专题03 导数与函数的极值与最值的应用（含极值点偏移）等4种题型归类（压轴题专项训练）数学苏教版2019选择性必修第一册

专题03 导数与函数的极值与最值的应用 目录 类型一、利用导数的极值或极值点个数求参数问题 类型二、利用导数研究不等式的恒成立问题 类型三、利用导数研究不等式的有解问题 类型四、导数中的极值点偏移问题 压轴专练 类型一、利用导数的极值或极值点个数求参数问题 解题技巧： （1） 核心是利用极值点是导函数f'(x)=0的变号零点这一本质，结合导数分析极值点的存在性与个数，进而求解参数范围 （2） 常用技巧如下： ①求导找临界点：先求原函数的导函数f'(x)，令f'(x)=0得到可能的极值点（临界点），并明确原函数的定义域，排除不在定义域内的临界点。 ②分类讨论参数：当f'(x)含参数时，按参数的关键取值（如使f'(x)=0)的根相等/不等、判别式△=0)等分界点）分类讨论：分析每类情况下f'(x)的零点个数；结合零点两侧f'(x)的符号变化，判断是否为真正的极值点；根据极值点个数要求，列不等式求解参数范围。 ③判别式法（针对二次型导函数）：若f'(x)是二次函数（或可化为二次函数的形式），利用判别式△判断零点个数： △>0：f'(x)=0有两个不同实根，需结合根的分布（如根是否在定义域内、根的大小关系）分析极值点； △=0：f'(x)=0有一个实根，需验证该根两侧f'(x)符号是否改变（不变则无极值点）； △<0：f'(x)=0无实根，函数无极值点。 ④数形结合法：画出导函数f'(x)的大致图像，结合图像与x轴的交点个数（即极值点个数），以及交点两侧f'(x)的符号，直观列出关于参数的不等式，求解参数范围。 ⑤极值点存在的核心条件：若要求函数有n个极值点，需满足：f'(x)=0在定义域内有n个不同的实根；每个实根两侧'(x)的符号相反（即该根为变号零点）。据此列方程/不等式组，求解参数。 ⑥分离参数法（辅助）：部分情况下，可将f'(x)=0变形为参数与变量分离的形式（如a=g(x)），通过导数研究y=g(x)的单调性、极值、值域，结合极值点个数要求，确定参数的取值范围。 ⑦验证定义域与端点：极值点必须在原函数的定义域内，同时需注意区间端点处的函数值与导数符号，避免因忽略定义域导致参数范围错误。 例1．""是"函数有极值"的（    ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变式1-1．若函数有唯一极值点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式1-2．已知函数 ，若恰有4个极值点，则的取值范围为 . 变式1-3．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若是的极小值点，求实数的取值范围； 变式1-4．已知函数. (1)若，求不等式的解集； (2)若在上存在极大值，求的取值范围. 类型二、利用导数研究不等式的恒成立问题 解题技巧： （1） 核心是将不等式恒成立问题转化为函数的最值问题，即f(x)≥0（或f(x)≤0）在区间D上恒成立⇔f(x)min≥0（或f(x)max≤0，(x∈D)。 （2） 常用方法如下： ①构造函数法：将不等式移项变形，构造新函数F(x)=f(x)-g(x)，把原问题转化为F(x)≥0恒成立；再通过导数分析F(x)的单调性、极值、最值，列不等式求解。 ②分离参数法：若参数可与变量分离，将不等式变形为a≥g(x)恒成立；转化为求g(x)的最大值（或最小值），参数a需满足a≥g(x)max ③分类讨论法：当参数无法分离，或分离后函数结构复杂时，按参数的关键取值（如影响导数符号、极值点的分界点）分类；分别讨论每类情况下函数的单调性、极值，求出最值后列不等式求解参数范围。 ④最值分析法：直接求原函数（或构造函数）的导数，确定单调区间与极值点；计算极值与区间端点的函数值，确定函数的最值；再根据恒成立条件列不等式求解。 ⑤放缩辅助法：利用常见不等式放缩如ex≥x+1、lnx≤x-1、sin x≤x等）简化函数结构；再结合导数分析，验证放缩后的不等式恒成立，降低求解难度。 ⑥端点效应法：对于区间上的恒成立问题，先分析区间端点处的函数值与导数符号，结合单调性快速缩小参数范围；再验证范围内的参数是否满足全区间恒成立，减少讨论量。 ⑦注意定义域与导数符号：求解时需严格关注函数的定义域，确保极值点、最值点在定义域内；同时准确判断导数的符号变化，避免因单调性分析错误导致最值求解失误。 例2.函数（，），若在上恒成立，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式2-1．对，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式2-2．已知是的两个不同的极值点，且，若恒成立，则实数的取值范围是 . 变式2-3．已知函数，其中． (1)求函数的极值； (2)当时，恒成立，求实数的范围． 类型三、利用导数研究不等式的有解问题 例3．若命题“，能成立”为假命题，则正数a的最小值为 ． 变式3-1．已知函数在时取得极值． (1)求实数的值； (2)存在，使得成立，求实数的取值范围． 变式3-2．已知函数， (1)若是的极小值点，求a； (2)若存在，使，求a的取值范围. 变式3-3．已知函数在处取得极值． (1)求； (2)函数图象与函数图象关于点对称，若存在使成立，求实数的取值范围； 变式3-4．已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若函数存在一个极大值点和一个极小值，则是否存在实数，使得成立？若成立，求出的值；若不成立，请说明理由． 类型四、导数中的极值点偏移问题 解题技巧： 1．对称化构造法 主要用来解决与两个极值点之和，积相关的不等式的证明问题．其解题要点如下： (1)定函数(极值点为x0)，即利用导函数符号的变化判断函数的单调性，进而确定函数的极值点x0． (2)构造函数，即对结论x1＋x2>2x0型，构造函数F(x)＝f(x)－f(2x0－x)或F(x)＝f(x0＋x)－f(x0－x)； 对结论x1x2>x型，构造函数＝－，通过研究F(x)的单调性获得不等式． (3)判断单调性，即利用导数讨论F(x)的单调性． (4)比较大小，即判断函数F(x)在某段区间上的正负，并得出f(x)与f(2x0－x)的大小关系． (5)转化，即利用函数f(x)的单调性，将f(x)与f(2x0－x)的大小关系转化为x与2x0－x之间的关系，进而得到所证或所求． 【注意】若要证明的符号问题，还需进一步讨论与x0的大小，得出所在的单调区间，从而得出该处导数值的正负． 2．比(差)值代换法 比(差)值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点之比(差)作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用比值或差值(一般用t表示)表示两个极值点，即t＝，化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于t的函数问题求解． 3．对数均值不等式法（※） 两个正数和的对数平均定义： 对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：（此式记为对数平均不等式） 取等条件：当且仅当时，等号成立． 只证：当时，．不失一般性，可设．证明如下： (1)先证：① 不等式① 构造函数，则． 因为时，，所以函数在上单调递减， 故，从而不等式①成立； (2)再证：② 不等式② 构造函数，则． 因为时，，所以函数在上单调递增， 故，从而不等式②成立； 综合(1)(2)知，对，都有对数平均不等式成立， 当且仅当时，等号成立． 例4．已知函数. (1)若，求的最小值； (2)若函数恰有两个不同的零点. （i）求的取值范围； （ii）求证：. 变式4-1．已知函数． (1)若的图象在点处的切线与直线垂直，求函数的单调递减区间； (2)若方程有两个不相等的实根，，求证：． 变式4-2．已知函数． (1)若，求的取值范围； (2)若函数有两个不同的零点，证明：． 变式4-3．已知函数，直线与曲线相切. (1)求实数； (2)若函数有三个极值点， ①求实数的取值范围； ②求证：. 压轴专练 1.若函数在上有极值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3.函数在区间上存在极值，则的最大值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 4.已知函数存在极值点，则实数的取值范围是 5.已知函数，若函数有两个极值点，则实数的取值范围为 . 6.已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的极值； (3)当时，恒成立，求实数的取值范围． 7.已知函数. (1)求的单调区间； (2)若对于任意，总存在，使得，求的取值范围. 8.已知函数． (1)过原点是否存在一条直线与的图象相切？并说明理由； (2)当时． ①若，求的取值范围； ②证明：当时，． 9.已知函数，其中． (1)求的单调区间； (2)当时，设的两个零点为，求证：． 10.已知函数，其中． (1)若函数有处取得极大值0，求的值； (2)函数． （i）证明：曲线图象上任意两个不同点处的切线均不重合； （ii）当时，若，使得成立，求实数的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 导数与函数的极值与最值的应用 目录 类型一、利用导数的极值或极值点个数求参数问题 类型二、利用导数研究不等式的恒成立问题 类型三、利用导数研究不等式的有解问题 类型四、导数中的极值点偏移问题 压轴专练 类型一、利用导数的极值或极值点个数求参数问题 解题技巧： （1） 核心是利用极值点是导函数f'(x)=0的变号零点这一本质，结合导数分析极值点的存在性与个数，进而求解参数范围 （2） 常用技巧如下： ①求导找临界点：先求原函数的导函数f'(x)，令f'(x)=0得到可能的极值点（临界点），并明确原函数的定义域，排除不在定义域内的临界点。 ②分类讨论参数：当f'(x)含参数时，按参数的关键取值（如使f'(x)=0)的根相等/不等、判别式△=0)等分界点）分类讨论：分析每类情况下f'(x)的零点个数；结合零点两侧f'(x)的符号变化，判断是否为真正的极值点；根据极值点个数要求，列不等式求解参数范围。 ③判别式法（针对二次型导函数）：若f'(x)是二次函数（或可化为二次函数的形式），利用判别式△判断零点个数： △>0：f'(x)=0有两个不同实根，需结合根的分布（如根是否在定义域内、根的大小关系）分析极值点； △=0：f'(x)=0有一个实根，需验证该根两侧f'(x)符号是否改变（不变则无极值点）； △<0：f'(x)=0无实根，函数无极值点。 ④数形结合法：画出导函数f'(x)的大致图像，结合图像与x轴的交点个数（即极值点个数），以及交点两侧f'(x)的符号，直观列出关于参数的不等式，求解参数范围。 ⑤极值点存在的核心条件：若要求函数有n个极值点，需满足：f'(x)=0在定义域内有n个不同的实根；每个实根两侧'(x)的符号相反（即该根为变号零点）。据此列方程/不等式组，求解参数。 ⑥分离参数法（辅助）：部分情况下，可将f'(x)=0变形为参数与变量分离的形式（如a=g(x)），通过导数研究y=g(x)的单调性、极值、值域，结合极值点个数要求，确定参数的取值范围。 ⑦验证定义域与端点：极值点必须在原函数的定义域内，同时需注意区间端点处的函数值与导数符号，避免因忽略定义域导致参数范围错误。 例1．""是"函数有极值"的（    ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】先求得的导数，再分，讨论导函数何时有“变号”零点，得到的取值范围，然后根据充分条件，必要条件的定义判断. 【详解】，则， 当，是开口向下的二次函数，显然此时有极大值； 当，，有极值， 则其导函数的函数值要存在变号零点， 即二次方程必须有两个不相等的实数根， 则，解得，则且； 综上，函数有极值时. 故""是"函数有极值"的充要条件. 故选：C 变式1-1．若函数有唯一极值点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先对函数求导，然后根据导数的性质分析函数的单调性，进而确定极值点的情况，从而求出实数a的取值范围. 【详解】因为只有1个极值点，所以，， 由，得，设，， 则在区间上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减， 且，，当时，，当时，， 当 时，直线 与 的图象仅在 区间有1个交点， 且该交点为变号零点（ 在 单调递减），则只有1个极值点， 当 时，直线 与 的图象有3个交点，则有3个极值点， 当 时，直线 与 的图象无交点，无极值点， 所以当时有唯一极值点， 综上，实数 的取值范围是. 故选：A． 变式1-2．已知函数 ，若恰有4个极值点，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据题目条件判断函数是偶函数，要使其恰有4个极值点，只需考虑时存在2个极值点，通过求导分析，令辅助函数，其零点与相同，当参数时，在处取得最小值，为使有两个零点，需要该最小值小于零，由此可确定参数的取值范围. 【详解】的定义域，对任意，都有， ，所以为偶函数， 故恰有4个极值点等价于在上恰有2个极值点，下面只考虑的情形，此时，， 令，与在上的零点相同， 当时，在上是增函数，至多有一个零点， 则至多1个极值点，不符合题意； 当时，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增，所以， 因为有两个极值点，所以有两个零点，则，解得， 因为，令，则， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增，所以，即， 所以，又因为， 结合函数零点存在性定理可知，当时， 在，上各有一个零点，记为，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 故为的极大值点，为的极小值点，满足题意， 综上，a的取值范围为． 故答案为： 变式1-3．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若是的极小值点，求实数的取值范围； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出导函数，利用导数的几何意义求出切线斜率即可求解. （2）求出导函数，按照、、和分类讨论研究函数的单调性，结合极小值点的概念求解即可. 【详解】（1）当时，， 所以，故， 可得曲线在点处的切线方程为， 化简得． （2）因为，所以， 因为是的极小值点，所以，得， 所以， 当时，恒成立， 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，故是的极小值点. 当时，由得或. 当时，，由得或；由得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以是的极小值点. 当时，恒成立，不合题意. 当时，，由得或；由得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以是的极大值点，不合题意． 综上，实数的取值范围为． 变式1-4．已知函数. (1)若，求不等式的解集； (2)若在上存在极大值，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据确定的值，此时不等式可化为，设，分析函数的单调性，求函数的极小值，即可得不等式的解集. （2）求出函数的导数，分类讨论，根据函数的单调性确定函数的极值情况，可得参数的取值范围. 【详解】（1）由. 所以. 由. 设，. 则，. 由；由. 所以在上单调递减，在上单调递增. 又，所以在上恒成立. 即不等式的解集为. （2）因为，. 所以. 当即时，在上恒成立， 由；由. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 故函数在上只有极小值，无极大值； 当即时， 由或；由. 所以函数在和上单调递增，在上单调递减. 所以函数在处取得极大值，在处取得极小值； 当即时，在上恒成立， 所以函数在上单调递增，无极值； 当即时， 由或；由. 所以函数在和上单调递增，在上单调递减. 所以函数在处取得极大值，在处取得极小值. 综上，当时，函数在上存在极大值. 类型二、利用导数研究不等式的恒成立问题 解题技巧： （1） 核心是将不等式恒成立问题转化为函数的最值问题，即f(x)≥0（或f(x)≤0）在区间D上恒成立⇔f(x)min≥0（或f(x)max≤0，(x∈D)。 （2） 常用方法如下： ①构造函数法：将不等式移项变形，构造新函数F(x)=f(x)-g(x)，把原问题转化为F(x)≥0恒成立；再通过导数分析F(x)的单调性、极值、最值，列不等式求解。 ②分离参数法：若参数可与变量分离，将不等式变形为a≥g(x)恒成立；转化为求g(x)的最大值（或最小值），参数a需满足a≥g(x)max ③分类讨论法：当参数无法分离，或分离后函数结构复杂时，按参数的关键取值（如影响导数符号、极值点的分界点）分类；分别讨论每类情况下函数的单调性、极值，求出最值后列不等式求解参数范围。 ④最值分析法：直接求原函数（或构造函数）的导数，确定单调区间与极值点；计算极值与区间端点的函数值，确定函数的最值；再根据恒成立条件列不等式求解。 ⑤放缩辅助法：利用常见不等式放缩如ex≥x+1、lnx≤x-1、sin x≤x等）简化函数结构；再结合导数分析，验证放缩后的不等式恒成立，降低求解难度。 ⑥端点效应法：对于区间上的恒成立问题，先分析区间端点处的函数值与导数符号，结合单调性快速缩小参数范围；再验证范围内的参数是否满足全区间恒成立，减少讨论量。 ⑦注意定义域与导数符号：求解时需严格关注函数的定义域，确保极值点、最值点在定义域内；同时准确判断导数的符号变化，避免因单调性分析错误导致最值求解失误。 例2.函数（，），若在上恒成立，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由题意结合导数计算可得与有公共零点，再结合韦达定理与对数运算性质计算即可得解. 【详解】令，则， 则当时，，当，， 则在上单调递减，在上单调递增， 又，当时，，当时，， 故有两个零点、； 由在上恒成立， 则时，需，时，需， 又在上单调递减，在上单调递增， 则当、为与的公共零点时，有在上恒成立， 则有，且有， 则. 故选：C. 变式2-1．对，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将原不等式化为，令，将问题转化为，，后由单调性结合可得答案. 【详解】由有意义可知，.由，得. 令，即有.因为，所以. 令，则问题转化为当，恒成立. 因为，令，即； 令，即，， 则在上单调递增，上单调递减. 注意到，，所以当时，. 因为当，恒成立，所以只需且，解得. 故选：C. 变式2-2．已知是的两个不同的极值点，且，若恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】先求导，结合韦达定理得，，则可转化为，则的范围可求，将化为，利用导数以及求出的a的范围即可得b的范围. 【详解】， 由题意，是的根， 则有，， 所以，且， 又，即， ，即有， 又，即， 令， 则在是增函数， 所以. 故答案为：. 变式2-3．已知函数，其中． (1)求函数的极值； (2)当时，恒成立，求实数的范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）利用导数分析出当和时的单调性，再根据极值的定义可求解出结果； （2）令，根据在上恒成立求出，然后再证明其充分性成立即可. 【详解】（1）因为， 当时，令，得；令，得； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，此时无极大值； 当时，令得；令得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，此时无极小值． （2）记，即在上恒成立， ， 必要性：因为，又恒成立，所以是的最小值， 又因为，则在处取得极小值，故，得； 充分性：下面证时原式恒成立，即证， 且，， 令，则， 当时，， 所以单调递增，所以， 所以在上单调递增，所以成立； 当时，因为， 所以， 所以在上单调递增，所以， 所以在上单调递减，所以成立， 综上，当时成立，所以的取值范围为． 类型三、利用导数研究不等式的有解问题 例3．若命题“，能成立”为假命题，则正数a的最小值为 ． 【答案】 【分析】可将题意转化为，恒成立，即，令，可得在上单调递增，进而等价转化为对于恒成立.令，求出即可得出答案. 【详解】由题意可得：命题“，恒成立”（＊）为真命题， 所以（＊）式等价于，即， 令，则上式即为. 求导得对于恒成立， 所以在上单调递增，因此在上单调递增， 而当时，由于已知为正数，所以， 所以命题（＊）进一步等价于在上恒成立， 即在上恒成立. 令，则， 当，在上单调递增； 当，在上单调递减. 所以， 所以. 故答案为：. 变式3-1．已知函数在时取得极值． (1)求实数的值； (2)存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用极值的性质求出，再代入检验即可. （2）利用单调性得到，再按照能成立问题求解即可. 【详解】（1）易知， 依题意，解得， 此时， 当或时，；当时，， 即函数在，上单调递增，在上单调递减， 因此函数在时取得极值， 所以． （2）由（1）得函数在上单调递减，在上单调递增； 因为，所以 由题意可得，解得， 所以的取值范围为． 变式3-2．已知函数， (1)若是的极小值点，求a； (2)若存在，使，求a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用是极值点的条件，求导得，解得，再验证其为极小值点即可； （2）通过研究命题的否定，先得是恒成立的必要条件，再构造函数证明时恒成立，从而得原命题中a的范围是 【详解】（1）因为，且是极值点， 所以，即，得，此时， 由得；得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以是极小值点， 综上，； （2）原命题的否定为，，， 假设其为真命题，则，解得， 下面证明：时，在恒成立， 因为， 令，则， 由得；得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即证. 所以当命题，使得为真命题时，， 故a的取值范围为 变式3-3．已知函数在处取得极值． (1)求； (2)函数图象与函数图象关于点对称，若存在使成立，求实数的取值范围； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用极值的定义结合导数，即可列方程组求值； （2）利用对称思想求出，再结合不等式存在性问题，通过分离参变量可求得参数范围. 【详解】（1），由题意得， 所以，所以，经检验，符合题意，故； （2）由（1）得， 由函数图象与函数图象关于点对称， 则把点代入即可得， 即， 整理得： 所以， 因为，所以， ①当时，，不成立，舍去． ②当时，，令 所以 令得，令得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，因为存在使成立， 所以，所以，综上所述，； 变式3-4．已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若函数存在一个极大值点和一个极小值，则是否存在实数，使得成立？若成立，求出的值；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)的单调递增区间为和，单调递减区间为； (2)不存在实数，使得成立． 【分析】（1）先求导，令求出增区间，令求出减区间； （2）求导分析可得方程有两个不等实根，求出的取值范围，再根据解出的值，即可求解. 【详解】（1）解：当时，，， 令，解得或， 当时，，当时，， 所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为； （2）解：， 因为函数有两个不同的极值点，即有两个不同的零点， 则方程有两个不等实根， 一方面，解得，此时， 不妨设，则随着变化时，和的变化情况如下表： ， ， 0 0 增函数 极大值 减函数 极小值 增函数 所以是函数的极大值点，是函数的极小值点，即是极大值，是极小值． 另一方面，． 因为 ， 所以，不满足， 故不存在实数，使得成立． 类型四、导数中的极值点偏移问题 解题技巧： 1．对称化构造法 主要用来解决与两个极值点之和，积相关的不等式的证明问题．其解题要点如下： (1)定函数(极值点为x0)，即利用导函数符号的变化判断函数的单调性，进而确定函数的极值点x0． (2)构造函数，即对结论x1＋x2>2x0型，构造函数F(x)＝f(x)－f(2x0－x)或F(x)＝f(x0＋x)－f(x0－x)； 对结论x1x2>x型，构造函数＝－，通过研究F(x)的单调性获得不等式． (3)判断单调性，即利用导数讨论F(x)的单调性． (4)比较大小，即判断函数F(x)在某段区间上的正负，并得出f(x)与f(2x0－x)的大小关系． (5)转化，即利用函数f(x)的单调性，将f(x)与f(2x0－x)的大小关系转化为x与2x0－x之间的关系，进而得到所证或所求． 【注意】若要证明的符号问题，还需进一步讨论与x0的大小，得出所在的单调区间，从而得出该处导数值的正负． 2．比(差)值代换法 比(差)值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点之比(差)作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用比值或差值(一般用t表示)表示两个极值点，即t＝，化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于t的函数问题求解． 3．对数均值不等式法（※） 两个正数和的对数平均定义： 对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：（此式记为对数平均不等式） 取等条件：当且仅当时，等号成立． 只证：当时，．不失一般性，可设．证明如下： (1)先证：① 不等式① 构造函数，则． 因为时，，所以函数在上单调递减， 故，从而不等式①成立； (2)再证：② 不等式② 构造函数，则． 因为时，，所以函数在上单调递增， 故，从而不等式②成立； 综合(1)(2)知，对，都有对数平均不等式成立， 当且仅当时，等号成立． 例4．已知函数. (1)若，求的最小值； (2)若函数恰有两个不同的零点. （i）求的取值范围； （ii）求证：. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见详解 【分析】（1）由，，求导利用导数求函数最值即可； （2）（i）由参变分离得，令，则，令，求导分析函数的单调性，根据单调性确定图像，再根据函数图像确定范围即可； （ii）由（i）知，恰有两个不同的解为，，令，求导确定单调性，根据单调性可得，继而得到，再结合函数的单调性可得，即. 【详解】（1），，， 又因为在单调递增，且， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 即， 故的最小值为1. （2）（i），则， 令，即， 令，， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 则，又时，，时，， 所以的函数图像如下： 又单调递增，函数恰有两个不同的零点， 所以恰有两个不同的解， 则的取值范围为. （ii）证明：由（i）设恰有两个不同的解为， 则，即，不妨取，， 令， ， ，即， 所以在单调递增，即， 故，又， 所以， 又，在单调递减， 所以，即， 所以. 变式4-1．已知函数． (1)若的图象在点处的切线与直线垂直，求函数的单调递减区间； (2)若方程有两个不相等的实根，，求证：． 【答案】(1)和． (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意首先求得实数的值，然后结合导函数与原函数的关系求得函数的单调区间即可； （2）首先写出，满足的关系式，然后结合对数的运算法则进行恒等变形，最后构造 ，讨论函数的性质即可证得结论. 【详解】（1）由题可得函数的定义域为： ， 由，得． 令，解得：或 所以的单调递减区间为和． （2）由得所以． 因为，故只要证， 即证． 不妨设，即证． 令，只需证． 令， 则在上单调递增， ，得证． 变式4-2．已知函数． (1)若，求的取值范围； (2)若函数有两个不同的零点，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据不等式恒成立应用参数分离，再构造新函数得出函数单调性及最值即可求解； （2）根据函数的零点个数结合函数单调性，构造函数得出导函数判断函数单调性及最值即可证明； 【详解】（1）因为，所以，即． 令，则． 当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 所以，则， 故的取值范围是． （2），易知． 令，则有两个不同的零点． 求导得， 当时，在上单调递减， 故不可能存在两个不同的零点，不满足题意； 当时，当时，单调递减； 当时，单调递增． 当时，，当时，． 故，解得． 设，则． 要证，即证， 因为是两个不同的零点，所以， 故令， ，且． 所以， 所以在上单调递减，故． 因为，所以， 所以． 因为在上单调递增，且， 所以，即． 变式4-3．已知函数，直线与曲线相切. (1)求实数； (2)若函数有三个极值点， ①求实数的取值范围； ②求证：. 【答案】(1)； (2)①； ②证明见解析. 【分析】（1）设出切点的横坐标，根据直线与曲线相切，即可求出实数； （2）①求出表达式并求导，通过函数有3个极值点得出导数的情况，构造函数，进而将问题转化为直线与函数的交点问题，通过求解的单调性和范围，即可求出实数的取值范围； ②根据其中一个极值点，将问题转化为证明极值点偏移问题，即，根据，将转化为，构造函数的形式，最后对函数进行求导并判断其单调性，从而证明结论成立. 【详解】（1）由题意，， 在中，， ∵与直线 相切， 设切点的横坐标为， ，解得：. （2）①由题意及（1）得，，， 在中，， ∴， 在中，， ， ∵有三个极值点， ∴有3个根，即有3个根， 设其中一个根为，则有2个根，且都不为0和1， 即有2个解，即直线与函数有2个交点， 在中，， 当时，解得：， 当即时，函数单调递减， 当即时，函数单调递增， ∴函数在处取最大值，， ∵当时，，当时，， ∴， ∵直线与函数有2个交点，且交点横坐标不为1， ∴. ②由题意，（1）及（2）①证明如下，， 在中，， 有三个极值点，其中， 则另外两个，是方程的根，即的两个根， ∴要证，即证明， 设， 在中，， ∵， ∴，在上单调递减， 要证，即证， ∵，， ∵在上单调递减， ∴要证，即证， ∵， ∴，即为， ∴设，， ， 当时, ， ∴， ∴在上单调递增， ∴，即， ∴，即， ∴. 压轴专练 1.若函数在上有极值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数在某区间有极值等同于其导数在该区间有变号零点，之后分离参数结合二次函数的性质可得. 【详解】， 因为函数在上有极值，说明其导数在内有变号零点， 即方程在内有解，且解两侧导数符号不同， 令，则在有解，且不能是重根. 分离参数可得， 令，则， 所以，所以， 当时，，仅在处， 故在上单调递减，无极值. 所以的取值范围是. 故选：C. 2.已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用不等式构造两个互为反函数的不等关系，再结合反函数性质，必须且只需要， 然后再用分离参变量思想求解即可. 【详解】由，定义域 因为可变形为，所以的反函数为， 则要使得不等式恒成立，则必须且只需要恒成立， 因为，则分离参变量得，即，， 构造，求导得， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以，所以，又因为，所以， 故选：C. 3.函数在区间上存在极值，则的最大值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】求得，令，求得，得到在上单调递减，由且，得到存在唯一的，使得，得出的单调性，结合极值点的定义，即可求解. 【解答过程】函数，求导可得， 令，可得， 当时，. 当时，可得，在上单调递减， 又因为， 所以存在唯一的，使得，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以是函数的极值点， 因为函数在区间且上存在极值， 所以的最大值为. 故选：B. 4.已知函数存在极值点，则实数的取值范围是 【答案】 【分析】求出函数的导数，由题意可得在上有变号零点，即可分离参数，利用换元法，结合二次方程的判别式以及二次函数的性质，即可求得a的物质范围. 【详解】函数的定义域为，且， 由于函数存在极值点，即在上有变号零点， 由，得， 令，则，则a的取值范围为在上的值域， 且需满足的，即； 对于，当时，， 故，即实数的取值范围是， 5.已知函数，若函数有两个极值点，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据题意，求得的定义域为，且，分，，和，四种情况讨论，求得函数的单调性，结合函数极值点的概念，即可求解. 【详解】由函数的定义域为， 且， 若，即，则，此时单调递减，无极值点，不符合题意； 若，当时，0；当时，所以在上单调递增，在上单调递减，此时只有一个极值点，不符合题意； 若，则方程有两个实数根， 当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 此时只有一个极值点，不符合题意； 若，则方程有两个实数根为， 当或时，； 当时，， 所以的单调递减区间为，，单调递增区间为， 所以当时，函数有两个极值点， 综上可得，实数的取值范围为. 故答案为：. 6.已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的极值； (3)当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，无极值；当时，极小值 (3) 【分析】（1）时求，由点斜式求出切线的方程即可． （2）先求，再判断和的的取值范围，确定极值点即可求出极值. （3）先构造函数，再求导利用分离常数法即可求出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，， ， 时，， 切线的斜率， 切线的方程为. （2）函数的定义域为， ， 当时，， 在单调递增，无极值． 当时，令得， 时，，单调递减， 时，，单调递增， 在处取极小值． （3）当时恒成立， 即， 令，即， ， 为了使在时恒成立，， 即， 令， ， 当时，， 在时是减函数 当取最大值，， 当，，图象是连续的， ，当时，， 在上单调递增，，不符合题意， 时，在时恒成立. 7.已知函数. (1)求的单调区间； (2)若对于任意，总存在，使得，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）先求解出，然后根据的正负可求解出的单调区间； （2）根据的单调性将问题转化为“在上有解” ，然后通过分离参数、构造函数以及换元法求解出与新函数最值的关系，由此可求的取值范围. 【详解】（1）函数的定义域为, 则， 令，可得或，令，可得或， 则的单调递增区间为和，单调递减区间为和 （2）由（1）知：在上单调递增，在上单调递减， 故当时，， 由已知：在上有解， 在上有解，在上有解， ，； 令，则， 在上单调递增，， 令，，则在上单调递增， 则，故. 的取值范围为. 8.已知函数． (1)过原点是否存在一条直线与的图象相切？并说明理由； (2)当时． ①若，求的取值范围； ②证明：当时，． 【答案】(1)过原点不存在一条直线与的图象相切，理由见解析 (2)①；②证明见解析 【分析】（1）利用导数来求切线方程，利用切线过原点可得参数的方程，通过方程无解，来判断过原点的切线不存在； （2）①利用导数来求函数在的值域，再结合不等式恒成立，转化为，从而可得的取值范围；②利用极值点偏移证明方法，结合分析法来构造函数求导证明即可. 【详解】（1）设为图象上的任意一点， 因为， 所以在点处的切线斜率为， 所以切线方程为， 假设存在一条切线经过坐标原点，则， 因为，所以，即， 此时等式显然不成立，即方程无解， 所以假设不成立，所以过原点不存在一条直线与的图象相切． （2）①当时，，其中， 当时，，在单调递减， 当时，，在单调递增， 则当时，在处取得最小值为， 因为时，，而， 所以在处取得最大值为， 因为，所以， 即的取值范围为． ②当时，因为在单调递减，在单调递增， 所以不妨设，要证， 只需要证明，又因为，在单调递增， 所以只需要证明， 由于，即只需要证明， 令， ， 因为，所以， 则， 故在上单调递减， 故当时，， 即，其中，所以成立， 故． 9.已知函数，其中． (1)求的单调区间； (2)当时，设的两个零点为，求证：． 【答案】(1)答案见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）求出导函数，讨论、，分别根据导函数符号分析函数的单调性即可； （2）结合（1）易得是是的一个较小的零点，不妨设，要证，只需证，转化问题为证，进而构造函数，利用导数证明即可. 【详解】（1）函数，求导得， 当时，的定义域为，则， 函数在上单调递减； 当时，的定义域为，， 由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数的递减区间为，无递增区间； 当时，函数的递增区间为，递减区间为. （2）当时，，由（2）知在上单调递增，在上单调递减， 又，是的一个较小的零点，不妨设， 要证，只需证，而，且在上单调递减， 则只需证，， 令函数，求导得，在上单调递增， 因此，即，则， 所以. 10.已知函数，其中． (1)若函数有处取得极大值0，求的值； (2)函数． （i）证明：曲线图象上任意两个不同点处的切线均不重合； （ii）当时，若，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ii） 【分析】（1）求出函数的导数，根据导数与函数极值之间的俄关系，即可求解； （2）设点和点，由导数的几何意义写出这两点处的切线方程，假设切线重合，经运算可推出矛盾，即可证明结论； （3）对于恒成立时，求出．令，继而证明当时，在上恒成立，即可确定，使得成立时a的取值范围. 【详解】（1），得， 由题设知，解得， 此时 当时，为增函数； 当时，为减函数； 所以函数在处取得极大值，满足题意， 故． （2）（i）函数． 由，得， 设点和点，不妨设， 则曲线在点处的切线方程为， 即； 同理曲线在点处的切线方程为； 假设与重合，则， 化简得， 两式消去，得，则， 令，， 由，所以在上单调递增， 所以，即无解，所以与不重合， 即对于曲线图象上任意两个不同点处的切线均不重合． （ⅱ）当时，先解决对于恒成立， 令，则在上恒成立， 由，解得． 下面证明当时，在上恒成立． 则当时，， 令，则， 则当时，由， 则，则在上单调递增，所以； 当时，令， 则，则在上单调递增， 所以，所以在上单调递减， 所以成立， 所以对于，不等式恒成立， 实数的取值范围为． 所以，使得成立，的取值范围为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $