第11讲 坐标方法的简单应用（4个知识点+13大核心考点+变式训练+提优训练）-（寒假衔接课堂）2025-2026学年人教版七年级下册数学寒假衔接讲义

第11讲 坐标方法的简单应用（4个知识点+13大核心考点+变式训练+提优训练） 题型一 实际问题中用坐标表示位置 题型二 用方向角和距离确定物体的位置 题型三 根据方位描述确定物体的位置 题型四 求点沿x轴、y轴平移后的坐标 题型五 由平移方式确定点的坐标 题型六 已知点平移前后的坐标，判断平移方式 题型七 已知图形的平移，求点的坐标 题型八 已知平移后的坐标求原坐标 题型九 坐标系中的平移 题型十 坐标系中的动点问题（不含函数） 题型十一 中点坐标 题型十二 点坐标规律探索 题型十三 翻折问题中的坐标计算 知识点一：关于x轴、y轴对称的点的坐标 （1）关于x轴的对称点的坐标特点： 横坐标不变，纵坐标互为相反数． 即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）． （2）关于y轴的对称点的坐标特点： 横坐标互为相反数，纵坐标不变． 即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）． 【即时训练】 1．（24-25七年级下·广东广州·开学考试）点关于轴对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据关于y轴对称的点的纵坐标相等，横坐标互为相反数进一步求解即可. 【详解】∵y轴对称的点的纵坐标相等，横坐标互为相反数， ∴点关于轴对称的点的坐标为， 故选：D. 【点睛】本题主要考查了关于y轴对称的点的坐标的性质，熟练掌握相关概念是解题关键. 2．（24-25七年级下·北京西城·期末）某公园部分景点位置示意图如图所示，其中景点都在正方形网格的格点上．如果分别以正东、正北方向为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系，表示望春亭的点的坐标为，表示中心广场的点的坐标为，那么表示玫瑰园的点的坐标为 ． 【答案】 【分析】此题考查坐标确定位置，根据“表示望春亭的点的坐标为，表示中心广场的点的坐标为”建立平面直角坐标系，确定坐标原点的位置，进而可确定表示玫瑰园的点的坐标，解题的关键就是确定坐标原点和，轴的位置． 【详解】解：如图，可得确定坐标系， 则表示玫瑰园的点的坐标为， 故答案为：． 知识点二：坐标与图形变化-平移 （1）平移变换与坐标变化 ①向右平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x+a，y） ①向左平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x﹣a，y） ①向上平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y+b） ①向下平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y﹣b） （2）在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．） 【即时训练】 1．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，将线段平移至，则的值为（    ） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【答案】B 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化-平移，熟知图形平移的性质是解题的关键．根据图形平移的性质，得出A，C两点纵坐标差等于B，D两点的纵坐标差，据此可解决问题． 【详解】解：因为线段由线段平移得到， 所以，， 所以． 故选：B． 2．（24-25七年级下·吉林·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，将沿x轴正方向平移至，此时点C的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化−平移，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 直接利用平移中点的变化规律求解即可． 【详解】解：∵点O平移到点， ∴将沿x轴正方向向右平移4个单位长度， ∴点平移至点C的坐标为，即． 故答案为：． 知识点三：关于原点对称的点的坐标 关于原点对称的点的坐标特点 （1）两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）． （2）关于原点对称的点或图形属于中心对称，它是中心对称在平面直角坐标系中的应用，它具有中心对称的所有性质．但它主要是用坐标变化确定图形． 注意：运用时要熟练掌握，可以不用图画和结合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点的坐标． 【即时训练】 1．（24-25七年级下·河南漯河·期中）在平面直角坐标系中有一点，将坐标系平移，使原点移至点，则在新坐标系中原点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】坐标系平移，原来的点相当于反向移动，根据平移中点的变化规律即可得出答案． 【详解】如图，在新坐标系中原点O的坐标为(-4，2)， 故选：A． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化——平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 2．（2025八年级上·浙江·专题练习）在平面直角坐标系中，小明玩走棋的游戏，其走法是：棋子从原点出发，第1步向右走1个单位，第2步向右走2个单位，第3步向上走1个单位，第4步向右走1个单位，…，依此类推，第步的走法是：当能被3整除时，则向上走1个单位；当n被3除，余数为1时，则向右走1个单位；当n被3除，余数为2时，则向右走2个单位，当走完第8步时，棋子所处位置的坐标是 ；当走完第2016步时，棋子所处位置的坐标是 ． 【答案】 【分析】设走完第步时，棋子所处的位置为点（为自然数），根据走棋子的规律找出部分点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律“，，”，依此规律即可得出结论． 【详解】解：设走完第步时，棋子所处的位置为点（为自然数）， 观察，发现规律：，，，，…， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系内点的变化规律，解题的关键是找出点与点移动变化规律． 知识点四：规律型：点的坐标 1．所需能力：（1）深刻理解平面直角坐标系和点坐标的意义（2）探索各个象限的点和坐标轴上的点其坐标符号规律（3）探索关于平面直角坐标系中有关对称，平移等变化的点的坐标变化规律． 2．重点：探索各个象限的点和坐标轴上的点其坐标符号规律 3．难点：探索关于平面直角坐标系中有关对称，平移等变化的点的坐标变化规律． 【即时训练】 1．（24-25八年级上·四川达州·期末）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点…按这样的运动规律经过第2023次运动后，动点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了点的坐标规律型问题，解题的关键是根据点的坐标的变化得到规律，利用得到的规律解题． 根据前几次运动的规律可知第次接着运动到点，第次接着运动到点，第次从原点运动到点，第次接着运动到点，根据规律求解即可． 【详解】解：由题意可知，第1次从原点运动到点， 第2次接着运动到点， 第3次接着运动到点， 第4次从原点运动到点， 第5次接着运动到点， 第6次接着运动到点， 第次接着运动到点， 第次接着运动到点， 第次从原点运动到点， 第次接着运动到点， ， 第2023次接着运动到点， 故选：D． 2．（24-25八年级上·广东梅州·期中）在平面直角坐标系中，有一个微型机器人从原点出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位．其行走路线如图所示： 则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了规律型：点的坐标，数形结合并正确得出规律是解题的关键． 根据图象先计算出和的坐标，进而得出点的坐标，再用，根据所得的整数及余数，可得出点的坐标． 【详解】解：由图可知，蚂蚁每次移动完成一个循环， ，，都在轴上， ∵蚂蚁每次移动1个单位， ，， ， ，，A4n（2n，0） ， ∴点的坐标是． 【核心考点一 实际问题中用坐标表示位置】 【例1】（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）如图，是中国象棋棋局的一部分，如果“帅”的位置用坐标表示，“卒”的位置用坐标表示，那么“马”的位置用坐标表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了坐标确定位置，首先根据“帅”的坐标确定原点的位置，然后再画出坐标系，进而可得答案． 【详解】解：如图所示： “马”的坐标是， 故选：D． 【例2】（24-25七年级下·陕西安康·期末）如图是一只蝴蝶标本，将其放在适当的平面直角坐标系中，若翅膀两端B、C两点的坐标分别为，，则蝴蝶翅膀“尾部”点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标确定位置，根据题意正确建立平面直角坐标系是解题关键．根据B、C两点的坐标建立平面直角坐标系，再写出点A的坐标即可． 【详解】解：根据题意建立如下平面直角坐标系，则点A的坐标为， 故选：A． 【例3】（24-25七年级下·吉林辽源·期中）如图是某学校的平面图，若综合楼在点，食堂在点，则教学楼在点 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实际问题中用坐标表示位置，正确建立出坐标系是解题的关键． 根据综合楼和食堂的坐标建立坐标系，然后根据教学楼在坐标系中的位置写出其坐标即可． 【详解】解：根据题意可建立如下平面直角坐标系， ∴教学楼在点， 故答案为：． 【例4】（25-26八年级上·江西萍乡·期中）甲、乙、丙、丁四名同学的家所在位置如图所示，若丙同学家的坐标为，乙同学家的坐标为，则丁同学家的坐标为 【答案】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系，点的坐标，解题的关键是根据坐标建立平面直角坐标系． 根据两位同学的坐标，建立平面直角坐标系，即可得出丁同学家的坐标． 【详解】解：如图所示，根据两位同学的坐标，可建立如下坐标系， ∴丁同学家的坐标为， 故答案为：． 【核心考点二 用方向角和距离确定物体的位置】 【例1】（25-26八年级上·浙江舟山·期末）如图是台风“烟花”的台风中心以及路径预测图，此时台风中心位于我们家乡舟山的（    ）约方向，直线距离约1320公里的洋面上． A．南偏东 B．南偏西 C．北偏东 D．北偏西 【答案】A 【分析】本题考查了方位角的识别，熟练掌握方位角的识别是关键．在舟山的位置上画出东南西北4个方位，标出方位角，即得答案． 【详解】解：如图所示，台风中心位于舟山的南偏东的方向上． 故选：A． 【例2】（24-25七年级下·河北邯郸·期中）商场位于学校北偏西方向处，下列选项中表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了方向角．根据方向可知，上为北，下为南，左为西，右为东，确定位置后即可得出答案． 【详解】解：根据方向可知，上为北，下为南，左为西，右为东， ∵商场位于学校北偏西方向处， ∴商场位于北方和西方的夹角为，处， 故选：B． 【例3】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，请你为游客介绍动物园和迷宫所在的方位．动物园在大门的 方向上，迷宫在大门的 方向上． 【答案】 北偏东 北偏东 【分析】本题考查了方位角的知识，掌握方位角的定义以及角度的计算方法是解题的关键． 本题需要根据方位角的定义，结合图中给出的角度信息，确定动物园和迷宫相对于大门的方位． 【详解】①动物园：从图中可知，其在大门北偏东方向． ②迷宫：∵动物园北偏东，迷宫与动物园的夹角为 ∴从正北到迷宫的角度为 即在大门北偏东方向． 【例4】（24-25七年级下·广西南宁·期中）如图，渔船A与港口B相距19海里，我们用有序数对（南偏西，19海里）来描述渔船A相对港口B的位置，那么港口B相对渔船A的位置可描述A为 ． 【答案】（北偏东，19海里） 【分析】本题考查用有序数对表示实际位置，根据题干给出的表示方法，确定方向角和距离，进行表示即可． 【详解】解：由题意知： 港口B相对渔船A的位置可描述A为：（北偏东，19海里）， 故答案为：（北偏东，19海里）． 【核心考点三 根据方位描述确定物体的位置】 【例1】（24-25七年级下·河北保定·期中）根据下列表述，能确定准确位置的是（   ） A．北国影院3号厅2排 B．兴华路中段 C．东经，北纬 D．南偏东 【答案】C 【分析】本题考查了坐标确定位置，理解确定坐标的两个数是解题的关键． 根据坐标的定义，确定位置需要两个数据对各选项分析判断利用排除法求解． 【详解】解：A、北国影城3号厅2排，不能确定具体位置，不符合题意； B、兴华路中段，不能确定具体位置，不符合题意； C、东经，北纬，能确定具体位置，符合题意； D、南偏东，不能确定具体位置，故本选项不符合题意． 故选：C． 【例2】（24-25八年级上·贵州六盘水·期末）如图，某轿车行驶在该位置时，前方有四个路口分别为：开拓路、复兴路、振兴路、建设路，若导航提示“向右前方行驶”，此时司机应驶向（    ） A．开拓路 B．建设路 C．复兴路 D．振兴路 【答案】D 【分析】本题考查的是方位角问题，根据导航提示“向右前方行驶”结合图象直接写出结论． 【详解】解：由图知，若导航提示“向右前方行驶”，此时司机应驶向振兴路， 故选：D． 【例3】（24-25八年级上·全国·课后作业）认真看图，仔细辨认，正确填空： （1）明明家在商场________偏________度的方向上，离在商场________； （2）________在商场南偏西的方向上，离商场________； （3）小芳家在商场________偏________度的方向上，离商场________； （4）________在商场正东方向，离商场________. 【答案】（1）北，西50 ，600m；（2）邮局 ，400 m ，（3）北 ，东60 ，780m ，（4）学校，720m. 【分析】抓住确定物体的两大要素:方向和距离，根据图中数据，即可得出物体的确切位置. 【详解】（1）小明家在西偏北40度的方向上，离商场600米； （2）邮局在南偏西45的方向上，离商场400米； （3）小芳家在东偏北30度的方向上，离商场780米； （4）学校在正东方，离商场720米. 故答案为: （1）北，西50 ，600m；（2）邮局 ，400 m ，（3）北 ，东60 ，780m ，（4）学校，720m. 【点睛】确定物体的位置，首先要确定观测中心，抓住方向和距离两个要素，即可解决此类问题. 【例4】（24-25七年级上·四川成都·期末）如图，射线的方向是北偏东，射线的方向是北偏西，,是的反向延长线. （1）射线的方向是 ； （2）的度数是 . 【答案】 北偏东70° 70° 【分析】（1）先求出∠AOB＝55°，再求得∠NOC的度数，即可确定OC的方向； （2）根据∠AOB＝55°，∠AOC＝∠AOB，得出∠BOC＝110°，进而求出∠COD的度数． 【详解】（1）∵OB的方向是北偏西40°，OA的方向是北偏东15°， ∴∠NOB＝40°，∠NOA＝15°， ∴∠AOB＝∠NOB＋∠NOA＝55°， ∵∠AOB＝∠AOC， ∴∠AOC＝55°， ∴∠NOC＝∠NOA＋∠AOC＝70°， ∴OC的方向是北偏东70°； 故答案为：北偏东70°； （2）∵∠AOB＝55°，∠AOC＝∠AOB， ∴∠BOC＝110°． 又∵射线OD是OB的反向延长线， ∴∠BOD＝180°． ∴∠COD＝180°−110°＝70°． 【点睛】本题考查方向角和射线，解题的关键是掌握方位角的相关知识． 【核心考点四 求点沿x轴、y轴平移后的坐标】 【例1】（24-25七年级下·河南驻马店·期中）平面直角坐标系内，点沿轴方向平移6个单位后到点，则点的坐标为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】分向左和向右平移，可得坐标． 【详解】解：若向左平移， 则，即； 若向右平移， 则，即； 故选：D． 【点睛】本题考查坐标与图形变化平移；用到的知识点为：点的平移，左右平移只改变点的横坐标，左减右加；上下平移只改变点的纵坐标，上加下减． 【例2】（24-25七年级下·宁夏银川·期末）如图，A，B两点的坐标分别为(－2，0)，(0，1)，将线段AB平移到线段A1B1的位置．若A1(b，1)，B1(－1，a)，则b－a的值是（    ） A．-7 B．-5 C．-3 D．-1 【答案】B 【分析】根据平移的性质，结合已知点A，B的坐标，根据平移规律，左右移，纵不变，横减加，上下移，横不变，纵加减，可得出a，b的值，即可得到答案． 【详解】解：∵A（-2，0）平移后对应点A1的坐标为（b，1）， ∴线段向上平移了1个单位， ∵点B（0，1）平移后对应的点B1（-1，a）， ∴线段向左平移了1个单位， ∴a=2，b=-3， ∴b-a=-5． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了点的平移规律与图形的平移，解题的关键是掌握平面直角坐标系内平移与坐标变化之间的规律． 【例3】（24-25七年级下·云南玉溪·期末）在平面直角坐标系中，将点向右平移6个单位后，得到对应点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查点的平移规律：左减右加，上加下减． 根据点的平移规律左减右加，上加下减直接求解即可得到答案； 【详解】解：∵点向右平移6个单位后， ∴平移后的点坐标是， 故答案为：． 【例4】（24-25八年级上·河北张家口·期末）如图，点沿x轴正方向向右上方做“跳马运动”（即中国象棋“日”字型跳跃）．若跳到位置，称为做一次“正横跳马”；若跳到位置，称为做一次“正竖跳马”，当点P连续做了a次“正横跳马”和b次“正竖跳马”后，到达点，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了坐标系中点平移以及二元一次方程组的应用．由题意可得：做一次“正横跳马”横坐标增加2，纵坐标增加1，做一次“正竖跳马”横坐标增加1，纵坐标增加2，据此列方程组进行求解即可． 【详解】解：由题意，当点先连续做了a次“正横跳马”，再连续做b次“正竖跳马”后，到达点，则： ， ，得：， ∴； 故答案为：． 【核心考点五 由平移方式确定点的坐标】 【例1】（25-26八年级上·广东深圳·期中）在无人机表演中，无人机群由初始位置整体平移至新位置．若点平移后的对应点为，则点平移后的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的平移，掌握平移规律是解题的关键． 首先根据点平移后的对应点为，得出平移的方式，再根据平移的规律，即可得出答案． 【详解】解：∵点平移后的对应点为， ∴平移方式为向右平移个单位，向上平移3个单位， ∴点的对应点的坐标为． 故选：A． 【例2】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，三角形是三角形经过某种变换后得到的图形．如果三角形中有一点的坐标为，那么变换后它的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查坐标与图形的平移变化，根据对应点A、的坐标确定出平移规律，从而写出点Q的坐标，利用图形的变化方法是解题的关键． 【详解】解：由图可知，是三角形经过平移变换后得到的图形， ∵，， ∴平移规律为向右5个单位，向下4个单位， ∵， ∴对应点Q的坐标为． 故选：C． 【例3】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在平面直角坐标系中，线段两端点的坐标分别为，将线段平移到线，其中一个对应点的坐标是，则另一个对应点的坐标是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了点的平移，掌握点的平移规律“左减右加，上加下减”是关键，根据题意，分类讨论，得到平移规律即可求解． 【详解】解：当点与点对应时，平移规律为：向右平移个单位，向上平移个单位， ∴点对应的点坐标为：，即； 当点与点对应时，平移规律为：向右平移个单位，向下平移个单位， ∴点对应的点坐标为：，即； ∴点的坐标是或， 故答案为：或 ． 【例4】（25-26七年级下·陕西渭南·月考）如图，在平面直角坐标系中，线段的端点的坐标分别为，，若将线段平移至，点的坐标分别为，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了图形的平移及平移特征，熟练掌握以上知识点是解题的关键 根据平移的性质解题即可 【详解】解：由题意可知，由的对应点为，知，线段向上平移了2个单位， 由的对应点为知，线段向右平移了3个单位， ∴，， ∴． 故答案为：2． 【核心考点六 已知点平移前后的坐标，判断平移方式】 【例1】（25-26八年级上·江苏无锡·期末）如图，点，的坐标分别为，，若将线段平移至，点，的坐标分别为，，则的值为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了平移的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据平移的性质解题即可． 【详解】解：∵点，的坐标分别为，，点，的坐标分别为，， ∴线段向左平移了个单位，向上平移了个单位， ∴点，的坐标分别为，， ∴． 故选：B． 【例2】（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，在平面直角坐标系中，平移至的位置．若顶点的对应点是，则点的对应点B1的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标与图形，正确找出平移规律是解答本题的关键． 根据点A和点的坐标可得出平移规律，从而进一步可得出结论． 【详解】解：∵顶点的对应点是， 又 ∴平移至的规律为：将向右平移5个单位，再向上平移1个单位即可得到 ∵ ∴的坐标是，即 故选：A． 【例3】（25-26八年级上·安徽淮北·期中）象棋是中国传统棋类，其中“馬”走“日”，如图，“帥”位于点，“馬”位于点，若“馬”要“将军”（一方的棋子要在下一招棋把对方的“将”或“帥”吃掉），可以走到，则其平移过程是 ． 【答案】向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度或向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的平移；根据两点的坐标即可确定平移过程． 【详解】解：“馬”位于点，若“馬”要“将军”可以走到，则平移过程为向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度或向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度． 故答案为：向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度或向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度． 【例4】（24-25七年级下·河北邯郸·期中）如图，在平面直角坐标系中，将线段平移到线段的位置，则 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变化-平移，利用坐标平移的变化规律即可解决问题．根据点 平移到点，纵坐标的变化规律，可得：；根据点平移到点，横坐标的变化规律，可得：；把字母的值代入代数式计算求值即可． 【详解】解：点 平移到点，向上平移了个单位长度， ， 解得：， 点平移到点，向左平移了个单位长度， ， 解得：， 解得：． 故答案为：． 【核心考点七 已知图形的平移，求点的坐标】 【例1】（25-26八年级上·安徽安庆·月考）如图，在平面直角坐标系中，内部有一点，若将先向右平移，再向下平移，平移后点对应点的坐标是．若点的坐标是，则平移后点对应的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查坐标与平移，根据点和它的对应点的坐标，得到平移规则，进而求出点的坐标即可． 【详解】解：∵点平移后的对应点的坐标是， ∴先向右平移2个单位，再向下平移4个单位， ∵点的坐标是， ∴平移后点对应的点的坐标是，即； 故选：C． 【例2】（24-25七年级下·辽宁沈阳·开学考试）如图，已知两点的坐标分别为，将线段平移得到线段，若点的对应点是，则点的对应点的坐标是（　　） A．（5，2） B．（5，1） C．（4，1） D．（4，2） 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形的变化-平移，平移中点的坐标变化规律是横坐标右加左减，纵坐标上加下减. 根据点到点的坐标变化得到平移规律，根据此平移规律即可得到答案. 【详解】解：点平移后对应点， 点的平移规律是先向右平移个单位，再向上平移个单位， 点的对应点的坐标为， 即， 故选：B. 【例3】（2025·辽宁沈阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，将正方形平移得到正方形，若，，，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了点的平移规律与图形的平移．根据A和的坐标得出正方形先向上平移2个单位，再向右平移3个单位得到正方形，则点C的平移方法与A点相同，即可得到答案． 【详解】解：由，可知正方形先向上平移2个单位，再向右平移3个单位得到正方形， ∵， ∴的坐标为即， 故答案为：． 【例4】（25-26七年级下·四川攀枝花·月考）如图，的三个顶点坐标分别为、、．将沿方向平移得到，其中点与原点重合．则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形-平移变换，理解平移性质，正确得到对应点的位置是解答的关键．先确定平移方式：先向下平移3个单位，再向右平移4个单位，进而求出结论． 【详解】解：∵将沿方向平移得到，其中点与原点重合， ∴平移方式可以是先向下平移3个单位，再向右平移4个单位， ∴按以上平移方式，点平移后对应点的坐标为， 故答案为：． 【核心考点八 已知平移后的坐标求原坐标】 【例1】（24-25七年级下·河南周口·期中）在平面直角坐标系中，点向下平移4个单位后的坐标是，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据向下平移，纵坐标减，求出点的坐标，再根据各象限内点的特征解答． 【详解】解：设点P纵坐标为y， 点向下平移4个单位后的坐标是， ， ∴ 点的坐标为， 点在第二象限． 故选：B． 【点睛】本题考查了坐标与图形的变化平移，熟记平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减求出点的坐标是解题的关键． 【例2】（24-25七年级下·河南安阳·月考）在平面直角坐标系中，点向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度后与点重合，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标与图形变换—平移．根据平移的逆变换求解点M的坐标，即可． 【详解】解：∵向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度后与点重合， ∴点的坐标为，即． 故选：C． 【例3】（24-25七年级下·新疆乌鲁木齐·期中）将点先向上平移3个单位，再向左平移2个单位，得到点，则点的坐标是 【答案】 【分析】根据坐标的平移变换规律，把得到的点倒推即可求解． 【详解】解：由题意得： 点，先向由平移2个单位，得到， 再向下平移3个单位，得到， 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标的平移变换，熟练掌握坐标的平移变换的规律是解题的关键． 【例4】（24-25七年级下·云南昆明·期中）在平面直角坐标系中，将点向左平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度后与点重合，则点的坐标是 ． 【答案】（3，-1） 【分析】根据向左平移，横坐标减，向上平移纵坐标加列方程求出x、y，然后写出即可． 【详解】解：∵点A（x，y）向左平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度后与点B（-2，2）重合， ∴x-5=-2，y+3=2， 解得x=3，y=-1， 所以，点A的坐标是（3，-1）． 故答案为：（3，-1）． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化-平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 【核心考点九 坐标系中的平移】 【例1】（25-26八年级上·广东深圳·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，直线与x轴平行，则a为（   ） A．1 B．－1 C．0 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形的性质。当两个点的纵坐标相等时，它们的连线与x轴平行，据此列出方程求解即可． 【详解】解：∵直线与轴平行， ∴， ∴， 故选：C． 【例2】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，每个小方格的边长为1．已知点，，那么原点的位置在（    ） A．点A处 B．点B处 C．点C处 D．点D处 【答案】D 【分析】本题考查了构建坐标系，熟练掌握根据点的坐标找出原点是解题的关键； 根据平面直角坐标系中坐标的定义，通过已知点的坐标来确定原点的位置． 【详解】解：∵ ∴E点向右移动2个单位长度，再向下移动三个单位长度即为原点； 同理可得，A点向右移动4个单位长度，再向下移动6个单位长度即为原点； 经过这两种平移步骤后，最后均落在D点； ∴原点为D点 故选： D． 【例3】（24-25七年级下·广东潮州·期末）如图，若在棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点，则将棋子“马”向上平移2个单位长度后的点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移，坐标确定位置，根据题目的已知条件建立适当的平面直角坐标系是解题的关键．根据已知建立适当的平面直角坐标系，然后再根据点的平移规律，即可解答． 【详解】解：建立适当的平面直角坐标系如图所示： 棋子“马”位于点， 将棋子“马”向上平移2个单位长度后的点的坐标是， 故答案为：． 【例4】（24-25七年级下·山西吕梁·期末）随着3D打印技术的蓬勃兴起，我们正步入一个前所未有的便捷与创新并存的新时代，这项革命性的技术极大地丰富了我们的生活．如图，这是利用3D打印技术打印的“5G”字样的艺术字，若定位点A的坐标为，定位点B的坐标为，则打印喷头从点A先向右再向下移动至点B时，向右和向下移动的距离之和为 ． 【答案】13 【分析】本题考查了平移的性质．根据平移的性质求解即可． 【详解】解：∵平移到点， ∴点A先向右8个单位，再向下移动5个单位至点B， ∴向右和向下移动的距离之和为， 故答案为：13． 【核心考点十 坐标系中的动点问题（不含函数）】 【例1】（24-25七年级下·天津北辰·期中）如图，在平面直角坐标系中，，一动点P从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿循环运动，则第100秒点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标与图形，数形结合是正确解答此题的关键． 根据点的坐标得到，，则四边形的周长为，再求出点P运动100秒所走的路程为200个单位长度，,则点P相当于运动了14圈后又运动4个单位长度，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴四边形的周长为， ∵点P从点A出发以2个单位长度/秒的速度沿循环运动， ∴点P运动100秒所走的路程为个单位长度，， ∴点P相当于运动14圈后又运动4个单位长度，即第100秒点所在的位置是， 故选：A． 【例2】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图，是一个的正方形网格，每个小正方形的边长都为1个单位长度，点A，B，C，D均为格点（网格线的交点），建立如图的平面直角坐标系．如果m为任意常数，那么随m的变化，动点会经过的点是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，结合点P的坐标，得出点P在直线上，画出直线的图象，据此进行判断即可． 【详解】解：由题知， 因为点P坐标为， 所以点P在直线上． 如图所示， 显然随着m的变化，点P会经过点A． 故选：A． 【例3】（24-25七年级下·江苏南通·期末）定义：在平面直角坐标系中，若两个不同的点满足，则称点互为“等距点”．如点互为“等距点”．已知两点的坐标分别为，，若在线段上存在一点与点互为“等距点”，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设线段上存在一点与互为“等距点”，得；根据，解答即可． 本题考查了坐标新定义问题，准确理解新定义是解题的关键． 【详解】解：设线段上存在一点与互为“等距点”，得， 解得； 根据两点的坐标分别为，，得， 故， 解得， 当时，，此时点与点重合，不符合题意， 故的取值范围是． 故答案为：． 【例4】（25-26八年级上·宁夏银川·期中）如图，在直角坐标平面中，动点按图中箭头所示方向依次运动，第1次从点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点按这样的运动规律，动点第2020次运动到点 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内点的运动规律， 先确定点的横，纵坐标的变化规律，每4次一个循环，再求出第2020次是循环中最后一次，即可得出答案. 【详解】解：由图可知，动点P的纵坐标依次按照，每四个一循环，横坐标运动次数减1， ∵， ∴动点P第2020次运动后的纵坐标为0，横坐标为， ∴动点[P的运动到点. 故答案为：. 【核心考点十一 中点坐标】 【例1】（24-25七年级下·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，点，轴，点的纵坐标为．则以下说法正确的是（   ） A．当时点P是线段的中点 B．无论取何值，线段的长度恒为3 C．存在唯一一个的值，使得 D．存在唯一一个的值，使得 【答案】D 【分析】本题考查了坐标与图形，根据已知点的坐标，即可判断A，B选项，根据的坐标分别求得，求出m的值，进而判断C，D选项． 【详解】解：∵点， 当，则，，， ∵，即点P不是线段的中点，故A选项错误； ∵点， ∴， ∴不是定值，故B选项错误； ∵轴，点的纵坐标为，， ∴， ∵，， 当时， 则或， 解得：或， 即有2个m的值，故C选项错误； 当时，则或（无解）， 解得：， 即有1个m的值，故D选项正确． 故选：D． 【例2】（25-26七年级上·天津河西·期末）如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点，的位置如图所示，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D．中点的坐标为 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、中点坐标，解题关键是熟练掌握数轴相关知识点． 结合用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、中点坐标的知识点对选项进行逐一判断即可得解． 【详解】解：依题得：， ，选项结论正确，不符合题意； ， ，选项结论错误，符合题意； ，选项结论正确，不符合题意； 点表示的数为，点表示的数为， 中点的坐标为，选项结论正确，不符合题意． 故选：． 【例3】（25-26七年级下·四川泸州·期末）若点与点B关于点对称，则点B的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查中心对称点的坐标、中点坐标，熟练掌握中点坐标的运算方法是解题的关键． 点A与点B关于点C对称，则点C是线段的中点，利用中点坐标公式求解． 【详解】解：设点B的坐标为， 则， 解得， 因此，点B的坐标是， 故答案为：． 【例4】（24-25七年级下·江西抚州·期中）公司正在开发一款基于平面直角坐标系下的导航软件．为测试软件的准确性，工程师在坐标系中设置了以下关键点：表示起点，表示终点．如果软件需要在线段之间设置一个中转站，且中转站到点和点的距离相等，则中转站的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了中点坐标公式，熟练掌握中点坐标公式，是解题的关键．设中转站的坐标为，根据中点坐标公式进行求解即可． 【详解】解：设中转站的坐标为， ∵中转站到点A和点B的距离相等， ∴中转站为的中点， ∴， ∴中转站的坐标为． 故答案为：． 【核心考点十二 点坐标规律探索】 【例1】（24-25七年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，对于任意两点，，我们将称为点M与点N的“横k倍直角距离”，已知点，下列四个点中是点A的“横2倍直角距离”等于3的点为（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中的新定义问题，根据“横k倍直角距离”的定义把和选项中的点一一代入并计算出k值，进而即可得出答案． 【详解】解：．，，则，则，不是横2倍直角距离，故该选项不符合题意； ．，，则，则，不是横2倍直角距离，故该选项不符合题意； ．，，则，则，不是横2倍直角距离，故该选项不符合题意； ．，，则，则，是横2倍直角距离，故该选项符合题意； 故选：D． 【例2】（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图，在平面直角坐标系中，，，，一只瓢虫从点A出发以2个单位长度/秒的速度沿循环爬行，问第2025秒瓢虫在（   ）处． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点、、、的坐标可得，的长，从而求出长方形的周长，进而求出瓢虫爬行一周需要秒，然后再进行计算即可解答．本题考查了点的坐标规律问题，两点间距离，根据点的坐标求出长方形的周长并求出瓢虫爬行一周需要的时间是解题的关键． 【详解】解：，，，， ，， ， （秒）， 瓢虫爬行一周需要秒， ， ， 从出发沿方向个单位长度，在 第秒瓢虫在处． 故选：A． 【例3】（24-25七年级下·四川攀枝花·期中）在平面直角坐标系中，有一系列点、、 ……按照如下规律排列：的坐标为，对于任意，点的横坐标是的横坐标加2，纵坐标是的纵坐标加3．例如，的坐标为，的坐标为，依此类推．则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是点的坐标变化规律，熟练找出其中的规律是解题的关键． 根据题意，计算出各点的坐标，找出规律，由此得出结果． 【详解】解：∵的坐标为，的坐标为，的坐标为，且点的横坐标是的横坐标加2，纵坐标是的纵坐标加3， ∴的横坐标为：， 的纵坐标为：， ∴当时，，， 故点的坐标为， 故答案为：． 【例4】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为，第2次碰到矩形的边时的点为…，第n次碰到矩形的边时的点为，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标的规律；作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键．根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2025除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可． 【详解】解：如图，根据反射角与入射角的定义作出图形， 根据图形可以得到：每6次反弹为一个循环组依次循环，经过6次反弹后动点回到出发点， ∵， 当点P第2025次碰到矩形的边时为第338个循环组的第3次反弹，点P的坐标为， 故答案为：． 【核心考点十三 翻折问题中的坐标计算】 【例1】（25-26八年级上·广西南宁·月考）如图，正方形中顶点，轴且边长为2，规定把正方形先沿x轴翻折，再向左平移1个单位长度为一次变换，连续经过2024次变换后，正方形的顶点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查坐标系上点的翻折，平移后点的坐标，依据要求正确求出变化后点的坐标是解题关键． 依次按要求变化后写出坐标，得出坐标与变化次数n的关系即可． 【详解】解：∵点，轴，且边长为2， ∴点的坐标为， 第1次变换后， 第2次变换后， 第3次变换后， 第4次变换后， …… 从而找到规律：当为奇数时，；当为偶数时，． ∴当时，． 故选B． 【例2】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点．规定把正方形“先沿轴翻折，再向下平移1个单位”为1次变换，这样连续经过2026次变换后，点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了坐标规律探究，通过变换找到变换规律为，，即可求解． 【详解】解：正方形的顶点， ， 正方形“先沿轴翻折，再向下平移1个单位”， 第次变换后， 第次变换后， 第次变换后， 第次变换后：，， 连续经过2026次变换后，点C的坐标为； 故选：C． 【例3】（24-25八年级上·陕西西安·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知等边中，规定先沿x轴翻折，再向右移动两个单位为一次变换，经过连续2021次这样的变换得到则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】经过四次变换后根据点A对应的点A′的坐标变化情况，发现坐标的变化规律，即可解决问题． 【详解】解：∵△ABC是等边三角形，点B、C的坐标分别是、， ∴点A的坐标为， 根据题意得：第1次变换后的点A的对应点的坐标为，即， 第2次变换后的点A的对应点的坐标为，即， 第3次变换后的点A的对应点的坐标为，即， 第n次变换后的点A的对应点的为：当n为奇数时为，当n为偶数时为， ∴把等边△ABC经过连续2021次这样的变换得到△A′B′C′， 则点A的对应点A′的坐标是：．即， 故答案为：． 【点睛】本题考查了对称与平移的性质，解题的关键是注意得到规律，即第n次变换后的点A的对应点的分两种情况，当n为奇数时为是解此题的关键． 【例4】（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，一个点在第一、四象限运动，在第1次，它从运动到点，用了1秒，然后以折线状向右运动，即，它每运动一次需要1秒，那么第2023秒时点所在位置的坐标是 ．    【答案】 【分析】根据给定的坐标，可得点的横坐标与运动时间相同，纵坐标按照，四次一循环，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：第1秒，点的坐标为， 第2秒，点的坐标为， 第3秒，点的坐标为， 第4秒，点的坐标为， 第5秒，点的坐标为， ， ∴点的横坐标与运动时间相同，纵坐标按照，四次一循环， ∵， ∴第2023秒，点的横坐标为2023，纵坐标与第3秒的纵坐标相同，为2， ∴点所在位置的坐标是； 故答案为：． 【点睛】本题考查点的运动规律，解题的关键是找到点的横坐标与运动时间相同，纵坐标按照，四次一循环的规律． 【变式训练1 实际问题中用坐标表示位置】 1．（25-26八年级上·广东佛山·期中）褐马鸡是我国的珍稀鸟类，如图是保护褐马鸡宣传牌上利用网格画出的褐马鸡的示意图．若建立适当的平面直角坐标系，表示嘴部点的坐标为，表示尾部点的坐标为，则表示足部点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了用坐标确定位置，依据已知点的坐标确定出坐标轴的位置是解题的关键．根据点的坐标确定出坐标轴的位置，即可求得点的坐标． 【详解】解：根据嘴部点的坐标为，尾部点的坐标为，建立直角坐标系， 则点C的坐标为： 故选：C． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，我们把杜甫《绝句》整齐排列放在平面直角坐标系中． （1）“两”“岭”和“船”的坐标依次是： 、 和 ； （2）将第2行与第3行对调，再将第3列与第7列对调，“雪”由开始的坐标 依次变换为 和 ． 【答案】 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标，读懂题意，数形结合表示出各个字的坐标是解决问题的关键． （1）将每一个字看作一个点，数形结合表示出各个字的坐标即可得到答案； （2）按照要求做出图形，将每一个字看作一个点，数形结合表示出各个字的坐标即可得到答案． 【详解】解：（1）由图可知，“两”“岭”和“船”的坐标依次是，，， 故答案为：，，； （2）“雪”开始的坐标， 将第2行与第3行对调，如图所示： “雪”的坐标为； 再将第3列与第7列对调，如图所示： “雪”的坐标为； 故答案为：，，． 3．（25-26八年级上·宁夏银川·期中）在一次“寻宝”游戏中“寻宝”人找到了如图所示的标志点，，“宝藏”所在地点为点，根据题意完成下列各题． (1)根据、两点建立适当的直角坐标系； (2)直接写出宝藏点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)点C的坐标为 【分析】题目主要考查建立直角坐标系，读出点的坐标，熟练掌握这些基础知识点是解题关键． （1）根据点的坐标建立直角坐标系即可； （2）根据（1）中坐标系读出点的坐标即可． 【详解】（1）解：建立直角坐标系如图所示： （2）由（1）得点C的坐标为 ． 4．（24-25七年级上·江西南昌·期中）如图，一只甲虫在的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动．它从A处出发去看望B，C，D处的其他甲虫，规定：向上向右走均为正，向下向左走均为负．如：从A到B记为，从B到A记为，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向． (1)图中（____，_____），（____，_____），______ (2)若这只甲虫从A处去甲虫P处的行走路线依次为，，，，请在图中标出P的位置． (3)若这只甲虫的行走路线为，请计算该甲虫走过的路程． 【答案】(1)，，，，D (2)见解析 (3)10 【分析】本题主要考查了利用坐标确定点的位置的方法，解题的关键是正确的理解从一个点到另一个点移动时，如何用坐标表示． （1）根据表示向右走3，向上走4即可表示；表示向右走2，向上走0，即可表示；表示向右走1，向下走，即可判断； （2）按题目所示平移规律分别向右平移2个格点，向上平移2个格点，再向右平移2个格点，向下平移1个格点；向左平移2个格点，向上平移3个格点；向左平移1个格点，向下平移2个格点，即可得到点P的坐标，在图中标出即可； （3）根据点的运动路径，表示出运动的距离，相加即可得到行走的总路径长． 【详解】（1）解：由图可知表示向右走3，向上走4，即； 表示向右走2，向上走0，即； 表示C向右走1，向下走，到点D， 故答案为：，，，，D； （2）解：点P位置如图所示； （3）解：根据条件可知，，， ∴甲虫走过的路程为． 【变式训练2 用方向角和距离确定物体的位置】 1．（24-25七年级·全国·假期作业）如图，在一次活动中，位于A处的1班准备前往相距的B处于2班会合，用方向和距离描述2班相对于1班的位置(　　) A．2班在1班南偏西处 B．2班在1班南偏西方向上处 C．1班在2班处 D．1班在2班北偏东方向上处 【答案】B 【分析】根据方位角的意义描述即可． 【详解】解：依题意得：2班在1班的南偏西50°方向，距离A处5千米的B处； 故选：B． 【点睛】本题考查了方位角和距离描述位置，正确理解方位角的意义是解题的关键．注意不选C、D，因为题干中表明“描述2班相对于1班的位置”． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，点A在观测点北偏东30方向，且与观测点的距离为8千米，将点A的位置记作A(8，30)，用同样的方法将点B，点C的位置分别记作B(8，60)，C(4，60)，则观测点的位置应在 ． 【答案】O1点 【分析】因为A（8，30），B（8，60），C（4，60），则A、B与观测点距离相等，C与观测点距离是B点到观测点距离的一半，进而得出观测点位置． 【详解】解：如图所示： A（8，30°），B（8，60°），C（4，60°），则观测点的位置应在O1点． 故答案为：O1点． 【点睛】此题主要考查了坐标确定位置，正确利用已知点得出观测点是解题关键． 3．（25-26七年级上·广东佛山·月考）看图回答问题． (1)小明家在学校的_____方向上，估一估小明家距离学校约_____米．（填整百数） (2)书店在学校_________方向上． (3)超市在学校东北方向米处，请用▲在图中标出它的位置． 【答案】(1)正南， (2)北偏西60° (3)见解析 【分析】本题考查了根据方向和距离确定物体的位置，掌握方向角的定义是解题的关键． （1）根据图形及方向角的定义解答即可； （2）根据图形及方向角的定义解答即可； （3）根据方向及距离标出超市位置即可； 【详解】（1）解：小明家在学校的正南方向上，估一估小明家距离学校约米， 故答案为∶正南，； （2）解：书店在学校北偏西方向上， 故答案为∶北偏西； （3）解：由题意知超市在学校北偏东方向米处，则超市位置如图所示： 4．（25-26八年级上·全国·期中）如图，x轴的正向表示东，y轴的正向表示北，每单位长为50米．请在直角坐标系中画出下列各地点的位置． (1)学校的餐厅． (2)学校的图书馆B，位于餐厅A的正北方向200米处． (3)学校的教学楼，位于餐厅北偏东 方向的250米处． (4)学校的体育馆，位于餐厅北偏西 方向的 米处． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题考查了用坐标表示地理位置，用方向角和距离确定物体的位置，理解用坐标表示地理位置，用方向和距离确定物体的位置是解题的关键． （1）描出点A的位置即可； （2）根据描述得到点B的位置； （3）根据方位角和距离得到点C的位置； （4）根据方位角和距离得到点D的位置. 【详解】（1）解：如图，点A即为所作； （2）解：如图，点B即为所作； （3）解：如图，点C即为所作， （4）解：如图，点D即为所作． 【变式训练3 根据方位描述确定物体的位置】 1．（24-25七年级下·河北石家庄·期末）货轮A在岛屿O的北偏东方向上，下列符合条件的示意图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查的是根据方位角找出对应的图形，掌握方位角的定义是解决此题的关键． 根据方位角的定义判断即可． 【详解】解：A．货轮A在岛屿O的北偏东方向上，故本选项符合题意； B．货轮A在岛屿O的南偏西方向上，故本选项不符合题意； C．货轮A在岛屿O的南偏东方向上，故本选项不符合题意； D．货轮A在岛屿O的北偏西方向上，故本选项不符合题意； 故选：A． 2．（24-25八年级·全国·假期作业）某人从点沿北偏东的方向走了100米到达点，再从点沿南偏西的方向走了100米到达点，那么点在点的南偏东 度的方向上． 【答案】55 【分析】在直角坐标系下现根据题意确定A、B点的位置和方向，最后确定C点的位置和方向．依次连接A、B、C三点，根据角之间的关系求出∠5的度数即可． 【详解】根据题意作图： ∵从A点沿北偏东60°的方向走了100米到达点B，从点B沿南偏西10°的方向走了100米到达点C， ∴∠1+∠2=60°，AB=BC=100， ∴∠2=50°，且△ABC是等腰三角形， ∴∠BAC==65°， ∴∠5=180°-65°-60°=55°， ∴点C在点A的南偏东55°的方向上． 故答案为：55． 【点睛】本题考查了直角坐标系的建立和运用，运用直角坐标系来确定点的位置和方向． 3．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）我国在南极建有长城、昆仑、中山、泰山、罗斯海新站5个科学考察站，位置示意图如图所示，完成下面各题． (1)中山站在昆仑站（   ）方向，距离是（   ）千米． (2)请你根据以下信息在平面图上标出泰山站和罗斯海新站的位置． ①泰山站在昆仑站的东偏北方向500千米处． ②罗斯海新站在昆仑站的东偏南方向1500千米处． 【答案】(1)北偏西；500 (2)①②见详解 【分析】本题考查方位图的实际应用， （1）根据题意可知，图上1厘米表示500千米；先计算出昆仑站到中山站的实际距离，再根据地图上方向的规定“上北下南，左西右东”，以昆仑站为观测点，确定出中山站的位置； （2）分别计算出昆仑站到泰山站、罗斯海新站的图上距离，再以昆仑站为观测点，画出泰山站和罗斯海新站的位置，据此解答． 【详解】（1）解：（千米）， ， 中山站在昆仑站北偏西（或西偏北）方向，距离500千米． （2）解：①（厘米） 图如下： ②（厘米） 图如下： 4．（24-25七年级上·江苏淮安·开学考试）画一画，填一填 (1)画出将图①绕点逆时针旋转后的图形，旋转后点的位置用数对表示是（______）． (2)将图②按放大为原来的两倍，放大后的图形与原来的图形的面积之比为______． (3)图③中点是圆心，是圆的直径，．如果每个小方格表示边长为2厘米的小正方形，那么点在点的______偏______，______方向______厘米处． 【答案】(1)画图见解析， (2) (3)北；东；30；6 【分析】题目主要考查作旋转图形，放大图形，等边三角形的判定和性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据题意，作出旋转后的图形，读出点的坐标即可； （2）画出放大后的图形，然后求出面积及比值即可； （3）根据题意及等边三角形的判定得出为等边三角形，再由其性质确定，厘米，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示：旋转后点的位置用数对表示是， 故答案为：； （2）如图所示，放大后的图为图④，面积为， 图②的面积为， 面积之比为：， 故答案为：； （3）由题意得：厘米， ∵， ∴厘米， ∴为等边三角形， ∴， ∴点在点的北偏东，方向6厘米处， 故答案为：北；东；30；6． 【变式训练4 求点沿x轴、y轴平移后的坐标】 1．（25-26八年级上·广西南宁·月考）如图，正方形中顶点，轴且边长为2，规定把正方形先沿x轴翻折，再向左平移1个单位长度为一次变换，连续经过2024次变换后，正方形的顶点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查坐标系上点的翻折，平移后点的坐标，依据要求正确求出变化后点的坐标是解题关键． 依次按要求变化后写出坐标，得出坐标与变化次数n的关系即可． 【详解】解：∵点，轴，且边长为2， ∴点的坐标为， 第1次变换后， 第2次变换后， 第3次变换后， 第4次变换后， …… 从而找到规律：当为奇数时，；当为偶数时，． ∴当时，． 故选B． 2．（24-25七年级下·江苏南通·期中）如图，在平面直角坐标系中，某点从原点出发，向右平移个单位长度到达，再向上平移个单位长度到达，再向左平移个单位长度到达，再向下平移个单位长度到达，再向右平移个单位长度到达，，按此规律进行下去，点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化——平移，规律型问题，根据题意可得，，，，，，，，，则有，则有点的坐标是，解题的关键是学会探究规律的方法． 【详解】解：由题意可得，，，， ，，，， ， ∴， ∴点的坐标是， 故答案为：． 3．（2025八年级上·全国·专题练习）如图是某台阶的一部分，如果建立适当的坐标系，使A点的坐标为（0，0），B点的坐标为（1，1） （1）直接写出C，D，E，F的坐标； （2）如果台阶有10级，你能求得该台阶的长度和高度吗？ 【答案】（1）C（2，2），D（3，3），E（4，4），F（5，5）；（2）高度是10，长度为10 【分析】（1）根据平面直角坐标系的定义建立，然后写出各点的坐标即可； （2）利用平移的性质求出横向与纵向的长度，然后求解即可． 【详解】解：（1）以A点为原点，水平方向为x轴，建立平面直角坐标系． 所以C，D，E，F各点的坐标分别为C（2，2），D（3，3），E（4，4），F（5，5）． （2）每级台阶高为1，宽也为1， 所以10级台阶的高度是10，长度为10． 【点睛】本题考查了坐标与图形的性质确，主要利用了平面直角坐标系，从平移的角度考虑求解是解题的关键． 4．（24-25七年级下·湖北孝感·期中）如图，A（﹣3，2），B（﹣1，﹣2），C（1，﹣1），将△ABC向右平移3个单位长度，然后再向上平移1个单位长度，可以得到△A1B1C1 (1)画出平移后的△A1B1C1，并写出A1，B1，C1的坐标； (2)求△ABC的面积； (3)在x轴上存在点P，使得△PA1C1面积为，求点P的坐标． 【答案】(1)画图见解析， (2)5 (3)或 【分析】（1）先分别确定平移后的对应点 再顺次连接即可，根据点在坐标系内的位置可得点的坐标． （2）利用△ABC所在的长方形减去周围三个直角三角形即可得出答案． （3）设 可得 再利用面积公式列绝对值方程即可． 【详解】（1）解：如图，△A1B1C1即为所求； （2）△ABC的面积为 （3）设 解得：或 或 【点睛】本题主要考查了作图-平移变换，平面直角坐标系中点的坐标的特征，三角形的面积等知识，准确画出图形是解题的关键． 【变式训练5 由平移方式确定点的坐标】 1．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）如图，在平面直角坐标系中，将线段平移后得到线段，点和点的对应点分别是点和点．若点，，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平移与坐标，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．根据点、的坐标确定出平移方式，再根据平移方式结合图形解答即可． 【详解】解：点的对应点， 平移规律为向右平移个单位，再向上平移个单位， 向右平移个单位，再向上平移个单位，得到对应点C的坐标为即． 故选：D． 2．（25-26八年级上·江苏盐城·月考）如图，点，点，线段平移后得到线段，若点，点，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标系中的平移，根据给定的点的坐标，确定平移方式，进而求出的值，进而求出的值即可． 【详解】解：∵点，点，线段平移后得到线段，点，点， ∴点向右平移个单位，得到，点向下平移1个单位得到， 即将线段先向右平移个单位，再向下平移1个单位得到线段， ∴， ∴； 故答案为：． 3．（24-25七年级下·河南安阳·期末）平面直角坐标系中，为原点，点． (1)如图①，三角形的面积为_____． (2)如图②，将点B向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到对应点D． ①点D的坐标_____；按照这样的平移方式，直接写出A、C平移后对应点E、F的坐标分别为_____、_____； ②点是一动点，若三角形的面积等于三角形的面积，直接写出点坐标． 【答案】(1)3 (2)①；②点坐标或 【分析】本题考查平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握平移的坐标变换规律“左减右加，上加下减”，属于中考常考题型． （1）利用三角形面积公式求解即可； （2）①利用平移变换的坐标变换规律求解即可； ②根据两三角形面积相等，构建方程求解即可． 【详解】（1）解： ，，， ，，， ， 的面积， 故答案为：3； （2）解：①∵将点向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到对应点D． ∴点D的坐标为，即点， 同理：，， ∴点E的坐标为，点F的坐标为 故答案为：； ；． ②，，， ∴ ∴ 解得：或， ∴点坐标或． 4．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）在平面直角坐标系中，已知，，过的直线平行于y轴，平移线段至线段(点A的对应点是点D，点B的对应点是点C)． (1)如图1，当时． ①直接写出点D的坐标； ②连接，求的面积； (2)已知点P在线段上，连接，记的面积为S． ①如图2，当时，若，求m的值； ②如图3，若，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)①；②8 (2)①；②或 【分析】该题考查了平移的性质，坐标与图形综合等知识点，解题的关键是分类讨论． （1）①当时，，根据平移的性质可得平移方式是先向左平移6个单位，再向下平移1个单位，从而得出． ②如图1， 过 作 轴，过 作 轴，依题意得：，，，，根据即可求解． （2）①如图，过D作直线l，过A作直线l，作，连接，根据线段平移得线段，，，，得出，依题意得：，，，得出，根据平移可得，则，即，即可求出． ②由（2）①得：当时，，则，解得；，解得；当时，如图，过D作直线l，过A作，作，连接，依题意得：，，，则，即，则，解得；，解得；即可得出若，则或． 【详解】（1）解：（1）①当时，， ∵，，，线段平移至线段（点A的对应点是点D，点B的对应点是点C）， ∴平移方式是先向左平移6个单位，再向下平移1个单位， ∴，即， ②如图1， 过 作 轴，过 作 轴， 依题意得：，，，， ； （2）解：①如图，过D作直线l，过A作直线l，作，连接， ∵线段平移得线段，，，， ∴， 依题意得：，，， ∴ ， ∵线段平移得线段， ∴， ∴， ∴， ∴， (此题还可以用逆向思维，根据去求m的值．) ②由（2）①得：当时，， 则，解得；，解得； 当时， 如图，过D作直线l，过A作，作，连接， 依题意得：，，， ∴ ， ∴， 则，解得；，解得； 综上可得：若，则或． 【变式训练6 已知点平移前后的坐标，判断平移方式】 1．（24-25七年级下·北京怀柔·期末）如图，，，，将线段平移，使点平移到点，点为点的对应点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移，确定出平移规律是解题的关键．根据点、的坐标确定出平移规律，然后求解即可． 【详解】解：∵点的对应点是， ∴平移规律是横坐标减2，纵坐标加2， ∴点的对应点的坐标为． 故选：A． 2．（24-25七年级下·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，对正方形及其内部的每个点进行如下操作：把每个点的横、纵坐标都乘，将得到的点先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到正方形及其内部的点，其中点，的对应点分别为，．已知正方形内部的一点经过上述操作后得到的对应点与点重合，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题综合考查了数形结合及方程思想，结合图象，利用已知点得出平移规律，再根据题意，利用方程达到解决问题的目的． 首先根据点A到，B到的点的坐标可得方程组，，即可求出、 、的值， 设点的坐标为， 点点重合可列出方程组，再解可得点坐标． 【详解】解：由点A到可得方程组， 由B到可得方程组， 解得， 设点的坐标为， 点点重合得到方程组， 解得 ， 即． 故答案为：. 3．（2025七年级下·山东·专题练习）平面直角坐标系中，三角形的三个顶点的位置如图所示，点的坐标是，现将三角形平移，使点变换为点，点、分别是、的对应点． (1)请画出平移后的三角形（不写画法），并直接写出点、的坐标：（   ）、（   ） (2)若三角形内部一点的坐标为，则点的对应点的坐标是（   ） 【答案】(1)作图见解析，、； (2) 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中图形的平移，解决本题的关键是根据点的坐标是，点的坐标是，得到平移的方向和距离． 根据点的坐标是，点的坐标是，可知图形向左平移了个单位长度，向下平移了个单位长度，根据平移的方向得到点和点平移后的对应点、的坐标，根据坐标画出图形即可； 根据点平移后的对应点为，可知横坐标减，纵坐标减，把点的坐标也作相应的变化即可． 【详解】（1）解：如下图所示， 由图可知，点的坐标是，点的坐标是， 向左平移了个单位长度，向下平移了个单位长度， 把点和点分别向左平移了个单位长度，向下平移了个单位长度， 得到对应点分别为：，， 连接点、、，得到 即为所求，由图可得，，， 故答案为：，； （2）解：点平移后的对应点为， 横坐标减，纵坐标减， 点的对应点的坐标是， 故答案为：． 4．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）如图，已知的三个顶点的坐标分别为． (1)画出△ABC关于原点O成中心对称的图形； (2)是的边上一点，将△ABC平移后点P的对称点，请画出平移后的； (3)若和关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为（____，_____）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用关于原点对称的点的坐标特征写出的坐标，然后描点即可； （2）利用点P与P′的坐标特征确定平移的方向与距离，再利用此平移规律写出点A、B、C的对应点的坐标，然后描点即可； （3）连接，它们的交点为对称中心． 【详解】（1）如图所示，即为所求； （2）∵点P向右平移4个单位，向上平移2个单位得到点， ∴向右平移4个单位，向上平移2个单位得到 ，如图所示： （3）根据图象可知，连接、、后，它们交于点，且点的坐标为，所以和的对称中心的坐标为． 故答案为． 【点睛】本题考查了作图−旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换． 【变式训练7 已知图形的平移，求点的坐标】 1．（24-25七年级下·贵州贵阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，将线段平移，使得点A平移到点，则平移后点B的坐标为（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】根据点平移到点可得该线段平移的方法，用这个平移方法即可得到平移后点B的坐标．本题考查了平移，掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：点A的坐标为，点A平移到点， 故平移的方法为：向右平移2个单位，向上平移4个单位， 故将点向右平移2个单位，向上平移4个单位后，坐标为， 故选：B． 2．（2025·辽宁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．若将平移后得到，点A的对应点C的坐标是，则点B的对应点D的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平移、坐标与图形等知识点，根据题意确定平移方式是解题的关键．根据点点A的对应点C的坐标是可确定平移方式，然后根据平移方式平移点B即可解答． 【详解】解：∵点的对应点C的坐标是， ∴向左平移2个单位长度，向下平移2个单位长度得到， ∴点的对应点D的坐标是，即． 故答案为． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图所示，三角形中，任意一点经平移后对应点，将作同样的平移得到．求的坐标． 【答案】 【分析】本题考查了平移， 根据点P和点得出平移变换的方式，进而根据同样的平移方式画出平移后图象，继而根据平面直角坐标系求得的坐标即可． 【详解】解∶∵点经平移后对应点， ∴P点向上平移3个单位，向左平移2个单位， ∴向上平移3个单位，向左平移2个单位得到， 如图，即为所求， ∴． 4．（24-25七年级下·福建福州·月考）如图所示，在平面直角坐标系中，如图①，将线段平移至线段点与点是对应点，点在轴的负半轴，点在轴的正半轴上，连接、． (1)若、、；则点的坐标是_________； (2)已知、，点在轴的正半轴上，且，求点、的坐标； (3)如图②，在平面直角坐标系中，已知一定点，两个动点、，请你探索是否存在以两个动点、为端点的线段平行于线段．若存在，求以点、、、为顶点的四边形的面积；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)，； (3)15或3． 【分析】本题考查了坐标与图形变化—平移，三角形的面积，熟记平移变化只改变图形的位置不改变图形的形状是解题的关键． （1）根据平移变换只改变图形的位置不改变图形的形状可知对应线段平行且相等，对应点的连线平行且相等； （2）由点和点在轴上确定出，再根据的面积求出，然后写出点、的坐标即可； （3）根据，，，，得出，，分情况解答即可． 【详解】（1）解：设， 将线段平移至线段，、，， ，， ，， ； （2）解：如图①，，点在轴的正半轴上， ，， ，即， ， 解得：， 点的坐标为， 设，将线段平移至线段， ，， ，， 点的坐标为； （3）解：，，，， 点与的纵坐标相等，横坐标的差的绝对值为， 即，， 解得：，或，， 点的坐标为，的坐标为或点的坐标为，的坐标为， 当，，； 当，时，． 综上，以点O、M、E、F为顶点的四边形的面积为15或3. 【变式训练8 已知平移后的坐标求原坐标】 1．（25-26八年级上·安徽亳州·月考）如果把点向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，若平移后的坐标是，则可确定点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了点坐标的平移变换．上加下减，右加左减，上下平移是纵坐标变化，左右平移是横坐标变化，据此求解即可． 【详解】解：把点向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到点的坐标为，即为， 故选：C． 2．（2025·山西晋中·二模）如图，在平面直角坐标系中，是由先向右平移4个单位长度，再向上平移6个单位长度得到的，它的顶点坐标分别为：，，，则的顶点的坐标为 ． 【答案】 【分析】设顶点A的坐标为：，根据平移规律可知：，再利用即可求出x，y的值． 【详解】解：设顶点A的坐标为：． 由题意可知： ∵是由先向右平移4个单位长度，再向上平移6个单位长度得到的， ∴， ∵， ∴，，解得：，， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查平移，解题的关键是掌握平移规律“左减右加，上加下减”． 3．（24-25七年级下·云南·期中）如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别为，，，将三角形向右平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到三角形，其中点，，分别为点A，B，C的对应点. (1)请在所给坐标系中画出三角形，并直接写出点的坐标：______； (2)若边上一点P经过上述平移后的对应点为，用含x，y的式子表示点P的坐标：P______； (3)求三角形的面积． 【答案】(1)见详解， (2) (3)7 【分析】本题考查了作图−平移，点的平移，网格三角形的面积，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）利用点平移的坐标规律写出点，，的坐标，然后描点即可； （2）把点向左平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度得到点P，从而确定P点坐标； （3）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算三角形的面积． 【详解】（1）解：如图，为所作， ∵， ∴将三角形向右平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度后， ∴； （2）解：由题意得点向左平移5个单位，向下平移1个单位得到点P， ∴点； （3）解：． 4．（24-25七年级下·山东德州·期中）如图，，，．将向右平移3个单位长度，然后再向上平移1个单位长度，可以得到．    (1)画出三角形，并写出、、的坐标； (2)已知内部一点P的坐标为，若点P随一起平移，平移后点P的对应点的坐标为，则______，______． (3)已知点P在坐标轴上，以、、P为顶点的三角形面积为三角形ABC面积的一半，则P点的坐标为______． 【答案】(1)见解析，；； (2)，0 (3)或或或 【分析】本题考查平移作图，平移坐标变换，坐标与图形．熟练掌握利用平移的性质作图和平移的坐标变换规律是解题的关键． （1）根据平移变换的性质找出对应点即可求解； （2）根据平移的坐标变换规律“左减右加，上加下减”，得出，，求解即可； （3）分两种情况：点P在y轴上，点P在x轴上，分别 求解即可． 【详解】（1）解：如图，为所作，；；；    （2）解：由题意，得，， ∴，， 故答案为：，0． （3）解：如图，    ∵， ∴当点P在y轴上时， 解得：， ∴， ∴，； 当点P在x轴上时，， 解得：， ∴， ∴，； 综上，点P的坐标为或或或． 【变式训练9 坐标系中的平移】 1．（24-25七年级下·新疆吐鲁番·期中）如图，平面直角坐标中，直线分别与两坐标轴的正半轴相交，为直线AB上的一个动点，在点P从点A平移到点B的过程中，坐标x，y的值变化情况是（   ） A．x增大，y也增大 B．x增大，y却减小 C．x减小，y却增大 D．x减小，y也减小 【答案】B 【分析】本题主要考查点的平移，熟练掌握平移的特征是解题的关键．根据“右加左减，上加下减”即可得到答案． 【详解】解：在点P从点A平移到点B的过程中，坐标x，y的值变化情况是x增大，y却减小， 故选B． 2．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）长方形的长为5，宽为3，将该长方形按如图的方式放置在平面直角坐标系中，已知点，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查平面直角坐标系，由A，D横坐标相同，可得轴，进而可得轴，结合即可求解． 【详解】解：， 轴， 四边形是长方形， 轴， ，， 点的坐标为，即， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·安徽六安·期中）已知平面直角坐标系中有一点． (1)若点N的坐标为，且轴，求点M的坐标； (2)若点M到x轴、y轴的距离相等，求m的值． 【答案】(1)点M的坐标为 (2)或 【分析】本题考查了象限内点的坐标特征，理解点的横、纵坐标的意义是解题的关键． （1）根据轴，得到，求出的值，进而算出，即可求得点M的坐标； （2）根据点M到x轴、y轴的距离相等，得到，进而求解，即可解题． 【详解】（1）解：因为点，点N，且轴， 所以， 解得， 所以， 所以点M的坐标为． （2）解：因为点M到x轴、y轴的距离相等， 所以， 所以或， 所以或． 4．（24-25七年级下·吉林松原·期中）长方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，，动点从点出发，沿的方向以每秒2个单位长度的速度运动，与点第二次相遇时停止，设点运动的时间为秒． (1)点的坐标为_______； (2)在点从点运动到点的过程中，用含的代数式表示的长度； (3)当点第一次运动到点时，有一条垂直于轴的直线开始从的位置出发，以每秒1个单位长度的速度沿轴正方向运动，当点停止运动时直线也随之停止．在运动过程中，当点在直线上时，求点的坐标； (4)连接、、，当三角形的面积为2时，直接写出的值． 【答案】(1)； (2)； (3)点的坐标为或； (4)的值为或4或6． 【分析】本题考查了四边形综合题，涉及了动点问题，矩形的性质，解答本题关键是讨论点P的位置，由题意建立方程从而求出符合题意的x值，同时要数形结合进行思考． （1）根据矩形的性质和坐标特点解答即可； （2）当时，点P在上运动，即可求解； （3）分当和当两种情况，根据题意得出方程解答即可； （4）分当点P由O向A运动、当点P由A向B运动和当点P由B向A运动三种情况，利用三角形面积公式得出方程解答即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵A的坐标为，C的坐标为， ∴， ∴B的坐标为， 故答案为：； （2）解：当时，点P在上运动， 则， 故答案为：； （3）解：①当（或点P由A向B运动）时： 此时直线l运动的距离点运动的距离， 即：， ∴， 故点的坐标为； ②当（或点P由B向A运动）时： 此时直线l运动的距离点运动的距离， 即：， ∴， 故点P的坐标为：； 综上，点P的坐标为或； （4）解：①当点P由O向A运动时， ∵， ∴， 解得：， ②当点P由A向B运动时， ∵， ∴， 解得：， ③当点P由B向A运动时， ∵， ∴， 解得：， 综上所述，当x的值为 或4或6时，的面积为2． 【变式训练10 坐标系中的动点问题（不含函数）】 1．（24-25七年级下·山东济宁·期中）如图，已知点，动点在轴上，且的面积为，则的坐标为（   ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标与图形，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据题意可得，再将动点分成在左侧和右侧时，两种情况分别讨论即可求解． 【详解】解：∵，的面积为， ∴，即， 解得：， 当点在左侧时，， 当点在右侧时，， ∵动点在轴上， ∴， 综上可得点坐标为或， 故选：C． 2．（24-25七年级下·辽宁抚顺·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，直线轴，垂足为点，点P为直线上一动点，当时，则点P坐标 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了坐标与图形，设点P的坐标为，根据点的坐标可得，，；再分点P在点B上方，点P在点B下方，且在x轴上方和点P在x轴下方三种情况，分别画出示意图，讨论求解即可． 【详解】解：设点P的坐标为， ∵，，， ∴，，， 如图所示，当点P在点B上方时， ∵， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； 如图所示，当点P在点B下方，且在x轴上方时， ∵， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； 如图所示，当点P在x轴下方时， ∵， ∴， 解得（舍去）； 综上所述，点P的坐标为或， 故答案为：或． 3．（25-26八年级上·广东佛山·期中）如图，在平面直角坐标系中，各个顶点的坐标分别是． (1)请在如图的直角坐标系中，画出； (2)点P是y轴上一点，且面积是4，则点P坐标是 ___________ ． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题考查作图﹣复杂作图，三角形的面积，坐标与图形性质，解决本题的关键是准确计算点P的坐标． （1）根据即可在如图的直角坐标系中，画出； （2）根据点P是y轴上一点，且面积是4，可得点P坐标． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：∵点P是y轴上一点，且面积是4， 则点P坐标是或． 4．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）在平面直角坐标系中，对于两点给出如下定义：点到轴的距离中的最大值等于点到轴的距离中的最大值，则称两点为“等距点”．如点与两点即为等距点． (1)已知点的坐标为 ①点中，与点为“等距点”的是________； ②若点的坐标为，且两点为“等距点”，求出点的坐标； (2)若点与点两点为“等距点”，在轴上有异于原点的一点，连接．若的面积为，的面积，求的值． 【答案】(1)①；②或 (2) 【分析】本题考查了根据新定义求点的坐标，绝对值方程． （1）①根据“等距点”的定义作答即可；②根据“等距点”的定义列出方程即的取值范围，再计算即可； （2）根据“等距点”的定义求出，或，，根据面积法列方程计算即可． 【详解】（1）①解：点到x，y轴的距离中的最大值为4， 到x，y轴的距离中的最大值为，不是点A的“等距点”； 到x，y轴的距离中的最大值为，是点A的“等距点”； 到x，y轴的距离中的最大值为，是点A的“等距点”； 故答案为：； ②解：∵A，M两点为“等距点” ∴或且， 解得：，，且 ∴或， ∴点的坐标为或； （2）解：∵点与点两点为“等距点”， ∴或， 解得：， ∴，或，（舍去）或，或，（舍去）， ∴，或，， 当，时，如图， ∴，即的值为； 当，时， 同理，得，即的值为； 综上，的值为． 【变式训练11 中点坐标】 1．（24-25八年级上·河北唐山·期中）在中，，，求中线的取值范围时，嘉淇同学将延长到，使，连接．已知点，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查坐标与图形性质，根据已知两点坐标，，则中点坐标为，直接求解即可． 【详解】解：∵， ∴点D为的中点， ∵点，， ∴点E的坐标为，即， 故选：A． 2．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）如图，平面组合图形中，点、，则该平面组合图形的重心的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查平面组合图形的重心的坐标，A，B是两个图形的重心，平面组合图形的重心的坐标是两重心坐标的平均值，据此求解即可． 【详解】解：∵点A，B是两个图形的重心，且、， ∴平面组合图形的重心的坐标为，即． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点，，若点满足，，那么称点T是点A和B的衍生点． 例如：，，则点是点M和N的衍生点． 已知点是点，的衍生点． (1)请直接写出点T的坐标（用含m的式子表示）． (2)若直线交x轴于点H，当时，求点E的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查坐标与图形，理解新定义是解题关键． （1）直接根据衍生点的定义求解． （2）垂直于x轴的直线上的点横坐标相等，进而求出m的值和E点的坐标． 【详解】（1）解：由题意知点T的坐标为，即； （2）解：如图， ∵， ∴点E与点T的横坐标相同． ∴， 解得，则 ∴E点坐标为． 4．（24-25七年级下·辽宁鞍山·期中）综合与探究 （1）数学课上，老师要求在平面直角坐标系中描出下列各点：，，，并且连接，，，．找出它们的中点分别为M，N，P，Q，请你在下面的平面直角坐标系中完成老师的要求．（不用写作图的结论） 【探究一】 （2）小亮通过观察上图发现，在平面直角坐标系中有不重合的两点和，若，则轴，且线段的长度为________；若，则轴且线段的长度为____________； （3）请利用上面的结论解决问题：在平面直角坐标系中有两个点，点和点，若轴，且，求点的坐标． 【探究二】 （4）小亮通过观察上图M，N，P，Q的坐标，发现：在平面直角坐标系中有不重合的两点和，线段的中点的坐标与线段的两个端点的横、纵坐标之间存在一种数量关系．请直接写出结论． （5）请利用上面的结论解决问题：平行四边形在平面直角坐标系中，已知，，，对角线，交于点E，且E分别为，的中点，求D点坐标． 【答案】（1）见详解；（2），；（3）的坐标为或；（4），；（5） 【分析】本题主要考查了直角坐标系，两点之间的距离以及线段中点坐标的有关计算． （1）根据题意描点，连线，找出中点即可． （2）根据直角坐标系中两点之间的距离求解即可． （3）根据直角坐标系中两点之间的距离求解即可． （4）总结出线段中点坐标的规律即可求解． （5）设，根据线段中点的坐标公式列出关于x，y的一元一次方程求解即可得出答案． 【详解】解：（1）根据题意作图如下： （2）若，则轴， ∴线段的长度为 若，则轴 ∴线段的长度为． （3）∵轴， ∴的横坐标和点的横坐标相同为2， 解得：或 ∴点的坐标为：或 （4）∵，，，， 且M，N，P，Q，分别为线段，，，的中点， ， ， 则线段中点坐标为线段两端点对应坐标之和的． ∴， 即， （5）∵，，，且E分别为，的中点， 故设， ∴，， 解得：，， ∴ 【变式训练12 点坐标规律探索】 1．（25-26八年级上·山西晋中·期末）法国数学家笛卡尔创立了平面直角坐标系，被誉为“解析几何之父”．在平面直角坐标系中，我们定义点的“笛卡尔变换”为：．已知点的坐标为，则经过次笛卡尔变换后得到的点的坐标为(   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查点的坐标规律探索，关键是通过计算前几次变换的坐标，找到变换的周期，再利用周期确定第次变换后的坐标． 【详解】解：已知点的坐标为，根据“笛卡尔变换”规则，依次计算前几次变换后的坐标： ， ， ， ， …… 可见每次变换后回到初始坐标． ∵， ∴第次变换后的坐标与第次变换后的坐标相同． 故选：A． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，…按这样的运动规律，经过第2025次运动后，动点的坐标是 ． 【答案】 【分析】分析前几次运动的坐标，总结出横坐标、纵坐标分别对应的规律，再利用规律求解第次运动后的坐标． 【详解】解：先列出前几次运动后的坐标： 第次从原点运动到点， 第次接着运动到点， 第次接着运动到点， 第次接着运动到点， 第次接着运动到点， ①横坐标规律： 第次运动后的横坐标就是， ∴第次运动后的横坐标为． ②纵坐标规律： 纵坐标以为一个周期循环，周期长度为 余数为，对应周期中的第个值，即纵坐标为 ∴经过第次运动后，动点的坐标是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标规律探索与周期问题，解题关键是将横、纵坐标的规律分开分析，横坐标直接与运动次数对应，纵坐标则通过寻找周期来确定，通过计算余数即可快速定位对应的值． 3．（25-26八年级上·安徽六安·期中）在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足：，则称点P的“美好点”为点Q．例如，点的“美好点”是． (1)①点的“美好点”坐标是_______； ②若点P的“美好点”为，则点P的坐标是________； (2)若点的“美好点”位于x轴上，求a的值． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】此题考查了点的坐标的知识，熟练掌握“美好点”的定义是关键． （1）①设点的“美好点”为，根据定义进行解答即可； ②设点P的坐标是，点P的“美好点”为，根据定义进行解答即可； （2）设点P的“美好点”为，根据定义和点的“美好点”位于x轴上进行解答即可． 【详解】（1）解：①设点的“美好点”为， ∴点的“美好点”坐标是； 故答案为： ②设点P的坐标是，点P的“美好点”为， ∴， 解得 ∴点P的坐标是； 故答案为： （2）由题意可得：设点P的“美好点”为， 又∵Q在x轴上， 所以解得； 4．（25-26八年级上·安徽六安·期中）在平面直角坐标系中，一点从原点出发，第1次运动到点，第2次运动到，第3次运动到，然后依次运动到，，，，如此继续下去（如图），请完成下列问题： (1)请根据规律填写各点坐标：①______，______； ②若为不小于1的整数，则______； (2)如图，点，，，，它们都在同一条直线上，第1个点为，第2个点为，第3个点为，第4个点为，，如此数下去，第676个点为，则______． 【答案】(1)① ，② (2) 【分析】本题考查平面直角坐标系中的规律探究，掌握通过分析点的坐标变化寻找规律的方法是解决问题的关键． （1）①分析运动次数与坐标的关系，找出、的坐标规律为横纵坐标相等，且都为下标的； ②由①发现的规律总结出的坐标； （2）先找出这些点的下标与序号之间的规律，再据此计算序号是第676个点的下标即可． 【详解】（1）解：，运动次数1； ，运动次数2； ，运动次数3； ，运动次数4； ，运动次数5； ，运动次数6； 可以发现，每3次运动为一组，每组的第三个点（即，为正整数）的坐标为， 对于，，解得，∴坐标为， 对于，，解得，∴坐标为 故答案为：，； ②由①的规律，当为不小于1的整数时，所以的坐标为． 故答案为：； （2）解：观察的编号： 第1个点的下标是， 第2个点的下标是， 第3个点的下标是， 由此可得，第个点的下标为， 要求第676个点的下标，即， 则． 故答案为：． 【变式训练13 翻折问题中的坐标计算】 1．（24-25八年级上·贵州毕节·期末）如图，长方形的顶点的坐标分别为．若长方形第1次沿轴翻折，第2次沿轴翻折，第3次沿轴翻折，第4次沿轴翻折，第5次沿轴翻折，…，则第2024次翻折后点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点坐标的变换规律，理解点坐标的旋转规律是解题的关键． 根据平面直角坐标系与长方形的特点得到，再根据翻折的性质找到规律即可求解． 【详解】解：长方形的顶点的坐标分别为， ∴， ∴， ∵长方形第1次沿轴翻折，第2次沿轴翻折，第3次沿轴翻折，第4次沿轴翻折，第5次沿轴翻折， ∴当第4次时，长方形回到出发点的位置， ∴每4次一循环， ∴， ∴第2024次翻折后点的对应点的坐标， 故选：D ． 2．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）长方形的两边分别平行于轴，轴，点的坐标为，点的坐标为．如图1，将长方形绕图形右下侧顶点顺时针旋转，再沿轴翻折得到长方形，称为一次操作；如图2，接着将长方形继续绕图形右下侧顶点顺时针旋转，再沿轴翻折得到长方形，称为第二次操作；以此类推，… （1）经过3次操作后，点的坐标为 ： （2）经过2025次操作后，点的坐标为 ， 【答案】 【分析】（1）点的坐标为，点的坐标为．得到长方形到x轴的距离为1，长为2，宽为1，故，，，解答即可． （2）当中的为奇数时，横坐标从开始，每次增加个单位长度；纵坐标从开始，每次增加个单位长度，即时，，解答即可． 本题考查了坐标系中坐标的规律，正确发现规律是解题的关键． 【详解】（1）解：点的坐标为，点的坐标为．得到长方形到x轴的距离为1，长为2，宽为1，故，，， 故答案为：． （2）解：按题意描点可知，当中的为奇数时，横坐标从开始，每次增加个单位长度；纵坐标从开始，每次增加个单位长度，即时，，当时，， ． 3．（24-25八年级上·河北张家口·期中）已知点在平面直角坐标系上，规定：点先向右平移个单位长度后，再沿轴翻折得到点为第1次变换；点沿轴翻折得到点为第2次变换；点先向右平移1个单位长度后，再沿x轴翻折得到点为第3次变换；…依此规律进行下去． （1）点的坐标为 ． （2）点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的变换，根据题目给出的规律，把相应点的坐标分别写出，找到几个为一组循环，即可求得． 【详解】解：， ：点先向右平移个单位长度后，再沿轴翻折后为 ：点沿轴翻折后为 ：点先向右平移1个单位长度后，再沿x轴翻折后为 ：点沿轴翻折后为 ：点先向右平移1个单位长度后，再沿x轴翻折后为回到了， ∴4次翻折为一个循环， ∵， ∴即为循环过回后，第次循环的第次翻折， ∴ 故答案为：，． 4．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图所示的正方形网格中，ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题： （1）将ABC沿x轴翻折后再沿y轴向上平移2个单位，在图中画出平移后的A1B1C1，若ABC内有一点P(a，b)，则经过两次变换后点P的坐标变为 ； （2）作出ABC关于坐标原点O成中心对称的A2B2C2； （3）若将ABC绕某点逆时针旋转90°后，其对应点分别为A3(﹣1，﹣2)，B3(1，﹣3)，C3(0，﹣5)，则旋转中心坐标为 ． 【答案】（1）(a，﹣b+2)；（2）见解析；（3）(0，﹣1) 【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1，然后顺次连接即可． （2）分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2，然后顺次连接即可． （3）根据旋转变换的性质解决问题即可． 【详解】解：（1）如图，△A1B1C1，经过两次变换后点P的坐标变为（a，﹣b+2）． 故答案为：（a，﹣b+2）． （2）如图，△A2B2C2即为所求作． （3）如图，旋转中心的Q的坐标为（0，﹣1）． 故答案为：（0，﹣1）． 【点睛】本题主要考查了平移作图，中心对称作图，旋转作图，找旋转中心，已知图形的平移求点的坐标，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 1．（24-25七年级下·山东临沂·期末）在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度所得到的点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减”的规律求解即可． 【详解】解：将点P（3，2）向右平移2个单位长度得到（5，2）， 再向下平移2个单位长度，所得到的点坐标为（5，0）． 故选：D． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化——平移：向右平移a个单位，坐标P（x，y） （x+a，y）；向左平移a个单位，坐标P（x，y）（x-a，y）；向上平移b个单位，坐标P（x，y）（x，y+b）；向下平移b个单位，坐标P（x，y）（x，y-b），熟记点的坐标的平移规则是解题的关键． 2．（24-25七年级下·福建福州·月考）如图，点A、B的坐标分别是为，，若将线段平移至的位置，与坐标分别是和，则线段在平移过程中扫过的图形面积为（   ）． A．32 B．40 C．52 D．66 【答案】D 【分析】本题主要考查坐标系中点、线段的平移规律．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．直接利用平移中点的变化规律求出m，n的值，再根据线段在平移过程中扫过的图形面积四边形的面积的面积求解即可． 【详解】解：∵点A、B的坐标分别是为，，若将线段平移至的位置，与坐标分别是和， ∴可知将线段向右平移7个单位，向上平移6个单位得到的位置， ∴，， ∴与坐标分别是和， ∴与轴平行， ∴， ∴线段在平移过程中扫过的图形面积四边形的面积的面积， 故选：D． 3．（24-25七年级下·贵州毕节·月考）如图，正方形网格中每个小正方形的边长为1，每个小格的顶点叫格点，正方形的四个顶点都在格点上．将正方形沿x轴正方向平移3个单位长度，则点C的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平移的坐标变换，熟练掌握平移的坐标变换规律“左减右加，上加下减”是解题的关键． 先写出点C的坐标，再根据“左减右加”得出点的坐标即可． 【详解】解：由图可知：点C的坐标为， ∵将正方形沿x轴正方向平移3个单位长度， ∴点C的对应点的坐标是，即． 故先：B． 4．（24-25七年级下·广西柳州·期中）如图，在平面直角坐标系中，动点从原点出发，水平向左平移个单位长度，再竖直向下平移个单位长度得到点；接着水平向右平移个单位长度，再竖直向上平移个单位长度得到点；接着水平向左平移个单位长度，再竖直向下平移个单位长度得到点；接着水平向右平移个单位长度，再竖直向上平移个单位长度得到点，，按此作法进行下去，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点的坐标规律探究，观察可知下标为奇数的点在第三象限的角平分线上，进而得到，即可得出结果，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：观察题图可知，下标为奇数的点在第三象限， ，，，， ∴， 当， ∴， ∴， 故选：B． 5．（25-26七年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，，．把一条长为2025个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点处，并按的顺序绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查点的坐标变化规律，能根据所给点的坐标求出四边形的周长是解题的关键． 根据所给点的坐标，可求出四边形的周长，再根据细线的长度即可解决问题． 【详解】解：，，，， ，，，， 绕四边形一周的细线的长度为，， 细线的另一端在绕四边形第圈时的第个单位长度的位置， 即点的位置，坐标为． 故选：B． 6．（24-25七年级下·辽宁营口·期末）已知点的坐标为，线段，轴，则点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】根据平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同，先确定点N的纵坐标，再根据，分两种情况确定点N的横坐标即可． 【详解】解：轴， ∴点与点的纵坐标相同为． ∵， 当点在点的右边时，点的横坐标为， 当点在点的左边时，点的横坐标为． ∴点的坐标为或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中平行于坐标轴的直线上的点的特征：平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同，平行于y轴的直线上的点的横坐标相同．解题的关键是掌握以上知识，并注意确定横坐标时要进行分情况讨论． 7．（24-25七年级下·内蒙古呼和浩特·期末）如图，渔船与港口相距17海里，我们用有序数对（南偏西，17海里）来描述渔船相对港口的位置，那么港口相对渔船的位置可描述为 ．    【答案】（北偏东，17海里） 【分析】以为中心，来描述点的方向和距离，南与北相对，东与西相对，距离不变，角度不变，据此即可作答． 【详解】解：由题意知：港口A相对货船B的位置可描述为：（北偏东，47海里）， 故答案为：（北偏东，17海里）． 【点睛】本题考查坐标确定位置，用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西． 8．（2025·辽宁·模拟预测）如图，顶点A，B的坐标分别为，将平移后，点A的对应点D的坐标是，则点B的对应点E的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平移的性质、图形与坐标等知识点，根据已知平移点确定平移方式成为解题的关键． 根据点A和点D的是平移后的对应点，计算出平移的方向和单位长度，由于图形平移所有点的平移方向和单位长度一致，即可确定点E的坐标． 【详解】解：由题可知平移后得到点； ∴是先向右平移2个单位长度，在向上平移1个单位长度； ∴点先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度； ∴点． 故答案为． 9．（25-26八年级上·江苏南京·月考）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每次移动一个单位，得到点，那么点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标规律型问题，解题的关键是根据点的坐标的变化得到规律，利用得到的规律解题． 动点在平面直角坐标系中按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，只要求出前几个坐标，根据规律找坐标即可． 【详解】解：根据题意可知， ，…， ∴点的纵坐标每4个点循环一次， ∵， ∴点在，，的位置上，纵坐标为0，横坐标为序号的一半， 即， ∴点的坐标， ∵点是点向上平移1个单位得到的， ∴坐标为， 故答案为：． 10．（24-25七年级下·江苏南通·期中）如图，正方形四个顶点的坐标分别是，将线段先向右再向下平移之后得到线段，点A的对应点为，若点E到直线的距离等于点F到直线的距离，则的数量关系为 ． 【答案】 【分析】此题考查坐标与图形的平移，关键是根据坐标与图形的平移特点解答．根据坐标得出轴，轴，进而利用两点的距离得出方程解答． 【详解】解；正方形四个顶点的坐标分别是，，，， 轴，轴， 设， 线段平移之后得到线段，点的对应点为， ， ， ， 点到的距离等于点到的距离， ， ， 故答案为：， 11．（24-25七年级下·河南新乡·期末）某校是河南省首批义务教育优质均衡发展先行创建校之一，是一所完全中学，资源配置丰富全面．如图，这是校园布局图的一部分．若下图是由边长均为1的小正方形组成的网格图，升旗台、教学楼的坐标分别为． (1)在给定的网格中建立平面直角坐标系并写出实验楼所在位置的坐标：__________． (2)标出艺术楼、餐厅的位置． (3)连接，，请直接写出和的位置关系和数量关系：__________． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查坐标与图形. （1）根据已有点的坐标确定原点的位置，画出坐标系，进而写出点的坐标即可； （2）根据坐标，描点即可； （3）根据图形进行判断即可． 【详解】（1）解：由题意，画图如下；由图可知：实验楼的位置的坐标为； 故答案为： （2）解：由题意，描点如图； （3）由图可知：． 故答案为： 12．（25-26七年级下·全国·课后作业）下图所示的“鱼”图案是将坐标为，，，，，，，的点用线段依次连接而成的． (1)若纵坐标保持不变，横坐标分别加上3，在上图中画出所得的图案． (2)若横坐标保持不变，纵坐标分别减去2，在上图中画出所得的图案． (3)通过以上两种变换，你发现了什么规律？请用简洁的语言加以概括． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)通过以上两种变换，我发现：横坐标（纵坐标）加上或减去n，图案形状不变，即向右（向上）或向左（向下）平移n个单位长度． 【分析】（1）（2）根据平移的规律即可得出答案； （3）根据（1）（2）中画出的相应图形，由图形可以得到两幅图形的位置关系，从而找到相应的规律． 【详解】（1）解：如图所示． （2）解：如图所示． （3）解：示例：通过以上两种变换，我发现：横坐标（纵坐标）加上或减去，图案形状不变，即向右（向上）或向左（向下）平移个单位长度． 【点睛】本题考查坐标与图形性质，主要利用了点的位置的确定，几何图形的变化，能根据题意画出图案是解题的关键． 13．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）对于坐标系中的图形M上的任意点，给出如下定义：将点平移到称为将点P进行“n型平移”，点称为将点P进行“n型平移”的对应点；将图形M上的所有点进行“n型平移”称为将图形M进行“n型平移”．例如，将点平移到称为将点P进行“1型平移”，将点平移到称为将点Q进行“型平移”．已知点． (1)在图中建立平面直角坐标系，并画出线段进行“2型平移”后的对应线段，直接写出，的坐标； (2)将线段进行“n型平移”后与y轴有公共点，直接写出n的取值范围_____； (3)将（1）中四边形进行“n型平移”后与x轴有公共点，请直接写出n的取值范围是____． 【答案】(1)平面直角坐标系和平移见解析，点坐标为，点坐标为 (2) (3) 【分析】本题主要考查坐标与图形的平移变换，属于创新题型．理解“n型平移”的意定义，熟练运用点的平移规律是解题关键． （1）根据题目中“n型平移”的定义得到，的坐标，从而得到线段； （2）当点B向上移到y轴上时，求得n的最小值；继续下移，当A点在y轴上时，n取得最大值． （3）当点向下移到x轴上时，求得n'的最小值；四边形继续下移，当A点在x轴上时，n取得最大值． 【详解】（1）解：平面直角坐标系和平移后的线段如图所示， ∴平移后点坐标为，即，点坐标为，即； （2）解：将线段进行“n型平移”后点坐标为，点坐标为， ∵与y轴有交点， ∴，， 解得， 故答案为：； （3）解：（1）中四边形进行“n型平移”后点的坐标为，，，， ∵与x轴有交点， ∴，， 解得， 故答案为：． 14．（24-25七年级下·湖北荆州·期中）如图，已知点，，将线段先向右平移1个单位长度，再向上平移若干单位长度后，得到线段，且点在轴上，点的坐标为，连接、． (1)请求出点A和点B坐标； (2)点M从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿y轴向上运动．设运动时间为t秒，当四边形的面积等于8时，求t的值； (3)点M从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿y轴向上运动，同时，点N从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴向左运动，射线交y轴于点E．设运动时间为秒，问：的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由．（特别地，三角形三个顶点重合时面积为0） 【答案】(1)， (2) (3)不变，它的值为3 【分析】本题考查了点坐标的平移变换、坐标与图形，较难的是题（3），正确分两种情况讨论是解题关键． （1）根据平移的性质可得，，，求出的值，由此即可得； （2）先求出直角梯形的面积为，则可得点在点的上方，再根据求出，然后根据求解即可得； （3）分两种情况：①当点在上时，则，连接，根据即可得；②当点在延长线上时，则，连接，根据即可得． 【详解】（1）解：∵点，，将线段先向右平移1个单位长度，再向上平移若干单位长度后，得到线段，且点在轴上，点的坐标为， ∴，， ∴，， ∴， ∴，． （2）解：由平移的性质得：， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴直角梯形的面积为， ∵四边形的面积等于， ∴如图，点在点的上方， ∴， ∴， ∴， 由题意得：， 又∵， ∴． （3）解：①如图1，当点在上时，则， 连接， ∴ ； ②如图2，当点在延长线上时，则， 连接， ∴ ； 综上，的值不变，它的值为3． 15．（2025·广东汕头·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，第一次将变换成，第二次将变换成，第三次将变换成． (1)观察每次变换前后的三角形的变化规律，若将变换成，则的坐标是＿＿＿＿，的坐标是＿＿＿． (2)若按第（1）题找到的规律将进行n次变换，得到，比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，推测An的坐标是＿＿＿＿＿，Bn的坐标是＿＿＿＿＿． 【答案】(1)； (2)； 【分析】本题考查了坐标与图形性质、坐标点的规律变化，根据给定点的坐标的变化找出变化规律是解题的关键． （1）根据点的变化，可找出点的坐标；同理可得出点的坐标； （2）结合（1）中点的坐标的变化，可找出点的坐标； 【详解】（1）解：， ； ， ． 故答案为：；． （2）， ； …， ． 故答案为：；． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 坐标方法的简单应用（4个知识点+13大核心考点+变式训练+提优训练） 题型一 实际问题中用坐标表示位置 题型二 用方向角和距离确定物体的位置 题型三 根据方位描述确定物体的位置 题型四 求点沿x轴、y轴平移后的坐标 题型五 由平移方式确定点的坐标 题型六 已知点平移前后的坐标，判断平移方式 题型七 已知图形的平移，求点的坐标 题型八 已知平移后的坐标求原坐标 题型九 坐标系中的平移 题型十 坐标系中的动点问题（不含函数） 题型十一 中点坐标 题型十二 点坐标规律探索 题型十三 翻折问题中的坐标计算 知识点一：关于x轴、y轴对称的点的坐标 （1）关于x轴的对称点的坐标特点： 横坐标不变，纵坐标互为相反数． 即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）． （2）关于y轴的对称点的坐标特点： 横坐标互为相反数，纵坐标不变． 即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）． 【即时训练】 1．（24-25七年级下·广东广州·开学考试）点关于轴对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·北京西城·期末）某公园部分景点位置示意图如图所示，其中景点都在正方形网格的格点上．如果分别以正东、正北方向为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系，表示望春亭的点的坐标为，表示中心广场的点的坐标为，那么表示玫瑰园的点的坐标为 ． 知识点二：坐标与图形变化-平移 （1）平移变换与坐标变化 ①向右平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x+a，y） ①向左平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x﹣a，y） ①向上平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y+b） ①向下平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y﹣b） （2）在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．） 【即时训练】 1．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，将线段平移至，则的值为（    ） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 2．（24-25七年级下·吉林·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，将沿x轴正方向平移至，此时点C的坐标为 ． 知识点三：关于原点对称的点的坐标 关于原点对称的点的坐标特点 （1）两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）． （2）关于原点对称的点或图形属于中心对称，它是中心对称在平面直角坐标系中的应用，它具有中心对称的所有性质．但它主要是用坐标变化确定图形． 注意：运用时要熟练掌握，可以不用图画和结合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点的坐标． 【即时训练】 1．（24-25七年级下·河南漯河·期中）在平面直角坐标系中有一点，将坐标系平移，使原点移至点，则在新坐标系中原点的坐标是（　　） A． B． C． D． 2．（2025八年级上·浙江·专题练习）在平面直角坐标系中，小明玩走棋的游戏，其走法是：棋子从原点出发，第1步向右走1个单位，第2步向右走2个单位，第3步向上走1个单位，第4步向右走1个单位，…，依此类推，第步的走法是：当能被3整除时，则向上走1个单位；当n被3除，余数为1时，则向右走1个单位；当n被3除，余数为2时，则向右走2个单位，当走完第8步时，棋子所处位置的坐标是 ；当走完第2016步时，棋子所处位置的坐标是 ． 知识点四：规律型：点的坐标 1．所需能力：（1）深刻理解平面直角坐标系和点坐标的意义（2）探索各个象限的点和坐标轴上的点其坐标符号规律（3）探索关于平面直角坐标系中有关对称，平移等变化的点的坐标变化规律． 2．重点：探索各个象限的点和坐标轴上的点其坐标符号规律 3．难点：探索关于平面直角坐标系中有关对称，平移等变化的点的坐标变化规律． 【即时训练】 1．（24-25八年级上·四川达州·期末）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点…按这样的运动规律经过第2023次运动后，动点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·广东梅州·期中）在平面直角坐标系中，有一个微型机器人从原点出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位．其行走路线如图所示： 则点的坐标是 ． 【核心考点一 实际问题中用坐标表示位置】 【例1】（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）如图，是中国象棋棋局的一部分，如果“帅”的位置用坐标表示，“卒”的位置用坐标表示，那么“马”的位置用坐标表示为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·陕西安康·期末）如图是一只蝴蝶标本，将其放在适当的平面直角坐标系中，若翅膀两端B、C两点的坐标分别为，，则蝴蝶翅膀“尾部”点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级下·吉林辽源·期中）如图是某学校的平面图，若综合楼在点，食堂在点，则教学楼在点 ． 【例4】（25-26八年级上·江西萍乡·期中）甲、乙、丙、丁四名同学的家所在位置如图所示，若丙同学家的坐标为，乙同学家的坐标为，则丁同学家的坐标为 【核心考点二 用方向角和距离确定物体的位置】 【例1】（25-26八年级上·浙江舟山·期末）如图是台风“烟花”的台风中心以及路径预测图，此时台风中心位于我们家乡舟山的（    ）约方向，直线距离约1320公里的洋面上． A． 南偏东 B．南偏西 C．北偏东 D．北偏西 【例2】（24-25七年级下·河北邯郸·期中）商场位于学校北偏西方向处，下列选项中表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【例3】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，请你为游客介绍动物园和迷宫所在的方位．动物园在大门的 方向上，迷宫在大门的 方向上． 【例4】（24-25七年级下·广西南宁·期中）如图，渔船A与港口B相距19海里，我们用有序数对（南偏西，19海里）来描述渔船A相对港口B的位置，那么港口B相对渔船A的位置可描述A为 ． 【核心考点三 根据方位描述确定物体的位置】 【例1】（24-25七年级下·河北保定·期中）根据下列表述，能确定准确位置的是（   ） A．北国影院3号厅2排 B．兴华路中段 C．东经，北纬 D．南偏东 【例2】（24-25八年级上·贵州六盘水·期末）如图，某轿车行驶在该位置时，前方有四个路口分别为：开拓路、复兴路、振兴路、建设路，若导航提示“向右前方行驶”，此时司机应驶向（    ） A．开拓路 B．建设路 C．复兴路 D．振兴路 【例3】（24-25八年级上·全国·课后作业）认真看图，仔细辨认，正确填空： （1）明明家在商场________偏________度的方向上，离在商场________； （2）________在商场南偏西的方向上，离商场________； （3）小芳家在商场________偏________度的方向上，离商场________； （4）________在商场正东方向，离商场________. 【例4】（24-25七年级上·四川成都·期末）如图，射线的方向是北偏东，射线的方向是北偏西，,是的反向延长线. （1）射线的方向是 ； （2）的度数是 . 【核心考点四 求点沿x轴、y轴平移后的坐标】 【例1】（24-25七年级下·河南驻马店·期中）平面直角坐标系内，点沿轴方向平移6个单位后到点，则点的坐标为（    ） A． B．或 C． D．或 【例2】（24-25七年级下·宁夏银川·期末）如图，A，B两点的坐标分别为(－2，0)，(0，1)，将线段AB平移到线段A1B1的位置．若A1(b，1)，B1(－1，a)，则b－a的值是（    ） A．-7 B．-5 C．-3 D．-1 【例3】（24-25七年级下·云南玉溪·期末）在平面直角坐标系中，将点向右平移6个单位后，得到对应点的坐标是 ． 【例4】（24-25八年级上·河北张家口·期末）如图，点沿x轴正方向向右上方做“跳马运动”（即中国象棋“日”字型跳跃）．若跳到位置，称为做一次“正横跳马”；若跳到位置，称为做一次“正竖跳马”，当点P连续做了a次“正横跳马”和b次“正竖跳马”后，到达点，则 ． 【核心考点五 由平移方式确定点的坐标】 【例1】（25-26八年级上·广东深圳·期中）在无人机表演中，无人机群由初始位置整体平移至新位置．若点平移后的对应点为，则点平移后的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，三角形是三角形经过某种变换后得到的图形．如果三角形中有一点的坐标为，那么变换后它的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在平面直角坐标系中，线段两端点的坐标分别为，将线段平移到线，其中一个对应点的坐标是，则另一个对应点的坐标是 ． 【例4】（25-26七年级下·陕西渭南·月考）如图，在平面直角坐标系中，线段的端点的坐标分别为，，若将线段平移至，点的坐标分别为，则的值为 ． 【核心考点六 已知点平移前后的坐标，判断平移方式】 【例1】（25-26八年级上·江苏无锡·期末）如图，点，的坐标分别为，，若将线段平移至，点，的坐标分别为，，则的值为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【例2】 （24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，在平面直角坐标系中，平移至的位置．若顶点的对应点是，则点的对应点B1的坐标是（　　） A． B． C． D． 【例3】（25-26八年级上·安徽淮北·期中）象棋是中国传统棋类，其中“馬”走“日”，如图，“帥”位于点，“馬”位于点，若“馬”要“将军”（一方的棋子要在下一招棋把对方的“将”或“帥”吃掉），可以走到，则其平移过程是 ． 【例4】（24-25七年级下·河北邯郸·期中）如图，在平面直角坐标系中，将线段平移到线段的位置，则 ． 【核心考点七 已知图形的平移，求点的坐标】 【例1】（25-26八年级上·安徽安庆·月考）如图，在平面直角坐标系中，内部有一点，若将先向右平移，再向下平移，平移后点对应点的坐标是．若点的坐标是，则平移后点对应的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·辽宁沈阳·开学考试）如图，已知两点的坐标分别为，将线段平移得到线段，若点的对应点是，则点的对应点的坐标是（　　） A．（5，2） B．（5，1） C．（4，1） D．（4，2） 【例3】（2025·辽宁沈阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，将正方形平移得到正方形，若，，，则点的坐标为 ． 【例4】（25-26七年级下·四川攀枝花·月考）如图，的三个顶点坐标分别为、、．将沿方向平移得到，其中点与原点重合．则点的坐标为 ． 【核心考点八 已知平移后的坐标求原坐标】 【例1】（24-25七年级下·河南周口·期中）在平面直角坐标系中，点向下平移4个单位后的坐标是，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【例2】（24-25七年级下·河南安阳·月考）在平面直角坐标系中，点向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度后与点重合，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级下·新疆乌鲁木齐·期中）将点先向上平移3个单位，再向左平移2个单位，得到点，则点的坐标是 【例4】（24-25七年级下·云南昆明·期中）在平面直角坐标系中，将点向左平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度后与点重合，则点的坐标是 ． 【核心考点九 坐标系中的平移】 【例1】（25-26八年级上·广东深圳·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，直线与x轴平行，则a为（   ） A．1 B．－1 C．0 D．2 【例2】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，每个小方格的边长为1．已知点，，那么原点的位置在（    ） A．点A处 B．点B处 C．点C处 D．点D处 【例3】（24-25七年级下·广东潮州·期末）如图，若在棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点，则将棋子“马”向上平移2个单位长度后的点的坐标是 ． 【例4】（24-25七年级下·山西吕梁·期末）随着3D打印技术的蓬勃兴起，我们正步入一个前所未有的便捷与创新并存的新时代，这项革命性的技术极大地丰富了我们的生活．如图，这是利用3D打印技术打印的“5G”字样的艺术字，若定位点A的坐标为，定位点B的坐标为，则打印喷头从点A先向右再向下移动至点B时，向右和向下移动的距离之和为 ． 【核心考点十 坐标系中的动点问题（不含函数）】 【例1】（24-25七年级下·天津北辰·期中）如图，在平面直角坐标系中，，一动点P从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿循环运动，则第100秒点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图，是一个的正方形网格，每个小正方形的边长都为1个单位长度，点A，B，C，D均为格点（网格线的交点），建立如图的平面直角坐标系．如果m为任意常数，那么随m的变化，动点会经过的点是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 【例3】（24-25七年级下·江苏南通·期末）定义：在平面直角坐标系中，若两个不同的点满足，则称点互为“等距点”．如点互为“等距点”．已知两点的坐标分别为，，若在线段上存在一点与点互为“等距点”，则的取值范围是 ． 【例4】（25-26八年级上·宁夏银川·期中）如图，在直角坐标平面中，动点按图中箭头所示方向依次运动，第1次从点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点按这样的运动规律，动点第2020次运动到点 ． 【核心考点十一 中点坐标】 【例1】（24-25七年级下·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，点，轴，点的纵坐标为．则以下说法正确的是（   ） A．当时点P是线段的中点 B．无论取何值，线段的长度恒为3 C．存在唯一一个的值，使得 D．存在唯一一个的值，使得 【例2】（25-26七年级上·天津河西·期末）如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点，的位置如图所示，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D．中点的坐标为 【例3】（25-26七年级下·四川泸州·期末）若点与点B关于点对称，则点B的坐标是 ． 【例4】（24-25七年级下·江西抚州·期中）公司正在开发一款基于平面直角坐标系下的导航软件．为测试软件的准确性，工程师在坐标系中设置了以下关键点：表示起点，表示终点．如果软件需要在线段之间设置一个中转站，且中转站到点和点的距离相等，则中转站的坐标为 ． 【核心考点十二 点坐标规律探索】 【例1】（24-25七年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，对于任意两点，，我们将称为点M与点N的“横k倍直角距离”，已知点，下列四个点中是点A的“横2倍直角距离”等于3的点为（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【例2】（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图，在平面直角坐标系中，，，，一只瓢虫从点A出发以2个单位长度/秒的速度沿循环爬行，问第2025秒瓢虫在（   ）处． A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级下·四川攀枝花·期中）在平面直角坐标系中，有一系列点、、 ……按照如下规律排列：的坐标为，对于任意，点的横坐标是的横坐标加2，纵坐标是的纵坐标加3．例如，的坐标为，的坐标为，依此类推．则点的坐标为 ． 【例4】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为，第2次碰到矩形的边时的点为…，第n次碰到矩形的边时的点为，则点的坐标是 ． 【核心考点十三 翻折问题中的坐标计算】 【例1】（25-26八年级上·广西南宁·月考）如图，正方形中顶点，轴且边长为2，规定把正方形先沿x轴翻折，再向左平移1个单位长度为一次变换，连续经过2024次变换后，正方形的顶点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点．规定把正方形“先沿轴翻折，再向下平移1个单位”为1次变换，这样连续经过2026次变换后，点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·陕西西安·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知等边中，规定先沿x轴翻折，再向右移动两个单位为一次变换，经过连续2021次这样的变换得到则点的坐标是 ． 【例4】（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，一个点在第一、四象限运动，在第1次，它从运动到点，用了1秒，然后以折线状向右运动，即，它每运动一次需要1秒，那么第2023秒时点所在位置的坐标是 ．    【变式训练1 实际问题中用坐标表示位置】 1．（25-26八年级上·广东佛山·期中）褐马鸡是我国的珍稀鸟类，如图是保护褐马鸡宣传牌上利用网格画出的褐马鸡的示意图．若建立适当的平面直角坐标系，表示嘴部点的坐标为，表示尾部点的坐标为，则表示足部点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，我们把杜甫《绝句》整齐排列放在平面直角坐标系中． （1）“两”“岭”和“船”的坐标依次是： 、 和 ； （2）将第2行与第3行对调，再将第3列与第7列对调，“雪”由开始的坐标 依次变换为 和 ． 3．（25-26八年级上·宁夏银川·期中）在一次“寻宝”游戏中“寻宝”人找到了如图所示的标志点，，“宝藏”所在地点为点，根据题意完成下列各题． (1)根据、两点建立适当的直角坐标系； (2)直接写出宝藏点的坐标． 4．（24-25七年级上·江西南昌·期中）如图，一只甲虫在的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动．它从A处出发去看望B，C，D处的其他甲虫，规定：向上向右走均为正，向下向左走均为负．如：从A到B记为，从B到A记为，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向． (1)图中（____，_____），（____，_____），______ (2)若这只甲虫从A处去甲虫P处的行走路线依次为，，，，请在图中标出P的位置． (3)若这只甲虫的行走路线为，请计算该甲虫走过的路程． 【变式训练2 用方向角和距离确定物体的位置】 1．（24-25七年级·全国·假期作业）如图，在一次活动中，位于A处的1班准备前往相距的B处于2班会合，用方向和距离描述2班相对于1班的位置(　　) A．2班在1班南偏西处 B．2班在1班南偏西方向上处 C．1班在2班处 D．1班在2班北偏东方向上处 2．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，点A在观测点北偏东30方向，且与观测点的距离为8千米，将点A的位置记作A(8，30)，用同样的方法将点B，点C的位置分别记作B(8，60)，C(4，60)，则观测点的位置应在 ． 3．（25-26七年级上·广东佛山·月考）看图回答问题． (1)小明家在学校的_____方向上，估一估小明家距离学校约_____米．（填整百数） (2)书店在学校_________方向上． (3)超市在学校东北方向米处，请用▲在图中标出它的位置． 4．（25-26八年级上·全国·期中）如图，x轴的正向表示东，y轴的正向表示北，每单位长为50米．请在直角坐标系中画出下列各地点的位置． (1)学校的餐厅． (2)学校的图书馆B，位于餐厅A的正北方向200米处． (3)学校的教学楼，位于餐厅北偏东 方向的250米处． (4)学校的体育馆，位于餐厅北偏西 方向的 米处． 【变式训练3 根据方位描述确定物体的位置】 1．（24-25七年级下·河北石家庄·期末）货轮A在岛屿O的北偏东方向上，下列符合条件的示意图是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级·全国·假期作业）某人从点沿北偏东的方向走了100米到达点，再从点沿南偏西的方向走了100米到达点，那么点在点的南偏东 度的方向上． 3．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）我国在南极建有长城、昆仑、中山、泰山、罗斯海新站5个科学考察站，位置示意图如图所示，完成下面各题． (1)中山站在昆仑站（   ）方向，距离是（   ）千米． (2)请你根据以下信息在平面图上标出泰山站和罗斯海新站的位置． ①泰山站在昆仑站的东偏北方向500千米处． ②罗斯海新站在昆仑站的东偏南方向1500千米处． 4．（24-25七年级上·江苏淮安·开学考试）画一画，填一填 (1)画出将图①绕点逆时针旋转后的图形，旋转后点的位置用数对表示是（______）． (2)将图②按放大为原来的两倍，放大后的图形与原来的图形的面积之比为______． (3)图③中点是圆心，是圆的直径，．如果每个小方格表示边长为2厘米的小正方形，那么点在点的______偏______，______方向______厘米处． 【变式训练4 求点沿x轴、y轴平移后的坐标】 1．（25-26八年级上·广西南宁·月考）如图，正方形中顶点，轴且边长为2，规定把正方形先沿x轴翻折，再向左平移1个单位长度为一次变换，连续经过2024次变换后，正方形的顶点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·江苏南通·期中）如图，在平面直角坐标系中，某点从原点出发，向右平移个单位长度到达，再向上平移个单位长度到达，再向左平移个单位长度到达，再向下平移个单位长度到达，再向右平移个单位长度到达，，按此规律进行下去，点的坐标是 ． 3．（2025八年级上·全国·专题练习）如图是某台阶的一部分，如果建立适当的坐标系，使A点的坐标为（0，0），B点的坐标为（1，1） （1）直接写出C，D，E，F的坐标； （2）如果台阶有10级，你能求得该台阶的长度和高度吗？ 4．（24-25七年级下·湖北孝感·期中）如图，A（﹣3，2），B（﹣1，﹣2），C（1，﹣1），将△ABC向右平移3个单位长度，然后再向上平移1个单位长度，可以得到△A1B1C1 (1)画出平移后的△A1B1C1，并写出A1，B1，C1的坐标； (2)求△ABC的面积； (3)在x轴上存在点P，使得△PA1C1面积为，求点P的坐标． 【变式训练5 由平移方式确定点的坐标】 1．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）如图，在平面直角坐标系中，将线段平移后得到线段，点和点的对应点分别是点和点．若点，，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·江苏盐城·月考）如图，点，点，线段平移后得到线段，若点，点，则的值是 ． 3．（24-25七年级下·河南安阳·期末）平面直角坐标系中，为原点，点． (1)如图①，三角形的面积为_____． (2)如图②，将点B向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到对应点D． ①点D的坐标_____；按照这样的平移方式，直接写出A、C平移后对应点E、F的坐标分别为_____、_____； ②点是一动点，若三角形的面积等于三角形的面积，直接写出点坐标． 4．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）在平面直角坐标系中，已知，，过的直线平行于y轴，平移线段至线段(点A的对应点是点D，点B的对应点是点C)． (1)如图1，当时． ①直接写出点D的坐标； ②连接，求的面积； (2)已知点P在线段上，连接，记的面积为S． ①如图2，当时，若，求m的值； ②如图3，若，直接写出m的取值范围． 【变式训练6 已知点平移前后的坐标，判断平移方式】 1．（24-25七年级下·北京怀柔·期末）如图，，，，将线段平移，使点平移到点，点为点的对应点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，对正方形及其内部的每个点进行如下操作：把每个点的横、纵坐标都乘，将得到的点先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到正方形及其内部的点，其中点，的对应点分别为，．已知正方形内部的一点经过上述操作后得到的对应点与点重合，则点的坐标是 ． 3．（2025七年级下·山东·专题练习）平面直角坐标系中，三角形的三个顶点的位置如图所示，点的坐标是，现将三角形平移，使点变换为点，点、分别是、的对应点． (1)请画出平移后的三角形（不写画法），并直接写出点、的坐标：（   ）、（   ） (2)若三角形内部一点的坐标为，则点的对应点的坐标是（   ） 4．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）如图，已知的三个顶点的坐标分别为． (1)画出△ABC关于原点O成中心对称的图形； (2)是的边上一点，将△ABC平移后点P的对称点，请画出平移后的； (3)若和关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为（____，_____）． 【变式训练7 已知图形的平移，求点的坐标】 1．（24-25七年级下·贵州贵阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，将线段平移，使得点A平移到点，则平移后点B的坐标为（    ） A． B． C． D．或 2．（2025·辽宁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．若将平移后得到，点A的对应点C的坐标是，则点B的对应点D的坐标是 ． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图所示，三角形中，任意一点经平移后对应点，将作同样的平移得到．求的坐标． 4．（24-25七年级下·福建福州·月考）如图所示，在平面直角坐标系中，如图①，将线段平移至线段点与点是对应点，点在轴的负半轴，点在轴的正半轴上，连接、． (1)若、、；则点的坐标是_________； (2)已知、，点在轴的正半轴上，且，求点、的坐标； (3)如图②，在平面直角坐标系中，已知一定点，两个动点、，请你探索是否存在以两个动点、为端点的线段平行于线段．若存在，求以点、、、为顶点的四边形的面积；若不存在，请说明理由． 【变式训练8 已知平移后的坐标求原坐标】 1．（25-26八年级上·安徽亳州·月考）如果把点向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，若平移后的坐标是，则可确定点的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·山西晋中·二模）如图，在平面直角坐标系中，是由先向右平移4个单位长度，再向上平移6个单位长度得到的，它的顶点坐标分别为：，，，则的顶点的坐标为 ． 3．（24-25七年级下·云南·期中）如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别为，，，将三角形向右平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到三角形，其中点，，分别为点A，B，C的对应点. (1)请在所给坐标系中画出三角形，并直接写出点的坐标：______； (2)若边上一点P经过上述平移后的对应点为，用含x，y的式子表示点P的坐标：P______； (3)求三角形的面积． 4．（24-25七年级下·山东德州·期中）如图，，，．将向右平移3个单位长度，然后再向上平移1个单位长度，可以得到．    (1)画出三角形，并写出、、的坐标； (2)已知内部一点P的坐标为，若点P随一起平移，平移后点P的对应点的坐标为，则______，______． (3)已知点P在坐标轴上，以、、P为顶点的三角形面积为三角形ABC面积的一半，则P点的坐标为______． 【变式训练9 坐标系中的平移】 1．（24-25七年级下·新疆吐鲁番·期中）如图，平面直角坐标中，直线分别与两坐标轴的正半轴相交，为直线AB上的一个动点，在点P从点A平移到点B的过程中，坐标x，y的值变化情况是（   ） A．x增大，y也增大 B．x增大，y却减小 C．x减小，y却增大 D．x减小，y也减小 2．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）长方形的长为5，宽为3，将该长方形按如图的方式放置在平面直角坐标系中，已知点，则点的坐标为 ． 3．（25-26八年级上·安徽六安·期中）已知平面直角坐标系中有一点． (1)若点N的坐标为，且轴，求点M的坐标； (2)若点M到x轴、y轴的距离相等，求m的值． 4．（24-25七年级下·吉林松原·期中）长方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，，动点从点出发，沿的方向以每秒2个单位长度的速度运动，与点第二次相遇时停止，设点运动的时间为秒． (1)点的坐标为_______； (2)在点从点运动到点的过程中，用含的代数式表示的长度； (3)当点第一次运动到点时，有一条垂直于轴的直线开始从的位置出发，以每秒1个单位长度的速度沿轴正方向运动，当点停止运动时直线也随之停止．在运动过程中，当点在直线上时，求点的坐标； (4)连接、、，当三角形的面积为2时，直接写出的值． 【变式训练10 坐标系中的动点问题（不含函数）】 1．（24-25七年级下·山东济宁·期中）如图，已知点，动点在轴上，且的面积为，则的坐标为（   ） A． B． C．或 D．无法确定 2．（24-25七年级下·辽宁抚顺·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，直线轴，垂足为点，点P为直线上一动点，当时，则点P坐标 ． 3．（25-26八年级上·广东佛山·期中）如图，在平面直角坐标系中，各个顶点的坐标分别是． (1)请在如图的直角坐标系中，画出； (2)点P是y轴上一点，且面积是4，则点P坐标是 ___________ ． 4．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）在平面直角坐标系中，对于两点给出如下定义：点到轴的距离中的最大值等于点到轴的距离中的最大值，则称两点为“等距点”．如点与两点即为等距点． (1)已知点的坐标为 ①点中，与点为“等距点”的是________； ②若点的坐标为，且两点为“等距点”，求出点的坐标； (2)若点与点两点为“等距点”，在轴上有异于原点的一点，连接．若的面积为，的面积，求的值． 【变式训练11 中点坐标】 1．（24-25八年级上·河北唐山·期中）在中，，，求中线的取值范围时，嘉淇同学将延长到，使，连接．已知点，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）如图，平面组合图形中，点、，则该平面组合图形的重心的坐标为 ． 3．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点，，若点满足，，那么称点T是点A和B的衍生点． 例如：，，则点是点M和N的衍生点． 已知点是点，的衍生点． (1)请直接写出点T的坐标（用含m的式子表示）． (2)若直线交x轴于点H，当时，求点E的坐标． 4．（24-25七年级下·辽宁鞍山·期中）综合与探究 （1）数学课上，老师要求在平面直角坐标系中描出下列各点：，，，并且连接，，，．找出它们的中点分别为M，N，P，Q，请你在下面的平面直角坐标系中完成老师的要求．（不用写作图的结论） 【探究一】 （2）小亮通过观察上图发现，在平面直角坐标系中有不重合的两点和，若，则轴，且线段的长度为________；若，则轴且线段的长度为____________； （3）请利用上面的结论解决问题：在平面直角坐标系中有两个点，点和点，若轴，且，求点的坐标． 【探究二】 （4）小亮通过观察上图M，N，P，Q的坐标，发现：在平面直角坐标系中有不重合的两点和，线段的中点的坐标与线段的两个端点的横、纵坐标之间存在一种数量关系．请直接写出结论． （5）请利用上面的结论解决问题：平行四边形在平面直角坐标系中，已知，，，对角线，交于点E，且E分别为，的中点，求D点坐标． 【变式训练12 点坐标规律探索】 1．（25-26八年级上·山西晋中·期末）法国数学家笛卡尔创立了平面直角坐标系，被誉为“解析几何之父”．在平面直角坐标系中，我们定义点的“笛卡尔变换”为：．已知点的坐标为，则经过次笛卡尔变换后得到的点的坐标为(   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，…按这样的运动规律，经过第2025次运动后，动点的坐标是 ． 3．（25-26八年级上·安徽六安·期中）在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足：，则称点P的“美好点”为点Q．例如，点的“美好点”是． (1)①点的“美好点”坐标是_______； ②若点P的“美好点”为，则点P的坐标是________； (2)若点的“美好点”位于x轴上，求a的值． 4．（25-26八年级上·安徽六安·期中）在平面直角坐标系中，一点从原点出发，第1次运动到点，第2次运动到，第3次运动到，然后依次运动到，，，，如此继续下去（如图），请完成下列问题： (1)请根据规律填写各点坐标：①______，______； ②若为不小于1的整数，则______； (2)如图，点，，，，它们都在同一条直线上，第1个点为，第2个点为，第3个点为，第4个点为，，如此数下去，第676个点为，则______． 【变式训练13 翻折问题中的坐标计算】 1．（24-25八年级上·贵州毕节·期末）如图，长方形的顶点的坐标分别为．若长方形第1次沿轴翻折，第2次沿轴翻折，第3次沿轴翻折，第4次沿轴翻折，第5次沿轴翻折，…，则第2024次翻折后点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）长方形的两边分别平行于轴，轴，点的坐标为，点的坐标为．如图1，将长方形绕图形右下侧顶点顺时针旋转，再沿轴翻折得到长方形，称为一次操作；如图2，接着将长方形继续绕图形右下侧顶点顺时针旋转，再沿轴翻折得到长方形，称为第二次操作；以此类推，… （1）经过3次操作后，点的坐标为 ： （2）经过2025次操作后，点的坐标为 ， 3．（24-25八年级上·河北张家口·期中）已知点在平面直角坐标系上，规定：点先向右平移个单位长度后，再沿轴翻折得到点为第1次变换；点沿轴翻折得到点为第2次变换；点先向右平移1个单位长度后，再沿x轴翻折得到点为第3次变换；…依此规律进行下去． （1）点的坐标为 ． （2）点的坐标为 ． 4．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图所示的正方形网格中，ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题： （1）将ABC沿x轴翻折后再沿y轴向上平移2个单位，在图中画出平移后的A1B1C1，若ABC内有一点P(a，b)，则经过两次变换后点P的坐标变为 ； （2）作出ABC关于坐标原点O成中心对称的A2B2C2； （3）若将ABC绕某点逆时针旋转90°后，其对应点分别为A3(﹣1，﹣2)，B3(1，﹣3)，C3(0，﹣5)，则旋转中心坐标为 ． 1．（24-25七年级下·山东临沂·期末）在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度所得到的点坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·福建福州·月考）如图，点A、B的坐标分别是为，，若将线段平移至的位置，与坐标分别是和，则线段在平移过程中扫过的图形面积为（   ）． A．32 B．40 C．52 D．66 3．（24-25七年级下·贵州毕节·月考）如图，正方形网格中每个小正方形的边长为1，每个小格的顶点叫格点，正方形的四个顶点都在格点上．将正方形沿x轴正方向平移3个单位长度，则点C的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·广西柳州·期中）如图，在平面直角坐标系中，动点从原点出发，水平向左平移个单位长度，再竖直向下平移个单位长度得到点；接着水平向右平移个单位长度，再竖直向上平移个单位长度得到点；接着水平向左平移个单位长度，再竖直向下平移个单位长度得到点；接着水平向右平移个单位长度，再竖直向上平移个单位长度得到点，，按此作法进行下去，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，，．把一条长为2025个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点处，并按的顺序绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（   ）    A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·辽宁营口·期末）已知点的坐标为，线段，轴，则点的坐标为 ． 7．（24-25七年级下·内蒙古呼和浩特·期末）如图，渔船与港口相距17海里，我们用有序数对（南偏西，17海里）来描述渔船相对港口的位置，那么港口相对渔船的位置可描述为 ．    8．（2025·辽宁·模拟预测）如图，顶点A，B的坐标分别为，将平移后，点A的对应点D的坐标是，则点B的对应点E的坐标是 ． 9．（25-26八年级上·江苏南京·月考）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每次移动一个单位，得到点，那么点的坐标为 ． 10．（24-25七年级下·江苏南通·期中）如图，正方形四个顶点的坐标分别是，将线段先向右再向下平移之后得到线段，点A的对应点为，若点E到直线的距离等于点F到直线的距离，则的数量关系为 ． 11．（24-25七年级下·河南新乡·期末）某校是河南省首批义务教育优质均衡发展先行创建校之一，是一所完全中学，资源配置丰富全面．如图，这是校园布局图的一部分．若下图是由边长均为1的小正方形组成的网格图，升旗台、教学楼的坐标分别为． (1)在给定的网格中建立平面直角坐标系并写出实验楼所在位置的坐标：__________． (2)标出艺术楼、餐厅的位置． (3)连接，，请直接写出和的位置关系和数量关系：__________． 12．（25-26七年级下·全国·课后作业）下图所示的“鱼”图案是将坐标为，，，，，，，的点用线段依次连接而成的． (1)若纵坐标保持不变，横坐标分别加上3，在上图中画出所得的图案． (2)若横坐标保持不变，纵坐标分别减去2，在上图中画出所得的图案． (3)通过以上两种变换，你发现了什么规律？请用简洁的语言加以概括． 13．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）对于坐标系中的图形M上的任意点，给出如下定义：将点平移到称为将点P进行“n型平移”，点称为将点P进行“n型平移”的对应点；将图形M上的所有点进行“n型平移”称为将图形M进行“n型平移”．例如，将点平移到称为将点P进行“1型平移”，将点平移到称为将点Q进行“型平移”．已知点． (1)在图中建立平面直角坐标系，并画出线段进行“2型平移”后的对应线段，直接写出，的坐标； (2)将线段进行“n型平移”后与y轴有公共点，直接写出n的取值范围_____； (3)将（1）中四边形进行“n型平移”后与x轴有公共点，请直接写出n的取值范围是____． 14．（24-25七年级下·湖北荆州·期中）如图，已知点，，将线段先向右平移1个单位长度，再向上平移若干单位长度后，得到线段，且点在轴上，点的坐标为，连接、． (1)请求出点A和点B坐标； (2)点M从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿y轴向上运动．设运动时间为t秒，当四边形的面积等于8时，求t的值； (3)点M从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿y轴向上运动，同时，点N从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴向左运动，射线交y轴于点E．设运动时间为秒，问：的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由．（特别地，三角形三个顶点重合时面积为0） 15．（2025·广东汕头·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，第一次将变换成，第二次将变换成，第三次将变换成． (1)观察每次变换前后的三角形的变化规律，若将变换成，则的坐标是＿＿＿＿，的坐标是＿＿＿． (2)若按第（1）题找到的规律将进行n次变换，得到，比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，推测An的坐标是＿＿＿＿＿，Bn的坐标是＿＿＿＿＿． 学科网（北京）股份有限公司 $