第5章 5.3.1 第1课时 单调性（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

本讲义聚焦函数单调性与导数关系的核心知识点，衔接必修中定义法、图象法，通过一次、二次、三次函数等实例，构建从直观感知到导数符号判断单调性的学习支架，系统讲解利用导数判断单调性、求单调区间及由导数信息画函数图象的方法。 资料以问题探究引导学生用数学眼光观察导数正负与单调性关系，通过例题解析和步骤总结培养数学思维的逻辑性，结合表格梳理、跟踪训练强化数学语言表达。课中助力教师高效授课，课后练习题与知识清单帮助学生查漏补缺，提升学习效果。

5.3.1　单调性 第1课时　单调性 [学习目标]　1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性.3.对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间． 导语 同学们，对于函数的单调性，大家并不陌生，早在学习必修第一册的时候，我们就利用定义法和图象法求了函数的单调区间，比如大家所熟悉的一次函数、二次函数等．当然，求单调区间的前提是要先确定函数的定义域，但是对于一些更复杂的函数，比如三次函数、与指数或对数有关的函数等，虽然定义法是解决问题的根本方法，但定义法比较烦琐，又不能画出函数图象，为了解决这个问题，就需要用到我们今天的知识：函数的单调性与导数的关系． 一、函数的单调性与其导数的关系 问题　观察下面几个图象，探究函数的单调性和导数的正负的关系． 提示　(1)函数y＝x的定义域为R，并且是增函数，其导数y′＝1>0； (2)函数y＝x2的定义域为R，在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．而y′＝2x，当x<0时，其导数y′<0；当x>0时，其导数y′>0；当x＝0时，其导数y′＝0. (3)函数y＝x3的定义域为R，是增函数．而y′＝3x2，当x≠0时，其导数y′＝3x2>0；当x＝0时，其导数y′＝3x2＝0； (4)函数y＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递减，而y′＝－，因为x≠0，所以y′<0. 知识梳理 函数的单调性与其导数的正负之间的关系 定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)： f′(x)的正负 f(x)的单调性 f′(x)>0 单调递增 f′(x)<0 单调递减 注意点：(1)研究函数的单调性，应注意定义域． (2)当f′(x)＝0时，f(x)是常函数； (3)原函数的图象只看增(减)的变化，导函数的图象只看正(负)的变化． 例1　利用导数判断下列函数的单调性： (1)f(x)＝x3－x2＋2x－5；(2)f(x)＝x－－ln x. 解　(1)因为f(x)＝x3－x2＋2x－5，所以f′(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0，所以函数f(x)＝x3－x2＋2x－5是增函数． (2)因为f(x)＝x－－ln x，x∈(0，＋∞)， 所以f′(x)＝1＋－＝＝>0，所以f(x)＝x－－ln x是增函数． 反思感悟　利用导数判断函数单调性的步骤：确定函数的定义域；求导数f′(x)；确定f′(x)在定义域内的符号，在此过程中，需要对导函数进行通分、因式分解等变形；得出结论． 跟踪训练1　利用导数判断下列函数的单调性： (1)f(x)＝x－ex(x>0)； (2)f(x)＝(x>e)． 解　(1)因为f(x)＝x－ex，x∈(0，＋∞)，所以f′(x)＝1－ex<0，所以f(x)＝x－ex在(0，＋∞)上是减函数． (2)因为f(x)＝，x>e，所以f′(x)＝＝<0，所以f(x)＝是减函数． 二、利用导数求函数的单调区间 例2　求下列函数的单调区间． (1)f(x)＝3x2－2ln x； (2)f(x)＝2x3＋3x2－36x＋1. 解　(1)易知函数的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝6x－＝＝， 令f′(x)>0，解得x>，由f′(x)<0，解得0<x<，所以函数f(x)的减区间是，增区间是. (2)f′(x)＝6x2＋6x－36＝6(x＋3)(x－2)． 令f′(x)>0，解得x<－3或x>2； 令f′(x)<0，解得－3<x<2. 故f(x)的增区间是(－∞，－3)，(2，＋∞)； 减区间是(－3,2)． 反思感悟　利用导数求函数单调区间的一般步骤 (1)确定函数y＝f(x)的定义域． (2)求导数y＝f′(x)． (3)解不等式f′(x)>0，函数在解集与定义域的交集上单调递增． (4)解不等式f′(x)<0，函数在解集与定义域的交集上单调递减． 跟踪训练2　求下列函数的单调区间． (1)f(x)＝x2·e－x； (2)f(x)＝x＋. 解　(1)易知函数的定义域为(－∞，＋∞)． f′(x)＝′e－x＋x2′＝2xe－x－x2e－x＝e－x·＝－e－x·x(x－2)， 令f′(x)>0，解得0<x<2， 令f′(x)<0，解得x<0或x>2， ∴f(x)的减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)，增区间为(0,2)． (2)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． f′(x)＝1－＝＝，令f′(x)>0，解得x<－1或x>1，令f′(x)<0，解得－1<x<0或0<x<1， ∴函数f(x)的减区间为(－1,0)和(0,1)，增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)． 三、由导数的信息画函数的大致图象 例3　已知导函数f′(x)的下列信息：当x<0或x>7时，f′(x)>0；当0<x<7时，f′(x)<0；当x＝0或x＝7时，f′(x)＝0，试画出函数f(x)的大致图象． 解　当x<0或x>7时，f′(x)>0，可知函数f(x)在区间(－∞，0)和(7，＋∞)上单调递增；当0<x<7时，f′(x)<0，可知函数f(x)在区间(0,7)上单调递减；当x＝0或x＝7时，f′(x)＝0，这两个点比较特殊，我们称它们为“临界点”．故函数f(x)的大致图象如图所示． 反思感悟　由导函数图象画原函数图象的依据：根据f′(x)>0，则f(x)单调递增，f′(x)<0，则f(x)单调递减； 由原函数图象画导函数图象的依据：若f(x)单调递增，则f′(x)的图象一定在x轴的上方；若f(x)单调递减，则f′(x)的图象一定在x轴的下方；若f(x)是常函数，则f′(x)＝0. 跟踪训练3　(1)已知f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，那么f(x)的图象最有可能是图中的(　　) 答案　D 解析　由题图可知，在区间(－∞，0)和(2，＋∞)上，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；在区间(0,2)上，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，故函数f(x)的图象最有可能的是图D. (2)若函数y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象可能是(　　) 答案　C 解析　由y＝f′(x)的图象可知，在区间(－∞，b)上，f′(x)≥0，f(x)单调递增，在区间(b，＋∞)上，f′(x)<0，f(x)单调递减，可排除A，D； 在x＝0处，f′(x)＝0，即在x＝0处，y＝f(x)的切线的斜率为0，可排除B. 1．知识清单： (1)函数的单调性与其导数的关系． (2)利用导数判断函数的单调性． (3)利用导数求函数的单调区间． (4)由导数的信息画函数的大致图象． 2．方法归纳：方程思想、分类讨论． 3．常见误区：忽略定义域的限制；当单调区间不止一个时，连接符号出错． 1．函数f(x)＝3＋xln x的增区间是(　　) A. B．(e，＋∞) C. D. 答案　C 解析　f′(x)＝ln x＋1(x>0)，令f′(x)>0， 即ln x＋1>0，得x>. 故函数f(x)的增区间为. 2．设函数f(x)的图象如图所示，则导函数f′(x)的图象可能为(　　) 答案　C 解析　∵f(x)在区间(－∞，1)，(4，＋∞)上单调递减，在区间(1,4)上单调递增，∴当x＜1或x＞4时，f′(x)＜0；当1＜x＜4时，f′(x)＞0. 3．(多选)函数f(x)＝(x－3)ex在下列区间上单调递增的是(　　) A．(－∞，2) B．(0,3) C．(3,4) D．(2，＋∞) 答案　CD 解析　∵f′(x)＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex， 由f′(x)＞0得x＞2. ∴f(x)的增区间为(2，＋∞)，CD符合． 4．函数f(x)＝x＋2cos x，x∈(0，π)的减区间是________． 答案　 解析　由f′(x)＝1－2sin x<0，得sin x>， 又x∈(0，π)， ∴x∈，故所求减区间是. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共18分 1.已知f(x)在R上是可导函数，y＝f(x)的图象如图所示，则不等式f′(x)>0的解集为(　　) A．(－2,0)∪(2，＋∞) B．(－∞，－2)∪(2，＋∞) C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－2，－1)∪(1,2) 答案　C 解析　因为f(x)在区间(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增， 所以在区间(－∞，－1)和(1，＋∞)上f′(x)>0. 2．函数f(x)＝x3－3x2＋1的减区间为(　　) A．(2，＋∞) B．(－∞，2) C．(－∞，0) D．(0,2) 答案　D 解析　f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)<0， 得0<x<2，所以f(x)的减区间为(0,2)． 3．函数f(x)＝ln x－4x＋1的增区间为(　　) A. B．(0,4) C. D. 答案　A 解析　f(x)＝ln x－4x＋1的定义域是{x|x>0}，f′(x)＝－4＝，令f′(x)>0， 解得0<x<，故所求函数的增区间是. 4．(多选)函数f(x)＝xln x(　　) A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增 C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减 答案　AC 解析　由f(x)＝xln x，可得f′(x)＝ln x＋x·＝ln x＋1(x>0)．由f′(x)>0，可得x>； 由f′(x)<0，可得0<x<.所以函数f(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增． 5．(多选)如图是函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，则下列判断正确的是(　　) A．在区间(－2,1)上，f(x)单调递增 B．在区间(1,2)上，f(x)单调递增 C．在区间(4,5)上，f(x)单调递增 D．在区间(－3，－2)上，f(x)单调递增 答案　BC 解析　由题图知当x∈(1,2)，x∈(4,5)时，f′(x)>0，所以在区间(1,2)，(4,5)上，f(x)单调递增， 当x∈(－3，－2)，x∈(－2，－1)时，f′(x)<0， 所以在区间(－3，－2)，(－2，－1)上， f(x)单调递减． 6．下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是(　　) A．y＝sin x B．y＝xex C．y＝x3－x D．y＝ln x－x 答案　B 解析　B项中，y＝xex，y′＝ex＋xex＝ex(1＋x)， 当x∈(0，＋∞)时，y′>0， ∴y＝xex在区间(0，＋∞)上单调递增． 7．(5分)函数f(x)＝(x2＋x＋1)ex的减区间为________________． 答案　(－2，－1) 解析　f′(x)＝(2x＋1)ex＋(x2＋x＋1)ex＝ex(x2＋3x＋2)＝ex(x＋1)(x＋2)， 令f′(x)<0，解得－2<x<－1， 所以函数f(x)的减区间为(－2，－1)． 8．(5分)函数y＝f(x)的图象如图所示，f′(x)为函数f(x)的导函数，则不等式<0的解集为______________． 答案　(－3，－1)∪(0,1) 解析　由题图知，当x∈(－∞，－3)，(－1,1)时， f(x)单调递减，故f′(x)<0； 当x∈(－3，－1)，(1，＋∞)时，f(x)单调递增， 故f′(x)>0， 故不等式<0的解集为(－3，－1)∪(0,1)． 9．(10分)判断函数f(x)＝2x(ex－1)－x2的单调性． 解　函数f(x)的定义域为R，f′(x)＝2(ex－1＋xex－x)＝2(ex－1)(x＋1)． 当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0； 当x∈(－1,0)时，f′(x)<0； 当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0. 故f(x)在区间(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增，在区间(－1,0)上单调递减． 10．(10分)已知函数f(x)＝的图象在点M(－1，f(－1))处的切线方程为x＋2y＋5＝0. (1)求函数y＝f(x)的解析式；(5分) (2)求函数f(x)的单调区间．(5分) 解　(1)因为f(x)的图象在点M(－1，f(－1))处的切线方程为x＋2y＋5＝0. 所以f′(－1)＝－，且－1＋2f(－1)＋5＝0， 即f(－1)＝－2，即＝－2，① 又f′(x)＝， 所以＝－.② 由①②得a＝2，b＝3. (因为b＋1≠0，所以b＝－1舍去) 所以所求函数的解析式是f(x)＝. (2)由(1)知，f′(x)＝. 令－2x2＋12x＋6＝0， 解得x1＝3－2，x2＝3＋2， 令f′(x)<0，得x<3－2或x>3＋2， 令f′(x)>0，得3－2<x<3＋2. 所以f(x)＝的增区间是(3－2，3＋2)；减区间是(－∞，3－2)和(3＋2，＋∞)． 11．设函数f(x)＝4ln x－x2＋3x在区间[a，a＋1]上单调递增，则实数a的取值范围是(　　) A．(0,3] B．(0,2] C．[3，＋∞) D．[2，＋∞) 答案　A 解析　函数f(x)＝4ln x－x2＋3x的定义域为x>0，f′(x)＝－x＋3＝， 令f′(x)>0，解得－1<x<4， ∴函数f(x)的增区间为(0,4]， ∵函数f(x)＝4ln x－x2＋3x在区间[a，a＋1]上单调递增， ∴[a，a＋1]⊆(0,4]，即解得a∈(0,3]． 12．函数f(x)＝xcos x的导函数f′(x)在区间[－π，π]上的图象大致是(　　) 答案　A 解析　因为f(x)＝xcos x， 所以f′(x)＝cos x－xsin x. 因为f′(－x)＝f′(x)，所以f′(x)为偶函数， 所以函数图象关于y轴对称． 由f′(0)＝1可排除C，D. 而f′(1)＝cos 1－sin 1<0，排除B. 13．函数f(x)＝的图象的大致形状是(　　) 答案　A 解析　当x＝－时，f＝<0，排除选项C，D； 又f′(x)＝＝， 当x∈时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增， 当x∈时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减， 所以A正确，B错误． 14．(5分)已知函数f(x)是R上的偶函数，且在区间(0，＋∞)上有f′(x)>0，若f(－1)＝0，则关于x的不等式xf(x)<0的解集是________________． 答案　(－∞，－1)∪(0,1) 解析　因为在区间(0，＋∞)上f′(x)>0， 所以f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增， 又f(x)为偶函数， 所以f(－1)＝f(1)＝0，且f(x)在区间(－∞，0)上单调递减，f(x)的大致图象如图所示， 所以xf(x)<0的解集为(－∞，－1)∪(0,1)． 15．(多选)若函数exf(x)(e＝2.718 28…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上是增函数，则称函数f(x)具有M性质，则下列函数中具有M性质的是(　　) A．f(x)＝2－x B．f(x)＝x2＋2 C．f(x)＝3－x D．f(x)＝cos x 答案　AB 解析　设g(x)＝ex·f(x)， 对于A，g(x)＝ex·2－x＝x是增函数，故A正确； 对于B，g(x)＝(x2＋2)ex，g′(x)＝(x2＋2x＋2)ex ＝[(x＋1)2＋1]ex>0，所以g(x)是增函数，故B正确； 对于C，g(x)＝ex·3－x＝x是减函数，故C不正确； 对于D，g(x)＝ex·cos x，则g′(x)＝excos，g′(x)>0在定义域R上不恒成立，故D不正确． 16．(12分)已知函数f(x)＝(k为常数，e为自然对数的底数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行． (1)求实数k的值；(5分) (2)求函数f(x)的单调区间．(7分) 解　(1)由f(x)＝， 可得f′(x)＝.∵曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行， ∴f′(1)＝0， 即＝0，解得k＝1. (2)由(1)知，f′(x)＝(x>0)， 设h(x)＝－ln x－1(x>0)， 则h′(x)＝－－<0. 可知h(x)是减函数， 由h(1)＝0知，当0<x<1时，h(x)>h(1)＝0，故f′(x)>0； 当x>1时，h(x)<h(1)＝0，故f′(x)<0. 综上，f(x)的增区间是(0,1)，减区间是(1，＋∞)． 学科网（北京）股份有限公司 $