专题04 导数与函数的零点问题（含隐零点）3种题型归类（压轴题专项训练）数学苏教版2019选择性必修第一册

专题04 导数与函数的零点问题 目录 类型一、利用导数解决零点中的参数问题 类型二、利用导数函数中零点的个数问题 类型三、导数中的隐零点问题 压轴专练 类型一、利用导数解决零点中的参数问题 解题技巧： （1） 将“函数零点中的参数问题”转化**方程f(x)=0有解（或有特定个数解）的问题，核心是通过导数分析函数的单调性、极值与最值，进而确定参数的取值范围 （2） 常用技巧如下： ①分离参数法：将方程f(x)=0变形为参数与变量分离的形式（如a=g(x)），通过导数研究函数y=g(x)的单调性、极值、最值，得到g(x)的值域；参数a的取值范围即为g(x)值域（或满足零点个数要求的子集）。 ②数形结合法：利用导数分析原函数f(x)的单调性、极值、端点趋势，画出f(x)的大致图像；根据函数零点的个数（1个、2个、无），结合图像与x轴的交点情况，列出关于参数的不等式，求解参数范围。 ③分类讨论法：当参数影响导函数f'(x)**符号、零点个数时，按参数的关键取值（如使f'(x)=0）的根相等、不等的分界点）分类；分别讨论每类情况下f(x)的单调性、极值，再结合零点存在性定理，确定参数的取值范围。 ④零点存在性定理+导数分析：先求导确定f(x)的单调区间与极值点，计算极值的函数值；根据零点个数要求（如“有两个零点”需极大值>0且极小值<0），结合区间端点的函数值趋势，列不等式求解参数。 ⑤构造辅助函数法：若原函数f(x)结构复杂（如含指数、对数、分式混合），构造新函数g(x)=f(x)（或g(x)=f(x)-k等），将问题转化为研究g(x)的零点问题；再通过导数分析g(x)的单调性、极值、最值，进而求解参数。 例1．若函数恰好有一个零点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意直线与曲线相切，切点坐标为，然后求和即可. 【详解】令，可得.因为函数恰好有一个零点， 所以由指数函数图象可知，直线与曲线相切. 易知，设切点坐标为，则，解得. 又切点在切线上，所以， 所以. 故选：B 变式1-1．已知函数，，若函数有5个零点，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用分段函数思想，结合分离参变量，再利用求导，数形结合，可得参数范围. 【详解】当时，由得：， 显然，是的一个零点， 再当时，有， 作出图象可得：当时，， 所以当时，在有两个零点； 再当时，由得：， 整理得，令，求导得， 令，得 当时，，所以在区间上递增， 当时，，所以在区间上递减， 作出图象： 所以由图可得：当时，在有两个零点； 又由于， 所以要使得有五个零点的参数， 故选： D. 变式1-2．已知函数有两个零点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据已知函数的性质，把函数有两个零点转化为方程有两个不同的根，构造函数并求导，利用导数分析函数单调性，从而求解实数的取值范围． 【详解】函数有两个零点， 有两个不同的根， 当时，左边为，右边为，左边不等于右边，故不是方程的解； 当时，， 令，求导得， ， ， 在上单调递增，在上单调递增， 当时，，且, 当时，， 当时，，当时，，， 函数图像如下图所示， 要使与的图像有两个交点，则需满足，此时与在和上各有一个交点． 实数的取值范围为， 故答案为：． 变式1-3．已知函数，若有两个不同的零点．求实数的取值范围； 【答案】 【详解】的定义域为，求导得， 当时，恒成立，函数单调递增，最多有1个零点，不符合题意； 当时，令，解得，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减； 在处取得极大值（最大值）， 有两个不同的零点， 极大值，即，解得，即，，， 实数的取值范围为． 变式1-4．已知函数在处取得极值． (1)讨论函数的单调性； (2)记，若函数有三个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1)函数在上单调递减，在和上单调递增 (2) 【分析】（1）先对函数求导，结合函数在处取得极值，解出，根据的符号情况讨论的单调性； （2）函数有三个零点，则有3个实数解，根据函数的单调性和极值确定的范围，进而求出实数的取值范围． 【详解】（1），求导得， 又函数在处取得极值， ，解得， ，开口向上，令，解得或， 当时，，函数单调递减； 当或时，，函数单调递增． 满足条件，且函数在上单调递减，在和上单调递增． （2）， ， 函数有三个零点，则有3个实数解，即有3个实数解； 由（1）知，函数的极大值为， 函数的极小值为， 是三次函数，当且仅当与有三个交点时，方程有三个根，如上图所示， ，解得， 实数的取值范围为． 类型二、利用导数函数中零点的个数问题 解题技巧： （1） 将导数零点个数问题转化为方程f'(x)=0的根的个数问题 （2） 核心方法如下： ①分离参数法：将f'(x)=0变形为参数与变量分离的形式（如a=f(x)），通过研究函数y=f(x)的图像与直线 y=a的交点个数，确定导数零点的个数。 ②数形结合法：画出导函数f'(x)的图像，结合图像与x轴的交点情况直观判断零点个数；也可结合原函数的单调性、极值、最值辅助分析。 ③分类讨论法：若导函数含参数，按参数的取值范围分类，分别讨论f'(x)的单调性、极值，进而确定零点个数。 ④零点存在性定理：结合f'(x)的单调性，找到区间端点处f'(x)的函数值异号，证明零点存在；再结合单调性判断零点的唯一性或个数。 ⑤构造函数法：当f'(x)结构复杂时，构造新函数g(x)=f'(x)，将问题转化为研究g(x)的零点个数，通过分析g(x)的单调性、极值、最值求解。 例2.已知函数.讨论函数的零点个数． 【答案】答案见解析 【详解】当时，的最小值为； 当时，的最大值为． 作出的大致图象，如图所示．    由，得． 当或时，的零点个数为； 当时，的零点个数为； 当时，的零点个数为． 变式2-1．已知函数. (1)求出在上的值域； (2)已知函数，求在定义域上的零点个数. 【答案】(1) (2)2个零点 【分析】（1）由题可得的解，即可得在上的单调性，即可得值域； （2）由题可得在时无零点，然后令，由单调性结合零点存在性定理可得单调性，最后再由零点存在性定理可得答案. 【详解】（1）， 因为，由得到， 由，得到或， 所以的单调性如下表所示： - - 0 + 0 - - 0 极小值 极大值 0 即的值域为； （2）， ， 当时，，，所以， 所以函数单调递减，所以，此时函数无零点； 当时，设，则， 所以在单调递增，即在单调递增， ，， 因此在，即在上有唯一零点，记零点为，即， 在上，，单调递减， 在上，，单调递增， 又，，， 所以在有一个零点，在上有一个零点， 综上所述，在定义域上有2个零点. 变式2-2．已知函数. (1)当时，求的单调区间与极值； (2)当时，证明：只有一个零点. 【答案】(1)在上单调递增，上单调递减；极大值，无极小值 (2)证明见解析 【分析】（1）求出函数的导数, 解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可; （2）通过讨论的范围，求出函数的单调区间, 求出函数的最小值, 结合函数的零点个数求出的范围即可. 【详解】（1）当时，， 由得，，由得，或 ∴在上单调递增，上单调递减， ∴在处取得极大值，无极小值. （2）∵， ∴ 由，得，或 ①当时，，在上单调递增 ∵， ∴，故在上有唯一零点 ②当时，得或 ∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增 ∵， ∴，故在上有唯一零点 综上：当时，只有一个零点. 变式2-3．已知函数，. (1)讨论函数的单调性； (2)若函数的图象不在直线的上方，求实数的值； (3)若，讨论函数的零点个数. 【答案】(1)答案见解析 (2). (3)答案见解析 【分析】（1）对函数进行求导，分和两种情况讨论即可， （2）设，分和两种情况进行求导讨论即可. （3）对函数进行求导，分，，三种情况进行讨论，对每种情况的函数进行求导然后结合单调性分析出零点的情况. 【详解】（1）函数的定义域为，， 当时，，函数在上单调递增； 当时，令，可得， 所以当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减. （2）设， 函数的定义域为，. 当时，恒成立，所以函数在上单调递增， 又，所以当时，，不合题意； 当时，令，解得， 所以当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以，即. 令，则， 所以当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 即，所以，即. （3）根据题意，， 由，且，得函数为减函数， 设，即，函数的最大值为. ①当时，，所以当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以函数有最大值，所以函数只有一个零点. ②当时，， 且时，，时，， 所以函数在的两侧各有一个零点. ③当时，，所以可得. 利用代入到原函数中可得， ， 设，， 容易判定是关于的增函数，所以， 所以函数的最大值为，即当时，函数无零点. 综上，当时，函数有两个零点； 当时，函数有一个零点；当时，函数无零点. 类型三、导数中的隐零点问题 解题技巧： （1）隐零点：若为函数的零点，但无法精确求解，则称为隐藏的零点，即隐零点.有些函数的零点表面上看不可求，但结合函数的性质实际上可以求出，这类零点不能称为隐零点.例如，不能称为函数的隐零点. （2）零点存在定理：设函数是定义在上的连续函数，且满足，则存在实数，使得.换句话说，函数在上存在零点.结合函数的性质，还可以精确判断函数在上的零点个数.另外，该定理往往用来判断零点所属区间. （3）隐零点问题的一般求解策略： 第一步：用零点存在定理判断导函数零点的存在性，列出零点满足的方程，并结合函数的单调性得到隐零点的取值范围.当函数的隐零点不可求时，首先可用特殊值进行“投石问路”.特殊值的选取原则是： ①在含有的复合函数中，常令，尤其是令进行试探； ②在含的复合函数中，常令，尤其是令进行试探. 第二步：以零点为分界点，说明导函数符号的正负，进而得到题设函数最值的表达式. 第三步：将零点满足的方程适当变形，利用隐零点具有的性质整体代入函数最值表达式中进行化简，达到求函数最值、求参数取值范围、证明不等式、解不等式等目的，使问题获解. ③实际上,很多隐零点问题产生的原因就是含有指对项,而这类问题由往往具有同构特征,所以下面我们看到的这两个问题,它的隐零点代换则需要同构才能做出,否则,我们可能很难找到隐零点合适的代换化简方向.我们看下面两例:一类同构式在隐零点问题中的应用的原理分析 所以在解决形如,这些常见的代换都是隐零点中常见的操作 例3-1．已知函数在区间上有最小值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得，易知在区间上单调递增，由在区间上有最小值，可得，即可求解. 【详解】由题意得， 易知在区间上单调递增， 若在区间上有最小值， 则，即，解得. 这时存在，使得在上单调递减，在上单调递增， 即函数在上有极小值，也是最小值， 所以的取值范围是. 故选：A. 例3-2．设函数，． (1)当时，求函数的单调区间； (2)证明：． 【答案】(1)函数的单调递减区间为，单调递增区间为． (2)证明见解析 【分析】（1）求出函数的定义域，利用导数求出其单调区间即可. （2）通过导数及零点存在定理判断函数在上单调递减，在上单调递增，且，等式两边取对数并使用基本不等式证明即可. 【详解】（1）当时，，定义域为， 所以， 令 因为， 所以在上单调递增， 即在上单调递增，注意到， 所以当时，； 当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． （2）证明：， 即， 的定义域为， 且． 在上单调递增， 当时，在上单调递增， 故在上单调递增， 又，当趋近于0时，， 根据零点存在定理可知，导函数存在唯一的零点， 设该零点为．当时，；当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 当时，取得最小值． ，即， 两边同时取对数得， 所以， 当且仅当，即时，取等号， 故当时，， 即． 变式3-1．已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)求证：函数的图象在x轴上方. 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为； (2)证明见解析. 【分析】(1)求，根据正负即可求y的单调区间； (2)求，根据零点的范围求出g(x)的最小值，证明其最小值大于零即可. 【详解】（1）， 令则. 当时，，∴函数在上单调递增； 当时，，∴函数在上单调递减. 即的单调递增区间是，单调递减区间是； （2）， ，易知单调递增， 又，， ∴在上存在一个， 使得：，即：，且， 当，有单调递减； 当，有单调递增. ∴， ∴， ∴函数的图象在x轴上方. 变式3-2．已知函数，其中，为自然对数的底数. (1)若函数在处的切线与平行， ①求的值； ②证明：函数在定义域上恰有两个不同的零点. 【答案】①；②证明见解析； 【分析】①利用导数求函数在处的切线的斜率即可；②利用导数求出的单调性，结合零点存在性定理即可证明； 【详解】①的定义域为， ， 因为函数在处的切线与平行， 所以，得； ②由①得，， 令， 因为，所以在单调递减， 又，， 所以存在唯一的，使，即， 当时，，即，在单调递增； 当时，，即，在单调递减， 又（当且仅当，即时等号成立）， 即，因为，， 由零点存在性定理知在和分别有一个零点， 综上，函数在定义域上恰有两个不同的零点； 变式3-3．已知函数． （1）证明：在区间内存在唯一的零点； （2）若对于任意的，都有，求整数的最大值． 【答案】（1）证明见解析；（2）3． 【分析】（1）先利用导数证明在上单调递增，再结合零点存在定理，得证； （2）参变分离得，令，原问题转化为求在上的最小值，结合（1）中结论和隐零点的思维，即可得解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 当时，， ∴在上单调递增， ∵，， ∴在区间内存在唯一的零点． （2）解：∵，且， ∴， 令，则，， 由（1）知，在上单调递增，且在区间内存在唯一的零点， 设该零点为，则， 故当时，，即，在上单调递减， 当时，，即，在上单调递增， ∴， ∴， 故整数的最大值为3． 变式3-4．已知函数 (1)若求的极值； (2)若恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1)的极小值为，无极大值 (2) 【分析】（1）由题可求导函数，利用导数求出函数的单调区间，进而再求出极值即可； （2）令，求导函数，分和两种情况，分析导函数的符号，求得的最值，继而可得答案. 【详解】（1）当， 令，解得， 则当单调递减，当单调递增， 故的极小值为，无极大值； （2）由题意可得 令则 当时，则时，，不合题意； 当时，设， ，， 所以存在时，， 因为，所以在上单调递增， 所以当，；当，， 则当，；当，， 则在单调递减，在单调递增， 所以 因为，所以，即 故解得 综上所述，实数a的取值范围 压轴专练 1.已知函数恰有一个零点，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将函数零点问题转化为两个函数交点个数问题，从而变成求曲线切线问题，设切点求得到切线方程得到的值，再由建立不等式，求出的取值范围. 【详解】由可得，要使恰有一个零点， 只需函数的图像与直线相切， 设切点坐标为， 由，可得， 则切线方程为， 即， 故需使，. 由可得，解得. 故选：A. 2.已知函数，若有零点，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得，分，两种情况讨论可求得a的取值范围. 【详解】令，得， 当时，与显然有公共点，即有零点， 当时，临界条件为曲线与有一个公共点， 如图，设两曲线相切于点P，切点的横坐标为，，， 则利用导数的几何意义可知，即， 由，可解得，所以， 所以a的取值范围为. 故选：C. 3.已知函数有2个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数有2个零点，得到方程有两个根，转化成函数与的图象有两个公共点的问题.对于，分和两种情况讨论，去掉绝对值得到图象.当时，相切作为临界点，求得相切时；当时，由相切得到，结合图象得到的取值范围. 【详解】已知函数有2个零点，所以方程有两个根， 即函数与的图象有两个公共点. （1）当时，. 若直线与曲线相切，设切点坐标为，则曲线在点处的切线方程为. 又因为切线过点，所以，解得，即. （2）当时，. 若直线与曲线相切，设切点坐标为，则曲线在点处的切线方程为. 又因为切线过点，所以，解得，即. 综上，结合函数与函数的图象及增长速度可知，当两个函数的图象有两公共点时. 故选：D. 4.（多选）函数有两个零点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据函数零点可转化为与的图象有2个交点，利用导数求出直线与指数函数图象相切时直线的斜率，即可判断AB，再由零点的正负可判断C，根据两边取对数可判断D. 【详解】由可得， 故有两个零点可转化为与的图象有2个交点， 当直线与相切时，设切点为， 则切线斜率，又直线过点定点， 所以，解得，所以，如图， 结合指数函数的图象可知，只有当直线的斜率时， 与的图象有2个交点，故， 可知A错B正确； 因为切点为，且，所以，故，所以不成立，故C错误； 由，两边取对数可得， 所以，，故，故D正确. 故选：BD 5.（多选）已知函数，下列结论正确的是（    ） A．若，则有2个零点 B．若，则有3个零点 C．存在负数，使得只有1个零点 D．存在负数，使得有3个零点 【答案】ABC 【分析】由题意，画出和的图象，数形结合可判断A，分析和相切时的临界条件可判断BCD. 【详解】由题意知的零点个数即为和的图象的交点个数，在同一平面直角坐标系内画出和的图象.        对A，由图可知，当时，图象有两个不同的交点，故A正确； 对B，设直线与曲线相切于点， 则，故切线斜率， 所以当，直线与有3个不同的交点， 即有3个零点，故B正确； 对C，设直线与曲线相切于点， 则，故切线斜率， 所以当时，恰有1个零点，故C正确； 对D，当时，直线与的图象至多有2个交点，故D错误； 故选：ABC. 6.函数的零点个数为 ． 【答案】2 【分析】先求出函数的定义域，求导分析函数单调性及极值，分析函数的极限及最大值，进而利用零点存在定理得出零点个数． 【详解】的定义域为， 函数的定义域为， 求导得，令，则， 解得，，，设， 当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减； 在处取得极大值， 当时，，故； 当时，，故； 极大值为最大值， 函数在从增至正极大值，穿过轴一次，有一个零点； 在从正极大值递减至必穿过轴一次，有另一个零点， 函数共有2个零点． 故答案为：2． 7.函数有两个零点，则m的取值范围是 . 【答案】 【分析】整理可得，换元令，原题意等价于与有2个交点，根据导数的几何意义结合图象分析求解. 【详解】由题意可知：的定义域为， 且， 令，可知在内单调递增， 原题意等价于在定义域为有2个零点， 令，可得， 可知与（过原点的直线）有2个交点， 对于，则， 设切点坐标为，则切线斜率，可得切线方程为， 代入点，得，解得，即切线斜率， 结合图象可知：若与有2个交点，则，即， 所以m的取值范围是. 故答案为：. 8.已知函数，，且，函数的值域为 . 【答案】 【分析】对求导，构造函数，利用导数判断的单调性，根据零点存在性定理得到的零点，从而确定的单调性，求解即可. 【详解】，由可知， 令，，则， 所以在内单调递增， 又，， 所以在内存在唯一零点， 且，又，所以， 当时，，即，则在区间上单调递增， 由，可得，， 所以函数的值域为. 故答案为：. 9.已知函数. (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)当时，求的单调区间； (3)若函数存在正零点，求的取值范围. 【答案】(1) (2)单增区间是，无单减区间； (3). 【分析】（1）求得切点坐标，由导函数求出切点处导函数的值得到切线斜率，写出切线方程； （2）代入参数后求导函数，由导函数求得单调区间； （3）令导函数为新的函数再求导，根据的取值进行分类讨论，利用函数单调性和函数零点的定义即可得到的取值范围. 【详解】（1）由题知，， 于是， 所以切线的斜率， 于是切线方程为，即 （2）由已知可得的定义域为， 且， 因此当时，，从而， 所以的单增区间是，无单减区间； （3）由（2）知，， 令，， 当时，. ①当时，可知，在内单调递增， 又，故当时，，所以不存在正零点； ②当时，，又， ， 所以存在满足， 所以在内单调递增，在内单调递减. 令，则当时，， 故在内单调递增，在内单调递减， 从而当时，，即， 所以， 又因为，所以，因此，，使得 即此时存在正零点； ③当时，，， 从而为减函数. 又，所以当时，. 故时，恒成立，又，故当时，， 所以函数不存在正零点； 综上，实数的取值范围为. 10.已知函数，， (1)讨论函数的单调性； (2)证明：函数在定义域上只有一个零点. 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】（1）利用导数研究函数单调性，对参数进行分类讨论. （2）利用第(1)问的结论，借助函数图像研究零点问题. 【详解】（1） ，又， 当时，，所以在上单调递减； 当时，有，或， 有，，所以在，上单调递减， 在上单调递增； 当时，有，或， 有，，所以在，上单调递减， 在上单调递增； 综上，当时， 在上单调递减； 当时，在，上单调递减，在上单调递增； 当时，在，上单调递减，在上单调递增. （2）由（1）有：当时， 在上单调递减， 又，，所以在定义域内只有一个零点； 当时，在，上单调递减，在上单调递增， 又，， ，， 所以在定义域内只有一个零点； 当时，在，上单调递减，在上单调递增， 又，， ，， 所以在定义域内只有一个零点. 11.已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，求证：． 【答案】(1)当时，在上为单调递增；当时，在上为单调递减，在上为单调递增.(2)证明见见解析. 【解析】 (1) 由已知条件得函数的定义域为， ， 因为 ①当时，在上恒成立， 故在上为单调递增. ②当时，当时，，当时， 故在上为单调递减，在上为单调递增； 综上所述：当时，在上为单调递增 当时，在上为单调递减，在上为单调递增 (2) 当时， 要证原式成立，需证成立， 即需证成立， 令，则， 令，则，故在上单调递增， ，，由零点存在性定理可知，存在使， 则在上，在上， 即在上，在上， 则在上单调递减，在单调递增，在处取得最小值， 由可得，即， 两边同取对数，即， 的最小值为， 即成立， 故当时，成立. 12.已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）求出函数的导数，计算，，求出切线方程即可； （2）问题转化为，令，根据函数的单调性求出的最小值，（可根据同构法也可根据换元法求最值），求出的范围即可； 【详解】（1）．所以．又， 所以曲线在点处的切线方程为． （2）． 令，则． 令，则，所以是增函数． 又，，由零点存在定理及是增函数， 知存在唯一的，使得． 当时，，，单调递减， 当时，，，单调递增， 所以． 由，得，即． 令，则，是增函数． 又，，所以① ①两边取自然对数，得，即，所以② 由①②，得． 于是，即．所以实数的取值范围是． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 导数与函数的零点问题 目录 类型一、利用导数解决零点中的参数问题 类型二、利用导数函数中零点的个数问题 类型三、导数中的隐零点问题 压轴专练 类型一、利用导数解决零点中的参数问题 解题技巧： （1） 将“函数零点中的参数问题”转化**方程f(x)=0有解（或有特定个数解）的问题，核心是通过导数分析函数的单调性、极值与最值，进而确定参数的取值范围 （2） 常用技巧如下： ①分离参数法：将方程f(x)=0变形为参数与变量分离的形式（如a=g(x)），通过导数研究函数y=g(x)的单调性、极值、最值，得到g(x)的值域；参数a的取值范围即为g(x)值域（或满足零点个数要求的子集）。 ②数形结合法：利用导数分析原函数f(x)的单调性、极值、端点趋势，画出f(x)的大致图像；根据函数零点的个数（1个、2个、无），结合图像与x轴的交点情况，列出关于参数的不等式，求解参数范围。 ③分类讨论法：当参数影响导函数f'(x)**符号、零点个数时，按参数的关键取值（如使f'(x)=0）的根相等、不等的分界点）分类；分别讨论每类情况下f(x)的单调性、极值，再结合零点存在性定理，确定参数的取值范围。 ④零点存在性定理+导数分析：先求导确定f(x)的单调区间与极值点，计算极值的函数值；根据零点个数要求（如“有两个零点”需极大值>0且极小值<0），结合区间端点的函数值趋势，列不等式求解参数。 ⑤构造辅助函数法：若原函数f(x)结构复杂（如含指数、对数、分式混合），构造新函数g(x)=f(x)（或g(x)=f(x)-k等），将问题转化为研究g(x)的零点问题；再通过导数分析g(x)的单调性、极值、最值，进而求解参数。 例1．若函数恰好有一个零点，则（    ） A． B． C． D． 变式1-1．已知函数，，若函数有5个零点，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 变式1-2．已知函数有两个零点，则实数的取值范围是 ． 变式1-3．已知函数，若有两个不同的零点．求实数的取值范围； 变式1-4．已知函数在处取得极值． (1)讨论函数的单调性； (2)记，若函数有三个零点，求实数的取值范围． 类型二、利用导数函数中零点的个数问题 解题技巧： （1） 将导数零点个数问题转化为方程f'(x)=0的根的个数问题 （2） 核心方法如下： ①分离参数法：将f'(x)=0变形为参数与变量分离的形式（如a=f(x)），通过研究函数y=f(x)的图像与直线 y=a的交点个数，确定导数零点的个数。 ②数形结合法：画出导函数f'(x)的图像，结合图像与x轴的交点情况直观判断零点个数；也可结合原函数的单调性、极值、最值辅助分析。 ③分类讨论法：若导函数含参数，按参数的取值范围分类，分别讨论f'(x)的单调性、极值，进而确定零点个数。 ④零点存在性定理：结合f'(x)的单调性，找到区间端点处f'(x)的函数值异号，证明零点存在；再结合单调性判断零点的唯一性或个数。 ⑤构造函数法：当f'(x)结构复杂时，构造新函数g(x)=f'(x)，将问题转化为研究g(x)的零点个数，通过分析g(x)的单调性、极值、最值求解。 例2.已知函数.讨论函数的零点个数． 变式2-1．已知函数. (1)求出在上的值域； (2)已知函数，求在定义域上的零点个数. 变式2-2．已知函数. (1)当时，求的单调区间与极值； (2)当时，证明：只有一个零点. 变式2-3．已知函数，. (1)讨论函数的单调性； (2)若函数的图象不在直线的上方，求实数的值； (3)若，讨论函数的零点个数. 类型三、导数中的隐零点问题 解题技巧： （1）隐零点：若为函数的零点，但无法精确求解，则称为隐藏的零点，即隐零点.有些函数的零点表面上看不可求，但结合函数的性质实际上可以求出，这类零点不能称为隐零点.例如，不能称为函数的隐零点. （2）零点存在定理：设函数是定义在上的连续函数，且满足，则存在实数，使得.换句话说，函数在上存在零点.结合函数的性质，还可以精确判断函数在上的零点个数.另外，该定理往往用来判断零点所属区间. （3）隐零点问题的一般求解策略： 第一步：用零点存在定理判断导函数零点的存在性，列出零点满足的方程，并结合函数的单调性得到隐零点的取值范围.当函数的隐零点不可求时，首先可用特殊值进行“投石问路”.特殊值的选取原则是： ①在含有的复合函数中，常令，尤其是令进行试探； ②在含的复合函数中，常令，尤其是令进行试探. 第二步：以零点为分界点，说明导函数符号的正负，进而得到题设函数最值的表达式. 第三步：将零点满足的方程适当变形，利用隐零点具有的性质整体代入函数最值表达式中进行化简，达到求函数最值、求参数取值范围、证明不等式、解不等式等目的，使问题获解. ③实际上,很多隐零点问题产生的原因就是含有指对项,而这类问题由往往具有同构特征,所以下面我们看到的这两个问题,它的隐零点代换则需要同构才能做出,否则,我们可能很难找到隐零点合适的代换化简方向.我们看下面两例:一类同构式在隐零点问题中的应用的原理分析 所以在解决形如,这些常见的代换都是隐零点中常见的操作 例3-1．已知函数在区间上有最小值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例3-2．设函数，． (1)当时，求函数的单调区间； (2)证明：． 变式3-1．已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)求证：函数的图象在x轴上方. 变式3-2．已知函数，其中，为自然对数的底数. (1)若函数在处的切线与平行， ①求的值； ②证明：函数在定义域上恰有两个不同的零点. 变式3-3．已知函数． （1）证明：在区间内存在唯一的零点； （2）若对于任意的，都有，求整数的最大值． 变式3-4．已知函数(1)若求的极值； (2)若恒成立，求实数a的取值范围. 压轴专练 1.已知函数恰有一个零点，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2.已知函数，若有零点，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3.已知函数有2个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4.（多选）函数有两个零点，且，则（    ） A． B． C． D． 5.（多选）已知函数，下列结论正确的是（    ） A．若，则有2个零点 B．若，则有3个零点 C．存在负数，使得只有1个零点 D．存在负数，使得有3个零点 6.函数的零点个数为 ． 7.函数有两个零点，则m的取值范围是 . 8.已知函数，，且，函数的值域为 . 9.已知函数. (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)当时，求的单调区间； (3)若函数存在正零点，求的取值范围. 10.已知函数，， (1)讨论函数的单调性； (2)证明：函数在定义域上只有一个零点. 11.已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，求证：． 12.已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $