精品解析：四川省资阳市雁江区2025-2026学年 上学期九年级数学测评卷 （1月）

2025-2026学年上学期九年级学科测评卷 数学 本卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共6页．全卷满分150分．答题时间120分钟． 注意事项 1．答题前，请学生务必在答题卡上正确填写自己的姓名、学校和编号．答题结束，将试题卷和答题卡一并交回． 2．各学科的选择题，每小题选出的答案须用2B铅笔在答题卡上把对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦净后，再选涂其它答案．答题位置作答；在试卷上作答，答案无效． 第I卷（选择题共40分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 若在实数范围内有意义，则实数的值可以是（ ） A. 3 B. C. 0 D. 1 3. 如图，直线与这三条平行线交于点和点，若，且，则（ ） A. B. C. 6 D. 8 4. 下列成语描述的事件是不可能事件的是（ ） A. 水中捞月 B. 守株待兔 C. 一箭双雕 D. 旭日东升 5. 一元二次方程的解为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，四边形与四边形是以为位似中心的位似图形，若，四边形的周长为12，则四边形的周长为（ ） A. 3 B. 6 C. 24 D. 48 7. 如图，已知在中，点D在边上，那么下列条件中，能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 8. 把方程转化成的形式，则，的值是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 9. 化简的值为（ ） A. B. 1 C. 2025 D. 2026 10. 定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“特根方程”．现有以下三个结论： ①方程是“特根方程”； ②若关于x的一元二次方程是“特根方程”，且方程的两根、满足，则k的值为2或； ③若关于x的一元二次方程是“特根方程”，则m有且只有一个整数解． 这三个结论中判断正确的是（　　） A. ① B. ①② C. ①③ D. ①②③ 第II卷（非选择题共110分） 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 11. 请写一个二次根式___________，使它与是同类二次根式． 12. 在如图所示的电路图中，任意合上一个开关，则小灯泡发亮的概率为___________． 13. 如图，在中，点是的中点，过点作交于点，连接，交于点，若，则___________． 14. 在锐角三角形中，若、满足，则________． 15. 在中，于，且，则________． 16. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为，若将线段绕点O旋转得到线段，则点的坐标为___________． 三、解答题（本小题共8个小题，共86分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 用适当的方法解方程： （1） （2） （3） 18. 已知关于x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围； （2）若k 为符合条件的最小正整数，求该方程的根． 19. 一个数学兴趣小组开展“讲数学家故事”的活动，下面是印有四位中国数学家纪念邮票的卡片A、B、C、D，卡片除图案不同外，其余都相同，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，同学们可以从中随机选取卡片，然后讲述卡片上数学家的故事． （1）小明从中任意选取一张，刚好是祖冲之的概率是________； （2）小红从中随机抽取卡片，抽出1张，不放回再抽出1张，共抽出2张卡片，请用画树状图或表格的方法，求她抽取的两张卡片中刚好有一张是数学家陈景润邮票图片的概率是多少？ 20. 资阳某电商平台销售一种高档柠檬茶，原价每盒元，连续两次降价后每盒元，若每次降价的百分率相同． （1）求每次降价的百分率； （2）若每盒盈利元，每天可售出盒，经市场研究发现，在进货价不变的情况下，电商平台决定采取适当的涨价措施，若每盒涨价元，日销售量将减少盒，现在平台要保证每日盈利元，且要让顾客得到实惠，那么每盒柠檬茶应涨价多少元？ 21. 知识回顾：已知，如图（1）中，点E是边的中点，点F是边的中点，连接．则与的关系为： （用符号语言表达）． 知识应用：已知，如图（2），四边形中，，点M，N分别为，的中点，连接．请猜想线段，，之间的关系，并说明理由． 22. 如图，在和中，若． （1）在下列条件中：①，②；③，任选一个条件，使，并说明理由； （2）在你选的（1）条件下，若，求的长度． 23. 如图，码头位于码头的南偏东方向，，之间的距离为，灯塔在的中点处．轮船甲从出发，沿正南方向航行，轮船乙从出发，沿正东方向航行．当甲航行到处时，乙航行了相同的距离到达处，此时，，，三点恰好在一条直线上．求甲航行的距离．（参考数据：） 24. 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： 【初步感知】 （1）如图1，在正方形中，点分别是上的两点，连接，且．则的值为___________． （2）如图2，在矩形中，，点是边上的一点，连接．当时，则的值为___________． 【类比探究】 （3）如图3，在四边形中，，点为上一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点，若，求的长度； 【拓展延伸】 （4）如图4，在四边形中，，中，，点分别在边上，连接，且．求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期九年级学科测评卷 数学 本卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共6页．全卷满分150分．答题时间120分钟． 注意事项 1．答题前，请学生务必在答题卡上正确填写自己的姓名、学校和编号．答题结束，将试题卷和答题卡一并交回． 2．各学科的选择题，每小题选出的答案须用2B铅笔在答题卡上把对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦净后，再选涂其它答案．答题位置作答；在试卷上作答，答案无效． 第I卷（选择题共40分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，最简二次根式需满足被开方数为整数，且被开方数中不含能开得尽方的因数．根据最简二次根式的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、被开方数为整数，且无平方因子，故为最简二次根式，符合题意； B、 ，含平方因子，故不是最简二次根式，不符合题意； C、被开方数含分母，故不是最简二次根式，不符合题意； D、被开方数不是整数，故不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 2. 若在实数范围内有意义，则实数的值可以是（ ） A. 3 B. C. 0 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式在实数范围内有意义的条件，被开方数必须非负，即，解得． 【详解】解：∵ 在实数范围内有意义， ∴ ， ∴ ． 选项中只有满足条件． 故选：A． 3. 如图，直线与这三条平行线交于点和点，若，且，则（ ） A. B. C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，正确掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 根据平行线分线段成比例得到，进而，求解即可． 【详解】解：，， ， ， ， ，解得， 经检验是方程的解，符合题意； 故选：C． 4. 下列成语描述的事件是不可能事件的是（ ） A. 水中捞月 B. 守株待兔 C. 一箭双雕 D. 旭日东升 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，根据不可能事件的定义（一定不会发生的事件），分析各成语的含义，即可作答． 【详解】解：A、水中捞月：月亮在水中仅为倒影，无法实际捞取，一定不会发生，为不可能事件； B、守株待兔：兔子可能偶然撞树桩，不是不可能事件； C、一箭双雕：可能发生，不是不可能事件； D、旭日东升：太阳从东方升起是必然事件，不是不可能事件； 故选：A． 5. 一元二次方程的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，先把化为一般式，再运用因式分解进行解方程，即可作答． 【详解】∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 或， 故选：A． 6. 如图，四边形与四边形是以为位似中心的位似图形，若，四边形的周长为12，则四边形的周长为（ ） A. 3 B. 6 C. 24 D. 48 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的判定与性质，先由四边形与四边形是以为位似中心的位似图形，得，，故，即，又因为四边形的周长为12，得出四边形的周长，即可作答． 【详解】解：∵四边形与四边形是以为位似中心的位似图形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即， ∵四边形的周长为12， ∴四边形的周长为6， 故选：B． 7. 如图，已知在中，点D在边上，那么下列条件中，能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，掌握“两个角对应相等的两个三角形相似，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”是解本题的关键． 由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可判断B，C，D，由三角形外角的性质可判断A，从而可得答案． 【详解】解：A．根据三角形外角的性质知，故选项A不能判定的相似； B．∵，∴，且不是夹角，由已知条件无法判定两三角形相似故选项B不能判定与相似； C．∵，∴，又，∴，故选项C能判定与相似； D．∵，∴，其中不是与的边，故选项D无法判定与的相似； 故选：C． 8. 把方程转化成的形式，则，的值是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了用配方法解一元二次方程，通过配方法将二次方程转化为完全平方形式，比较系数得出和的值． 【详解】解：， 移项得：， 配方：方程两边同时加 ， ， 即 ， 与 比较，得 , ． 故选：D. 9. 化简的值为（ ） A. B. 1 C. 2025 D. 2026 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，先根据被开方数为非负数得，再化简原式，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 则 ， 故选：B． 10. 定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“特根方程”．现有以下三个结论： ①方程是“特根方程”； ②若关于x的一元二次方程是“特根方程”，且方程的两根、满足，则k的值为2或； ③若关于x的一元二次方程是“特根方程”，则m有且只有一个整数解． 这三个结论中判断正确的是（　　） A. ① B. ①② C. ①③ D. ①②③ 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，根据“特根方程”的定义，需满足两个实数根均负且比值在3到4之间．结论①直接计算验证；结论②通过根与系数关系求k，但需检验是否满足定义；结论③通过分析m的取值范围，确定整数解个数． 【详解】解：对于结论①：解方程得：， 满足，且，符合；∴①正确． 对于结论②：由一元二次方程可得：， 由得，解得． 当时，方程，解得，满足定义； 当时，方程，解得，则有，不满足定义，∴②错误． 对于结论③：方程，判别式， 由题意可知需且根均负，故． 解方程得（时）或（）． 比值，当时，，需，解得，无整数m； 当时，，需，解得，则有整数m仅为，∴③正确． 综上，①③正确； 故选C． 第II卷（非选择题共110分） 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 11. 请写一个二次根式___________，使它与是同类二次根式． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，则它们是同类二次根式，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，是最简二次根式，被开方数为2， 因此只需写出一个被开方数为2的最简二次根式，例如； 故答案为：（答案不唯一） 12. 在如图所示的电路图中，任意合上一个开关，则小灯泡发亮的概率为___________． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】本题考查概率公式，利用概率公式求解即可． 【详解】解：由题意得，四个开关，其中只有一个开关能使得小灯泡发亮， ∴小灯泡发亮的概率为， 故答案为：． 13. 如图，在中，点是的中点，过点作交于点，连接，交于点，若，则___________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查相似三角形性质和判定，根据题意证明，，结合线段中点，以及相似三角形性质得到，进而推出，再将代入等式计算，即可解题． 【详解】解：点是的中点，， ，，， ， ， ， ， 故答案为：． 14. 在锐角三角形中，若、满足，则________． 【答案】##75度 【解析】 【分析】本题主要考查了非负数的性质，特殊角的三角函数值，根据非负数的性质，绝对值和平方项均为零，解得和的值，结合锐角三角形条件确定和，再利用三角形内角和定理求． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， ∴，， ∴． 故答案为：． 15. 在中，于，且，则________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查的求角的正切值．证明，则． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 16. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为，若将线段绕点O旋转得到线段，则点的坐标为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质、勾股定理、直角三角形的性质，点A绕原点O旋转可能为逆时针或顺时针方向，利用旋转的性质得，，再根据直角三角形的性质得，再利用勾股定理求得，进而求解即可． 【详解】解：如图，过点作轴于点B， 若逆时针旋转：由题意得，，， ∴， ∴， ∴， ∴； 若顺时针旋转：，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：或． 三、解答题（本小题共8个小题，共86分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 用适当的方法解方程： （1） （2） （3） 【答案】（1）， （2）， （3）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，（1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可； （3）设，则，再利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：因式分解得，， ∴或 ，； 【小问2详解】 解：移项得，， 因式分解得，， ∴或， ，； 【小问3详解】 解：设，则， 因式分解得，， ∴或， ∴或， 解得，． 18. 已知关于x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围； （2）若k 为符合条件的最小正整数，求该方程的根． 【答案】（1）且 （2）， 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与判别式的关系，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）根据一元二次方程根与判别式的关系，根据判别式大于零列出不等式求解即可； （2）根据k 的取值范围和k 为正整数确定的值，代入方程后求解方程的根． 【小问1详解】 解：判别式且， 解得且； 【小问2详解】 解：根据题意得，k为最小正整数， 则， 方程为 解得，． 19. 一个数学兴趣小组开展“讲数学家故事”的活动，下面是印有四位中国数学家纪念邮票的卡片A、B、C、D，卡片除图案不同外，其余都相同，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，同学们可以从中随机选取卡片，然后讲述卡片上数学家的故事． （1）小明从中任意选取一张，刚好是祖冲之的概率是________； （2）小红从中随机抽取卡片，抽出1张，不放回再抽出1张，共抽出2张卡片，请用画树状图或表格的方法，求她抽取的两张卡片中刚好有一张是数学家陈景润邮票图片的概率是多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了用画树状图法或表格法求概率. （1）根据共4种情况，祖冲之占1种情况求概率即可； （2）列出表格，进而根据概率公式计算即可. 【小问1详解】 解：共4种情况，祖冲之占1种情况， ∴小明从中任意选取一张，刚好是祖冲之的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：列表如下： 第二次 第一次 共有12种等可能的结果，其中她抽取的两张卡片中刚好有一张是数学家陈景润邮票图片的结果有：，共6种， 她抽取的两张卡片中刚好有一张是数学家陈景润邮票图片的概率为． 20. 资阳某电商平台销售一种高档柠檬茶，原价每盒元，连续两次降价后每盒元，若每次降价的百分率相同． （1）求每次降价的百分率； （2）若每盒盈利元，每天可售出盒，经市场研究发现，在进货价不变的情况下，电商平台决定采取适当的涨价措施，若每盒涨价元，日销售量将减少盒，现在平台要保证每日盈利元，且要让顾客得到实惠，那么每盒柠檬茶应涨价多少元？ 【答案】（1）； （2）每盒柠檬茶应涨价元合适． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程应用，根据题意找到等量关系，列出方程是解决问题的关键． （）设每次降价的百分率为，列出方程，然后解方程并检验即可； （）设每盒柠檬茶应涨价元，则每盒盈利元，日销售量为盒，列出方程，然后解方程并检验即可． 【小问1详解】 解：设每次降价的百分率为， 可列方程：， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：求每次降价的百分率为； 【小问2详解】 解：设每盒柠檬茶应涨价元，则每盒盈利元，日销售量为盒， 可列方程：， 解得，， ∵要让顾客得到实惠， ∴符合题意， 答：每盒柠檬茶应涨价元合适． 21. 知识回顾：已知，如图（1）中，点E是边的中点，点F是边的中点，连接．则与的关系为： （用符号语言表达）． 知识应用：已知，如图（2），四边形中，，点M，N分别为，的中点，连接．请猜想线段，，之间的关系，并说明理由． 【答案】知识回顾：，；知识应用：， 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的中位线的性质，掌握以上知识是解题的关键． 知识回顾：根据三角形的中位线的性质可得结论； 知识应用：连接并延长交的延长线于点G，证明，可得，，再结合三角形的中位线的性质可得结论． 【详解】解：知识回顾： ∵点E是边的中点，点F是边的中点， ∴是的中位线， ∴，； 故答案为：，． 知识应用：，，理由如下： 连接并延长交的延长线于点G， ∵， ∴，， ∵N是的中点， ∴， ∴， ∴，， ∵M是的中点，N是的中点， ∴，， ∵， ∴． 22. 如图，在和中，若． （1）在下列条件中：①，②；③，任选一个条件，使，并说明理由； （2）在你选的（1）条件下，若，求的长度． 【答案】（1） 可选②或③，可使得， 选②，，理由如下： ∵， ∴，即， 又∵， ∴， 选③，，理由如下： ∵， ∴，即， ∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，（1）选②：利用等式性质得，再根据相似三角形的判定证明即可；选③：利用等式性质得，再根据相似三角形的判定证明即可； （2）由（1）得，，从而可得，证得，进而求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得，， ， ， ∵， ， ， ，，， ， ； 23. 如图，码头位于码头的南偏东方向，，之间的距离为，灯塔在的中点处．轮船甲从出发，沿正南方向航行，轮船乙从出发，沿正东方向航行．当甲航行到处时，乙航行了相同的距离到达处，此时，，，三点恰好在一条直线上．求甲航行的距离．（参考数据：） 【答案】 【解析】 【分析】延长，交点为，过点作于点，过作交于点．设，根据题意可得，解方程得出答案． 【详解】解：如图，延长，交点为，过点作于点，过作交于点． 由题意得，，，， ，之间的距离为，在的中点处， ， ∵中，， ，， ，为中点， ∴， 为的中点， 即，， 设， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ∴, , ， ， 解得， 答：甲航行的距离约为． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用方向角问题，勾股定理，平行线分线段成比例定理，全等三角形的性质和判定，掌握锐角三角函数的定义，理解方向角的概念是解题的关键． 24. 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： 【初步感知】 （1）如图1，在正方形中，点分别是上的两点，连接，且．则的值为___________． （2）如图2，在矩形中，，点是边上的一点，连接．当时，则的值为___________． 【类比探究】 （3）如图3，在四边形中，，点为上一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点，若，求的长度； 【拓展延伸】 （4）如图4，在四边形中，，中，，点分别在边上，连接，且．求的值． 【答案】（1）1；（2；（3）；（4） 【解析】 【分析】（1）根据“”，易证，得，计算即可求解； （2）根据“”，易证，得，计算即可求解． （3）过点作，交的延长线于点，根据“”，易证，得，从而得，再根据“三个角是直角的四边形是矩形”判定四边形为矩形，求得和，最后利用三角函数，计算即可求解； （4）连接交于点，过点C作于点，根据“”，易证，得，从而垂直平分，进而，根据正切函数和面积相等，求出，，，，最后根据“”，易证，得，计算即可求解． 【详解】解：（1）1； 正方形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：1； （2）； 矩形，， ，，， ， ， ， ， ， ； 故答案为：； （3）（方法不唯一，正确即可得分） 过点作，交的延长线于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形为矩形， ， ， ， 在中，， ， ， （4）连接交于点，过点C作于点， ， 和是直角三角形， ， ， ， 垂直平分， ， 在中，， ，， ， ， ， ， ，， ， ， 在中，， ， ， ， ，， ，，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查矩形和正方形的性质，全等三角形和相似三角形的判定和性质，面积相等求线段长，解直角三角形等，正确掌握相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $