精品解析：河南省新乡市辉县市2025-2026学年八年级上学期期末联考数学试卷

2025~2026学年上学期阶段性学情分析（四） 八年级数学（HS） 注意事项： 1．本试卷共2页，三大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考号填写在试卷和答题卡上，并将考号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 3．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（ ） A. 调查某种柑橘的甜度情况 B. 调查某品牌新能源汽车的抗撞能力 C. 调查某市垃圾分类的情况 D. 调查全班观看电影《哪吒2》的情况 4. 我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，，则的依据是（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在数轴上数表示2，的对应点分别是B、C，B是的中点，则点A表示的数（ ） A. B. C. D. 7. 如图是小英爸爸设置的手机手势密码图，已知左右、上下两个相邻密码点间的距离均为1，手指沿顺序解锁．按此手势解锁一次的路径长为（ ） A. 5 B. C. D. 6 8. 如图，等边三角形纸片的边长为7，点E，F是边的三等分点．分别过点E，F沿着平行于的方向各剪一刀，则剪下的的周长是（ ） A. 3 B. C. 7 D. 8 9. 如图，小星用如图①所示的四张长方形纸片，拼成了如图②所示的一个正方形，该正方形可直观地表示与之间的关系，则这个关系是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离底部3cm的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿3cm的点处，则蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是（ ） A. 13cm B. 14cm C. 15cm D. 16cm 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 比较大小：______（填“”“”或“”）． 12. 甲、乙两家公司在2025年最近几个月份的销售收入情况如图所示，其中销售收入增长较慢的是___________（填“甲公司”或“乙公司”） 13. 若关于的多项式展开后不含有二次项，则的值为__________． 14. 如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10米，问船向岸边移动了__米． 15. 如图，在中，，，，点D是边的中点，点E是边上一动点，连接，将沿折叠，使点C落在点F处，连接，若是直角三角形，则的长是_________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：． （2）在中，，，，求证：． 17. 已知的平方根是，的立方根为． （1）求a与b的值； （2）求的算术平方根． 18. 如图，在中，是的平分线，且． （1）求证：； （2）当，时，求的度数． 19. 某学校为了增强学生体质，丰富大课间活动，组织了以“跳出健康，跃出精彩”为主题的跳绳比赛．学生跳绳成绩得分用x表示，共分成五组：A．，B．，C．，D．，E．．为了解本次大赛的成绩，学校随机抽取了部分学生的成绩作为样本进行统计，制成如图不完整的统计图表根据所给信息，解答下列问题： 成绩x（分） 频数（人） A： 10 B： 30 C： 40 D： m E： 50 （1）表中________，并补全频数分布直方图； （2）在扇形统计图中，求D组所对应的圆心角的度数； （3）若成绩不低于80分为优秀，该校共有2000名学生，有的学生参与了本次跳绳比赛，请你估计该校参加本次跳绳比赛的学生成绩为优秀的人数是多少？ 20. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，且AC=AD． （1）作∠BAC的平分线，交BC于点E；(要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) （2）在（1）的条件下，连接DE，证明． 21. 某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知，，，．技术人员通过测量确定了． （1）小区内部分居民每天必须从点A经过点B再到点C位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿地中开辟一条从点A直通点C的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点A到点C将少走多少路程？ （2）这片绿地的面积是多少？ 22. 发现：比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除． 验证： （1）的结果是3的几倍？ （2）设偶数为，试说明比大3的数与的平方差能被3整除． 延伸： （3）比任意一个整数大3的数与此整数的平方差被6整除的余数足几呢？请说明理由． 23. 综合与实践 【问题情境】“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图1，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，旋转角小于，点B的对应点为点D，点C的对应点为点E，交于点O，延长交于点F． 【数学思考】（1）试判断与的数量关系，并说明理由． 【深入探究】（2）在图形旋转的过程中，老师让同学们提出新的问题． ①“乐学小组”提出问题：如图2，如果，当时，求的度数； ②“善思小组”提出问题：如图3，如果，．当时，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年上学期阶段性学情分析（四） 八年级数学（HS） 注意事项： 1．本试卷共2页，三大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考号填写在试卷和答题卡上，并将考号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 3．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据相反数的定义即可求解． 【详解】解：由题意可知：的相反数是， 故选：B． 【点睛】本题考查相反数的定义及无理数的认识，属于基础题，熟练掌握相反数的概念即可求解． 2. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股数，三个正整数，两个较小数的平方和等于较大数的平方，这三个正整数构成一组勾股数，熟练掌握勾股数的定义是解题关键．根据勾股数的定义逐一进行判定即可． 【详解】解：A．，，，故该选项不是勾股数，不符合题意； B．，，，故该选项不是勾股数，不符合题意； C．，，，故该选项是勾股数，符合题意； D．，，，故该选项不是勾股数，不符合题意． 故选：C． 3. 下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（ ） A. 调查某种柑橘的甜度情况 B. 调查某品牌新能源汽车的抗撞能力 C. 调查某市垃圾分类的情况 D. 调查全班观看电影《哪吒2》的情况 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似判断即可． 【详解】解：A中，调查某种柑橘的甜度情况，全面调查工作量大，且具有破坏性，适合抽样调查，故本选项不合题意； B中，调查某品牌新能源汽车的抗撞能力，具有破坏性，适合抽样调查，故本选项不合题意； C中，了调查某市垃圾分类的情况 ，全面调查工作量大，适合抽样调查，故本选项不合题意； D中，调查全班观看电影《哪吒2》的情况，范围较小，适于全面调查，故本选项符合题意． 故选：D． 4. 我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，，则的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有．根据全等三角形的判定定理推出即可． 【详解】解：在和中， ， ， 故选：D． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方、积的乘方、同类项的合并、单项式乘法，熟练掌握幂的乘方、积的乘方、同类项的合并、单项式乘法的运算法则是解题的关键． 分别运用幂的乘方、积的乘方、同类项的合并、单项式乘法计算，即可判断． 【详解】解：A、，错误，该选项不符合题意； B、，错误，该选项不符合题意； C、，错误，该选项不符合题意； D、，正确，该选项符合题意； 故选：D． 6. 如图，在数轴上数表示2，的对应点分别是B、C，B是的中点，则点A表示的数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了数轴和实数的关系的应用，注意：在数轴上AB之间的距离是． 设点A表示的数是a，求出之间的距离，求出，即可得出关于a的方程，求出即可． 【详解】解：设点A表示的数是a， ∵在数轴上数表示2，的对应点分别是B、C， ∴B、C之间的距离是， ∵B是的中点， ∴， ∵B点表示的数是2，A点表示的数是a， ∴， 解得： ， 故选：C． 7. 如图是小英爸爸设置的手机手势密码图，已知左右、上下两个相邻密码点间的距离均为1，手指沿顺序解锁．按此手势解锁一次的路径长为（ ） A. 5 B. C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了两点间的距离，勾股定理. 由题意可得：，，由勾股定理求出，进而得出答案． 【详解】解：如图所示：作， 由题意，得，， 在中，由勾股定理，得， ∴， 又∵，， ∴按手势解锁一次的路径长为：． 故选：C． 8. 如图，等边三角形纸片的边长为7，点E，F是边的三等分点．分别过点E，F沿着平行于的方向各剪一刀，则剪下的的周长是（ ） A. 3 B. C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，平行线的性质，由等边三角形的性质得到，再求出，根据平行线的性质得到，再判定为等边三角形，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵等边三角形的边长为7， ∴， ∵点E，F是边的三等分点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴的周长是：， 故选：C． 9. 如图，小星用如图①所示的四张长方形纸片，拼成了如图②所示的一个正方形，该正方形可直观地表示与之间的关系，则这个关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式在几何图形中的应用，利用数形结合的思想是解题关键．根据大正方形的面积可表示为其边长×边长或4个全等长方形的面积+中间小正方形的面积求解即可． 【详解】解∶根据题意，得， ∴， 故选∶A． 10. 如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离底部3cm的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿3cm的点处，则蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是（ ） A. 13cm B. 14cm C. 15cm D. 16cm 【答案】A 【解析】 【分析】将圆柱侧面展开为平面矩形，利用轴对称转化为两点之间线段最短问题，再通过勾股定理计算最短路径． 【详解】解：将容器侧面展开，如图，作点关于的对称点，连接，则即为最短距离． 由题意得，，． 故选：A． 【点睛】本题考查了圆柱侧面展开图与勾股定理的应用，熟练掌握将立体最短路径转化为平面图形，利用轴对称和勾股定理求解是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 比较大小：______（填“”“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算、实数的比较大小．先估算出，从而得出，即可得解． 【详解】解：， ，即， ，即， ， 故答案为：． 12. 甲、乙两家公司在2025年最近几个月份的销售收入情况如图所示，其中销售收入增长较慢的是___________（填“甲公司”或“乙公司”） 【答案】乙公司 【解析】 【分析】本题考查了折线统计图，折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．结合折线统计图，分别求出甲、乙两公司近4个月销售收入各自的增长量即可求出答案． 【详解】解：从折线统计图中可以看出：甲公司8月的销售收入约为100万元，9月约为110万元，10月为120万元，11月为130万元，则从8月～11月甲公司增长了约30万元；乙公司8月的销售收入为100万元，9月约为108万元，10月约为110万元，11月约为120万元，则从8月～11月乙公司增长了20万元；则销售收入增长速度较慢的是乙公司． 故答案为：乙公司． 13. 若关于的多项式展开后不含有二次项，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查多项式乘多项式不含某一项的问题．利用多项式乘多项式的法则展开后，使二次项的系数为0，进行求解即可． 【详解】解： ， ∵乘积不含二次项， ∴二次项系数， 解得：． 故答案为：． 14. 如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10米，问船向岸边移动了__米． 【答案】9． 【解析】 【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长，再根据题意可得CD长，然后再次利用勾股定理计算出AD长，再利用BD=AB-AD可得BD长． 【详解】在Rt△ABC中： ∵∠CAB＝90°，BC＝17米，AC＝8米， ∴AB＝＝＝15（米）， ∵CD＝10（米）， ∴AD＝＝6（米）， ∴BD＝AB﹣AD＝15﹣6＝9（米）， 答：船向岸边移动了9米， 故答案为：9． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，关键是掌握从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 15. 如图，在中，，，，点D是边的中点，点E是边上一动点，连接，将沿折叠，使点C落在点F处，连接，若是直角三角形，则的长是_________． 【答案】7或 【解析】 【分析】本题考查翻折变换，直角三角形的性质等知识．分两种情形：当时，当时，分别求解即可． 【详解】解：当时， ， ， ，，共线， ，， ， 设，则， 在中，则有 解得， ； 当时，， ， ， ， ， 综上所述，满足条件的的值为7或． 故答案为：7或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：． （2）在中，，，，求证：． 【答案】（1）； （2）证明：如图所示， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且． 【解析】 【分析】本题考查单项式乘以多项式、平方差公式及勾股定理的逆定理，熟练掌握运算法则及勾股定理的逆定理是解题关键． （1）先利用单项式乘以多项式运算法则及平方差公式展开，再合并同类项即可得答案； （2）根据，得出，，利用勾股定理的逆定理即可得结论． 【详解】（1）解： ． （2）略 17. 已知的平方根是，的立方根为． （1）求a与b的值； （2）求的算术平方根． 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】本题考查了已知字母的值求代数式的值，平方根、立方根、算术平方根，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合的平方根是，的立方根为，则，再解出，即可作答． （2）把代入，得出，再求其的算术平方根，即可作答． 【小问1详解】 解：∵的平方根是，的立方根为， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：由（1）得， ∴， 则的算术平方根是． 18. 如图，在中，是的平分线，且． （1）求证：； （2）当，时，求的度数． 【答案】（1） 证明：是的平分线， ， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线定义，三角形内角和定理，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）由是的平分线可知，由得，等量代换可得到一组内错角相等，则结论可证； （2）由三角形内角和定理可推出，由平行的性质可知，再利用角平分线和平行线的性质，可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ， ， 且， 是的平分线， ， ． 19. 某学校为了增强学生体质，丰富大课间活动，组织了以“跳出健康，跃出精彩”为主题的跳绳比赛．学生跳绳成绩得分用x表示，共分成五组：A．，B．，C．，D．，E．．为了解本次大赛的成绩，学校随机抽取了部分学生的成绩作为样本进行统计，制成如图不完整的统计图表根据所给信息，解答下列问题： 成绩x（分） 频数（人） A： 10 B： 30 C： 40 D： m E： 50 （1）表中________，并补全频数分布直方图； （2）在扇形统计图中，求D组所对应的圆心角的度数； （3）若成绩不低于80分为优秀，该校共有2000名学生，有的学生参与了本次跳绳比赛，请你估计该校参加本次跳绳比赛的学生成绩为优秀的人数是多少？ 【答案】（1）， 补全频数分布直方图如图， （2） （3）人 【解析】 【分析】本题考查了频数分布表与频数分布直方图，扇形统计图，样本估计总体； （1）根据组的人数除以占比得出总人数，进而求得的值，并补全频数分布直方图； （2）用乘以组的占比，即可求解； （3）用乘以再乘以组的占比，即可求解． 【小问1详解】 解：， ， 故答案为：． 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 （人） 答：估计该校参加本次跳绳比赛的学生成绩为优秀的人数是人 20. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，且AC=AD． （1）作∠BAC的平分线，交BC于点E；(要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) （2）在（1）的条件下，连接DE，证明． 【答案】（1）如图，为所作的平分线； （2）证明：如图．连接DE，由(1)知： 在和中 ∵ ∴， ∴ 又∵ ∴， ∴ 【解析】 【分析】（1）首先以A为圆心，小于AC长为半径画弧，交AC、AB于N、M，再分别以N、M为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧交于点Q，再画射线AQ交CB于E； （2）依据证明得到，进一步可得结论． 【详解】略 【点睛】此题主要考查了基本作图，以及全等三角形的判定和性质，关键是得到． 21. 某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知，，，．技术人员通过测量确定了． （1）小区内部分居民每天必须从点A经过点B再到点C位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿地中开辟一条从点A直通点C的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点A到点C将少走多少路程？ （2）这片绿地的面积是多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）连接，利用勾股定理求出，问题随之得解； （2）先利用勾股定理逆定理证明是直角三角形，，再根据三角形的面积公式即可求解． 【小问1详解】 如图，连接， ∵，，， ∴， ∴， 答：居民从点A到点C将少走路程． 【小问2详解】 ∵，．， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ， ∴， 答：这片绿地的面积是． 【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理及其逆定理是解答本题的关键． 22. 发现：比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除． 验证： （1）的结果是3的几倍？ （2）设偶数为，试说明比大3的数与的平方差能被3整除． 延伸： （3）比任意一个整数大3的数与此整数的平方差被6整除的余数足几呢？请说明理由． 【答案】（1）15倍 （2） 解：由题意得偶数为，比偶数大3的数为， ∴ ∵为整数， ∴能被3整除； （3） 解：余数为3，理由如下： 设这个数为n，比n大3的数为， 所以被6整除余3，余数为3． 【解析】 【分析】（1）计算出的结果，即可； （2）由题意得偶数为，比偶数大3的数为，再利用平方差公式计算，即可； （3）设这个数为n，比n大3的数为，再利用平方差公式计算，即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴是3的15倍； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题主要考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 23. 综合与实践 【问题情境】“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图1，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，旋转角小于，点B的对应点为点D，点C的对应点为点E，交于点O，延长交于点F． 【数学思考】（1）试判断与的数量关系，并说明理由． 【深入探究】（2）在图形旋转的过程中，老师让同学们提出新的问题． ①“乐学小组”提出问题：如图2，如果，当时，求的度数； ②“善思小组”提出问题：如图3，如果，．当时，求线段的长． 【答案】 （1）解：．理由： 如图1，连接AF， 由旋转的性质知，，， ∵， ∴， ∴； （2）①；②12． 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质可得：，，再证明，从而可得结论； （2）①由全等三角形的性质证明，，求解，再进一步求解即可；②利用勾股定理求解，证明，可得，可得．结合，可得，证明，再进一步解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：①如图2，由旋转可得，， ∴，，， ∴，， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． ②如图3，∵，，， ∴． 由旋转的性质知，，，，． ∵，， ∴， ∴， ∴． 由（1）得， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是旋转的性质，全等三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的应用，三角形的内角和定理的应用，掌握旋转的性质是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $