第15讲 二元一次方程组80道计算题专项训练-（寒假衔接课堂）2025-2026学年人教版七年级下册数学寒假衔接讲义

第15讲 二元一次方程组80道计算题专项训练 题型一 二元一次方程的解 题型二 代入消元法 题型三 加减消元法 题型四 整体换元解二元一次方程组 题型五 方程组同解计算 题型六 二元一次方程组的错解复原问题 题型七 解含参的二元一次方程组 题型八 构造二元一次方程组计算 题型九 三元一次方程组的解法 题型十 二元一次方程组的新定义计算 【经典计算题一 二元一次方程的解】 1．（24-25七年级下·全国·随堂练习）已知是方程的解，求的值． 【答案】 【分析】此题考查了二元一次方程的解和求代数式的值．根据二元一次方程的解满足方程得到，整体代入即可得到答案． 【详解】解：把代入方程， 得， ． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）求方程的正整数解． 【答案】或或 【分析】本题考查了求二元一次方程的特殊解，正确变形是解答本题的关键．对于求关于x，y的方程的正整数解，方程可化为，结合x，y是整数求解即可． 【详解】解：由原方程，得． 因为x，y为正整数， 所以原方程的正整数解是或或． 3．（25-26八年级上·陕西西安·月考）若关于x，y的二元一次方程有一组解为，求k的值． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解． 将代入计算即可． 【详解】解：将代入， 得， 解得． 4．（24-25七年级下·河南南阳·月考）已知方程，请你写出一个二元一次方程，使它与已知方程所组成的方程组的解为． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二元一次方程组的解的定义，将把代入，得， 进而可得方程组的解为，即可求解． 【详解】解：把代入，得，         解得                                                   ∴方程组的解为                                       ∵是方程的解                                 ∴这个二元一次方程可以是 5．（24-25七年级下·福建福州·期中）关于x，y的二元一次方程（为常数），且，． (1)当时，求的值； (2)若a为正整数，且该方程有正整数解时，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二元一次方程的解，消元法是求解本题的关键． （1）将，，代入方程，得到关于的方程，求出，再代入求解即可； （2）由题意得，得到，求出． 【详解】（1）解：将代入得， ，， ， ， ， ； （2）解：关于x，y的二元一次方程，，， ， ， 均为正整数， 是正整数， 是正整数， 是正整数， ， 将代入得， ， ， 方程的正整数解是， 当时，方程有正整数解． 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知是二元一次方程的解． (1)求的值． (2)解是的二元一次方程唯一吗？如果唯一，请直接回答；如果不唯一，请再写出另一个满足条件的二元一次方程． 【答案】(1) (2)不唯一， 【分析】本题考查二元一次方程的解得定义，读懂题意，掌握二元一次方程解的定义是解决问题的关键． （1）根据二元一次方程解的定义代入求解即可得到答案； （2）根据二元一次方程的解的定义求解即可得到答案． 【详解】（1）解：是二元一次方程的解， 将代入，得； （2）解：以为解的二元一次方程不唯一； 比如的解也是． 7．（24-25七年级下·江西南昌·期末）(阅读理解题)阅读下面情境:甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程①中的a,得到方程组的解为乙看错了方程②中的b,得到方程组的解为试求出a,b的正确值,并计算a2 018+的值. 【答案】0 【分析】将 代入方程组的第二个方程，将 代入方程组的第一个方程，联立求出a与b的值，即可求出所求式子的值． 【详解】解：∵满足方程组中的②,将代入②,得b=10; 又∵满足方程组中的①,将代入①,得a=-1. 所以a2 018+=(-1)2 018+=0. 【点睛】本题考查二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值． 8．（24-25七年级下·贵州黔南·期末）阅读下面材料，完成任务． 我们知道二元一次方程有无数组解，但在实际生活中我们往往只需要求出其正整数解． 例：由，得（为正整数），，则有． 又为正整数，为正整数， 为3的正整数倍数，从而， ，的正整数解为 任务： (1)请你写出方程的正整数解：_____； (2)若为自然数，则满足条件的整数有_____个； (3)七年级某班为了奖励学习进步的学生，购买了单价为每本5元的笔记本与单价为每支7元的钢笔两种奖品，共花费75元，问有哪几种购买方案？ 【答案】(1) (2)4 (3)有两种购买方案：方案一：购买8本笔记本和5支钢笔；方案二：购买1本笔记本和10支钢笔 【分析】本题主要考查二元一次方程组的运用，理解材料提示的计算方法是解题的关键． （1）根据材料提示方法计算即可； （2）根据题意，是的倍数，则可以取的值有，由此代入计算即可； （3）设购买本笔记本，支钢笔，由此列二元一次方程组，结合材料提示方法计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵方程的解为正整数， ∴， 解得，， ∵是正整数， ∴是的倍数， ∴当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； ∴方程的正整数解为； （2）解：∵为自然数，且，是的倍数， ∴， 当时，原式的值为，是自然数，符合题意， ∴； 当时，原式的值为，是自然数，符合题意， ∴； 当时，原式的值为，是自然数，符合题意， ∴； 当时，原式的值为，是自然数，符合题意， ∴； ∴满足条件的整数有4个， 故答案为：4； （3）解：设购买本笔记本，支钢笔， ∴， ， 又均为正整数， 为5的正整数倍数， 或， 故有如下两种购买方案： 方案一：购买8本笔记本和5支钢笔； 方案二：购买1本笔记本和10支钢笔． 【经典计算题二 代入消元法】 9．（2026七年级下·全国·专题练习）已知．求的值． 【答案】， 【分析】题目主要考查解二元一次方程组，熟练掌握求解方法是解题关键． 利用代入消元法求解即可． 【详解】解：∵， ∴即， ∴， 代入得， 解得， ∴． 10．（24-25八年级上·广东茂名·期末）解方程组：，并用代入法验证解的正确性． 【答案】，验证见解析 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数． 方程组利用加减消元法求解即可． 【详解】解： 得： 解得 将代入②得： 解得， 验证：将代入①得，； 将代入②得， ∴方程组的解为． 11．（25-26八年级上·山东枣庄·月考）解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法并根据方程特点灵活选用是解答的关键． （1）利用代入消元法解方程组即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解： 把代入，得 ， 解得， 把代入，得 ． 该方程组的解为． （2）解： ，得 ， 解得， 把代入，得 ， 解得， 该方程组的解为． 12．（25-26八年级上·广东茂名·月考）解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用代入消元法进行解方程，即可作答． （2）运用加减消元法进行解方程，即可作答． 【详解】（1）解： 把②代入①可得：， 解得：， 把代入②得：， 原方程组的解为； （2）解： 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为 13．（25-26七年级上·全国·课后作业）用代入消元法解下列方程组： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）把②代入①即可；（2）把①代入②即可；（3）把①变形为③代入②即可；（4）把 ①变形为③代入②即可． 【详解】（1）解：把②代入①，得，解得． 把代入②，得． 故原方程组的解是 （2）解：由①得．③ 把③代入②，得，解得． 把代入③，得． 故原方程组的解是 （3）解：由①，得．③ 把③代入②，得，解得． 把代入③，得． 故原方程组的解是 （4）解：由①，得．③ 把③代入②，得，解得． 把代入③，得． 故原方程组的解是 【点睛】本题考查了代入法解二元一次方程，熟悉代入消元法的解题过程是本题的关键． 14．（2025八年级上·全国·专题练习）用代入消元法解下列二元一次方程组： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，掌握代入消元法成为解题的关键． （1）将代入消去y，即可求得x，进而求得y即可； （2）由可得，然后将代入消去u，即可求得v，进而求得u即可； （3）由可得，然后将代入消去y，即可求得x，进而求得y即可； （4）由可得，然后将代入消去x，即可求得y，进而求得x即可； （5）由可得，然后将代入消去x，即可求得y，进而求得x即可； （6）将代入消去s，即可求得t，进而求得s即可； 【详解】（1）解：， 将代入可得：，解得：， 将代入可得：， 所以该方程组的解为． （2）解：， 由可得， 将代入可得：，解得：， 将代入可得：， 所以该方程组的解为． （3）解：， 由可得， 将代入得：，解得：， 将代入可得：， 所以该方程组的解为． （4）解：， 由可得， 将代入可得：，解得：， 将代入可得：， 所以该方程组的解为． （5）解：， 由可得， 将代入可得：，解得：， 将代入可得：， 所以该方程组的解为． （6）解：， 将代入可得：，解得：， 将代入可得：， 所以该方程组的解为． 15．（25-26七年级上·云南红河·期中）解二元一次方程组时，可把①代入②得：，求得，再把代入①得：，所以二元一次方程组的解为，这种解法称为“整体代入法”．请用这样的方法解下列方程组． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法（整体代入法），解题的关键是识别方程组中可整体代入的部分，将其代入另一方程简化计算． 观察方程组，把看作整体，代入第二个方程求出，再将代入第一个方程求． 【详解】解：方程组为 将①代入②得：， ，， 解得， 把代入①得：， ，， 解得． 所以方程组的解为． 【经典计算题三 加减消元法】 16．（24-25七年级下·陕西宝鸡·月考）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法． 解：将方程②变形：即③，把方程①代入③得：，解得，把代入①得：，解得，所以，方程组的解为 请你模仿小军的“整体代换”法解决以下问题： (1)解方程组 (2)已知满足试求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解三元一次方程组，熟练掌握运算法则，采用整体代换的思想是解此题的关键． （1）仿照阅读材料中的方法求出方程组的解即可； （2）仿照阅读材料中的方法求解即可． 【详解】（1）解：， 将方程②变形为：， 把①代入③得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 原方程组的解为：； （2）解：， 由①得：， 把②代入③得：， 解得：． 17．（25-26八年级上·福建宁德·月考）解下列二元一次方程组：； 【答案】 【分析】本题考查的是解二元一次方程组，掌握二元一次方程组的解法是解题关键．利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解： 由，得， 解得：， 把代入①，得 解得：， 原方程组的解是． 18．（25-26八年级上·全国·假期作业）已知关于x，y的方程组的解满足，求k． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次方程．熟练掌握解二元一次方程组，解一元一次方程是解题的关键． 设由①﹣②得，代入②，可求得，x，y代入方程，计算求解即可． 【详解】解：， ①﹣②得， 代入②，得， 解得， 代入方程， 得， 解得． 19．（25-26七年级下·全国·周测）已知关于x，y的二元一次方程组若该方程组中x，y满足，求k的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了方程组与含参不等式，熟练掌握相关解法是解题的关键； 将二元一次方程组中两等式相加代入到不等式中，解出的取值范围． 【详解】解：，得 ． ∵方程组中，满足， ∴， 解得． 20．（25-26七年级上·全国·课后作业）用适当的方法解下列方程组： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． （1）将方程组整理后，运用加减消元法求解即可； （2）将方程组化简后，运用代入消元法求解即可； （3）运用换元法求解即可； （4）将方程组化简后，运用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解： 整理，得， ，得， 解得， 将代入①，得， ∴方程组的解为； （2）解：， 方程组可化为， 由②得，③， 把③代入①，得， 解． 把代入③得，， 则方程组的解为． （3）解： 令，， 方程组可化为， 化简为， ，得， 解得， 把代入②，得， 解得 ∴， 解得． （4）解： 将原方程组化简，得 ，得， 解得， 将代入①，得， 解得， ∴方程组的解为． 21．（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）（1）下面是小明同学计算二次根式的过程，请认真阅读并完成相应任务： 解：原式…………第一步 …………………………第二步 …………………………第三步 ①他第一次出错在第___________步： ②请写出正确的解答过程． （2）解方程组：． 【答案】 （1）①一      ②过程见解析 （2） 【分析】本题考查二次根式的化简与解二元一次方程，熟练掌握相关知识是关键． （1）根据二次根式的混合运算的法则进行判断并重新计算即可； （2）使用加减消元法进行计算即可． 【详解】解：（1）①小明同学第一步就出错了，不符合二次根式加法运算的法则； ②原式； （2）， 整理得， 将，得， ， 解得，， 将代入①，得， ， 解得，， ∴方程组的解为． 22．（25-26七年级下·上海普陀·月考）甲、乙两位同学解方程组，甲抄错了方程①，解得，乙把方程②抄错了，解得，求、的值及原方程组的解． 【答案】，，原方程组的解为 【分析】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，要熟练掌握，注意代入消元法和加减消元法的应用． 首先根据甲看错了①得，然后根据乙看错了②得，进而解方程组求得a、b值，得到原方程组为，然后利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解：根据题意，把代入中，得 把代入中，得 得，解得 将代入③，得，解得， ∴原方程组为 得，，解得 将代入②，得，解得 ∴原方程组的解为． 23．（24-25八年级上·广东深圳·期末）下面是小乐同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组： 解：①，得，③…………………第一步 ③-②，得，……………………………………第二步 ．………………………………………………第三步 将代入①，得…………………………第四步 所以，原方程组的解为，…………………………第五步 (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做_______法；以上求解步骤中，第一步的依据是______． (2)第______步开始出现错误． (3)直接写出该方程组的正确解：______． 【答案】(1)加减消元；等式的基本性质 (2)二 (3) 【分析】本题考查用加减消元法解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键； （1）观察小乐同学解二元一次方程组的过程，即可解答； （2）等式③减去②得到左边为即可解答； （3）根据加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：观察小乐同学解二元一次方程组的过程，可知是加减消元法，第一步的依据是等式的基本性质； （2）解：第二步开始出现错误，应为； （3）解： ①，得③， ③-②，得， 将代入①，得 ， 所以，原方程组的解为． 24．（25-26八年级上·河南周口·月考）甲、乙二人共同计算时，均出现了失误：甲由于抄错了第一个多项式中的运算符号，即把“”抄成“”，得到的结果为；乙由于抄漏了第二个多项式中的系数，即把“”抄成“”，得到的结果为． (1)求出，的值． (2)在（1）的条件下，试求的正确结果． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了计算多项式乘多项式，加减消元法，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）根据甲抄错与乙抄漏，列出关于、的方程组求解； （2）将代入式子中，再利用多项式乘多项式法则计算即可． 【详解】（1）解：由题意，得， ， ， 解得∶， ；； （2）解：由（1）得， 原式． 【经典计算题四 整体换元解二元一次方程组】 25．（24-25七年级下·河南南阳·月考）阅读材料：善于思考的贝贝同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．把看成一个整体，设,原方程组可变为，解得，即，解得 (1)模仿贝贝同学的“整体换元”的方法，解方程组： (2)已知关于x,y的方程组的解为，求关于m，n的方程组的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是整体法即换元法解二元一次方程组，熟练的确定整体未知数是解本题的关键. （1）设，原方程组化为：，求解，再求解原方程组的解即可； （2）设，，原方程组化为：，可得，再解方程组即可. 【详解】（1）解：设， 原方程组化为：， 得：，即③ 把③代入①得：，即， 把代入③得：， ∴ ， 解得：； （2）设，， 原方程组化为：， ∴， 解得：. 26．（24-25七年级下·全国·课后作业）小明在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：解方程组． (1)如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过“换元”可以解决问题．设，则原方程组可化为_______，解关于的方程组，得，所以解这个方程组，得_______． (2)运用上述方法解方程组：． (3)已知关于的二元一次方程组的解为，求关于的二元一次方程组的解． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法以及换元法的应用是解题的关键． （1）根据换元法和加减消元法可得答案； （2）利用换元法将原方程组变形，解关于m，n的方程组，然后得到关于x，y的新的二元一次方程组，再解方程组可得答案； （3）将所求方程组变形为，然后得出，进而可得答案． 【详解】（1）解：设，， 则原方程组可化为， 解关于m，n的方程组，得， 解方程组， 得：， 解得：， 将代入得：， 解得：， 所以； （2）解：设，则原方程组可化为， 得：， 解得：， 将代入得：， 解得： 解得， 所以， 得：， 解得：， 将代入得：， 解得：， 所以； （3）解：方程组可化为， 所以， 所以． 27．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）教材中有这样一道题目：解方程组圆圆认为，只要把两个方程分别去分母，化简，再用加减消元法或代入消元法，可以求解方方认为，圆圆的方法计算量大，容易出错，可以把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元解决问题请参考以上两位同学的思路，任选一种方法，解这个方程组． 【答案】 【分析】利用换元法解方程组即可． 【详解】解：令，， 原方程组可化为：， 得，，即， 得，，即， ∴ 原方程组的解为． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，整体代换是解题的关键． 28．（2025七年级下·浙江·专题练习）三个同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解”提出各自的想法．甲说：“这个题目好象条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替代的方法来解决”．参考他们的讨论，请你解答这个题目． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法，解题的关键是利用换元法解二元一次方程组．可以根据丙的方法求解，把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替代的方法来解决． 【详解】解：所求方程组可变形为：，两方程相加得： ，① 根据第一组方程的解可得：，两方程相加得：，② 由①②得：，解得：． 原方程组的解为：． 29．（24-25七年级下·福建泉州·月考）阅读下列材料： 小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：解方程组．小明发现，如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：令，． 原方程组化为，解得，把代入，，得，解得，∴原方程组的解为． (1)学以致用： 运用上述方法解下列方程组：． (2)拓展提升： 已知关于x，y的方程组的解为，请求出关于m、n的方程组的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整体代入法求二元一次方程组. （1）令，，原方程组化为，求解原方程组代入，求解即可； （2）令，，原方程组化为，求解原方程组，代入，求解即可； 【详解】（1）解：令，， 原方程组化为， 解得：， 把代入，，得， 解得：， ∴原方程组的解为； （2）解：在中， 令，， 则可化为， 且解为， 则有， ∴， 故答案为：． 30．（24-25七年级下·河南驻马店·月考）换元法是数学中的一种解题方法．若我们把其中某些部分看成一个整体，用一个新字母代替（即换元）．则能使复杂的问题简单化．如：解二元一次方程组，按常规思路解方程组计算量较大．可设，，那么方程组可化为，从而将方程组简单化，解出和的值后，再利用，解出和的值即可． (1)请用换元法解方程组． (2)某食堂红烧肉元/份，辣椒炒肉元/份，土豆丝元/份．位同学一起去食堂吃饭，若位同学都打了红烧肉、辣椒炒肉和土豆丝，另外位同学打红烧肉和土豆丝，位同学共花费元；若位同学打红烧肉、辣椒炒肉和土豆丝，另外位同学打红烧肉和土豆丝，位同学共花费元．如果小肖同学和小洁同学两人共打了两份红烧肉，一份辣椒炒肉，两份土豆丝，那么两人共需要付多少元？ 【答案】(1) (2)两人共需要付元 【分析】（1）根据材料提示，设，，解关于的二元一次方程组，求出的值，再代入，，即可求解； （2）根据题意中的数量关系列方程组，再运用换元法求解即可． 【详解】（1）解：， 设，， ∴原方程组可化为，解得， ∴，解得， ∴原方程组的解为． （2）解：红烧肉元/份，辣椒炒肉元/份，土豆丝元/份，位同学都打了红烧肉、辣椒炒肉和土豆丝，另外位同学打红烧肉和土豆丝，位同学共花费元；位同学打红烧肉、辣椒炒肉和土豆丝，另外位同学打红烧肉和土豆丝，位同学共花费元， ∴， 设，， ∴原方程组可化为，解得， ∴， ∴（元）， ∴两人共需要付元． 【点睛】本题主要考查换元法解复杂的二元一次方程组，理解题目中换元法，掌握解方程的计算方法是解题的关键． 31．（25-26八年级上·山西晋中·期末）阅读与思考下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务： 整体代入消元法在利用“代入消元法”解完二元一次方程组后，小宣还想到了一种新的解法； 解：把看作整体代入①，得，解得．将代入②，得，所以原方程组的解为． 这种把看成一个整体进行代入消元解方程组的方法叫作“整体代入消元法”． 请你利用“整体代入消元法”解方程组． 【答案】 【分析】本题考查用二元一次方程组的特殊解法，先从一个方程中整理出可整体代入的代数式，再将其代入另一个方程，实现消元求解． 【详解】解：整理方程组得： 由②得③． 将③整体代入，得，解得， 将代入③，得， 解得． 所以原方程组的解为． 32．（24-25七年级下·山西吕梁·期末）阅读与思考 下面是小宇同学的一篇学习笔记（部分），请你认真阅读，并完成相应任务． “整体思想”应用举例 “整体思想”是数学中的重要思想，贯穿中学数学的全过程，可以应用为整体代入、整体换元、整体约减、整体求和、整体构造等方法．有些问题若从局部求解，采取逐个击破的方式，则很难解决，或者比较复杂；而从全局着眼，整体思考，会使问题化繁为简，化难为易，复杂问题也就迎刃而解了．因而，“整体思想”是中学数学解题中的一种重要思想方法，运用整体思想有时会使我们的解题更加简便快捷．例如 例1解方程组： 解：把②代入①得，，解得． 把代入②得，．所以原方程组的解为 例2已知实数满足①②，求和的值．解：由可，由①可得． 整体思想就是考虑数学问题时不是着眼于它的局部特征，而是把注意力和着眼点放在问题的整体结构上．通过对其全面深刻的观察，从宏观整体上认识问题的实质，把一些彼此独立，但实质上又紧密联系的量作为整体来处理的思想方法． 任务：（要求：运用阅读内容中的方法） (1)已知二元一次方程组求和的值； (2)解方程组： (3)已知方程组的解是请直接写出方程组：的解． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，能熟练利用整体思想求解是解题的关键． （1）两个方程分别相加或相减，即可求解； （2）将②可变形为，将①代入求解即可； （3）由整体思想得，即可求解． 【详解】（1）解： ①②得， ①②得， ， 的值为，的值为3； （2）解： 解：②可变形为③， 把①代入③得，， 解得， 把代入①，得， 原方程组的解为； （3）解：方程组的解是， ， 解得． 故原方程组的解为． 【经典计算题五 方程组同解计算】 33．（25-26八年级上·全国·假期作业）方程组与方程组的解相同，求的值． 【答案】4 【分析】本题考查同解方程组，将两个方程组中不含参数的两个方程组成新的方程组，求解后，代入两个含参方程组成的方程组中，进行求解即可． 【详解】解：∵方程组与方程组的解相同， ∴方程组和的解也相同， 解，得， 把代入，得， 故． 34．（25-26八年级上·陕西西安·月考）已知关于x，y的方程组与有相同的解，求a，b的值． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的同解问题． 根据关于x，y的方程组与有相同的解得到，，解方程组得，再代入求解即可． 【详解】解：因为关于x，y的方程组与有相同的解， ∴，， 所以解方程组，得． 将代入，得， 解得． 35．（25-26八年级上·山东菏泽·月考）已知关于x，y的二元一次方程组和的解相同，求的值． 【答案】0 【分析】本题考查了同解方程组的解法及乘方运算，解题的关键是明确“解相同”意味着两组方程的解能同时满足四个方程，从而先求出公共解再代入求参数．联立两个方程组中不含参数的方程，求出公共解；将公共解代入含的方程，解出的值即可． 【详解】解：∵两个方程组解相同， ∴先解不含的方程组：， ①②得：， 即， 解得． 将代入①得：，解得． 因此，相同的解为． 将代入含的方程：， ③④得：， 解得， 将代入④得：，求得， ． 36．（24-25七年级下·河南驻马店·期中）（1）若关于x的方程与方程的解相同，求m的值； （2）在（1）的条件下，解关于a、b的方程组． 【答案】（1）1；（2）， 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解一元一次方程以及解二元一次方程组，解题的关键在于：（1）通过解一元一次方程，求出m的值；（2）代入m的值，求出方程组的解． （1）解一元一次方程，可求出x的值，再将其代入方程中，求出m的值即可； （2）将m的值代入原方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：（1）解方程，得， 将代入方程，得，解得． ∴m的值为1． （2）将代入原方程组，得：， 即， 由，得，即， 将代入②，得，解得． ∴． 37．（24-25七年级下·山东潍坊·月考）计算： (1)解方程组： (2)解方程组： (3)如果关于x，y的方程组的解适合方程，求k的值． (4)关于x，y的方程组与有相同的解，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4) 【分析】（1）用代入消元法直接求解二元一次方程即可； （2）方程组整理后，用加减消元法直接求解二元一次方程即可； （3）先解方程组，求得x，y的值，再代入求解即可； （4）由题意可知两个二元一次方程组的解相同，可以把不含参数的两个二元一次方程组在一起，把含有参数的两个二元一次方程组在一起，分别求解即可． 【详解】（1）解：， 将代入得，， 解得， 将代入得，， 解得， ∴方程组的解为； （2）解：方程组整理得， 得， 解得， 将代入①得，， 解得， ∴方程组的解为； （3）解：由题意得， 得， 解得， 将代入②得，， 解得， ∴方程组的解为； 将代入得，， 解得； （4）解：由题意得， 得，即③， 得， 解得， 将代入得，， 解得， 将，代入得 解得， ∴． 38．（24-25七年级下·全国·课后作业）甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为试计算a2 013+(-b)2 014. 【答案】0. 【详解】试题分析：将代入方程组的第二个方程，x=5，y=4代入方程组的第一个方程，联立求出a与b的值，即可求出所求式子的值． 试题解析：把代入方程②中，得4×(-3)-b×(-1)=-2，解这个方程，得b=10. 把代入方程①中，得5a+5×4=15， 解这个方程，得a=-1. 所以a2 013+(-b)2 014=(-1)2 013+(-×10)2 014=0. 39．（24-25七年级下·福建泉州·月考）已知关于、的方程组． (1)试用含的式子表示方程组的解； (2)若上述方程组的解也是方程组的解，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，同解方程组问题： （1）利用加减消元法解方程组即可； （2）根据题意可得，解方程得到，进而得到，据此求出n的值即可得到答案． 【详解】（1）解： 得，解得， 把代入①得：，解得， ∴方程组的解为； （2）解：∵上述方程组的解也是方程组的解， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， ∴． 40．（24-25七年级下·河北石家庄·月考）阅读下列材料： 已知实数x，y满足，试求的值， 解：设，则原方程变为，整理得、，根据平方根意义可得，由于，所以可以求得．这种方法称为“换元法”，用一个字母去代替比较复杂的单项式、多项式，可以达到化繁为简的目的． 根据阅读材料内容，解决下列问题： (1)已知实数x，y满足求的值 (2)填空：已知关于x，y的方程组的解是，关于x，y的方程组的解是 ； 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法、平方差公式及完全平方公式，熟练掌握各个运算是解题的关键； （1）设，则原方程变为，然后根据平方差公式及开平方法可进行求解方程； （2）由题意易得方程组可变为，然后根据同解方程组可得，进而问题可求解． 【详解】（1）解：设，则原方程变为， ∴， 解得：， 即或； （2）解：由方程组可变形为， 即， ∵关于x，y的方程组的解是， ∴方程组的解为， ∴． 【经典计算题六 二元一次方程组的错解复原问题】 41．（24-25七年级下·甘肃武威·期末）甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程中的，解得，乙看错了方程中的，解得． (1)求正确的，的值； (2)求原方程组的正确解． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解复原问题，熟知解二元一次方程组的方法是解题的关键． （）根据题意可得甲求得的方程组的解满足方程，乙求得的方程组的解满足方程，据此可得关于的方程，解方程即可得到答案； （）根据（）所求可得原方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】（1）解：∵甲看错了方程中的，解得，乙看错了方程中的，解得， ∴甲求得的方程组的解，满足方程，乙求得的方程组的解满足方程， ∴，， ∴，； （2）解：由（）得，，， ∴原方程组为， 由得，， 把代入得，解得， 把代入得，， ∴方程组的解为：． 42．（25-26八年级上·陕西西安·月考）甲、乙两名同学在讨论方程的解时，甲得出一组正确的解为，乙将a与b的位置看错了，得出一组解为，求原方程中a，b的值． 【答案】， 【分析】本题考查了二元一次方程的解． 将代入得到，将代入得到，求解方程组即可． 【详解】解：将代入得到， 乙将a与b的位置看错了，得出一组解为， 则将代入得到， 可得， ，得， 解得． 将代入①，得， 解得． 43．（24-25七年级下·甘肃天水·期中）在解方程组时，由于粗心，小军看错了方程组中的，得到方程组的解为小红看错了方程组中的，得到方程组的解为，求该方程组正确的解． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键． 将第一组解代入方程组的第一个方程求出m的值，将第二组解代入方程组的第二个方程求出n的值即可，确定出正确的方程组，求出解即可． 【详解】解：小军看错了方程组中的， 把代入，得， 解得； 小红看错了方程组中的， 把代入，得， 解得； 原方程组为， ②-①，得， 把代入①，得， 解得， 原方程组的解为． 44．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）甲、乙两人同时解方程组甲看错了，求得解为；乙看错了，求得解为．请你求出的值． 【答案】 【分析】本题考查了方程组的解，代数式的值计算，熟练掌握解方程组的解的性质，是解题的关键． 把，代入，求得a值，把，代入，求得b值，后求的值即可． 【详解】解：把，代入， 得， 解得， 把，代入， 得， 解得， 所以． 45．（24-25七年级下·山东滨州·月考）小明、小文都到黑板上做同一道题：解二元一次方程组 ，小明得出的答案是，小文得出的答案是 ．老师讲评时指出，小明的答案是正确的，小文的错了．小文经检查后发现是把第二个方程中的c看错了，根据上述信息，你能把小明、小文他们做的那道题写出来吗？试试看． 【答案】小明、小文他们做的那道题为 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，因为小明是正确的，可将小明的答案代入原方程组，得出c的值和a与b的关系，又小文做错的原因是他把c看错了，可将小文的结果代入第一个式子，从而解出a、b、c的值，从而求解． 【详解】解：由题意知： ， 又∵小文做错的原因是他把c看错了， ∴与a、b无关． 故， ∴ 解得：． ∴小明、小文他们做的那道题为 ． 46．（24-25七年级下·广西北海·期中）已知方程组甲由于看错了方程（1）中的，得到方程组的解为是方程（2）的解；乙由于看错了方程（2）中的，得到方程组的解为是方程（1）的解．若按正确的计算，求的值． 【答案】16 【分析】根据题意，将，代入（2），通过求解一元一次方程，得；同理，计算得；再求解二元一次方程组，结合代数式的性质计算，即可得到答案． 【详解】将，代入（2）得：， ∴； 将，代入（1）得：， ∴， ∴原方程组为 ①×10+②得：， ∴ 把代入①得： ∴． 【点睛】本题考查了二元一次方程组、一元一次方程、代数式的知识；解题的关键是熟练掌握二元一次方程组、一元一次方程的性质，从而完成求解． 47．（25-26八年级上·山西太原·月考）下面是小马同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组： 解：得……第一步 得……第二步 ……第三步 将代入①得……第四步 所以，原方程组的解为……第五步 (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做________消元法，其中第一步的依据是________； (2)第________开始出现错误，这步的正确结果应为________； (3)直接写出该方程组的正确解：________． 【答案】(1)加减，等式的基本性质 (2)二， (3) 【分析】（1）根据题中的求解通过将两个方程相加或相减消去一个未知数的方法可判断出该方法是加减消元法，方程①两边同时乘以2，是根据等式的基本性质：等式两边同时乘同一个数，等式仍然成立； （2）观察题中的解题步骤发现在第二步“得”出现错误，由于合并同类项错误导致计算问题，正确结果应为； （3）根据上述分析从第二步开始重新计算即可得出结果． 【详解】（1）解：根据解方程的基本特征，判定为加减消元法，第一步是利用等式的基本性质变形得到， 故答案为：加减，等式的基本性质． （2）解：∵得， ∴第二步错误，正确结果应为， 故答案为：二，． （3）解：， 由得，， 得，， 将代入①得，， ∴原方程组的解为． 48．（24-25七年级下·全国·假期作业）如图，小红和小明两人共同解方程组 根据以上他们的对话内容，请你求出的正确值，并计算的值． 【答案】0 【分析】本题主要考查二元一次方程组解的定义，解决本题的关键是将已知方程组的解代入方程进行求解． 根据题意将代入方程②求出b，把代入①求出a，最后代入代数式求值． 【详解】解：∵小明看错了方程①中的，所以满足方程②， 即，解得， ∵小红看错了方程②中的，所以满足方程①， 即，解得， ∴． 【经典计算题七 解含参的二元一次方程组】 49．（24-25七年级下·江苏·期末）已知方程组中互为相反数，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了相反数的定义，解二元一次方程组，根据相反数的定义得出，把代入方程组得到一个新的二元一次方程组，利用代入法求解即可得出m的值． 【详解】解：∵互为相反数， ∴， 把代入方程组， 得： 把②代入①得：， 解得： 50．（25-26八年级上·福建漳州·月考）关于x，y的二元一次方程组的解满足，求m的值； 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组．由，得到，再分别代入所给方程组，进一步计算可求出答案． 【详解】解：， ， 把代入得： ， 解得：， ， 把代入得： ， 解得：． 51．（24-25七年级下·河南南阳·期中）已知关于，的方程组的解满足，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的求解以及一元一次不等式组的求解，解题的关键是先求出方程组的解，再根据的取值范围列出不等式组求解． 先通过解二元一次方程组求出和关于的表达式，进而得到关于的表达式，再根据的取值范围列出不等式组，求解得出的取值范围． 【详解】解：解方程组， 得， ， 又∵， ， 解得． 52．（2025七年级下·浙江·专题练习）若二元一次方程组有无数组解，求k的条件． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组解的情况与方程系数的关系，解题的关键是理解当二元一次方程组有无数组解时，两个方程所代表的直线重合，即方程对应系数成比例． 先将第二个方程变形，使其的系数与第一个方程中的系数相同，再根据方程组有无数组解时两方程对应系数相等来求解． 【详解】解：∵方程组有无数组解， ∴两个方程应完全一样， 由整理得：， ∴， 解得：． 53．（24-25七年级下·上海浦东新·期中）已知关于、的方程组，若方程组的解满足，求的最大整数值． 解： 【答案】4 【分析】本题考查解二元一次方程组，求一元一次不等式的整数解，先求出二元一次方程组的解，将解代入不等式中，求出不等式的解集，进而求出的最大整数值即可． 【详解】解：， 解得：， ∵， ∴， 解得：， ∴的最大整数值为． 54．（24-25七年级上·湖南岳阳·月考）已知关于x，y的方程组． (1)请直接写出方程的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求m的值； (3)如果方程组有整数解，求整数m的值． 【答案】(1)， (2) (3)整数的值为或2 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解，以及解二元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）把看作已知数表示出，进而确定出方程的正整数解即可； （2）已知方程与方程组第一个方程联立求出与的值，进而求出的值； （3）根据方程组有整数解，确定出整数的值即可． 【详解】（1）解：方程， 解得：， 当时，； 当，； 即方程的正整数的解为，； （2）解：联立得， 解得， 代入得：， 解得； （3）解：， ①②得：， 解得：， 把代入①得：， 当，1，，，4，时，为整数，此时，，，，2，， 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意， 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意， 综上所述，整数的值为或2． 55．（24-25七年级下·河南洛阳·期中）问题：已知关于，的方程组的解满足方程，求的值． 同学们正在讨论着不同的解题思路： 甲同学说：可以先解关于，的方程组，再求的值． 乙同学说：可以先将方程组中的两个方程相加，再求的值； 丙同学说：可以先解方程组，再求的值． ．．． 请选择一种合适的方法解决上面的问题． 【答案】 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握加减法是解题的关键．选择一种合适的方法求解即可． 【详解】解：甲同学解法： 得，， 解得， 把代入②得，， 解得， ∴， ∵， ∴， 解得； 利用乙同学的解法：， ③+①得，， 即④， ④代入②得，， 解得． 利用丙同学的解法： 先解方程组， ①②得，， 把代入①得， 解得， 所以方程组的解为， 把代入方程得，，解得． 56．（24-25七年级下·广东韶关·期末）阅读以下内容：已知x，y满足， 且满足，求m的值． 三位同学分别提出了自己的解题思路： 甲同学：先解关于x，y的方程组，再求m的值； 乙同学：先将方程组中的两个方程相加，再求m的值； 丙同学：先解方程组，再求m的值． (1)以上三位同学的解题思路中，正确的有_______个，你最欣赏_______（填写“甲”或“乙”或“丙”）的思路； (2)根据你所选的思路解答此题． 【答案】(1)3，乙（答案不唯一） (2)4 【分析】本题考查解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的解法． （1）分别根据甲、乙、丙三位同学的思路分别进行分析即可； （2）根据甲、乙、丙三位同学的思路结合解二元一次方程组的方法计算即可． 【详解】（1）解：甲同学：利用m可表示出关于x，y的方程组的解，再代入，即可求出m的值，故甲同学的解题思路正确； 乙同学：将方程组中的两个方程相加，可得出，再将整体代入，即可求出m的值，故乙同学的解题思路正确； 丙同学：解方程组，再将解代入，即可求出m的值，故丙同学的解题思路正确． 综上可知以上三位同学的解题思路中，正确的有3个，最欣赏乙同学的思路，因为利用整体代入思想，计算简便． 故答案为：3，乙（答案不唯一）； （2）解：甲同学： 解得：， 将代入，得：， 解得：； 乙同学：， 由并整理，得：． 将代入，得：， 解得：； 丙同学：解方程组， 解得：， 将代入，得：， 解得：． 【经典计算题八 构造二元一次方程组计算】 57．（2025七年级下·全国·专题练习）如果，且，求，的值． 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程，熟练掌握解二元一次方程是解答本题的关键．化简得，再联立，解方程组即可求出、的值． 【详解】解：化简得， ， 解得： ，． 58．（25-26七年级上·全国·课后作业）对于有理数定义新运算：，其中为常数．已知，求的值． 【答案】 【分析】根据求出的值，再代入计算即可. 【详解】解：根据题意，得 ，， 整理，得 ①+②，得， 解得． 把代入②， 得， ． 【点睛】本题考查了新定义，构造关于二元一次方程组是解题的关键. 59．（24-25七年级下·全国·单元测试）对于x、y定义一种新运算“”，，其中a，b是常数，例如：，求的值． 【答案】 【分析】根据新定义型运算公式，将条件中的数字代入即可求出a与b的值，然后再将15与代入公式即可求出答案． 本题考查新定义运算，涉及二元一次方程组的解法，代数式求值问题，属于中等题型． 【详解】解：由题意可知：, ∴， ∴解得：， ∴． 60．（24-25七年级下·吉林·期末）我们定义一个关于非零常数m，n的新运算，规定：，例如：．若，，求x，y的值． 【答案】x，y的值分别为2， 【分析】本题考查定义新运算，解二元一次方程组，根据新运算的法则，列出方程组，进行求解即可． 【详解】∵，，， ∴ 解得 ∴x，y的值分别为2，． 61．（24-25八年级上·河北保定·月考）已知代数式． (1)当时，代数式的值是，请用含的代数式表示． (2)当时，代数式的值是；当时，代数式的值是，求，的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了代数式，列二元一次方程组，根据题意，列出正确的二元一次方程组，解出，的值，是解答本题的关键． （1）根据题意，当时，代数式的值是，得到，由此求出答案． （2）根据题意，当时，代数式的值是；当时，代数式的值是，得到，由此求出答案． 【详解】（1）解：根据题意得： 当时，代数式的值是， 即， ， 用含的代数式表示：． （2）根据题意得： 当时，代数式的值是；当时，代数式的值是， ， 解得：． 62．（2025七年级下·全国·专题练习）阅读材料：对于任何实数，我们规定符号的意义是． 例如：，． (1)按照这个规定请你计算的值； (2)有两个算式：，，求a、b的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据所给的规定进行运算即可； （2）结合所给的规定，列出方程组，解方程组即可． 【详解】（1）解： ； （2）∵，， ∴， 得：， ①+③得：， 解得， 把代入②得：， 解得， 故方程组的解是， 即． 【点睛】本题主要考查实数的运算，解二元一次方程组，新定义，解答的关键是对相应的运算法则及解方程的方法的掌握． 63．（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．示例：，即． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题主要考查二元一次方程组，三元一次方程组的应用； （1）根据图形得出关于的二元一次方程组，代入，即可求出； （2）根据图形得出关于的三元一次方程组，代入，即可求出． 【详解】（1）解：依题意， 得 当时， （2）依题意，得 当时， 【经典计算题九 三元一次方程组的解法】 64．（24-25七年级下·全国·期中）用适当的方法解下列方程组 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解三元一次方程组，熟练掌握解方程组的一般步骤是解题的关键． （1）根据加减消元法求解即可； （2）根据加减消元法求解即可； （3）先消去b，再解关于a，c的二元一次方程组即可得解． 【详解】（1）解：， 由得， 解得， 把代入得， 原方程组的解为； （2）解：， 由得， 解得， 把代入得， 解得， 原方程组的解为． （3）解：， 由得， 由得， 解得， 把代入得， 解得， 把代入得， 解得， 原方程组的解为． 65．（24-25七年级下·河北石家庄·开学考试）（1）解方程组：． （2）已知，当时，；当时，；当时，，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法和通过代入已知值求解二次函数系数．熟练掌握消元法解二元一次方程组以及根据已知条件建立方程组求解函数系数的方法是解题的关键． （1）使用消元法来求解该二元一次方程组．通过对两个方程进行变形，消除其中一个未知数，从而求得另一个未知数的值，再将求得的值代入原方程求出被消除的未知数． （2）将不同值下对应的值代入函数表达式，得到一个关于、、的三元一次方程组，然后求解该方程组，即可得到、、的值． 【详解】解：（1） 由得， 得， 解得， 把代入得， 解得， 所以原方程组的解为； （2）由题意可得      把代入得，即， 把代入得，即， 得， 解得， 把代入得， 解得， ， 所以，． 66．（2025八年级上·全国·专题练习）用简便方法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组、三元一次方程组和整体代入思想，熟练掌握代入消元法和加减消元法是解题的关键． （1）整理方程组，利用整体代入法即可解此题． （2）设，将、、用表示，代入方程，求出的值，进而得到、、的值．利用加减消元法解此题即可； 【详解】（1）对原方程组进行整理： 把①代入②： 解得： 把代入①： ， 即， 解得． 所以方程组的解为． （2）设，则，，． 将，，代入中，得到： 解得： 所以，，． 所以方程组的解为． 67．（25-26八年级上·重庆沙坪坝·月考）解方程组． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查二元一次方程组，三元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组和三元一次方程组的解法是解题的关键， （1）利用二元一次方程组的解法--加法消元即可求得答案； （2）先将两个式子化为同系数，再利用减法消元即可求得答案； （3）先将二元一次方程组化简，化为同系数，再利用减法消元即可求得答案； （4）利用三元一次方程组的解法求解即可得到答案． 【详解】（1）解： 得： 解得：， 把代入①中得：， 解得：， ∴ （2）解： ，得：， 解得：， 把代入②，得：， 解得：， ∴ （3）解： 化简得： 得：， 解得：， 把代入③得：， ∴ （4）解： 把①分别代入②③得： 解得：， 把代入①中，得：， ∴ 68．（2025七年级下·浙江·专题练习）已知，且，求、、的值． 【答案】，， 【分析】本题考查了解三元一次方程组．设，得出，，，进而根据，求得的值，即可求解． 【详解】解：设， 则，，， ，，， ， ， 解得：， ，，． 69．（2025八年级·全国·模拟预测）已知，求x，y，a的值． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，熟练掌握算术平方根的非负性是解题的关键； 根据算术平方根的非负性得，，，解三元一次方程组即可． 【详解】， ， ， ，， ， 解得． 70．（24-25七年级上·上海浦东新·期中）甲、乙两人共同计算一道整式：．由于甲抄错了的符号，得到的结果是，乙漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果是．求的值． 【答案】 【分析】按甲乙错误的说法计算得出的系数的数值求出，的值，将，的值代入，即可求解． 【详解】解：甲抄错了的符号的计算结果为：， ∴ 乙漏抄了第二个多项式中的系数，计算结果为：（． ∴， ∴ ∴， 解得， ∴ 当时，原式 【点睛】此题考查了多项式乘多项式，解二元一次方程组，解题的关键是根据多项式乘多项式的运算法则分别进行计算． 71．（24-25八年级上·陕西西安·月考）【数学问题】解方程组 【思路分析】小明观察后发现可以把视为一个整体，把方程①直接代入到方程②中，这样，就可以将方程②直接转化为一元一次方程，从而达到“消元”的目的． (1)【完成解答】请你按照小明的思路，完成解方程组的过程． (2)【迁移运用】请你按照小明的方法，解方程组 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解三元一次方程组、解二元一次方程组； （1）把①代入②，求出x的值，再把x的值带入①，求出y的值； （2）先把①代入③，求出c的值，再把c的值代入②，求出a的值，最后把a的值代入①，求出b的值，即可． 【详解】（1）解： 把①代入②，得， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为； （2）解： 把①代入③得：，解得：， 把代入②得：，解得：， 把代入①得：，解得：， ∴原方程组的解为． 72．（24-25七年级下·山东淄博·期中）（1）数学活动：探究不定方程 小张，小王两位同学在学习方程过程中，发现三元一次方程组虽然解不出x，y，z的具体数值，但可以解出的值．请在以下横线处补全两人的解法． 小张的方法： ，整理可得：____________； ，整理可得：____________， ∴ 小王的方法：：_____________③； ∴__________得：． （2）请利用解不定方程的思路解决以下问题：已知买4本英语簿，5本数学簿，2本作文本需要6元；买4本英语簿，8本数学簿，2本作文本需要元，求买2本英语簿，3本数学簿，1本作文本需要多少钱？ 【答案】（1）；；；③．（2） 【分析】本题考查的是三元一次方程组的解法，掌握整体未知数的方法是解本题的关键； （1）分别根据题干提示的思路求解即可； （2）由题意，设1本英语簿x元，1本数学簿y元，1本作文本z元，再建立方程组，先求解，再求解，从而可得答案． 【详解】解：（1） 由题意，小张的方法：， 整理可得：； ，整理可得：， ∴． 小王的方法：：③； ∴得：4． 故答案为：；；；． （2）由题意，设1本英语簿x元，1本数学簿y元，1本作文本z元， 可得方程组 ∴得，， ∴． 又，整理得，． ∴． 【经典计算题十 二元一次方程组的新定义计算】 73．（24-25七年级下·福建泉州·月考）定义一种新运算“”：当时，；当时，． (1)计算： _______；_______； (2)解方程组：； 【答案】(1)1， (2) 【分析】本题考查了有理数的新定义运算，解二元一次方程组. （1）由，根据计算即可；由，根据计算即可； （2）分两种情况求解方程组即可. 【详解】（1）∵， ∴ ； ∵， ∴ ， 故答案为：1；． （2）分两种情况进行讨论： ①当时，原方程组化为： 解得：， 显然满足，故符合题意； ②当时，原方程组化为： 解得：， 显然不满足时，故不合题意，舍去， 综上所述：原方程组的解为. 74．（2025七年级下·全国·专题练习）对于有理数x和y，定义新运算：，其中a、b是常数，已知． (1)求a、b的值； (2)若，求y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了代入法解二元一次方程组，定义新运算， 对于（1），根据新定义运算可得：，根据解二元一次方程组的方法，利用代入消元法解方程组即可； 对于（2），根据（1）中的结果和题意，可以得到关于y的一元一次方程，然后求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 由①，得③， 把③代入②，得， 解得：， 把代入③，解得， ∴； （2）解：∵，， ∴. ∵， ∴， 解得：． 75．（2025七年级下·全国·专题练习）对于实数a，b，定义关于“”的一种运算：．例如：．若，求x，y的值． 【答案】x，y的值分别为 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，根据题中的定义列出二元一次方程组，利用加减消元法进行求解即可． 【详解】解：根据题中的定义，得， ，得， ③． ，得，解得：． ，得，解得：． 故x，y的值分别为． 76．（24-25七年级下·河北邢台·期末）对x，y定义一种新运算T，规定：T（x，y）＝ax＋2by－1，（其中a，b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T（0，1）＝a·0＋2b·1－1＝2b－1．已知T（1，－1）＝－2，T（－3，2）＝4． （1）求a，b的值； （2）利用（1）的结果化简求值：（a－4b）（4a－3b）－（2a＋b）（2a－b） 【答案】(1)；(2) 【分析】(1)根据定义的新运算T，列出二元一次方程组，解方程组求出a，b的值； (2)先根据整式的加减乘除运算法则化简，然后再代入a和b的值． 【详解】解：(1)∵T(1,-1)＝－2，T(-3,2)＝4， ∴ 解得：， 故答案为：． (2)原式 ， 将代入： 原式， 故答案为． 【点睛】本题借助新定义考查了二元一次方程组的解法及整式的化简求值，熟练掌握二元一次方程组的解法及整式的四则运算是解题的关键． 77．（24-25七年级下·河南南阳·月考）定义：二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”，如二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”． (1)直接写出二元一次方程的“反对称二元一次方程”为：____________； (2)二元一次方程的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解，求出m，n的值． 【答案】(1) (2)m的值为1，n的值为5 【分析】本题考查的是新定义的含义，二元一次方程的解的含义，二元一次方程组的解法； （1）根据定义直接可得答案； （2）由题意得，二元一次方程的“反对称二元一次方程”是，再利用方程的解的含义建立方程组解题即可． 【详解】（1）解：二元一次方程的“反对称二元一次方程”为：； （2）解：由题意得，二元一次方程的“反对称二元一次方程”是， 二元一次方程的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解， ∴把代入、 得， 解得， ∴m的值为1，n的值为5． 78．（24-25八年级上·吉林长春·开学考试）阅读理解： 已知实数，满足，，求和的值．仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．利用“整体思想”，解决下列问题： (1)已知二元一次方程组，则________，_______； (2)对于实数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是实数运算．已知，，求的值． 【答案】(1)，3． (2)54 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握整体思想是解题的关键． （1）利用①②可求出的值，利用①②进行计算可求出的值； （2）根据题意可得，然后由④-③可得利用整体的思想求出． 【详解】（1）解： 由①②得：， 由①②得：， ∴， ∴． 故答案为：，3． （2）∵，，， 则 由④-③可得： 即 ∴． 79．（24-25七年级下·广东广州·期中）对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数．例如，， 已知，，则根据定义可以得到： (1)_______，_______； (2)若，求的值； (3)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值； (4)若关于x，y的方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为_______． 【答案】(1)1， (2)5 (3) (4) 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键． （1）用加减消元法解方程组即可； （2）由，得到，，代入，求解即可； （3）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可； （4）把所求方程组写成，根据方程组的解的定义，利用整体代入的方法解答即可． 【详解】（1）解：， ，得 ， ∴， 把代入②，得 ， ∴， 解得：； 故答案为：1，； （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴， 解得； （3）解：依题意得， 解得：， ∵， ∴， 解得：； （4）解：由方程组得：， ∵的解为， ∴， 解得：． 80．（24-25七年级下·广西南宁·月考）阅读感悟： 有些关于方程组的问题，需要求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数，满足①，②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得，的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题方法就是通常所说的“整体代入法”求值． 解决问题： (1)已知二元一次方程组，请用“整体代入法”求和的值； (2)对于实数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，求的值． 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，三元一次方程组的应用，掌握整体思想解决问题是解题的关键． （1）将两方程相加可求的值，将两方程相减可求的值； （2）由题意列出方程组，再由即可求解． 【详解】（1）解：， 由得：； 由得：， ∴； （2）解：∵，， ∴， 由得：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15讲 二元一次方程组80道计算题专项训练 题型一 二元一次方程的解 题型二 代入消元法 题型三 加减消元法 题型四 整体换元解二元一次方程组 题型五 方程组同解计算 题型六 二元一次方程组的错解复原问题 题型七 解含参的二元一次方程组 题型八 构造二元一次方程组计算 题型九 三元一次方程组的解法 题型十 二元一次方程组的新定义计算 【经典计算题一 二元一次方程的解】 1．（24-25七年级下·全国·随堂练习）已知是方程的解，求的值． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）求方程的正整数解． 3．（25-26八年级上·陕西西安·月考）若关于x，y的二元一次方程有一组解为，求k的值． 4．（24-25七年级下·河南南阳·月考）已知方程，请你写出一个二元一次方程，使它与已知方程所组成的方程组的解为．                                                                                                                        5．（24-25七年级下·福建福州·期中）关于x，y的二元一次方程（为常数），且，． (1)当时，求的值； (2)若a为正整数，且该方程有正整数解时，求a的值． 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知是二元一次方程的解． (1)求的值． (2)解是的二元一次方程唯一吗？如果唯一，请直接回答；如果不唯一，请再写出另一个满足条件的二元一次方程． 7．（24-25七年级下·江西南昌·期末）(阅读理解题)阅读下面情境:甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程①中的a,得到方程组的解为乙看错了方程②中的b,得到方程组的解为试求出a,b的正确值,并计算a2 018+的值. 8．（24-25七年级下·贵州黔南·期末）阅读下面材料，完成任务． 我们知道二元一次方程有无数组解，但在实际生活中我们往往只需要求出其正整数解． 例：由，得（为正整数），，则有． 又为正整数，为正整数， 为3的正整数倍数，从而， ，的正整数解为 任务： (1)请你写出方程的正整数解：_____； (2)若为自然数，则满足条件的整数有_____个； (3)七年级某班为了奖励学习进步的学生，购买了单价为每本5元的笔记本与单价为每支7元的钢笔两种奖品，共花费75元，问有哪几种购买方案？ 【经典计算题二 代入消元法】 9．（2026七年级下·全国·专题练习）已知．求的值． 10．（24-25八年级上·广东茂名·期末）解方程组：，并用代入法验证解的正确性． 11．（25-26八年级上·山东枣庄·月考）解下列方程组： (1) (2) 12．（25-26八年级上·广东茂名·月考）解下列方程组： (1)； (2)． 13．（25-26七年级上·全国·课后作业）用代入消元法解下列方程组： (1) (2) (3) (4) 14．（2025八年级上·全国·专题练习）用代入消元法解下列二元一次方程组： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 15．（25-26七年级上·云南红河·期中）解二元一次方程组时，可把①代入②得：，求得，再把代入①得：，所以二元一次方程组的解为，这种解法称为“整体代入法”．请用这样的方法解下列方程组． 【经典计算题三 加减消元法】 16．（24-25七年级下·陕西宝鸡·月考）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法． 解：将方程②变形：即③，把方程①代入③得：，解得，把代入①得：，解得，所以，方程组的解为 请你模仿小军的“整体代换”法解决以下问题： (1)解方程组 (2)已知满足试求的值． 17．（25-26八年级上·福建宁德·月考）解下列二元一次方程组：； 18．（25-26八年级上·全国·假期作业）已知关于x，y的方程组的解满足，求k． 19．（25-26七年级下·全国·周测）已知关于x，y的二元一次方程组若该方程组中x，y满足，求k的取值范围． 20．（25-26七年级上·全国·课后作业）用适当的方法解下列方程组： (1) (2) (3) (4) 21．（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）（1）下面是小明同学计算二次根式的过程，请认真阅读并完成相应任务： 解：原式…………第一步 …………………………第二步 …………………………第三步 ①他第一次出错在第___________步： ②请写出正确的解答过程． （2）解方程组：． 22．（25-26七年级下·上海普陀·月考）甲、乙两位同学解方程组，甲抄错了方程①，解得，乙把方程②抄错了，解得，求、的值及原方程组的解． 23．（24-25八年级上·广东深圳·期末）下面是小乐同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组： 解：①，得，③…………………第一步 ③-②，得，……………………………………第二步 ．………………………………………………第三步 将代入①，得…………………………第四步 所以，原方程组的解为，…………………………第五步 (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做_______法；以上求解步骤中，第一步的依据是______． (2)第______步开始出现错误． (3)直接写出该方程组的正确解：______． 24．（25-26八年级上·河南周口·月考）甲、乙二人共同计算时，均出现了失误：甲由于抄错了第一个多项式中的运算符号，即把“”抄成“”，得到的结果为；乙由于抄漏了第二个多项式中的系数，即把“”抄成“”，得到的结果为． (1)求出，的值． (2)在（1）的条件下，试求的正确结果． 【经典计算题四 整体换元解二元一次方程组】 25．（24-25七年级下·河南南阳·月考）阅读材料：善于思考的贝贝同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．把看成一个整体，设,原方程组可变为，解得，即，解得 (1)模仿贝贝同学的“整体换元”的方法，解方程组： (2)已知关于x,y的方程组的解为，求关于m，n的方程组的解． 26．（24-25七年级下·全国·课后作业）小明在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：解方程组． (1)如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过“换元”可以解决问题．设，则原方程组可化为_______，解关于的方程组，得，所以解这个方程组，得_______． (2)运用上述方法解方程组：． (3)已知关于的二元一次方程组的解为，求关于的二元一次方程组的解． 27．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）教材中有这样一道题目：解方程组圆圆认为，只要把两个方程分别去分母，化简，再用加减消元法或代入消元法，可以求解方方认为，圆圆的方法计算量大，容易出错，可以把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元解决问题请参考以上两位同学的思路，任选一种方法，解这个方程组． 28．（2025七年级下·浙江·专题练习）三个同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解”提出各自的想法．甲说：“这个题目好象条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替代的方法来解决”．参考他们的讨论，请你解答这个题目． 29．（24-25七年级下·福建泉州·月考）阅读下列材料： 小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：解方程组．小明发现，如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：令，． 原方程组化为，解得，把代入，，得，解得，∴原方程组的解为． (1)学以致用： 运用上述方法解下列方程组：． (2)拓展提升： 已知关于x，y的方程组的解为，请求出关于m、n的方程组的解． 30．（24-25七年级下·河南驻马店·月考）换元法是数学中的一种解题方法．若我们把其中某些部分看成一个整体，用一个新字母代替（即换元）．则能使复杂的问题简单化．如：解二元一次方程组，按常规思路解方程组计算量较大．可设，，那么方程组可化为，从而将方程组简单化，解出和的值后，再利用，解出和的值即可． (1)请用换元法解方程组． (2)某食堂红烧肉元/份，辣椒炒肉元/份，土豆丝元/份．位同学一起去食堂吃饭，若位同学都打了红烧肉、辣椒炒肉和土豆丝，另外位同学打红烧肉和土豆丝，位同学共花费元；若位同学打红烧肉、辣椒炒肉和土豆丝，另外位同学打红烧肉和土豆丝，位同学共花费元．如果小肖同学和小洁同学两人共打了两份红烧肉，一份辣椒炒肉，两份土豆丝，那么两人共需要付多少元？ 31．（25-26八年级上·山西晋中·期末）阅读与思考下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务： 整体代入消元法在利用“代入消元法”解完二元一次方程组后，小宣还想到了一种新的解法； 解：把看作整体代入①，得，解得．将代入②，得，所以原方程组的解为． 这种把看成一个整体进行代入消元解方程组的方法叫作“整体代入消元法”． 请你利用“整体代入消元法”解方程组． 32．（24-25七年级下·山西吕梁·期末）阅读与思考 下面是小宇同学的一篇学习笔记（部分），请你认真阅读，并完成相应任务． “整体思想”应用举例 “整体思想”是数学中的重要思想，贯穿中学数学的全过程，可以应用为整体代入、整体换元、整体约减、整体求和、整体构造等方法．有些问题若从局部求解，采取逐个击破的方式，则很难解决，或者比较复杂；而从全局着眼，整体思考，会使问题化繁为简，化难为易，复杂问题也就迎刃而解了．因而，“整体思想”是中学数学解题中的一种重要思想方法，运用整体思想有时会使我们的解题更加简便快捷．例如 例1解方程组： 解：把②代入①得，，解得． 把代入②得，．所以原方程组的解为 例2已知实数满足①②，求和的值．解：由可，由①可得． 整体思想就是考虑数学问题时不是着眼于它的局部特征，而是把注意力和着眼点放在问题的整体结构上．通过对其全面深刻的观察，从宏观整体上认识问题的实质，把一些彼此独立，但实质上又紧密联系的量作为整体来处理的思想方法． 任务：（要求：运用阅读内容中的方法） (1)已知二元一次方程组求和的值； (2)解方程组： (3)已知方程组的解是请直接写出方程组：的解． 【经典计算题五 方程组同解计算】 33．（25-26八年级上·全国·假期作业）方程组与方程组的解相同，求的值． 34．（25-26八年级上·陕西西安·月考）已知关于x，y的方程组与有相同的解，求a，b的值． 35．（25-26八年级上·山东菏泽·月考）已知关于x，y的二元一次方程组和的解相同，求的值． 36．（24-25七年级下·河南驻马店·期中）（1）若关于x的方程与方程的解相同，求m的值； （2）在（1）的条件下，解关于a、b的方程组． 37．（24-25七年级下·山东潍坊·月考）计算： (1)解方程组： (2)解方程组： (3)如果关于x，y的方程组的解适合方程，求k的值． (4)关于x，y的方程组与有相同的解，求的值． 38． （24-25七年级下·全国·课后作业）甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为试计算a2 013+(-b)2 014. 39．（24-25七年级下·福建泉州·月考）已知关于、的方程组． (1)试用含的式子表示方程组的解； (2)若上述方程组的解也是方程组的解，求的值． 40．（24-25七年级下·河北石家庄·月考）阅读下列材料： 已知实数x，y满足，试求的值， 解：设，则原方程变为，整理得、，根据平方根意义可得，由于，所以可以求得．这种方法称为“换元法”，用一个字母去代替比较复杂的单项式、多项式，可以达到化繁为简的目的． 根据阅读材料内容，解决下列问题： (1)已知实数x，y满足求的值 (2)填空：已知关于x，y的方程组的解是，关于x，y的方程组的解是 ； 【经典计算题六 二元一次方程组的错解复原问题】 41．（24-25七年级下·甘肃武威·期末）甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程中的，解得，乙看错了方程中的，解得． (1)求正确的，的值； (2)求原方程组的正确解． 42．（25-26八年级上·陕西西安·月考）甲、乙两名同学在讨论方程的解时，甲得出一组正确的解为，乙将a与b的位置看错了，得出一组解为，求原方程中a，b的值． 43．（24-25七年级下·甘肃天水·期中）在解方程组时，由于粗心，小军看错了方程组中的，得到方程组的解为小红看错了方程组中的，得到方程组的解为，求该方程组正确的解． 44．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）甲、乙两人同时解方程组甲看错了，求得解为；乙看错了，求得解为．请你求出的值． 45．（24-25七年级下·山东滨州·月考）小明、小文都到黑板上做同一道题：解二元一次方程组 ，小明得出的答案是，小文得出的答案是 ．老师讲评时指出，小明的答案是正确的，小文的错了．小文经检查后发现是把第二个方程中的c看错了，根据上述信息，你能把小明、小文他们做的那道题写出来吗？试试看． 46．（24-25七年级下·广西北海·期中）已知方程组甲由于看错了方程（1）中的，得到方程组的解为是方程（2）的解；乙由于看错了方程（2）中的，得到方程组的解为是方程（1）的解．若按正确的计算，求的值． 47．（25-26八年级上·山西太原·月考）下面是小马同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组： 解：得……第一步 得……第二步 ……第三步 将代入①得……第四步 所以，原方程组的解为……第五步 (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做________消元法，其中第一步的依据是________； (2)第________开始出现错误，这步的正确结果应为________； (3)直接写出该方程组的正确解：________． 48．（24-25七年级下·全国·假期作业）如图，小红和小明两人共同解方程组 根据以上他们的对话内容，请你求出的正确值，并计算的值． 【经典计算题七 解含参的二元一次方程组】 49．（24-25七年级下·江苏·期末）已知方程组中互为相反数，求的值． 50．（25-26八年级上·福建漳州·月考）关于x，y的二元一次方程组的解满足，求m的值； 51．（24-25七年级下·河南南阳·期中）已知关于，的方程组的解满足，求的取值范围． 52．（2025七年级下·浙江·专题练习）若二元一次方程组有无数组解，求k的条件． 53．（24-25七年级下·上海浦东新·期中）已知关于、的方程组，若方程组的解满足，求的最大整数值． 解： 54．（24-25七年级上·湖南岳阳·月考）已知关于x，y的方程组． (1)请直接写出方程的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求m的值； (3)如果方程组有整数解，求整数m的值． 55．（24-25七年级下·河南洛阳·期中）问题：已知关于，的方程组的解满足方程，求的值． 同学们正在讨论着不同的解题思路： 甲同学说：可以先解关于，的方程组，再求的值． 乙同学说：可以先将方程组中的两个方程相加，再求的值； 丙同学说：可以先解方程组，再求的值． ．．． 请选择一种合适的方法解决上面的问题． 56．（24-25七年级下·广东韶关·期末）阅读以下内容：已知x，y满足， 且满足，求m的值． 三位同学分别提出了自己的解题思路： 甲同学：先解关于x，y的方程组，再求m的值； 乙同学：先将方程组中的两个方程相加，再求m的值； 丙同学：先解方程组，再求m的值． (1)以上三位同学的解题思路中，正确的有_______个，你最欣赏_______（填写“甲”或“乙”或“丙”）的思路； (2)根据你所选的思路解答此题． 【经典计算题八 构造二元一次方程组计算】 57．（2025七年级下·全国·专题练习）如果，且，求，的值． 58．（25-26七年级上·全国·课后作业）对于有理数定义新运算：，其中为常数．已知，求的值． 59．（24-25七年级下·全国·单元测试）对于x、y定义一种新运算“”，，其中a，b是常数，例如：，求的值． 60．（24-25七年级下·吉林·期末）我们定义一个关于非零常数m，n的新运算，规定：，例如：．若，，求x，y的值． 61．（24-25八年级上·河北保定·月考）已知代数式． (1)当时，代数式的值是，请用含的代数式表示． (2)当时，代数式的值是；当时，代数式的值是，求，的值． 62．（2025七年级下·全国·专题练习）阅读材料：对于任何实数，我们规定符号的意义是． 例如：，． (1)按照这个规定请你计算的值； (2)有两个算式：，，求a、b的值． 63．（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．示例：，即． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【经典计算题九 三元一次方程组的解法】 64．（24-25七年级下·全国·期中）用适当的方法解下列方程组 (1) (2) (3) 65．（24-25七年级下·河北石家庄·开学考试）（1）解方程组：． （2）已知，当时，；当时，；当时，，求的值． 66．（2025八年级上·全国·专题练习）用简便方法解下列方程组： (1) (2) 67．（25-26八年级上·重庆沙坪坝·月考）解方程组． (1) (2) (3) (4) 68．（2025七年级下·浙江·专题练习）已知，且，求、、的值． 69．（2025八年级·全国·模拟预测）已知，求x，y，a的值． 70．（24-25七年级上·上海浦东新·期中）甲、乙两人共同计算一道整式：．由于甲抄错了的符号，得到的结果是，乙漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果是．求的值． 71．（24-25八年级上·陕西西安·月考）【数学问题】解方程组 【思路分析】小明观察后发现可以把视为一个整体，把方程①直接代入到方程②中，这样，就可以将方程②直接转化为一元一次方程，从而达到“消元”的目的． (1)【完成解答】请你按照小明的思路，完成解方程组的过程． (2)【迁移运用】请你按照小明的方法，解方程组 72．（24-25七年级下·山东淄博·期中）（1）数学活动：探究不定方程 小张，小王两位同学在学习方程过程中，发现三元一次方程组虽然解不出x，y，z的具体数值，但可以解出的值．请在以下横线处补全两人的解法． 小张的方法： ，整理可得：____________； ，整理可得：____________， ∴ 小王的方法：：_____________③； ∴__________得：． （2）请利用解不定方程的思路解决以下问题：已知买4本英语簿，5本数学簿，2本作文本需要6元；买4本英语簿，8本数学簿，2本作文本需要元，求买2本英语簿，3本数学簿，1本作文本需要多少钱？ 【经典计算题十 二元一次方程组的新定义计算】 73．（24-25七年级下·福建泉州·月考）定义一种新运算“”：当时，；当时，． (1)计算： _______；_______； (2)解方程组：； 74．（2025七年级下·全国·专题练习）对于有理数x和y，定义新运算：，其中a、b是常数，已知． (1)求a、b的值； (2)若，求y的值． 75．（2025七年级下·全国·专题练习）对于实数a，b，定义关于“”的一种运算：．例如：．若，求x，y的值． 76．（24-25七年级下·河北邢台·期末）对x，y定义一种新运算T，规定：T（x，y）＝ax＋2by－1，（其中a，b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T（0，1）＝a·0＋2b·1－1＝2b－1．已知T（1，－1）＝－2，T（－3，2）＝4． （1）求a，b的值； （2）利用（1）的结果化简求值：（a－4b）（4a－3b）－（2a＋b）（2a－b） 77．（24-25七年级下·河南南阳·月考）定义：二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”，如二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”． (1)直接写出二元一次方程的“反对称二元一次方程”为：____________； (2)二元一次方程的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解，求出m，n的值． 78．（24-25八年级上·吉林长春·开学考试）阅读理解： 已知实数，满足，，求和的值．仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．利用“整体思想”，解决下列问题： (1)已知二元一次方程组，则________，_______； (2)对于实数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是实数运算．已知，，求的值． 79．（24-25七年级下·广东广州·期中）对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数．例如，， 已知，，则根据定义可以得到： (1)_______，_______； (2)若，求的值； (3)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值； (4)若关于x，y的方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为_______． 80．（24-25七年级下·广西南宁·月考）阅读感悟： 有些关于方程组的问题，需要求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数，满足①，②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得，的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题方法就是通常所说的“整体代入法”求值． 解决问题： (1)已知二元一次方程组，请用“整体代入法”求和的值； (2)对于实数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $