湖南省湘西州泸溪县第一中学2025-2026学年高一上学期数学期末模拟卷02

2025—2026学年湘西州泸溪一中高一数学模拟卷02（考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：集合与逻辑+不等式+函数+指对函数+三角函数 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知角的终边上有一点，，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．已知命题，，命题，，则（   ） A．p是假命题，q是真命题 B．p是真命题，q是假命题 C．p和q都是真命题 D．p和q都是假命题 3．已知全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 4．已知函数的部分图象如图所示.将函数的图象向右平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 5．已知函数，若关于的方程有个不相等的实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．已知函数，，则的取值范围为(      ) A． B． C． D． 7．已知函数的定义域为，为奇函数，且对，恒成立．则以下结论： ①为奇函数； ②； ③； ④． 其中正确的为（    ） A．①②④ B．②③ C．②③④ D．①③④ 8．已知函数若函数恰有3个零点，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数的定义域为，且，若，则（    ） A． B．是奇函数 C．是增函数 D． 10．已知，则（    ） A． B． C． D． 11．定义在上的函数满足，函数的图象关于对称，则（    ） A．的图象关于对称 B．是的一个周期 C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，若，则= . 13．已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，则 . 14．已知函数，对于任意的，都存在，使得成立，则实数m的取值范围为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分）已知向量，，． （1）当时，求向量的坐标； （2）设函数，将函数图象上所有点向左平移个单位长度得到的图象，当时，求函数的最小值． 16．（本小题满分15分）已知函数 (1)求的最小正周期和对称轴； (2)判断函数在的单调性. 17．（本小题满分15分）在中，角的对边分别为，已知． （Ⅰ）求角的大小； （Ⅱ）若，求周长的取值范围． 18．（本小题满分17分）将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象. (1)写出函数的解析式； (2)求函数的单调递增区间与对称中心的坐标； (3)求实数和正整数，使得在上恰有2017个零点. 19．（本小题满分17分）十进制与二进制是常见的数制，其中十进制的数据是由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这十个数码来表示的数，基数为10，进位规则是“逢十进一”，借位规则是“借一当十”；二进制的数据是由0，1这两个数码来表示的数，基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”；例如：十进制的数20对应二进制表示的数为，二进制的数对应十进制表示的数为15．用表示非空的整数集合A的所有元素的和，已知集合，，i=1，2，…，n且．（一个数，不特别说明，默认为十进制）. (1)写出“37”对应二进制表示的数及“”对应的十进制数； (2)若集合，，，，求与的所有可能值组成的集合； (3)若，且对每个正整数，都存在A的子集S，使得，求的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2025—2026学年湘西州泸溪一中高一数学模拟卷02参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B A A D B C A ABD AC 题号 11 答案 ACD 1．C 【分析】利用任意角的三角函数的定义即可求解． 【详解】由已知可得，，则， 又，所以，则 故选：C. 2．B 【分析】利用全称量词命题与特称量词命题的含义，结合反例判定命题的真假即可. 【详解】对于命题，存在，，所以命题p是真命题； 对于命题q，当时，，所以命题q是假命题. 故选：B. 3．A 【分析】由集合的补集、并集运算即可求解. 【详解】由条件： ． 故选：A． 4．A 【分析】由最值可求得，根据最小正周期可求得，由可求得，从而得到解析式；由三角函数平移和伸缩变换原则可得. 【详解】由图象可知：，最小正周期，，， ，，解得：， 又，，； 将图象向右平移个单位长度可得：； 将横坐标变为原来的倍得：. 故选：A. 5．D 【分析】将所求方程因式分解后可知当时，或；作出图象，根据交点个数可确定，当时可知不合题意，进而求得的范围. 【详解】由得：， 当时，或； 作出图象如下图所示， 则有三个不等实根，与有四个不同交点， ，解得：； 当时，，此时方程有三个不等实根，不合题意； 综上所述：实数的取值范围为. 故选：D. 6．B 【分析】通过条件分析出，从而代入函数求出值；并通过得到，不是的根从而求出的取值范围 【详解】设， ， ， 即， 故； 故， ， 当时，成立； 当时，，不是的根， 故， 解得： 综上所述，； 故选：B 【点睛】本题解题关键的利用，中隐含了，同时隐含了二者元素相同，且不为空集 7．C 【分析】根据函数的对称性，得到函数的周期性，再结合其性质依次讨论个命题即可. 【详解】解：因为函数为奇函数，所以的图象关于点对称，即， 所以， 因为对，恒成立， 所以， 所以，即，故函数为偶函数，①错误； 因为函数为奇函数，所以， 因为，所以，，②正确； 因为的图象关于点对称， 所以，即，③正确； 又因为，即函数为周期函数，周期为， 所以，④正确. 综上，正确的有：②③④ 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于结合对称性得函数为偶函数，周期函数，周期为，进而结合周期性与对称性求解. 8．A 【分析】先分析函数的单调性，换元简化，分析的根对零点的影响，进行分类讨论得到结果； 【详解】对于函数根据二次函数和对数函数可知    ，在上单调递减，在和上单调递增， 令，则，， 函数恰有3个零点等价于方程的正根对应的的解的个数之和为3. 当有两个相等的正根时，，即，（舍），方程解得 ，，分段函数计算可得，此时有两个零点，不符合题意； 当有两个不相等的正根时，， 所以①当时，，方程无实数解，且，解得； ②当时，，由于， 可知时，，因为在上单调递增，所以有1个解，； 时，，可知有2个解， 恰有3个零点，要求和的解的总个数为3个. 通过图象分析可知要求，即.是方程的较大的根，由，可得 综上，的取值范围为. 故选：A. 9．ABD 【分析】对于选项A和选项B：利用奇函数的定义以及奇函数在原点有定义就有即可判断； 对于C：举反例即可判断；对于D：分别令和即可判断. 【详解】对于B：令，由题设可知，故是奇函数.故B正确； 对于A：又的定义域为R，所以，故A正确. 对于C：不妨取，则满足，且，故C错误. 对于D：令，则；令，则， 故，故D正确. 故选:ABD 10．AC 【分析】由基本不等式和条件等式得，解得的范围判断A选项；由基本不等式和条件等式得，解得的范围判断B选项；配方得到，由AB选项中已证结论，集合不等式的基本性质得到的范围，判断C选项；通过条件等式得，然后由基本不等式得，即可求得的范围，判断D选项. 【详解】∵，∴， ∴，∴， ∵，∴，当且仅当时取等号.A选项正确； ∵，∴， ∴，即， ∵，∴，即，当且仅当时取等号.B选项错误； ∵，∴，∵，∴， ∴，当且仅当时取等号.C选项正确 ∵，∴，即， ∴，当且仅当时取等号.D选项错误. 故选：AC. 11．ACD 【分析】由函数的图象关于对称，可得，即可判断A；先求出最小正周期为，再推出由可判断B；令，求出可判断C；求出，可判断D. 【详解】对于A，由函数的图象关于对称，可推得， 令等价于，则，的图象关于对称，所以A正确. 对于B，令由，， 所以，，所以关于对称. 由，所以， 所以，，所以，关于对称. 令等价于，则， 又因为，所以 令等价于， 所以， 所以可得出最小正周期为. ，，所以不是的周期，所以B错误. 对于C，令，则，所以，所以C正确.     对于D，因为图象关于对称，所以， 因为，，因为最小正周期为， 所以，所以， ， 有，选项D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：令是解题的关键，通过研究的对称性和周期性得到的性质，即可求解. 12． 【分析】将所求式利用同角的三角函数基本关系式进行三角恒等变换化简即得. 【详解】由知于是， 故 故答案为：. 13． 【分析】利用三角函数的定义求解即可. 【详解】已知角 的终边过点，则 ， .计算半径 . 利用三角函数定义:      因此，      故答案为： 14． 【分析】双变量问题，转化为取值范围的包含关系，列不等式组求解 【详解】， ， 由题意得 故答案为： 15．（1）；（2）． 【分析】（1）代入数据即可求解； （2）先根据二倍角的正弦公式化简函数，再得到函数的解析式，再根据三角函数的性质即可求出答案． 【详解】解：（1）当时，，， ∴； （2）∵，， ∴， ∵函数图象上所有点向左平移个单位长度得到的图象， ∴， ∵，∴，∴，∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查向量线性运算的坐标表示，考查三角函数的化简与性质，属于基础题． 16．(1)； (2)在单调递增，在单调递减. 【分析】（1）利用周期公式，令可计算对称轴； （2）先求的范围，再结合正弦函数图象可得单调区间. 【详解】（1）最小正周期； 令，得 所以的对称轴： （2），则， 令，解得，则在单调递增； 令，解得，则在单调递减； 综上：在单调递增，在单调递减. 17．（Ⅰ）（Ⅱ） 【分析】（Ⅰ）利用正弦定理将题中的边角关系转化为角的关系，结合三角恒等变换化简求解；（Ⅱ）根据余弦定理及基本不等式求解的取值范围，进而得到三角形的周长的取值范围． 【详解】（Ⅰ）由正弦定理得， ， ， 又． （Ⅱ）由题意得， ， ，， 即， ， ． 周长的取值范围是． 【点睛】本题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理、余弦定理、三角恒等变换，应用基本不等式求范围，属于简单题目． 18．(1) (2)单调递增区间；对称中心的坐标 (3)当，或，，或， 【分析】（1）根据图象变换可得； （2）将看为一个整体，结合函数的单调区间和对称中心求解； （3）将问题转化为直线与曲线的交点情况处理，画出函数的草图结合图象求解即可． 【详解】（1）将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，所得图象对应的解析式为， 再将所得的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的解析式为． 所以函数的解析式为； （2）由， 得， 所以函数的单调递增区间为． 由， 得． 所以函数图象的对称中心为． （3）原题可转化为研究直线与曲线的交点情况. 画出函数在上的图象，如下图所示： 由图象可得， ①当或时，直线与曲线没有交点； ②当或时，直线与曲线在上有1个交点， 由函数的周期性可知，此时； ③当或时，直线与曲线在上有2个交点， 由函数的周期性可知，直线与曲线在上总有偶数个交点； ④当时，直线与曲线在上有3个交点，由函数的周期性及图像可知，此时. 综上所述，当，或，，或，时， 函数在上恰有2017个零点. 【点睛】方法点睛： （1）研究函数时，要把看为一个整体，并结合函数的性质求解，在研究单调性时要注意的符号对单调性的影响． （2）对于函数零点个数的问题，可转化为函数图像公共点的个数问题处理，解题时需要画出函数图象的草图，并根据参数取值的不同情况进行逐一分析、判断，然后得解． 19．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据二进制与十进制定义进行相互转化，即可得结果； （2）根据题中与定义，利用列举法得结果； （3）先根据整数二进制表示找到满足条件一个值，再证明其为最小值. 【详解】（1）， ； （2）根据题意为非空集合， ， 所以集合为中一种， 可能值为， ， 所以集合为中一种， 可能值为， 因此与的所有可能值组成的集合分别为； （3）根据整数二进制表示可知：1到中正整数可以表示为， 可知，对每个正整数，都存在的子集S，使得， 从而对每个正整数，都存在的子集S，使得，     进而对每个正整数，都存在的子集S，使得，即满足题意，此时， 下证：， 一方面，因为前10个数之和不能小于1012，否则设，则， 对于 ，显然不存在A的子集S，使得， 另一方面，因为， 所以根据整数二进制表示知，其前9个数之和最大为511，故， 综上：. 【点睛】解决新定义解题策略：（1）先要耐心审题，弄清其内涵与性质，确定解题方向，（2）再按照新定义的要求“照章办事”，逐步分析、验证、探索解题方法，直至解决问题. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $