精品解析：吉林省辽源市东丰县2025-2026学年上学期九年级数学期末质量监测试题

2025—2026学年度第一学期期末质量监测 九年级数学 本试题测试范围为人教版九年级上册+下册（反比例函数，相似），共6页，包括三道大题，共22道小题;全卷满分120分．考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，请您将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．答题时，请按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试题上答题无效． 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 音乐是人类文化中不可或缺的一部分，它充满魅力，能够唤起人们各种各样的情感体验．下列音乐符号中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的二次项系数（为正数）与常数项之和为（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线y＝x2＋2的顶点坐标是（ ） A. （0，2） B. （0，－2） C. （2,0） D. （－2，0） 4. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 抛掷一枚硬币四次，有两次正面朝上 B. 打开电视频道，正在播放《焦点访谈》 C. 关于x的方程有实数根 D. 射击运动员射击一次，命中十环 5. 如图，四边形内接于，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 图是一个旋转一定角度能与原图重合的图形，它的最小旋转角度数为（ ） A. 45° B. 60° C. 90° D. 120° 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 点（1，2）关于原点的对称点的坐标为__． 8. 如图，四边形四边形，若，，，则______. 9. 如图，根据小丽与的对话，在深度思考后，给出的答案是______． 10. 视野角度是指汽车在道路上行驶时，驾驶人员目视前方左右两侧视线所构成的夹角，其值与车速有关．随着车速的增加，驾驶人员的视野会逐渐变窄，导致两侧的视野范围逐渐缩小，视野角度（度）与车速成反比例函数关系，它的函数图象如图所示，当车速为时，视野角度为_____度． 11. 一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是12cm，当重物上升时，滑轮的一条半径OA绕轴心按逆时针方向旋转的度数_________． 三、解答题（12－14每小题6分，15－17每小题7分，18－19每小题8分，20－21每小题10分，22题12分，共87分） 12. 如图，在平面直角坐标系中，点坐标，连接，将绕点逆时针旋转，得到，求点的坐标． 13. 2026年是马年，生肖马在中国文化中被视为刚健进取、忠诚奉献、自由奔放、活力热情、成功成就的象征．如图，现有三张正面印有不同马图案的不透明卡片A，B，C，卡片除正面图案不同外其余均相同，将三张卡片正面向下洗匀，小明从中随机抽取1张卡片，记下图案并放回，重新洗匀后再从中随机抽取1张．请用画树状图或列表的方法，求小明两次抽出的卡片图案相同的概率． 14. 已知：如图所示，AB，CD是的弦，OC，OD分别交AB于点E，F，且，求证：. 15. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 16. 如图，在的正方形网格中，的三个顶点均在格点上．请你画出符合条件图形，并标明字母． （1）在图1中，画出一个格点与成中心对称； （2）在图2中，画出一个格点与成轴对称图形； （3）在图3中，画出绕着点按顺时针方向旋转后的格点． 17. 如图，，，是上的三点，，，． （1）__________． （2）求阴影部分的面积． 18. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，交轴于，交轴于． （1）求、的值及反比例函数的表达式； （2）将直线向下平移个单位，若直线与反比例函数的图象有唯一交点，求的值． 19. 如图，为直径，为上一点，过点作的切线，与的延长线交于点． （1）求证：； （2）若，，求的值． 20. 3月12日，某中学隆重举行了2025届中考百日誓师大会．学校为学生们搭建了一个拱形的“理想门”，其形状为抛物线．已知拱门的底部宽度为6米（即米），最高点距地面4.5米．如图所示，以为原点，所在的直线为轴建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的表达式； （2）拱门两侧各悬挂一条彩带，书写着“百日拼搏勤砺剑”、“誓师中考勇夺魁”．若彩带、的高为2米，求两条彩带之间的水平距离为多少米？ 21. 综合与实践 在《图形的平移与旋转》回顾与思考课上，李老师出示了如下问题：在中，，点在平面内，连接并将线段绕点逆时针旋转与相等的角度，得到线段，连接． （1）初步探究 如图①，点是边上任意一点，则线段和线段的数量关系是 ； （2）类比探究 如图②，点是平面内任意一点，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．请仅以图②所示的位置关系加以证明（或说明）； （3）延伸探究 如图③，在中，，，，是线段边上的任意一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值． 22. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为，与y轴交于点，作直线．动点P在x轴上运动，过点P作轴，交抛物线于点M，交直线于点N，设点P的横坐标为m． （1）求抛物线的解析式和直线的解析式： （2）当点P在线段上运动时，连接，求面积的最大值； （3）当时，抛物线的最大值为3，则 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期期末质量监测 九年级数学 本试题测试范围为人教版九年级上册+下册（反比例函数，相似），共6页，包括三道大题，共22道小题;全卷满分120分．考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，请您将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．答题时，请按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试题上答题无效． 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 音乐是人类文化中不可或缺的一部分，它充满魅力，能够唤起人们各种各样的情感体验．下列音乐符号中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 本题考查了中心对称图形，轴对称图形的甄别，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：A．不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意； B．是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项合题意； C．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； D．既不是轴对称图形又不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 2. 一元二次方程的二次项系数（为正数）与常数项之和为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式是，其中是二次项，是二次项系数，是一次项，是一次项系数，是常数项． 【详解】将一元二次方程变形为一般形式，一般形式的二次项系数为，常数项为，所以二次项系数与常数项之和为． 故选：B 3. 抛物线y＝x2＋2的顶点坐标是（ ） A. （0，2） B. （0，－2） C. （2,0） D. （－2，0） 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的顶点坐标式，直接求解即可． 【详解】解：抛物线y＝x2＋2的顶点坐标是 故选A 【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟记二次函数的性质． 4. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 抛掷一枚硬币四次，有两次正面朝上 B. 打开电视频道，正在播放《焦点访谈》 C. 关于x的方程有实数根 D. 射击运动员射击一次，命中十环 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，必然事件是指一定会发生的事件，选项C中方程的判别式恒为正，因此总有实数根，是必然事件；其他选项都不是必然事件，即可作答． 【详解】解：A、抛掷一枚硬币四次，有两次正面朝上，不是必然事件，故该选项不符合题意； B、打开电视频道，正在播放《焦点访谈》，不是必然事件，故该选项不符合题意； C、∵，，∴关于x的方程有实数根，是必然事件，该选项符合题意； D、射击运动员射击一次，命中十环，不是必然事件，故该选项不符合题意； 故选：C 5. 如图，四边形内接于，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解答本题的关键．根据圆内接四边形的性质：对角互补，求出，再利用圆周角定理即可求解． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 6. 图是一个旋转一定角度能与原图重合的图形，它的最小旋转角度数为（ ） A. 45° B. 60° C. 90° D. 120° 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查图形的旋转，当以点为旋转中心，旋转的最小角度为时，即可与原图重合． 【详解】 如图所示，当以点为旋转中心，旋转的最小角度为时，即可与原图重合． 故选：C 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 点（1，2）关于原点的对称点的坐标为__． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于原点的对称点，横纵、坐标都互为相反数解答． 【详解】解：点关于原点的对称点的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解题的关键是熟记“关于原点的对称点，横纵、坐标都互为相反数”． 8. 如图，四边形四边形，若，，，则______. 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，熟记相似多边形的对应角相等是解题的关键．根据相似多边形的对应角相等，以及四边形内角和为度求解即可． 【详解】解：四边形四边形， ， 又，， ， 故答案为：． 9. 如图，根据小丽与的对话，在深度思考后，给出的答案是______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程．熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．设这个数为，根据“先计算这个数的平方，再减去这个数，最后加上1，其运算结果和这个数相同”列出方程即可求解． 【详解】解：设这个数为，则有， ， ， ， 解得． 故答案为：1． 10. 视野角度是指汽车在道路上行驶时，驾驶人员目视前方左右两侧视线所构成的夹角，其值与车速有关．随着车速的增加，驾驶人员的视野会逐渐变窄，导致两侧的视野范围逐渐缩小，视野角度（度）与车速成反比例函数关系，它的函数图象如图所示，当车速为时，视野角度为_____度． 【答案】40 【解析】 【分析】题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例关系的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式． 首先根据题意，可得视野角度（度）与车速成反比例函数关系，用待定系数法可得反比例函数的关系式；代入进一步求解可得答案． 【详解】解：设视野角度（度）与车速的函数关系式为， 把点代入得：， 解得：， ∴视野角度（度）与车速的函数关系式为， 当时，， 即当车速为时，视野角度为40度． 故答案为：40 11. 一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是12cm，当重物上升时，滑轮的一条半径OA绕轴心按逆时针方向旋转的度数_________． 【答案】##60度 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式的计算．重物上升时，即弧长是，设旋转的角度是，利用弧长公式计算即可得出答案，熟练掌握弧长公式是解此题的关键． 【详解】解：滑轮的半径是， 设旋转的角度是， 由题意得：， 解得：， 滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度约为， 故答案为：． 三、解答题（12－14每小题6分，15－17每小题7分，18－19每小题8分，20－21每小题10分，22题12分，共87分） 12. 如图，在平面直角坐标系中，点坐标，连接，将绕点逆时针旋转，得到，求点的坐标． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化-旋转及全等三角形的判定与性质，熟知图形旋转的性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键．分别过点和点作轴的垂线，利用全等三角形的判定与性质即可解决问题． 【详解】解：分别过点和点作轴的垂线，垂足为和， 则． ∵将绕点逆时针旋转，得到， ∴，， ∴， ∴． ∴， ∴，． ∵点坐标， ∴，． ∴点的坐标为． 故答案为：． 13. 2026年是马年，生肖马在中国文化中被视为刚健进取、忠诚奉献、自由奔放、活力热情、成功成就的象征．如图，现有三张正面印有不同马图案的不透明卡片A，B，C，卡片除正面图案不同外其余均相同，将三张卡片正面向下洗匀，小明从中随机抽取1张卡片，记下图案并放回，重新洗匀后再从中随机抽取1张．请用画树状图或列表的方法，求小明两次抽出的卡片图案相同的概率． 【答案】小明两次抽出的卡片图案相同的概率为 【解析】 【分析】本题主要考查概率，采用列表或树状图即可求得答案． 【详解】 第一次 第二次 A B C A AA AB AC B BA BB BC C CA CB CC 由列表可知，共有个等可能的结果，其中事件 “两次抽出的卡片图案相同”包含个结果，所以． 答：小明两次抽出的卡片图案相同的概率为． 14. 已知：如图所示，AB，CD是的弦，OC，OD分别交AB于点E，F，且，求证：. 【答案】 证明：如图，过点O作于点M. ， . 同理，. . . 【解析】 【分析】过点O作于点M.由等腰三角形的性质可证，，从而可得，然后根据相等的圆心角所对的弧相等即可求得结论. 【详解】略 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等.也考查了等腰三角形三线合一的性质. 15. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 【答案】10． 【解析】 【分析】设每轮传染中平均每个人传染了x人，那么第一轮有（x+1）人患了流感，第二轮有x（x+1）人被传染，然后根据共有121人患了流感即可列出方程解题． 【详解】解：设每轮传染中平均每个人传染了x人， 依题意得1+x+x（1+x）=121， ∴x=10或x=﹣12（不合题意，舍去）． ∴每轮传染中平均一个人传染了10个人． 【点睛】此题和实际结合比较紧密，准确找到等量关系列出方程是解决问题的关键．此题要注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解． 16. 如图，在的正方形网格中，的三个顶点均在格点上．请你画出符合条件图形，并标明字母． （1）在图1中，画出一个格点与成中心对称； （2）在图2中，画出一个格点与成轴对称图形； （3）在图3中，画出绕着点按顺时针方向旋转后的格点． 【答案】（1） 延长至E点，延长至D，连接，如图， 即为所作； 证明：根据网格图可知：，，，且绕C点旋转后可与重合，即满足要求． （2） 延长至D，连接，如图， 即为所作； 证明：根据网格图可知：，，即，垂直平分， 即与关于轴对称，即满足要求． （3） 取网格点D、E，连接，，，如图， 即为所作； 证明：根据网格图可知：，，， 即有：， ∴是直角三角形，即， 结合图形，即可知：是绕着点按顺时针方向旋转后得到的， 故满足要求． 【解析】 【分析】（1）延长至E点，延长至D，连接，即可作答； （2）延长至D，连接，即可作答； （3）取网格点D、E，连接，，，使得，，，结合旋转的特点即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题主要考查了在网格图中作已知图形的中心对称图形、轴对称图形以及旋转图形的知识，掌握中心对称、轴对称以及旋转的基本性质是解答本题的关键． 17. 如图，，，是上的三点，，，． （1）__________． （2）求阴影部分的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，圆周角定理，扇形面积，解题的关键是熟练掌握圆周角定理； （1）根据圆周角定理可得，求得，进而求得，进而求解的度数； （2）根据扇形面积公式即可求解； 【小问1详解】 解：是所对的圆周角，是所对的圆周角， ， ，， ， ，，， ，， ； 故答案为： 【小问2详解】 解：阴影部分的面积为． 18. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，交轴于，交轴于． （1）求、的值及反比例函数的表达式； （2）将直线向下平移个单位，若直线与反比例函数的图象有唯一交点，求的值． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，求反比例函数解析式，反比例函数与一次函数的交点问题等知识，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）根据函数图象上点的坐标特征，将点，代入一次函数，求出、的值，再将点代入反比例函数，求出，即可得到反比例函数的表达式； （2）先得出直线平移后的解析式，再与反比例函数的解析式联立得出关于的一元二次方程，由直线与反比例函数的图象有唯一交点得出的值，再由即可得出结论． 【小问1详解】 解：由题意可知，点，在一次函数的图象上， ，， ，， ，， 一次函数的图象与反比例函数的图象交于点， ， 反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：直线向下平移个单位， 平移后的函数解析式为， 联立， 整理得：， 直线与反比例函数的图象有唯一交点， ， 解得：或， ， 不符合题意，舍去， ． 19. 如图，为直径，为上一点，过点作的切线，与的延长线交于点． （1）求证：； （2）若，，求的值． 【答案】（1） 证明：连接，如图， 为直径， ， 为的切线， ， ， ，， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练利用相关性质是解题的关键． （1）连接，如图，先利用圆周角定理得到，利用切线的性质得到，再根据等角的余角相等证明，然后利用得到结论； （2）设的半径为，则，证明得到，求得，则设，则，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ， ， ， ， 设，则， 根据勾股定理可得， 解得， ． 20. 3月12日，某中学隆重举行了2025届中考百日誓师大会．学校为学生们搭建了一个拱形的“理想门”，其形状为抛物线．已知拱门的底部宽度为6米（即米），最高点距地面4.5米．如图所示，以为原点，所在的直线为轴建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的表达式； （2）拱门两侧各悬挂一条彩带，书写着“百日拼搏勤砺剑”、“誓师中考勇夺魁”．若彩带、的高为2米，求两条彩带之间的水平距离为多少米？ 【答案】（1） （2）米 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是： （1）设，把点A的坐标代入求解即可； （2）把代入（1）中所求表达式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得：，， 设， 代入，得， ∴， ∴ 【小问2详解】 解：当时，， 解得，， ∴， 答：两条彩带之间的水平距离为米． 21. 综合与实践 在《图形的平移与旋转》回顾与思考课上，李老师出示了如下问题：在中，，点在平面内，连接并将线段绕点逆时针旋转与相等的角度，得到线段，连接． （1）初步探究 如图①，点是边上任意一点，则线段和线段的数量关系是 ； （2）类比探究 如图②，点是平面内任意一点，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．请仅以图②所示的位置关系加以证明（或说明）； （3）延伸探究 如图③，在中，，，，是线段边上的任意一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值． 【答案】（1） （2） 成立，理由如下： ∵旋转， ∴，， ∴，即：， 又∵， ∴， ∴； （3）4 【解析】 【分析】（1）旋转的性质得到，，进而得到，证明，即可得出结论； （2）同法（1）即可得证； （3）延长至点，使，连接，作，根据含30度角的直角三角形的性质，推出，证明，得到，进而得到点的运动轨迹，根据垂线段最短结合含30度角的直角三角形的性质，进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵旋转， ∴，， ∴，即：， 又∵， ∴， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：延长至点，使，连接，作，则：， ∵，， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点在射线上运动， ∵垂线段最短， ∴当点与点重合时，的长最短，为的长， ∵， ∴； 故的最小值为4． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，含30度的直角三角形，垂线段最短，熟练掌握旋转的性质，证明三角形全等，是解题的关键． 22. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为，与y轴交于点，作直线．动点P在x轴上运动，过点P作轴，交抛物线于点M，交直线于点N，设点P的横坐标为m． （1）求抛物线的解析式和直线的解析式： （2）当点P在线段上运动时，连接，求面积的最大值； （3）当时，抛物线的最大值为3，则 ． 【答案】（1）抛物线解析式为，直线解析式为 （2） （3）m的值为3或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质、求直线解析式、二次函数与面积综合等知识点，掌握分类讨论思想以及灵活运用二次函数的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法，将已知点代入抛物线和直线的解析式中求解系数即可；  （2）先用m表示出，然后用含m的式子表示出的面积，再通过二次函数的性质即可求出最大值即可； （3）先将抛物线解析式化为顶点式，然后分情况讨论对称轴与给定区间的位置关系，从而确定最大值的情况，进而求出的m值． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为，与y轴交于点， 将点A，点C的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴抛物线解析式为， 当时，得：， 解得：， ∴B点坐标为， 设直线解析式为，将点B、点C的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴直线BC解析式为． 【小问2详解】 解：∵轴，点P的横坐标为m， ∴， ∵P在线段上运动， ∴M点在N点上方， ∴， ∴， ∴当时，的面积有最大值，最大值为． 【小问3详解】 解：抛物线，其对称轴为直线， ①当，即时，在上，y随x的增大而增大， ∴当时，y有最大值3， ∴， 解得或1（不合题意，舍去）； ②当，即时，在上，y随x的增大而减小， ∴当时，y有最大值3， ∴， 解得（不合题意，舍去）或； ③当，即时，当时，y有最大值，这种情况不存在； 综上所述，m的值为3或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $