精品解析：山东省泰安市岳峰中学2025--2026学年上学期期末学情抽测八年级数学样题

2026年泰安市岳峰中学第一学期期末学情抽测初三数学样题 一、单选题（共48分） 1. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在四边形中，对角线和相交于点O．下列条件不能判断四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，则的值是（ ） A. 8 B. C. 2 D. 4. 如图，在中，对角线、相交于点，若，，，则的周长为（ ） A. 14 B. 15.5 C. 12 D. 15 5. 某校准备从甲、乙、丙、丁名同学中选派一人去参加本市数学竞赛的选拔赛，在近期的次模拟测试中，四人的成绩分析数据如下表： 甲 乙 丙 丁 平均数 方差 如果要选一名成绩好且状态稳定的同学参赛，那么应该选择（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 6. 下列分式中，最简分式是（ ） A. B. C. D. 7. 如图是某地去年一至六月每月空气质量为优的天数的折线统计图，关于各月空气质量为优的天数，下列结论错误的是（ ） A. 五月份空气质量为优的天数是16天 B. 这组数据的众数是15天 C. 这组数据的中位数是15天 D. 这组数据的平均数是15天 8. 某校把学生的纸笔测试、实践能力、成长记录三项成绩分别按、、的比例计入学期总评成绩，分以上为优秀，甲、乙、丙三人的各项成绩如表单位：分，学期总评成绩优秀的是（ ） 纸笔测试 实践能力 成长记录 甲 乙 丙 A. 甲 B. 乙、丙 C. 甲、乙 D. 甲、丙 9. 某果干加工坊要加工千克梨干，本次加工采用了新工艺，工效提高了，加工同样重量的梨干比原来就少用．求采用新工艺前每小时加工多少千克梨干？设采用新工艺前每小时加工千克梨干，则下列方程正确的是( ) A. B. C. D. 10. 计算 等于（   ） A. B. C. D. 11. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，已知周长为1，连接三边的中点构成第2个三角形，再连接第2个三角形三边中点构成第3个三角形，依此类推，则第2025个三角形的周长是（ ） A. 2024 B. C. 2025 D. 13. 如图，在中，，，，、、都是等边三角形，下列结论中；；；四边形是平行四边形；四边形的面积为，其中所有正确的序号是（ ） A. B. C. D. 14. 如图，在中，，，，是边上的高，将沿射线方向平移得到，与交于点，且，连接，下列判断错误的是（ ） A. B. 平分 C. D. 15. 如图，已知中，，，直角的顶点P是的中点，两边分别交于点E、F，给出以下四个结论：①是等腰直角三角形；②；③； ④当在内绕顶点P旋转时（点E不与A、C重合），．上述结论中始终正确的有（ ） A. ①② B. ①③④ C. ①②③ D. ①②③④ 16. 已知关于x的方程解为正数，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 二、填空题（共24分） 17. 如果，，那么_______． 18. 根据方差公式，则这组数据的方差为______． 19. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，将绕点顺时针旋转，得到，则点的坐标为______． 20. 如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，若，则的度数为______． 21. 如图，是的中位线，的角平分线交于点，若，，则的长为_______． 22. 关于的分式方程无解，则的值为_____． 三、解答题（共78分） 23. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，． （1）将向左平移3个单位长度，得到，画出． （2）将沿着y轴翻折，得到，画出． （3）在x轴上求一点D，使的值最小． 24. 先阅读材料，再解答问题： 分解因式：． 解：将“”看成一个整体，设， 则原式． 将代入，得原式． 以上解题过程中用到的是“整体思想”，它是数学中常用的一种思想． （1）分解因式：； （2）应用：已知一个长方形的长为，宽为，且满足，求该长方形的周长． 25. 先化简，再从中取一个数代入求值． 26. 解方程： （1） （2） 27. 如图所示，点D为内一点，平分，且交于点G，点E为边的中点，点F在上，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）写出线段之间的数量关系，并给出证明． 28. 渭南市是中国戏曲之乡和民俗之乡，多种剧目被列入国家非物质文化遗产保护名录．某校举办了“渭南戏曲知多少”答题比赛（共道题），为了解学生的答题情况，随机抽取了其中名同学的答题情况，绘制成如下不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）补全统计图，这名同学答对题数的中位数是_____道，众数是_____道； （2）求这名同学答对题数的平均数； （3）若该校共有名学生参加了此次答题比赛，请你估计该校全部答对的学生总人数． 29. 如图，在中，点，分别是，的中点，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若平分，，求的周长． 30. 政府计划在斗南花卉产业园新建一座智能温室示范工程，工程在招标时接到甲、乙两个工程队的投标书．施工一天，需付甲工程队工程款1.2万元，乙工程队工程款0.5万元，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，有如下方案： ①甲队单独完成这项工程刚好如期完成； ②乙队单独完成这项工程要比规定日期多用6天； ③若甲、乙两队合作3天，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成． （1）求甲、乙工程队单独完成此项工程各需要多少天？ （2）若不考虑工期，由乙工程队先施工若干天，再由甲工程队施工完成，要使两个工程队施工总费用不超过6.8万元，乙工程队至少施工多少天？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年泰安市岳峰中学第一学期期末学情抽测初三数学样题 一、单选题（共48分） 1. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查因式分解的正确性判断，包括完全平方公式、平方差公式、提取公因式法，解题关键是确保分解彻底且变形正确． 【详解】解：选项A：，分解错误． 选项B：，选项提取公因式不彻底，分解错误． 选项C：，选项未分解彻底，错误． 选项D：，分解正确． 因此，因式分解正确的是选项D． 故选：D． 2. 如图，在四边形中，对角线和相交于点O．下列条件不能判断四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定方法，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴四边形是平行四边形，故选项A不符合题意； B、∵， ∴四边形不一定是平行四边形，也可能是等腰梯形，故选项B符合题意， C、∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故选项C不符合题意； D、∵， ∴四边形是平行四边形，故选项D不符合题意； 故选：B． 3. 已知，，则的值是（ ） A. 8 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了因式分解，代数式求值，解题的关键是掌握因式分解的方法，利用整体代入进行求解． 将所求代数式因式分解后，代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵ , 又∵，， ∴ 原式． 故选：A． 4. 如图，在中，对角线、相交于点，若，，，则的周长为（ ） A. 14 B. 15.5 C. 12 D. 15 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的性质得到，由此求出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，，， ∴， ∴的周长为， 故选：D． 5. 某校准备从甲、乙、丙、丁名同学中选派一人去参加本市数学竞赛的选拔赛，在近期的次模拟测试中，四人的成绩分析数据如下表： 甲 乙 丙 丁 平均数 方差 如果要选一名成绩好且状态稳定的同学参赛，那么应该选择（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了方差和平均数，平均数反映了一组数据的集中趋势，但是平均分容易受到极端数据的影响；方差反映了一组数据的波动大小，方差越小，这组数据越稳定．本题中乙和丁的平均成绩较好，但是乙的方差大、丁的方差小，说明丁的成绩更稳定，所以应让丁去参加比赛． 【详解】解： 乙和丁的平均分均为，高于甲和丙的平均分，且丁的方差为，小于乙的方差， 在平均分最高的 乙和丁中，丁的方差最小，因此成绩最好且最稳定，应选择丁， 故选：D． 6. 下列分式中，最简分式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了最简分式，掌握相关知识是解题的关键． 最简分式是指分子和分母没有公因式的分式，分别检查每个选项是否能约分，即可得到答案． 【详解】解：A、分子与分母无公因式，不能约分，是最简分式； B、，能约分，不是最简分式； C、，能约分，不最简分式； D、，能约分，不最简分式 故选：A． 7. 如图是某地去年一至六月每月空气质量为优的天数的折线统计图，关于各月空气质量为优的天数，下列结论错误的是（ ） A. 五月份空气质量为优的天数是16天 B. 这组数据的众数是15天 C. 这组数据的中位数是15天 D. 这组数据的平均数是15天 【答案】D 【解析】 【分析】根据折线统计图及中位数、众数、平均数的意义逐项判断即可． 【详解】解：观察折线统计图知，五月份空气质量为优的天数是16天，故选项A正确，不符合题意； 15出现了3次，次数最多，即众数是15天，故选项B正确，不符合题意； 把数据按从低到高排列，位于中间的是15，15，即中位数为15天，故选项C正确，不符合题意； 这组数据的平均数为：，故选项D错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了折线统计图、一组数据的中位数、众数、平均数等知识，掌握以上基础知识是解本题的关键. 8. 某校把学生的纸笔测试、实践能力、成长记录三项成绩分别按、、的比例计入学期总评成绩，分以上为优秀，甲、乙、丙三人的各项成绩如表单位：分，学期总评成绩优秀的是（ ） 纸笔测试 实践能力 成长记录 甲 乙 丙 A. 甲 B. 乙、丙 C. 甲、乙 D. 甲、丙 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数，掌握加权成绩等于各项成绩乘以不同的权重的和是解题的关键． 根据加权平均数的定义分别计算三人的总评成绩，然后与90比较大小，即可求解． 【详解】解：根据题意可知， 甲的总评成绩为， 乙的总评成绩为， 丙的总评成绩为， 故学期总评成绩优秀的是甲和乙． 故选：C． 9. 某果干加工坊要加工千克梨干，本次加工采用了新工艺，工效提高了，加工同样重量的梨干比原来就少用．求采用新工艺前每小时加工多少千克梨干？设采用新工艺前每小时加工千克梨干，则下列方程正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式方程在工程问题中的应用，解题关键是根据“工作时间=工作总量÷工作效率”，结合“新工艺比原工艺少用9小时”这一等量关系列出方程． 【详解】解：设采用新工艺前每小时加工千克梨干， 因此根据题意，列方程为：， 故选：B． 10. 计算 等于（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】该题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是提取公因式． 直接提取公因式，进而得出答案． 【详解】解： ． 故选：A． 11. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，先将除法运算转换为乘法运算，然后对括号内的代数式通分化简，利用完全平方公式，最后通过约分得到最简结果. 【详解】解：         ， 化简结果为 ． 故选： C． 12. 如图，已知周长为1，连接三边的中点构成第2个三角形，再连接第2个三角形三边中点构成第3个三角形，依此类推，则第2025个三角形的周长是（ ） A. 2024 B. C. 2025 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的中位线定理，牢记三角形的中位线定理（三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半）是解题的关键． 根据三角形的中位线定理可知，第个三角形的各边长度分别为与第个三角形平行的边的长度的一半，可得到第个三角形的周长与第个三角形的周长的关系为：，同理可得到第个三角形的周长的表达式． 【详解】解：根据题意得：第个三角形的各边长度分别为与第个三角形平行的边的长度的一半， ∴第个三角形的周长与第个三角形的周长的关系为：． 同理可得，，，，． ∴第个三角形的周长． 故选：B． 13. 如图，在中，，，，、、都是等边三角形，下列结论中；；；四边形是平行四边形；四边形的面积为，其中所有正确的序号是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理，证明是直角三角形，即可判断①，证明，，得出即可判断③，进而求得，即可判断②，过作于，根据含30度角的直角三角形的性质得出，进而根据平行四边形的面积公式，计算即可判断④ 【详解】解：，，， ， 是直角三角形， ， ， 故正确； ，都是等边三角形， ， 和都是等边三角形， ，，， ， 在与中， ， ， ， 同理可证： ， 四边形是平行四边形， 故正确； ， 故错误； 过作于， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 故错误． 正确的结论是， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理的逆定理、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、含角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明是解题的关键． 14. 如图，在中，，，，是边上的高，将沿射线方向平移得到，与交于点，且，连接，下列判断错误的是（ ） A. B. 平分 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平移的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理．由平移的性质得到，，由角平分线性质定理的逆定理推出平分，勾股定理求出，由平行线的性质和角平分线定义推出，得到，因此． 【详解】解：由平移的性质得到，，故选项A正确； ∴，， ∴， ∵，， ∴平分， ∴， ∴， ∴， ∴．故选项D正确； ∵，，， ∴；故选项C正确； 无法得到平分；故选项B错误； 故选B． 15. 如图，已知中，，，直角的顶点P是的中点，两边分别交于点E、F，给出以下四个结论：①是等腰直角三角形；②；③； ④当在内绕顶点P旋转时（点E不与A、C重合），．上述结论中始终正确的有（ ） A. ①② B. ①③④ C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，中线与面积，证明是解题的关键．利用证明得，，则是等腰直角三角形，再结合等腰三角形的性质，中线与面积关系，得出，根据全等三角形的性质，得，则，当点E与A或C重合时，，因为当在内绕顶点P旋转时（点E不与A、C重合），则，即可作答． 【详解】解：∵，，点P是的中点， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，，， ∴是等腰直角三角形， 故①②正确； ∵， ∴， ∵，，直角的顶点P是的中点， ∴， ∵， ∴， 即， 故③正确； ∵， ∴， 则， 当点E与A或C重合时，， ∵当在内绕顶点P旋转时（点E不与A、C重合）， ∴， 即， 故④错误． 故选：C． 16. 已知关于x的方程解为正数，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的求解及根据方程解的情况确定参数的取值范围，先将分式方程化为同分母形式，转化为整式方程求解x关于k的表达式，再根据解为正数和分母不为零的条件列不等式求k的取值范围． 【详解】解：∵方程， 又∵， ∴， ∴原方程化为， 左边合并：，即， 两边同乘得：， 解得， ∵解为正数， ∴，即， ∴， 又∵分母， ∴，即， ∴， 综上，且， 故选：D． 二、填空题（共24分） 17. 如果，，那么_______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 将 用平方差公式分解为，再代入已知条件求解． 【详解】解：由平方差公式，得． ∵，， ∴， 解得． 故答案为：7． 18. 根据方差公式，则这组数据的方差为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查方差的计算公式，平均数，掌握相关知识是解决问题的关键．根据方差公式，平均数为3，，先利用平均数的定义求出未知数据 ，再将 的值代入公式计算即可． 【详解】解：由方差公式可知，数据的平均值为3， 数据组为 ，即， 则平均值为：， 解得， ． 故答案为： ． 19. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，将绕点顺时针旋转，得到，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查图形旋转，根据题意画出图形旋转后的位置，确定对应点的坐标． 【详解】解：位置如图． ∵， ∴． ∴． 故答案为：． 20. 如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，若，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了四边形的内角和以及折叠的性质，熟练掌握知识点并学会综合运用是解题得关键． 根据折叠的性质得，根据四边形的内角和，以及平角等于求解即可得出的度数． 【详解】解：， ∴在四边形中，， 又∵，， ． 故答案为． 21. 如图，是的中位线，的角平分线交于点，若，，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中位线的性质、平行线的性质、角平分线的定义、等角对等边，根据三角形中位线的性质，得出，计算，，根据“两直线平行，内错角相等”、角平分线的定义，推出，根据等角对等边，得出的长，最后根据计算得出答案即可，熟练掌握三角形中位线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵是的中位线，， ∴，，点是的中点， 又∵的角平分线交于点，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 22. 关于的分式方程无解，则的值为_____． 【答案】1或 【解析】 【分析】本题考查分式方程的解和解分式方程，熟练掌握分式方程的解法，理解增根的意义是解题的关键．解分式方程可得，由于方程无解，分两种情况求解即可． 【详解】解： 原方程可化为， 即（其中）． 去分母得， 整理得． 当时，整式方程无解，此时； 当时，解为， 若此解为增根，则，解得． 故a的值为1或． 故答案为：1或． 三、解答题（共78分） 23. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，． （1）将向左平移3个单位长度，得到，画出． （2）将沿着y轴翻折，得到，画出． （3）在x轴上求一点D，使的值最小． 【答案】（1） 解：如图所示： （2） 解：如图所示： （3） 解：点D如图所示． 【解析】 【分析】本题考查了平移作图，作轴对称图形，最短路径，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用平移的性质，得点，再依次连接，即可作答． （2）根据将沿着y轴翻折，得出与关于y轴对称，据此找出点，再依次连接，即可作答． （3）先得出点关于x轴的对称点，再把与连接，与x轴的交点，即为点D，故，此时的值最小． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 24. 先阅读材料，再解答问题： 分解因式：． 解：将“”看成一个整体，设， 则原式． 将代入，得原式． 以上解题过程中用到的是“整体思想”，它是数学中常用的一种思想． （1）分解因式：； （2）应用：已知一个长方形的长为，宽为，且满足，求该长方形的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了用完全平方公式分解因式，利用整体思想求解是解题的关键． （1）设，则原式，据此可得答案； （2）设，则可推出，即，根据偶次方的非负性求出的值即可得到答案． 【小问1详解】 解：设，则原式， 将代入，得原式； 【小问2详解】 解：设， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴，即， ∴该长方形的周长． 25. 先化简，再从中取一个数代入求值． 【答案】，当时，原式． 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值．先把括号里通分，再把除法转化为乘法，并把分子分母分解因式约分化简，最后把合适的所给字母的值代入计算． 【详解】解： ， 由题意：、、， 故a取1，当时， 原式． 26. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的一般步骤，是解题的关键． （1）先去分母变分式方程为整式方程，再解整式方程，最后对方程的解进行检验即可； （2）先去分母变分式方程为整式方程，再解整式方程，最后对方程的解进行检验即可． 【小问1详解】 解：， 去分母得：， 解得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的解； 【小问2详解】 解：， 去分母得：， 解整式方程得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的解． 27. 如图所示，点D为内一点，平分，且交于点G，点E为边的中点，点F在上，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）写出线段之间的数量关系，并给出证明． 【答案】（1） 证明：∵， ∴． ∵平分， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵点E为边的中点， ∴为的中位线， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． （2） ． 证明：由（1），得． ∵D，E分别是的中点， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形中位线的判定和性质，平行四边形的判定等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质． （1）根据条件证明，得出，判定出为的中位线，得出，然后利用平行四边形的判定定理即可得出结果； （2）根据（1）的结论，利用线段的和差即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 28. 渭南市是中国戏曲之乡和民俗之乡，多种剧目被列入国家非物质文化遗产保护名录．某校举办了“渭南戏曲知多少”答题比赛（共道题），为了解学生的答题情况，随机抽取了其中名同学的答题情况，绘制成如下不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）补全统计图，这名同学答对题数的中位数是_____道，众数是_____道； （2）求这名同学答对题数的平均数； （3）若该校共有名学生参加了此次答题比赛，请你估计该校全部答对的学生总人数． 【答案】（1） 补全条形统计图，如图所示： ， （2）这名同学答对题数的平均数是道 （3）估计该校全部答对的学生总人数是人 【解析】 【分析】（1）先计算答对道题的人数，即可补全条形统计图；再由统计图及中位数、众数定义与求法直接求解即可得到答案； （2）由条形统计图中的数据结合平均数的求解公式代值计算即可得到答案； （3）由条形统计图中答对全部题目学生的占比情况估算总体名学生参加此次答题全对人数即可得到答案． 【小问1详解】 解：由不完整的条形统计图可得答对道题的人数为（人）， 由条形统计图可知，名同学中第位同学答对题数均为道，答对道题的人数最多，则这名同学答对题数的中位数为，众数为， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：（道）， 这名同学答对题数的平均数是道； 【小问3详解】 解：（人）， 估计该校全部答对的学生总人数是人． 【点睛】本题考查统计综合，涉及补全条形统计图、求中位数、众数、平均数及由样本中某项的占比估计总体情况，熟记条形统计图及相关统计量的意义与求法是解决问题的关键． 29. 如图，在中，点，分别是，的中点，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若平分，，求的周长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵点，分别是，的中点， ∴，， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）36． 【解析】 【分析】（）由平行四边形的性质和中点的性质可得，即可得结论； （）由角平分线的定义和平行线的性质可证，即可求解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为． 30. 政府计划在斗南花卉产业园新建一座智能温室示范工程，工程在招标时接到甲、乙两个工程队的投标书．施工一天，需付甲工程队工程款1.2万元，乙工程队工程款0.5万元，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，有如下方案： ①甲队单独完成这项工程刚好如期完成； ②乙队单独完成这项工程要比规定日期多用6天； ③若甲、乙两队合作3天，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成． （1）求甲、乙工程队单独完成此项工程各需要多少天？ （2）若不考虑工期，由乙工程队先施工若干天，再由甲工程队施工完成，要使两个工程队施工总费用不超过6.8万元，乙工程队至少施工多少天？ 【答案】（1）甲、乙工程队各需要6天，12天 （2）乙至少施工4天 【解析】 【分析】本题考查了分式方程和不等式的应用． （1）设甲工程队单独完成这项工程需要x天，依题意列方程即可解答； （2）设乙工程队施工a天，则甲需施工天，由题意得，据此求解即可． 【小问1详解】 解：设甲工程队单独完成这项工程需要x天，依题意列方程得： 解得： 经检验是原方程的解， 则乙：（天） 答：甲、乙工程队单独完成这项工程各需要6天，12天； 【小问2详解】 解：设乙工程队施工a天，则甲需施工天， 由题意得， 解得：， 答：乙工程队至少施工4天． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $