2026年九年级数学中考一轮复习《分式》自主学习综合练习题

2026年春九年级数学中考一轮复习《分式》自主学习综合练习题（附答案） 一、单选题 1．下列式子的变形正确的是（） A． B． C． D． 2．下列说法正确的是（    ） A．当时，分式有意义 B．分式与的最简公分母是 C．当分式时， D．无论x为何值，的值总为正数 3．下列计算正确的是（） A． B． C． D． 4．已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．满足的整数n有几个（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 6．已知，则的值等于（    ） A． B． C． D． 7．一份文件需要打印，打字员甲单独打印需小时，打字员乙单独打印需小时，那么两人一起打印这份文件的50%，所需要的时间是（    ） A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 二、填空题 8．函数中的自变量的取值范围是 ． 9．如果分式的值是正数，那么的取值范围是 ，若分式的值为整数，则的整数值为 ． 10．计算： ． 11．已知，的值是 ． 12．在一条河里，甲、乙两船从港口同时同向逆流出发，分别航行1小时后立即原路返航，若甲船在静水中的速度为，乙船在静水中的速度为，水流速度为， 船先返回港． 13．已知关于的不等式组有且仅有2个整数解，且分式的值为非负数，则所有满足条件的整数的和为 ． 14．照相机成像应用了一个重要原理，即（），其中表示照相机镜头的焦距，表示物体到镜头的距离，表示胶片（像）到镜头的距离．一架照相机已固定，那么就要依靠调整来使成像清晰．用焦距的相机，拍摄离镜头的距离的花卉，成像清晰，那么拍摄时胶片到镜头的距离是 ． 三、解答题 15．计算： (1)． (2)． (3)． 16．计算： (1)； (2)． 17．先化简，再求值：，其中． 18．甲、乙两位采购员同去一家粮油公司购买两次大米，两次大米的价格有变化，两位采购员的购货方式也不同．其中，甲每次购买千克，乙每次用去元，而不管购买多少大米．设两次购买的大米单价分别为元/千克和元/千克（m，n是正数，且）． (1)甲两次所购大米的平均单价是___________元/千克； (2)求出乙两次所购大米的平均单价？ (3)比较甲，乙两次所购大米的平均单价，哪一个较低？并说明理由． 19．阅读学习：已知，求的值． 解：由知 所以，即 所以 以上解法中，是先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出所求式子倒数的值，我们把这种解法叫作“倒数法”． (1)已知，则 (2)类比探究：已知，求的值 (3)拓展延伸：已知，求的值 20．定义：如果两个分式与的和为常数，则称与互为“和常分式”，常数称为“和常值”．例如：分式，，，则与互为“和常分式”，“和常值”． (1)分式，，判断与是否互为“和常分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和常值”的值； (2)分式，，若与互为“和常分式”，且“和常值”． 求代数式（用含的式子表示）； 若分式的值为正整数，求的值； (3)分式，（，为整数），若与互为“和常分式”，求“和常值”的值． 参考答案 1．B 【分析】本题考查分式的基本性质，分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为零的整式，分式的值不变． 需检查每个选项的变形是否符合此性质． 【详解】A：∵， ∴A错误． B：∵， ∴B正确． C：∵，∴， ∴C错误． D：∵， ∴D错误． 故选：B． 2．D 【分析】本题考查了分式有意义的条件、最简公分母的确定、分式值为零的条件及分式值的正负判断，解题的关键是熟练掌握分式的相关概念与性质． 判断分式有意义需分母不为零；确定最简公分母取系数最小公倍数与字母因式最高次幂的积；分式值为零需分子为零且分母不为零；判断分式值的正负需分析分母的取值范围． 【详解】解：A、分式有意义的条件是，并非，此选项不符合题意； B、分式与的最简公分母是，并非，此选项不符合题意； C、当时，由得，但即，故，此选项不符合题意； D、因，故，此选项符合题意； 故选：D． 3．A 【分析】本题考查了分式的混合运算，根据分式的加减乘除、乘方运算进行计算即可求解． 【详解】解：对于A：∵，又∵，∴，与右边相等，计算正确，符合题意． 对于B：通分后，计算错误，不符合题意． 对于C：，计算错误，不符合题意． 对于D：，计算错误，不符合题意． ∴只有A正确． 故选：A． 4．B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的求值，利用一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再代入所求表达式计算． 【详解】解：∵ m，n是一元二次方程的两个实数根， ∴ ，， ∴ ． 故选：B． 5．A 【分析】本题考查零指数幂与有理数的乘方运算，解题的关键是分情况讨论使等式成立的条件（底数为1，底数为且指数为偶数、指数为0且底数不为0）． 通过分指数为0且底数不为，底数为，底数为且指数为偶数，三种情况，求解满足的整数，即可解题． 【详解】解：∵， ∴需分三种情况讨论： 当指数时，即，此时底数，成立； 当底数时，即，解得或，此时指数分别为和，但底数为，故成立； 当底数时，即，解得或．此时指数分别为（偶数）和（奇数），故仅时成立； 综上，满足条件的整数有，共个． 故选：A． 6．B 【分析】本题考查分式的化简求值，解题关键是通过对已知条件变形得到，再代入待求式进行化简计算． 由已知条件 可得 ，代入所求表达式化简即可． 【详解】∵ ， ∴ ， 即 ， ∴ ． 代入所求式： ． 故选B． 7．C 【分析】此题考查分式混合运算的实际应用，根据工作效率和合作效率，计算完成50%工作所需时间 【详解】设总工作量为1，则甲的工作效率为，乙的工作效率为， ∵ 合作效率为， 完成50%工作，工作量为，， ∴ 所需时间 = ， 故选：C 8． 且 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，根据分母不能为零，且二次根式的被开方数必须非负，得到关于的不等式，解不等式求出自变量的取值范围． 【详解】解：函数 有意义， 可得：， 解得：且； 故答案为：且． 9． ， 【分析】本题考查根据分式的值，求参数的范围，根据分式的值为正数，得到，根据的值为整数，得到，求出的整数值即可． 【详解】解：∵的值为正数， ∴， ∴； ∵的值为整数， ∴， ∴； 故的整数值为； 故答案为：；． 10． 【分析】本题考查负指数幂，积的乘方及分式的乘除运算，先根据积的乘方去括号再进行单项式的乘除法，最后把结果转化为正整数指数幂的形式即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 11．2049 【分析】本题主要考查了分式的求值，根据已知条件式可知，，则可求出，进而推出；把所求式子变形为，进一步变形可得，据此代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴ ∴ ， 故答案为：2049． 12．乙 【分析】本题考查了分式的运算的应用，读懂题意，熟练应用作差法比较大小是解题的关键． 分别表示出甲乙两船返回的时间，通过作差法，比较时间的大小，得到结果． 【详解】解：∵甲船逆流航行1小时的路程为，甲返航时实际速度为， ∴甲返航时间为， ∵乙船逆流航行1小时的路程为，乙返航时实际速度为， ∴乙返航时间为， ∴ ， ∵， ∴， ∴， 即乙船先返回港． 故答案为：乙． 13．24 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组、分式，熟练掌握解一元一次不等式组的一般步骤是解题的关键．先求解不等式组，得到解集范围，根据有且仅有2个整数解的条件确定的取值范围；再根据分式值为非负数的条件，得到的另一取值范围，求交集后得到整数的值，最后求和． 【详解】解： 不等式组的解集为， 有且仅有2个整数解，即整数解为1和2， ， 解得， 整数可为，，，， 又分式，恒成立， ，得， 满足条件的整数为， ， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查分式求值，读懂题意是解决问题的关键． 根据题意，将已知焦距和物体距离代入公式计算即可得到答案． 【详解】解：当，时， 代入，得， 则 ， ， 故答案为：． 15．(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的；最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． （1）先算乘方，然后把除法转化为乘法，分子、分母约分即可； （2）先算乘方，然后把除法转化为乘法，分子、分母约分即可； （3）先算乘方，然后把除法转化为乘法，分子、分母约分即可； 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： 16．(1) (2) 【分析】本题考查了异分母分式的加减运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先通分，再化简，得，即可作答． （2）先整理原式，再化简，通分，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 17．，2 【分析】本题主要考查了分式的混合运算、代数式求值、零次幂、负整数次幂等知识点，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 先运用分式的混合运算法则化简分式，然后运用零次幂、负整数次幂求得a的值，最后将a的值代入化简后的分式求值即可． 【详解】解： ； ∵， ∴原式． 18．(1) (2) (3)乙所购买的大米的平均单价较低 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，解题时首先正确理解题意，然后利用题目的数量关系求出两次平均价格，接着利用分式的混合运算法则计算即可解决问题，熟练掌握分式的运算法则是关键． （1）甲每次购买x千克，两次购买大米的单价为m元/千克和n元/千克， 由此可得到甲两次用的总钱数和总大米数，接着就可以求出平均单价； （2）乙每次用去y元，两次购买大米的单价为m元/千克和n元/千克， 由此可得到乙两次用的总钱数和总大米数，接着就可以求出平均单价； （3）二者相减比较大小即可． 【详解】（1）解：∵甲每次购买x千克，两次购买大米的单价为m元/千克和n元/千克， ∴甲的平均单价为：； 故答案为：； （2）解：乙每次用去y元，两次购买大米的单价为m元/千克和n元/千克， ∴乙的平均单价为：； （3）解：乙所购买的大米的平均单价较低． 理由：， 因为是正数且， 所以，， 故， 即甲的平均单价大于乙的平均单价． 19．(1) (2) (3) 【分析】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）模仿题干过程，进行化简计算，即可作答． （2）已知等式“取倒数”求出的值，原式“取倒数”后，将的值代入计算即可； （3）已知三等式“取倒数”后相加求出的值，原式“取倒数”后代入计算即可求出值． 【详解】（1）解：由知， ∴， 即， ∴； ∴， （2）解：由知， ∴，即， ∴， ∴ ， 故． （3）解：∵ ∴x，y，z均不为0， ∴， ，， ∴， 则， ∴． 20．(1)与互为“和常分式”，且“和常值” (2)；或 (3) 【分析】本题考查了分式的加法计算，正确理解“和常分式”的定义是解题的关键． （1）根据分式的加法计算法则求出的结果即可得到结论； （2）先根据分式的加法计算法则表示出，再根据“和常分式”的定义且“和常值”，列式计算即可；先表示出，再根据分式的值为正整数求解即可； （3）根据分式的加法计算法则表示出，根据与互为“和常分式”，列式后化简整理，然后对比系数列方程求解即可． 【详解】（1）解：与互为“和常分式”．理由如下： ， 与互为“和常分式”，且“和常值”． （2）解： ， 与互为“和常分式”，且“和常值”， ， ，即， ． 由可知，． 分式的值为正整数， 或， 或． （3）解： ． 与互为“和常分式”， ． ， ， ，解得， 由得， ，均为整数，满足题意， “和常值”的值为． 学科网（北京）股份有限公司 $