需证（    ）. A． B． C． D． 5．若正项数列中，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．用数学归纳法证明不等式的过程中，下列说法正确的是（　　） A．使不等式成立的第一个自然数 B．使不等式成立的第一个自然数 C．推导时，不等式的左边增加的式子是 D．推导时，不等式的左边增加的式子是 7．设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，总可推出成立”，那么下列命题不成立的是（    ） A．若成立，则当时，均有成立 B．若成立，则当时，均有成立 C．若成立，则当时，均有成立 D．若成立，则当时，均有成立 三、填空题 8．用数学归纳法证“”的过程中，当到时，左边所增加的项为 ． 9．存在常数a，b，c使得等式对一切正整数成立，则 ． 10．2023年2月22日，中国厦门市一名8岁男孩用时4.305秒单手完成4层汉诺塔游戏，成为新的世界纪录保持者.汉诺塔游戏源于1883年法国数学家卢卡斯提出的汉诺塔问题，有，，三根柱子，在柱上放着由下向上逐渐变小的个盘子，现要求把柱上的盘子全部移到柱上，且需遵循以下的移动规则： ①每次只能移动一个盘子； ②任何时候都不允许大盘子放在小盘子的上面； ③移动过程中盘子可以放在，，中任意一个柱子上. 若用表示个盘子时最小的移动次数，则 ， . 四、解答题 11．已知． (1)是否存在常数使得对任意的都成立？若存在，求出； (2)若（1）中存在，用数学归纳法证明． 12．用数学归纳法证明：能被整除． 13．已知函数满足条件： ①；②；③；④当时，有． (1)求的值； (2)由的值，猜想的解析式，并证明． 14．如图，，，，是曲线上的个点，点在轴的正半轴上，且是正三角形（点与坐标原点重合）． (1)写出，，的值； (2)求出点的横坐标关于的表达式． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 数学归纳法 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 【题型01：相关关系的概念和判断】 【题型01：数学归纳法的概念】 【题型02：数学归纳法的增项】 【题型03：用数学归纳法证明恒等式】 【题型04：用数学归纳法证明不等式】 【题型05：用数学归纳法证明整除问题】 【题型06：数学归纳法证明数列问题】 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：数学归纳法 一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行: （1）（归纳奠基）证明当时命题成立; （2）（归纳递推）以“当时命题成立”为条件,推出“当时命题也成立”. 只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立.这种证明方法称为数学归纳法. 知识点2：用数学归纳法证明恒等式 （1）弄清取第一个值时等式两端项的情况; （2）弄清从到等式两端增加了哪些项,减少了哪些项; （3）证明时结论也成立,要设法将待证式与归纳假设建立联系,并朝证明目标的表达式变形. 【题型01：数学归纳法的概念】 1．用数学归纳法证明，第一步应验证 （    ） A．当时，不等式成立 B．当时，不等式成立 C．当时，不等式成立 D．当时，不等式成立 【答案】C 【详解】由题意知的最小值为，所以第一步应验证当时，不等式成立， 故选：C. 2．用数学归纳法证明“对于的正整数n都成立”时，第一步证明中的初始值应取（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【详解】显然当时，，而当时，，A不是； 当时，，B不是；当时，，C不是； 当时，，符合要求，D是． 故选：D 3．利用数学归纳法证明时，第一步应证明（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，， 即从起连续项正整数之和. 则为从起连续3个正整数之和， 故第一步应证明. 故选：B. 4．设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，总可推出成立”，那么下列命题总成立的是（    ） A．若成立，则当时，均有成立 B．若成立，则当时，均有成立 C．若成立，则当时，均有成立 D．若成立，则当时，均有成立 【答案】D 【详解】若成立，由题意知：当时，均有成立，但不能保证的情况，故A错误； 若成立，则当时，均有成立，但不能保证的情况，故B错误； 由题意知：若成立，则当时，均有成立”．故C错误； ，则当时，均有成立，故D正确； 故选：D 5．用数学归纳法证明：，在验证成立时，左边所得的代数式是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，，所以左边为. 故选：C. 6．正方形ABCD的边长为1，取正方形各边的中点，，，作第二个正方形，然后再取正方形各边中点，，，作第三个正方形，依此方法一直继续下去，则前10个正方形的面积和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】作出示意图如图所示：    第一个正方形是，记为， 由平面几何知识可得第二个正方形的边长为， 所以正方形的面积为，记为， 依次类推可得第三个正方形的面积为，记为， 可得第个正方形的面积为， 所以正方形的面积可依次排成一个以为首项，为公比的等比数列， 所以前10个正方形的面积和为. 故选：C. 【题型02：数学归纳法的增项】 7．用数学归纳法证明时，由的假设证明时，不等式左端的变化是（    ） A．增加项 B．增加和两项 C．增加和两项，减少项 D．以上结论均不正确 【答案】C 【详解】由题意，不等式， 当时，不等式的左端， 当时， 左端， 所以从到，不等式的左端增加和两项，减少项. 故选：C. 8．用数学归纳法证明不等式：，从到，不等式左边需要（    ） A．增加一项 B．增加两项、 C．增加，且减少一项 D．增加、，且减少一项 【答案】D 【解析】理解数学归纳法到步骤，结合不等式的差异确定增减项即可. 【详解】由数学归纳法知：若时，不等式成立，则有：成立， 那么时，有：， ∴， 综上知：不等式左边需要增加、，且减少一项 故选：D 9．用数学归纳法证明：，第二步从到，等式左边应添加的项是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据等式左边的特点，各数是先递增再递减， 由于，左边； 时，左边， 比较两式，从而等式左边应添加的式子是． 故选：C 10．用数学归纳法证明，由到时，不等式左边应添加的项是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，左边的代数式为， 当时，左边的代数式为， 故用时左边的代数式减去时左边的代数式的结果为： 故选：D． 11．用数学归纳法证明等式“”时，从到时，等式左边需要增加的是 . 【答案】 【详解】用数学归纳法证明等式时, 当时，左边所得的项是; 假设时,命题成立,左端为; 则当时,左端为, 所以从“”需增添的项是. 故填:. 【点睛】本题考查数学归纳法证明的第二步：归纳递推, 从“”需将“”代入所需证明的表达式中，明确其具体含义，是个易错点，属于中档题. 【题型03：用数学归纳法证明恒等式】 12．求的和. 【答案】 【详解】因为当时，；当时，；当时，；当时，； 猜想：，下面利用数学归纳法证明： 1.当时，左边，右边，等式成立； 2.假设当时，等式成立，即， 3.当时，左边 右边， 所以当时，等式成立； 综上所述：. 13．用数学归纳法证明：． 【答案】证明见解析 【详解】当时，左式，右式，显然等式成立， 假设当时，等式成立，即， 则当时， ， 故当时，等式也成立， 所以成立. 14．用数学归纳法证明（为正整数）． 【答案】证明见解析 【详解】当时，左侧，右侧，显然成立， 假设时， 当时， ， 即当时，等式也成立， 综上可得，． 15．是否存在常数，，使得对一切自然数都成立？证明你的结论． 【答案】存在，证明见解析 【详解】取，，联立得，即，解得； 下用数学归纳法证明． （i）当时，命题成立； （ii）假设时命题成立，即 ， 则当时， 左边 ，即时命题成立． 综上，命题得证，存在常数，使命题成立． 16．设是定义在上的增函数，且，求证：． 【答案】证明见解析 【详解】令，得，显然， 设时，成立， 那么时， ． 故对一切正整数，． 【题型04：用数学归纳法证明不等式】 17．用数学归纳法证明：对任意的正整数． 【答案】证明见解析 【详解】当时，不等式成立， 假设时原不等式成立，即， 则时，左边， 当时，， 即， 因此时原不等式也成立． 综上，对任意的正整数． 18．当且时，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】 【详解】①当时，左边，不等式成立； ②假设当时，不等式成立， 即， 则当时， 左边 ． 由①②知对任意且不等式成立． 19．若，，，，，，求证：． 【答案】证明见解析 【详解】用加强命题法，先证． （i）当时，，成立； （ii）假设当时，成立， 则时， ，即时命题成立． 由（i）（ii）知对命题均成立． 因为， 且， 所以． 20．当且时，求证：． 【答案】证明见解析 【详解】（i）当时， 左边，右边，左边右边，不等式成立； （ii）假设当时，命题成立， 即， 当时，有： ． 由（i）（ii）可知，原不等式对任意且均成立． 21．用数学归纳法证明不等式：． 【答案】证明见解析 【详解】（i）当时，左边，右边，显然，左边右边，原不等式成立； （ii）假设当时不等式成立， 即， 那么当时， ． 又， 所以， 即时，不等式也成立． 由（i）（ii）可知，对任意，不等式都成立． 22．用数学归纳法证明： 【答案】证明见解析 【详解】①当时，左边，左边右边，不等式成立； ②假设时不等式成立，即， 则当时，左边 ， 即当时，不等式也成立. 由①②可知，原不等式成立. 【题型05：用数学归纳法证明整除问题】 23．用数学归纳法证明“对任意偶数，能被整除时，其第二步论证应该是（    ） A．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 B．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 C．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 D．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 【答案】D 【详解】因为为正偶数，所以第二步的假设应写为： 假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立， 即当（为正整数）时，能被整除， 再证时，能被整除. 故选：D 24．用数学归纳法证明：能被64整除． 【答案】证明见解析 【详解】（i）当时，，能被64整除，故时命题成立； （ii）假设当时命题成立，即能被64整除， 则当时，能被64整除， 故当时命题成立． 由（i）（ii）可知对，都能被64整除． 25．用数学归纳法证明：能被整除（） 【答案】答案见解析 【详解】当时，， 故能被整除， 假设当时，结论成立，即能被整除， 则当时， ， 由于和均能被整除， 故能被整除， 综上：能被整除（）. 26．求证：对任何正整数n，数都能被8整除 【答案】证明见解析 【分析】 【详解】 证明: 1°当n=1时，，命题成立． 2°假设n=k时，能被8整除， 则当n=k+1时，, 因为是8的倍数，而也是8的倍数，所以Ak+1也是8的倍数， 即n=k+1时，命题也成立 由以上1°、2°可知，对一切正整数n，能被8整除． 27．先猜想，再用数学归纳法证明你的猜想：能被哪些自然数整除？ 【答案】能被自然数6，1，2，3整除;证明见解析 【详解】 时，原式，时，原式，时，原式，时，原式，这些数都可以被6整除，所以猜想：可以被6整除，那么也可被1，2,3整除； 证明：（1）当时，，命题显然成立； （2）假设当时，能被6整除． 当时，， 其中两个连续自然数之积是偶数，它的3倍能被6整除， 由假设知能被6整除, 故，，6分别能被6整除， 所以当时，命题也成立． 据（1）（2），可知可以被6整除． 故能被自然数6,，1，2，3整除. 【题型06：数学归纳法证明数列问题】 28．已知数列满足，，，证明：数列的第项（）能被3整除． 【答案】证明见解析 【详解】用数学归纳法证明： ①当时， ，能被3整除． ②假设当时，能被3整除． 当时， , 由于假设了能被3整除，又能被3整除，故能被3整除, 因此，当时，也能被3整除． 综上可知：对一切，数列中的第项都能被3整除． 29．已知数列满足，且，． (1)求，，； (2)猜想通项公式，并用数学归纳法证明． 【答案】(1)，，． (2)猜想，证明见解析 【分析】 【详解】（1）将已知等式展开整理得 ， 解得． 由，知． 故，，. （2）由，，，，猜想． （i）当时，，命题成立； （ii）假设当，命题成立，即， 那么， 即时命题成立． 由（i）（ii）可知对一切自然数命题都成立． 30．在数列中，，. (1)求，，猜想数列的通项公式； (2)用数学归纳法证明你的猜想. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）因为，， 可得，， 因此可猜想. （2）当时，，等式成立； 假设当时，等式成立，即， 则当时，， 即当时，等式也成立. 综上所述，对任意，. 31．设数列的各项均为正整数，且．记．如果对于所有的正整数均有． (1)求，，，，； (2)猜想的通项公式，并加以证明． 【答案】(1)，，，， (2)，证明见解析 【分析】 【详解】（1）因为数列的各项均为正整数， 所以数列是递增数列， 因为，， 所以舍去， 同理可得：舍去，舍去，舍去， 所以，，，，； （2）猜想：，证明过程如下： 当时，显然成立， 假设当时成立，即， 当时，， 解得：，或， 因为数列的各项均为正整数， 所以数列是递增数列， 显然， 所以，舍去， 所以当时，成立， 综上所述： 32．设数列满足，，2，3，． (1)当时，求，，，并由此猜想出的一个通项公式； (2)当时，用数学归纳法证明对所有，有． 【答案】(1)，，．猜想 (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1），则，， ．猜想：． （2）证明：当时，，不等式成立； 假设时不等式成立，即， 则， 即时，不等式仍成立． 综上，对于所有，都有． 33．已知数列1，，，，…，（）的前项和为． (1)求，，； (2)猜想前项和，并证明． 【答案】(1)，， (2)；证明见解析． 【详解】（1），，； （2）猜想前项， 证明：当时，,成立， 当时，假设命题成立，即， 那么当时，， ， 即当时，命题成立， 综上可知当时，命题成立，即. 一、单选题 1．利用数学归纳法证明不等式（，且）的过程，由到时，左边增加了（   ） A．项 B．项 C．项 D．k项 【答案】B 【详解】当时，不等式左边为， 当时，不等式左边为， 增加的项为，共有项. 故选：B 2．对于不等式，某同学用数学归纳法的证明过程如下： （1）当时，左边，右边，不等式成立. （2）假设当（且）时，不等式成立，即， 那么当时，， 所以当时，不等式成立，则上述证法（    ） A．过程全部正确 B．验证不正确 C．归纳假设不正确 D．从到的推理不正确 【答案】D 【详解】在时，没有应用时的归纳假设，不是数学归纳法. 故选：D. 3．已知n为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设（，k为偶数）时命题为真，则还需要再证（    ） A．时等式成立 B．时等式成立 C．时等式成立 D．时等式成立 【答案】B 【详解】由数学归纳法的证明步骤可知，假设（，k为偶数）时命题为真， 还需要再证明下一个偶数，即时等式成立. 故选：B 4．平面上个圆最多把平面分成个区域，通过归纳推理猜测的表达式，再利用数学归纳法证明.用数学归纳法证明的过程中，当时，需证（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【详解】1个圆分把平面分成个区域，个圆把平面最多分成个区域，个圆把平面最多分成个区域， 依此类推，可得个圆最多把平面分成个区域， 归纳得， 假设当时，即， 则当时，. 故选：D. 5．若正项数列中，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】, 在正项数列 中, 当 时, , 解得 , 当 时, , 解得 , 猜想 , 证明: 当 时, 显然成立; 假设 时, , 则当 时, . 故 时, 结论也成立. 故 , 故选: C. 二、多选题 6．用数学归纳法证明不等式的过程中，下列说法正确的是（　　） A．使不等式成立的第一个自然数 B．使不等式成立的第一个自然数 C．推导时，不等式的左边增加的式子是 D．推导时，不等式的左边增加的式子是 【答案】BC 【详解】当时，可得；当时，可得； 即使不等式成立的第一个自然数，故A错误，B正确； 当时，可得； 当时，可得； 两式相减得：， 所以推导时，不等式的左边增加的式子是，故C正确，D错误； 故选：BC. 7．设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，总可推出成立”，那么下列命题不成立的是（    ） A．若成立，则当时，均有成立 B．若成立，则当时，均有成立 C．若成立，则当时，均有成立 D．若成立，则当时，均有成立 【答案】ABC 【详解】对于A，若成立，由题意只可得出当时，均有成立，故A错误； 对于B，若成立，则当时均有成立，故B错误； 对于C：因为不满足题设条件，故不能得出相应结论，故C错误； 对于D：若成立，则当时，均有成立，故D正确； 故选：ABC. 三、填空题 8．用数学归纳法证“”的过程中，当到时，左边所增加的项为 ． 【答案】 【详解】由 当到时，左边增加了两项，减少了一项， 即左边所增加的项为． 故答案为：． 9．存在常数a，b，c使得等式对一切正整数成立，则 ． 【答案】24 【详解】令，则， 则. 故答案为：24 10．2023年2月22日，中国厦门市一名8岁男孩用时4.305秒单手完成4层汉诺塔游戏，成为新的世界纪录保持者.汉诺塔游戏源于1883年法国数学家卢卡斯提出的汉诺塔问题，有，，三根柱子，在柱上放着由下向上逐渐变小的个盘子，现要求把柱上的盘子全部移到柱上，且需遵循以下的移动规则： ①每次只能移动一个盘子； ②任何时候都不允许大盘子放在小盘子的上面； ③移动过程中盘子可以放在，，中任意一个柱子上. 若用表示个盘子时最小的移动次数，则 ， . 【答案】 7 / 【详解】由题意，当时，金盘从A杆移到C杆需要的最少移动次数为1次，即； 当时，将第一层（自上而下）金盘从A杆移到B杆需要的最少次数为1次，将第二层（自上而下）金盘从A杆移到C杆需要的最少次数为1次，再将已移动到B杆上的金盘从B杆移到C杆需要的最少次数为1次，所以； 当时，将第一层､第二层（自上而下）金盘从A杆移到B杆需要的最少次数为次，将第三层（自上而下）金盘从A杆移到C杆需要的最少次数为1次，再将已移动到B杆上的金盘从B杆移到C杆需要的最少次数为次，所以； 则，，， 猜想：，，证明如下： ①当时，成立． ②假设当时猜想成立，即， 即将个直径不同的盘子从杆移动到杆最少需要次． 则当时，分三步进行： 第一步，将上面个盘子从杆移动到B杆； 第二步，将第个盘子从杆移动到杆； 第三步，将上面个盘子从杆移动到杆． 则最少需要次，即， 即时，猜想也成立． 综上，． 故答案为：7；. 四、解答题 11．已知． (1)是否存在常数使得对任意的都成立？若存在，求出； (2)若（1）中存在，用数学归纳法证明． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】 【详解】（1）存在， 由题可得，解得， 所以存在，； （2）证明： 当时，， 假设时，等式成立， 时， 成立， 综上，成立． 12．用数学归纳法证明：能被整除． 【答案】证明见解析 【详解】①当时，能被133整除，所以当时结论成立； ②假设当时，能被133整除， 那么当时， ， 由假设可知能被133整除，即能被133整除， 所以当时结论也成立； 综上，能被133整除． 13．已知函数满足条件： ①；②；③；④当时，有． (1)求的值； (2)由的值，猜想的解析式，并证明． 【答案】(1)， (2)，证明见解析 【分析】 【详解】（1），又，故． 又， 因为当时，有，所以， 又因为，故． （2）由，猜想． 下面用数学归纳法证明． （ⅰ）当时，，函数解析式成立． （ⅱ）假设当时，成立． ①若，则； ②若，则， ， 所以，即当时，函数解析式也成立． 综合①②可知，恒成立． 14．如图，，，，是曲线上的个点，点在轴的正半轴上，且是正三角形（点与坐标原点重合）． (1)写出，，的值； (2)求出点的横坐标关于的表达式． 【答案】(1)，，． (2)． 【分析】 【详解】（1）设，由题可得， 代入，得，即. 可得，，. （2）由（1）可猜想：． 下面用数学归纳法予以证明： （i）当时，命题显然成立； （ii）假设当时命题成立，即有， 则当时，由归纳假设及得 ， 即， 解得（不合题意，舍去）， 即当时，命题成立． 所以. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $