2025-2026学年苏科版九年级数学上册期末阶段复习综合练习题

2025-2026学年苏科版九年级数学上册期末阶段复习综合练习题（附答案） 一、精心选一选.（共24分） 1．下列图形中一定是相似形的是（　　） A．两个菱形 B．两个等边三角形 C．两个矩形 D．两个直角三角形 2．下列四组线段中，不成比例的是（　　） A．3，9，2，6 B．1，，， C．1，2，3，9 D．1，2，4，8 3．下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（　　） A．ax2+bx+c＝0 B．x2﹣2x﹣3＝（x+1）（x﹣1） C．2x2＝0 D．xy+1＝0 4．为迎接党的二十大胜利召开，某校开展了“学党史，悟初心”系列活动．学校对学生参加各项活动的人数进行了调查，并将数据绘制成如下统计图．若参加“书法”的人数为80人，则参加“大合唱”的人数为（　　） A．60人 B．100人 C．160人 D．400人 5．如图，在5×6的长方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同，小正方形的顶点称为格点，扇形OAB的圆心及弧的两端均为格点．假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的（击中扇形的边界或没有击中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖1次，飞镖击中扇形OAB（阴影部分）的概率是（　　） A． B． C． D． 6．如图，G是△ABC的中位线MN的中点，CG的延长线交AB于点F，则AF：FB等于（　　） A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．3：4 7．如图，有一块直角边AB＝4cm，BC＝3cm的Rt△ABC的铁片，现要把它加工成一个正方形（加工中的损耗忽略不计），则正方形的边长为（　　） A． B． C． D． 8．古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段MN分为两线段MG，GN，使得其中较长的一段MG是全长MN与较短的一段GN的比例中项，即满足＝＝，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段MN的“黄金分割”点．如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝3，BC＝4，若D，E是边BC的两个“黄金分割”点，则△ADE的面积为（　　） A．10﹣4 B．3﹣5 C． D．20﹣8 二、细心填一填（共24分） 9．已知，求＝　 　． 10．两个数4+与4﹣的比例中项是　 　． 11．圆锥的母线长为5cm，高为3cm，在它的侧面展开图中，扇形的圆心角是　 　度． 12．如图，△ABC是⊙O的内接三角形．若∠ABC＝45°，AC＝，则⊙O的半径是 　 　． 13．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD．若∠BAC＝28°，则∠D＝　 　°． 14．如图，正六边形内接于⊙O，小明向圆内投掷飞镖一次，则飞镖落在阴影部分的概率是　 　． 15．已知关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两个实数根分别为3和5，则关于y的方程（y2+4）2+b（y2+4）+c＝0的解是 　 　． 16．如图，在正方形ABCD中，AB＝12，E是CD上一点，且DE＝3，F是AD上一动点，连接EF，若将△DEF沿EF翻折后，点D落在点D′处，则D′到点B的最短距离为 　 　． 三、解答题（共72分）. 17．解方程：2x2+3x＝1． 18．如图，⊙O的直径为10，弦AC＝6，D是弧BC的中点，连接CD，BD．求AD的长． 19．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+2a+5＝0有两个不相等的实数根x1，x2． （1）求a的取值范围； （2）若x12+x22﹣x1x2≤30，且a为整数，求a的值． 20．如图，矩形ABCD中，AD＝2，AB＝5，P为CD边上的动点，当△ADP与△BCP相似时，求DP长． 21．某校九年级640名学生在“信息素养提升”培训前、后各参加了一次水平相同的测试，并以同一标准折算成“6分”、“7分”、“8分”、“9分”、“10分”5个成绩．为了解培训效果，用抽样调查的方式从中抽取了32名学生的2次测试成绩，并用划记法制成了如表表格： 训前 成绩（分） 6 7 8 9 10 划记 正正 正 正 人数（人） 12 4 7 5 4 培训后 成绩（分） 6 7 8 9 10 划记 一 正 正正正 人数（人） 4 1 3 9 15 （1）这32名学生2次测试成绩中，培训前测试成绩的中位数是m，培训后测试成绩的中位数是n，则m　 　n；（填“＞”、“＜”或“＝”） （2）这32名学生经过培训，测试成绩为“6分”的百分比比培训前减少了多少？ （3）估计该校九年级640名学生经过培训，测试成绩为“10分”的学生增加了多少人？ 22．一只不透明的袋子中装有1个白球，3个红球，这些球除颜色外都相同． （1）搅匀后从中任意摸出1个球，这个球是白球的概率为 　 　； （2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回，搅匀，再从中任意摸出1个球，求2次摸到的球恰好是1个白球和1个红球的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由） 23．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同． （1）求进馆人次的月平均增长率； （2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长率相同的条件下，请判断校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由． 24．如图，AB是⊙O的直径，E，C是⊙O上两点，且＝，连接AE，AC．过点C作CD⊥AE交AE的延长线于点D． （1）判定直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若AB＝4，CD＝，求图中阴影部分的面积． 25．从三角形（不是等腰三角形）的一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中，一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线． （1）如图①，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：CD为△ABC的完美分割线； （2）在△ABC中，∠A＝48°，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数； （3）如图②，在△ABC中，AC＝3，BC＝，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长． 26．如图，BD，CE是△ABC的高，BD，CE相交于点F，M是BC的中点，⊙O是△ABC的外接圆． （1）点B，C，D，E是否在以点M为圆心的同一个圆上？请说明理由． （2）若AB＝8，CF＝6，求△ABC外接圆的半径长． 参考答案 一、精心选一选.（共24分） 1．解：∵等边三角形的对应角相等，对应边的比相等， ∴两个等边三角形一定是相似形， 又∵直角三角形，菱形的对应角不一定相等，矩形的边不一定对应成比例， ∴两个直角三角形、两个菱形、两个矩形都不一定是相似形， 故选：B． 2．解：A、3×6＝9×2，故A不符合题意； B、1×，故B不符合题意； C、1×9≠2×3，故C符合题意； D、1×8＝2×4，故D不符合题意， 故选：C． 3．解：A．当a＝0时，该方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B．x2﹣2x﹣3＝（x+1）（x﹣1）， x2﹣2x﹣3＝x2﹣1， ﹣2x﹣3＝﹣1，该方程是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C．该方程是一元二次方程，故本选项符合题意； D．该方程是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：C． 4．解：参加“书法”的人数为80人，由扇形统计图知参加“书法”的人数占总人数的20%， ∴总人数为80÷20%＝400（人）， ∴参加“大合唱”的人数为400×（1﹣20%﹣15%﹣25%）＝160（人）， 故选：C． 5．解：∵总面积为5×6＝30，其中阴影部分面积为＝， ∴飞镖落在阴影部分的概率是＝， 故选：A． 6．解：如图，点N作NH∥AB交CG于点H， ∵G是MN的中点， ∴MG＝NG， ∴＝＝1， ∴NH＝MF， ∵MN是△ABC的中位线， ∴点N是AC的中点， 又NH∥AM， ∴NH是△ACF的中位线， ∴NH：AF＝1：2， ∴AF：FM＝AF：NH＝2：1． ∴AF：FB＝1：2， 故选：A． 7．解：如图，过点B作BP⊥AC，垂足为P，BP交DE于Q． ∵S△ABC＝•AB•BC＝•AC•BP， ∴BP＝＝＝． ∵DE∥AC， ∴∠BDE＝∠A，∠BED＝∠C， ∴△BDE∽△BAC， ∴＝． 设DE＝x，则有：＝， 解得x＝， 故选：D． 8．解：作AH⊥BC于H，如图， ∵AB＝AC， ∴BH＝CH＝BC＝2， 在Rt△ABH中，AH＝＝， ∵D，E是边BC的两个“黄金分割”点， ∴BE＝BC＝2（﹣1）＝2﹣2， ∴HE＝BE﹣BH＝2﹣2﹣2＝2﹣4， ∴DE＝2HE＝4﹣8 ∴S△ADE＝×（4﹣8）×＝10﹣4． 故选：A． 二、细心填一填（共24分） 9．解：∵， ∴＝＝． 故答案为：． 10．解：设它们的比例中项是x， 则x2＝（4+）（4﹣）， 解得x＝±． 故答案为±． 11．解：2π×4＝， 解得n＝288°． 12．解：连接OA、OC， ∵∠ABC＝45°， ∴∠AOC＝2∠ABC＝90°， ∴OA＝OC＝AC＝×＝， 故答案为：． 13．解：如图，连接BC． ∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝62°， ∴∠D＝∠ABC＝62°， 故答案为：62． 14．解：如图所示：连接OA， ∵正六边形内接于⊙O， ∴△OAB，△OBC都是等边三角形， ∴∠AOB＝∠OBC＝60°， ∴OA∥BC， ∴S△ABC＝S△OBC， ∴S阴＝S扇形OBC， 则飞镖落在阴影部分的概率是； 故答案为：． 15．解：∵关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两个实数根分别为3和5， ∴关于（y2+4）的一元二次方程（y2+4）2+b（y2+4）+c＝0的两个实数根分别为3和5， 即y2+4＝3或y2+4＝5， ∵关于y的一元二次方程y2+4＝3没有实数根，关于y的一元二次方程y2+4＝5的实数根为﹣1和1， ∴关于y的方程（y2+4）2+b（y2+4）+c＝0的解是﹣1和1． 故答案为：﹣1和1． 16．解：如图，连接BE、BD′，当B、D′、E三点共线的时候D′到点B的距离最短， 在正方形ABCD中，AB＝12，E是CD上一点，且DE＝3， ∴CE＝9， ∴BE＝＝15， ∴BD′＝15﹣3＝12， ∴点D'到点B的最短距离为12． 故答案为：12． 三、解答题（共72分）. 17．解：方程化为2x2+3x﹣1＝0， ∵Δ＝32﹣4×2×（﹣1）＝17＞0， ∴x＝， ∴x1＝，x2＝． 18．解：连接BD， ∵AB是直径， ∴∠ACB＝∠ADB＝90°， ∴BC＝＝＝8， ∵D是的中点， ∴CE＝BE＝BC＝4，OD⊥BC， ∴OE＝＝＝3， ∴DE＝OD﹣OE＝5﹣3＝2， ∴BD＝＝＝2， ∴AD＝＝＝4． 19．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+2a+5＝0有两个不相等的实数根x1，x2， ∴Δ＞0，即（﹣6）2﹣4（2a+5）＞0， 解得a＜2； （2）由根与系数的关系知：x1+x2＝6，x1x2＝2a+5， ∵x1，x2满足x12+x22﹣x1x2≤30， ∴（x1+x2）2﹣3x1x2≤30， ∴36﹣3（2a+5）≤30， ∴a≥﹣，∵a为整数， ∴a的值为﹣1，0，1． 20．解：设DP＝x， ∵四边形ABCD为矩形， ∴BC＝AD＝2，CD＝AB＝5，∠D＝∠C＝90°， ∴PC＝5﹣x， ∵∠D＝∠C， ∴当＝时，△DAP∽△CBP， 即＝，解得x＝； 当＝时，△DAP∽△CFB， 即＝，解得x1＝1，x2＝4， 综上所述，DP的长为或1或4． 21．解：∵培训前测试成绩的中位数m＝＝7.5，培训后测试成绩的中位数n＝＝9， ∴m＜n； 故答案为：＜； （2）培训前：×100%，培训后：×100%， ×100%﹣×100%＝25%， 答：测试成绩为“6分”的百分比比培训前减少了25%； （3）培训前：640×＝80，培训后：640×＝300， 300﹣80＝220， 答：测试成绩为“10分”的学生增加了220人． 22．解：（1）∵一只不透明的袋子中装有1个白球和3个红球，这些球除颜色外都相同， ∴搅匀后从中任意摸出1个球，则摸出白球的概率为：＝． 故答案为：； （2）画树状图如图所示： 共有16种不同的结果数，其中两个球颜色不同的有6种， ∴2次摸到的球恰好是1个白球和1个红球的概率为＝． 23．解：（1）设进馆人次的月平均增长率为x，则由题意得： 128+128（1+x）+128（1+x）2＝608． 化简得：4x2+12x﹣7＝0． ∴（2x﹣1）（2x+7）＝0， ∴x＝0.5＝50%或x＝﹣3.5（舍）． 答：进馆人次的月平均增长率为50%． （2）∵进馆人次的月平均增长率为50%， ∴第四个月的进馆人次为：128（1+50%）3＝128×＝432＜500． 答：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次． 24．（1）证明：连接OC， ∵＝， ∴∠CAD＝∠BAC， ∵OA＝OC， ∴∠BAC＝∠ACO， ∴∠CAD＝∠ACO， ∴AD∥OC， ∵AD⊥CD， ∴OC⊥CD， ∴CD是⊙O的切线； （2）解：连接OE，连接BE交OC于F， ∵＝， ∴OC⊥BE，BF＝EF， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AEB＝90°， ∴∠FED＝∠D＝∠EFC＝90°， ∴四边形DEFC是矩形， ∴EF＝CD＝， ∴BE＝2， ∴AE＝＝＝2， ∴AE＝AB， ∴∠ABE＝30°， ∴∠AOE＝60°， ∴∠BOE＝120°， ∵＝， ∴∠COE＝∠BOC＝60°， 连接CE， ∵OE＝OC， ∴△COE是等边三角形， ∴∠ECO＝∠BOC＝60°， ∴CE∥AB， ∴S△ACE＝S△COE， ∵∠OCD＝90°，∠OCE＝60°， ∴∠DCE＝30°， ∴DE＝CD＝1， ∴AD＝3， ∴图中阴影部分的面积＝S△ACD﹣S扇形COE＝3﹣＝﹣． 25．（1）证明：∵∠A＝40°，∠B＝60°， ∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝80°， ∵∠A≠∠B≠∠ACB， ∴△ABC不是等腰三角形． ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝40°， ∴∠ACD＝∠A＝40°， ∴△ACD为等腰三角形． ∴∠DCB＝∠A＝40°， ∵∠CBD＝∠ABC， ∴△BCD∽△BAC， ∴CD是△ABC的完美分割线． （2）解：①如图3所示， 当AD＝CD时，∠ACD＝∠A＝48°， 根据完美分割线的定义，可得△BDC∽△BCA， ∴∠BCD＝∠A＝48°，则∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝96°． ②如图4所示， 当AD＝AC时，∠ACD＝∠ADC＝＝66°， 根据完美分割线的定义，可得△BDC∽△BCA， ∴∠BCD＝∠A＝48°， ∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝114°． ③如图5所示， 当AC＝CD时，∠ADC＝∠A＝48°． ∵△BDC∽△BCA， ∴∠BCD＝∠A＝48°， 根据完美分割线的定义，可得△BDC∽△BCA， ∴∠BCD＝∠A＝48°， ∴这与∠ADC＞∠BCD矛盾， 所以图5的情况不符合题意． 综上所述，∠ACB的度数为96°或114°； （3）解：∵△ACD是以CD为底边的等腰三角形， ∴AC＝AD， ∵AC＝3， ∴AD＝3， ∵CD是△ABC的完美分割线， ∴△BCD∽△BAC， ∴＝， ∴BC2＝BA•BD， 设BD＝x，则AB＝AD+BD＝2+x， ∴（）2＝x（x+3）， ∴x＝， ∵x＞0， ∴x＝， ∴BD＝， ∵△BCD∽△BAC， ∴＝，即＝， ∴CD＝． 26．解：（1）点B，C，D，E在以点M为圆心的同一个圆上， 理由：连接EM，DM， ∵BD⊥AC，CE⊥AB， ∴∠BDC＝∠BEC＝90°， ∵M是BC的中点， ∴EM＝BM＝BC，DM＝CM＝BC， ∴EM＝BM＝DM＝CM， ∴点B，C，D，E在以点M为圆心的同一个圆上； （2）连接AF并延长交BC于点G，连接BO并延长交⊙O于点H，连接AH，CH， ∵BD，CE是△ABC的高，BD，CE相交于点F， ∴AG⊥BC， ∵BH是⊙O的直径， ∴∠BAH＝∠BCH＝90°， ∴BA⊥AH，BC⊥CH， ∴AG∥CH， ∵CE⊥AB， ∴AH∥CE， ∴四边形AFCH是平行四边形， ∴CF＝AH＝6， 在Rt△BAH中，AB＝8， ∴BH＝＝＝10， ∴△ABC外接圆的半径长为5． 学科网（北京）股份有限公司 $