5.3.1 单调性课件-2026-2027学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦“导数及其应用”中的单调性，通过思维导图梳理导数与函数单调性的关系，结合基础、中档、拔高分层训练，衔接导数概念与后续极值等知识，构建学习支架帮助学生掌握判断方法和单调区间求解。 其亮点在于分层训练对接高考，题型分类详细（如导函数与原函数图象关联），例题解析注重逻辑推理（如例5.3.1-3分析图象凸性），思维导图助力知识整合，能提升学生数学思维和运算素养，方便教师一体化教学。

高二数学●2024苏教版选择性必修一 第五章 导数及其应用 5.3.1 单调性 本节引导学生理解导数与函数单调性的关系，会利用导数判断函数单调性、求单调区间，能解决简单含参单调性问题，发展逻辑推理与数学运算素养。 致读者 1.使用：本课件为高质量课件，内容较为全面丰富，资源比较大，包括142张PPT。 2.应用：本课件包含梳理知识的基础部分，例题讲解，对点练习，对接高考的难度模式，依次按照：基础，中档，拔高难度训练 3.本课件包含思维导图，例题，最后的培优练习等方便老师一体化教学。 3 理知识 新知课丨必备知识解读 知识点1 函数的单调性与导数 1 导数与函数的单调性的联系 结论 示意图 对于函数 ，如果在某区间 上,那么 在该区间上单 调递增. 对于函数 ，如果在某区间 上,那么 在该区间上单 调递减. 4 知识剖析 判断函数单调性的条件 上述结论是判断函数单调性的充分条件，而不是必要条件.例如，函数<m></m> 在定义域<m></m>上单调递增，但<m></m>. 判断函数单调性的充要条件： 若在某个区间内，<m></m>,且只在有限个点处<m></m>,则在这个区间内，函 数<m></m>单调递增; 若在某个区间内，<m></m>,且只在有限个点处<m></m>,则在这个区间内，函 数<m></m>单调递减. 说明在区间内有限个点处导数值为0并不影响函数在该区间的单调性. 5 2 函数值变化快慢与导数的关系 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围 内变化得较快，这时函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数在这个 范围内变化得较慢，函数的图象就比较“平缓”. 6 常见的对应情况如下表所示. 的图象 函数图象特征 上升且下凸 上升且上凸 下降且上凸 下降且下凸 变化规律 且 单调递增 且 单调递减 且 单调递减 且单调递增 函数值变化规律 函数值增加 得越来越快 函数值增加 得越来越慢 函数值减小 得越来越快 函数值减小得越来越慢 7 学思用·典例详解 图5.3.1-1 例1-1 已知二次函数 的图象如图5.3.1-1所示，则其导函 数 的图象大致形状是( ) C A. B. C. D. 【解析】观察的图象可知，函数在上单调递减，在 上单调递 增，所以导函数在上小于0，在 上大于0.结合各选项可知， 只有选项C符合题意. 8 例1-2 [教材改编P214 T3]判断函数在 上的单调性. 【解析】 , 当时， , ，当且仅当时等号成立，（说明 不恒等于0） 在 上单调递增. . . 9 图5.3.1-2 例1-3 已知函数的导函数为， 的图象如图 5.3.1-2所示，则 的图象可能是( ) D A. B. C. D. 【解析】由的图象可知，时，，且单调递减，此时 的 图象应是上升且上凸，函数值增加得越来越慢； 当时，，且单调递增，此时 的图象应是上升且下凸，函数 值增加得越来越快. 结合选项，符合 的图象特征的为选项D中的图象． 10 知识点2 利用导数判断函数的单调性 一般情况下，我们可以通过如下步骤判断函数 的单调性： 11 特别提醒 求单调区间时的几点说明 （1）如果一个函数具有相同单调性的区间不止一个，那么这些区间中间不能用 “ ”连接，可用“，”隔开或用“和”连接. （2）在对函数划分单调区间时，除了注意使导数等于零的点，还要注意在定义 域内的间断点. （3）区间的端点可以属于单调区间，也可以不属于单调区间，对结论没有影响． 12 学思用·典例详解 例2-4 ［教材改编P213例1］已知函数,则函数 的单调递增区间是 ( ) D A.和 B. C.和 D. 【解析】 ,对应的抛物线开口向上，对称轴为 直线，可知函数的单调递增区间是 . , 令,解得 . 故函数的单调递增区间是 . 13 方法帮 解题课丨关键能力构建 题型1 导函数与原函数图象的关联 1 已知原函数图象判断导函数图象 图5.3.1-3 例5 [教材改编P222 T10]设函数在定义域内可导， 的图 象如图5.3.1-3所示，则导函数 的图象可能为( ) D A. B. C. D. 14 【解析】由的图象可知，在上单调递增，因此在 时，有 （即在上的图象全部在 轴上方），故排除A，C.从原函数图 象上可以看出，在区间上原函数单调递增，;在区间 上原函 数单调递减，;在区间上原函数单调递增， ，故排除B. 15 2 已知导函数图象判断原函数图象 图5.3.1-4 例6 (2026·广东省肇庆市期中)已知函数 的图象是下列四 个图象之一，且其导函数 的图象如图5.3.1-4所示，则该 函数的图象是( ) B A. B. C. D. 16 【解析】 由函数的导函数 的图象自左到右先增后减，可 知函数 图象的切线的斜率自左到右先增大后减小，可以判断B正确. 由于恒成立，则 为增函数，即图象从左至右上升.四个图象 都满足. 由于当时， 且越来越小，则函数值增加得越来越慢，图象越来越“平 缓”，且呈现上凸状；当时， 且越来越大，故函数值增加得越来越快， 图象越来越“陡峭”，且呈现下凸状，可以判断B正确. 17 研究函数与其导函数图象之间的关系的着手点 研究一个函数与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素.对于原函数， 要注意其在哪个区间上单调递增、在哪个区间上单调递减;而对于导函数，则应注意 其函数值在哪个区间上大于零、在哪个区间上小于零，并分析这些区间与原函数的 单调区间是否一致.还可以利用导函数的单调性判断原函数 图象的凸性. 18 【学会了吗丨变式题】 图5.3.1-5 1.已知函数， 的导函数图象如图5.3.1-5所示，则 ， 的图象可能是( ) B A. B. C. D. 【解析】两个导函数的图象在 轴上方说明两个函数都是增函 数，的函数值由小到大，说明 的图象越来越“陡 峭”，的函数值由大到小，说明 的图象越来越 “平缓”．故选B． 19 题型2 判断函数的单调性 1 求函数的单调区间 例7 [教材改编P230 T12]求函数 的单调区间. 20 【解析】函数的定义域为 .（定义域优先原则） . 因为 ， 所以, . 令可得 , 当时，， 单调递减， 当时,， 单调递减， 当时,， 单调递增， 所以函数的单调递增区间为,单调递减区间为和 .（单调区间 是定义域的子集） . . . . 21 名师点评 由于在某区间上，有限个点使得 不影响函数的单调性，故本题 中的单调区间也可以包含区间端点（端点不在定义域内的除外）,即单调递增区间是 ,单调递减区间是和 . 22 例8 求函数 的单调区间. 【解析】函数的定义域为. . （此时令 ，则无法求出其解集，既然不能解不等式，我们能否通过其他途 径找到使的 的取值区间呢？） 注意到导函数在 上单调递增. （既可以由函数,分别在 上单调递增知，也可以通过令 ，得知，在上单调递增，进而判断导数 是否存在零点，问题即可解决） 观察知,即是的唯一零点，则当时， , 时，，所以函数的单调递增区间为 ，单调递减区 间为 . 23 名师点评 求函数的单调区间的关键是解不等式和 ，而当不 等式不可解时，应先观察导函数 的单调性，再确定其零点，数形结合即得. 24 【学会了吗丨变式题】 2.已知函数，其中，且曲线在点 处的切 线垂直于直线 . （1）求 的值； 【答案】，,则 . 由题意得，，解得 . （2）求函数 的单调区间． 【答案】由（1）知，， . 由得，解得 ； 由得，解得 . 故函数的单调递增区间为，单调递减区间为 . 25 2 讨论含参函数的单调性 例9 已知函数,试讨论 的单调性. 26 【解析】,令,解得, . ①当时，因为,所以函数在 上单调递增； ②当时，若，则,若 ，则 , 所以函数在,上单调递增，在 上单调递减； ③当时，若，则，若 ，则 , 所以函数在，上单调递增，在 上单调递减. 综上，当时，函数在 上单调递增； 当时，函数在,上单调递增，在 上单调递减； 当时，函数在，上单调递增，在 上单调递减. 27 例10 设函数,讨论函数 的单调性. 【解析】函数的定义域为 . .（通分后，分母 恒大于0，因此只需讨论分子的符号） （1）当（由于分子中二次项的系数含变量，因此需对 是否为0作讨论）时， . 令，得,令，得 , 所以在上单调递增，在 上单调递减. . . 28 （2）当时，令,当时， . （显然的取值影响了不等式与的解集.如何对 作分类讨论呢？ 一方面， 的符号会影响不等式的解集（由得;另一方面， 的取值符号 也会影响不等式的解集.因此分类的“界”即0与 ，在数轴上表示如： ， 据此，当时，应分,,, 讨论） 时，,有两个不等实根, . 令，得 ,（除关注函数的定义域外，还需用根与系数的关系判 断，当时，方程的两根异号，则 ） 令得， . . . 29 时，,方程的两个不等实根仍为, . 令，得或,（由根与系数的关系知，当 时，方程 的两根都为正数，且 ） 令，得 . 时，,即 且不恒为0. 时，，,即 . 综上，当时，在上单调递增，在 上单调递减； 当时，在上单调递增，在 上单调递减； . . 当时，在, 上单调递增，在 上单调递减； 当时，在 上单调递增. （总结时可按 的分类取值从小到大的顺序书写，以避免遗漏，同时当不同类的结果 一致时，可将其合并总结.如与时， 的单调性相同） 名师点评 在例9中，导数 的零点已经明确（解析式可分解），因此以两个零点 的大小关系为标准分类讨论即可.而本题中导数的零点不明确（对 不便分解），所以应对相应的方程根的判别式的取值符号进行分类讨论，且二次项 的系数为变量，所以还需对 的符号进行分类讨论. 讨论含参函数的单调性的关键点 1.涉及含参数的函数的单调性问题，一定要判断参数对导数 在某一区间内的正 负是否有影响.若有影响，则必须分类讨论，讨论时要做到不重不漏，最后进行总结. 2.求含参函数的单调区间，实质上就是解含参数的不等式 ， .高考考查的热点是对函数求导后解含参数的一元二次不等式，一般按以 下顺序分类讨论：（1）对二次项系数是否为0进行讨论；（2）对相应方程根的判别 式 与0的关系进行讨论；（3）当 时，讨论两根的大小. 33 【学会了吗丨变式题】 3.讨论函数为常数 的单调性. 【答案】函数的定义域为 , 则， . 当时，，函数在 上单调递增. 当时，令，对于方程 ,则有 . ①当时，，，，函数在 上单调递减. ②当时，，，，函数在 上单调递减. 34 ③当时， ， 设，是函数的两个零点，则 ， ，又，且 ,所以当 时，，，函数单调递减，当 时， ，，函数单调递增，当时， ， ，函数 单调递减. 综上可得，当时，函数在 上单调递增； 当时，函数在 上单调递减； 当时，函数在， 上单调递减， 在 上单调递增. 题型3 已知函数的单调性求参数的取值范围 1 解析式含参 例11（1）若在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，则实数 的取值范围为( ) D A. B. C. D. 36 【解析】 . 令，解得或 . 当，即时，函数在 上单调递增，不符合题意，舍去. 当，即时，函数在上单调递增，在 上单调递减， 在 上单调递增. 根据题意可知，，解得 . 所以的取值范围是 . 37 ,由题意知在区间 上恒成立，且 在区间 上恒成立. （注意在区间上单调递增的充要条件为在对应区间上恒成立，且 不恒为0，而在对应区间上恒成立只是 在区间上单调递增的充分条件） 由得 , 由，知,则 . 又，而恒成立，所以 . 由得 , 由，知,则 . 又，而恒成立,所以 . 经验证和 都符合题意. 故的取值范围是 . . . . . 38 （2）已知函数,，且函数在 上存在单调递增 区间，则实数 的取值范围为_ _________. 【解析】依题意，知在上有解，等价于 在 上有解. 令,则原问题等价于 ， 设，则 , 函数转化为, . 39 易知函数在 上单调递减， 所以,故 , 因此，实数的取值范围为 . 易错警示 对于第（1）题，“函数在区间上单调递减”说明区间 为函 数的单调递减区间的子区间,同理，区间为函数 的单调递增区间的子 区间.此类问题，容易误认为，,,从而求出 的值，原因 是混淆了题目类型，没有弄清“函数的单调递增（减）区间为 ”和“函数在区间 上单调递增（减）”所表达的不同含义.若该题改为“若 的单调递减区间为，试求实数 的值”，则 ,，由此可求出 . 41 2 区间含参 例12 (2025·四川省资阳市月考)若函数 在其定义域的一个子区间 上不是单调函数，则实数 的取值范围是( ) B A. B. C. D. ,2） 思路点拨 先求出的单调区间，然后利用与 的单调区间的关 系快速求解.也可以进行分类讨论，同时将函数 在其定义域的一个 子区间上不是单调函数，转化为在区间 上有正也有 负，从而求解. 42 【解析】由题意知，函数的定义域为， . 令,解得（舍去）或 , 当时，,在 上单调递减， 当时，,在 上单调递增. 又且在上不单调， 解得 . 故实数的取值范围是 . 43 当时，区间为，此时当时, ，即 函数在上单调递减；当时,,函数在 上单调递 增，满足题意. 当时， 函数在其定义域的一个子区间 上不是 单调函数， 在区间 上有正也有负， 即 . 又在 上为增函数， 44 解得 . 综上，实数的取值范围是 . 由函数的单调性求参数的取值范围的关键点 由函数的单调性求参数的取值范围关键要明确单调性与导数的关系，具体如下表所示. 函数的单调性 导数 单调递增 且 不恒为0 单调递减 且 不恒为0 常函数 46 由函数的单调性求参数的值或取值范围的方法 （1）已知含参函数在给定区间 上单调递增（减）,求参数范围. 方法一:利用不等式在区间 上恒成立求解. （解出参数的取值范围后需要检验参数取等时能否使恒等于0，若 恒等于 0，则参数的这个值应该舍去；若 不恒等于0，则参数的这个值就可以取得） 方法二:先求得单调递增（减）区间,再利用与 的关系求解. （2）已知函数在含参区间 上单调递增（减）,求参数范围.求解方法:主要利 用（1）中的方法二. 同时要注意以下两个问题之间的区别:“函数在区间上单调递增（减）”即区间 只是函数的单调递增（减）区间的一个子区间，而不一定是全部；“函数 的 单调递增（减）区间为”说明区间是函数 的单调递增（减）区间的全部. 47 【学会了吗丨变式题】 4.若函数在上单调递增，则实数 的取值范围为( ) B A. B. C. D. 【解析】设,则由可设 ， 而的图象的对称轴为直线 ， 故在 上单调递增， 则，所以，即的单调递增区间为 ，而函数 在上单调递增，故 ， 即实数的取值范围为 ． 48 题型4 利用导数比较大小或证明、解不等式 1 证明不等式（比较大小） 例13 已知,为实数，且,其中为自然对数的底数，求证： . 49 【解析】 , 要证,只需证 . 设 , 则 . ,,且, . 函数在 上单调递增. ,,即, ,即 . 50 , 要证,只需证,即 .设 ， 则.， ， 故函数在 上单调递增. 又,,从而 . 51 利用导数证明不等式的方法 利用导数证明不等式，常见的有通过构造函数，利用导数确定函数在相应区间上的 单调性，完成不等式的证明，其证明方法有： 1.作差构造函数法 利用导数证明不等式的常见形式是：已知,求证 . 证明的一般步骤是： 52 （1）将所给的不等式移项，即构造函数 ，转化为求证不等式 ; （2）在内，判断 的符号； （3）若，说明在区间 上单调递增，只需将所给区间的左端点的 值代入,证得即可；若，说明在区间 上单调递减，只 需将所给区间的右端点的值代入,证得 即可. 53 2.同形构造函数法 当要证明的不等式左、右两边结构形式完全相同（或将不等式等价变形后可将两边 化为相同的结构形式）时，则构造相同结构形式的函数，利用导数确定其单调性完 成证明. 由此可见，利用导数证明不等式的实质是利用函数的单调性证明不等式. 54 【学会了吗丨变式题】 5.已知函数，求证 . 【答案】易知 是偶函数，（函数 ，, 都是偶函数） , 当时，因为，所以， ． 令,，则，所以 单调递增， 所以，所以，在 上单调递增．（【厘思路】 ,根据是偶函数，,转化为比较,， 的大小.②若 直接构造函数,不是常见的函数，所以考虑取对数，比较, ， 的大小，故构造函数 更合理） . . 55 设，则 . 令，得 , 令，得 , 所以在区间上单调递增，在区间 上单调递减， 又，所以 ， 所以,所以 , 所以 , 即 . 2 解不等式 母题 致经典·母题探究 例14 函数是定义在上的奇函数，且对任意的， ，则不 等式 的解集是( ) A A. B. C.或 D.或 由待解不等式得 来构造函数 .利用导数不等式即可确定函数 的单调性，数形结合即得不等式 的解集. 57 【解析】第一步：构造目标函数. 设 , 第二步：求目标函数的导数. 则 . 第三步：确定导数的符号并指出目标函数的单调性. 因为,所以，即在 上单调递增. 第四步：确定目标函数的特殊函数值. 又是定义在上的奇函数，所以，则 . 第五步：由目标函数单调性得出结论. 不等式,即,由的单调性得 . 58 子题 已知函数，，则关于的不等式 的解集为( ) B A. B. C. D. 【解析】由于，则，令,则 单 调递减， 由于，则，不等式可化为，于是 ， 故关于的不等式的解集为 . 59 利用导数解不等式时常见的构造函数技巧 这类题目的本质是研究与导数相关的四则运算的结构及函数的单调性，因此熟悉结 构，准确构造函数是关键.构造函数有以下几种方法. 1.对于，可构造函数 .更一般地，若 ，即导函数大于某个非零常数（若 ，则无须构造），则可构 造函数 . 2.对于，可构造函数 .#1.1.1.2 60 3.对于,可构造函数 . 特别地,①对于，可构造函数 ； ②对于，可构造函数 ； ③对于不等式，可构造函数 ; ④对于不等式，可构造函数 ; ⑤对于不等式,可构造函数 ; ⑥对于不等式,可构造函数 ； ⑦对于不等式,可构造函数 .#1.1.1.3.7 61 4.对于,可构造函数 . 特别地，①对于（或），可构造函数 ; ②对于，可构造函数 ; ③对于不等式,可构造函数 . 5.对于，可分为两类：①若，则可构造函数 ; ②若，则可构造函数 .#1.1.1.5.1 62 【学会了吗丨变式题】 6.已知定义在上的函数满足，且 恒成立，则不等式 的解集为( ) D A. B. C. D. 【解析】设（将看作 的导数，则可以利用构造函数技巧1进行 构造）,由恒成立，可得,在 上单调递增. 又, , ,, , 即原不等式的解集为 .故选D. . . 63 题型5 利用导数判断函数零点（或方程根）的个数 例15 已知函数，讨论的单调性,并证明 有且仅有两个零点. 64 【解析】的定义域为 . （定义域优先） 因为,所以在和 上单调递增. 因为,，所以在 上有唯一 零点（可以通过证明函数 在某区间上存在零点（函数零点存在定理），且函 数在该区间上单调来证明函数在该区间上存在唯一零点）,即 . 又, , 故在上有唯一零点 . 综上， 有且仅有两个零点. . . . . . . 65 确定函数零点个数的基本步骤 （1）确定函数的定义域. （2）利用导数确定函数的单调区间，对于含变量的函数，需要对变量作分类讨论， 进而确定其单调区间. （3）在函数的各单调区间内，利用函数零点存在定理确定零点的存在性，即得函数 在整个定义域内的零点个数. 66 【学会了吗丨变式题】 7.已知函数（其中 ）． （1）若，判断函数在 上的单调性； 【答案】时，，, ，当 时，显然， ， 故，即函数在 上单调递增. 67 （2）若，判断函数 的零点个数，并说明理由. 【答案】时， ， 易知是零点，令,则,显然 为奇函数， 且 ， 又，故在 上单调递增， 故当时，，时，，即在 上单调递减，在 上单调递增. 由于，且，故在和 上各有一个零点. 综上可知， 共有3个零点. 68 高考帮 考试课丨核心素养聚焦 考情揭秘 在高考中，本节内容在选择题、填空题和解答题都会体现，题目一般较灵活有难度， 主观题一般是导数题的第一小问，直接求解（或讨论）函数的单调性，如在第二问， 一般和函数（隐）零点、不等式证明等知识结合在一起，难度较大.考查数形结合、 分类讨论及转化与化归思想，其内涵极为丰富，因此是历年高考考查的重点与热点. 核心素养：数学运算（导数运算）、逻辑推理（导数与函数单调性之间的关系）. 69 考向1 探求函数的单调性 1 探求不含参函数的单调性 例16 (2023·全国甲卷节选)已知函数，，讨论 的单调性. 【解析】 . 令，则 , 令 , 当时，；当时， . 故当时,, 单调递增； 当，时,, 单调递减. 所以在区间上单调递增，在区间， 上单调递减. 70 2 探求含参函数的单调性 例17 (全国乙卷) 已知函数 . （1）讨论 的单调性； 71 【解析】由题意知的定义域为，，对于 ， . ①当时，，在 上单调递增; ②当时，令，即，解得, ， 令，则或 ； 令，则 . 所以在上单调递增，在上单调递减，在 上单调递增. 综上，当时，在上单调递增；当时，在 上单调递 增，在上单调递减，在 上单调递增. 72 （2）求曲线过坐标原点的切线与曲线 的公共点的坐标. 【解析】记曲线过坐标原点的切线为，切点为 ， 因为 ， 所以切线的方程为 . 由过坐标原点，得，解得，所以切线的方程为 . 令，则，解得 ， 所以曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标为 和 . 73 （1） （2） 74 考向2 单调性的应用 1 利用函数的单调性求参数的取值范围 例18（1）(2023· 新课标Ⅱ卷)已知函数在区间 上单调递增，则 的最小值为( ) C A. B. C. D. 【解析】因为函数，所以 .因为函数 在上单调递增，所以在 上恒成立，即 在上恒成立，易知，则在 上恒成立.（题眼） 设，则 . 当时，，单调递增，所以在上， ，所以 ，即 ，故选C. . . . . 75 （2）(2023·全国乙卷)设,若函数在 上单调递 增,则 的取值范围是_ _________. ,1） 【解析】第1步：求出函数 单调递增的充要条件 由题意得当 时， ，设 ，因为，所以 . 第2步：求参数 的取值范围 因为,所以,，所以在 上单调递增，故只需 满足，即，所以 ，解得 或，又，所以的取值范围为 ,1）. 76 例19 (2025·天津卷节选)已知函数 . （1）时，求曲线在点 处的切线方程. 【解析】第1步：求切点坐标 当时，，，故切点为 . 第2步：求斜率，得切线方程 ， ， 故曲线在点处的切线方程为，即 . 77 （2）有3个零点,,且,求 的取值范围. 【解析】 （分离参数，转化为函数图象的交点个数问题） （“有3个零点，，，且”，可转化为方程 有3个不相 等的实根，进而通过研究函数的值域来确定 的取值范围） 第1步：转化问题 因为，所以原问题可转化为方程有3个不相等的实根，， ，且 . 令，则问题转化为直线与函数 的图象有3个不同的交点. 78 第2步：求导，并研究 的单调性 ， 令，得 . 则或，解得或 . 当时，， ， 所以，在 上单调递减； 当时，， ， 所以，在 上单调递增； 当时，， ， 所以，在 上单调递减. 79 第3步：求 在某些点处的函数值与极限 ， . 当时， ， ， ， 所以 . 当 时， . 80 图5.3.1-6 第4步：确定 的取值范围 如图5.3.1-6，因为直线与函数 的图象有3个不同 的交点，结合 的图象可知， 且 . 81 故的取值范围为 . （换元后直接求解） 第1步：换元 设，则方程可化为，即 . 第2步：构造函数，求导，并研究 的单调性 设函数 ， 则 ， “函数有3个零点，，，且”等价于“ 有3个零 点，， ”. 当时，，所以，在 上单调递减； 82 当时，，所以，在 上单调递增； 当时，，所以，在 上单调递减. 第3步：求 在某些点处的函数值与极限 ， ， 当 时， ， ，所以 ， 当 时， . 第4步：确定 的取值范围 结合的单调性、函数值、极限可知，，解得 . 故的取值范围为 . 例20 (2024· 新课标Ⅰ卷)已知函数 . （1）若，且，求 的最小值； 【解析】时，，其中 ， 则, ， 因为，当且仅当 时等号成立， 故，而成立，故，即 ， 所以的最小值为 . 84 （2）证明：曲线 是中心对称图形； 【解析】因为的定义域为，将 的图象向左平 移一个单位长度，得到新函数的图象，则 的定义域 为，且是奇函数，是奇函数， 为奇函数，再将函数 的图象向下平移个单位长度（或向上平移个单位长度 ），得 到函数的图象，且为奇函数，即函数 的图象为中 心对称图形，对称中心为，所以曲线也为中心对称图形，对称中心为 . 85 （3）若当且仅当，求 的取值范围． 【解析】因为当且仅当 ， 故为 的一个解， 所以,即 . 先考虑时， 恒成立, 此时即为在 上恒成立， 设,，则在 上恒成立， 设, ， 则 ， 86 当时， ， 故恒成立，故在 上为增函数， 故，即在 上恒成立. 当时， ， 故恒成立，故在上为增函数，故 , 即在 上恒成立. 当，即当时， ， 故在上为减函数，故 ，不合题意，舍去. 综上，在上恒成立时， . 而时，由上述过程可得在递增，故的解为 ， 即的解为 . 综上， . 2 利用函数的单调性比较大小 例21（1）(2022·新高考全国Ⅰ卷)设,, ,则( ) C A. B. C. D. 【解析】设, , ，则当时，， ， . ①设，则在 上恒成立, 所以在 上单调递减， 89 所以 ， 即 ， 所以 ， 又函数在 上单调递增， 所以，即 ， 所以 . ②设 ，则 ， 设，则在 上恒成立， 所以在 上单调递增， 所以 ， 即在 上恒成立， 所以在 上单调递增， 所以 ， 即 ， 所以,即 . 综上， ，故选C． 91 （2）(2022·全国甲卷)已知,, ,则( ) A A. B. C. D. 【解析】因为 ， 所以.令 ，则 ， 所以函数在上单调递增，所以当时， ，即有 成立，所以，得，所以 . 92 因为，所以令 ，则 ，所以函数 在定义域内单调递增，所以当 时，，即有成立，所以 ，即 ，所以，即.综上 . 名师点评 比较三角函数值的大小时，一般需要构造函数，利用函数的单调性进行比 较，常常利用常见不等式进行放缩，比如：， ， 以及它们的常见变形等. 94 3 函数零点的探求 例22 (2022·全国乙卷)已知函数 . （1）当时，求曲线在点 处的切线方程； 【解析】当时， ， ， ， ， 所求切线方程为，即 . 95 （2）若在区间，各恰有一个零点，求 的取值范围. 【解析】 . ①当时，若,则， , ，在 上无零点，不符合题意. ②当时， . 令,则，在 上单调递增， , ， 若，则 ， 96 时，在 上恒成立， 在 上单调递增， ，在 上恒成立， 在 上恒成立， 在 上单调递增， ， 在, 上均无零点，不符合题意. 若,则 , 时，存在，使得 .（注意隐零点的应用情境,及设而不 求的应用思想） 在上单调递减，在 上单调递增. ,, . 当,即时，在 上恒成立， 在 上恒成立, 在 上单调递增. , 当时， ， 在 上无零点，不符合题意. 98 当，即 时， 存在,，使得 , 在，上单调递增，在 上单调递减. ,,当时， ， 在 上存在一个零点， 即在 上存在一个零点， ,当 时， , 在 上存在一个零点， 即在 上存在一个零点. 综上，的取值范围是 . 99 4 证明不等式 例23 (2024·全国甲卷)已知函数 . （1）求 的单调区间; 【解析】因为 ， 所以， ， 若,则恒成立，所以在上单调递减，即 的单调递减区 间为 ,无单调递增区间； 若,则当 时,,当 时, , 所以的单调递减区间为,单调递增区间为 . 综上，当时，的单调递减区间为，无单调递增区间；当 时， 的单调递减区间为，单调递增区间为 . 100 （2）当时，证明：当时， 恒成立. 【解析】 （作差法） 设，只需证当 时 即可. 易知 ， 令,则 ， 由基本初等函数的单调性可知在 上单调递减, 则当时， , 所以在上单调递减,于是当时， ， 又，所以，则当时，，故在 上单调递减, 所以当时，,即当时, 恒成立. 101 （放缩法） 因为,所以当 时, . 令,则只需证当时 . 易知 ， 令,则 在 上单调递增, 则当时，,所以在 上单调递增, 所以当时，,故在 上单调递增, 所以当时，,即当时, 恒成立. 102 例24 (2022·新高考全国Ⅱ卷节选)已知函数 . （1）当时，讨论 的单调性； 【解析】当时，， ， 当时，，函数在 上单调递增; 当时，，函数在 上单调递减. 103 （2）设，证明： . 【解析】先证不等式 成立. 不等式 成立 （其中 ）. 构造函数 ， 则 . 当时， ， 所以函数在上单调递减， ，从而不等式成立. 104 令, ， 则有 ， 整理可得， ， 故 ， 即 成立. 5 函数图象交点的探求 例25 (2024·全国甲卷)曲线与在 上有两个不同 的交点，则 的取值范围为________． 106 【解析】令 ， 即 . 令 , 则 . 令得 ， 当时，， 单调递减， 107 图5.3.1-7 当时，，单调递增， , ，函数与 的图象如图5.3.1-7所示. 因为曲线与在 上有两个 不同的交点等价于直线与曲线 有两个交点，所以 . 108 高考新题型专练 1.[多选题](2024·新课标Ⅰ卷改编)设函数 ，则( ) ACD A.的单调递减区间为 B.当时， C.当时， D.当时， 109 【解析】对于A，因为函数的定义域为 ，而 ，易知当 时， ，当或时，，函数在 上单调 递增，在上单调递减，在上单调递增，故的单调递减区间为 ， A正确； 对于B，当时，，所以 ，而由A选项 分析可知，函数在上单调递增，所以 ，B错误； 对于C，当时，，而由A选项分析可知，函数在 上 单调递减，所以，即 ，C正确； 对于D，当 时， ，所 以，D正确.故选 . 110 2.［多选题]已知函数 ，则下列结论正确的是( ) ABC A.当时， B.当时， C.当时， D.当时， 111 【解析】对于A,令 , 所以在 上单调递增， 因为，所以，所以 , 所以 ，故A正确； 对于B,令 , , 令，得,所以在上，， 单调递减， 在上，， 单调递增， ，所以 ， 112 所以 ，故B正确； 对于C， ， 令，得,所以在上，， 单调递减， 在上，， 单调递增， 因为，所以 ， 所以 ，故C正确； 对于D， ， 由上可知当时，，所以 符号无 法确定，故D错误. 练习帮 习题课丨学业质量测评 A 基础练丨知识测评 建议时间:30分钟 1.已知函数的图象如图5.3.1-1所示，那么函数的导函数 的图象最有可 能是( ) B 图5.3.1-1 A. B. C. D. 115 【解析】由函数的图象可知，函数在上单调递增，在 上为 单调递减，在上单调递增，可得在和 上大于0，在 上小于0，则函数的导函数 的图象最有可能是B． 116 图5.3.1-2 2.已知函数的导函数 的图象如图5.3.1-2所示， 则 的图象可能是( ) D A. B. C. D. 【解析】由图象可知，当时，，即在 上单调递减； 当时，，即在 上单调递增； 当时，，即在 上单调递减． 结合各选项，只有D符合要求． 117 3.三次函数在 上是减函数，则( ) D A. B. C. D. 【解析】，要使在上为减函数，则在 上恒成立，即 ，又时，恒成立，所以.综上 . 4.［教材改编P231 T12］ 函数 的单调递减区间为( ) B A. B. C. D. 【解析】易知，函数定义域为，,令 得 ．故的单调递减区间为 ．故选B． 118 5.［多选题］ 已知定义在上的函数的导函数为 ，且对于任意的 都有 ，则( ) AC A. B. C. D. 【解析】构造函数，则在 恒成立， 所以在上单调递减，则 ，所以 ，所以， ， ，，无法比较与，故选 . 119 6.[多选题] 已知定义域为的函数的图象连续不断，且 ， ，当时， ,若 ，则实数 的取值可以为( ) ABC A.1 B. C. D. 120 【解析】 依题意， ， 所以，构造函数 即为奇函数， , 当时，，在 上单调递减， 又，根据奇函数的性质可知，在 上单调递减， 因为 ， 即，所以 , 解得，故选 . . . 121 因为,且并不受的影响，所以中必定会有 , 又, , 所以不妨设,则,均为常数 . 又 ,即 , 整理为,得 . 结合选项可知选 . 122 7.若函数在区间上单调递增，则 的取值范围是________;函 数在区间上不单调，则 的取值范围是______. 【解析】由,得,由函数 在区间 上单调递增， 得在上恒成立，即在 上恒成立， 的取值范围是 . 函数在区间 上不单调， 在区间 上有解，并且在解的两侧，导函数的符号相反， 由,解得, . 经检验在区间上单调递减，在上单调递增, 的取值范围是 ． 123 8.已知函数 ． （1）讨论函数 的单调性； 【答案】，单调递增，且恒成立 当时，，在 上单调递增； 当时，由，得 ， 则在上单调递减，在 上单调递增． 124 （2）若，证明：当时， ． 【答案】因为 ， 所以 ， 令，则 ， 当时， ， 所以在 上单调递增， 故 ， 即，则在 上单调递增． 故当时， ． 125 B 综合练丨高考模拟 建议时间:50分钟 9.(2026·四川省广安市前锋区模拟)设,, ，则 ( ) B A. B. C. D. 126 【解析】,设 ， （【解题关键】构造函数是解决本题的关键） 则，,当 时， ，故当时，,所以 在 上单调递减，所以，即 . ,设 ，则 ，,当 时， ，故当时，，所以在 上单 调递增，所以，故，从而有 . 127 10.已知函数，若函数有唯一零点，则 的取值 范围为( ) D A. B. C. D. 128 【解析】 （排除法） 当时，，令 ，可得 ，有无数解，所以 不成立，故排除B，C. 当时，易得 ． 令，则 ， 所以当时，，即在 上为增函数. 因为，所以当时，，当时， ，所 以在上单调递增，在 上单调递减. 又，所以当时，，当时， ，即当 时，，当且仅当时， . 故当时， 有唯一的零点，故排除A，选D． 129 因为,所以 , 令,则 . ①当时， , 当时， ， 因为,所以函数在上有唯一零点,故 符合题意. ②当 时，同方法1知不合题意. ③当时， ， 因为，且函数的图象是一条连续不断的曲线，所以 , 使得 ,（零点存在定理） 并且当时，,单调递减，所以，即 ， 130 所以函数在 上单调递减， 所以 . 因为，所以函数在 上存在零点， 因为,所以函数在上不可能存在唯一零点，故 不合题意. ④当时， 恒成立， 所以函数在 上为增函数， 因为,所以当时，，当 时， . 所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以当 时， , 所以函数在上有唯一零点,故 符合题意. 综上所述,的取值范围是 .故选D. 11.新定义 严格下凸 ［多选题］ 函数在区间上连续，对 上任意 两点与，有时，我们称函数在 上严格下凸，若 用导数的知识可以简单地解释为原函数的导函数的导函数（二阶导函数）在给定区 间内恒为正，即 ．下列函数中在所给定义域内“严格下凸”的有( ) BC A. B. C. D. 132 【解析】对于A，，则在 时恒成立，不符合题意，故选项A错误. 对于B，，则 恒成立，符合题意， 故选项B正确. 对于C，，则在 时恒成 立，符合题意，故选项C正确. 对于D，，则 在 时恒成立，不符合题意，故选项D错误． 133 12.已知函数是定义在的奇函数，当 时， ，则不等式 的解集为_________________. 【解析】令（构造函数），当 时， ， ， 在 上单调递减. 又为定义在 的奇函数， 为偶函数，在 上单调递增. 不等式 ， 即 . 当，即时，式可化为 ， . . 134 即，，解得 ； 当，即时，式可化为，即 ， ，解得 . 综上所述，不等式的解集为 ． 13.已知函数 . （1）若,求 的单调区间； 【答案】当时，, . 令,解得或 . 当时， ; 当时， . 故的单调递增区间为, ，单调递减区间为 . 136 （2）证明: 只有一个零点. 【答案】由于,所以等价于 . 设,则,当且仅当时, ,所以 在 上单调递增. 故至多有一个零点，从而 至多有一个零点. 又,,故 至 少有一个零点.（零点存在定理） 综上， 只有一个零点. 137 14.新考法 结构不良 在；的图象在点 处的切线斜率 为0；的单调递减区间为 这三个条件中任选一个补充在下面的问题（1） 中，并加以解答． 已知 ， （1）若____，求实数 的值； 【答案】 ， 选条件①，则，所以 ． 选条件②，则，所以 ． 选条件③，则依题意0和是的两个根，所以． 138 （2）若，讨论函数 的单调性． 【答案】 ， 当时，令，则，令，则 ， 所以在上单调递减，在 上单调递增； 当时，令，则，令，则 或 , 所以在，上单调递增，在 上单调递减； 当时，，所以在 上单调递增； 当时，令，则,令，则或 ， 所以在，上单调递增，在 上单调递减. 139 综上所述,当时，在上单调递减，在 上单调递增； 当时，在，上单调递增，在 上单调递减； 当时，在 上单调递增； 当时，在，上单调递增，在 上单调递减． C 培优练丨能力提升 15.若关于的不等式有且仅有三个不同的整数解，则整数 的最 小值为___. 3 【解析】设, . 易知 . 当时， ; 当时， . 因此在区间上单调递减，在区间 上单调递增. 所以当时，;当时， ， 141 图D 5.3.1-1 由此作出 的草图，如图D 5.3.1-1所示. 又的图象是过点的直线，结合图象可知 . （数形结合，若 ，则有无数个不同的整数解） 由于时， ， ， ， 因此0，1，2是不等式 的三个整数解. 由于不等式 有且仅有三个不同的整数解， 所以即 解得 ， 又为整数，则 . 经检验， 符合要求. 所以符合条件的 的最小值为3. . . 142 $