第02讲 平行线（4个知识点+9大核心考点+变式训练+提优训练）-（寒假衔接课堂）讲义2025－2026学年七年级下册数学（人教版）

第02讲 平行线（4个知识点+9大核心考点+变式训练+提优训练） 题型一 平面内两直线的位置关系 题型二 用直尺、三角板画平行线 题型三 平行线的判定 题型四 平行公理的应用 题型五 利用平行线的性质求解 题型六 根据平行线判定与性质求角度 题型七 利用平行线间的距离解决问题 题型八 利用平行线的性质在生活中的应用 题型九 根据平行线判定与性质证明 知识点一：平行 1、定义：同一平面内的两条直线的位置有两种：平行或相交．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线． 定义中的三个要点：（1）在同一平面内；（2）不相交，即没有公共点；（3）两条直线，而不是线段或射线． 2、平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行． 3、平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 【即时训练】 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）在同一平面内有2026条互不重合的直线，，…，，如果，，，，…，以此类推，那么与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．不能确定 2．（24-25七年级下·重庆长寿·月考）在同一平面内，两直线与相交点，如果，那么与的位置关系是相交，这是因为 ． 知识点二：利用直尺和三角尺画平行线 过直线外一点画已知直线的平行线的步骤： 1.落：将三角尺一边落在已知直线上； 2.靠：紧靠三角尺的另一边放一直尺； 3.推：将三角尺沿直尺的边推到原来与已知直线重合的边恰好经过已知点的位置； 4.画：沿三角尺的这一边画直线. PS：推动三角尺时，必须保持三角尺紧贴直尺，且直尺不能移动，否则画出的图形不准确. 【即时训练】 1．（24-25七年级下·河北邢台·月考）已知三角形ABC，过AC的中点D作AB的平行线，根据语句作图正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·江苏常州·期末）如图，已知A、B、C三点，过点A可画直线BC的平行线的条数是（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 知识点三： 平行线判定 判定方法 （1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 简单说成： 同位角相等，两直线平行。 几何语言： ∵∠1＝∠2 ∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行） 判定方法 （2）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：内错角相等，两直线平行。 ∵∠2＝∠3 ∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 判定方法 （3）：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 简单说成： 同旁内角互补，两直线平行。 ∵∠4＋∠2＝180° ∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 【即时训练】 1．（25-26八年级上·陕西·期末）下列图形中，由能得到的是（ ） A．B．C．D． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图是一个汽车雨刮器，李华画出了如图所示的简易示意图，经测量发现，所以他判断，李华作出此判断的依据是 ． 知识点四： 平行线性质 性质（1）：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。 简单说成：两直线平行，同位角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等） 性质（2）：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。 简单说成：两直线平行，内错角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠3=∠5（两直线平行，内错角相等） 性质（3）：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。 简单说成：两直线平行，同旁内角互补。 几何语言：∵a∥b ∴∠3+∠6=180°（两直线平行，同旁内角互补） 【即时训练】 1．（25-26八年级上·辽宁本溪·期末）如图，，，则度数为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图，直线，．若，则的大小为 度． 【核心考点一 平面内两直线的位置关系】 【例1】（24-25七年级下·广西河池·期中）根据语句“直线与直线相交，点M在直线上，直线不经过点M．”画出的图形是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示的是平面上五条直线，，，，相交的情形．根据图中标示的角度，下列叙述正确的是（   ） A．和平行，和平行 B．和平行，和不平行 C．和不平行，和平行 D．和不平行，和不平行 【例3】（24-25七年级下·全国·课后作业）在同一平面内，两直线m与n满足下列条件： （1）m与n没有公共点，则m与n ； （2）m与n有且只有 个公共点，则m与n相交； （3）m与n有无数个公共点，则m与n ． 【例4】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，能相交的是 ，平行的是 ．（填序号） 【核心考点二 用直尺、三角板画平行线】 【例1】（24-25七年级下·青海海东·期中）已知直线AB和一点P，过点P画直线与AB平行，可以画（    ） A．1条 B．0条 C．0条或1条 D．无数条 【例2】（24-25七年级下·湖南岳阳·期末）如图，利用三角尺和直尺可以准确的画出直线，请将下面弄乱的操作步骤按正确的顺序排列好应是（    ） ①沿直尺下移三角尺；  ②用直尺紧靠三角尺的另一条边；③沿三角尺的边作出直线；④作直线，并用三角尺的一条边贴住直线． A．④①②③ B．④②①③ C．④②③① D．④③①② 【例3】 （24-25七年级下·四川成都·期末）下列各图中的直线，用推三角尺的方法验证，其中的有 （填序号）． 【例4】（24-25七年级下·河南郑州·期中）如图是利用直尺移动三角板过直线外一点作直线的平行线的方法，小明经过多次实践后发现只能作一条平行线，这反映了 ．    【核心考点三 平行线的判定】 【例1】（24-25七年级下·宁夏吴忠·期中）如图，能判断直线的条件是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·四川绵阳·期末）如图，下列条件中，不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级下·广东湛江·月考）如图，添加一个条件： ，使得． 【例4】（24-25七年级下·陕西榆林·期末）如图所示，在中，点分别是上的点，连接，请添加一个条件 ，使得．（只写一个） 【核心考点四 平行公理的应用】 【例1】（25-26七年级下·云南昆明·月考）如图所示，直线c与直线a，b都相交．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·吉林白山·期中）如图，已知，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【例3】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，，，则的度数为 ． 【例4】 （24-25七年级下·山西运城·期中）如图是从电动伸缩门抽象出的局部示意图，若，，则的度数为 ． 【核心考点五 利用平行线的性质求解】 【例1】（24-25七年级下·山东聊城·期中）若直线，，，有下列关系，则推理正确的是（    ） A．∵，，∴ B．∵，，∴ C．∵，，∴ D．∵，，∴ 【例2】（24-25七年级下·河北唐山·期中）如图，，，则点M，C，N在同一条直线上，理由是：（    ） A．两点确定一条直线 B．在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．平行于同一条直线的两条直线平行 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【例3】（24-25七年级上·江苏泰州·期末）如图，，，则点M，C，N在同一条直线上，理由是 . 【例4】 （24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示的是一个可折叠的衣架，是地平线，如果，那么就可确定点在同一条直线上．依据是______（填序号）． ①两点确定一条直线；②过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 【核心考点六 根据平行线判定与性质求角度】 【例1】（24-25七年级下·江苏·月考）如图，、相交于，是的中点，，若，则（    ）    A． B． C． D．无法确定 【例2】（25-26七年级上·吉林长春·期末）机器狗(四足机器人)是一种模仿动物四肢结构的仿生机器人，具备卓越的全地形适应能力和多样化功能，已从实验室走入商业应用和家庭场景．如图所示，机器狗平稳站立时，，，，此时的度数为（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25六年级下·山东烟台·期末）如图，，，则的度数为 ． 【例4】（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）如图，图1是一个花盆支架，图2为其正面结构示意图，底座为，支撑杆于点G，平台边框和均与支架垂直，若，则 ． 【核心考点七 利用平行线间的距离解决问题】 【例1】（24-25七年级下·广东广州·期末）如图，现有两束平行光从距离水面相同的高度斜射向水面发生折射，由于两束光的偏折程度一样，故射入水中的两束光仍为平行光．已知，，则等于（    ）． A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·辽宁沈阳·开学考试）古希腊数学家埃拉托色尼是第一个测算地球周长的人，他在当时的城市塞思（图中的点A）竖立的杆子在某个时刻没有影子，而此时在500英里以外的亚历山大（图中的点B）竖立杆子的影子却偏离垂直方向约，由此他得出，那么的度数也就是的，所以从亚历山大到塞恩的距离也就等于地球周长的，其中“”所依据的数学定理是（　　）    A．内错角相等，两直线平行 B．两直线平行，内错角相等 C．两直线平行，同旁内角互补 D．两直线平行，同位角相等 【例3】（24-25七年级下·辽宁抚顺·月考）如图，A地与B地，B地与C地之间均有一条笔直的公路连接，B地分别在A地的南偏东的方向，在C地的南偏西的方向，若公路长，公路长，则A地到公路的距离是 ．    【例4】 （24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，点在点北偏东方向，点在点北偏西方向，，则点到直线的距离为 【核心考点八 利用平行线的性质在生活中的应用】 【例1】（24-25八年级上·贵州遵义·月考）某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．如图是某品牌共享单车在水平地面上的示意图，其中，都与地面平行，，，与平行，则的度数为(   ) A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·山东德州·月考）仰卧起坐是增加躯干肌肉力量和伸张性的一种运动，能够很好地锻炼腹部的肌肉．某同学正在做仰卧起坐，如图，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级下·安徽宿州·期末）杆秤是中国文化瑰宝，体现社会主义价值观中的“诚信”，在购物时，大家都喜欢商家“翘高高”称物．如图，此时，，则的度数为 ． 【例4】（24-25七年级下·广东广州·期末）如图，一个弯形管道的拐角，若工人师傅准备在点处对管道进行加工拐弯，要保证拐弯的部分与平行，则加工后拐角的度数是 度．    【核心考点九 根据平行线判定与性质证明】 【例1】（2025七年级下·广东揭阳·模拟预测）如图，，，，那么与的位置与大小关系是（    ） A．是同位角且相等 B．是同位角但不相等 C．不是同位角但相等 D．不是同位角且不相等 【例2】（24-25七年级下·山东泰安·期末）如图1，已知是一块平面镜，光线在平面镜上经点反射后，形成反射光线我们称为入射光线，为反射光线．镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即．如图2，和是两块平面镜，入射光线经过两次反射后，得到反射光线．则下列判断错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【例4】 （24-25七年级下·全国·课后作业）如图，某工件要求，质检员小李量得，，，则此工件 ．（填“合格”或“不合格”）    【例4】（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，已知．不添加辅助线，请再添加一个条件，使成立．四位同学分别给出了答案，①；②；③；④．你认为正确的有 （请填序号）． 【变式训练1 平面内两直线的位置关系】 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列四边形中，AB不平行于CD的是（ ） A．B．C．D． 2．（2025七年级·全国·模拟预测）平面内有3000条互相平行的直线，现在这个平面内再画两条不互相平行且与原来3000条直线都不平行的直线，这时这个平面内对顶角有 对． 3．（2025九年级·全国·专题练习）如图，一组互相平行的直线有6条，它们和两条平行线a，b都相交，构成若干个“#”形，则此图中共有多少个“#”形？ 4．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，已知方格纸上有两条线段，根据下列要求完成以下操作： (1)过点作的平行线； (2)连接，取中点，过点作的平行线与交于点． 【变式训练2 用直尺、三角板画平行线】 1．（24-25七年级下·河北张家口·期中）如图，经过直线l外一点A画l的平行线，能画出（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 2．（25-26七年级下·全国·期末）如图，在平面内用直尺和三角板过点O画已知直线a的平行线b． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）用三角尺和直尺根据要求画图（保留画图痕迹，不写画法）． (1)如图①，过点E分别画和的平行线； (2)如图②，过点A，B，C分别画，，的平行线． 4．（25-26七年级上·吉林长春·期末）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点．线段的端点和点均在格点上．用学具按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中，作线段的垂直平分线，垂足为点． (2)在图②中，过点作线段的垂线，垂足为点． (3)在图③中，过点作线段的平行线． 【变式训练3 平行线的判定】 1．（2025·广东·模拟预测）下列图形中，由能判定的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，填空： （1）若，则 ，理由： ． （2）若，则 ，理由： ． 3．（24-25七年级下·河南商丘·月考）如图，在三角形中，，垂足为D，，．求证： ． 4．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，点G在上，已知，平分，平分，请说明的理由． 解：（已知）， （_______） （_______）． ∵平分， _______（_______）． 平分， _______， 得（_______）， （_______）． 【变式训练4 平行公理的应用】 1．（24-25七年级下·北京·期中）如图是一个可折叠的衣架，是地平线，当时，；时，，就可以确定点，，在同一直线上，这样判定的依据是（    ） A．两点确定一条直线 B．内错角相等，两直线平行 C．过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 D．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列说法：①在同一平面内，若直线，，则；②在同一平面内，若直线，直线与相交，则直线与相交；③若直线与直线相交，直线与直线相交，则直线与直线相交；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中说法正确的是 ．（填序号） 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，AO∥CD，BO∥CD，且，求∠AOC的度数. 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图，已知三角形，点P在边上． (1)过点P画的平行线交于点T； (2)过点C画； (3)直线_______（填位置关系）． 【变式训练5 利用平行线的性质求解】 1．（25-26七年级上·四川遂宁·月考）如图，已知，，则图中与相等的角（不含）的个数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，于D，，，则与的位置关系是 ． 3．（24-25七年级下·河南许昌·期中）如图，点，在直线上，，． (1)求证：； (2)的角平分线交于点，交于点，过点作交的延长线于点，若，求的度数． 4．（24-25七年级下·北京昌平·期末）通过小学的学习，我们知道三角形内角和是．小燕在学习了平行线的相关定理之后，证明了这个结论，她想到了两种添加辅助线的方法，请你选择其中一种，完成证明． 已知：如图，三角形． 求证：． 方法一 证明：如图，过点作． 方法二 证明：如图，过点作． 【变式训练6 根据平行线判定与性质求角度】 1．（24-25七年级下·内蒙古乌兰察布·期末）将一块含角的直角三角板如图放置，已知直线，，则等于（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·甘肃张掖·期中）已知直线，按如图所示的方式放置，点在直线上，，若，则的度数为 ． 3．（25-26八年级上·内蒙古包头·期末）如图，已知，点在上方，连接，．． (1)如图（1），若，求的度数； (2)如图（2），与互相垂直，垂足为，求的度数． 4．（25-26八年级上·陕西西安·月考）在学习完《平行线的证明》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，何老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动，探究平行线的“等角转化”功能． (1)路灯维护工程车的工作示意图如图①，工作篮底部与支撑平台平行，已知，则______； (2)一种路灯的示意图如图②所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，求与所成锐角的度数． 【变式训练7 利用平行线间的距离解决问题】 1．（24-25七年级下·广东肇庆·月考）如图，已知，，于点E，于点G，则下列说法中，错误的是（    ） A． B． C．A，B两点间的距离就是线段的长度 D．点C到直线的距离就是线段的长度 2．（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，点E，F分别在上，，垂足为点O，，若，，，则点F到直线的距离为 ． 3．（24-25七年级下·河南安阳·月考）如图，直线直线，直线与，分别交于点，点，，交直线b于点C． (1)若，求的度数； (2)若，，，则点B到直线的距离是 ；点C到直线的距离是 ；画出并求出点A到直线的距离． 4．（24-25七年级下·上海·期中）画图： (1)在图中画出表示点到直线距离的垂线段PM． (2)过点P画出直线的平行线，与直线交于点． (3)如果直线与的夹角为，那么 °． 【变式训练8 利用平行线的性质在生活中的应用】 1．（24-25七年级下·上海·月考）如图所示，直线、所成的角跑到画板外面去了，如何量出这两条直线所成角的度数．下列几种方法：①在直线上任取一点，过点作直线的平行线，量出与直线所成锐角的度数即为；②在直线上任取一点，过点作直线的垂线交直线于点，量出与直线所成锐角的度数即为；③在画板上任取一点，过点分别作直线、的平行线，量出它们所成锐角的度数即为．可行的是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 2．（24-25七年级下·浙江湖州·期末）如图，两面镜子，的夹角为，一束与平行的光线经过两次镜面反射后，与原光线夹角为．若，则的度数是 度． 3．（24-25七年级下·吉林·月考）如图，小明绘制了一个安全用电的标识，点、、、在同一条直线上，且，，． (1)求证：； (2)求的度数． 4．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）（1）若组成和的两条边互相平行，且是的2倍小，求的度数． （2）如图，放置在水平操场上的篮球架的横梁始终平行于与上拉杆形成的，主柱垂直于地面，通过调整和后拉杆的位置来调整篮筐的高度．当时，点H，D，B在同一直线上，求的度数． 【变式训练9 根据平行线判定与性质证明】 1．（24-25七年级下·四川南充·月考）如图，已知：， ，平分，，有下列结论：①；②；③；④．结论正确的有（      ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25七年级下·陕西渭南·期末）如图，点A、D分别在线段、上，连接、、．现有以下三个论断：①；；．如果以其中两个论断为条件，另一个论断为结论构造命题，能够构成 个真命题． 3．（25-26七年级上·海南儋州·期末）如图，，． (1)试说明：； ∵，（已知） ∴（ ） 又∵，（已知） ∴ （等量代换） ∴（ ） (2)与的位置关系如何？为什么？ 与的位置关系是： ； 理由如下： ∵，（已知） ∴ （ ） 又∵，（已知） ∴ （   ） ∴ （内错角相等，两直线平行） (3)与相等吗？请说明理由． 4．（25-26七年级上·吉林·月考）请在横线上填写合适的内容，完成下面的证明： (1)如图①，已知，求证：．证明：过点P作， ∵，∴______（两直线平行，内错角相等）， ∵，，∴（______）， ∴______（______），∴（等量代换） (2)如图②，，根据上面的推理方法，直接写出______． (3)如图③，，若，，，，则______（用含x、y、z的代数式表示） 1．（24-25七年级下·河北邢台·月考）已知直线及直线外一点，在经过点的四条直线，，，中，与直线相交的至少有（   ） A．条 B．条 C．条 D．条 2．（24-25七年级上·河南南阳·期末）已知，下列图形中，能确定的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·陕西渭南·期末）如图，点在的延长线上，，下列条件能判定的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·广东·模拟预测）如图，直线，平分，交于点.若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·北京·期中）如图1，已知是一块平面镜，光线在平面镜上经点反射后，形成反射光线，我们称为入射光线，为反射光线．镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即．如图2，和是两块平面镜，入射光线经过两次反射后，得到反射光线．则下列判断错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在直线a的同侧有P，Q，R三点．若，则P，Q，R三点 （填“在”或“不在”）同一条直线上． 7．（2025七年级上·江苏连云港·专题练习）如图，，当 度时，． 8． （25-26七年级上·江苏泰州·期末）若，的两边分别与的两边平行，则的度数为 ． 9．（24-25七年级下·山东青岛·期中）如图，，，图中与互余的角有 个． 10．（24-25七年级下·上海青浦·期中）近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，，经使用发现，当时，台灯光线最佳，则此时的度数为 ． 11．（2025七年级下·浙江衢州·模拟预测）已知同一平面内有条直线，共有个不同的交点，画出它们可能的位置关系（要求画出三种图形，每一种图形给出简要的说明）． ②条平行线条平行线条相交且不平行于前两组的直线 ③条平行线条平行线条相交且不平行于前两组的直线 12．（24-25七年级下·河南濮阳·期中）如图，，说明直线与直线的位置关系，下表给出了题目的证明过程，请你把推理依据填写在表格的横线上． 证明 图形 理由；（____________________） ；        （____________________） ；        （____________________） ；         （____________________）     13．（24-25七年级下·甘肃定西·期中）如图，已知，平分，平分． (1)若，求的度数； (2)若，，试求的度数．(用含n的式子表示) (3)若，，试用含，的式子表示的度数．(直接写出结论) 14．（24-25八年级上·河北承德·月考）发现与探究 已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，分别结合图1、图2探究这两个角的关系． （1）如图1，与的关系是___________； （请将如下证明补充完整） 证明：（已知）， （两直线平行，内错角相等）． （已知）， （___________，___________）． （___________）． （2）如图2，与的关系是___________； （请将如下证明补充完整） 证明： 思考与结论 （3）综合上述，我们可以得到一个真命题：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角___________． 15．（24-25七年级上·河南南阳·期末）如图，是小明同学用的一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度．图①是这盏台灯的示意图．已知台灯水平放置，当灯头与支架平行时可达到最佳照明角度，此时支架与水平线的夹角，，两支架和的夹角． 如何求此时支架与底座的夹角的度数及灯头与水平线的夹角的度数呢？小明解决此问题的思路如下： (1)小明在解决问题时，过点作，则可以得到，其理由是_____________． (2)如图②，根据小明的思路求和的度数； (3)小明在解题中发现和的度数永远是相等的，与和的度数无关．小明的说法对吗？请结合图③说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 平行线（4个知识点+9大核心考点+变式训练+提优训练） 题型一 平面内两直线的位置关系 题型二 用直尺、三角板画平行线 题型三 平行线的判定 题型四 平行公理的应用 题型五 利用平行线的性质求解 题型六 根据平行线判定与性质求角度 题型七 利用平行线间的距离解决问题 题型八 利用平行线的性质在生活中的应用 题型九 根据平行线判定与性质证明 知识点一：平行 1、定义：同一平面内的两条直线的位置有两种：平行或相交．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线． 定义中的三个要点：（1）在同一平面内；（2）不相交，即没有公共点；（3）两条直线，而不是线段或射线． 2、平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行． 3、平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 【即时训练】 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）在同一平面内有2026条互不重合的直线，，…，，如果，，，，…，以此类推，那么与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质． 根据平行线的传递性，如果两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线互相平行. 由于所有相邻直线均平行，因此与平行. 【详解】解：∵，，，，…，， ∴由平行线的传递性，. 故选：B 2．（24-25七年级下·重庆长寿·月考）在同一平面内，两直线与相交点，如果，那么与的位置关系是相交，这是因为 ． 【答案】在同一平面内，一条直线和两条平行线中的一条直线相交，那么这条直线与平行线中的另一条直线必相交． 【分析】本题考查平面内两直线的位置关系，注意数形结合思想的运用．根据在同一平面内，一条直线和两条平行线中的一条直线相交，那么这条直线与平行线中的另一条直线必相交即可得到答案． 【详解】在同一平面内，两直线与相交点，如果，那么与的位置关系是相交，这是因为在同一平面内，一条直线和两条平行线中的一条直线相交，那么这条直线与平行线中的另一条直线必相交． 故答案为：在同一平面内，一条直线和两条平行线中的一条直线相交，那么这条直线与平行线中的另一条直线必相交． 知识点二：利用直尺和三角尺画平行线 过直线外一点画已知直线的平行线的步骤： 1.落：将三角尺一边落在已知直线上； 2.靠：紧靠三角尺的另一边放一直尺； 3.推：将三角尺沿直尺的边推到原来与已知直线重合的边恰好经过已知点的位置； 4.画：沿三角尺的这一边画直线. PS：推动三角尺时，必须保持三角尺紧贴直尺，且直尺不能移动，否则画出的图形不准确. 【即时训练】 1．（24-25七年级下·河北邢台·月考）已知三角形ABC，过AC的中点D作AB的平行线，根据语句作图正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据中点的定义，平行线的定义判断即可． 【详解】解：过AC的中点D作AB的平行线， 正确的图形是选项B， 故选：B． 【点睛】本题考查作图——复杂作图，平行线的定义，中点的定义等知识，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 2．（24-25七年级上·江苏常州·期末）如图，已知A、B、C三点，过点A可画直线BC的平行线的条数是（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 【答案】B 【分析】先过B，C两点画直线BC，再根据过直线外一点有且只有1条直线与已知直线平行可求解． 【详解】解：如图， 根据过直线外一点有且只有1条直线与已知直线平行， 故选：B． 【点睛】本题主要考查直线，射线，线段，平行线，掌握过直线外一点有且只有1条直线与已知直线平行的性质是解题的关键． 知识点三： 平行线判定 判定方法 （1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 简单说成： 同位角相等，两直线平行。 几何语言： ∵∠1＝∠2 ∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行） 判定方法 （2）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：内错角相等，两直线平行。 ∵∠2＝∠3 ∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 判定方法 （3）：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 简单说成： 同旁内角互补，两直线平行。 ∵∠4＋∠2＝180° ∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 【即时训练】 1．（25-26八年级上·陕西·期末）下列图形中，由能得到的是（ ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理分别进行分析即可，掌握平行线的判定定理是解题的关键． 【详解】解：、和互为同旁内角，同旁内角相等不能得到，故不符合题意； 、若，则，内错角相等；两直线平行，故符合题意； 、若，则，故不符合题意； 、和为同旁内角，同旁内角相等不能得到，故不符合题意； 故选：． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图是一个汽车雨刮器，李华画出了如图所示的简易示意图，经测量发现，所以他判断，李华作出此判断的依据是 ． 【答案】同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，和是直线和被第三条直线所截形成的同位角，当时，根据同位角相等，两直线平行，可证． 【详解】解：∵， (同位角相等，两直线平行)． 故答案为：同位角相等，两直线平行． 知识点四： 平行线性质 性质（1）：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。 简单说成：两直线平行，同位角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等） 性质（2）：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。 简单说成：两直线平行，内错角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠3=∠5（两直线平行，内错角相等） 性质（3）：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。 简单说成：两直线平行，同旁内角互补。 几何语言：∵a∥b ∴∠3+∠6=180°（两直线平行，同旁内角互补） 【即时训练】 1．（25-26八年级上·辽宁本溪·期末）如图，，，则度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查平行线的性质，关键是能够明确各个角之间的位置关系．熟练运用平行线的性质以及对顶角相等的性质．根据平行线的性质，知的同旁内角即的对顶角是，再根据同旁内角互补得出． 【详解】 解：∵，， ∴； 又∵， ∴， 故选：D． 2．（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图，直线，．若，则的大小为 度． 【答案】113 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，平角等知识点，可证明直线，由平行线的性质求出的度数，再由平角的定义即可求出的度数． 【详解】解：如图所示，∵直线，， ∴直线， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【核心考点一 平面内两直线的位置关系】 【例1】（24-25七年级下·广西河池·期中）根据语句“直线与直线相交，点M在直线上，直线不经过点M．”画出的图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相交线以及点与直线的位置关系，两条直线交于一点，我们称这两条直线为相交线．根据直线与直线相交，点M在直线上，直线不经过点M进行判断，即可得出结论． 【详解】解：A．直线不经过点M，故本选项不合题意； B．点M在直线上，故本选项不合题意； C．点M在直线上，故本选项不合题意； D．直线与直线相交，点M在直线上，直线不经过点M，故本选项符合题意； 故选：D． 【例2】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示的是平面上五条直线，，，，相交的情形．根据图中标示的角度，下列叙述正确的是（   ） A．和平行，和平行 B．和平行，和不平行 C．和不平行，和平行 D．和不平行，和不平行 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的判定，对顶角相等，解题时关键是掌握平行线判定定理，根据同旁内角不互补，可得两直线不平行；根据内错角相等，可得两直线平行． 【详解】解：， 和不平行， 对顶角相等， ，， ， 和平行， ， 和平行， 故选：C． 【例3】（24-25七年级下·全国·课后作业）在同一平面内，两直线m与n满足下列条件： （1）m与n没有公共点，则m与n ； （2）m与n有且只有 个公共点，则m与n相交； （3）m与n有无数个公共点，则m与n ． 【答案】 平行 一 重合 【分析】本题考查了平行线的定义，相交线的定义，熟记定义是解题的关键； （1）根据平行线、相交线的定义即可得到答案； （2）根据平行线、相交线的定义即可得到答案； （3）根据平行线、相交线的定义即可得到答案； 【详解】解：（1）在同一平面内，不相交（即没有公共点）的两条直线互相平行． （2）在同一平面内，两条直线相交的定义就是有且只有一个公共点． （3）在同一平面内，如果两条直线有无数个公共点，那么这两条直线重合． 故答案为：平行，一，重合． 【例4】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，能相交的是 ，平行的是 ．（填序号） 【答案】 ② ③ 【分析】本题主要考查了相交线与平行线，熟知直线，射线，线段的特点，以及相交线和平行线的定义是解题的关键． 【详解】解：对于①，是由两条射线组成，且射线无限延伸后没有交点，故不能相交； 对于②，是由一条直线、一条射线组成，当直线线延时，与射线有交点，故可以相交； 对于③，由两条直线组成，且在同一平面内没有交点，故一定平行， 故答案为：②；③． 【核心考点二 用直尺、三角板画平行线】 【例1】（24-25七年级下·青海海东·期中）已知直线AB和一点P，过点P画直线与AB平行，可以画（    ） A．1条 B．0条 C．0条或1条 D．无数条 【答案】C 【分析】根据平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行可得答案．过直线上的一点，不能做直线与已知直线平行（互相重合）． 【详解】解：如果点P在直线上，过点P画直线与AB的平行线可画0条，如果点P在直线外，过点P画直线与AB的平行线可画1条， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了平行线公理，注意点P的位置分两种情况表现． 【例2】（24-25七年级下·湖南岳阳·期末）如图，利用三角尺和直尺可以准确的画出直线，请将下面弄乱的操作步骤按正确的顺序排列好应是（    ） ①沿直尺下移三角尺；  ②用直尺紧靠三角尺的另一条边；③沿三角尺的边作出直线；④作直线，并用三角尺的一条边贴住直线． A．④①②③ B．④②①③ C．④②③① D．④③①② 【答案】B 【分析】本题考查了画平行线，根据同位角相等两直线平行判断即可． 【详解】解：根据同位角相等两直线平行则正确的操作步骤是④②③①， 故选：B． 【例3】 （24-25七年级下·四川成都·期末）下列各图中的直线，用推三角尺的方法验证，其中的有 （填序号）． 【答案】①②③ 【分析】本题考查的是用三角板和直尺判定判定平行线，将三角板的一条边靠在直线上，用直尺靠在三角板的另一条边上，固定直尺不动，推动三角板即可判定． 【详解】解：将三角板的一条边靠在直线上，用直尺靠在三角板的另一条边上，固定直尺不动，推动三角板，可判定三个图形中的有①②③， 故答案为：①②③． 【例4】（24-25七年级下·河南郑州·期中）如图是利用直尺移动三角板过直线外一点作直线的平行线的方法，小明经过多次实践后发现只能作一条平行线，这反映了 ．    【答案】过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【分析】根据平行公理可得答案． 【详解】解：由图可得，过直线外一点，能且只能画出一条平行线， 这反映了：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． 故答案为：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． 【点睛】本题考查平行公理，熟练掌握平行线的判定与性质是解答本题的关键． 【核心考点三 平行线的判定】 【例1】（24-25七年级下·宁夏吴忠·期中）如图，能判断直线的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的判定定理，同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行，据此根据平行线的判定定理逐一分析判断即可． 【详解】解：A、由不能判断直线，故此选项不符合题意； B、由不能判断直线，故此选项不符合题意； C、由不能判断直线，故此选项不符合题意； D、由和可得，则由同位角相等，两直线平行能判断直线，故此选项符合题意； 故选：D． 【例2】（24-25七年级下·四川绵阳·期末）如图，下列条件中，不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键；根据平行线的判定逐项判断即可． 【详解】解：、，则，故本选项不符合题意； 、由可得，则，故本选项不符合题意； 、，则，故本选项符合题意； 、由可得，则，故本选项不符合题意； 故选：． 【例3】（24-25七年级下·广东湛江·月考）如图，添加一个条件： ，使得． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行线的判定定理，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键． 根据平行线的判定定理，即可直接写出条件． 【详解】解：添加的条件是：．理由如下： ∵， ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案是：（答案不唯一）． 【例4】（24-25七年级下·陕西榆林·期末）如图所示，在中，点分别是上的点，连接，请添加一个条件 ，使得．（只写一个） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的三个判定定理添加即可． 【详解】解：添加， 由同位角相等两直线平行，即可得； 故答案为：（答案不唯一）． 【核心考点四 平行公理的应用】 【例1】（25-26七年级下·云南昆明·月考）如图所示，直线c与直线a，b都相交．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质．根据两直线平行，内错角相等，得，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 【例2】（24-25七年级下·吉林白山·期中）如图，已知，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．根据两直线平行，同位角相等，进行解答便可． 【详解】解：， ， ， ， 故选：D． 【例3】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质及邻补角的定义，掌握两直线平行，内错角相等、邻补角之和为是解题的关键． 由，根据两直线平行，内错角相等得到的度数，再根据邻补角的定义计算的度数． 【详解】解： 与是邻补角 故答案为：． 【例4】 （24-25七年级下·山西运城·期中）如图是从电动伸缩门抽象出的局部示意图，若，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键．先根据两直线平行，同旁内角互补求出，再根据两直线平行，同位角相等即可求解． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 【核心考点五 利用平行线的性质求解】 【例1】（24-25七年级下·山东聊城·期中）若直线，，，有下列关系，则推理正确的是（    ） A．∵，，∴ B．∵，，∴ C．∵，，∴ D．∵，，∴ 【答案】C 【分析】本题考查了平行公理的推论，根据“如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”逐项判断即可，掌握平行公理的推论是解题关键． 【详解】解：A、a，c都和b平行，应该推出的是，而非，故错误，不符合题意； B、c，d与不同的直线平行，无法推出两者也平行，故错误，不符合题意； C、b，c都和a平行，根据“如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”可推出是，故正确，符合题意； D、a，c与不同的直线平行，无法推出两者也平行，故错误，不符合题意； 故选：C． 【例2】（24-25七年级下·河北唐山·期中）如图，，，则点M，C，N在同一条直线上，理由是：（    ） A．两点确定一条直线 B．在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．平行于同一条直线的两条直线平行 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】D 【分析】本题考查了平行公理，根据过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行判定即可． 【详解】解∶ ，，则点M，C，N在同一条直线上，理由是：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． 故选∶D． 【例3】（24-25七年级上·江苏泰州·期末）如图，，，则点M，C，N在同一条直线上，理由是 . 【答案】过直线外点有且只有条直线与这条直线平行 【分析】本题考查的是平行公理．根据平行公理可得． 【详解】解：∵，，且、经过点C， ∴过外一点C的直线和都平行于直线， ∵经过已知直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行， ∴点M，C，N在一条直线上， 故答案为：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行． 【例4】 （24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示的是一个可折叠的衣架，是地平线，如果，那么就可确定点在同一条直线上．依据是______（填序号）． ①两点确定一条直线；②过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 【答案】② 【分析】本题考查平行线的判定和性质，平行公理及推理，根据过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行解决问题即可，熟练掌握平行线的判定，过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行， ∴点在同一条直线上， 故答案为：② 【核心考点六 根据平行线判定与性质求角度】 【例1】（24-25七年级下·江苏·月考）如图，、相交于，是的中点，，若，则（    ）    A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，由，则，然后通过平行线的性质即可求解，解题的关键是掌握内错角相等两直线平行和两直线平行内错角相等． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：． 【例2】（25-26七年级上·吉林长春·期末）机器狗(四足机器人)是一种模仿动物四肢结构的仿生机器人，具备卓越的全地形适应能力和多样化功能，已从实验室走入商业应用和家庭场景．如图所示，机器狗平稳站立时，，，，此时的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，过E作，求出，得到，求出，即可求出的度数． 【详解】解：过E作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【例3】（24-25六年级下·山东烟台·期末）如图，，，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了平行线的判定以及平行线的性质，熟练掌握同位角和内错角的关系是解决本题的关键． 因为，可根据“同位角相等，两直线平行”，得到平行线，再由与为内错角求解即可． 【详解】解：设两条直线为a和b，以及和， 由于，， 所以，即， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以． 故答案为：． 【例4】（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）如图，图1是一个花盆支架，图2为其正面结构示意图，底座为，支撑杆于点G，平台边框和均与支架垂直，若，则 ． 【答案】/170度 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质．先证明，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵，平台边框和均与支架垂直， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为： 【核心考点七 利用平行线间的距离解决问题】 【例1】（24-25七年级下·广东广州·期末）如图，现有两束平行光从距离水面相同的高度斜射向水面发生折射，由于两束光的偏折程度一样，故射入水中的两束光仍为平行光．已知，，则等于（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的性质，掌握“两直线平行，同位角相等”、“两直线平行，同旁内角互补”是解题关键．根据题意可得出，，，，再结合平行线的性质可求出，，进而即可求解． 【详解】解：如图， 由题意可知，，，， ∴，，，， ∴，， ∴． 故选D． 【例2】（24-25七年级下·辽宁沈阳·开学考试）古希腊数学家埃拉托色尼是第一个测算地球周长的人，他在当时的城市塞思（图中的点A）竖立的杆子在某个时刻没有影子，而此时在500英里以外的亚历山大（图中的点B）竖立杆子的影子却偏离垂直方向约，由此他得出，那么的度数也就是的，所以从亚历山大到塞恩的距离也就等于地球周长的，其中“”所依据的数学定理是（　　）    A．内错角相等，两直线平行 B．两直线平行，内错角相等 C．两直线平行，同旁内角互补 D．两直线平行，同位角相等 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键．根据两直线平行，内错角相等，即可求解． 【详解】解：根据题意得：“”所依据的数学定理是两直线平行，内错角相等． 故选：B． 【例3】（24-25七年级下·辽宁抚顺·月考）如图，A地与B地，B地与C地之间均有一条笔直的公路连接，B地分别在A地的南偏东的方向，在C地的南偏西的方向，若公路长，公路长，则A地到公路的距离是 ．    【答案】8 【分析】如图，过B作，根据平行线的性质求出即可得到结论． 【详解】解：如图，过B作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴A地到公路的距离是， 故答案为：8．    【点睛】本题考查了方向角，平行线的性质，点到直线的距离，解题的关键是学会添加常用辅助线． 【例4】 （24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，点在点北偏东方向，点在点北偏西方向，，则点到直线的距离为 【答案】 【分析】依据平行线的性质即可得出∠BAE+∠ABD=180°，再根据∠BAE=40°，∠DBC=50°，进而得到∠ABC=90°，即可得出点C到直线AB的距离为BC的长，据此即可求得． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴∠BAE+∠ABD=180°， 又∵∠BAE=40°，∠DBC=50°， ∴∠ABC=180°−40°−50°=90°， ∴CB⊥AB， ∴点C到直线AB的距离为BC的长，即16m， 故答案为：16 【点睛】本题主要考查了方向角，平行线的性质，点到直线的距离，注意点到直线的距离是一个长度，也就是垂线段的长度，而不是垂线段． 【核心考点八 利用平行线的性质在生活中的应用】 【例1】（24-25八年级上·贵州遵义·月考）某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．如图是某品牌共享单车在水平地面上的示意图，其中，都与地面平行，，，与平行，则的度数为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键．根据平行线的性质定理求解即可． 【详解】解：，都与地面平行， ， ， ，， ， 故选：B． 【例2】（24-25七年级下·山东德州·月考）仰卧起坐是增加躯干肌肉力量和伸张性的一种运动，能够很好地锻炼腹部的肌肉．某同学正在做仰卧起坐，如图，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线性质的应用；由得，进而求得；再由即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 【例3】（24-25七年级下·安徽宿州·期末）杆秤是中国文化瑰宝，体现社会主义价值观中的“诚信”，在购物时，大家都喜欢商家“翘高高”称物．如图，此时，，则的度数为 ． 【答案】/106度 【分析】本题主要考查了平行线的性质的应用．根据平行线的性质解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为： 【例4】（24-25七年级下·广东广州·期末）如图，一个弯形管道的拐角，若工人师傅准备在点处对管道进行加工拐弯，要保证拐弯的部分与平行，则加工后拐角的度数是 度．    【答案】60°或120° 【分析】本题主要考查了平行线的性质，分两种情况：当点在点的左侧时，当点在点的右侧时，分别画出图形求出结果即可． 【详解】解：当点在点的左侧时，如图所示：   ，， ； 当点在点的右侧时，如图所示：   ，， ； 综上分析可知：的度数为：或． 故答案为：或． 【核心考点九 根据平行线判定与性质证明】 【例1】（2025七年级下·广东揭阳·模拟预测）如图，，，，那么与的位置与大小关系是（    ） A．是同位角且相等 B．是同位角但不相等 C．不是同位角但相等 D．不是同位角且不相等 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，准确根据已知条件分析判定平行线是重要解题步骤；根据，得到，可得到，再根据，得到，即可得到． 【详解】，， （垂直于同一条直线的两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）， 又， （两直线平行，内错角相等）， ， ， 又从图中可得到和不是同位角， 但不是同位角． 故答案选． 【例2】（24-25七年级下·山东泰安·期末）如图1，已知是一块平面镜，光线在平面镜上经点反射后，形成反射光线我们称为入射光线，为反射光线．镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即．如图2，和是两块平面镜，入射光线经过两次反射后，得到反射光线．则下列判断错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键．根据反射的性质和平行线的性质和判定逐项判断即可． 【详解】解：A、 ∵， ， ∴，正确，故此选项不符合题意； B、 ， ， ， ， ， ∴，不能得出，原结论错误，故此选项符合题意； C．∵， ， ， ∴，正确，故此选项不符合题意； D、∵， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，正确，故此选项不符合题意； 故选：B． 【例4】 （24-25七年级下·全国·课后作业）如图，某工件要求，质检员小李量得，，，则此工件 ．（填“合格”或“不合格”）    【答案】合格 【分析】本题考查了平行线的性质与判定；熟练掌握平行线的判定与性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．作，由平行线的性质得出，求出，得出，由，得出，证出，即可得出结论． 【详解】解：作，如图所示：    则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴此工件合格． 故答案为：合格． 【例4】（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，已知．不添加辅助线，请再添加一个条件，使成立．四位同学分别给出了答案，①；②；③；④．你认为正确的有 （请填序号）． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，能运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键，注意：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然． 由平行线的性质得，结合等式的性质可判断①；由得，从而可判断②；添加无法证明，可判断③；由可知，从而可判断④． 【详解】①∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故正确； ②∵， ∴，故正确； ③添加无法证明，故错误； ④∵， ∴，故正确； 故答案为：①②④． 【变式训练1 平面内两直线的位置关系】 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列四边形中，AB不平行于CD的是（ ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】A是平行四边形，B是梯形，C是正方形．D是一般的四边形，AB不平行于CD． 【详解】解：因为A、B、C都是特殊的四边形，都有平行的边； 故选D． 【点睛】本题考查常见的几种特殊四边形的边的关系． 2．（2025七年级·全国·模拟预测）平面内有3000条互相平行的直线，现在这个平面内再画两条不互相平行且与原来3000条直线都不平行的直线，这时这个平面内对顶角有 对． 【答案】12002 【分析】本题考查了相交线与平行线，对顶角等知识，任意两条相交线形成两对对顶角，故一条（与原来3000条直线都不平行）与原来3000条互相平行的直线可以形成对对顶角，据此解答即可． 【详解】解：不平行的两条直线组成的一组直线可以形成两对对顶角，这样的两条直线可以找到(组)． 故答案为：12002． 3．（2025九年级·全国·专题练习）如图，一组互相平行的直线有6条，它们和两条平行线a，b都相交，构成若干个“#”形，则此图中共有多少个“#”形？ 【答案】15个 【分析】分别求出以一个“#”形为基本图形的个数，以两个“#”形为基本图形的个数，以三个“#”形为基本图形的个数，以四个“#”形为基本图形的个数，以五个“#”形为基本图形的个数，然后相加即可得到答案． 【详解】解：以一个“#”形为基本图形的有5个，以两个“#”形为基本图形的有4个，以三个“#”形为基本图形的有3个，以四个“#”形为基本图形的有2个，以五个“#”形为基本图形的有1个， ∴共有（个）． 【点睛】本题主要考查了平行线与相交线，解题的关键在于能够分情况进行讨论求解． 4．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，已知方格纸上有两条线段，根据下列要求完成以下操作： (1)过点作的平行线； (2)连接，取中点，过点作的平行线与交于点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了作平行线，掌握平行线的特征是解题的关键， （1）根据所有横线都是平行的作图即可； （2）根据网格特点得到中点，根据所有横线都是平行的作图即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：所求图形如图所示． 【变式训练2 用直尺、三角板画平行线】 1．（24-25七年级下·河北张家口·期中）如图，经过直线l外一点A画l的平行线，能画出（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 【答案】B 【分析】本题主要考查画平行线，解题的关键是掌握在平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．平面内经过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线，据此即可得到答案． 【详解】解：经过直线外一点画的平行线，能画出1条平行线， 故选：B 2．（25-26七年级下·全国·期末）如图，在平面内用直尺和三角板过点O画已知直线a的平行线b． 【答案】见解析 【分析】此题主要考查过直线外一点作已知直线的平行线．先将三角板的一条直角边与已知直线重合，沿已知直线平移三角板，直到三角板的另一条直角边与O点重合，沿这条直角边过O点向已知直线作一条垂线，然后再将三角板这条直角边沿所作垂线向上平移，直到底下的直角边与O点重合，最后过O点沿三角板底下的直角边作一条直线，这就是已知直线的平行线． 【详解】解：如图所示，直线b即为所求． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）用三角尺和直尺根据要求画图（保留画图痕迹，不写画法）． (1)如图①，过点E分别画和的平行线； (2)如图②，过点A，B，C分别画，，的平行线． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】本题考查了画平行线，解答本题的关键是掌握平行线的画法； （1）将直尺与重合，三角尺与重合，然后将三角尺沿直尺向上平移，使之平移至E点，然后过E点画直线即可得到与平行的直线；利用同样的画法，画出经过点E与直线平行的直线； （2）将三角板的一边与重合，直尺靠紧三角板另一边，沿直尺移动三角板使一边经过点A，过点A沿这边画直线，此直线即为过点A且平行于的直线;把三角板一边与重合，按上述方法操作，画出过点B且平行于的直线;将三角板一边与重合，通过上述平移三角板的方法，画出过点C且平行于的直线 ． 【详解】（1）解：作图如下： （2）解：如图所示： 4．（25-26七年级上·吉林长春·期末）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点．线段的端点和点均在格点上．用学具按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中，作线段的垂直平分线，垂足为点． (2)在图②中，过点作线段的垂线，垂足为点． (3)在图③中，过点作线段的平行线． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 【分析】本题考查画垂线和平行线： （1）找到线段的中点，利用网格特点，过中点作线段的垂线即可； （2）利用网格特点，画垂线即可； （3）利用网格特点，画平行线即可. 【详解】（1）解：如图①，即为所求； （2）解：如图②，即为所求； （3）解：如图③，即为所求； 【变式训练3 平行线的判定】 1．（2025·广东·模拟预测）下列图形中，由能判定的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理（同位角相等、内错角相等时，两直线平行）是解题的关键． 依次分析每个选项中能否判定． 【详解】解：选项A，∵ ， ∴ （内错角相等，两直线平行），不能判定． 选项B，∵ ，且的对顶角与是同位角且相等， ∴ （同位角相等，两直线平行）． 选项C，，不能判定． 选项D，，不能判定． 故选：B． 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，填空： （1）若，则 ，理由： ． （2）若，则 ，理由： ． 【答案】 同位角相等，两直线平行 同位角相等，两直线平行 【分析】此题考查了平行线的判定． （1）根据同位角相等，两直线平行进行判定解答即可； （2）根据同位角相等，两直线平行进行判定解答即可． 【详解】解：如图， （1）若，则，理由：同位角相等，两直线平行． （2）若，则，理由：同位角相等，两直线平行． 故答案为：，，同位角相等，两直线平行；，，同位角相等，两直线平行． 3．（24-25七年级下·河南商丘·月考）如图，在三角形中，，垂足为D，，．求证： ． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定，同角的余角相等以及垂直的定义，由垂直的定义得出，由已知条件得出，再根据同角的余角相等即可得出，进而可判定． 【详解】证明：∵， ∴（垂直的定义）． ∵，． ∴（等量代换）． ∴（同角的余角相等）． ∴（同位角相等，两直线平行）． 4．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，点G在上，已知，平分，平分，请说明的理由． 解：（已知）， （_______） （_______）． ∵平分， _______（_______）． 平分， _______， 得（_______）， （_______）． 【答案】邻补角的定义；同角的补角相等；；角平分线的定义；；等量代换；内错角相等，两直线平行；理由见解析 【分析】本题主要考查平行线的判定，由题意可求得，再由角平分线的定义得，，从而得，即可判定． 【详解】解：∵（已知）， （邻补角的定义）， ∴（同角的补角相等）． ∵平分， ∴（角平分线的定义）． ∵平分， ∴， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：邻补角的定义；同角的补角相等；；角平分线的定义；；等量代换；内错角相等，两直线平行． 【变式训练4 平行公理的应用】 1．（24-25七年级下·北京·期中）如图是一个可折叠的衣架，是地平线，当时，；时，，就可以确定点，，在同一直线上，这样判定的依据是（    ） A．两点确定一条直线 B．内错角相等，两直线平行 C．过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 D．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定和性质，平行公理及推理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 根据过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行解决问题即可． 【详解】解：根据题意，可知当时，；时，，就可以确定点，，在同一直线上； 依据是过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行； 故选：C 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列说法：①在同一平面内，若直线，，则；②在同一平面内，若直线，直线与相交，则直线与相交；③若直线与直线相交，直线与直线相交，则直线与直线相交；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中说法正确的是 ．（填序号） 【答案】①②/②① 【分析】本题考查平行线和相交线．利用同一个平面内，两条直线的位置关系依次对各选项进行判断即可． 【详解】解：①在同一平面内，若直线，，则；故此说法正确； ②在同一平面内，若直线，直线与相交，则直线与相交，故此说法正确； ③若直线与直线相交，直线与直线相交，则直线与直线也有可能平行，故此说法错误； ④过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故此说法错误． ∴说法正确的是①②． 故答案为：①②． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，AO∥CD，BO∥CD，且，求∠AOC的度数. 【答案】∠AOC=60° 【分析】由条件可证明A、O、B三点在一条件直线上，可得∠AOB为平角，再由两角的关系可求得∠AOC． 【详解】解析：因为 AO∥CD，BO∥CD, 所以A,O,B在同一条直线上， 所以∠AOB=180°. 因为∠AOC=∠AOB， 所以∠AOC=60° 【点睛】考查平行线的性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补，④a∥b，b∥c⇒a∥c． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图，已知三角形，点P在边上． (1)过点P画的平行线交于点T； (2)过点C画； (3)直线_______（填位置关系）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要是考查的尺规作图及平行公理的运用，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）按照作平行线的方法画图即可； （2）按照作平行线的方法画图即可； （3）根据平行于同一条直线的两直线平行，即可解题． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求． （2）解：如图，直线即为所求． （3）解：，， ， 故答案为：． 【变式训练5 利用平行线的性质求解】 1．（25-26七年级上·四川遂宁·月考）如图，已知，，则图中与相等的角（不含）的个数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，利用两直线平行同位角相等和内错角相等找出与相等的角，再计算个数即可，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵，， ∴，，，，， ∴， ∴与相等的角（不含）有，，，，，共个， 故选：． 2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，于D，，，则与的位置关系是 ． 【答案】垂直 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，垂直的定义等，掌握这些是解题的关键． 先根据“两直线平行，内错角相等”得出，再根据条件得出, 最后根据“两条平行线中的一条垂直于第三条直线，那么另一条也垂直于第三条直线”得出与的位置关系为垂直． 【详解】解：， ， ， ， ， ， . 故答案为：垂直． 3．（24-25七年级下·河南许昌·期中）如图，点，在直线上，，． (1)求证：； (2)的角平分线交于点，交于点，过点作交的延长线于点，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）由题意，结合图形，得到，从而证得两直线平行； （2）根据题意，得到的度数，利用角平分线的定义以及平行线的性质得的度数，，即可得解． 【详解】（1）解：为平角， 又， ， ； （2）解：如图所示， ，    ， ， ， ，    又为的角平分线， ， ， ，    ， ． 4．（24-25七年级下·北京昌平·期末）通过小学的学习，我们知道三角形内角和是．小燕在学习了平行线的相关定理之后，证明了这个结论，她想到了两种添加辅助线的方法，请你选择其中一种，完成证明． 已知：如图，三角形． 求证：． 方法一 证明：如图，过点作． 方法二 证明：如图，过点作． 【答案】详见解析 【分析】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 方法一：过点作，根据平行线的性质得到，．再根据平角定义得出，然后等量代换即可得出结论； 方法二：过点作．根据平行线的性质得到，，然后等量代换即可得出结论． 【详解】证明：方法一： 过点作， ， ，．（两直线平行，内错角相等） 点，，在同一条直线上， ．（平角的定义） ． 即三角形的内角和为． 方法二： 过点作． ， ，（两直线平行，内错角相等） ，（两直线平行，同旁内角互补） ， ． 即三角形的内角和为． 【变式训练6 根据平行线判定与性质求角度】 1．（24-25七年级下·内蒙古乌兰察布·期末）将一块含角的直角三角板如图放置，已知直线，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，能正确作出辅助线是解此题的关键． 过C作，求出，根据平行线的性质得出，，即可求出答案． 【详解】解：如图，过C作直线， ∵直线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 2．（24-25七年级下·甘肃张掖·期中）已知直线，按如图所示的方式放置，点在直线上，，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，过B作，根据平行线的性质得出，根据平行线的传递性得出，根据平行线的性质得出，代入数值求解即可． 【详解】解：如图，过B作，则， ∵， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·内蒙古包头·期末）如图，已知，点在上方，连接，．． (1)如图（1），若，求的度数； (2)如图（2），与互相垂直，垂足为，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平行线的判定与性质，周角，掌握知识点是解题的关键． （1）过点作，求出，推导出，得到，则，即可解答； （2）过点作，得到，，推导出，，则，即可解答． 【详解】（1）解：如图（1），过点作， ， ，， ， ， ， ； （2）解：如图（2），过点作， ， ， ， ， ，， ， ． 4．（25-26八年级上·陕西西安·月考）在学习完《平行线的证明》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，何老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动，探究平行线的“等角转化”功能． (1)路灯维护工程车的工作示意图如图①，工作篮底部与支撑平台平行，已知，则______； (2)一种路灯的示意图如图②所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，求与所成锐角的度数． 【答案】(1) (2)与所成锐角的度数为 【分析】本题考查平行线的判定和性质，平行线的应用，掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）构造平行线，利用平行线的性质求解； （2）过点作，根据平行线的判定定理和性质定理求解． 【详解】（1）解：如图，作，则， （两直线平行，同旁内角互补），（两直线平行，内错角相等）， ， 故答案为：； （2）解：过点作， 由题意可知：，，， ， ， ， ， ，， ， ， ， 即：与所成锐角的度数为． 【变式训练7 利用平行线间的距离解决问题】 1．（24-25七年级下·广东肇庆·月考）如图，已知，，于点E，于点G，则下列说法中，错误的是（    ） A． B． C．A，B两点间的距离就是线段的长度 D．点C到直线的距离就是线段的长度 【答案】D 【分析】本题考查平行线的判定和性质，两点间的距离，点到直线的距离，根据相关知识点，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵，，于点E，于点G， ∴，，故选项A，B不符合题意； ∵A，B两点间的距离就是线段的长度，故选项C不符合题意； ∵点C到直线的距离是线段的长度，不是线段的长度，故选项D符合题意； 故选：D． 2．（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，点E，F分别在上，，垂足为点O，，若，，，则点F到直线的距离为 ． 【答案】 【分析】首先证明，再证明，最后运用面积法可求出点F到直线的距离． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴, ∴， 设点F到直线的距离为h，且，，， ∴ ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质及点到直线的距离，熟练应用平行线的判定与性质和点到直线的距离计算方法进行计算是解决本题的关键． 3．（24-25七年级下·河南安阳·月考）如图，直线直线，直线与，分别交于点，点，，交直线b于点C． (1)若，求的度数； (2)若，，，则点B到直线的距离是 ；点C到直线的距离是 ；画出并求出点A到直线的距离． 【答案】(1) (2)4，3，，图见解析 【分析】（1）依据直线，可得到，，即可得到； （2）根据点到直线的距离的定义求解即可，过作于，线段的长度即为点到直线的距离． 【详解】（1）解：如图， 直线，， ， 又， ， ； （2）解：，，，， 点到直线的距离是线段的长即4，点到直线的距离是线段的长即3， 如图，过作于，则线段的长即为点到直线的距离， ， ， ， 点到直线的距离为． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及点到直线的距离，解题的关键是熟练掌握平行线的性质及三角形的面积公式． 4．（24-25七年级下·上海·期中）画图： (1)在图中画出表示点到直线距离的垂线段PM． (2)过点P画出直线的平行线，与直线交于点． (3)如果直线与的夹角为，那么 °． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)50 【分析】（1）以点P为圆心，以大于点P到a的距离的长度为半径画弧，与直线a相交于两点，再分别以这两点为圆心，以大于它们之间距离的一半为半径画弧，两弧相交于一点，过这一点与点P作直线，与a相交于点M，PM就是所要求作的垂线段； （2）以点P为顶点，画一条直线为一边，作∠P等于这条直线与直线b所成的夹角，则∠P的另一边所在的直线就是所要求作的直线c； （3）根据两直线平行，内错角相等求出∠MNP＝∠40°，再根据直角三角形的两锐角互余即可求出∠MPN的度数． 【详解】（1）解：如图1所示，PM就是所要求作的点P到直线a距离的垂线段； （2）解：如图2所示，直线c就是所要求作的直线b的平行线； （3）解：如图3， ∵直线a与b的夹角为40°，cb ∴∠PNM＝40°， ∵PM⊥ ∴∠PMN＝90° ∴∠MPN＝90°﹣40°＝50°． 故答案为：50°． 【点睛】本题考查了过直线外一点作已知直线的垂线，过直线外一点作已知直线的平行线，以及平行线的性质，直角三角形两锐角互余的性质，是小综合题，难度不大，只要细心便不难求解 【变式训练8 利用平行线的性质在生活中的应用】 1．（24-25七年级下·上海·月考）如图所示，直线、所成的角跑到画板外面去了，如何量出这两条直线所成角的度数．下列几种方法：①在直线上任取一点，过点作直线的平行线，量出与直线所成锐角的度数即为；②在直线上任取一点，过点作直线的垂线交直线于点，量出与直线所成锐角的度数即为；③在画板上任取一点，过点分别作直线、的平行线，量出它们所成锐角的度数即为．可行的是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理，解题的关键是掌握平行线的性质定理． 分别画出图形，再根据平行线的性质、三角形内角和定理，逐个判断即可． 【详解】解：①如图， ∵ ∴，故①正确； ②如图， ∵ ∴ ∴，故②错误； ③如图， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴，故③正确． ∴正确的有①③， 故选：C． 2．（24-25七年级下·浙江湖州·期末）如图，两面镜子，的夹角为，一束与平行的光线经过两次镜面反射后，与原光线夹角为．若，则的度数是 度． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线的性质，先根据题意作出图形，再根据平行线得到，，，接着根据镜面反射可得，，最后根据平角列方程求解即可． 【详解】解：如图，与平行的光线经过第一次镜面反射后得到线段，经过第二次镜面反射后得到射线，交于， ∵经过两次镜面反射后，与原光线夹角为， ∴， ∵与平行的光线， ∴，，， 由镜面反射可得，， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·吉林·月考）如图，小明绘制了一个安全用电的标识，点、、、在同一条直线上，且，，． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定和性质． （1）根据平行线的判定方法，由，即可得； （2）根据平行线的性质，由，得，结合已知条件，即可得到结果． 【详解】（1）证明：∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）（1）若组成和的两条边互相平行，且是的2倍小，求的度数． （2）如图，放置在水平操场上的篮球架的横梁始终平行于与上拉杆形成的，主柱垂直于地面，通过调整和后拉杆的位置来调整篮筐的高度．当时，点H，D，B在同一直线上，求的度数． 【答案】（1）15°或115°；（2）120° 【分析】（1）根据∠1，∠2的两边分别平行，所以∠1，∠2相等或互补列出方程求解则得到答案． （2）过D点作DI∥EF，根据两直线平行，同旁内角互补可求∠FDI=35°，根据平角的定义可求∠ADB=30°，根据直角三角形的性质可求∠ABH=60°，再根据两直线平行，同旁内角互补可求∠H． 【详解】解：（1）①当∠1=∠2时， ∵∠1=2∠2-15°， ∴∠1=2∠1-15°， 解得∠1=15°； ②当∠1+∠2=180°时， ∵∠1=2∠2-15°， ∴∠2+2∠2-15°=180°， 解得∠2=65°， ∴∠1=180°-∠2=115°； （2）过D点作DI∥EF， ∵∠F=145°， ∴∠FDI=35°， ∴∠ADB=180°-90°-35°-25°=30°， ∴∠ABH=90°-30°=60°． ∵GH∥AB， ∴∠H=180°-60°=120°． 【点睛】本题考查了平行线的性质，平行线性质定理：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补； 两直线平行，内错角相等． 【变式训练9 根据平行线判定与性质证明】 1．（24-25七年级下·四川南充·月考）如图，已知：， ，平分，，有下列结论：①；②；③；④．结论正确的有（      ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】①根据平行线的传递性可以判断出来；②所以，然后根据两直线平行同旁内角互补可得，即，联立可求得结果；③根据以及，可求得结果；④根据即以及，可求得结果．本题考查了平行线的判定与性质、平行线的传递性、两直线平行内错角相等、两直线平行同旁内角互补、角平分线的有关计算，准确找到角度之间的关系是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴，即， ①∵，， ∴， 故①的说法正确； ②∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 故②的说法正确； ③由①可得， ∴， ∴，即， 又， ∴， 即， 将代入， 化简可得：， 故③的说法不正确； ④∵，， ∴， ∵， ∴， 故④的说法不正确； 正确的个数共有2个， 故选：B． 2．（24-25七年级下·陕西渭南·期末）如图，点A、D分别在线段、上，连接、、．现有以下三个论断：①；；．如果以其中两个论断为条件，另一个论断为结论构造命题，能够构成 个真命题． 【答案】3 【分析】此题考查了平行线的性质和判定，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和判定．根据题意分别以其中2个论断为条件，另一个论断为结论构造命题，然后利用平行线的性质和判定求解即可． 【详解】解：若选择①，②为条件，③作为结论， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴此命题为真命题； 若选择②，③为条件，①作为结论， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴此命题为真命题； 若选择①，③为条件，②作为结论， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴此命题为真命题， 综上所述，能够构成3个真命题． 故答案为：3． 3．（25-26七年级上·海南儋州·期末）如图，，． (1)试说明：； ∵，（已知） ∴（ ） 又∵，（已知） ∴ （等量代换） ∴（ ） (2)与的位置关系如何？为什么？ 与的位置关系是： ； 理由如下： ∵，（已知） ∴ （ ） 又∵，（已知） ∴ （   ） ∴ （内错角相等，两直线平行） (3)与相等吗？请说明理由． 【答案】(1)两直线平行，同位角相等；；内错角相等，两直线平行 (2)；；两直线平行，内错角相等；；等量代换；； (3)，理由见解析 【分析】此题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定定理及性质定理并进行推理论证是解题的关键． （1）根据平行线的性质及判定定理推理论证即可； （2）根据平行线的性质及判定定理推理论证即可； （3）根据平行线的性质得到，，即可得到结论． 【详解】（1）解：∵，（已知） ∴（两直线平行，同位角相等） 又∵，（已知） ∴（等量代换） ∴（内错角相等，两直线平行）； 故答案为：两直线平行，同位角相等；；内错角相等，两直线平行； （2）解：与的位置关系是：， 理由如下： ∵，（已知） ∴（两直线平行，内错角相等） 又∵，（已知） ∴（等量代换） ∴．（内错角相等，两直线平行）； 故答案为：；；两直线平行，内错角相等；；等量代换；；； （3）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．（25-26七年级上·吉林·月考）请在横线上填写合适的内容，完成下面的证明： (1)如图①，已知，求证：．证明：过点P作， ∵，∴______（两直线平行，内错角相等）， ∵，，∴（______）， ∴______（______），∴（等量代换） (2)如图②，，根据上面的推理方法，直接写出______． (3)如图③，，若，，，，则______（用含x、y、z的代数式表示） 【答案】(1)，平行于同一条直线的两条直线平行，，两直线平行，内错角相等 (2) (3) 【分析】本题主要考查平行线的性质，外角的性质，作出合适的辅助线，将待求角恰当分割是解题的关键． （1）根据平行线的性质证明即可； （2）先过点作，过点作，再根据平行线的性质，利用同旁内角即可求出答案； （3）先延长交于点，延长交于点，再根据平行线的性质，以及外角的性质，进行计算以及变形即可得出答案． 【详解】（1）证明：过点P作， ∵， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵，， ∴（平行于同一条直线的两条直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∴（等量代换）． 故答案为：，平行于同一条直线的两条直线平行，，两直线平行，内错角相等． （2）解：如图， 过点作，过点作， ，． ， ， ， ． 故答案为：． （3）解：如图③， 延长交于点，延长交于点， ， ． ，， 即，， ， 即， ． 故答案为：． 1．（24-25七年级下·河北邢台·月考）已知直线及直线外一点，在经过点的四条直线，，，中，与直线相交的至少有（   ） A．条 B．条 C．条 D．条 【答案】C 【分析】本题考查平行公理，熟练掌握平行公理是解题的关键； 根据过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行，即可求解； 【详解】解：根据过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行， 那么根据图可得：至少有三条直线和直线相交； 故选：C 2．（24-25七年级上·河南南阳·期末）已知，下列图形中，能确定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定，如果两条直线被第三条直线所截，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补都可以判定两条被截直线平行，解决本题的关键是判断和是由哪两条直线被截形成的角． 【详解】解：A选项：和是直线、被直线所截形成的同位角，当时，根据同位角相等，两直线平行可证，不能证明，故A选项不符合题意； B选项：和是直线、被直线所截形成的内错角，当时，根据内错角相等，两直线平行可证，故B选项符合题意； C选项：和不是直线、被第三条直线所截形成的角，当时，不能判断，故C选项不符合题意； D选项：和不是直线、被第三条直线所截形成的角，当时，不能判断，故D选项不符合题意． 故选：B ． 3．（24-25七年级下·陕西渭南·期末）如图，点在的延长线上，，下列条件能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，故C选项正确； 而，，均不能判断， 故选：C． 4．（2025·广东·模拟预测）如图，直线，平分，交于点.若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相邻补角可得∠AEC+∠BEC=180°，根据平行线的性质，可得∠AEC=∠ECD，根据角平分线的性质，可得∠1=∠DCE，从而求解． 【详解】解：∵∠AEC+∠BEC=180°，∠BEC=140°， ∴∠AEC=40°， ∵AB∥CD， ∴∠AEC=∠DCE=40°， ∵CE平分∠ACD， ∴∠1=∠DCE=40°． 故选C． 【点睛】此题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解决问题的关键是掌握平行线的性质定理． 5．（24-25七年级下·北京·期中）如图1，已知是一块平面镜，光线在平面镜上经点反射后，形成反射光线，我们称为入射光线，为反射光线．镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即．如图2，和是两块平面镜，入射光线经过两次反射后，得到反射光线．则下列判断错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键． 根据反射的性质和平行线的性质和判定逐项判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴，正确，故此选项不符合题意； B、∵， ∴， ∴， ∵， ∴，正确，故此选项不符合题意； C、∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，不能得出，原结论错误，故此选项符合题意； D、∵， ∴， ∵，， ， ∴，正确，故此选项不符合题意； 故选：C． 6．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在直线a的同侧有P，Q，R三点．若，则P，Q，R三点 （填“在”或“不在”）同一条直线上． 【答案】在 【分析】本题主要考查了平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．要准确理解“有且只有”的含义．从作图的角度说，它是“能但只能画出一条”的意思．依据过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，即可得到P，Q，R三点在同一条直线上． 【详解】解：∵， ∴P，Q，R三点在同一条直线上（过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行）， 故答案为：在． 7．（2025七年级上·江苏连云港·专题练习）如图，，当 度时，． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的判定（同旁内角互补，两直线平行），熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．要使，需利用平行线的判定（同旁内角互补，两直线平行）确定的度数． 【详解】解：当时， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）若，的两边分别与的两边平行，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是平行线的性质，解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．根据当两角的两边分别平行时，两角的关系可能相等也可能互补，即可得出答案． 【详解】解：当的两边与的两边如图所示时，； 当的两边与的两边如图所示时， ； 故答案为：或． 9．（24-25七年级下·山东青岛·期中）如图，，，图中与互余的角有 个． 【答案】 【分析】利用平行线的性质与余角的定义进行分析即可． 【详解】解：， ， ， ， ，， ， ， 与互余的角有：，，共个． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，余角，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等． 10．（24-25七年级下·上海青浦·期中）近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，，经使用发现，当时，台灯光线最佳，则此时的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂线的定义，过点C作，先由垂线的定义得到，再证明，由平行线的性质求出的度数即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点C作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 故答案为：． 11．（2025七年级下·浙江衢州·模拟预测）已知同一平面内有条直线，共有个不同的交点，画出它们可能的位置关系（要求画出三种图形，每一种图形给出简要的说明）． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行线与相交线的综合运用．没有明确平面上条不重合直线的位置关系，需要运用分类讨论思想．从平行线的角度考虑，通过合理设置平行直线组与相交直线来实现，作出草图即可看出． 【详解】解:①条平行线条相交且不平行于前一组的直线 ②条平行线条平行线条相交且不平行于前两组的直线 ③条平行线条平行线条相交且不平行于前两组的直线 12．（24-25七年级下·河南濮阳·期中）如图，，说明直线与直线的位置关系，下表给出了题目的证明过程，请你把推理依据填写在表格的横线上． 证明 图形 理由；（____________________） ；        （____________________） ；        （____________________） ；         （____________________）     【答案】已知；同旁内角互补，两直线平行；已知；同平行于同一直线的两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定，平行公理的推论，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键． 根据平行线的性质，平行公理的推论解答即可． 【详解】证明∶ (已知)， (同旁内角互补，两直线平行) (已知) (平行于同一直线的两直线平行)． 故答案为：已知；同旁内角互补，两直线平行；已知；平行于同一直线的两直线平行． 13．（24-25七年级下·甘肃定西·期中）如图，已知，平分，平分． (1)若，求的度数； (2)若，，试求的度数．(用含n的式子表示) (3)若，，试用含，的式子表示的度数．(直接写出结论) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查平行线的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握运用平行线的性质探究角的数量关系是解答的关键 （1）根据平行线的性质和角平分线的定义求解即可； （2）过E作，则，利用平行线的性质和角平分线的定义求得，，进而可求解． （3）根据（2）的方法，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又∵平分， ∴； （2）解：过E作，则. ∴，，, 又∵平分， ∴，则, ∴. （3）解：过E作，则. ∴，，, 又∵平分， ∴，则, ∴. 14．（24-25八年级上·河北承德·月考）发现与探究 已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，分别结合图1、图2探究这两个角的关系． （1）如图1，与的关系是___________； （请将如下证明补充完整） 证明：（已知）， （两直线平行，内错角相等）． （已知）， （___________，___________）． （___________）． （2）如图2，与的关系是___________； （请将如下证明补充完整） 证明： 思考与结论 （3）综合上述，我们可以得到一个真命题：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角___________． 【答案】（1）（或相等）；两直线平行，内错角相等；等量代换； （2）（或互补）；证明见解析； （3）相等或互补 【分析】本题考查平行线的性质（内错角相等、同旁内角互补），结合等量代换，探究了两边分别平行的两个角的关系，先从特殊图形（图1、图2）入手，再归纳出一般结论． （1）利用平行线的性质，通过中间角来推导与的关系； （2）同样利用平行线性质，结合邻补角知识推导； （3）最后综合（1）（2）即可得出一般结论． 【详解】解：（1）证明：（已知）， （两直线平行，内错角相等）． （已知）， （两直线平行，内错角相等）． （等量代换）． 故答案为：（或相等）；两直线平行，内错角相等；等量代换； （2）（已知）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， ∵（已知）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∴（等量代换）． 故答案为：（或互补）； （3）综合（1）中（两角相等）和（2）中（两角互补），可得：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补． 15．（24-25七年级上·河南南阳·期末）如图，是小明同学用的一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度．图①是这盏台灯的示意图．已知台灯水平放置，当灯头与支架平行时可达到最佳照明角度，此时支架与水平线的夹角，，两支架和的夹角． 如何求此时支架与底座的夹角的度数及灯头与水平线的夹角的度数呢？小明解决此问题的思路如下： (1)小明在解决问题时，过点作，则可以得到，其理由是_____________． (2)如图②，根据小明的思路求和的度数； (3)小明在解题中发现和的度数永远是相等的，与和的度数无关．小明的说法对吗？请结合图③说明理由． 【答案】(1)平行于同一条直线的两直线平行 (2)， (3)对，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，需熟练掌握平行线的三条性质，根据平行线的三条性质得到角度相等是求解本题的关键． （1）根据平行公理的推论，即“平行于同一条直线的两直线平行”即可求解； （2）根据平行线的性质，即“两直线平行，内错角相等”，可由求解；再根据“两直线平行，同旁内角互补”即可求解； （3）根据平行线的性质可得，再根据即可求解． 【详解】（1）解：平行于同一条直线的两直线平行； （或如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）； 故答案为：平行于同一条直线的两直线平行； （2）解：如图，过点C作， ， ， ， ， ， , ， ； ， ， ， ， ， ； （3）解：对，理由如下： ， ， ， ， ， ， ， , ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $