精品解析：四川省广汉市金雁中学2026届高三上学期1月月考数学试题

金雁中学高2023级一月月考试题 数学 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知棱长为的正方体的所有顶点均在球的球面上，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 函数的图象的相邻两支截直线所得线段长为，则的值是（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列是首项为1的等差数列，且，则（ ） A. B. 或 C. D. 或 7. 已知向量，若，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 8. 某地区举办演唱会时，举办方为防止观众私自携带灯牌等应援物品，使用了安检门进行辅助检测.依照以往数据，任一观众私自携带应援物品的概率为，若观众确实携带，安检门亮灯提示的概率为；若观众没有携带，安检门依旧有的概率因误检其他物品而亮灯提示.若某观众通过安检门时被亮灯提示，则该观众确实私自携带应援物品的概率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题正确的是（ ） A. 样本数据6.1，5.9，5.9，6.0，6.1，5.8，6.3的极差为0.5 B. 样本数据，，，，，的分位数是 C. 若随机变量，且，则 D. 若随机事件，满足，，且，则 10. 如图，已知点在表面积为的球的球面上，且，平面，点为中点，当二面角的大小为时，则有（ ） A. 异面直线和所成角的大小为 B. 直线与平面所成角的大小为 C. D. 的面积为 11. 已知抛物线E：的焦点为F，抛物线E的准线交x轴于点G，抛物线E上一点到点F的距离为6，点A，B是抛物线E上的两点（异于原点O），则下列说法正确的是（ ） A. B. 若中点M的纵坐标为2，则直线的斜率为2 C. 若，则直线恒过点 D. 若直线过点F，则直线，的斜率之和为0 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，其中．若，则的最大值为______． 13. 已知在的展开式中，第3项的二项式系数与第5项的二项式系数相等，则的系数为___________． 14. 已知函数，，若恒成立，则的取值范围是____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，函数（为常数）. （1）求的最小正周期及单调递减区间； （2）若，且在中，内角的对边分别为，求的面积. 16. 已知动点与定点的距离和P到定直线的距离的比是常数，记点P的轨迹为曲线C. （1）求曲线C的标准方程； （2）设点，若曲线C上两点M，N均在x轴上方，且，，求直线FM的斜率. 17. 如图，在六面体中，D为的中点，四边形为矩形，且，，． （1）求证：平面； （2）已知，求平面与平面的夹角的余弦值． 18. 今年立秋以后，川渝地区持续性高温登上热搜，引发关注讨论.根据专家推测，主要是由于大陆高压和西太平洋副热带高压呈现非常强大，在高压的控制下，川渝地区上空晴朗少云，在太阳辐射增温和气流下沉增温的共同作用下，两个地区的气温出现了直接攀升的状态.川东北某城市一室内游泳馆，为给顾客更好的体验，推出了A和B两个套餐服务，顾客可自由选择A和B两个套餐之一；该游泳馆在App平台上推出了优惠券活动，下表是App平台统计某周内周一至周六销售优惠券情况. 星期t 1 2 3 4 5 6 销售量y（张） 218 224 230 232 236 90 经计算可得：，，. （1）因为优惠券销售火爆，App平台在周六时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，现剔除周六数据，求y关于t的经验回归方程； （2）若购买优惠券的顾客选择A套餐的概率为，选择B套餐的概率为，并且A套餐包含两张优惠券，B套餐包含一张优惠券，记App平台累计销售优惠券为n张的概率为，求； （3）请依据下列定义，解决下列问题： 定义：如果对于任意给定的正数，总存在正整数，使得当时，（a是一个确定的实数），则称数列收敛于a. 运用：记（2）中所得概率的值构成数列.求的最值，并证明数列收敛. 参考公式：，. 19. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线与轴平行，求实数的值； （2）若在上恒成立，求整数的取值集合； （3）求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 金雁中学高2023级一月月考试题 数学 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知应用复数除法计算化简结合虚部定义得出答案. 【详解】由，得， 故的虚部为. 故选：A. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合中的不等式的解集，然后利用交集的定义求解即可. 【详解】因为集合， 或， 所以. 故选：D. 3. 已知棱长为的正方体的所有顶点均在球的球面上，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设球的半径为，则该正方体的体对角线长即为，求出的值，结合球体表面积公式求解即可. 【详解】设球的半径为，则该正方体的体对角线长即为，即， 故球的表面积为. 故选：B. 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可. 【详解】求解二次不等式可得：或， 据此可知：是的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，属于基础题. 5. 函数的图象的相邻两支截直线所得线段长为，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件可得出函数的最小正周期，求出的值，代值计算可得的值. 【详解】由题意可知，函数的最小正周期为，解得，则， 故. 故选：A. 6. 已知数列是首项为1的等差数列，且，则（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】设出数列的公差为，根据及列出方程，解得，再根据等差数列下标和的性质解决即可. 【详解】设数列的公差为，又，即， 整理得，解得或， 当时，；当时， 又， 因此或. 故选：B. 7. 已知向量，若，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由投影向量的公式计算得到答案. 【详解】因为，所以， 因为，所以，所以， 在上的投影向量为， 故选：C. 8. 某地区举办演唱会时，举办方为防止观众私自携带灯牌等应援物品，使用了安检门进行辅助检测.依照以往数据，任一观众私自携带应援物品的概率为，若观众确实携带，安检门亮灯提示的概率为；若观众没有携带，安检门依旧有的概率因误检其他物品而亮灯提示.若某观众通过安检门时被亮灯提示，则该观众确实私自携带应援物品的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据全概率公式，以及条件概率公式即可求解. 【详解】设事件：该观众私自携带应援物品；事件：安检门亮灯提示， 则. 某观众通过安检门时被亮灯提示，则该观众确实私自携带应援物品的概率为 所以. 故选:B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题正确的是（ ） A. 样本数据6.1，5.9，5.9，6.0，6.1，5.8，6.3的极差为0.5 B. 样本数据，，，，，的分位数是 C. 若随机变量，且，则 D. 若随机事件，满足，，且，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：根据极差的定义运算求解；对于B：根据百分位数的定义运算求解；对于C：根据正态分布的对称性运算求解；对于D：根据概率的性质分析判断. 【详解】对于选项A：样本数据6.1，5.9，5.9，6.0，6.1，5.8，6.3的极差为，故A正确； 对于选项B：因为，所以第分位数是第5位数11，故B错误； 对于选项C：若随机变量，即， 所以，故C正确； 对于选项D：因为，，则， 且，则， 所以，故D正确； 故选：ACD. 10. 如图，已知点在表面积为的球的球面上，且，平面，点为中点，当二面角的大小为时，则有（ ） A. 异面直线和所成角的大小为 B. 直线与平面所成角的大小为 C. D. 的面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】设球的半径为，求得，证得平面，得到，得到，进而得到，把异面直线和所成角转化为直线和所成角，可判定A正确；作，证得平面，得到即为直线与平面所成角，可判定B不正确；在直角中，求得，结合二倍角公式，可得判定C正确；结合面积公式，可判定D正确. 【详解】 设球的半径为，因为球的表面积为，可得，可得， 因为和分别为的中点，所以，所以， 又因为平面，平面，所以， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以， 所以为二面角的平面角，所以， 在直角中，可得， 对于A，由，可得异面直线和所成角，即为直线和所成角， 因为，所以异面直线和所成角的大小为，所以A正确； 对于B，过点作，垂足为， 因为平面，平面，所以， 又因为，且平面，所以平面， 所以即为直线与平面所成角， 在直角中，，可得，则， 所以，所以B不正确； 对于C，在直角中，，可得， 所以，则， 所以，所以C正确； 对于D，由的面积为，所以D正确. 故选：ACD. 11. 已知抛物线E：的焦点为F，抛物线E的准线交x轴于点G，抛物线E上一点到点F的距离为6，点A，B是抛物线E上的两点（异于原点O），则下列说法正确的是（ ） A. B. 若中点M的纵坐标为2，则直线的斜率为2 C. 若，则直线恒过点 D. 若直线过点F，则直线，的斜率之和为0 【答案】ABD 【解析】 【分析】由点到点F的距离根据抛物线定义可以求得，判断A选项；点差法即可得直线的斜率，判断B选项；利用数量积为0表示垂直关系，得到，根据斜率写出直线的方程，代入化简可得定点，判断C选项；根据直线的方程，代入点F可得，代入化简即可判断D选项. 【详解】对于A，由题意可知，点到点F的距离为，解得，故A正确； 则； 对于B，若中点M的纵坐标为2，则AB斜率存在， 设，则，两式作差得， 所以直线的斜率为，故B正确； 对于C，设， 若，则，， 当AB斜率存在时，直线：，过定点， 当斜率不存在时，，，过点， 故C错误； D选项，设，当斜率存在时，直线：， 代入点可得， 则， 当AB斜率不存在时，，此时，D正确； 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，其中．若，则的最大值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标公式得到的关系，再利用基本不等式求解即可. 【详解】由题意得，，， 因为，所以，即，． 所以，即，当且仅当，时等号成立. 所以的最大值为. 故答案为： 13. 已知在的展开式中，第3项的二项式系数与第5项的二项式系数相等，则的系数为___________． 【答案】60 【解析】 【分析】先根据题干条件算出，然后由二项式定理的展开式通项进行求解. 【详解】的展开式中第项与第项的二项式系数相等， ，，则的展开式中的通项为： ，令，解得， 故该展开式中的系数为 故答案为：60 14. 已知函数，，若恒成立，则的取值范围是____________. 【答案】 【解析】 【分析】将问题转化为在上恒成立，讨论的范围，可得，构造函数，利用导数研究单调性即可求解. 【详解】由于恒成立，则在上恒成立； 令, 当时，，所以的解为：，不满足条件； 当时，令，解得：,, 当时，若，则，不符合题意； 当时，若，则，不符合题意； 当时，在上恒成立； 所以要使在上恒成立，则，即, 所以，令，则, 当时，,在上单调递增； 当时，,在上单调递减； 所以，当时，，当时，， 所以的取值范围是： 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，函数（为常数）. （1）求的最小正周期及单调递减区间； （2）若，且在中，内角的对边分别为，求的面积. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先利用向量的数量积结合降幂公式、两角差的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后结合正弦函数性质求得最小正周期及单调递减区间； （2）由（1）根据求得，再由求得，然后由余弦定理求得，从而可得三角形面积． 【小问1详解】 由题意得 ， 所以的最小正周期， 令，得， 所以的单调递减区间为. 【小问2详解】 由，得，故. 由，得， 即， 因为，所以，所以， 所以， 又，即，所以， 所以. 16. 已知动点与定点的距离和P到定直线的距离的比是常数，记点P的轨迹为曲线C. （1）求曲线C的标准方程； （2）设点，若曲线C上两点M，N均在x轴上方，且，，求直线FM的斜率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据距离公式列出方程即可求解； （2）设，可得直线的方程，呢绒联立方程组，结合对称性与弦长公式列出方程即可求解. 【小问1详解】 由题意，， 整理化简得，， 所以曲线C的标准方程为. 【小问2详解】 由题意，直线的斜率都存在，设， 则直线的方程为， 分别延长，交曲线于点， 设， 联立，即， 则， 根据对称性，可得， 则 ， 即，解得， 所以直线FM的斜率为. 17. 如图，在六面体中，D为的中点，四边形为矩形，且，，． （1）求证：平面； （2）已知，求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1）因四边形为矩形，则， 因，平面， 故平面. （2） 【解析】 【分析】（1）由矩形得，结合条件，利用线线垂直证线面垂直即可； （2）根据（1）的结论，建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，求出两平面的法向量坐标，利用空间向量的夹角公式计算即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）平面，平面， 则得，又， 故可以点为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系. 因，，则，又D为的中点， 则得， 于是， 设平面的法向量为， 则，故可取； 又， 设平面的法向量为， 则，故可取， 设平面与平面的夹角为， 则. 18. 今年立秋以后，川渝地区持续性高温登上热搜，引发关注讨论.根据专家推测，主要是由于大陆高压和西太平洋副热带高压呈现非常强大，在高压的控制下，川渝地区上空晴朗少云，在太阳辐射增温和气流下沉增温的共同作用下，两个地区的气温出现了直接攀升的状态.川东北某城市一室内游泳馆，为给顾客更好的体验，推出了A和B两个套餐服务，顾客可自由选择A和B两个套餐之一；该游泳馆在App平台上推出了优惠券活动，下表是App平台统计某周内周一至周六销售优惠券情况. 星期t 1 2 3 4 5 6 销售量y（张） 218 224 230 232 236 90 经计算可得：，，. （1）因为优惠券销售火爆，App平台在周六时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，现剔除周六数据，求y关于t的经验回归方程； （2）若购买优惠券的顾客选择A套餐的概率为，选择B套餐的概率为，并且A套餐包含两张优惠券，B套餐包含一张优惠券，记App平台累计销售优惠券为n张的概率为，求； （3）请依据下列定义，解决下列问题： 定义：如果对于任意给定的正数，总存在正整数，使得当时，（a是一个确定的实数），则称数列收敛于a. 运用：记（2）中所得概率的值构成数列.求的最值，并证明数列收敛. 参考公式：，. 【答案】（1） （2） （3）最大值为，最小值为，证明： 对于任意，总存在正整数，其中表示不超过的最大整数， 当时，， 所以数列收敛于. 【解析】 【分析】（1）计算出新数据的相关数值，代入公式求出的值，进而得到y关于t的经验回归方程； （2）由题意可知，，其中，，构造等比数列，再利用等比数列的通项公式求解； （3）分为偶数和奇数两种情况讨论，结合指数函数的单调性求解；利用数列收敛的定义，准确推理、运算，即可得证． 【小问1详解】 由题意，，， 则， ， 所以y关于t的经验回归方程为. 【小问2详解】 由题意，可知，， 当时，，即， 又， 所以当时，数列为各项都为1的常数列， 即， 所以，，又， 所以数列为首项为公比为的等比数列， 所以，即. 【小问3详解】 由（2）知，， 当为偶数时，，且随的增大而减小， 因此的最大值为； 当为奇数时，，且随的增大而增大， 因此的最小值为， 综上所述，的最大值为，最小值为. 【点睛】知识方法点睛：与新定义有关的问题的求解策略： 1、通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的； 2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决. 19. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线与轴平行，求实数的值； （2）若在上恒成立，求整数的取值集合； （3）求证：． 【答案】（1） （2） （3） 由（2）知，， 所以， 令， 则， 所以 ， 故． 【解析】 【分析】（1）求出导函数，利用导数的几何意义得，即可得解； （2）参变分离得，设，结合零点存在性定理多次求导得，即可求解； （3）由（2）知，令，进而，利用放缩法，累加求和即可证明. 【小问1详解】 因为，所以， 由于曲线在点处的切线与轴平行， 所以，即； 【小问2详解】 由于在上恒成立， 即在上恒成立， 即， 设， 所以， 令，则， 即在为增函数， 又． 即存在唯一的实数根，满足，且， 当时，，，当时，，， 即函数在为减函数，在为增函数， 则， 由于，且， 所以，所以， 故； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $