精品解析：四川省绵阳市江油市2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

2025年秋季九年级期末教育质量测试 数学试题 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卷两部分．试题卷4页，答题卡6页； 2．答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上； 3．选择题答案使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题答案使用0.5毫米的黑色墨迹签字笔书写在答题卡的对应框内，交卷时只交答题卡． 第Ⅰ卷 （选择题，共36分） 一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分，每小题只有一个符合题目要求． 1. 方程的解是( ) A. B. C. D. 2. 剪纸起源于中国，最早出现在汉代．下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. “经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”属于（ ） A. 确定性事件 B. 随机事件 C. 不可能事件 D. 必然事件 4. 如图，点A，B，C在上，若．则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，菱形的顶点O在坐标原点，顶点A在x轴上，，将菱形绕原点顺时针旋转至的位置，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的最大整数值是（ ）. A. B. C. D. 8. 将分别标有“传”“承”“李”“白”“文”“化”汉字的6张卡片放在一个不透明盒子中，这些卡片除汉字不同外其余均无差别，随机抽出其中两张，抽出的卡片上汉字为“文”“化”的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积是（ ） A. B. C. D. 10. 已知在函数上有点，点，则关于，的大小判断正确的是（ ） A. B. C. D. 无法确定 11. 如图，的直径，，在上，且，与相交于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，抛物线与轴交于点，，交轴的正半轴于点，对称轴交抛物线于点，交轴于点，则下列结论：①；②；③；④的面积等于，其中正确的有（ ） A 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第Ⅱ卷 （非选择题，共114分） 二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分，将答案填写在答题卡相应的横线上． 13. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称点Q的坐标为__________． 14. 元旦节时，某学习小组每两人之间互送贺卡一张，已知全组共送贺卡132张，则该学习小组有________人． 15. 如图，四边形中的两条对角线，互相垂直，，当为______时．四边形的面积最大． 16. 二维码在日常生活中被广泛应用，某同学将如图所示“数学学习问卷”二维码打印在纸上，恰为正方形；该同学在计算机中利用软件进行多次随机投点模拟实验，发现点落在二维码图形黑色阴影的频率稳定在左右，据此估计打印的二维码图形黑色阴影面积为________． 17. 如图，经过等腰三边的中点、、，并与两腰、分别相交于点、，若，则________． 18. 如图，正方形中，，是边上一个动点，以为直径的圆与相交于点，为上另一个动点，连接，，则的最小值是________． 三、解答题：本大题共7个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. （1）解方程：； （2）已知一元二次方程的两个根分别是方程两个根的2倍，求与的值． 20. 一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，求下列事件的概率： （1）两次取出小球的标号相同； （2）两次取出小球的标号的和大于4． 21. 在中，，，将绕点逆时针旋转，得到，交于点，连接． （1）求证：； （2）求的值． 22. 某商场销售一种进价为元千克水产品，经过一段时间的销售发现日销量（千克）与售价（元）有如图所示关系（商场规定销售利润率不得超过%）： （1）根据图象，直接写出与之间的函数关系式； （2）要想获得每天元的销售利润，售价应定为多少？ （3）该水产品售价定为多少时，每天获得销售利润最大？最大利润为多少？ 23. 如图，是的外接圆，，，，． （1）求圆心到的距离； （2）求的长． 24. 在中，，是的平分线，点是上一点，经过点，，交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 25. 如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，连接．点是抛物线在第一象限上的动点，点是线段上的动点． （1）直接写出、、三点及抛物线顶点的坐标； （2）若轴，求最大值； （3）若直线与抛物线有唯一公共点，当直线时，求点所处位置． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季九年级期末教育质量测试 数学试题 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卷两部分．试题卷4页，答题卡6页； 2．答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上； 3．选择题答案使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题答案使用0.5毫米的黑色墨迹签字笔书写在答题卡的对应框内，交卷时只交答题卡． 第Ⅰ卷 （选择题，共36分） 一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分，每小题只有一个符合题目要求． 1. 方程的解是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程．先移项，然后直接开平方法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 故选：C． 2. 剪纸起源于中国，最早出现在汉代．下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意； B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意； C．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意． 故选：A． 3. “经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”属于（ ） A. 确定性事件 B. 随机事件 C. 不可能事件 D. 必然事件 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类．交通信号灯的变化具有随机性，遇到红灯可能发生也可能不发生，因此该事件属于随机事件． 【详解】解：∵交通信号灯的变化是随机的， ∴经过路口时可能遇到红灯，也可能遇到绿灯或其他信号， ∴该事件是随机事件． 故选：B． 4. 如图，点A，B，C在上，若．则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】考查了圆周角定理，理解定理是关键．根据同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，由已知圆周角的度数，即可求出所求圆心角的度数． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 5. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了抛物线顶点坐标的求解，解题的关键是掌握抛物线形式的顶点坐标公式．根据抛物线的顶点坐标为，直接代入题目中的解析式求解． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：B． 6. 如图，菱形的顶点O在坐标原点，顶点A在x轴上，，将菱形绕原点顺时针旋转至的位置，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理， 连接，作，根据菱形的性质可知是等边三角形，进而说明，然后根据勾股定理求出，则此题可解． 【详解】解：连接，过点作于点E， 根据题意可知， ∵四边形是菱形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 根据勾股定理，得， 解得， ∴点的坐标是． 故选：A． 7. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的最大整数值是（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式．熟悉一元二次方程根与判别式的关系，确定系数的取值范围，是解题的关键． 根据一元二次方程根的判别式，时方程有实数根，求解的范围后取最大整数． 【详解】解：∵方程有实数根， ∴， ∴，即， ∵， ∴的最大整数值为； 故选：C． 8. 将分别标有“传”“承”“李”“白”“文”“化”汉字的6张卡片放在一个不透明盒子中，这些卡片除汉字不同外其余均无差别，随机抽出其中两张，抽出的卡片上汉字为“文”“化”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查利用列表法求概率，根据题意列表得出所有等可能的结果数，再找出抽出的卡片上汉字为“文”“化”的结果数，然后根据概率公式求解． 详解】解：列表如下： 传 承 李 白 文 化 传 承，传 李，传 白，传 文，传 化，传 承 传，承 李，承 白，承 文，承 化，承 李 传，李 承，李 白，李 文，李 化，李 白 传，白 承，白 李，白 文，白 化，白 文 传，文 承，文 李，文 白，文 化，文 化 传，化 承，化 李，化 白，化 文，化 共有30种等可能的结果数，其中两次抽出的卡片上汉字为“文”“化”的结果数为2， ∴抽出的卡片上汉字为“文”“化”的概率为． 故选：B． 9. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由圆锥的侧面积公式求解即可. 【详解】S=πrl=3×5π=15πcm2. 故选D. 【点睛】本题主要考查圆锥的侧面积公式. 10. 已知在函数上有点，点，则关于，的大小判断正确的是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质；先根据二次函数的解析式得出对称轴为直线，开口向上，进而根据二次函数的性质求解即可得． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线，抛物线的开口向上， ∴当时，随的增大而减小， 又∵二次函数上有点，点，， ， 故选：A． 11. 如图，的直径，，在上，且，与相交于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆的基本性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质．连接，证明四边形是菱形，进而得到，，再由，可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接，设交于点， ∵且， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴ ∴是等边三角形，四边形是菱形 ∴，， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D 12. 如图，抛物线与轴交于点，，交轴的正半轴于点，对称轴交抛物线于点，交轴于点，则下列结论：①；②；③；④的面积等于，其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，结合函数图象，根据抛物线的开口方向，对称轴，与轴的交点坐标，与轴的交点，逐一判断各结论，即可得到结果．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：抛物线与轴交于点，， 抛物线的对称轴为直线， ， ， ， 故结论①正确，符合题意； 抛物线图象开口向下，与轴的正半轴相交， ，， ， ， ， 故结论②错误，不符合题意； 抛物线与轴交于点， 当时，，即， ， ， ， 故结论③错误，不符合题意； 抛物线与轴交于点，， ， ①②得：， ， ， ， ， ， 故结论④正确，符合题意； 综上所述，正确的结论有①④，为2个， 故选：B． 第Ⅱ卷 （非选择题，共114分） 二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分，将答案填写在答题卡相应的横线上． 13. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点Q的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标，根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答． 【详解】解：点关于原点对称的点Q的坐标为． 故答案为：． 14. 元旦节时，某学习小组每两人之间互送贺卡一张，已知全组共送贺卡132张，则该学习小组有________人． 【答案】 12 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，根据每个人送出张贺卡建立方程是解题的关键．设这个小组有x个人，则每个人送出张贺卡，再根据全组共送贺卡132张建立方程求解即可． 【详解】解：设这个小组有x个人， 由题意得： 解得（舍去）， ∴这个小组有12人 故答案为：12． 15. 如图，四边形中的两条对角线，互相垂直，，当为______时．四边形的面积最大． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知设四边形面积为，为，则，进而求出，再求出最值即可． 【详解】解：设，四边形面积为，则， 则：， ， 有最大值， 当时，四边形的面积最大， 即当时，四边形面积最大， 故答案为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，根据已知正确得出二次函数关系是解题关键． 16. 二维码在日常生活中被广泛应用，某同学将如图所示“数学学习问卷”二维码打印在纸上，恰为的正方形；该同学在计算机中利用软件进行多次随机投点模拟实验，发现点落在二维码图形黑色阴影的频率稳定在左右，据此估计打印的二维码图形黑色阴影面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，几何概率，掌握其相关知识点是解题的关键．可以用频率的集中趋势来估计概率．用正方形的面积乘以点落在区域内黑色部分的频率稳定值即可． 【详解】解：根据题意，估计这个区域内黑色部分总面积约为， 故答案为：． 17. 如图，经过等腰三边的中点、、，并与两腰、分别相交于点、，若，则________． 【答案】##度 【解析】 【分析】连接，证明四边形是菱形，进而可得，，根据，，求得，进而根据三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接 ∵等腰中，， ∴， ∵点、、分别为三边的中点 ∴， ∴ ∴四边形是菱形，则 ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，中位线的性质，菱形的性质与判定，同弧所对的圆周角相等，三角形内角和定理的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． 18. 如图，正方形中，，是边上一个动点，以为直径的圆与相交于点，为上另一个动点，连接，，则的最小值是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了轴对称——最短路线问题，正方形的性质，勾股定理，圆周角定理，解题的关键是找出定点和动点，以及动点在什么图形上运动．中，A点是定点，P，Q是动点，P在线段上，想到将军饮马，Q在以为直径的圆上，最终转化为点圆最值问题． 【详解】解：连接，以为一条边在右侧作正方形，如图所示： 则， ∴， ∴点Q在以为直径的圆上运动， 即点Q在上， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴当最小时，最小， ∴当E、P、Q、O在同一直线上时，最小，且最小值为， ∵， ∴O、C、F在同一直线上， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 三、解答题：本大题共7个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. （1）解方程：； （2）已知一元二次方程的两个根分别是方程两个根的2倍，求与的值． 【答案】（1），；（2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）运用公式法求解即可； （2）解方程得，，由题意可得一元二次方程的两个根分别是，，再根据根与系数的关系即可求解． 【详解】解：（1）， ∵，，， ∴， ∴， ∴，． （2）解方程得或， ∵一元二次方程的两个根分别是方程两个根的2倍， ∴一元二次方程的两个根分别是，4， ∴根据根与系数的关系可得，， ∴，． 20. 一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，求下列事件的概率： （1）两次取出小球的标号相同； （2）两次取出小球的标号的和大于4． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了列表法求概率，根据题意列出表格，熟练掌握概率公式是解题的关键． （1）先根据题意列表，再利用概率公式即可求解； （2）结合（1）的表格和概率公式即可求解． 【小问1详解】 解：列表得： 1 2 3 4 1 2 3 4 由表可得，共有16种等可能情况，两次取出的小球的标号相同有4种， 两次取出的小球的标号相同的概率为：． 【小问2详解】 解：由（1）表格可得，所有可能情况有16种，两次取出的小球标号的和大于4的有，，，，，，，，，，共10种情况， 两次取出的小球的标号和大于4的概率为：． 21. 在中，，，将绕点逆时针旋转，得到，交于点，连接． （1）求证：； （2）求的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，含度角的直角三角形的性质，勾股定理． （1）连接，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理得出，根据旋转的性质得出是等边三角形，，进而证明垂直平分，得出，根据等角对等边，即可得证； （2）连接，同理可得是等边三角形，进而证明垂直平分，则，在上取一点，使得进而得出，根据含度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，进而可得，再求比值，即可求解． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵在中，，， ∴ ∵将绕点逆时针旋转，得到， ∴，，， ∴是等边三角形，， ∴， 又∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，连接，在上取一点，使得 同理可得是等边三角形， ∴， ∵， ∴垂直平分，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴中，， ∴， ∴． 22. 某商场销售一种进价为元千克的水产品，经过一段时间的销售发现日销量（千克）与售价（元）有如图所示关系（商场规定销售利润率不得超过%）： （1）根据图象，直接写出与之间的函数关系式； （2）要想获得每天元销售利润，售价应定为多少？ （3）该水产品售价定为多少时，每天获得销售利润最大？最大利润为多少？ 【答案】（1） （2）销售单价应定为元千克 （3）销售单价为元千克时，每天获得的利润最大，最大利润是元． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和二次函数在实际问题中的应用，一元二次方程的应用. （1）设，将点，代入即可求出与的函数关系式； （2）由题意得：利润=（售价-进价）×销量，根据等量关系列方程，即可求解． （3）设每天获得的利润为元，由题意得与的二次函数关系式，根据二次函数的性质及的取值范围作答即可． 【小问1详解】 解：设（，为常数）将点，代入 得， 解得， 与的函数关系式为：； 【小问2详解】 解：由题意得：，化简得：， 解得：，， ∵， ∴， ∵， ∴（舍去）， 答：销售单价应定为元千克； 【小问3详解】 解：设每天获得的利润为元，由题意得， ∵，抛物线开口向下， ∴当时，随增大而增大， ∵， ∴当时，， 答：销售单价为元千克时，每天获得的利润最大，最大利润是元． 23. 如图，是的外接圆，，，，． （1）求圆心到的距离； （2）求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理，圆周角定理，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半． （1）过点作于点，根据圆周角定理可得，进而根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解； （2）连接，过点作于点，则四边形是矩形，得出，勾股定理求得，进而根据，即可求解． 小问1详解】 解：如图所示，过点作于点， ∵， ∴， ∵ ∴是等腰直角三角形， ∵ ∴； 【小问2详解】 解：如图所示，连接，过点作于点，则四边形矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴． 24. 在中，，是的平分线，点是上一点，经过点，，交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查切线的判定和性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定． （1）根据等腰三角形的性质以及角平分线的定义得出，进而，又，即，得到，根据切线的判定方法即可得出结论； （2）勾股定理求得，设的半径为，则，证明，根据相似三角形的性质，列方程求解即可． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵， ∴， 又∵是的平分线，即， ∴， ∴， ∵， 即 ∴ ∵是的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：∵在中，，，， ∴， 设的半径为，则 ∵ ∴ ∴ ∴ 解得：， 即半径为． 25. 如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，连接．点是抛物线在第一象限上的动点，点是线段上的动点． （1）直接写出、、三点及抛物线顶点的坐标； （2）若轴，求的最大值； （3）若直线与抛物线有唯一公共点，当直线时，求点所处位置． 【答案】（1），， （2）的最大值为 （3）的坐标为 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，线段的最值问题，一次函数的平移，一次函数图象与二次函数图象交点问题． （1）分别令，解方程即可求解； （2）先求得直线的解析式为，设则，进而得出的解析式，根据二次函数的性质求得最值，即可求解； （3）设直线的解析式为，联立抛物线解析式，根据直线与抛物线有唯一公共点，得出，得出直线的解析式为，联立抛物线解析式，即可求解． 【小问1详解】 解：当时，，则， 当时，， 解得：， ∴，； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为，代入，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为． 设， ∵轴， ∴， ∴， ∴的最大值为． 【小问3详解】 解：∵直线， 设直线的解析式为， 联立， 消去得，， 即， ∵直线与抛物线有唯一公共点， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为． 联立， 解得：， ∴的纵坐标为， ∴的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $