第12讲 二元一次方程组的概念（2个知识点+6大核心考点+变式训练+提优训练）-（寒假衔接课堂）2025-2026学年人教版七年级下册数学寒假衔接讲义

第12讲 二元一次方程组的概念（2个知识点+6大核心考点+变式训练+提优训练） 题型一 二元一次方程的定义 题型二 二元一次方程的解 题型三 判断是否是二元一次方程组 题型四 判断是否是二元一次方程组的解 题型五 已知二元一次方程组的解求参数 题型六 二元一次方程的整数解 知识点一：二元一次方程（组）的概念 1、二元一次方程 含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。 2、二元一次方程组 含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。 【即时训练】 1．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）下列方程中，不是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·宁夏吴忠·月考）若是二元一次方程，则值 ． 知识点二：二元一次方程（组）的解 1、 二元一次方程的解 适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。 2、 二元一次方程组的解 二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。 【即时训练】 1．（25-26八年级上·陕西宝鸡·月考）若是关于的二元一次方程的一组解，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 2．（24-25七年级下·天津河西·期末）如果方程和另一个二元一次方程组成的方程组的解为，则另一个二元一次方程可以是 ．（写出一个即可） 【核心考点一 二元一次方程的定义】 【例1】（25-26八年级上·黑龙江大庆·期末）下列方程中，是二元一次方程的是（ ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）已知是关于x，y的二元一次方程，则的值是（    ） A．2 B． C． D． 【例3】（25-26八年级上·四川成都·期中）已知是关于，的二元一次方程，则 ． 【例4】（25-26八年级上·四川成都·月考）方程是关于x，y的二元一次方程，则 ． 【核心考点二 二元一次方程的解】 【例1】（24-25七年级下·陕西商洛·期末）已知是关于x，y的二元一次方程的一个解，则k的值是（    ） A． B． C．1 D．2 【例2】（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）甲种物品每个，乙种物品每个．现有甲种物品个，乙种物品个，共，若，则的值为（    ） A．5 B．8 C．10 D．12 【例3】（25-26八年级上·山西大同·月考）若是关于和的二元一次方程的解，则的值是 ． 【例4】（25-26七年级上·河南驻马店·期中）小美把任意有理数对放进装有计算装置的魔术盒，会得到一个新的有理数．例如：把放入其中，就会得到．若将正整数对放入其中，得到的值是6，则满足条件的正整数对为 ． 【核心考点三 判断是否是二元一次方程组】 【例1】（25-26七年级上·上海浦东新·期末）下列方程组中，属于二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·广东广州·期末）在下列方程组：①，②，③，④中，是二元一次方程组的是（   ） A．①③ B．①④ C．①② D．只有① 【例3】（2025八年级上·全国·专题练习）已知方程组是关于的二元一次方程组，则的值为 ． 【例4】（25-26七年级下·全国·课后作业）已知下列方程组： ①；②； ③；④ 其中， 是二元一次方程组．（填序号） 【核心考点四 判断是否是二元一次方程组的解】 【例1】（25-26八年级上·山西运城·期中）在“班级原创数学题目”比赛中，四个数学小组设计出了四个方程组，其中以为解的二元一次方程组是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级上·湖北武汉·月考）下列表格中，表1中每对x，y的值都是方程的解，表2中每对x，y的值都是方程的解，所以方程组的解为（    ）． 表1 x 0 1 2 y 1 表2 x 0 1 16 y 1 11 A． B． C． D． 【例3】（2025·江苏无锡·一模）请写出一个解为的二元一次方程组 ． 【例4】（24-25七年级下·全国·假期作业）下面三组数据： ①  ②  ③ 满足方程的是 ，满足方程的是 ，同时满足这两个方程的是 ．故二元一次方程组的解是 ．（填序号） 【核心考点五 已知二元一次方程组的解求参数】 【例1】（25-26八年级上·四川达州·月考）方程组的解为，则被遮盖的前后两个数分别为（    ） A．1、2 B．1、5 C．5、1 D．2、4 【例2】（25-26八年级上·陕西渭南·月考）已知关于、的二元一次方程组的解为则的值为（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知关于x，y的二元一次方程组的解为则的值是 ． 【例4】（24-25七年级下·山东临沂·期末）在平面直角坐标系中，点经过变换得到点，该变换记为，其中（a，b为常数）．例如，当，且时，．若，当 ． 【核心考点六 二元一次方程的整数解】 【例1】（24-25七年级下·重庆·期中）我们把含有两个未知数的方程称为二元方程，一般情况下二元方程有无数多组解．定义：如果一个二元方程有一组解中未知数的取值都是整数，则称这个二元方程为整数解方程．下面的四个二元方程：；；；，其中整数解方程个数是（  ） A．个 B．个 C．个 D．个 【例2】（25-26八年级上·河北保定·月考）已知方程的一组整数解（均为整数）是，则的值可以是（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 【例3】（2025八年级上·湖南长沙·模拟预测）方程的整数解的个数是 ． 【例4】（24-25七年级下·山东威海·期中）已知x，y均为整数，按如下程序运算，输出结果为8．请写出满足条件的一对x，y的值 ．   【变式训练1 二元一次方程的定义】 1．（2025八年级上·全国·专题练习）方程■是二元一次方程，■是被污染的x的系数，推断■的值（    ） A．不可能是 B．不可能是 C．不可能是3 D．不可能是2 2．（25-26八年级上·陕西西安·月考）若是关于x，y的二元一次方程，则m的值是 ． 3．（2025八年级上·全国·专题练习）若是关于的二元一次方程，则（   ） A．        B． C．        D． 下面是马虎的解答，你认为他的解法正确吗？若不正确，请给出正确答案，并说明理由． 解：因为2025是关于的二元一次方程， 所以． 解得．故选A． 4．（2025·安徽芜湖·模拟预测）某科创公司制造的产品采用内销和出口两种方式，今年第一季度的内销收入比去年第一季度增加，出口收入比去年第一季度增加． (1)设去年第一季度内销收入为万元，出口收入为万元，用含，的代数式表示今年第一季度的总收入为______万元； (2)若今年第一季度的总收入比去年增加，求的值． 【变式训练2 二元一次方程的解】 1．（25-26七年级下·黑龙江七台河·期中）今年3月12日是我国第47个植树节，为了履行植树义务，共建美丽中国，秋实中学计划用300元购买A，B两种型号铁锹（两种均购买）参加植树活动，A种型号铁锹单价为8元，B种型号铁锹单价10元，则不同的购买方式有（  ） A．6种 B．7种 C．8种 D．9种 2．（24-25七年级上·浙江温州·期中）如图，已知线段相交于点E，， 点P以1个单位长度/秒的速度由……不间断来回运动，同时点Q以相同的速度由……不间断来回运动，则它们第4次相遇所需的时间为 秒． 3．（24-25八年级上·陕西榆林·月考）某中学为了改造劳动实践基地，需要和两种规格的钢管．从建材市场购回一根长的钢管，将其截成长段，长段（均为整数），且没有剩余．应该怎么样截这一根钢管更好？ 4．（24-25八年级上·全国·月考）对于二元一次方程的任意一个解，给出如下定义：若，则称为方程的“和谐值”；若，则称或为方程的“和谐值”，此时的“和谐值”又称为“和谐平衡值”；若，则称为方程的“和谐值”. (1)当时，此方程的“和谐值”是_____，二元一次方程的“和谐平衡值”是_____； (2)若二元一次方程的“和谐值”为5，写出所有满足条件的方程的解； 【变式训练3 判断是否是二元一次方程组】 1．（24-25七年级下·上海松江·期末）下列方程组中，属于二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）已知关于x，y的二元一次方程的解如下表： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 8 6.5 5 3.5 2 0.5 … 已知关于x，y的二元一次方程的解如下表： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 2 … （1）仔细观察表中数据，直接写出关于，二元一次方程组的解为 ． （2）关于，的二元一次方程组的解为 ． 3．（24-25七年级下·四川泸州·期中）判断下列方程组是否为二元一次方程组，并说明理由． (1) (2) 4．（24-25七年级·全国·假期作业）判断下列方程组是否为二元一次方程组，并说明理由． （1）；（2）；（3）；（4）；（5）． 【变式训练4 判断是否是二元一次方程组的解】 1．（24-25七年级下·浙江金华·月考）已知二元一次方程组的解是，则表示的方程可能是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·安徽铜陵·期末）现有一条长度为359mm的铜管料，把它锯成长度分别为39mm和29mm的两种不同规格的小铜管，（要求没有余料）．每锯一次损耗1mm的铜管料．为了使铜管料损耗最少，应分别锯成39mm的小铜管 段，29mm的小铜管 段． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知方程：①，②． (1)根据方程①填写下表： x 2 1 ______ ______ y ______ ______ 2 (2)根据方程②填写下表： x 3 ______ ______ y ______ ______ 2 (3) 根据以上两表中的数据，直接写出方程组的解． 4．（24-25八年级上·陕西西安·月考）已知下列三组数值：，， (1)哪几组数值是方程的解？ (2)哪几组数值是方程的解？ (3)哪几组数值是方程组的解？ 【变式训练5 已知二元一次方程组的解求参数】 1．（24-25八年级上·山西太原·月考）已知方程组的解为，则方程组的解为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·江苏徐州·期末）若关于x、y的方程组的解是，求关于x、y的方程组的解．这个方程组的解应该是 ． 3．（25-26八年级上·广东梅州·月考）甲、乙两人共同解关于x，y的方程组，甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，试求的值． 4．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）已知关于x，y的方程组． (1)请直接写出方程的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求m的值； (3)方程总有一个公共解，请求出这个方程的公共解吗？ 【变式训练6 二元一次方程的整数解】 1．（24-25七年级下·江西·期中）已知p为偶数，q为奇数，方程组的解是整数，那么（   ） A．x为奇数，y是偶数 B．x为偶数，y是奇数 C．x为偶数，y是偶数 D．x为奇数，y是奇数 2．（24-25七年级下·重庆九龙坡·月考）对任意的四位数，若千位数字与十位数字之和减去百位数字与个位数字之和的差等于9，将的千位数字和百位数字去掉后得到一个两位数，将的十位数字和个位数字去掉后得到一个两位数，记，若为整数，则称数为“重九数”， ．；若“重九数”（，，，，，，，为整数）是7的倍数，则满足条件的的最大值是 ． 3．（2025·安徽马鞍山·模拟预测）某数学兴趣小组在一次探究性学习中，研究了“寻找无数组整数x，y，使得”的问题，指导教师将学生的发现进行整理，设计了如下数表，部分信息如下： x … 5 11 （_______） … y … 1 （_______） … (1)观察表格，根据规律请在表格的横线上填空； (2)由上面的规律可知，若表中某一列的两个整数依次是m和n，这表中相邻的下一列的两个数分别是_______和_______（分别用m和n表示）； (3)有同学根据上面的探究得出结论“对于任何正整数k，都存在无数组整数m，n，使得成立”．请对该结论判断正误并简述理由． 4．（24-25七年级下·广东深圳·期末）【阅读理解】 我们把形如（a、b均为整数，且．）的方程称为二元一次整系数方程．若，则可以用以下方法确定其正整数解的数量，例如．，则，∵，∴，∵y为正整数， 1，2，3，故原方程的正整数解有3个，分别为 ，，； 若，则可以用以下方法确定其正整数解的数量，例如，则 ，设（k为正整数），则 ，，，，故原方程的正整数解有1个，为 ． 【问题解决】 （1）结合上述内容，请直接写出的所有正整数解； （2）若关于x和y的二元一次方程有且只有一个正整数解，请求出m的值； 【应用迁移】 （3）假期临近，吴老师为表彰本学年积极参与班级活动的学生，委托采购小组购买奖品．组长小丽汇报称：“我们购买了两种类型的笔记本，其中A 类型笔记本7本，B类型笔记本12本，总计花费84元，由于未索取收银小票，因此暂不能确定两种笔记本的具体单价．”吴老师听后，敏锐地指出：两种类型笔记本的单价不可能同时为整数．请你结合上述内容分析吴老师的判断是否正确． 1．（24-25七年级下·河北承德·期末）下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·贵州黔西·期末）若是关于x，y的二元一次方程，则m的值为（   ） A．4 B．或2 C． D．2 3．（24-25七年级下·福建福州·期中）已知方程组的解是，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·湖北荆州·期末）为组织研学活动，王老师把班级里名学生计划分成若干小组，若每组只能是人或人，则分组方案共有（　　） A．2种 B．3种 C．8种 D．10种 5．（24-25七年级下·湖北黄石·期末）已知关于，的方程组①的解，比②相应的解，正好都小．则，的值分别为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 6．（24-25七年级下·北京昌平·月考）若方程是关于的二元一次方程，则 ． 7．（24-25七年级下·江苏南通·月考）解关于x，y的方程组时，可以用消去未知数x，也可以用消去未知数y，试求的值为 ． 8．（24-25七年级下·江苏·期末）小明只带2元和5元面值的人民币若干张，他要买一件29元的商品，若商店没有零钱找，那他付款时这两种面值的人民币共有 种不同的组合方式． 9．（24-25七年级下·全国·课后作业）把含有相同未知数的 个 联立在一起组成的方程组叫作二元一次方程组．我们把二元一次方程组中两个方程的 叫作二元一次方程组的解． 10．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）已知关于的二元一次方程的部分解如表，关于的二元一次方程的部分解如表，则关于的二元一次方程组的解是 ． 表 表2 11．（2025七年级下·浙江·专题练习）判断下列方程组是否为二元一次方程组，并说明理由． (1) (2) (3) (4) (5) (6) 12．（24-25七年级下·全国·随堂练习）已知方程是关于，的二元一次方程，求，的值． 13．（25-26七年级上·全国·课后作业）有这样一道题：判断是不是二元一次方程组的解．小恒的解答过程：将代入方程中，等式成立，所以是该方程组的解．小恒的解答过程是否正确？若不正确，请说明理由． 14．（24-25七年级下·山东德州·期末）关于x，y的二元一次方程均可以变形为的形式，其中a，b，c，均为常数且，，规定：方程的“关联系数”记为． (1)【探索发现】二元一次方程的“关联系数”为______． (2)【拓展应用】已知关于x，y的二元一次方程的“关联系数”为，若，为该方程的一组解，且均为正整数，求m，n的值． 15．（24-25七年级下·北京怀柔·期末）我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系，系数和常数项经过一系列变形、运算就可以求出方程组的解．因此，在现代数学的高等代数学科将系数和常数项排成一个表的形式，规定：关于x，y的二元一次方程组可以写成矩阵的形式．例如：可以写成矩阵的形式． (1)填空：将写成矩阵形式为： ； (2)若矩阵所对应的方程组的解为，求a与b的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 二元一次方程组的概念（2个知识点+6大核心考点+变式训练+提优训练） 题型一 二元一次方程的定义 题型二 二元一次方程的解 题型三 判断是否是二元一次方程组 题型四 判断是否是二元一次方程组的解 题型五 已知二元一次方程组的解求参数 题型六 二元一次方程的整数解 知识点一：二元一次方程（组）的概念 1、二元一次方程 含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。 2、二元一次方程组 含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。 【即时训练】 1．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）下列方程中，不是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：只含有2个未知数，未知数的项的最高次数是1的整式方程．根据概念逐一判断即可． 【详解】解：A、该方程未知数的项的最高次数是2，不符合二元一次方程的定义，故此选项符合题意； B、该方程符合二元一次方程的定义，故此选项不符合题意； C、该方程符合二元一次方程的定义，故此选项不符合题意； D、该方程符合二元一次方程的定义，故此选项不符合题意； 故选：A． 2．（24-25七年级下·宁夏吴忠·月考）若是二元一次方程，则值 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，根据二元一次方程的定义进行求解即可：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是，像这样的整式方程叫做二元一次方程． 【详解】解：∵是二元一次方程， ∴， 解得：， 故答案为：． 知识点二：二元一次方程（组）的解 1、 二元一次方程的解 适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。 2、 二元一次方程组的解 二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。 【即时训练】 1．（25-26八年级上·陕西宝鸡·月考）若是关于的二元一次方程的一组解，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】将方程解代入方程即可． 本题考查二元一次方程的解，将解代入方程是解题关键． 【详解】解：∵ 是方程 的解， ∴ 代入得 ， 即 ， ∴ ， ∴ ． 故选：． 2．（24-25七年级下·天津河西·期末）如果方程和另一个二元一次方程组成的方程组的解为，则另一个二元一次方程可以是 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解的概念，注意对概念灵活应用是解决本题的关键． 由x，y的值，可求出的值，进而可得出，由此即可得出一个二元一次方程． 【详解】解：∵， ∴， ∴是二元一次方程组的解． 故答案为：（答案不唯一）． 【核心考点一 二元一次方程的定义】 【例1】（25-26八年级上·黑龙江大庆·期末）下列方程中，是二元一次方程的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，二元一次方程需满足两个条件：含有两个未知数，且未知数的次数均为1的整式方程． 根据二元一次方程的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、中，、、为常数，若或，则未知数个数不足两个，故不一定是二元一次方程； B、不是整式方程，且的次数不为1，故不是二元一次方程； C、可化为，含有两个未知数，且次数均为1，是整式方程； D、只含一个未知数，且次数为2，故不是二元一次方程； 故选：C． 【例2】（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）已知是关于x，y的二元一次方程，则的值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了二元一次方程的定义，解题的关键是掌握二元一次方程，需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．根据二元一次方程的定义，可得，进而得到的值即可求解． 【详解】解：∵方程是关于，的二元一次方程， ∴ ∴， ∴． 故选：D． 【例3】（25-26八年级上·四川成都·期中）已知是关于，的二元一次方程，则 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程中未知数的次数均为是解题的关键． 根据二元一次方程的定义，确定、的次数均为，从而列出关于、的方程，求解后计算的值． 【详解】解：由于方程是关于的二元一次方程， 因此的指数，解得； 的指数，解得． 所以， 故答案为：． 【例4】（25-26八年级上·四川成都·月考）方程是关于x，y的二元一次方程，则 ． 【答案】 或 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，解题的关键是掌握二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是的整式方程叫二元一次方程，根据定义可得：，，，求出、，即可解答． 【详解】解：方程是关于x，y的二元一次方程， ，，， 解得，， 或． 故答案为：或． 【核心考点二 二元一次方程的解】 【例1】（24-25七年级下·陕西商洛·期末）已知是关于x，y的二元一次方程的一个解，则k的值是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了已知二元一次方程的解求参数，将给定的解代入方程，通过解一元一次方程求k的值，即可作答． 【详解】解：∵是关于x，y的二元一次方程的一个解， ∴把代入得：， 即， ∴， ∴， 因此，k的值为2， 故选：D 【例2】（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）甲种物品每个，乙种物品每个．现有甲种物品个，乙种物品个，共，若，则的值为（    ） A．5 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程的应用，根据题意列出关于x和y的方程，代入求解y的值． 【详解】解：由题意得， 将代入，得：， 解得， 故选：B． 【例3】（25-26八年级上·山西大同·月考）若是关于和的二元一次方程的解，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了已知二元一次方程的解求参数．将给定的解代入二元一次方程，通过求解一元一次方程得到的值，即可作答． 【详解】解：依题意，将代入方程，得， 即， 移项得， 解得， 故答案为 【例4】（25-26七年级上·河南驻马店·期中）小美把任意有理数对放进装有计算装置的魔术盒，会得到一个新的有理数．例如：把放入其中，就会得到．若将正整数对放入其中，得到的值是6，则满足条件的正整数对为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了方程的正整数解，熟练掌握魔术盒的运算规则并结合正整数的限制条件分析是解题的关键． 根据魔术盒的运算规则，输出值为 ，结合 、 为正整数的条件，列出方程 ，通过枚举 的可能值求解对应的 ，即可得到所有正整数对． 【详解】解：由魔术盒规则，得：，即． 因为、是正整数， 当时，，对应正整数对； 当时，，对应正整数对； 当时，，，不符合正整数条件． 故满足条件的正整数对为或． 故答案为：或 【核心考点三 判断是否是二元一次方程组】 【例1】（25-26七年级上·上海浦东新·期末）下列方程组中，属于二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的定义，理解掌握二元一次方程组的定义是解决本题的关键． 二元一次方程组需满足两个条件：含有两个未知数，且每个方程均为一次整式方程，据此求解即可． 【详解】解：选项A：第二个方程含，次数为2，不是二元一次方程组； 选项B：第二个方程，次数为2，不是二元一次方程组； 选项C：两个方程均为一次方程，是二元一次方程组． 选项D：第二个方程含，不是整式方程，不是二元一次方程组； 故选：C． 【例2】（24-25七年级下·广东广州·期末）在下列方程组：①，②，③，④中，是二元一次方程组的是（   ） A．①③ B．①④ C．①② D．只有① 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握二元一次方程组的定义是解题的关键． 分析各个方程组是否满足二元一次方程组的定义“1、只有两个未知数；2、未知数的项最高次数都应是一次；3、都是整式方程”，即可得到答案． 【详解】解：方程组①，④中符合二元一次方程组的定义，符合题意． 方程组②属于二元二次方程组，不符合题意． 方程组③中的第一个方程不是整式方程，不符合题意． 综上，符合条件的是①和④， 故选：B． 【例3】（2025八年级上·全国·专题练习）已知方程组是关于的二元一次方程组，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二元一次方程组，绝对值的意义，理解二元一次方程组的定义，熟练掌握绝对值的意义是解决问题的关键． 根据二元一次方程组的定义得，求出后进行验证，即可得出最终的值． 【详解】解：∵方程组是关于的二元一次方程组， ∴，即， 解得：， 当时，原方程组可转化为：，不符合二元一次方程组的定义，舍去； 当时，原方程组可转化为：，符合二元一次方程组的定义； 综上所述：的值为． 故答案为：． 【例4】（25-26七年级下·全国·课后作业）已知下列方程组： ①；②； ③；④ 其中， 是二元一次方程组．（填序号） 【答案】③ 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的定义，含有两个未知数，且每个含有未知数的项的次数都是1的整式方程是二元一次方程，两个二元一次方程组成的方程组是二元一次方程组，据此求解即可． 【详解】解：方程组①中，方程不是一次方程，故方程组①不是二元一次方程组； 方程组②中，一共有三个未知数，故方程组②不是二元一次方程组； 方程组③是二元一次方程组； 方程组④中，方程不是整式方程，故方程组④不是二元一次方程组； 故答案为：③． 【核心考点四 判断是否是二元一次方程组的解】 【例1】（25-26八年级上·山西运城·期中）在“班级原创数学题目”比赛中，四个数学小组设计出了四个方程组，其中以为解的二元一次方程组是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解，熟知一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解是解答此题的关键． 将代入各选项的方程组中，验证两个方程是否同时成立． 【详解】对于选项A：当时， ，成立； ，不成立． 故A不符合题意． 对于选项B：当时， ，成立； ，成立． 故B符合题意． 对于选项C：当时， ，不成立． 故C不符合题意． 对于选项D：当时， ，成立； ，不成立． 故D不符合题意． 因此，以为解的方程组是B． 故选B． 【例2】（25-26七年级上·湖北武汉·月考）下列表格中，表1中每对x，y的值都是方程的解，表2中每对x，y的值都是方程的解，所以方程组的解为（    ）． 表1 x 0 1 2 y 1 表2 x 0 1 16 y 1 11 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查方程组的解，掌握好方程的解的意义是关键． 通过对比表1和表2，找出一对同时满足两个方程的解，即该对解在表1和表2中均出现． 【详解】解： 表1中，当时，，满足方程； 表2中，当时，，满足方程； ∴方程组解为． 故选：C． 【例3】（2025·江苏无锡·一模）请写出一个解为的二元一次方程组 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．由，列出方程组即可． 【详解】 解：根据题意得：． 故答案为：（答案不唯一） 【例4】（24-25七年级下·全国·假期作业）下面三组数据： ①  ②  ③ 满足方程的是 ，满足方程的是 ，同时满足这两个方程的是 ．故二元一次方程组的解是 ．（填序号） 【答案】 ①②/②① ②③/③② ② ② 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．根据解的含义逐一进行检验即可． 【详解】解：将代入方程左边得：，右边，左边右边；是方程的解； 将代入方程左边得：，右边，左边右边；是方程的解； 将代入方程左边得：，右边，左边右边；不是方程的解； 故答案为：①② 将代入方程左边得：，右边，左边右边，不是方程的解； 将代入方程左边得：，右边，左边右边，是方程的解； 将代入方程左边得：，右边，左边右边；是方程的解； 故答案为：②③ 同时满足这两个方程的为， 则方程组的解为． 故答案为：②，② 【核心考点五 已知二元一次方程组的解求参数】 【例1】（25-26八年级上·四川达州·月考）方程组的解为，则被遮盖的前后两个数分别为（    ） A．1、2 B．1、5 C．5、1 D．2、4 【答案】C 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解．将代入方程，即可求得被遮盖的的数值；将方程组的解代入，即可求得该处被遮盖的数值． 【详解】解：将代入方程，得 ． 解得：． 所以，方程组的解为． 将代入，得 ． 所以，被遮盖的前后两个数分别为5、1． 故选：C． 【例2】（25-26八年级上·陕西渭南·月考）已知关于、的二元一次方程组的解为则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的解的应用，将方程组的解代入原方程，通过解方程求出未知参数是解题的关键． 将方程组的解代入原方程，先求出，再求即可判断． 【详解】∵ 方程组的解为 ， 代入 得： ， ∴ ， 代入 得：， ∴ ． 故选：A． 【例3】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知关于x，y的二元一次方程组的解为则的值是 ． 【答案】7 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解，正确进行计算是解题关键． 将方程组的解代入原方程组，得到关于和的方程，解出和的值，再计算的值即可． 【详解】解：将代入二元一次方程组，得 由方程②得：，解得 将代入方程①得：，解得 ∴解得： ∴． 故答案为：7． 【例4】（24-25七年级下·山东临沂·期末）在平面直角坐标系中，点经过变换得到点，该变换记为，其中（a，b为常数）．例如，当，且时，．若，当 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了新定义运算，解二元一次方程组．根据新定义运算和解二元一次方程组列式计算即可． 【详解】解：， ， 解得：， ， 故答案为：． 【核心考点六 二元一次方程的整数解】 【例1】（24-25七年级下·重庆·期中）我们把含有两个未知数的方程称为二元方程，一般情况下二元方程有无数多组解．定义：如果一个二元方程有一组解中未知数的取值都是整数，则称这个二元方程为整数解方程．下面的四个二元方程：；；；，其中整数解方程个数是（  ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据已知条件，运用特殊值法，得出方程有一组整数解即可说明这个方程有整数解． 【详解】解：， 当，， 正好符合要求，故符合题意； ， ，的系数为偶数，又因为它们是整数， 乘积一定也为偶数， 之和绝对不是奇数，故不符合题意； ， ，的系数为偶数， ，一定也为偶数， 与一定是奇数， 乘积绝对不是偶数，故不符合题意； ， 当，时，方程有整数解，故符合要求． 这个方程有整数解，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了非一次不定方程，有整数解的定义，以及特殊值法求方程的解，正确理解新概念是解题的关键． 【例2】（25-26八年级上·河北保定·月考）已知方程的一组整数解（均为整数）是，则的值可以是（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【分析】本题考查根据二元一次方程的解的情况求参数的值．根据题意得到，由和都是整数，得到是偶数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∵和都是整数， ∴是偶数， 观察四个选项，选项B符合题意， 故选：B． 【例3】（2025八年级上·湖南长沙·模拟预测）方程的整数解的个数是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了绝对值的非负性（即绝对值总是大于等于0），解答此题的关键是根据整数的特点可知两个绝对值内的式子都是整数，再结合绝对值的非负性进行分情况讨论即可． 【详解】 解：由题意得，x、y都是整数， 故可得、都为整数， 分四种情况讨论： ①， 解得：； ②， 解得：； ③， 解得：； ④， 解得：； 综上可得整数解为，，故有2组． 故答案为：2． 【例4】（24-25七年级下·山东威海·期中）已知x，y均为整数，按如下程序运算，输出结果为8．请写出满足条件的一对x，y的值 ．   【答案】（答案不唯一） 【分析】根据运算程序列出方程，取方程的一组整数解即可．此题考查了解二元一次方程，弄清题中的运算程序是解本题的关键． 【详解】解：依题意， ∵x，y均为整数， 当时，则， 解得 ∴是符合题意的； 故答案为：（答案不唯一）． 【变式训练1 二元一次方程的定义】 1．（2025八年级上·全国·专题练习）方程■是二元一次方程，■是被污染的x的系数，推断■的值（    ） A．不可能是 B．不可能是 C．不可能是3 D．不可能是2 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，正确把握定义是解答本题的关键．二元一次方程就是只含有两个未知数，并且未知数的次数是1的整式方程． 【详解】解：方程可化为， 根据题意，得， 则■的值一定不可能是2． 故选：D． 2．（25-26八年级上·陕西西安·月考）若是关于x，y的二元一次方程，则m的值是 ． 【答案】 -3 【分析】本题考查二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程．根据二元一次方程的定义，得且，解之即可． 【详解】解：∵是关于x，y的二元一次方程， ∴且， 由得或， 解得或， 又因为， 即， 所以， 故答案为：． 3．（2025八年级上·全国·专题练习）若是关于的二元一次方程，则（   ） A．        B． C．        D． 下面是马虎的解答，你认为他的解法正确吗？若不正确，请给出正确答案，并说明理由． 解：因为2025是关于的二元一次方程， 所以． 解得．故选A． 【答案】马虎的解法不正确．正确选项为D，见解析 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解答本题的关键．方程的两边都是整式，含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1次的方程叫做二元一次方程． 马虎的解法未考虑未知数的系数不能为0，故错误；根据二元一次方程的定义求解即可. 【详解】解：马虎的解法不正确．正确选项为D．理由如下： 因为是关于，的二元一次方程， 所以 解得 故选D． 4．（2025·安徽芜湖·模拟预测）某科创公司制造的产品采用内销和出口两种方式，今年第一季度的内销收入比去年第一季度增加，出口收入比去年第一季度增加． (1)设去年第一季度内销收入为万元，出口收入为万元，用含，的代数式表示今年第一季度的总收入为______万元； (2)若今年第一季度的总收入比去年增加，求的值． 【答案】(1) (2)． 【分析】本题主要考查了列代数式、二元一次方程的应用等知识点，根据题意、找出找等量关系、列出方程是解题的关键． （1）根据今年第一季度的总收入为出口收入与内销收入的和，据此列代数式即可解答； （2）根据今年第一季度的总收入比去年增加，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：今年第一季度的内销收入为，第一季度的出口收入为，所以今年第一季度的总收入为万元． 故答案为：． （2）解：去年第一季度的总收入为， 由题意可得：， 整理得：， 所以． 【变式训练2 二元一次方程的解】 1．（25-26七年级下·黑龙江七台河·期中）今年3月12日是我国第47个植树节，为了履行植树义务，共建美丽中国，秋实中学计划用300元购买A，B两种型号铁锹（两种均购买）参加植树活动，A种型号铁锹单价为8元，B种型号铁锹单价10元，则不同的购买方式有（  ） A．6种 B．7种 C．8种 D．9种 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程的正整数解，熟练掌握根据实际问题的数量关系列方程，并结合正整数条件确定方程的解是解题的关键．设购买A、B型铁锹的数量为未知数，根据总价列出方程，化简后结合正整数条件确定未知数的取值，进而得到购买方式的数量． 【详解】解：设购买A型铁锹把，B型铁锹把，则 ， 解得， ∵为正整数， ∴是5的倍数，即是5的倍数． 设（为正整数），代入得， 解得， ∵，， ∴， 解得． 为正整数， 可以取， 时，，； 时，，； 时，，； 时，，； 时，，； 时，，； 时，，． 共有7种购买方式． 故选：B． 2．（24-25七年级上·浙江温州·期中）如图，已知线段相交于点E，， 点P以1个单位长度/秒的速度由……不间断来回运动，同时点Q以相同的速度由……不间断来回运动，则它们第4次相遇所需的时间为 秒． 【答案】 【分析】此题考查二元一次方程的应用，解题关键是掌握求二元一次方程的整数解的方法． 求出点P第m次到点E需要秒，同理可得，点Q第n次到点E需要秒，当点P，点Q相遇时，，其中均为正整数，求出方程的第4组整数解即可得到答案． 【详解】解：根据题意可知，点P第1次到点E需要3秒， 第2次到点E需要秒， 第3次到点E需要秒， …… ∴点P第m次到点E需要秒， 同理可得，点Q第n次到点E需要秒， 点P，点Q相遇时，，其中均为正整数， ∴， 当时，P，Q第1次相遇， 当时，P，Q第2次相遇， 当时，P，Q第3次相遇， 当时，P，Q第4次相遇， 此时， ∴它们第4次相遇所需的时间为秒， 故答案为： 3．（24-25八年级上·陕西榆林·月考）某中学为了改造劳动实践基地，需要和两种规格的钢管．从建材市场购回一根长的钢管，将其截成长段，长段（均为整数），且没有剩余．应该怎么样截这一根钢管更好？ 【答案】截和长的钢管分别为4段和3段时，这样截这一根钢管更好 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用，根据和长的钢管的总长度等于，列方程即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ∴， ∵x，y都是正整数， ∴符合条件的解为：，，． 所以，截和长的钢管分别为4段和3段时，这样截这一根钢管更好． 4．（24-25八年级上·全国·月考）对于二元一次方程的任意一个解，给出如下定义：若，则称为方程的“和谐值”；若，则称或为方程的“和谐值”，此时的“和谐值”又称为“和谐平衡值”；若，则称为方程的“和谐值”. (1)当时，此方程的“和谐值”是_____，二元一次方程的“和谐平衡值”是_____； (2)若二元一次方程的“和谐值”为5，写出所有满足条件的方程的解； 【答案】(1)；或； (2)、； 【分析】本题考查了二元一次方程的解，理解“和谐值”和“和谐平衡值”的定义，利用分类讨论的思想解决问题是关键． （1）先求出当时，此方程的解，再根据“和谐值”的定义求解即可；根据“和谐平衡值”可得，再分两种情况分别求解即可； （2）根据“和谐值”的定义分四种情况讨论即可． 【详解】（1）解 ：当时，则， ， ，即， ， 当时，此方程的“和谐值”是； 二元一次方程有“和谐平衡值” ， ， 当时，，解得：； 当时，，解得：； 综上可知，二元一次方程的“和谐平衡值”是或， 故答案为：1；或； （2）解：若二元一次方程的“和谐值”为5， ①当时，，解得：， ， 5是二元一次方程的“和谐值”，符合题意，此时方程的解为； ②当时，，解得：， ， 5是二元一次方程的“和谐值”，符合题意，此时方程的解为； ③当时，，解得：， ， 4是二元一次方程的“和谐值”，不符合题意； ④当时，，解得：， ， 1是二元一次方程的“和谐值”，不符合题意； 综上可知，所有满足条件的方程的解为、； 【变式训练3 判断是否是二元一次方程组】 1．（24-25七年级下·上海松江·期末）下列方程组中，属于二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二元一次方程组的基本形式及特点进行判断，即①含有两个二元一次方程，②方程都为整式方程，③未知数的最高次数都为一次． 【详解】解：A、该方程组中的第二个方程的最高次数为2，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意； B、该方程组的第一个方程不是整式方程，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意； C、该方程组符合二元一次方程组的定义，故本选项符合题意； D、该方程组中含有3个未知数，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的判定，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的基本形式及特点． 2．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）已知关于x，y的二元一次方程的解如下表： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 8 6.5 5 3.5 2 0.5 … 已知关于x，y的二元一次方程的解如下表： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 2 … （1）仔细观察表中数据，直接写出关于，二元一次方程组的解为 ． （2）关于，的二元一次方程组的解为 ． 【答案】 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的解与系数的关系是解题的关键 （1）两个表格中的相同解即为方程组的解； （2）根据两个方程组的系数的关系即可求解． 【详解】解：（1）根据表格可知，当时，中，中， ∴关于，二元一次方程组的解为， 故答案为； （2）∵关于，二元一次方程组的解为， ∴关于，的二元一次方程组的解为， 解得， ∴关于，的二元一次方程组的解为， 故答案为． 3．（24-25七年级下·四川泸州·期中）判断下列方程组是否为二元一次方程组，并说明理由． (1) (2) 【答案】(1)是，理由见解析 (2)是，理由见解析 【分析】根据二元一次方程组的定义：两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程，叫二元一次方程组，即可进行解答． 【详解】（1）解：中含有2个未知数，并且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程， ∴该方程组符合二元一次方程组的定义，故它是二元一次方程组； （2）解：中含有2个未知数，并且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程， ∴该方程组符合二元一次方程组的定义，故它是二元一次方程组． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的定义，解题的关键是掌握：二元一次方程定义∶一个含有两个未知数，并且未知数的都指数是1的整式方程，叫二元一次方程．二元一次方程组定义∶两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程，叫二元一次方程组． 4．（24-25七年级·全国·假期作业）判断下列方程组是否为二元一次方程组，并说明理由． （1）；（2）；（3）；（4）；（5）． 【答案】见解析 【分析】根据二元一次方程组的定义可以判断． 【详解】解：（1）中含有3个未知数，所以它不是二元一次方程组； （2）中含有2个未知数，并且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，该方程组符合二元一次方程组的定义，故它们是二元一次方程组； （3）该方程组中一个方程的含有未知数的项的最高次数是2，所以它不是二元一次方程组； （4）该方程组中的一个方程不是整式方程，是分式方程，所以它不是二元一次方程组； （5）中含有2个未知数，并且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，该方程组符合二元一次方程组的定义，故它们是二元一次方程组． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义．一定要紧扣二元一次方程组的定义“由两个二元一次方程组成的方程组”，细心观察排除，得出正确答案． 【变式训练4 判断是否是二元一次方程组的解】 1．（24-25七年级下·浙江金华·月考）已知二元一次方程组的解是，则表示的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的解“一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解”，熟练掌握二元一次方程组的解的定义是解题关键． 先将方程组的解代入第一个方程可求出的值，从而可得这个方程组的解，再在四个选项中，找出满足这个解的方程即可得． 【详解】解：由题意，将代入方程得：，解得，所以这个方程组的解为， A、将代入得：，则此项不符合题意； B、将代入得：，则此项不符合题意； C、将代入得：，则此项不符合题意； D、将代入得：，则此项符合题意； 故选：D． 2．（24-25七年级下·安徽铜陵·期末）现有一条长度为359mm的铜管料，把它锯成长度分别为39mm和29mm的两种不同规格的小铜管，（要求没有余料）．每锯一次损耗1mm的铜管料．为了使铜管料损耗最少，应分别锯成39mm的小铜管 段，29mm的小铜管 段． 【答案】 6 4． 【分析】本题的等量关系是截39的铜管的钢管料+截29的铜管的钢管料+据这两种钢管时损耗的钢管料=359，列出方程，求出未知数，然后将各种方案的损耗算出来，得出损耗最少的方案． 【详解】设应分别锯成39的小铜管段、29的小铜管段， 则损耗的钢管料应是， 根据题意， 得， ， ∵、都必须是正整数， ∴， 或， ∴锯成4段39的小铜管、3段29的小铜管损耗最少， 故答案为：6；4． 【点睛】本题考查了列方程解实际问题的运用，解答时关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程，注意等量关系式是解题的关键． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知方程：①，②． (1)根据方程①填写下表： x 2 1 ______ ______ y ______ ______ 2 (2)根据方程②填写下表： x 3 ______ ______ y ______ ______ 2 (3)根据以上两表中的数据，直接写出方程组的解． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，解决本题的关键是要理解二元一次方程解的定义． （1）根据表格中x的值一一代入计算即可求出对应的y的值，表格中y的值一一代入计算即可求出对应的x的值； （2）根据表格中x的值一一代入计算即可求出对应的y的值，表格中y的值一一代入计算即可求出对应的x的值； （3）根据（1）（2）表格中的值找出满足方程①又满足方程②的公共解． 【详解】（1）解：填表如下： x 2 1 0 y 10 6 2 （2）解：填表如下： x 3 2 y 4 2 （3）解：根据表格可得方程组的解是． 4．（24-25八年级上·陕西西安·月考）已知下列三组数值：，， (1)哪几组数值是方程的解？ (2)哪几组数值是方程的解？ (3)哪几组数值是方程组的解？ 【答案】(1)和是是方程的解 (2)和是是方程的解 (3)是方程组的解 【分析】本题主要考查了二元一次方程和二元一次方程组的解，熟知二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，二元一次方程组的解是使方程组左右两边相等的未知数的值是解题的关键． （1）分别把三组值代入方程，计算出方程左边和右边的值，看是否相等即可； （2）同（1）求解即可； （3）根据（1）（2）所求同时满足是方程和方程的解即为方程组的解． 【详解】（1）解：把代入方程中可得方程左边，方程右边，方程左右两边不相等，则不是方程的解； 把代入方程中可得方程左边，方程右边，方程左右两边相等，则是方程的解； 把代入方程中可得方程左边，方程右边，方程左右两边相等，则是方程的解； 综上所述，和是是方程的解； （2）解：把代入方程中可得方程左边，方程左右两边相等，则是方程的解； 把代入方程中可得方程左边，方程左右两边相等，则是方程的解； 把代入方程中可得方程左边，方程左右两边不相等，则不是方程的解； 综上所述，和是是方程的解； （3）解；由（1）（2）得只有同时满足是方程和方程的解， ∴只有是方程组的解． 【变式训练5 已知二元一次方程组的解求参数】 1．（24-25八年级上·山西太原·月考）已知方程组的解为，则方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组解的定义和换元法，运用整体的思想是解题的关键． 通过换元法，将新方程组转化为原方程组的形式，利用已知解求解新变量即可． 【详解】解：新方程组为：， 令，，则新方程组变为：， 因为方程组的解为， 所以，即：，解得， 故新方程组的解为， 故选：A． 2．（24-25七年级下·江苏徐州·期末）若关于x、y的方程组的解是，求关于x、y的方程组的解．这个方程组的解应该是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组解的定义是解题的关键．先把新方程组变形为：，再根据关于x，y的方程组的解是，由此可得：，进而得出答案． 【详解】解：把新方程组变形为：， 关于x，y的方程组的解是， ， 解得： 故答案为： 3．（25-26八年级上·广东梅州·月考）甲、乙两人共同解关于x，y的方程组，甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，试求的值． 【答案】2 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解问题，根据题意可知，甲所得的方程组的解满足方程②，乙所得的方程组的解满足方程①，分别把甲、乙所得的方程组的解代入方程②和方程①中求出a、b的值即可得到答案． 【详解】解：甲看错了方程①中的 满足题中的方程②， ， 解得． 乙看错了方程②中的 满足题中的方程①， ， 解得． ． 4．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）已知关于x，y的方程组． (1)请直接写出方程的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求m的值； (3)方程总有一个公共解，请求出这个方程的公共解吗？ 【答案】(1)，；， (2) (3) 【分析】本题考查了二元一次方程的正整数解的确定，同解方程的含义，二元一次方程组的解法，二元一次方程的固定解，掌握以上知识是解题的关键． （1）把y看作已知数表示出y，进而确定出方程的正整数解即可． （2）由题意得：，解方程组求解x，y，再把x，y的值代入，从而可得答案． （3）方程变形后，确定出公共解即可． 【详解】（1）解：方程， 解得：， 当时，；，． （2）联立得：， 解得：， 代入得：， 解得：． （3）∵，即总有一个解， ∴方程的解与m无关， ∴，， 解得：，． 则方程的公共解为． 【变式训练6 二元一次方程的整数解】 1．（24-25七年级下·江西·期中）已知p为偶数，q为奇数，方程组的解是整数，那么（   ） A．x为奇数，y是偶数 B．x为偶数，y是奇数 C．x为偶数，y是偶数 D．x为奇数，y是奇数 【答案】B 【分析】此题考查的是解二元一次方程组和奇偶数的性质，根据奇偶数的性质一一验证即可得出答案． 【详解】解：．当x为奇数，y是偶数时，则p为奇数，q为奇数，与题干不符，故该选项不符合题意； ．当x为偶数，y是奇数时，则为偶数偶数偶数，为偶数奇数奇数，与题干符合，故该选项符合题意； ．当x为偶数，y是偶数时，则p为偶数，q为偶数，与题干不符，故该选项不符合题意； ．当x为奇数，y是奇数时，则为奇数偶数奇数，与题干不符，故该选项不符合题意； 故选：B． 2．（24-25七年级下·重庆九龙坡·月考）对任意的四位数，若千位数字与十位数字之和减去百位数字与个位数字之和的差等于9，将的千位数字和百位数字去掉后得到一个两位数，将的十位数字和个位数字去掉后得到一个两位数，记，若为整数，则称数为“重九数”， ．；若“重九数”（，，，，，，，为整数）是7的倍数，则满足条件的的最大值是 ． 【答案】 10 9891 【分析】根据“重九数”的定义即可求出； 根据“重九数”的定义可得，且，进而可求得，可得是9的倍数，若最大，则最大，则，进一步确定c、b、d的值即可得解． 【详解】解：由题意可得：时，， 所以； ∵“重九数”（，，，，，，，为整数）， ∴，且， ∴，且是9的倍数， ∵， ∴也是9的倍数， 若最大，则最大，则， ∵是9的倍数， ∴当时，， 当时，，此时9990不是7的倍数， 当时，，此时，符合题意； 即满足条件的的最大值是9891； 故答案为：10，9891． 【点睛】本题是新定义问题，主要考查数的整除和二元一次方程的整数解问题，正确理解“重九数”的定义、逐一确定相关数的范围和具体的数值是解题的关键． 3．（2025·安徽马鞍山·模拟预测）某数学兴趣小组在一次探究性学习中，研究了“寻找无数组整数x，y，使得”的问题，指导教师将学生的发现进行整理，设计了如下数表，部分信息如下： x … 5 11 （_______） … y … 1 （_______） … (1)观察表格，根据规律请在表格的横线上填空； (2)由上面的规律可知，若表中某一列的两个整数依次是m和n，这表中相邻的下一列的两个数分别是_______和_______（分别用m和n表示）； (3)有同学根据上面的探究得出结论“对于任何正整数k，都存在无数组整数m，n，使得成立”．请对该结论判断正误并简述理由． 【答案】(1)见解析 (2)， (3)结论正确，理由见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的解． （1）观察表格，找到规律，即可填空； （2）根据规律求解即可； （3）假设是方程的一个解，令，，代入求解即可证明结论正确． 【详解】（1）解：观察规律，x每次增加6，y每次减少5， 所以，填写表格如下： x … 5 11 17 … y … 1 … （2）解：根据规律知，这表中相邻的下一列的两个数分别是和； 故答案为：，； （3）解：结论正确，理由如下， 5和3的最大公约数为1，能被1整除， ∵1能整除任意正整数k， ∴必有整数解， 假设是方程的一个解， ∴， 对于任意整数，令，， 代入方程左边得，， ∴是方程的解， 由于整数有无数个， ∴方程有无数组整数解， 综上，对于任何正整数k，都存在无数组整数m，n，使得成立． 4．（24-25七年级下·广东深圳·期末）【阅读理解】 我们把形如（a、b均为整数，且．）的方程称为二元一次整系数方程．若，则可以用以下方法确定其正整数解的数量，例如．，则，∵，∴，∵y为正整数， 1，2，3，故原方程的正整数解有3个，分别为 ，，； 若，则可以用以下方法确定其正整数解的数量，例如，则 ，设（k为正整数），则 ，，，，故原方程的正整数解有1个，为 ． 【问题解决】 （1）结合上述内容，请直接写出的所有正整数解； （2）若关于x和y的二元一次方程有且只有一个正整数解，请求出m的值； 【应用迁移】 （3）假期临近，吴老师为表彰本学年积极参与班级活动的学生，委托采购小组购买奖品．组长小丽汇报称：“我们购买了两种类型的笔记本，其中A 类型笔记本7本，B类型笔记本12本，总计花费84元，由于未索取收银小票，因此暂不能确定两种笔记本的具体单价．”吴老师听后，敏锐地指出：两种类型笔记本的单价不可能同时为整数．请你结合上述内容分析吴老师的判断是否正确． 【答案】（1），  （2）  （3）吴老师的判断正确 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，解题的关键是理解题意，根据题意，找到解题思路. （1）根据题意, 可得, 根据均为正整数, 即可求解; （2）根据正整数解的解法计算即可； （3）设类型笔记本的单价为元，类型笔记本的单价为元，根据题意，可得根据均为正整数，即可求解. 【详解】（1）∵, ∴, ∵均为正整数, ∴，； （2）解：∵， ∵, ， 又∵ ∴, ∴, ∵二元一次方程有且只有一个正整数解， ∴； 设类型笔记本的单价为元，类型笔记本的单价为元，根据题意， 可得即， ∵均为正整数, 设（k为正整数），则 ， ， ， 不能为整数， 故原方程无正整数解． ∴吴老师的判断正确． 1．（24-25七年级下·河北承德·期末）下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，据此逐一判断即可得答案． 【详解】A、符合二元一次方程组的定义，故本选项正确； B、本方程组中含有3个未知数，故本选项错误； C、第一个方程式的xy是二次的，故本选项错误； D、x2是二次的，故本选项错误． 故选：A． 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的定义，掌握定义判断方程组是否是二元一次方程组是解题的关键. 2．（24-25七年级下·贵州黔西·期末）若是关于x，y的二元一次方程，则m的值为（   ） A．4 B．或2 C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程的定义，绝对值，二元一次方程中两个未知数的次数均为1，系数不能为0，由此可得且，通过计算即可得解． 【详解】解：由题意知且， 解得且， ， 故选：C． 3．（24-25七年级下·福建福州·期中）已知方程组的解是，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由整体换元思想可得，求出x，y的值即可． 【详解】解：∵方程组的解是， ∴方程组的解满足关系式， 解得，， 故选：C 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解与二元一次方程组的关系是解答此题的关键． 4．（24-25七年级下·湖北荆州·期末）为组织研学活动，王老师把班级里名学生计划分成若干小组，若每组只能是人或人，则分组方案共有（　　） A．2种 B．3种 C．8种 D．10种 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的解，熟悉掌握运算方法是解题的关键． 设人小组有组，人小组有组，列出方程求解即可． 【详解】设人小组有组，人小组有组，由题意可得：， ∵，为自然数， ∴，，， ∴有种分组方案， 故选：B． 5．（24-25七年级下·湖北黄石·期末）已知关于，的方程组①的解，比②相应的解，正好都小．则，的值分别为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，求出两个方程组的解是解题的关键．设方程组①的解为，则方程组②的解为，得到关于、的二元一次方程组，求出、的值，进而得到题中两个方程组的解，最后得到关于，的二元一次方程组，并解方程组即可求解． 【详解】解：设方程组①的解为，则方程组②的解为， ， 解得：， 是关于，的方程组①的解，是关于，的方程组的解， ， 解得：， 故选：C． 6．（24-25七年级下·北京昌平·月考）若方程是关于的二元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，只含有两个未知数，且含未知数的项的次数为1的整式方程叫做二元一次方程，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据二元一次方程的定义，据此得到，解之即可得到答案． 【详解】解：∵方程是关于的二元一次方程， ∴， 解①得：， 解②得：， ∴， 故答案为：； 7．（24-25七年级下·江苏南通·月考）解关于x，y的方程组时，可以用消去未知数x，也可以用消去未知数y，试求的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查解含参的二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键，根据题意可得到，解二元一次方程组即可得到的值，从而即可得到答案． 【详解】解：由题可得： 得：， ∵此时可以消去未知数， ∴， 得：， ∵此时可以消去未知数， ∴， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 8．（24-25七年级下·江苏·期末）小明只带2元和5元面值的人民币若干张，他要买一件29元的商品，若商店没有零钱找，那他付款时这两种面值的人民币共有 种不同的组合方式． 【答案】3 【分析】本题考查二元一次方程的解，求出满足条件的整数解是关键． 设元的人民币张，元的人民币张，列出二元一次方程，求出符合条件的解； 【详解】解：设元的人民币张，元的人民币张， 根据题意得：， ∵，都是正整数， ∴或，或，， 则他的付款方式有3种， 故答案为：3． 9．（24-25七年级下·全国·课后作业）把含有相同未知数的 个 联立在一起组成的方程组叫作二元一次方程组．我们把二元一次方程组中两个方程的 叫作二元一次方程组的解． 【答案】 两 二元一次方程 公共解 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的定义，二元一次方程组的解的定义，二元一次方程组是由两个含有相同未知数的二元一次方程组成的，且方程组的解是使二元一次方程组中两个方程都成立的未知数的值，据此可得答案． 【详解】解：把含有相同未知数的两个二元一次方程联立在一起组成的方程组叫作二元一次方程组．我们把二元一次方程组中两个方程的公共解叫作二元一次方程组的解． 故答案为：两；二元一次方程；公共解． 10．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）已知关于的二元一次方程的部分解如表，关于的二元一次方程的部分解如表，则关于的二元一次方程组的解是 ． 表 表2 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，根据二元一次方程组解的定义解答即可，掌握二元一次方程组解的定义是解题的关键． 【详解】解：由表可知，既是方程的解，又是方程的解， ∴二元一次方程组的解是， 故答案为：． 11．（2025七年级下·浙江·专题练习）判断下列方程组是否为二元一次方程组，并说明理由． (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1)该方程组不是二元一次方程组，理由见解析 (2)该方程组是二元一次方程组，理由见解析 (3)该方程组不是二元一次方程组，理由见解析 (4)该方程组不是二元一次方程组，理由见解析 (5)该方程组是二元一次方程组，理由见解析 (6)该方程组是二元一次方程组，理由见解析 【分析】（1）组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，据此作答即可． （2）组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，据此作答即可． （3）组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，据此作答即可． （4）组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，据此作答即可． （5）组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，据此作答即可． （6）组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，据此作答即可． 【详解】（1）中含有3个未知数，所以它不是二元一次方程组； （2）中含有2个未知数，并且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，该方程组符合二元一次方程组的定义，故它是二元一次方程组； （3）中一个方程的未知数的最高次数是2，所以它不是二元一次方程组； （4）中的一个方程不是整式方程，是分式方程，所以它不是二元一次方程组； （5）中含有2个未知数，并且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，该方程组符合二元一次方程组的定义，故它是二元一次方程组； （6）中含有2个未知数，并且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，该方程组符合二元一次方程组的定义，故它是二元一次方程组． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义，掌握二元一次方程组的定义是关键． 12．（24-25七年级下·全国·随堂练习）已知方程是关于，的二元一次方程，求，的值． 【答案】， 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，熟练掌握系数不等于且次数等于的知识点是解题关键． 根据二元一次方程的定义可得、项的系数不等于且次数等于从而得到关于、的不等式及方程，然后求解即可． 【详解】解：由题意，得， 解得或， 又， ， ，的值分别为，． 13．（25-26七年级上·全国·课后作业）有这样一道题：判断是不是二元一次方程组的解．小恒的解答过程：将代入方程中，等式成立，所以是该方程组的解．小恒的解答过程是否正确？若不正确，请说明理由． 【答案】小恒的解答过程是错误的，见解析 【分析】本题考查了解二元一次方程组，先明确二元一次方程组解的定义，在指出小恒的错误，最后将给定的解带入方程组的两个方程进行检验. 【详解】解：小恒的解答过程是错误的． 理由如下： 将代入方程中， 左边=，右边， 左边=右边； 将代入方程中， 左边=，右边=5. 左边≠右边； 不是方程组的解． 14．（24-25七年级下·山东德州·期末）关于x，y的二元一次方程均可以变形为的形式，其中a，b，c，均为常数且，，规定：方程的“关联系数”记为． (1)【探索发现】二元一次方程的“关联系数”为______． (2)【拓展应用】已知关于x，y的二元一次方程的“关联系数”为，若，为该方程的一组解，且均为正整数，求m，n的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组解的情况求参数，解题的关键是理解题意，熟练掌握解方程组的方法． （1）根据关联系数的定义进行解答即可； （2）根据关联系数的定义得出该二元一次方程为，把代入，得出，根据m、n均为正整数，求出结果即可； 【详解】（1）解：∵规定：方程的“关联系数”记为， ∴二元一次方程的“关联系数”为； 故答案为：； （2）解：∵关于x，y的二元一次方程的“关联系数”为， ∴二元一次方程为． ∵为该方程的一组解， ∴，即． ∵m，n均为正整数， ∴或 15．（24-25七年级下·北京怀柔·期末）我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系，系数和常数项经过一系列变形、运算就可以求出方程组的解．因此，在现代数学的高等代数学科将系数和常数项排成一个表的形式，规定：关于x，y的二元一次方程组可以写成矩阵的形式．例如：可以写成矩阵的形式． (1)填空：将写成矩阵形式为： ； (2)若矩阵所对应的方程组的解为，求a与b的值． 【答案】(1) (2)a，b的值分别是和1 【分析】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，理解题意，根据新定义解答问题是此题的关键． （1）将原方程组变形为，然后根据题意写出矩阵形式即可； （2）根据矩阵写出对应的方程组，然后把方程组的解代入，即可求出a、b的值． 【详解】（1）解：将方程组变形为， 所以，将写成矩阵形式为：， 故答案为：； （2）解：矩阵所对应的关于x，y的二元一次方程组为， ∵此方程组的解为 ∴将代入方程组得： 由①得； 由②得； 所以a，b的值分别是和1 学科网（北京）股份有限公司 $