专题08二元一次方程组寒假预习讲义（1）(知识点梳理+常考题型精讲精练+强化巩固)2025-2026学年人教版七年级数学下册

专题08二元一次方程组寒假预习讲义（1） · 解锁二元一次方程组新知识点，分清概念、辨明解的含义，轻松拿捏 “二元” 与 “一元” 的关联与区别； · 吃透 “消元” 核心妙招，掌握代入消元法解题步骤，实现从 “二元” 到 “一元” 的轻松转化，解锁方程组解题技能； · 学会用二元一次方程组解决生活中的简单问题，感受数学与生活的联结，练就用数学解决实际问题的能力； · 培养转化、归纳的数学思维，为后续解锁更多解题方法打牢基础，提升数学解题的逻辑与技巧。 预习必备 知识点梳理 1.核心思想:消元思想 2.基本方法:代入消元法 3.代入消元法的基本步骤 4.特殊情况的变形技巧 常考题型 精讲精炼 1.二元一次方程的定义与解 2.二元一次方程的判定 3.二元一次方程组的判定 4.二元一次方程组解的验证 5.由二元一次方程组的解求参数 6.代入消元法 7.加减消元法 8方程组的特殊解法 9.错解复原问题 10.构造方程组求解 11.由方程组解的情况求参数 12.方程组相同解的问题 强化巩固 题型通关 (15题) 【知识点01.核心思想:消元思想】 解二元一次方程组的关键是消去一个未知数，将 “二元一次方程组” 转化为我们学过的 “一元一次方程”，这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想。 【知识点02:基本方法:代入消元法】 把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法。 【知识点03.代入消元法的基本步骤】 1.选元变形：选一个方程，把一个未知数用含另一个未知数的式子表示（优先选系数为±1的未知数，简化计算）。 2.代入消元：将变形后的式子代入另一个方程，消去一个未知数，转化为一元一次方程。 3.解一元方程：求出一个未知数的具体值。 4.回代求值：把求得的值代入变形后的式子，算出另一个未知数的值。 5.写解检验：用大括号表示方程组的解，可代入原方程验证对错。 【知识点04.特殊情况的变形技巧】 若方程组中有一个方程直接给出一个未知数的值（如，直接将已知值代入另一个方程即可求解； 若未知数的系数不是 1 或 - 1（如），优先选系数绝对值小的未知数变形，如把①式变形为y=7−2x，再代入②式。 . 【题型1.二元一次方程的定义与解】 【典例】已知下列方程： ①；②；③；④；⑤．其中， 是二元一次方程．（填序号） 【答案】②⑤ 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，根据二元一次方程的定义（含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程）逐一判断各方程即可得到答案． 【详解】解：①中，项的次数为2，不符合定义； ②是整式方程，含有两个未知数，且未知数的次数均为1，符合定义； ③不是整式方程，不是二元一次方程； ④中项的次数为2，不符合定义； ⑤整理后为，是整式方程，且含有未知数的项的次数均为1，符合定义． 故答案为：②⑤． 【跟踪专练1】下列方程中，属于二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查二元一次方程的定义：含有两个未知数，且含未知数项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程． 根据定义依次判断即可． 【详解】解：A、方程中含有分式，不是整式方程，故此选项错误；   B、方程中含有3个未知数，不符合题意，故此选项错误；   C、含有2个未知数，整理后含未知数的次数的项的最高次数是2，不符合题意，故此选项错误；   D、符合二元一次方程定义，故此选项正确． 故选D． 【跟踪专练2】若方程是关于的二元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，只含有两个未知数，且含未知数的项的次数为1的整式方程叫做二元一次方程，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据二元一次方程的定义，据此得到，解之即可得到答案． 【详解】解：∵方程是关于的二元一次方程， ∴， 解①得：， 解②得：， ∴， 故答案为：； 【题型2.二元一次方程的判定】 【典例】下列各组数满足方程的是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程的解，掌握知识点是解题的关键． 将每个选项中的x和y值代入方程，验证是否成立即可． 【详解】解：方程是， 对于选项A：， 代入得，成立； 对于选项B：， 代入得，不成立； 对于选项C：， 代入得，不成立； 对于选项D：， 代入得，不成立． ∴只有选项A满足方程． 故选:A． 【跟踪专练1】已知是方程的一组解，则a的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二元一次方程的解． 将代入方程计算即可． 【详解】∵是方程的一组解， ∴， 即， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练2】为组织研学活动，王老师把班级里名学生计划分成若干小组，若每组只能是人或人，则分组方案共有（　　） A．2种 B．3种 C．8种 D．10种 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的解，熟悉掌握运算方法是解题的关键． 设人小组有组，人小组有组，列出方程求解即可． 【详解】设人小组有组，人小组有组，由题意可得：， ∵，为自然数， ∴，，， ∴有种分组方案， 故选：B． 【题型3.二元一次方程组的判定】 【典例】已知方程组是关于，的二元一次方程组，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握二元一次方程组的定义是解题的关键：1、定义：方程组中有两个未知数，含有未知数的项的次数都是，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组．其一般形式是，其中，不同时为，，不同时为；2、注意：①组成二元一次方程组的两个一次方程不一定都是二元一次方程，但这两个方程必须一共含有两个未知数．如也是二元一次方程组；②在方程组的每个方程中，相同字母必须代表同一未知量，否则不能将两个方程联立；③二元一次方程组中的各个方程应是整式方程． 由可得，解得；由二元一次方程组的定义可得，解得；综合以上，即可求出的值． 【详解】解：由可得：， 解得：； 由二元一次方程组的定义可得： ， 解得：； ， 故答案为：． 【跟踪专练1】下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程组的定义：方程组需含有两个未知数，且每个方程都是整式方程，未知项的最高次数为，根据二元一次方程组的定义逐项判断即可. 【详解】解：A选项：方程组中含有三个未知数， 不是二元一次方程组， 故A选项不符合题意； B选项：方程组中含有两个未知数，但是未知项的次数是， 不是二元一次方程组， 故B选项不符合题意； C选项：方程组中含有两个未知数，但是未知项的次数是， 不是二元一次方程组， 故C选项不符合题意； D选项：方程组中含有两个未知数，未知项的最高次数是， 是二元一次方程组， 故D选项符合题意． 故选：D． 【跟踪专练2】已知关于x，y的二元一次方程的解如下表： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 8 6.5 5 3.5 2 0.5 … 已知关于x，y的二元一次方程的解如下表： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 2 … （1）仔细观察表中数据，直接写出关于，二元一次方程组的解为 ． （2）关于，的二元一次方程组的解为 ． 【答案】 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的解与系数的关系是解题的关键 （1）两个表格中的相同解即为方程组的解； （2）根据两个方程组的系数的关系即可求解． 【详解】解：（1）根据表格可知，当时，中，中， ∴关于，二元一次方程组的解为， 故答案为； （2）∵关于，二元一次方程组的解为， ∴关于，的二元一次方程组的解为， 解得， ∴关于，的二元一次方程组的解为， 故答案为． 【题型4.二元一次方程组解大验证】 【典例】下列哪组的值是方程组的解？ ①        ②        ③        ④ 【答案】③ 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解是解题的关键；通过分别验证每组解代入二元一次方程组中，看方程组是否成立即可． 【详解】解：①把代入方程组得： ， ∴不是方程组的解； ②把代入方程组得： ， ∴不是方程组的解； ③把代入方程组得： ，， ∴是方程组的解； ④把代入方程组得： ， ∴不是方程组的解． 【跟踪专练1】下面三组数据： ①  ②  ③ 满足方程的是 ，满足方程的是 ，同时满足这两个方程的是 ．故二元一次方程组的解是 ．（填序号） 【答案】 ①②/②① ②③/③② ② ② 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．根据解的含义逐一进行检验即可． 【详解】解：将代入方程左边得：，右边，左边右边；是方程的解； 将代入方程左边得：，右边，左边右边；是方程的解； 将代入方程左边得：，右边，左边右边；不是方程的解； 故答案为：①② 将代入方程左边得：，右边，左边右边，不是方程的解； 将代入方程左边得：，右边，左边右边，是方程的解； 将代入方程左边得：，右边，左边右边；是方程的解； 故答案为：②③ 同时满足这两个方程的为， 则方程组的解为． 故答案为：②，② 【跟踪专练2】已知二元一次方程组的解是，则表示的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的解“一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解”，熟练掌握二元一次方程组的解的定义是解题关键． 先将方程组的解代入第一个方程可求出的值，从而可得这个方程组的解，再在四个选项中，找出满足这个解的方程即可得． 【详解】解：由题意，将代入方程得：，解得，所以这个方程组的解为， A、将代入得：，则此项不符合题意； B、将代入得：，则此项不符合题意； C、将代入得：，则此项不符合题意； D、将代入得：，则此项符合题意； 故选：D． 【题型5.由二元一次方程组的解求参数】 【典例】已知是的解，则k的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 把与的值代入方程计算即可求出的值． 【详解】解：把代入方程得：， 解得：， 则的值是． 故答案为：． 【跟踪专练1】若二元一次方程组的解是，则*表示的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的解．理解二元一次方程组的解的定义是解题的关键；已知方程组的解满足两个方程，先利用第一个方程求出未知数a的值，再将方程组的解代入各选项验证是否成立即可得解． 【详解】解：因为二元一次方程组的解是， 所以， 解得， 所以方程组的解为， 、，故本选项符合题意； 、，故本选项不符合题意； 、，故本选项不符合题意； 、，故本选项不符合题意； 故选：． 【跟踪专练2】关于， 的方程组的解是，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，求一个数的平方根． 把关于，的方程组的解代入方程组，可得关于，的二元一次方程组，解方程组可得，，从而可得，求平方根即可． 【详解】解：∵关于， 的方程组的解是， ∴， 解得， ∴， ∵的平方根是， ∴的平方根是． 故答案为：． 【题型6.代入消元法】 【典例】．用代入消元法解方程组较为简便的方法是（   ） A．先把①变形 B．先把②变形 C．可先把①变形，也可先把②变形 D．把①②同时变形 【答案】B 【分析】本题考查了解二元一次方程组的解法：代入法，根据代入法分析即可得到答案，正确掌握解法并根据每个方程组的特点选择恰当的解法是解题的关键． 【详解】解：根据方程组的特点，②中的系数为1，故将②变形为用的代数式表示，再代入①计算更简便． 故选：． 【跟踪专练1】用代入法解方程组时，如果先消去x，可以将方程①变形为 ；如果先消去y，可以将方程②变形为 ． 【答案】 【分析】本题考查代入法解二元一次方程组，掌握相关知识是解决问题的关键．消去某个未知数需将该未知数用另一个未知数表示，据此解答即可． 【详解】解：如果先消去x，由方程① ， 移项得 ； 如果先消去y，由方程② ， 移项得 ， 即． 故答案为 ，． 【跟踪专练2】若单项式与是同类项，则a，b的值分别是（    ） A．3，1 B．－3，1 C．3，－1 D．－3，－1 【答案】A 【分析】本题考查同类项的定义、解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法、同类项的定义是解答本题的关键． 两个单项式为同类项，则对应字母的指数相等，据此列出关于和的方程组并求解. 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴ 由①得：③， 将③代入②得：， 解得， 将代入③得：， ∴方程组的解为 故，的值分别为， 故选：A． 【题型7.加减消元法】 【典例】已知方程组，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，先把两个方程相加，再利用等式的基本性质求出即可． 【详解】解：， ①②得：， ∴， 故答案为：4． 【跟踪专练1】已知二元一次方程组则的值是（   ） A．3 B． C．0 D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的整体代入解法，解题关键是观察方程的结构特征，利用整体相加的方法直接得到 的值，避免了繁琐的代入消元或加减消元步骤． 通过将两个方程直接相加，整体求出的值． 【详解】解：∵ 方程组为： ①+②： ． ∴ 的值为． 故选：A． 【跟踪专练2】已知a，b都是有理数，观察表格中的运算，则m的值为 ． a，b的运算 运算的结果 －4 10 m 【答案】－1 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握方程组的解法是解答本题的关键． 根据表格中和的运算结果，列出二元一次方程组，解出和的值，再代入计算即可． 【详解】解：由表格得： 得：，解得：， 得：，解得：， 故原方程的解为 则 ， 故答案为：． 【题型8.方程组特殊解法】 【典例】已知，满足方程组，则的值是（　　） A．2 B． C．0． D． 【答案】A 【分析】把x与y的值代入方程组，利用加减法计算即可． 【详解】解：∵满足方程组， ∴， 得． 故选：A． 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 【跟踪专练1】已知方程组的解是，则的解是 ． 【答案】 【分析】本题考査了二元一次方程组的解及其解法；先把与看作一个整体，则与是已知方程组的解，于是可得，进一步即可求出答案． 【详解】解：由题意得：方程组的解为， 解得：． 故答案为：． 【跟踪专练2】若关于、的方程组的解为，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同解二元一次方程组问题，熟记二元一次方程组解的定义是解决问题的关键．先将恒等变形为，由与的解相同可得，直接求解即可得到答案． 【详解】解：将恒等变形为， 关于、的方程组的解为， 关于、的方程组的解为， 解得， 故选：B 【题型9.错解复原问题】 【典例】滨滨同学在解方程组时，因抄错c而解得，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解的定义是解题的关键．由题意得，是方程的解，代入得到，即可求出的值． 【详解】解：由题意得，是方程的解， 代入得到， 即， 故答案为：． 【跟踪专练1】李明、王超两位同学同时解方程组，李明解对了，得：，王超抄错了，得：，则原方程组中的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，根据题意可得和都是方程的解，据此可得，解方程组即可得到答案． 【详解】解：∵李明、王超两位同学同时解方程组，李明解对了，得：，王超抄错了，得：， ∴， 解得， 故选：B． 【跟踪专练2】甲、乙两人同时解关于x，y的方程组，甲、乙两人都解错了，甲看错了方程①中的m，解得，乙看错了方程②中的n，解得，则原方程组的解为 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组．将代入②得，，求得 ；将代入①得，，求得 ，构造新方程组是，再解方程组即可． 【详解】解：由题意知：将代入②得，， ， 将代入①得，， 方程组是， 得， ， ， 将代入得， ， ， 原方程组的解是． 故答案为： 【题型10.构造方程组求解】 【典例】定义新运算：，其中，为常数．若，，则a，b的值分别为（    ） A．2，3 B．2， C．，3 D．， 【答案】C 【分析】利用新运算列出二元一次方程组，进行解方程即可． 【详解】解：由题意列方程组为：， ①×2+②得：5b=15， 解得：b=3， 将b=3代入①得：a=-2， 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是利用新运算构造二元一次一次方程组并解方程组，利用合适的方法解方程组即可． 【跟踪专练1】请写出一个解是的二元一次方程组（不含） ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查的是二元一次方程组的解，该题是开放题，注意方程组的解的定义．根据方程组的解的定义，应该满足所写方程组的每一个方程．因此，可以围绕列一组算式，然后用，代换即可． 【详解】解：的解是， 故答案为：（答案不唯一）． 【跟踪专练2】二元一次方程组的解的值相等，则的值为（   ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查方程组的解的概念，掌握方程组的解满足方程组的每一个方程是解题的关键． 把代入第一个方程可求得、的值，再把、的值代入第二个方程可求得的值． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 将代入，得：， 解得：， 故选：A. 【题型11.由方程组解的情况求参数】 【典例】若关于，的方程组的解满足，则为 ． 【答案】 【分析】本题考查根据二元一次方程组的解的情况，求参数，熟练掌握二元一次方程组是解答本题的关键．将两个方程相加后，整体代入法得到关于的一元一次方程，求解即可． 【详解】解：， 得：， ， ， 解得：， 故答案为：． 【跟踪专练1】小明在解关于的二元一次方程组时，不小心滴上了墨水，无法做题，老师告诉他这个方程组中的值为3，则●和的值分别为（    ） A．2，2 B．2， C．8， D．8，2 【答案】A 【分析】根据确定，把未知数的值都代入方程中，解答即可．本题考查了解方程组，熟练掌握解方程组是解题的关键． 【详解】解：根据题意，将代入，则， 解得， 把，代入，得， 故选：A． 【跟踪专练2】若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的值为 ． 【答案】15 【分析】通过加减消元法先解二元一次方程组，用k表示x、y，再将x、y代入，解关于k的方程即可；本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：， 得， 解得； 把代入得， 解得； 把、代入得， 解得． 故答案为：15． 【题型12.方程组相同解的问题】 【典例】若方程组与方程3ax－2ay＝12具有相同的解，则a的值为（    ） A．3 B．－3 C．2 D．－2 【答案】A 【详解】解方程组，得 因为方程组与方程3ax－2ay＝12具有相同的解， 所以6a－2a＝12，解得a＝3 【跟踪专练1】已知方程组与方程组的解相同，则的值为 【答案】 【分析】本题考查了同解方程组，依题意得，解得，再将代入中解二元一次方程组即可得出的值，进而求得的值． 【详解】解：依题意得：， 解得：， 将代入得：， 解得：． ∴ 故答案为：． 【跟踪专练2】若关于x，y的方程组与有相同的解，则的值为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是已知二元一次方程组的解的情况求参数、加减消元法，解题关键是熟练掌握加减消元法．由于两个方程组有相同的解，可知它们的解为和，将此解代入两个方程组的第二个方程，得到关于和的方程组，通过加减消元法直接求解的值． 【详解】解：由题意得，两个方程组的公共解为， 将代入第一个方程组的，得：①， 代入第二个方程组的，得：②， 将①和②相加：， 整理得：， 则． 故选：D． 1．若，是关于，的二元一次方程，则，的值分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，解二元一次方程组，熟练掌握含有2个未知数，且未知数的次数均为1的整式方程是二元一次方程是解题的关键．根据二元一次方程的定义，可得到关于m，n的方程组，即可求解． 【详解】解：若，是关于，的二元一次方程， 则 解得：，． 故选：C． 2．下列方程中是二元一次方程组的有（   ） ①，②，③，④， A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，根据二元一次方程组的定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组，逐项进行分析即可判断求解，掌握二元一次方程组的定义是解题的关键． 【详解】解：方程组中是二元二次方程，故不是二元一次方程组，不合题意； 方程组是二元一次方程组，故符合题意； 方程组中不是整式方程，故不是二元一次方程组，不合题意； 方程组中含有个未知数，故不是二元一次方程组，不合题意； ∴是二元一次方程组的有个， 故选：A． 3．二元一次方程的自然数解的对数有（   ）． A．2对 B．3对 C．4对 D．无数对 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解．本题是求不定方程的自然数解，先将方程做适当变形，然后列举出适合条件的所有自然数值，再求出另一个未知数的值． 要求二元一次方程的自然数解，首先将方程做适当变形，根据两个未知数的取值范围，分析解的情况即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴，共有4对自然数解． 故选：C． 4．已知与的值互为相反数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相反数的应用，非负数的性质，解二元一次方程组，建立二元一次方程组是解题的关键． 根据非负数的性质，由互为相反数可得平方项与绝对值之和为零，从而建立二元一次方程组，解方程组求出x和y的值，再计算的值． 【详解】∵ 与 互为相反数， ∴ ， 由于平方项和绝对值均为非负数， 因此， 解方程组得， ∴ ． 故答案为：0． 5．二元一次方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解二元一次方程组，利用代入消元法解二元一次方程组即可． 【详解】解： 把①代入②得， 解得， 把代入①得， ∴方程组的解为， 故选：C． 6．已知关于的方程组无论取何值，的值都是一个定值，则这个定值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查解含参数的二元一次方程组．掌握加减消元法是解题的关键． ，,得,即得解． 【详解】解：∵， ∴,得． ∴无论取何值，的值都是一个定值，则这个定值为11． 故答案为：11． 7．已知方程组的解是，则方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，把方程组变形为，把看做一个整体，则，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵方程组的解是， ∴方程组的解满足， 解得， 故答案为：． 8．小莹和小亮同时解关于，的方程组，小莹解得正确结果为，小亮因为抄错了，解得错误结果为，则 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，把代入方程组得，再把代入方程组中第一个方程得，联立①②③，求出，，的值代入计算即可． 【详解】解：把代入方程组得， ∵是方程的一组解， ∴， 联立①②③，并解得， ∴， 故答案为：3． 9．已知关于x，y的方程组和的解相同，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D．99 【答案】A 【分析】根据两个方程组的解相同，所以先求出只含、的方程组的解，再将解代入含、的方程，求出、，最后计算即可． 本题主要考查了二元一次方程组的解法及同解问题，熟练掌握解方程组的步骤和利用同解求参数是解题的关键． 【详解】解：， 得： ， 把代入①得： ， 把代入中得， 得： ， 把代入③得： ， 则，所以； 故选：A ． 10．已知方程组的解为正整数，则正整数a的值为 【答案】1 【分析】本题考查了二元一次方程组的整数解，解题的关键是根据题意解出含a的x，y的式子． 通过解方程组得到和，根据解为正整数的条件，确定正整数的值． 【详解】解： ，得， 解得， 将代入①，得， 解得， ∵方程的解为正整数， ∴ 且为整数， ∴，即， 又∵是正整数， ∴ 或 ， 当时，，不是正整数； 当时，，是正整数， 因此，正整数的值为 1． 故答案为：1． 解答题 11．若是二元一次方程（a为常数）的一组解，求a的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解的定义，二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程中求出a的值即可． 【详解】解：∵是二元一次方程（a为常数）的一组解， ∴， ∴． 12．用代入法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了用代入法解二元一次方程组，掌握代入法的步骤，即从一个方程中用一个未知数表示另一个未知数，再代入另一个方程消元求解是解题的关键． （1）先化简第二个方程，再从第一个方程中用表示，代入化简后的方程，消元求解． （2）从第一个方程中用表示，代入第二个方程，消去，解出后再求． 【详解】（1）解： 化简方程②： 由方程①得：， 代入方程③： 将代入，得： 方程组的解为 ． （2）解： 由方程①得：， 代入方程②： 通分计算： 将代入，得： 方程组的解为 ． 13．已知和都是二元一次方程的解，则是否也是方程的解？请说明理由． 【答案】不是，见解析 【分析】将和代入二元一次方程，得到的方程组，求得的值，再检验即可． 【详解】解：不是．理由如下： 将和分别代入方程，得 由①，得．③ 将③代入②，得， 解得． 将代入③，得， 所以原二元一次方程为． 将代入，得， 所以不是方程的解． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解，只要满足方程的左右两边相等，即可知是原方程的解． 14．若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，求的值和这个方程组的解． 【答案】    【分析】本题考查二元一次方程组的解与方程的综合应用，掌握先解含参数的方程组，再代入另一方程求参数的方法是解题的关键． 先通过加减消元法解含参数的方程组，用表示出和；再将这个解代入方程，得到关于的一元一次方程，求出后回代即可得到方程组的解． 【详解】解： ①＋②，得，解得． ①－②，得，解得． ∴方程组的解为 将代入中，得， 解得， 方程组的解为． 15．已知关于x，y的方程组，甲由于看错了方程（1）中的a，得到方程组的解为，乙由于看错了方程（2）中的b，得到方程组的解为． 试求出方程组的正确解． 【答案】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的错解复原问题；甲看错了方程（1）中的 ，但其解满足方程（2）；乙看错了方程（2）中的 ，但其解满足方程（1）．分别代入对应方程求出 和 ，再解原方程组． 【详解】解：甲的解为 ，代入方程（2）得 解得： 乙的解为 ，代入方程（1）得 解得： 原方程组为 由 得 ， 代入另一方程得 解得： 代入 得 所以方程组的解为 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $专题08二元一次方程组寒假预习讲义(1) 1 预习目标 解锁二元一次方程组新知识点，分清概念、辨明解的含义，轻松拿捏“二元”与“ 元”的关联与区别： ·吃透“消元”核心妙招，掌握代入消元法解题步骤，实现从“二元”到“一元”的 轻松转化，解锁方程组解题技能； ·学会用二元一次方程组解决生活中的简单问题，感受数学与生活的联结，练就用数 学解决实际问题的能力； 。培养转化、归纳的数学思维，为后续解锁更多解题方法打牢基础，提升数学解题的 逻辑与技巧。 预习内容概览 预习必备 1.核心思想消元思想 2.基本方法代入消元法 知识点梳理 3.代入消元法的基本步骤 4.特殊情况的变形技巧 1.二元一次方程的定义与解 2.二元一次方程的判定 3.二元一次方程组的判定 4.二元一次方程组解的验证 常考题型 5.由二元一次方程组的解求参数 6.代入消元法 精讲精炼 7.加减消元法 8方程组的特殊解法 9.错解复原问题 10.构造方程组求解 11.由方程组解的情况求参数 12.方程组相同解的问题 强化巩固 15题) 题型通关 3 知识点梳理 试卷第1页，共3页 【知识点01.核心思想：消元思想】 解二元一次方程组的关键是消去一个未知数，将“二元一次方程组”转化为我 们学过的“一元一次方程”，这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想， 叫做消元思想。 【知识点02：基本方法：代入消元法】 把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来， 再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫 做代入消元法，简称代入法。 【知识点03.代入消元法的基本步骤】 1.选元变形：选一个方程，把一个未知数用含另一个未知数的式子表示（优先选 系数为士1的未知数，简化计算)。 2.代入消元：将变形后的式子代入另一个方程，消去一个未知数，转化为一元一 次方程。 3.解一元方程：求出一个未知数的具体值。 4.回代求值：把求得的值代入变形后的式子，算出另一个未知数的值。 5.写解检验：用大括号表示方程组的解，可代入原方程验证对错。 【知识点04.特殊情况的变形技巧】 X=3 若方程组中有一个方程直接给出一个未知数的值（如] 2x+3y=15,直接将已 知值代入另一个方程即可求解： 2x+y=7 若未知数的系数不是1或-1（如 3x-2y=7）,优先选系数绝对值小的未 知数变形，如把①式变形为y=7-2x,再代入②式。 常考题型精讲精练 【题型1.二元一次方程的定义与解】 【典例】己知下列方程： ①=1，②2x=3y:③x-1-2,④r2+y=3;⑤2=3y-1.其中， 是二元 试卷第1页，共3页 次方程.（填序号） 【跟踪专练1】下列方程中，属于二元一次方程的是() A.x+=5 B.y+5z=-4x y C.3x-3x(x-y=8 D.x+=2 4 【跟踪专练2】若方程3x1+(a-2)y=1是关于x,y的二元一次方程，则a= 【题型2.二元一次方程的判定】 【典例】下列各组数满足方程x-2y=3的是() x=3 x=4 x=2 x=1 D y=0 y=1 y=-1 y=-2 x=a 【跟踪专练1】己知 是方程x+3y=5的一组解，则a的值为」 y=1 【跟踪专练2】为组织研学活动，王老师把班级里50名学生计划分成若干小组，若每组只 能是4人或5人，则分组方案共有( A.2种 B.3种 C.8种 D.10种 【题型3.二元一次方程组的判定】 m-8x=2 【典例】己知方程组 3x-y7=1 是关于x,y的二元一次方程组，则n= 【跟踪专练1】下列方程组中，是二元一次方程组的是() 3x-y=5 x+3=1 A. B. 2y-z=6 (y=x2 [5x+2y=1 x+y=2 D. y=-1 y-2x=4 【跟踪专练2】己知关于x,y的二元一次方程mx+ny=h的解如下表： 0 3 4 … P 6.5 3.5 0.5 已知关于x,y的二元一次方程ax-by=c的解如下表： … 0 2 3 4 5 试卷第1页，共3页 10 2 2 10 14 3 3 3 3 3 (1)仔细观察表中数据，直接写出关于x,y二元一次方程组 mx+ny=h 的解为■ ax-by=c (2)关于x,y的二元一次方程组 m(x-y)-n(x+y)=h 的解为 a(x-y)+b(x+y)=c 【题型4.二元一次方程组解大验证】 2x+y-46=0 【典例】下列哪组x,y的值是方程组 3x+y-59=0 的解？ ⑦ x=-13 x=-13 x=13 x=20 y=-20 ② ③ ④ y=20 y=20 y=13 【跟踪专练1】下面三组数据： @1 x=2 x=-2 y=-5 ② y=-3 ③ y=-1 满足方程2x-y=7的是」 满足方程x+2y=-4的是 同时满足这两个 方程的是 故二元一次方程组 2x-y=7 x+2y=-4 的解是 (填序号) x+y=1 【跟踪专练2】己知二元一次方程组 的解是 =。,则*表示的方程可能是() x=-1 A.2x-y=3B.x+y=4 C.2x+3y=-4 D.x-y=-3 【题型5.由二元一次方程组的解求参数】 x=2 【典例】已知 是2x-4y+4=0的解，则k的值是 y=1 x+y=1 x=-1 【跟踪专练1】若二元一次方程组 *的解是 y=。,则*表示的方程可能是() A.x-y=-3 B.x+2y=4 C.2x-y=-3 D.2x+3y=-4 【跟踪专练2】关于x,y的方程组 x-ay=1 的解是 =1,则20+6的平方根是 x=2 bx+y=5 试卷第1页，共3页 【题型6.代入消元法】 2x-3y=7@ 【典例】.用代入消元法解方程组 较为简便的方法是() x-4y=1② A.先把①变形 B.先把②变形 C.可先把①变形，也可先把②变形 D.把①②同时变形 x+3y=5① 【跟踪专练1】用代入法解方程组 2x-y=4② 时，如果先消去x,可以将方程①变形 为 如果先消去y,可以将方程②变形为 【跟踪专练2】若单项式2x2ya+b与 3>是同类项，则a,b的值分别是() A.3,1 B.-3,1 C.3,-1 D.-3,-1 【题型7.加减消元法】 【典例】已知方程组 2m-2n=-1 m+5n=13,则m+n的值为一 x+2y=4 【跟踪专练1】已知二元一次方程组 则x+y的值是() 2x+y=5 A.3 B.-1 C.0 D.-2 【跟踪专练2】已知a,b都是有理数，观察表格中的运算，则m的值为一 a+b a-b a,b的运算 (2a+b) 运算的结果 10 m 【题型8.方程组特殊解法】 x=m 【典例】已知 x+2y=5 满足方程组 y=n 2x+y=7' 则m-n的值是() A.2 B.-2 C.0. D.-1 2a-3b=13 a=8.3 2(x+2)-3y-1)=13 【跟踪专练1】己知方程组 3a+5b=30.9的解是 =1.2则 (x+2)+50-1)=30.g的解 试卷第1页，共3页 是 x=1 【跟踪专练2】若关于x、y的方程组 ax+by=c 的解为 (=2, 则方程组 ex+fy=d a(x-1)+3by=2c e(x-l)+3=2d的解是() x=2 x=3 x=2 x=3 C. 4 D y=- 3 y 3 【题型9.错解复原问题】 【典例】滨滨同学在解方程组2x+y= [x=-2 'cx-7y=8 时，因抄错c而解得 y=2,则a-b的值是 ax+by=2 【跟踪专练1】李明、王超两位同学同时解方程组 mx-7y=-9'李明解对了，得： x=-2 y=3，王超抄错了m,得： x=-2 y=-2’ 则原方程组中a的值为() A.1 B.-1 C.2 D.-2 【跟踪专练2】甲、乙两人同时解关于x,y的方程组 mx+3y=6① 2x-y=8②’甲、乙两人都解错了， 2乙君错了方程3中的，解得则原方程组的 x=3 x=-1 甲看错了方程①中的m,解得 解为 【题型10.构造方程组求解】 【典例】定义新运算：x回y=ax+by,其中a,b为常数.若1⊙2=4，（-2)O1=7,则a, b的值分别为() A.2,3 B.2,-3 C.-2,3 D.-2,-3 少=一1的二元一次方程组（不含 x=1 x=1 【跟踪专练1】请写出一个解是 3x+2y=10 【跟踪专练2】二元一次方程组 :+k+2y=6的解xP的值相等，则k的值为（) 试卷第1页，共3页 A.2 B.1 C.2 D. 2 【题型11.由方程组解的情况求参数】 2x+y=m 【典例】若关于x,y的方程组 x+2y=2m+2的解满足x+y=-7,则m为 ●x+2y=10 【跟踪专练1】小明在解关于x,y的二元一次方程组 时，不小心滴上了墨水， 3x-2y=5 无法做题，老师告诉他这个方程组中x的值为3，则●和y的值分别为() A.2,2 B.2, C.8,2 D.8,2 x-y=k+5 【跟踪专练2】若关于x,y的二元一次方程组 的解满足x+y=2,则k的值 3x+2y=k 为」 【题型12.方程组相同解的问题】 2x-y=3 【典例】若方程组 与方程3一2y=12具有相同的解，则a的值为() x+3y=5 A.3 B.-3 C.2 D.-2 3x-y=5 【跟踪专练1】己知方程组 ar-by=4与方程组 ax+by=6 14x-7y=11 的解相同，则a-b的值为■ mr+=1与+m=-7有相同的解，则m+n的值 x=2 y=1 【跟踪专练2】若关于，y的方程组 与 为() A.-5 B.-1 C.3 D.-2 强化巩固通关 1.若xm-"-2ym+m-2=2025,是关于，y的二元一次方程，则m,的值分别是() A.m=1,n=0B.m=0,n=1C.m=2,n=1D.m=2,n=3 2.下列方程中是二元一次方程组的有() 试卷第1页，共3页 @/2gy=6 3x=y+5 =3 2x+y=1 (x+y=1'② 2x-=-2'® ④ 4 4x-2y=5 x-2z=31 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.二元一次方程2x+3y=18的自然数解的对数有(). A.2对 B.3对 C.4对 D.无数对 4.已知(2x-3y+1)2与4x-3y-1的值互为相反数，则x-y的值为 -x=y 5.二元一次方程组 的解是() x-y=4 x=-1 x=2 x=2 x=-2 A. B. y=-1 (y=2 y=-2 y=2 x+2y=k+3 6.已知关于x,y的方程组 2x-3y=3k-2 无论k取何值，x+9y的值都是一个定值，则这个 定值为 7.已知方程组 ax+by=ci 的解是 x=3 3a,x+2hy=5G的解是 ax+bay=c2 y=4,则方程组 3a2x+2b2y=5c2 mr-3y=6'小莹解得正确结果为 ax+by=3 8.小莹和小亮同时解关于x,y的方程组 x=5 =3'小亮 因为抄错了m,解得错误结果为 x=-3 y=-3’则4a+36+m= 4x+3y=11[3x-5y=1 9.己知关于x,y的方程组 ar+y=-2和 b-y=6的解相同，则(a+b”的值为（) A.0 B.1 C.-1 D.99 [x+2y=5-a 10.己知方程组 的解为正整数，则正整数a的值为 3x-4y=2a 解答题 =3是二元一次方程2x+a=3a为常数)的一组解，求a的值。 x=1 11.若 12.用代入法解下列方程组： 试卷第1页，共3页 x+y=8 (1) 7x-2(2x+y)=-1 2)x+号=3 8x+3y=-1 13.已知 x=1,和 x=2, x=3, y=-1"y=2 都是二元一次方程ax+by+4=0的解，则 =4是否也是方程 ax+by+4=0的解？请说明理由. 14.若关于x,y的二元一次方程组 x+y=2t 的解也是二元一次方程2x+3y=9的解，求t的 x-y=4t 值和这个方程组的解. ax+5y=15(1) 15.己知关于x,y的方程组 4x-y=-22'甲由于看错了方程(1)中的a,得到方程组 x=-3 x=5 的解为 y=-1’ 乙由于看错了方程(2)中的b,得到方程组的解为 y=4 试求出方程 组的正确解. 试卷第1页，共3页