精品解析：江西省赣州市四校2026届高三上学期12月联考数学试卷

江西省赣州市四校2026届高三上学期12月联考 数学试卷 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 若复数z满足 则（ ）. A. 1 B. C. 2 D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知等差数列的前n项和为，若，则使得成立的正整数n的最大值为（ ） A. 20 B. 21 C. 22 D. 23 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线、与平面、，，，则下列命题中正确的是（　　） A. 若，则必有 B. 若，则必有 C. 若，则必有 D. 若，则必有 6. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为6，离心率．过点且倾斜角为的直线与双曲线交于A，B两点，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知等差数列的前项和为且则的最大值为（ ） A. B. 92 C. 91 D. 90 8. 已知的内角，，满足，其面积，则的外接圆半径为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知平面向量，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 向量与的夹角的余弦值为 D. 向量在上的投影向量为 10. 近年来，随着乡村振兴战略的深入实施，乡村农户借助电商平台的力量，实现了区域内生产、加工、销售一体化，在探索农产品销售与经济发展的新路径上取得了显著成效．某农户通过直播电商模式销售当地特色绿色生态农产品，为了进一步提高销售效益，统计了某种农产品在40天内每天的销售额，绘制频率分布直方图如图所示，则以下结论正确的是（　　） A. B. 在天内，每天的平均销售额约为万元 C. 在天内的销售额的分位数约为万元 D. 若规定每天的销售额不低于万元为完成销售任务，则某天完成任务的概率约为 11. 设，且，则下列关系式可能成立的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知椭圆 的左顶点为，上顶点为， 为坐标原点，若，则的离心率为___________________. 13. 设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是______. 14. 正方体棱长为2，E，F分别是棱，的中点，M是正方体的表面上一动点，当四面体的体积最大时，四面体的外接球的表面积为______． 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知函数. （1）求的最小正周期及对称中心坐标； （2）已知函数在区间上的最大值为1，最小值为，求的取值范围. 16. 如图，四棱锥的侧面为正三角形，底面为梯形，，平面平面，已知，. （1）证明：平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 17. 现有两台车床加工同一型号的零件.第1台车床的正品率为，第2台车床的正品率为，将加工出来的零件混放在一起.已知第1，2台车床加工的零件数分别为总数的. （1）从混放的零件中任取1件，如果该零件是次品，求它是第2台车床加工出来的概率； （2）从混放的零件中可放回抽取10次，每次抽取1件，且每次抽取均相互独立.用表示这10次抽取的零件是次品的总件数，试估计的数学期望. 18. 已知抛物线，斜率为的直线交抛物线于两点，且． （1）求抛物线的方程； （2）试探究：抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由. 19. 已知， （1）时，证明：； （2）若对任意的，恒成立，求的取值范围； （3）证明：对任意的正整数，总有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省赣州市四校2026届高三上学期12月联考 数学试卷 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 若复数z满足 则（ ）. A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法运算化简，即可由模长公式求解. 【详解】由得，所以， 故选：B 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数单调性解不等式，结合交集的定义即可求解． 【详解】由题得，，， 所以， 故选：B． 3. 已知等差数列的前n项和为，若，则使得成立的正整数n的最大值为（ ） A. 20 B. 21 C. 22 D. 23 【答案】B 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，由条件推得，，则得，推出数列为递增数列，推出即可求得. 【详解】设等差数列的公差为，由可得：，则，， 故数列为递增数列，又，， 故使得成立的正整数n的最大值为21. 故选：B. 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由作差法，结合对数换底公式、对数运算性质、基本不等式比较得，即可判断大小. 【详解】由， ， ， ∴， ∴，， ∴. 故选：B. 5. 已知直线、与平面、，，，则下列命题中正确的是（　　） A. 若，则必有 B. 若，则必有 C. 若，则必有 D. 若，则必有 【答案】C 【解析】 【分析】由线面、面面位置关系逐项判断即可得解. 【详解】解：对于选项A，平面和平面还有可能相交，所以选项A错误； 对于选项B，平面和平面还有可能斜交或平行，所以选项B错误； 对于选项C，因为且，所以.所以选项C正确； 对于选项D，若且，则或或与相交（不垂直），所以选项D错误． 故选：C 6. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为6，离心率．过点且倾斜角为的直线与双曲线交于A，B两点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据已知条件求出双曲线方程，然后求出直线的方程，联立直线方程与双曲线方程，求得，，再根据弦长公式计算即可求解. 【详解】由题意得，， 所以，，所以，，， 所以双曲线的方程为， 因为，直线过点且倾斜角为，则直线的斜率， 所以直线l的方程为， 与双曲线的方程联立，消去，整理得， 解得，， 所以． 故选：D． 7. 已知等差数列的前项和为且则的最大值为（ ） A. B. 92 C. 91 D. 90 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列基本量的运算，得到，进而求，结合函数性质求最值即可． 【详解】设等差数列的公差为， 由， 得， 解得， 所以， 因为，所以当时，最大，且最大值为． 故选：B． 8. 已知的内角，，满足，其面积，则的外接圆半径为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先用和、差角的正弦公式及二倍角公式化简得到，再利用三角形的面积公式结合正弦定理即可求得结果. 【详解】 即 即 又，故， 所以 所以 ， 因为 又因为， ， 所以， 所以，解得. 故选：A. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知平面向量，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 向量与的夹角的余弦值为 D. 向量在上的投影向量为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，求出的坐标，再结合数量积的坐标运算逐项求解判断. 【详解】由向量，得，， 对于A，，则，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，，则，C错误； 对于D，，向量在上的投影向量，D正确. 故选：ABD 10. 近年来，随着乡村振兴战略的深入实施，乡村农户借助电商平台的力量，实现了区域内生产、加工、销售一体化，在探索农产品销售与经济发展的新路径上取得了显著成效．某农户通过直播电商模式销售当地特色绿色生态农产品，为了进一步提高销售效益，统计了某种农产品在40天内每天的销售额，绘制频率分布直方图如图所示，则以下结论正确的是（　　） A. B. 在天内，每天的平均销售额约为万元 C. 在天内的销售额的分位数约为万元 D. 若规定每天的销售额不低于万元为完成销售任务，则某天完成任务的概率约为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据频率分布直方图的性质所有矩形条的面积之和为列方程求判断A，再根据平均数，百分位数的定义求平均数和百分位数求平均数和百分位数判断BC，再求销售额不低于万元的概率判断D. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，天内，每天的平均销售额约为，故B错误； 对于C，在天内的销售额的分位数约为万元，故C正确； 对于D，， 所以若规定每天的销售额不低于万元为完成销售任务，则某天完成任务的概率约为，故D正确. 故选：ACD. 11. 设，且，则下列关系式可能成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】首先求出，再分别构造函数，结合导数，利用函数单调性一一分析即可. 【详解】由于，知，及其，则，解得． AB项，，设函数， 则，故在上单调递减，则， 故函数的值域为．而，，故A对B错； C，D项，由于，设， 则，故在上单调递减，所以， 故函数的值域为，若，则，故C对，D错. 故选：AC. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知椭圆 的左顶点为，上顶点为， 为坐标原点，若，则的离心率为___________________. 【答案】## 【解析】 【分析】求出的值，即可求得该椭圆的离心率的值. 【详解】由题意，即，所以， 因此椭圆的离心率为. 故答案为：. 13. 设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】原问题等价于恒成立，据此将所得的不等式进行恒等变形，可得，由右侧函数的单调性可得实数的二次不等式，求解二次不等式后可确定实数的取值范围. 【详解】由函数的解析式可得在区间上恒成立， 则，即在区间上恒成立， 故，而，故， 故即，故， 结合题意可得实数的取值范围是. 故答案为：. 14. 正方体棱长为2，E，F分别是棱，的中点，M是正方体的表面上一动点，当四面体的体积最大时，四面体的外接球的表面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意只需点离平面最远即可，构建空间直角坐标系，应用向量法求各点到面距离得到与重合，再将置于如下直角坐标系中求外接圆圆心，进而确定空间坐标系中外接球球心坐标，即可求球的表面积. 【详解】如下图，，即四点共面，要使四面体的体积最大， 只需点离平面最远即可，显然点、线段上点到平面距离都相等， 构建下图空间直角坐标系，则， 所以，若面的一个法向量为， 则，令，则， 而，则，，，， 所以到面距离为，到面距离为， 到面距离为，到面距离为， 综上，正方体的表面上到面距离最远，故四面体的体积最大，与重合， 首先确定外接圆圆心坐标，将置于如下直角坐标系中， 则，则是直线与的垂直平分线的交点， 由，则，且中点为，故，即， 联立，即对应到空间直角坐标系的坐标为， 由四面体的外接球球心在过垂直于面的直线上，设， 由，即，所以， 故外接球半径为，故外接球的表面积为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：利用向量法求出正方体的表面上到面距离最远的点为关键. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知函数. （1）求的最小正周期及对称中心坐标； （2）已知函数在区间上的最大值为1，最小值为，求的取值范围. 【答案】（1）最小正周期为，对称中心坐标为， （2） 【解析】 【分析】（1）利用倍角公式和辅助角公式化简，再根据周期公式以及正弦函数的对称中心求解； （2）求出的范围，结合正弦函数的图象可得. 【小问1详解】 因为， 所以的最小正周期， 令，，解得，， 所以的对称中心的坐标为，； 【小问2详解】 当时，， 因函数在区间上的最大值为1，最小值为， 则在上的最大值为1，最小值为， 因，结合正弦函数图象可知，，得， 所以的取值范围为. 16. 如图，四棱锥的侧面为正三角形，底面为梯形，，平面平面，已知，. （1）证明：平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明：取上的点，使， 则， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）取上的点，使，可得，则由线线平行可证线面平行； （2）取中点，连，根据题意可证，平面，所以以为坐标原点，分别为轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，利用线面角的空间向量法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点，连，因为，所以， 因为为正三角形，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以，， 以为坐标原点，分别为轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，， 则，，， 设为平面的法向量， 则，可取， ， 故直线与平面所成角的正弦值为. 17. 现有两台车床加工同一型号的零件.第1台车床的正品率为，第2台车床的正品率为，将加工出来的零件混放在一起.已知第1，2台车床加工的零件数分别为总数的. （1）从混放的零件中任取1件，如果该零件是次品，求它是第2台车床加工出来的概率； （2）从混放的零件中可放回抽取10次，每次抽取1件，且每次抽取均相互独立.用表示这10次抽取的零件是次品的总件数，试估计的数学期望. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由条件概率求解即可； （2）求出的可能取值，则服从二项分布，由二项分布的均值公式求解即可. 【小问1详解】 不难知，第1台加工零件的次品率为，第2台加工零件的次品率为. 记事件表示“从混放的零件中任取一个零件，该零件是次品”， 事件表示“从混放的零件中任取一个零件，该零件是第台车床加工的”，. 则. 【小问2详解】 的可能取值为，且服从二项分布. 由（1）知，. . 18. 已知抛物线，斜率为的直线交抛物线于两点，且． （1）求抛物线的方程； （2）试探究：抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）存在，和 【解析】 【分析】（1）由在抛物线上，代入求出，即可求出抛物线的方程； （2）设，求出直线并与抛物线的方程联立，求出点坐标，将转化为，求出并检查是否符合题意即可. 【小问1详解】 由在抛物线上，则，解得， 因此可得抛物线的方程为. 【小问2详解】 存在点在抛物线上， 设点， 由直线的斜率为，且过， 则直线的方程为：，即， 联立，可得，解得，或， 即可得点的纵坐标为，代入，得，即， 若，则，即， 又， 则可得， 整理得，，解得，或，或，或， 当时，与重合，舍去， 当时，与重合，舍去， 当时，， 当时，， 综上知，抛物线上存在点，为和时，. 19. 已知， （1）时，证明：； （2）若对任意的，恒成立，求的取值范围； （3）证明：对任意的正整数，总有． 【答案】（1）证明：构造，当时，，． 可知，，单调递增； ，，单调递减． 则，故，即， 所以． （2） （3）证明：由（2）中结论，有当时，，对任意的恒成立， 取可得，，对任意的恒成立， 即，变形可得 分别令，，，，可得， ，……， 累加可得证毕． 【解析】 【分析】（1）构造，利用导数研究函数的单调性、最值计算即可； （2）设，借助端点效应，分类讨论并根据隐零点计算即可； （3）根据（2）的结论得出，利用放缩法累加即可证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 依题意，设， 则， 且有，． （i）当，时，显然中，则恒成立； （ii）当，时，，则单调递增，， 单调递增，． （iii）当，时，，则单调递增，，，则必然存在一个，使得， 且有时，，单调递减， 此时，不满足恒成立条件． 综上所述，． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $