2026年九年级数学中考一轮复习《因式分解》自主学习综合练习题

2026年春九年级数学中考一轮复习《因式分解》自主学习综合练习题（附答案） 一、单选题 1．下列从左到右的等式变形中，因式分解是（   ） A． B． C． D． 2．下列多项式中可以用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 3．已知，，则的值是（） A．2 B． C．4 D． 4．若，且、、均为整数，则的值不可能是（    ） A．； B．； C．； D．． 5．已知，则代数式的值为（　　） A．15 B． C．2 D． 6．已知△ABC的三边长分别为a、b、c，且满足，则的形状是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 7．如图，用4个相同的矩形与1个小正方形镶嵌成大正方形图案，已知这个大正方形图案的面积为100，小正方形的面积为36，若用、表示小矩形的两边长．观察图案后，甲同学认为：；乙同学认为：．则下列说法正确的是（   ） A．甲乙都对 B．甲对乙错 C．甲乙都错 D．甲错乙对 二、填空题 8．因式分解： ． 9．因式分解： ． 10．若，则的值为 ． 11．若，，则的值为 ． 12．两名学生将一个二次三项式因式分解，一名学生看错了一次项系数，因式分解的结果为；另一名学生看错了常数项，因式分解的结果为，那么这个二次三项式正确的因式分解结果是 ． 13．若取图中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为，则的值为 ． 14．定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，当，时，，8是一个“智慧优数”，若将“智慧优数”从小到大排列，第2025个智慧优数是 ． 三、解答题 15．因式分解 (1) (2) (3) (4) 16．如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“正巧数”．例如：，，，因此8，16，24都是“正巧数”． (1)设两个连续正奇数为和（其中是正整数），由它们构成的“正巧数”能被8整除吗？如果能，请说明理由；如果不能，请举例说明． (2)，为正整数，且，若是“正巧数”． ①求的值； ②若是“正巧数”，请说明是“正巧数”． 17．【阅读材料】我们知道，多项式可以因式分解为．当一个二次三项式（如）不是完全平方式时，我们可以采用下面的方法进行因式分解： ． 【解决问题】请仿照上面的方法，完成下列试题： (1)请在①、②处填空： ①_____②______ (2)将下列各式因式分解： ①_______； ②______； ③______． 18．整式乘法与多项式因式分解是有联系的两种变形，把多项式乘多项式法则反过来，将得到：．这样该多项式就被分解为若干个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫作分组分解法． 例：      第一步           第二步 ． 第三步 (1)上述求解过程中，第二步变形是利用了______（填乘法公式的名称）． (2)利用上述方法将下列各式因式分解： ①； ②． 19．我们把形如的式子称为完全平方式．若一个多项式不是完全平方式，可通过“先添加适当项构造完全平方式，再减去该项保持式子的值不变”的方法变形，这就是配方法．配方法可用于因式分解、求代数式最值或解决一些与非负数相关的问题等．例如： 例1．因式分解：． 解：原式． 例2．求式子的最小值． 解：原式， ，， 当时，有最小值． 请根据阅读材料解决下列问题： (1)因式分解：______；（直接写出结果） 当______时，多项式有最小值，这个最小值是______； (2)已知，，为某三角形的三边长，且满足，求该三角形的周长． 20．阅读理解：对于一些次数较高或者是比较复杂的式子进行因式分解时，换元法是一种常用的方法， 下面是某同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：设 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 回答下列问题： (1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的______________（填代号）． A．提取公因式    B．平方差公式    C．两数和的完全平方公式    D．两数差的完全平方公式 (2)按照“因式分解，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止”的要求，该多项式分解因式的最后结果为________________． (3)请你模仿以上方法对多项式进行因式分解． (4)证明：若为正整数，则代数式的值一定是某个整数的平方． 参考答案 1．解：A．，并非将多项式转化为整式乘积的形式，不符合题意； B．，是多项式乘以多项式，并非将多项式转化为整式乘积的形式，不符合题意； C．，符合因式分解的定义，符合题意； D．，并非将多项式转化为整式乘积的形式，不符合题意． 故选：C． 2．C 【分析】本题考查了运用完全平方公式分解因式，熟知完全平方式的特点是解题关键，根据完全平方式的特点“两个数的平方和，加（减）它们积的2倍”逐项判断即可求解﹒ 【详解】解：A. 不是完全平方式，不能用完全平方公式分解，不合题意； B. 不是完全平方式，不能用完全平方公式分解，不合题意； C. 是完全平方式，能用完全平方公式分解，分解为，符合题意； D. 不是完全平方式，不能用完全平方公式分解，不合题意﹒ 故选：C 3．A 【分析】本题考查的是因式分解的应用．利用平方差公式将分解为，再代入已知条件求解． 【详解】解：∵， 又∵且， ∴， ∴． 故选：A． 4．A 【分析】本题考查的是多项式的整数解问题，灵活运用因式分解和整数的性质是解题的关键．由等式右边展开得 ，与左边比较系数，得 和 ．由于 、 为整数，枚举所有整数对 满足 ，计算 ，即可确定 的可能值． 【详解】， 比较系数，得 ，， 、 为整数，且 ， 所有整数对 为： ，； ，； ，； ，； ，； ，。 （其余对为重复值，略） 的可能值为 ． 选项不在可能值中，故不可能． 5．A 【分析】本题考查因式分解的应用以及用因式分解解决求值问题；由题意利用分组分解的方法把因式分解，再利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∴原式， 故选：A． 6．B 【分析】本题考查因式分解的应用，将等式左边进行因式分解，得到两个完全平方的和为零，利用非负数的性质得出三边相等即可． 【详解】解：， ， 即， ， 且， 且， ， 是等边三角形． 故选：B． 7．B 【分析】本题主要考查乘法公式与几何图形及因式分解的应用，解题的关键是理解题意；由题意易得，然后可得，，进而根据因式分解可进行求解． 【详解】解：由大正方形图案的面积为100，小正方形的面积为36，可知：大正方形图案的边长为10，小正方形的边长为6， ∴，即， 根据完全平方公式可知：， ∴，， ∴， ； ∴甲对乙错； 故选：B． 8． 【分析】本题考查了因式分解，将原式提取后，再运用平方差公式进行因式分解即可，掌握提公因式法和平方差公式进行因式分解是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 9． 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键．利用提公因式法进行因式分解即可． 【详解】解：原式 ； 故答案为： 10．2 【分析】此题考查了求代数式的值、因式分解，熟悉相关性质是解题的关键． 由已知条件可得，然后将所求代数式拆项，整体代入计算． 【详解】解：∵ ， ∴ ． ∴ ， 把代入，得 ． 故答案为：2． 11． 【分析】本题主要考查了因式分解、代数式求值等知识点，掌握运用提取公因式法进行因式分解是解题的关键． 先运用提取公因式法进行因式分解，然后将、整体代入计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴原式． 故答案为． 12． 【分析】该题考查了整式乘法和因式分解，根据第一个学生的分解结果，常数项正确，得出，根据第二个学生的分解结果，一次项系数正确，得出，从而得到正确的二次三项式，再因式分解． 【详解】解：设正确的二次三项式为． 由第一个学生因式分解的结果，由于看错了一次项系数，但常数项正确，故，． 由第二个学生因式分解的结果 ，由于看错了常数项，但一次项系数正确，故，． 因此正确的二次三项式为， 故． 故答案为：． 13．9或12或21 【分析】本题主要考查了因式分解，根据题意可得或或，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴或 或 ， ∴的值可以是9或12或21， 故答案为：9或12或21． 14．8104 【分析】本题主要考查了分解因式及其应用，根据定义，智慧优数可表示为，其中n为正整数，第2025个智慧优数为． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即智慧优数为，， 所以，第2025个智慧优数为． 故答案为：8104． 15．(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了因式分解； （1）提取公因式，即可求解； （2）将转化为，再提取公因式后继续分解，即可求解； （3）应用平方差公式，分解后化简，即可求解； （4）将视为整体，应用完全平方公式，再进一步分解，即可求解． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ； （3）解：原式 = ； （4）解：原式 ． 16．(1)能被8整除，理由见解析 (2)①；②见解析 【分析】本题考查了平方差公式的应用、新定义，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． （1）根据“正巧数”的定义得到，化简得到，即可证明； （2）①将所给式子变形为，再根据“正巧数”的定义可得；②根据已知“正巧数”得到也是“正巧数”，再将变形得到，即可判断． 【详解】（1）解：“正巧数”能被8整除，理由如下： 又是正整数， 能被8整除． ∴能被8整除， 即由它们构成的“正巧数”能被8整除． （2）解：① ； ②由①可知：， ， ． 是“正巧数”， 可设，其中为正整数， ， ， ， ， 由（1）得：任何一个“正巧数”都是8的倍数， 是“正巧数”． 17．(1)， (2)①；②；③ 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键． （1）仿照阅读材料，运用配方法（加上一次项系数一半的平方，再减去该值）将二次三项式转化为完全平方式与常数的差，再利用平方差公式因式分解． （2）①仿照阅读材料，运用配方法给加上4再减去4，将转化为与1的差，再利用平方差公式因式分解． ②仿照阅读材料，运用配方法将转化为，再利用平方差公式因式分解． ③仿照阅读材料，运用配方法将转化为与的差，再利用平方差公式因式分解． 【详解】（1）解： 故答案为：①，②； （2）解：① ； 故答案为：． ② 故答案为：． ③ ； 故答案为：． 18．(1)完全平方公式 (2)①；② 【分析】（1）该步是完全平方和公式的运用； （2）①按题干方法即可分解因式；②分组分解因式即可：． 本题考查因式分解的方法，熟练掌握各种因式分解方法并灵活选用是解题的关键． 【详解】（1）是完全平方和公式的应用， 故答案为：完全平方公式； （2）①原式； ②原式． 19．(1)，， (2)12 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，因式分解，非负数的性质，解题的关键是对式子正确配方． （1）将多项式配方，根据题例题的方法解答即可； （2）将等式左边配方后，利用非负数的性质求出m，n，p的值，进而求解即可． 【详解】（1）解： ； ∵ ∴ ∴当时，多项式的最小值是； （2）解： ， ， ， ∴，，， ∴，，， 该三角形的周长为：． 20．(1)C (2) (3) (4)见解析 【分析】本题考查的是因式分解，解题关键是要能理解例题的分解方法并能进行模仿，要注意分解要彻底． （1）从解题步骤可以看出该同学第二步到第三步运用了两数和的完全平方公式； （2）对第四步的结果括号里的部分用完全平方公式分解，再用幂的乘方计算即可； （3）模仿例题设，对其进行换元后去括号，整理成多项式，再进行分解，分解后将A换回，再分解彻底即可． （4）先整理原式，再令，整理原式，因为为正整数，得为正整数，即代数式的值一定是某个整数的平方． 【详解】（1）解：观察做题过程，得该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式， 故选：C； （2）解：， 故答案为：； （3）解：设． ． （4）解： ， 令， 原式 ， ∵为正整数， ∴为正整数， ∴代数式的值一定是某个整数的平方． 学科网（北京）股份有限公司 $