精品解析：四川省成都市树德中学（光华校区）2026-2027学年高二上学期10月阶段'性测试数学试题

树德中学2025级高二10月阶段性测试数学试题 本试卷满分150分，考试用时120分钟 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出直线的斜率，进而得到倾斜角. 【详解】的斜率为，故倾斜角为. 故选：B 2. 已知向量，，且，那么（ ） A. 2 B. C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】由向量垂直的坐标表示求出，再计算模长可得. 【详解】因为，所以，即， 所以. 故选：B. 3. 直线与间的距离是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【详解】由得， 所以直线与间的距离是． 4. 如图，在四面体中，为棱的中点，点，分别满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定的几何体，利用空间向量的基底表示，再利用向量线性运算求解作答. 【详解】在四面体中，是的中点，则， 因为，所以，所以， 又，所以，所以， 所以. 故选：A. 5. 直线经过两条直线和的交点，且与直线垂直，则的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】联立方程可得经过的点，由垂直可得直线的斜率，由点斜式可写直线的方程，化为一般式即可． 【详解】直线经过两条直线和的交点， 由， 可得交点为， 直线与直线垂直， 则直线的斜率为， 所以直线的方程为：， 即． 故选:B． 6. 在四面体中，平面，，.若四面体的体积为，则与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】 在中，，，由三角形面积公式得， 由余弦定理得 ，故， 因为平面ABC，四面体体积，代入解得， 以B为原点，为轴，平面内垂直于的方向为轴，过B且垂直于平面的方向为轴， 得各点坐标：， ， ， ，， 设平面的法向量为， 则，解得，令得，即 ， 又向量 ，， 设AC与平面所成角为，根据线面角与向量夹角的关系，. 7. 已知，在的投影向量为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题可得：，因为在的投影向量为， 所以，即：，且， 代入，，化简得：，解得：， 所以. 8. 光线沿着直线射到直线上，经反射后沿着直线射出，则有（　　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由光的反射性质可知，入射光线所在直线与反射光线所在直线关于直线对称，再求出入射直线过的定点关于直线对称的点，则反射直线必过该点，可求出，同理可求出. 【详解】根据光的反射性质可知，直线与直线关于直线对称. 入射光线必经过点，则过该点且垂直于的直线方程为， 联立方程可求得交点为，由中点的坐标公式可知，点是线段的中点，其中点， 则反射光线所在的直线必经过点，求得； 同理反射光线必经过，则过该点垂直于的直线方程为， 联立方程可求得交点为，由中点的坐标公式可知，点是线段的中点，其中点， 则入射光线所在的直线必经过点，求得 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中，正确的有（　　　） A. 方程与方程可表示同一直线 B. 过点，且倾斜角为的直线方程为 C. 过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程为 D. 过点的直线方程都可表示为 【答案】BD 【解析】 【分析】选项A注意第一个方程；选项B倾斜角即斜率不存在；选项C可设截距为，注意区分是否等于的两种情况；选项D，平面上任意直线都可以用一般式表示，经过点得到一个方程，联立可消除一个参数. 【详解】对于选项A，方程中，当时，，所以经过点， 而方程中，故不经过点，因此两方程表示的图象不同，选项A错误. 对于选项B，倾斜角为即斜率不存在，设方程为， 又因为该直线经过，所以方程为，选项B正确. 对于选项C，设该直线在轴和轴上截距均为，即直线经过和， 当时，该直线的斜率存在，且斜率，设该直线方程为， 因为直线过点，代入求得，即直线方程为； 当时，直线经过原点，设该直线方程为，因为直线过点，代入求得，所以直线方程为. 综上所述，该直线方程为或，选项C错误. 对于选项D，平面上任意一条直线都可以表示为，其中，， 若该直线经过点，则，所以， 因此经过点的直线都可以表示为，即， 取，，即过点的直线都可以表示成，选项D正确. 10. 对于空间中一组向量，若存在不全为零的实数，使得，则称这组向量线性相关，否则称这组向量线性无关．则（　　　） A. 若，，线性相关，则，，可作为空间的一组基底 B. 若，，，则，，线性相关 C. 若，，，则，，线性无关 D. 若，，线性无关，则，，线性无关 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，根据空间向量的基底要求即可判断；对于BC，根据向量线性相关的要求和空间向量线性运算的坐标表示，求出，即可判断；对于D，利用反证法进行判断． 【详解】对于A，若，，线性相关， 即存在不全为零的实数，使得， 则向量，，共面，不可作为空间的一组基底，A错误； 对于B，因，，， 若，，线性相关，则必有， 即， 所以，解得， 令，则，则，即线性相关，B正确； 对于C，因，，， 假设，则， 所以，解得，故线性无关，C正确； 对于D，假设，，线性相关， 则存在不全为零的实数，使得， 即． 因为，，线性无关， 则，解得，与假设矛盾， 故，，线性无关，D正确． 11. 如图，直角梯形，，，，为中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，则（　　　） A. 平面平面 B. 当时， C. 存在点，使得直线与直线所成角为 D. 二面角的平面角的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】通过折叠前后的平面几何关系，确定折叠后的空间几何体中各线段和角的关系．对于A，先证明平面，再结合面面垂直的判定即可求解；对于B，由，可以想到通过证明，所在的三角形为直角三角形进行证明；对于CD，可以通过空间向量法进行求证． 【详解】在直角梯形中，，为中点，则． 因为，，所以四边形是平行四边形． 又因为，，所以平行四边形是正方形． 在中，，（正方形边长）， 因为，则， 所以是等腰直角三角形，． 折叠后，保持原形状，即，，， 且，即． 对于A，因为，，，且平面， 所以平面． 又因为平面， 所以根据面面垂直的判定定理，平面平面．A正确； 对于B，解法一：因为平面，，所以平面． 又因为平面，所以． 在中，，，， 由勾股定理，可得． 在中，，， 可得，则．B正确； 解法二：以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴， 过点垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，． 设，因为，（即轴）， 所以点在平面上，即，所以，且． 因为， 因为，所以，解得． 当时，点坐标为或， 此时，点在轴上，即，B正确； 对于C，利用上述坐标系，则． 因为，，所以． 设直线与直线所成角为，则． 因为，， ， 所以若直线与直线所成角， 则． 化简左边：， 则，解得，即，即． 但是点在以点为圆心、半径为4的圆上，的取值范围是， 而不在范围内， 故不存在这样的点，使得直线与直线所成角为，C错误； 对于D，平面即为平面，其法向量可取． 平面经过点，，， 则，． 设平面的法向量为，则， 令，则，，则． 设二面角的平面角为， 则， 要使角最小，即最大，而最大，意味着分母最小，即最小． 因为，所以． 令，其中， 当时，取得最小值0，此时取得最大值， 则角的最小值为，即二面角的平面角的最小值为，D正确． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若直线与直线互相垂直，则实数的值_____. 【答案】0或 【解析】 【分析】直接由两条直线垂直的充要条件可得. 【详解】由直线与直线互相垂直， 所以，，解得或. 故答案为：0或 13. 对于任意，不等式恒成立，则m最大值为________． 【答案】5 【解析】 【分析】由二次根式的几何意义，两点间的距离以及利用轴对称性质求解即可. 【详解】因为，即表示轴上到点的距离， 同理可表示轴上到点的距离，所以 可以表示为，点关于轴的对称点， 则，故，由两点之间线段最短， 则的最小值为的长度，故，所以. 14. 如图，二面角的棱上有两点，，点，分别在半平面，内．若，，二面角的余弦值为，则直线与夹角的余弦值为_____． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】先分析出与不垂直，再作出二面角的平面角，利用余弦定理求出直线夹角即可得解. 【详解】如图， 若，则由，，则， 再由，可得，这与二面角的余弦值为矛盾， 故与不垂直，不妨设直线与夹角为 过作于点，过作垂直（或延长线）于点，连接， 则即为二面角的平面角， 由，可得， 则， 又，所以， 在三角形中，由余弦定理可得： ， 即， 化简可得，所以， 代入，可得 解得或， 由可知，所以，即, 所以. 四、解答题：（本大题共5小题，第15题13分，第16，17题各15分，第18，19题各17分，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知空间向量满足. （1）若与的夹角为60°，求 （2）若，求向量的坐标. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用空间向量的模长公式及数量积运算法则计算即可； （2）利用向量共线的充要条件与坐标表示计算即可. 【小问1详解】 因为， 所以. 因为，且与的夹角为， 所以， 则， 故. 【小问2详解】 因为，所以. 当向量同向时，，则； 当向量反向时，，则. 综上，向量的坐标为或. 16. 如图，在平行六面体中，，，，． （1）以，，为基底向量，表示向量，并求的长； （2）求证：． 【答案】（1） （2）证明： ， 所以，即， 【解析】 【分析】（1）根据空间向量的线性运算即可结合图形求解， （2） 根据向量数量积的运算律，利用垂直关系即可求解. 【小问1详解】 ． 因为，，，， 所以，， 所以,所以． 【小问2详解】 略 17. 已知的顶点，边上的高所在直线方程为，边上的中线所在直线方程为． （1）直线经过点，点到的距离为，求直线的一般方程； （2）求的面积． 【答案】（1）或 （2）11 【解析】 【分析】联立方程求得点；分斜率存在与否，利用点到直线距离求直线l方程; 由得斜率，写出方程；联立求中点，算出点到距离，代入面积公式求解. 【小问1详解】 依题意得，点是直线与直线的交点， 由解得， 所以点的坐标是． 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，所以，解得． 直线的方程为，即， 所以直线的方程为或． 【小问2详解】 边上的高所在直线方程为， ，且，即， 的顶点，直线方程：， 即与联立，， 解得，的坐标为， 所以 点到直线的距离为， 所以的面积为． 18. 如图所示，七面体中的三个面都是平行四边形，其余四个面都是三角形． （1）求证：平面； （2）若，，平面平面． （i）求直线与平面所成角的正弦值； （ii）线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为，若存在，求的值，若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明：因为四边形与四边形均为平行四边形， 所以，， 因为平面，平面，所以平面， 同理可证平面， 因为，平面，平面， 所以平面平面， 又平面，所以平面； （2）（i）；（ii）存在，的值为． 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得线线平行，进而根据线面平行的判定以及面面平行的判定，即可根据面面平行的性质求证， （2）（i）（ii）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，进而根据向量的夹角公式求解， 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）连接，根据且，所以四边形是平行四边形， 则．所以是正三角形，则是菱形且， 取的中点，连接，则，设，则， ，所以， 所以，故， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，因此以为原点，，，为轴，轴，轴如图建系， 则，，，，， 由与，可知，所以四边形为平行四边形， 则，，， 设平面的法向量，则，即， 取，得，，则， 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为． （ii）设， 设平面的法向量，则，即， 取，得，， 则， 设平面与平面所成角为， ， 解得或（舍）， 所以存在使得平面与平面夹角的余弦值为，此时的值为． 19. 在空间直角坐标系中，已知向量，点．若直线以为方向向量且经过点，则直线的标准方程可表示为；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程可表示为．如图所示，在空间直角坐标系中，已知五点，，，，，为线段的中点． （1）求平面的点法式方程； （2）设直线与平面的交点为，求点到直线的距离； （3）过的平面交线段，于点，，求四棱锥体积的最小值． 【答案】（1） （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）先求出平面的法向量，再根据题目关于点法式方程的定义代入点的坐标和法向量的坐标，即可写出平面的点法式方程； （2）求出直线的方向向量，再根据题目关于直线的标准方程的定义，代入点的坐标和方向向量的坐标，求出直线的标准方程，即可得到点的坐标中之间的关系，代入平面的点法式方程，即可求出点的坐标，再根据空间中点到直线的公式代入计算即可得出点到直线的距离； （3）假设，，证明三点共线，，并得到，由点是的中点，得到，根据切割法得到，根据基本不等式即可求出的最小值. 【小问1详解】 由题，， 设平面的法向量为，则，即， 取，得，，则， 又因为平面过点，所以平面的点法式方程为：． 【小问2详解】 因为点为线段的中点，所以，，直线过点， 则直线的方程为，化简得， 联立平面的点法式方程得， 解得交点坐标为， 所以，， 所以到直线的距离为． 【小问3详解】 因为，所以，且平面， 又因为平面平面，所以． 设，，如图所示，和三角形共面于平面， 所以， 所以， 在三角形中，，，， 设，则， 所以，所以， 所以， 因为三点共线，所以． 因为点是的中点，所以 所以， 又因为，所以， 当且仅当，即，时取等号， 所以，当点在处，在中点时，四棱锥体积取最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 树德中学2025级高二10月阶段性测试数学试题 本试卷满分150分，考试用时120分钟 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，且，那么（ ） A. 2 B. C. D. 5 3. 直线与间的距离是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4. 如图，在四面体中，为棱的中点，点，分别满足，，则（ ） A. B. C. D. 5. 直线经过两条直线和的交点，且与直线垂直，则的方程是（ ） A. B. C. D. 6. 在四面体中，平面，，.若四面体的体积为，则与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，在的投影向量为，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 光线沿着直线射到直线上，经反射后沿着直线射出，则有（　　　） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中，正确的有（　　　） A. 方程与方程可表示同一直线 B. 过点，且倾斜角为的直线方程为 C. 过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程为 D. 过点的直线方程都可表示为 10. 对于空间中一组向量，若存在不全为零的实数，使得，则称这组向量线性相关，否则称这组向量线性无关．则（　　　） A. 若，，线性相关，则，，可作为空间的一组基底 B. 若，，，则，，线性相关 C. 若，，，则，，线性无关 D. 若，，线性无关，则，，线性无关 11. 如图，直角梯形，，，，为中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，则（　　　） A. 平面平面 B. 当时， C. 存在点，使得直线与直线所成角为 D. 二面角的平面角的最小值为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若直线与直线互相垂直，则实数的值_____. 13. 对于任意，不等式恒成立，则m最大值为________． 14. 如图，二面角的棱上有两点，，点，分别在半平面，内．若，，二面角的余弦值为，则直线与夹角的余弦值为_____． 四、解答题：（本大题共5小题，第15题13分，第16，17题各15分，第18，19题各17分，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知空间向量满足. （1）若与的夹角为60°，求 （2）若，求向量的坐标. 16. 如图，在平行六面体中，，，，． （1）以，，为基底向量，表示向量，并求的长； （2）求证：． 17. 已知的顶点，边上的高所在直线方程为，边上的中线所在直线方程为． （1）直线经过点，点到的距离为，求直线的一般方程； （2）求的面积． 18. 如图所示，七面体中的三个面都是平行四边形，其余四个面都是三角形． （1）求证：平面； （2）若，，平面平面． （i）求直线与平面所成角的正弦值； （ii）线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为，若存在，求的值，若不存在，说明理由． 19. 在空间直角坐标系中，已知向量，点．若直线以为方向向量且经过点，则直线的标准方程可表示为；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程可表示为．如图所示，在空间直角坐标系中，已知五点，，，，，为线段的中点． （1）求平面的点法式方程； （2）设直线与平面的交点为，求点到直线的距离； （3）过的平面交线段，于点，，求四棱锥体积的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $