精品解析：海南省儋州市儋州黄冈实验学校2025-2026学年高二上学期1月期末数学试题

儋州黄冈实验学校2025-2026学年高二上学期数学期末试题 考试时间：120分钟 满分：150分 第I卷（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知等差数列中，，，则的值为（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列基本量计算即可求解； 【详解】设等差数列的公差为， 因， 所以， 所以， 故选：B 2. 直线与圆的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交且不过圆心 D. 相交且过圆心 【答案】D 【解析】 【分析】由圆心在直线上，判断直线与圆的位置关系. 【详解】圆的圆心坐标为，圆心在直线上， 所以直线与圆的位置关系是相交且过圆心. 故选：D. 3. 已知空间向量，，若，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量平行的坐标表示求解. 【详解】因为，所以，解得， 故选：A. 4. 已知抛物线的焦点为，点在上，且，则点的横坐标为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，再利用抛物线定义计算即可. 【详解】抛物线的焦点为，，，准线方程：. 设，，. 故选：C. 5. 某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，则恰好选中1名男生和1名女生的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】基本事件总数，两人恰好是1名男生和1名女生包含的基本事件个数，由此能求出两人恰好是1名男生和1名女生的概率． 【详解】从3名男生和2名女生中随机选取2人，基本事件总数， 两人恰好是1名男生和1名女生包含基本事件个数， 则两人恰好是1名男生和1名女生的概率是． 故选：C 6. 双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线标准方程以及渐近线方程可得，即可求出离心率. 【详解】由双曲线可得其渐近线方程为， 因此可得，所以, 即可得离心率为. 故选：A. 7. 已知数列满足，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由递推关系式可知数列是周期为3的周期数列，根据周期可得答案. 【详解】因为， 所以，， ，，， 可得数列是以为周期的周期数列， 则. 故选：A. 8. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，上顶点为A.若是钝角三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据计算离心率的范围. 【详解】因为是钝角三角形，且，所以为钝角， 则，则，则， 则，得， 故椭圆的离心率的取值范围是. 故选：B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若事件与事件互斥，则. B 若事件与事件相互独立，则. C. 直线的倾斜角满足. D. 空间中任意三个向量都可以作为一个基底. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据互斥事件的概率加法公式可得A正确，由独立事件的定义可得B正确，当直线倾斜角为时，此时，不存在，即C错误，若三个向量共面则不能作为一个基底，即D错误. 【详解】对于A，由互斥事件的概率加法公式可得，若事件与事件互斥，则，因此A正确； 对于B，根据独立事件的定义可知：若事件与事件相互独立，则，即B正确； 对于C，当直线的倾斜角时，此时不存在，即C错误； 对于D，只有空间中任意不共面的三个向量才可以作为一个基底，即D错误. 故选：AB 10. 已知曲线C的方程为，其中k为实数，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，曲线C是圆 B. 当时，曲线C是焦点在y轴上的椭圆 C. 当时，曲线C是焦点在轴上的椭圆 D. 当时，曲线C是双曲线 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据双曲线、椭圆、圆的标准方程逐一判断. 【详解】当时，曲线C的方程为，故曲线C是圆，故A正确； 当时，且曲线C的方程为， 故曲线是焦点在y轴上的椭圆，故B正确； 当时，且曲线的方程为， 故曲线是焦点在轴上的椭圆，故C错误； 当时，曲线的方程为，故曲线C是双曲线，故D正确； 故选：ABD 11. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过作圆：的一条切线，切点为，且在第一象限，则下列说法正确的是（ ） A. 切点在双曲线C的一条渐近线上 B. 的面积为 C. 直线的斜率为 D. 若，则双曲线C的离心率 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用圆的切线性质（切点在圆上且满足垂直关系）和双曲线的参数关系求出切点的坐标，再逐一验证各选项涉及到的几何性质（渐近线、三角形面积、斜率、离心率）是否成立. 【详解】因为双曲线C：的左、右焦点分别为，， 所以，，其中， 又因为圆：的一条切线，切点为，且在第一象限， 所以设，由切线性质可得，且， 则，且，，即， 进一步化简得，，并将代入计算可得，， 并将代入可得，故， 所以在A选项中，双曲渐近线为，将代入，则，成立，故在渐近线为，所以A选项正确， 在B选项中，的顶点为，，， 面积，所以B选项正确， 在C选项中，直线的斜率， 由于可得，所以，而选项C为， 所以C错误， 在D选项中，由可知，为直角三角形，为直角， 若，则， 在直角三角形中，，得， 又由勾股定理，即，所以， 离心率，所以D正确. 故选：ABD. 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线过点，且其方向向量为，则直线的一般式方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据直线的方向向量求其斜率，写出点斜式方程化为一般式. 【详解】因为直线的方向向量为，所以其斜率， 又直线过点，所以直线方程为， 整理得. 故答案为：. 13. 已知空间三点，，，则向量在向量上的投影向量的模为______. 【答案】0 【解析】 【分析】先求得和的坐标，再根据投影向量的模的公式求解即可. 【详解】空间三点，，， 则有，，， 所以，向量在向量上的投影向量的模为0. 故答案为：0 14. 已知直线：和圆C：，点P是直线上的一动点，过点P作圆C的切线，切点为T，则线段长度的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据圆的切线性质，将切线长转化为与圆心到点距离相关的表达式，再利用点到直线的距离公式求出圆心到直线上点的最小距离，进而求得切线长的最小值. 【详解】根据圆的切线性质可知，，在中，由勾股定理可得， 已知圆的方程为，则半径，所以， 要使最小，则需最小，所以的最小值为圆心到直线的距离， 根据点到直线的距离公式可得：， 将代入，可得， 因此，线段长度的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列满足，且. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的基本量计算求出，从而求出其通项公式； （2）利用裂项相消法求数列的前项和即可. 【小问1详解】 已知 ，根据通项公式可得 ， 则 ，解得 ， 所以 【小问2详解】 由（1）知 ，则 ， 所以 . ， 因此，数列 的前 项和 . 16. 某学校组织“强基计划”数学选拔考试，甲、乙两名同学参加.考试由两轮组成，第一轮合格才能进入第二轮.已知甲在第一轮、第二轮合格概率分别为，；乙在第一轮、第二轮合格的概率分别为，.假设甲、乙两人的考试结果互不影响. （1）求甲同学最终通过选拔（两轮均合格）的概率； （2）求甲、乙两人中至少有一人通过选拔的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）因为两轮考试相互独立，利用相互独立事件直接求解即可； （2）先求出乙同学最终不通过的概率为，甲同学最终不通过选拔的概率为，则甲、乙最终都不通过的概率为，所以甲、乙两人中至少有一人通过选拔的概率为. 【小问1详解】 记甲同学最终通过选拔为事件, 因为两轮考试相互独立，所以甲同学最终通过选拔的概率为: . 【小问2详解】 记乙同学最终通过选拔为事件，则乙同学最终通过的概率为， 所以乙同学最终不通过的概率为； 甲同学最终不通过选拔的概率为: . 所以甲、乙都不通过的概率为 所以甲、乙两人中至少有一人通过选拔的概率为. 17. 如图，在直三棱柱中，，，，D为的中点. （1）求证：平面； （2）建立空间直角坐标系，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明， （2）建立空间直角坐标系，求出的坐标以及平面的法向量，从而求出直线与平面所成角的正弦值， 【小问1详解】 因为在直三棱柱中，所以侧棱垂直于底面， 所以平面，因为平面，所以， 又因为，所以， ,,， 所以. 【小问2详解】 以为原点，CA为轴，CB为轴，为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 因为，，D为的中点.， 所以， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以， 设直线与平面所成的角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为. 18. 已知椭圆：的离心率为，且过点. （1）求椭圆的方程； （2）设直线与椭圆交于A，B两点，若线段的中点为，求直线的方程及线段的长度. 【答案】（1）； （2）直线的方程；. 【解析】 【分析】（1）利用给定的离心率及所过的点列出方程组求出即可. （2）用点差法求直线斜率，进而利用点斜式直线方程求解，最后再结合韦达定理求解弦长. 【小问1详解】 由椭圆：的离心率为， 得，则， 由椭圆过点，得，解得， 所以椭圆的标准方程是. 【小问2详解】 设交点坐标，，， 因为线段中点为，所以，. 因为，两式相减得， 又因为，可得，即， 所以直线AB的方程为，即. 联立方程，消去y得， 可得，，， 所以. 19. 已知抛物线：经过点. （1）求抛物线的方程； （2）设点A，B是抛物线上异于点P的两个动点，且满足直线与的斜率之和为2.证明：直线过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】（1） （2）证明见解析， 【解析】 【分析】（1）将点的坐标代入抛物线方程，求出的值，即可得出抛物线的方程； （2）设直线方程为，将其与抛物线方程联立，设，由直线的斜率与直线的斜率之和为2，结合韦达定理可得，然后可证明结论. 【小问1详解】 因为抛物线：经过点， 所以，解得， 所以抛物线的方程为； 【小问2详解】 设，直线的方程为， 所以， 联立，消去并化简得：， 所以，， 所以， 即，所以， 即，所以， 所以，所以， 所以直线的方程为， 所以直线过定点，该点坐标为， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 儋州黄冈实验学校2025-2026学年高二上学期数学期末试题 考试时间：120分钟 满分：150分 第I卷（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知等差数列中，，，则的值为（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 5 2. 直线与圆的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交且不过圆心 D. 相交且过圆心 3. 已知空间向量，，若，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 4. 已知抛物线的焦点为，点在上，且，则点的横坐标为（ ） A 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，则恰好选中1名男生和1名女生的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列满足，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 8. 已知椭圆：左、右焦点分别为，，上顶点为A.若是钝角三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确是（ ） A. 若事件与事件互斥，则. B. 若事件与事件相互独立，则. C. 直线的倾斜角满足. D. 空间中任意三个向量都可以作为一个基底. 10. 已知曲线C的方程为，其中k为实数，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，曲线C是圆 B. 当时，曲线C是焦点在y轴上的椭圆 C. 当时，曲线C是焦点在轴上的椭圆 D. 当时，曲线C是双曲线 11. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过作圆：的一条切线，切点为，且在第一象限，则下列说法正确的是（ ） A. 切点在双曲线C的一条渐近线上 B. 的面积为 C. 直线的斜率为 D. 若，则双曲线C离心率 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线过点，且其方向向量为，则直线的一般式方程为______. 13. 已知空间三点，，，则向量在向量上的投影向量的模为______. 14. 已知直线：和圆C：，点P是直线上的一动点，过点P作圆C的切线，切点为T，则线段长度的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列满足，且. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项和. 16. 某学校组织“强基计划”数学选拔考试，甲、乙两名同学参加.考试由两轮组成，第一轮合格才能进入第二轮.已知甲在第一轮、第二轮合格的概率分别为，；乙在第一轮、第二轮合格的概率分别为，.假设甲、乙两人的考试结果互不影响. （1）求甲同学最终通过选拔（两轮均合格）的概率； （2）求甲、乙两人中至少有一人通过选拔的概率. 17. 如图，在直三棱柱中，，，，D为中点. （1）求证：平面； （2）建立空间直角坐标系，求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知椭圆：的离心率为，且过点. （1）求椭圆的方程； （2）设直线与椭圆交于A，B两点，若线段的中点为，求直线的方程及线段的长度. 19. 已知抛物线：经过点. （1）求抛物线的方程； （2）设点A，B是抛物线上异于点P的两个动点，且满足直线与的斜率之和为2.证明：直线过定点，并求出该定点的坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $