精品解析：福建省厦门双十中学2025-2026学年七年级上学期期末数学试卷

2025-2026学年（上）初一年期末考试卷 数学 （试卷满分：150分考试 时间：120分钟） 考生注意： 1．全卷分三个部分，共25题； 2．答案一律写在答题卡上，否则不能得分． 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分，每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. 2026 D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：的相反数是． 2. 2023年杭州亚运会，观众对赛事的热情高涨，截至10月7日上午，门票销售已经超过305万张，票务收入也超过6.1亿元．其中数据“3050000”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了绝对值大于1的科学记数法的表示，解题的关键在于确定的值．根据绝对值大于1的数，用科学记数法表示为，其中，的值为整数位数少1． 【详解】解：3050000大于1，用科学记数法表示为，其中，， ∴3050000用科学记数法表示为， 故选：D． 3. 由5个完全相同的正方体组成的立体图形如图所示，则从正面看得到的图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了从不同方向观察图形，由给出的立体图可知，从正面看图形有三列，中间的有两层，即可得出答案． 【详解】解：由图可知，从正面看图形有三列，中间的有两层，图形为， 故选：D． 4. 下列单项式中，与是同类项的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同类项的定义，所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫做同类项．根据同类项的定义进行判断． 【详解】解：A、与所含字母不相同，不是同类项，该选项不符合题意； B、与所含字母不相同，不是同类项，该选项不符合题意； C、与所含字母相同，相同字母的指数也相同，是同类项，该选项符合题意； D、与所含字母相同，相同字母的指数不相同，不是同类项，该选项不符合题意； 故选：C． 5. 多项式的次数与常数项分别是（ ） A. 2，1 B. 3，1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了多项式．根据最高的项的次数叫做多项式的次数，不含字母的项叫常数项可得答案． 【详解】解：多项式的次数与常数项分别是3，， 故选：C． 6. 有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，正确判断出，并得到，由此即可得到答案． 【详解】解：由题意得：，， ∴，， ∴四个选项中只有C选项符合题意， 故选C． 7. 已知：是关于的方程的解，则关于的方程的解是（ ） A. -1 B. 0 C. 2 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的解，解一元一次方程．利用已知条件求出参数的值，再代入新方程求解即可． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴代入得， 解得， 将代入方程得， 解得． 故选：D． 8. 我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“庭前孩童闹如簇，不知人数不知梨．每人四梨多十二，每人六梨恰齐足．”其大意是：“孩童们在庭院玩耍，不知有多少人和梨子，每人分4梨，多12梨；每人分6梨，恰好分完．”设孩童有人，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，根据题意列出一元一次方程是解决问题的关键． 设孩童有人，根据“每人分4梨，多12梨；每人6梨，恰好分完”，列方程即可得到答案． 【详解】解：设孩童有人， 根据题意可得：， 故选：A． 9. 如图，点O在直线AB上，∠COB=∠EOD=90°，下列说法错误的是（ ） A. 相等 B. 与互余 C. 与互补 D. 与互补 【答案】D 【解析】 【分析】根据余角和补角的定义逐一判断即可得解． 【详解】解：∵∠COB=∠EOD=90°， ∴∠1+∠COD=∠2+∠COD=90°， ∴∠1=∠2，故A选项正确； ∵∠AOE+∠1=90°， ∴∠AOE+∠2=90°，即∠AOE与∠2互余，故B选项正确； ∵∠COB=90°， ∵∠AOD+∠2=180°， ∵∠1=∠2， ∴∠AOD+∠1=180°，即∠AOD与∠1互补，故C选项正确； 无法判断∠AOD与∠COD是否互补，D选项错误； 故选：D． 【点睛】本题主要考查余角和补角，余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系． 10. 如图，表中给出的是某月的月历，任意选取“H”型框中的7个数（如阴影部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，发现这7个数的和不可能的是（ ） A. 63 B. 70 C. 77 D. 84 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设这7个数的中间数为x，则另外6个数分别为，，，，，，将7个数相加可得出个数之和为，结合四个选项给定的数，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再观察月历表即可得出结论． 【详解】解：设这个数的中间数为x，则另外6个数分别为，，，，，， ∴个数之和=． A、，解得，观察图形可知，中间的数为9可以选取选取“H”型框，故选项A不符合题意； B、，解得，观察图形可知，中间的数为10可以选取选取“H”型框，故选项B不符合题意； C、，解得，观察图形可知，中间的数为11可以选取选取“H”型框，故选项C不符合题意； D、，解得，观察图形可知，中间的数为12不可以选取选取“H”型框，故选项D符合题意． 故选：D． 二、填空题（本大题有6小题，第11小题8分，其它各小题每题4分，共28分） 11. 直接写出计算结果： （1）_____； （2）_____； （3）_____； （4）_____． 【答案】 ①. ②. 12 ③. 9 ④. 【解析】 【分析】此题考查了根据有理数的加法运算，有理数的乘除法运算，有理数的乘方运算，熟练掌握以上运算法则是解题的关键． 对于（1），根据“同号两数相加，取相同符号，绝对值相加”求解即可； 对于（2），根据“同号两数相乘得正，绝对值相乘” 求解即可； 对于（3），根据“负数的偶次幂为正数”求解即可； 对于（4），根据“除以一个数等于乘以它的倒数”求解即可． 【详解】解：（1）； 故答案为：； （2）； 故答案为：12； （3）； 故答案为：9； （4）． 故答案为：． 12. 购买2个单价为a元的面包和3瓶单价为b元的饮料，所需钱数为_____元． 【答案】2a+3b 【解析】 【分析】求用买2个面包和3瓶饮料所用的钱数，用2个面包的总价+3瓶饮料的单价即可． 【详解】解：购买2个单价为a元的面包和3瓶单价为b元的饮料，所需钱数为（2a+3b）元． 故答案为：2a+3b． 【点睛】此题考查列代数式，解题关键是根据已知条件，把未知的数用字母正确的表示出来，然后根据题意列式计算即可得解． 13. 如图，射线，分别为正北、正东方向，，则射线的方向是北偏东_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了方位角以及角度的计算．在进行度、分、秒的运算时也应注意借位和进位的方法． 【详解】解：∵， ∴射线的方向是北偏东， 故答案为：． 14. 若多项式的值为1，则多项式的值为_____ 【答案】2023 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值．把多项式转化为，再把代入计算即可求解． 【详解】解：由题意得， ∴， 故答案为：2023． 15. 若一个两位数等于它的个位数字和十位数字的和的4倍，则这样的两位数有_____个． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查的是二元一次方程的应用，二元一次方程的正整数解问题．设这个两位数的个位数字为x，十位数字为y，则，再利用二元一次方程的正整数解可得答案． 【详解】解：设这个两位数的个位数字为x，十位数字为y，则 ， 整理得：， ∵都是正整数且都小于或等于9， ∴，，，， ∴符合条件的两位数有4个． 故答案为：4． 16. 一组割草人要把两块草地上的草割掉，大草地的面积为，小草地的面积为，上午，全体组员都在大草地上割草，下午，一半人继续在大草地割草，到下午5时将剩下的草割完；另一半人到小草地上割草，等到下午5时还剩下一部分没割完．若上、下午的劳动时间相同，每个割草人的工作效率也相等，则没割完的这部分草地的面积是_____．（用含的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式．设割草总人数是n，每天工作时间是t，则上午的工作量为，考虑到下午仅有一半人继续在大草地割草，故大草地的面积，即可计算出，然后由小草地的面积减去一半人半天的工作量即可得出结果． 【详解】解：设割草总人数是n，每天工作时间是t， 由题意可知，大草地面积是， ∴， ∴剩下的面积是． 故答案为：． 三、解答题：（本大题有9小题，共82分） 17. 计算： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）12 （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，整式的加减： （1）先计算绝对值，再计算乘法，然后计算加减，即可求解； （2）先计算乘方和除法，再计算乘法，然后计算减法，即可求解； （3）利用有理数的乘法运算律，即可求解； （4）先移项，再合并同类项，即可求解． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 解： 【小问4详解】 解： 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查整式的加减中的化简求值．先去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 19. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的基本步骤，先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，最后未知数系数化为1即可． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：． 20. 如图，点C为线段AB的中点，AB=4cm． （1）用尺规作图法，在线段AB的延长线上作点D，使BD=2AB； （2）求线段CD的长． 【答案】（1） 在射线AB上顺次截取BE=DE=AB， 如图，点D即为所求； （2）线段CD的长为10cm． 【解析】 【分析】（1）根据线段的定义即可用尺规作图法，在线段AB的延长线上作点D，使BD=2AB； （2）结合（1）根据点C为线段AB的中点，AB=4cm．即可求线段CD的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵点C为线段AB的中点，AB=4cm． ∴BC=AB=2（cm）， ∵BD=2AB=8（cm）， ∴CD=BC+BD=2+8=10（cm）． 答：线段CD的长为10cm． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图，两点间的距离，解决本题的关键是掌握基本作图方法． 21. 某班元旦迎新年活动，购买活动奖品，计划购买笔记本20本，盲盒30个，共需1380元，其中一个盲盒比一本笔记本贵6元． （1）求笔记本和盲盒的单价各为多少？ （2）若购买上面的两种奖品共70件，所需费用可能为1900元吗？请说明理由． 【答案】（1）盲盒的单价为30元，笔记本的单价为24元； （2） 解：所需费用不可能为1900元，理由如下： 设购买y个盲盒，则购买本笔记本， 由题意得：， 解方程得：， 又∵y需为非负整数， ∴不符合题意，舍去， ∴所需费用不可能为1900元． 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． （1）设盲盒的单价为x元，则笔记本的单价为元，根据购买笔记本20本，盲盒30个，共需1380元，列出一元一次方程，解方程即可； （2）设购买y个盲盒，则购买本笔记本，根据这次买这两种奖品需要费用1900元，结合（1）的结论，列出一元一次方程，解方程判定即可． 【小问1详解】 解：设盲盒的单价为x元，则笔记本的单价为元， 由题意得：， 解得：， ∴， 答：盲盒的单价为30元，笔记本的单价为24元； 【小问2详解】 略 22. 已知：如图是的平分线，是的三等分线，且在的内部 （1）若，求的度数； （2）若射线是的平分线，请判断射线是否平分？并说明理由． 【答案】（1）； （2） 解：射线平分，理由如下： 设， ∵是的三等分线， ∴，， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴，即射线平分． 【解析】 【分析】本题考查了角平分线有关的计算．理清角度之间的数量关系，和差关系，是解题的关键． （1）利用角平分线的定义求得，利用是的三等分线，求得，再计算角的和差即可求解； （2）设，分别求得，即可证明射线平分． 【小问1详解】 解：∵，是的平分线， ∴， ∵是的三等分线， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 23. 某城市为倡导全民节水，居民生活用水按户收费，并按阶梯计价，收费标准（户内人口不超过4人）如下表： 收费方式 月用水量 单价（元） 第一阶梯 不超过的部分 第二阶梯 超过但不超过的部分 6 第三阶梯 超过的部分 8 注：①公摊水费：每户每月10元； ②每月实际应交水费阶梯水费公摊水费． （1）若小明家某月用水17立方米，则小明家该月实际应交水费多少元？ （2）已知某户居民某月的实际应交水费为元，则这户居民的该月用水量是多少立方米？ （3）若某户某月实际应交水费平均每立方米7元，求该户该月用水量． 【答案】（1）元 （2） （3）4或． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，有理数混合运算的应用，解题的关键是理解题意，根据等量关系列出方程． （1）根据表格中的数据列式计算即可； （2）设这户居民的该月用水量为，根据该户居民某月的实际应交水费为元，列出方程，解方程即可； （3）设该户该月用水量为，分情况讨论即可． 【小问1详解】 解： （元）， 答：小明家该月实际应交水费元； 【小问2详解】 解：∵， ∴这户居民的该月用水量超过， 设这户居民的该月用水量为，根据题意得： ， 解得：， 答：这户居民的该月用水量是； 【小问3详解】 解：设用水量为，实际水费平均每立方米7元，则实际水费为元． 当时，，解得：； 当时，，解得：（不符合题意，舍去）； 当时，，解得：； 答：该户该月用水量是4或． 24. 综合与实践 小明和小红假期到某厂参加社会实践，发现该厂用一批长为，宽为的白纸板做无盖包装盒（不考虑连接的重叠部分），制作时，工厂一般将白纸板分隔成两个长方形分别制作底面和侧面，截得底面后的剩余部分不再使用．请根据活动完成相应的任务． 活动一 如图（1）是常见的一种设计方案甲：在白纸板上截去两部分（图中阴影部分），盒子底面的四边形是正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长方体包装盒． 任务1：请计算方案甲中包装盒的容积． 活动二 为了增加包装盒的容积，有人提议将包装盒设计成圆柱型．小明横着裁剪把长方形的长作为底面圆的周长进行设计，如图（2）得方案乙． 任务2：请计算方案乙中无盖圆柱型包装盒的容积（π取3）．并判断容积是否变大． 活动三 小明：设计成圆柱型的容积确实变化了． 小红：那么是否还有容积更大的情况呢？ 小明与小红通过研究发现了无盖圆柱型包装盒设计的新方案，且容积还大于． 任务3：请在下列白纸板上画出他们的方案，并计算其容积（π取3） 【答案】任务1：； 任务2：，容积变大了； 任务3：如图所示，． 【解析】 【分析】本题考查长方体、圆柱的体积公式，以及一元一次方程的实际应用，任务1根据体积等于底面积乘以高，列式求解即可，任务2设底面圆的半径为，根据长方形的长作为底面圆的周长，算出半径，再利用体积等于底面积乘以高，算出体积，与任务1中结果进行比较，即可，任务3根据将圆柱侧面展开长方形的长等于底圆周长，即可解题． 【详解】任务1：解：由图知，（）， 盒子底面的四边形是正方形， 无盖包装盒的高为（）， 方案甲中包装盒的容积为：（）， 任务：解：长方形的长作为底面圆的周长， 设底面圆的半径为， 根据题意得，解得， 无盖包装盒的高为（）， 方案甲中包装盒的容积为：（）， ， 容积变大了； 任务：解：设计方案：在长方形左侧作底圆直径为右侧裁剪的成长为，宽为的长方形，当为圆柱的高时，无盖圆柱型包装盒容积大于． 由设计方案可知 解得， ∴该无盖圆柱型包装盒的容积为， ∴此方案可行，容积为． 25. 如图①，点为直线上一点，过点作射线，使（），将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的上方． （1）①_____度；（含的代数式表示） ②如图②，逆时针旋转图①中的直角三角板，并保持在直线的上方，当平分时，求和的数量关系，并说明理由． （2）若，将图①中的三角板绕点以每秒10°的速度逆时针方向旋转一周，同时射线也绕点以每秒5°的速度逆时针旋转．当一方完成旋转一周时停止，另一方也停止旋转．试探究是否存在运动到某一时刻，使得？若存在，求出所有符合条件的的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）①；②； （2）的度数为或． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，角的计算、角平分线的定义等．解题时注意分类思想和方程思想的运用． （1）①利用角的和与差直接求解即可； ②利用角平分线的定义和平角的性质，计算即可得到； （2）分三种情况讨论，当、和时，根据，列出一元一次方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：①∵，， ∴， 故答案为：； ②，理由如下： ∵平分， ∴， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：当与重合前，如图， ，，， 当与重合时，， 解得， 即当时， ，， ∵， ∴， 解得， 此时； 如图，当与直线重合时， ， 解得， 即当时， ，， ∵， ∴， 解得， 此时； 当与重合前，即当时，如图， ，， ∵， ∴， 解得，不符合题意，舍去； 综上，的度数为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年（上）初一年期末考试卷 数学 （试卷满分：150分考试 时间：120分钟） 考生注意： 1．全卷分三个部分，共25题； 2．答案一律写在答题卡上，否则不能得分． 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分，每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. 2026 D. 2. 2023年杭州亚运会，观众对赛事的热情高涨，截至10月7日上午，门票销售已经超过305万张，票务收入也超过6.1亿元．其中数据“3050000”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 由5个完全相同的正方体组成的立体图形如图所示，则从正面看得到的图形是（ ） A. B. C. D. 4. 下列单项式中，与是同类项的是（ ） A. B. C. D. 5. 多项式的次数与常数项分别是（ ） A. 2，1 B. 3，1 C. D. 6. 有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知：是关于的方程的解，则关于的方程的解是（ ） A. -1 B. 0 C. 2 D. 5 8. 我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“庭前孩童闹如簇，不知人数不知梨．每人四梨多十二，每人六梨恰齐足．”其大意是：“孩童们在庭院玩耍，不知有多少人和梨子，每人分4梨，多12梨；每人分6梨，恰好分完．”设孩童有人，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点O在直线AB上，∠COB=∠EOD=90°，下列说法错误的是（ ） A. 相等 B. 与互余 C. 与互补 D. 与互补 10. 如图，表中给出的是某月的月历，任意选取“H”型框中的7个数（如阴影部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，发现这7个数的和不可能的是（ ） A. 63 B. 70 C. 77 D. 84 二、填空题（本大题有6小题，第11小题8分，其它各小题每题4分，共28分） 11. 直接写出计算结果： （1）_____； （2）_____； （3）_____； （4）_____． 12. 购买2个单价为a元的面包和3瓶单价为b元的饮料，所需钱数为_____元． 13. 如图，射线，分别为正北、正东方向，，则射线的方向是北偏东_____． 14. 若多项式的值为1，则多项式的值为_____ 15. 若一个两位数等于它的个位数字和十位数字的和的4倍，则这样的两位数有_____个． 16. 一组割草人要把两块草地上的草割掉，大草地的面积为，小草地的面积为，上午，全体组员都在大草地上割草，下午，一半人继续在大草地割草，到下午5时将剩下的草割完；另一半人到小草地上割草，等到下午5时还剩下一部分没割完．若上、下午的劳动时间相同，每个割草人的工作效率也相等，则没割完的这部分草地的面积是_____．（用含的代数式表示） 三、解答题：（本大题有9小题，共82分） 17. 计算： （1） （2） （3） （4） 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 解方程：． 20. 如图，点C为线段AB的中点，AB=4cm． （1）用尺规作图法，在线段AB的延长线上作点D，使BD=2AB； （2）求线段CD的长． 21. 某班元旦迎新年活动，购买活动奖品，计划购买笔记本20本，盲盒30个，共需1380元，其中一个盲盒比一本笔记本贵6元． （1）求笔记本和盲盒的单价各为多少？ （2）若购买上面的两种奖品共70件，所需费用可能为1900元吗？请说明理由． 22. 已知：如图是的平分线，是的三等分线，且在的内部 （1）若，求的度数； （2）若射线是的平分线，请判断射线是否平分？并说明理由． 23. 某城市为倡导全民节水，居民生活用水按户收费，并按阶梯计价，收费标准（户内人口不超过4人）如下表： 收费方式 月用水量 单价（元） 第一阶梯 不超过的部分 第二阶梯 超过但不超过的部分 6 第三阶梯 超过的部分 8 注：①公摊水费：每户每月10元； ②每月实际应交水费阶梯水费公摊水费． （1）若小明家某月用水17立方米，则小明家该月实际应交水费多少元？ （2）已知某户居民某月的实际应交水费为元，则这户居民的该月用水量是多少立方米？ （3）若某户某月实际应交水费平均每立方米7元，求该户该月用水量． 24. 综合与实践 小明和小红假期到某厂参加社会实践，发现该厂用一批长为，宽为的白纸板做无盖包装盒（不考虑连接的重叠部分），制作时，工厂一般将白纸板分隔成两个长方形分别制作底面和侧面，截得底面后的剩余部分不再使用．请根据活动完成相应的任务． 活动一 如图（1）是常见的一种设计方案甲：在白纸板上截去两部分（图中阴影部分），盒子底面的四边形是正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长方体包装盒． 任务1：请计算方案甲中包装盒的容积． 活动二 为了增加包装盒的容积，有人提议将包装盒设计成圆柱型．小明横着裁剪把长方形的长作为底面圆的周长进行设计，如图（2）得方案乙． 任务2：请计算方案乙中无盖圆柱型包装盒的容积（π取3）．并判断容积是否变大． 活动三 小明：设计成圆柱型的容积确实变化了． 小红：那么是否还有容积更大的情况呢？ 小明与小红通过研究发现了无盖圆柱型包装盒设计的新方案，且容积还大于． 任务3：请在下列白纸板上画出他们的方案，并计算其容积（π取3） 25. 如图①，点为直线上一点，过点作射线，使（），将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的上方． （1）①_____度；（含的代数式表示） ②如图②，逆时针旋转图①中的直角三角板，并保持在直线的上方，当平分时，求和的数量关系，并说明理由． （2）若，将图①中的三角板绕点以每秒10°的速度逆时针方向旋转一周，同时射线也绕点以每秒5°的速度逆时针旋转．当一方完成旋转一周时停止，另一方也停止旋转．试探究是否存在运动到某一时刻，使得？若存在，求出所有符合条件的的度数；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $