山东新泰市第一中学东校2025-2026学年高一上学期第三次质量检测（期末）数学试题

新泰一中东校2025级高一上学期第三次质量检测 数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．已知集合 ，则 （   ） A． B． C． D． 2．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 3．设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 4．化简得（    ） A． B． C． D． 5．设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知函数为幂函数，若函数， 则的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 7．已知点是函数的图象的一个对称中心， 则a的最小值为（   ） A． B． C． D． 8．已知是定义在上且周期为2的奇函数，当时，， 则（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知下列函数中，最小正周期为的是（ ） A． B． C． D． 10．已知幂函数的图像经过点，下列结论正确的有（    ） A． B． C．是偶函数 D．若，则 11．设函数的定义域为，且满足为奇函数，为偶函数， 当时，，则（   ） A． B．在上单调递减 C．为奇函数 D．方程仅有10个不同实数解 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设，则的最小值为 ． 13．已知，，，，则的值为 . 14．已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，， 则关于的不等式的解集为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）已知函数的定义域为集合A，集合． (1)求集合； (2)设集合，若，求实数m的取值范围． 16．（15分）已知函数. (1)求的单调递减区间； (2)求在区间上的值域. 17．（15分）已知函数 . (1)关于的不等式的解集为，求的最小值； (2)解关于的不等式. 18．（17分）近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资240万元．根据行业规定，每个城市至少要投资80万元，由前期市场调研可知：甲城市收益P与投入a(单位：万元)满足P＝4－6，乙城市收益Q与投入a(单位：万元)满足 Q＝设甲城市的投入为x(单位：万元)，两个城市的总收益为f(x)(单位：万元)． (1)当投资甲城市128万元时，求此时公司的总收益； (2)试问：如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使公司总收益最大？ 19．（17分）已知函数是定义域为的奇函数. (1)求的值； (2)判断函数的单调性，并根据定义证明； (3)是否存在实数，对任意有.若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由. 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 新泰一中东校2025级高一上学期期第三次质量检测 数学参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A D D C A B A D AB ABD ACD 11．ACD 【详解】由为奇函数，可得，即（*）， 又为偶函数，则，即， 由（*），，即， 则，故， 所以是以8为一个周期的周期函数， 对于A，，故A正确； 对于C，， 又为奇函数，所以为奇函数，故C正确； 对于B，因方程的根的个数，即与的交点个数， 作出函数在和的函数图象： 由图可知在上单调递增，故B错误； 由图可知，与有10个交点，即方程仅有10个不同实数解，故D正确. 三、填空题 12．4 13． 14． 15．【详解】 （1）由函数有意义，得， 解得，则， 解不等式，得，即， 所以. （2）由（1）知，， 由，得， 当时，，即，满足，因此； 当时，，解得， 所以实数m的取值范围是. 16．【详解】（1）由题意可得. 令（），解得（）， 故的单调递减区间为（）. （2），因为，所以. 当，即时，取得最大值， 最大值为； 当，即时，取得最小值， 最小值为. 故在区间上的值域为. 17．【详解】（1）由关于的不等式的解集为可得是方程的两个实数根，且，； 因此可得，因此；且， 可得， 当且仅当时，即时，等号成立； 此时满足题意，的最小值为； （2）整理不等式可得，即； 当时，不等式为，其解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 18．【详解】(1)当x＝128，即甲城市投资128万元时，乙城市投资112万元， 所以f(128)＝4×－6＋×112＋2＝88(万元)． 因此，此时公司的总收益为88万元． (2)由题意知，甲城市投资x万元，则乙城市投资(240－x)万元， 依题意得解得80≤x≤160， 当80≤x<120，即120<240－x≤160时， f(x)＝4－6＋32＝4＋26<26＋16； 当120≤x≤160, 即80≤240－x≤120时， f(x)＝4－6＋(240－x)＋2＝－x＋4＋56. 令t＝，则t∈[2，4]， 所以y＝－＋4t＋56＝－(t－8＋88. 当t＝8，即x＝128时，y取最大值88. 因为88－(26＋16)＝2×(31－8)>0， 故f(x)的最大值为88. 因此，当甲城市投资128万元，乙城市投资112万元时，总收益最大，且最大收益为88万元． 19．【详解】（1）解：因为函数是定义域为的奇函数， 则即，所以，当时，， 此时，所以为奇函数，符合题意，故； （2）函数在上单调递减. 证明如下：设，且， 则 ， 因为，，所以，， ， 故即， 所以在上单调递减. （3）解：因为在上为奇函数， 由得 即 ， 因为在上单调递减，所以对任意的恒成立 . ①当时，原不等式成立 ； ②当时，， 令，，由基本不等式可得， 当且仅当即时，取最小值为， 所以，的取值范围是 ； 答案第4页，共4页 答案第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $