精品解析：山东省济南实验初级中学2025-2026学年上学期1月月考九年级数学试题

济南实验初级中学九年级月考数学试题 2026.1 一、选择题 1. 古代粮仓等必备的粮食量器——米斗，因陶渊明“不为五斗米折腰”的典故而广为人知．如图1，这是一种无盖米斗，其示意图（不计厚度）如图2所示，则其俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了几何体三视图，正确识别几何体的三视图是解题的关键. 根据米斗的示意图，即可得到米斗的俯视图. 【详解】解：米斗的示意图如图所示， 米斗的俯视图为 故选：A. 2. 大自然是美的设计师，如图是一片银杏叶，点是线段AB的黄金分割点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割．把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项（即），叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，其中． 根据黄金分割的定义得到，然后把的长度代入可求出的长． 【详解】解：∵为的黄金分割点， 故选：B． 3. 如图，已知与的相似比为，若的面积为，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解本题的关键．由与相似，利用相似三角形面积之比等于相似比，求出两三角形面积之比，即可求出与四边形的面积比，即可解答． 【详解】解：∵，且相似比为， ∴， ∵， ∴， ∵的面积为， ∴， 故选：B． 4. 如图，小树在路灯的照射下形成投影．若这棵树高，树影，树与路灯的水平距离，则路灯的高度为（ ） A. B. C. D. 6m 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 先求解，再根据相似三角形的判定证出，然后利用相似三角形的性质求解即可得． 【详解】解：， 由题意得：，， ， ， ， ． 故选B． 5. 已知点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数的性质得到函数的图象分布在第二、四象限，在每一象限，y随x的增大而增大，结合三点的横坐标即可求解，掌握反比例函数图象的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴函数的图象分布在第二、四象限，在每一象限，y随x的增大而增大， ∵， ∴ ∴， 故选：C． 6. 反比例函数的图象如图所示，轴，若的面积为5，则k的值为（ ） A. 10 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，连接，推导出 ，然后根据反比例函数性质的几何意义即可求得． 【详解】解：连接，   ∵轴， ， ∴， ， ∵反比例函数的图象在第二象限， ∴， ， 故选B． 7. 如图，四边形内接于，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质和圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．根据圆内接四边形的性质求出的度数，根据圆周角定理计算即可． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， 由圆周角定理得，， 故选：C． 8. 如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于A、B两点，点A的横坐标为．当时，的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查由函数图像解不等式，熟练掌握不等式与函数图像的关系是解决问题的关键．根据不等式与函数图像的关系，当时，的取值范围是指反比例函数在一次函数上方图像对应的的取值范围，数形结合即可得到答案． 【详解】解：由图可知，正比例函数的图像与反比例函数的图像相交于两点，点的横坐标为， ∴点的横坐标为， 当或时，有反比例函数图像在一次函数图像上方， 即当时，的取值范围是或， 故选：C． 9. 直线与抛物线在同一坐标系里的大致图象正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象．根据题意和各个选项中的函数图象，可以得到一次函数中和的正负情况和二次函数图象中的正负情况，然后即可判断哪个选项中的图象符合题意，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：由一次函数的图象可知，， 则抛物线与轴的交点在原点上方，故排除AB选项； ∵，， ∴， ∴抛物线的对称轴直线， 即对称轴位于轴左侧，故C选项不符合题意，D选项符合题意； 故选：D． 10. 如图，拋物线（为常数）交轴于点，与轴的一个交点在和之间，顶点为． 抛物线与直线有且只有一个交点； 若点、点、点在该函数图象上，则； 将该拋物线向左平移个单位，再向下平移个单位，所得抛物线解析式为； 点关于直线的对称点为，点、分别在轴和轴上，当时，四边形周长的最小值为． 其中正确的判断有（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与坐标轴的交点、通过轴对称求线段和的最小值，把代入中，判断所得一元二次方程的根的情况便可判断；由得对称轴为直线，，则抛物线上的点离对称轴越远，的值越小，便可判断；根据平移的规律求出平移后的解析式便可；因边一定，只要其他三边和最小便可，作点关于轴的对称点，作点关于轴的对称点，连接，与轴、轴分别交于点，求出. 便是其他三边和的最小值，掌握知识点的应用的关键． 【详解】解：由抛物线与直线得：， ∴， 则， ∴抛物线与直线有且只有一个交点，故正确； 由得对称轴为直线，， ∴抛物线上的点离对称轴越远，的值越小， ∵，，， ∴， ∴，故正确； 由拋物线， ∵该拋物线向左平移个单位，再向下平移个单位， ∴平移后的解析式为，故正确； 当时，抛物线的解析式为， ∴，，， 作点关于轴的对称点，作点关于轴的对称点，连接，与轴、轴分别交于点，如图， 则，根据两点之间线段最短，知最短，而的长度一定， ∴此时，四边形周长最小，为：， 故结论不正确； 综上所述，正确的结论是， 故选：． 二、填空题 11. 在一个不透明的盒子里装有个黄色乒乓球和若干个白色乒乓球，搅匀后从中任意摸出一个球记下颜色再把它放回盒子中，不断重复实验，统计结果显示，随着实验次数越来越大，摸到黄色乒乓球的频率稳定在左右，则估计盒子中大约有______个白色乒乓球． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，掌握频率和概率的关系是解题的关键．设白色乒乓球有个，则总球数为个，根据题意列出方程即可求解． 【详解】解：设白色乒乓球有个，则总球数为个， 由题意得， ， 解得， 经检验是原方程的解， ∴估计盒子中大约有个白色乒乓球， 故答案为：． 12. 如图，，直线、与三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．已知，，，则的长为_______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，关键是根据定理得到比例式；根据平行线分线段成比例定理得，将，，代入比例式中进行计算，得出，即可求出结论． 【详解】解：∵， ， ，，， ， ， ， 故答案为：5． 13. 如图，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则cos∠AOB的值是_____． 【答案】 【解析】 【详解】连接AB， ∴△AOB是等腰直角三角形,即 故答案为 14. 如图，半圆的直径为4，将半圆绕点顺时针旋转得到半圆，与交于点，则图中阴影部分的面积为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了扇形的面积，旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握圆的性质以及旋转的性质是解题关键．先求出半圆的面积，由旋转的性质可知，，结合等边对等角的性质，得出，从而求出的面积和，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 半圆的直径为4， 半圆的面积为， 由旋转的性质可知，， ， ， ， 扇形的面积为，， 图中阴影部分的面积半圆的面积扇形的面积 故答案为：． 15. 如图，正方形中，，M是边上一个动点，以为直径的圆与相交于点Q，P为上另一个动点，连接，，则的最小值是 ___________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系，轴对称，正方形的性质，圆的有关知识，勾股定理． 连接，以为一条边在右侧作正方形，由是直径可得，从而，因此点Q在以为直径的上运动．易证，得到，从而根据三角形的三边关系有，而，利用正方形的性质和勾股定理即可求得的长，从而解决问题． 【详解】连接，以为一条边在右侧作正方形， ∵是直径， ∴， ∴， ∴点Q在以为直径的圆上运动，设该圆为． ∵四边形和四边形是边长相等的正方形， ∴，， ∵ ∴， ∴ 连接，，，交于点N， ∴， ∵， ∴， ∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的最小值为． 故答案为： 三、解答题 16. 计算：． 【答案】2 【解析】 【分析】此题考查了算术平方根，特殊角的三角函数值，零指数幂，绝对值和负整数指数幂，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先计算算术平方根，特殊角的三角函数值，零指数幂，绝对值和负整数指数幂，然后计算即可． 【详解】解： ． 17. 如图，已知于C，于E，，，，． （1）求证：． （2）求线段的长． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理． （1）根据，得到，根据得到，即可证明； （2）根据勾股定理得到，根据得到，即可求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）画出向上平移1个单位，再向左平移2个单位后得到的；可以求得的面积是_______． （2）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出的位似图形，使它与的相似比为，点坐标是_______． （3）判断和是位似图形吗？若是，请直接写出位似中心M的坐标；若不是，请说明理由． 【答案】（1） 如图所示，即为所求图形； （2）如图所示，即为所求图形， （3）和是位似图形，位似中心坐标为 【解析】 【分析】本题主要考查图形的平移，位似作图，确定位似中心，掌握平移，位似图形的性质是关键． （1）根据平移的性质作图，根据割补法求面积即可； （2）根据位似的性质，延长，由结合位似比得到，连接各点即可作图； （3）根据题意，连接，并延长交于一点，这个点即为位似中心，由此即可求解． 【小问1详解】 ． 故答案为：； 【小问2详解】 ∵， ∴，即； 故答案为：； 【小问3详解】 解：和是位似图形，理由如下， 如图所示，连接，并延长交于一点， ∴这个点即为位似中心，坐标为． 19. “爱你老己”是2025年底流行的网络热梗，“爱你老己”是“爱你自己”的意思，称自己为“老己”，仿佛在与一位相识多年的老朋友对话，亲切又幽默．九年级学生小明选用材质、颜色、大小均相同的四张卡片，分别将“爱”、“你”、“老”、“己”四个字书写在上面，并背面朝上反扣在桌上． （1）小明随机在四张卡片中抽取一张，求小明抽取到写有“爱”字卡片的概率． （2）小明随机在四张卡片中抽取两张，请用树状图或者表格分析，能凑成“老己”这个词的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）根据概率公式直接得出答案； （2）根据题意，列出表格，可得一共有12种等可能结果，其中能凑成“老己”这个词的有2种，再根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：根据题意得：小明抽取到写有“爱”字卡片的概率为； 【小问2详解】 解：根据题意，列出表格，如下： 爱 你 老 己 爱 你、爱 老、爱 己、爱 你 爱、你 老、你 己、你 老 爱、老 你、老 己、老 己 爱、己 你、己 老、己 一共有12种等可能结果，其中能凑成“老己”这个词的有2种， 所以能凑成“老己”这个词的概率． 20. 如图，为的直径，C为 上一点，连接，，过点C的直线与相切，与延长线交于点D，点F为上一点，且，，连接并延长交射线于点E． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图所示，连接， ， ， ， ， ， ， 为的切线， ， ． （2） 【解析】 【分析】（1）如图所示，连接，可证，根据为的切线，，即可求证； （2）根据（1）中，设的半径为，可证，可算出的半径，再根据三角形相似即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， 设，则， ， 设的半径为，则， 由（1）可知，， ， ， ， ， ∴的半径为 3 ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查圆与三角形的综合，涉及相似三角形的性质和判定，切线的性质和判定，圆周角定理，等腰三角形的性质，掌握圆的切线的性质，三角形相似的判定和性质是解题的关键． 21. 如图，在斜坡PA的坡顶平台处有一座信号塔BC，在坡顶A处测得该塔的塔顶B的仰角为76°，在坡底的点P处测得塔顶B的仰角为45°，已知斜坡长PA＝26m，坡度为1：2.4，点A与点C在同一水平面上，且ACPQ，BC⊥AC．请解答以下问题： （1）求坡顶A到地面PQ的距离； （2）求信号塔BC的高度．（结果精确到1m，参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.00） 【答案】（1）10m；（2）19m 【解析】 【分析】（1）过点A作AH⊥PQ，垂足为H，根据斜坡AP的坡度为1：2.4，利用勾股定理即可求出结果； （2）延长BC交PQ于点D，根据题意可得四边形AHDC是矩形，设BC＝x，则x+10＝24+DH．AC＝DH＝（x﹣14）m．利用正切列出方程即可求解． 【详解】解：（1）如图，过点A作AH⊥PQ，垂足为H， ∵斜坡AP的坡度为1：2.4， ∴, 设AH＝5k，则PH＝12k， 在Rt△AHP中，由勾股定理，得， ∴13k＝26， 解得k＝2． ∴AH＝10（m）． 答：坡顶A到地面PQ的距离为10m．； （2）如图，延长BC交PQ于点D， 由题意可知四边形AHDC是矩形， ∴CD＝AH＝10m，AC＝DH． ∵∠BPD＝45°，∠BDP＝90°， ∴PD＝BD． ∵PH＝12×2＝24（m）， 设BC＝x，则x+10＝24+DH． ∴AC＝DH＝（x﹣14）m． 在Rt△ABC中，即， 解得x≈19（m）． 答：信号塔BC的高度约为19m． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用--仰角俯角问题、坡度坡角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形． 22. 如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个的出口后（出口不占用不锈钢栅栏），不锈钢栅栏状如“山”字形．（备注信息：在自行车棚后面距教学楼后墙8米处，规划有机动车停车位）设自行车车棚面积为，车棚宽度为， （1）车棚的长________（用含x的式子表示）； （2）求S与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围； （3）若学校拟利用现有栅栏对自行车车棚进行扩建，请问该车棚面积最大可达到多少？请通过计算说明． 【答案】（1） （2）S与之间的函数关系式，自变量的取值范围为． （3）自行车车棚面积最大可达到 【解析】 【分析】本题主要考查了用代数式表示式、二次函数的应用等知识点，理解题意、列出函数关系式是解题的关键． （1）根据已知条件可得自行车车棚由三条宽和一条长构成，且左右两条宽边需要开出一个的出口，然后根据自行车车棚不锈钢栅栏总长减去三条宽边长即可解答； （2）直接利用矩形的面积公式列式即可，同时需满足自行车车棚的长不超过60米，宽不超过8米； （3）根据（2）得到的函数解析式，然后再根据函数解析式求得车棚的最大值即可解答． 【小问1详解】 解：∵车棚宽度为， ∴， 【小问2详解】 解：． 由，解得：． ∴S与之间的函数关系式，自变量的取值范围为． 【小问3详解】 解：自行车车棚面积最大可达到，计算如下： ， ，， 当时，有最大值为：， 自行车车棚面积最大可达到． 23. 模具厂计划生产面积为4，周长为m的矩形模具．对于m的取值范围，小亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下： （1）建立函数模型 设矩形相邻两边的长分别为x，y，由矩形的面积为4，得，即；由周长为m，得，即．满足要求的应是两个函数图象在第　 　象限内交点的坐标． （2）画出函数图象 函数的图象如图所示，而函数的图象可由直线平移得到．请在同一直角坐标系中直接画出直线． （3）平移直线，观察函数图象 ①当直线平移到与函数的图象有唯一交点时，周长m的值为　 　； ②在直线平移过程中，交点个数还有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长m的取值范围． （4）得出结论 若能生产出面积为4的矩形模具，则周长m的取值范围为　 　． 【答案】（1）一 （2）图象如下所示： （3）①②； （4） 【解析】 【分析】（1）x，y都是边长，因此，都是正数，即可求解； （2）直接画出图象即可； （3）①把点代入即可求解；②在直线平移过程中，交点个数有：0个、1个、2个三种情况，联立和并整理得：，即可求解； （4）运用（3）的相关结论即可． 【详解】解：（1）x，y都是边长，因此，都是正数， 故点在第一象限， 答案为：一； （2）略 （3）①把点代入得： ，解得：； ②在直线平移过程中，交点个数有：0个、1个、2个三种情况， 联立和并整理得：， 时，两个函数有交点， 解得：； （4）由（3）得：． 【点睛】本题为反比例函数综合运用题，涉及到一次函数、一元二次方程、函数平移等知识点，此类探究题，通常按照题设条件逐次求解，一般难度不大． 24. 在矩形中，，点E，F分别为直线上的动点，且，连． （1）如图1，若点E，F分别在边上，则与的位置关系为______，数量关系为______； （2）如图2，若点E，F分别在边的延长线上，EC的延长线与DF交于点H． 求证：； （3）在（2）的条件下，点G为上的点，且，请用等式表示线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）， （2） 证明：∵矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴； （3） ，理由如下： 如图，连接，， ∵矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， 由（2）知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）利用“两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似”证明，推出，，得到，，据此即可得到答案； （2）利用“两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似”证明，推出，据此即可证明； （3）连接，，推出，，证明得到，得到，利用勾股定理求得，，得到，从而证明，据此求解即可． 【小问1详解】 解：设与相交于点， ∵矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴； 故答案为：，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 25. 如图，抛物线与轴交于两点，过点的直线与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）是第四象限内抛物线上一动点，连接，若平分，求点的横坐标； （3）将抛物线平移得到，使得抛物线顶点为原点，点，为抛物线上的两个动点，且，连接，过作于点，求点到轴的最大距离． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据，利用待定系数法即可求解； （2）过点作轴的平行线，与的延长线交于点，进而可证明，结合坐标都，可知点的坐标为，进而求得直线的表达式为，而为直线与抛物线的交点，且在第四象限则，解方程即可求解； （3）由平移可知抛物线，如图，与轴交于点，过点，分别作，垂直于轴，交轴于，，设，，证得，得，可求得，设直线的表达式为，可知，为方程的两个根，得，求得，进而可知点的坐标为，则，由，可知点在以为直径的圆上，可得点到轴的最大距离． 【小问1详解】 解：抛物线与轴交于两点， ∴，解得：， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 过点作轴的平行线，与的延长线交于点， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，即，， ∴， ∴点的坐标为， 设直线的表达式为，代入，， 得，解得， ∴直线的表达式为， 而为直线与抛物线的交点，且在第四象限 则，解得：（负值舍去）， ∴点的横坐标为； 【小问3详解】 将抛物线平移得到，使得抛物线顶点为原点， ∴抛物线， 如图，与轴交于点，过点，分别作，垂直于轴，交轴于，， 设，， ∵，则， ∴，则， ∴， ∴，即， ∴， 设直线的表达式为， 又∵，在抛物线上， 则，即，为方程的两个根， ∴， ∴ ∴直线的表达式为， 即点的坐标为，则， ∵， ∴， ∴点在以为直径的圆上， ∴点到轴的最大距离． 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，等角对等边，相似三角形的判定及性质，圆周角定理，抛物线与直线的交点问题等知识点，利用数形结合是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 济南实验初级中学九年级月考数学试题 2026.1 一、选择题 1. 古代粮仓等必备的粮食量器——米斗，因陶渊明“不为五斗米折腰”的典故而广为人知．如图1，这是一种无盖米斗，其示意图（不计厚度）如图2所示，则其俯视图是（ ） A. B. C. D. 2. 大自然是美的设计师，如图是一片银杏叶，点是线段AB的黄金分割点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知与的相似比为，若的面积为，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，小树在路灯的照射下形成投影．若这棵树高，树影，树与路灯的水平距离，则路灯的高度为（ ） A. B. C. D. 6m 5. 已知点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 反比例函数的图象如图所示，轴，若的面积为5，则k的值为（ ） A. 10 B. C. D. 7. 如图，四边形内接于，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于A、B两点，点A的横坐标为．当时，的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 9. 直线与抛物线在同一坐标系里的大致图象正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，拋物线（为常数）交轴于点，与轴的一个交点在和之间，顶点为． 抛物线与直线有且只有一个交点； 若点、点、点在该函数图象上，则； 将该拋物线向左平移个单位，再向下平移个单位，所得抛物线解析式为； 点关于直线的对称点为，点、分别在轴和轴上，当时，四边形周长的最小值为． 其中正确的判断有（ ） A. B. C. D. 二、填空题 11. 在一个不透明的盒子里装有个黄色乒乓球和若干个白色乒乓球，搅匀后从中任意摸出一个球记下颜色再把它放回盒子中，不断重复实验，统计结果显示，随着实验次数越来越大，摸到黄色乒乓球的频率稳定在左右，则估计盒子中大约有______个白色乒乓球． 12. 如图，，直线、与三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．已知，，，则的长为_______． 13. 如图，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则cos∠AOB的值是_____． 14. 如图，半圆的直径为4，将半圆绕点顺时针旋转得到半圆，与交于点，则图中阴影部分的面积为___________． 15. 如图，正方形中，，M是边上一个动点，以为直径的圆与相交于点Q，P为上另一个动点，连接，，则的最小值是 ___________________． 三、解答题 16. 计算：． 17. 如图，已知于C，于E，，，，． （1）求证：． （2）求线段的长． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）画出向上平移1个单位，再向左平移2个单位后得到的；可以求得的面积是_______． （2）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出的位似图形，使它与的相似比为，点坐标是_______． （3）判断和是位似图形吗？若是，请直接写出位似中心M的坐标；若不是，请说明理由． 19. “爱你老己”是2025年底流行的网络热梗，“爱你老己”是“爱你自己”的意思，称自己为“老己”，仿佛在与一位相识多年的老朋友对话，亲切又幽默．九年级学生小明选用材质、颜色、大小均相同的四张卡片，分别将“爱”、“你”、“老”、“己”四个字书写在上面，并背面朝上反扣在桌上． （1）小明随机在四张卡片中抽取一张，求小明抽取到写有“爱”字卡片的概率． （2）小明随机在四张卡片中抽取两张，请用树状图或者表格分析，能凑成“老己”这个词的概率． 20. 如图，为的直径，C为 上一点，连接，，过点C的直线与相切，与延长线交于点D，点F为上一点，且，，连接并延长交射线于点E． （1）求证：； （2）若，，求的长． 21. 如图，在斜坡PA的坡顶平台处有一座信号塔BC，在坡顶A处测得该塔的塔顶B的仰角为76°，在坡底的点P处测得塔顶B的仰角为45°，已知斜坡长PA＝26m，坡度为1：2.4，点A与点C在同一水平面上，且ACPQ，BC⊥AC．请解答以下问题： （1）求坡顶A到地面PQ的距离； （2）求信号塔BC的高度．（结果精确到1m，参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.00） 22. 如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个的出口后（出口不占用不锈钢栅栏），不锈钢栅栏状如“山”字形．（备注信息：在自行车棚后面距教学楼后墙8米处，规划有机动车停车位）设自行车车棚面积为，车棚宽度为， （1）车棚的长________（用含x的式子表示）； （2）求S与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围； （3）若学校拟利用现有栅栏对自行车车棚进行扩建，请问该车棚面积最大可达到多少？请通过计算说明． 23. 模具厂计划生产面积为4，周长为m的矩形模具．对于m的取值范围，小亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下： （1）建立函数模型 设矩形相邻两边的长分别为x，y，由矩形的面积为4，得，即；由周长为m，得，即．满足要求的应是两个函数图象在第　 　象限内交点的坐标． （2）画出函数图象 函数的图象如图所示，而函数的图象可由直线平移得到．请在同一直角坐标系中直接画出直线． （3）平移直线，观察函数图象 ①当直线平移到与函数的图象有唯一交点时，周长m的值为　 　； ②在直线平移过程中，交点个数还有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长m的取值范围． （4）得出结论 若能生产出面积为4的矩形模具，则周长m的取值范围为　 　． 24. 在矩形中，，点E，F分别为直线上的动点，且，连． （1）如图1，若点E，F分别在边上，则与的位置关系为______，数量关系为______； （2）如图2，若点E，F分别在边的延长线上，EC的延长线与DF交于点H． 求证：； （3）在（2）的条件下，点G为上的点，且，请用等式表示线段与的数量关系，并说明理由． 25. 如图，抛物线与轴交于两点，过点的直线与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）是第四象限内抛物线上一动点，连接，若平分，求点的横坐标； （3）将抛物线平移得到，使得抛物线顶点为原点，点，为抛物线上的两个动点，且，连接，过作于点，求点到轴的最大距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $