精品解析：宁夏回族自治区银川市唐徕中学2026届高三上学期期末数学试题

银川市唐徕中学 2025~2026学年度第一学期期末考试 高三年级数学试卷 （考试时间：120分钟，满分：150分） 命题人： 教研组长 一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 集合的真子集个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 7 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】解一元二次不等式求解集合A，然后利用真子集个数结论求解即可. 【详解】不等式，即，所以， 由知，故其真子集个数为. 故选：C. 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的除法运算化简，再利用共轭复数、复数的模的概念运算. 【详解】因为，所以， 则，故. 故选：C 3. 若的展开式中，所有项的二项式系数之和为1024，则该展开式中的常数项为（ ） A. B. 45 C. D. 90 【答案】B 【解析】 【分析】根据二项式系数和求出n的值，即可求出展开式的通项公式，继而可求得展开式中的常数项. 【详解】由题意可知的展开式中，所有项的二项式系数之和为1024，故，则， 则展开式的通项公式为， 令，则，则该展开式中的常数项为. 故选：B 4. 下列结论中错误的是（ ） A. 在回归模型中，决定系数越大，则回归拟合的效果越好 B. 样本数据，，，的方差为8，则数据，，，的方差为2 C. 若随机变量服从正态分布，且，则 D. 具有线性相关关系的变量，，其经验回归方程为，若样本点中心为，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据决定系数的意义判断A选项；根据方差的性质判断B选项；利用正态曲线可判断C选项；利用经验回归方程过样本中心点计算D选项. 【详解】对于A选项，决定系数越大，回归模型的拟合效果越好，故A正确； 对于B选项，样本数据，，，的方差为8， 则数据，，，的方差为，故B正确； 对于C选项，随机变量服从正态分布，均值， 正态曲线的对称轴为， ，， 由对称性知，，，故C错误； 对于D选项，经验回归方程过样本中心点，将代入中得， ，解得，故D正确. 故选：C 5. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用和差倍角的余弦公式进行求解计算即可. 【详解】因为，所以，又， 所以，所以. 故选：C. 6. 正数满足，，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用基本不等式求出的最小值，将问题转化为对任意实数x恒有求解. 【详解】正数满足，， 故， 当且仅当，即时等号成立， 不等式对任意实数x恒成立， 则对任意实数x恒有， 对任意实数x恒成立， 对任意实数x恒成立， 又， ，即实数的取值范围是， 故选：A 7. 已知直线，圆，点在直线上运动，是圆上一动点，点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先作出关于的对称点，然后根据结合三点共线求解出最小值. 【详解】圆的圆心，半径， 关于的对称点为， 所以， 当且仅当共线时且位于线段之间时取等号， 所以的最小值为， 故选：A. 8. 定义在R上的奇函数，满足，且当时，不等式恒成立，则函数的零点的个数为（    ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据题干不等式，构造函数，根据函数导数判断函数单调性，画出函数图像，根据基本初等函数图像性质，以及函数零点和函数图像交点之间的关系，判断结果即可. 【详解】设函数，则， 可知当时，不等式恒成立，即恒成立， 所以当时，，在上单调递增， 因为是R上的奇函数，即， 可得，所以函数是R上的偶函数， 所以在上单调递减， 因为，，所以， 函数的零点的个数，即方程的解的个数， 即函数和函数图像交点的个数，在坐标系中作出函数大致图像，如下图所示， 由图像可知，函数和函数图像有3个交点，所以函数的零点的个数为3. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 设函数，则下列结论正确的有（ ） A. 的最小正周期是 B. 的图象关于点对称 C. 的图象过点 D. 的图象的对称轴是， 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用辅助角公式、正弦和余弦的二倍角公式把函数的解析式化成正弦型函数解析式形式，再结合正弦型函数的最小正周期公式、对称性、特殊角的正弦值逐一判断即可. 【详解】 . A：的最小正周期是，所以本选项结论正确； B：因为， 所以的图象关于点对称，因此本选项结论不正确； C：因为， 所以本选项结论正确； D：令， 所以本选项结论正确， 故选：ACD 10. 已知向量，则下列结论正确的是（    ） A. B. 的单位向量为 C. 若，则实数的值为 D. 若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，利用向量的模的坐标公式计算即得；对于B，利用单位向量的定义计算可判断；对于C，利用向量共线的坐标表示列方程求解判断；对于D，利用两向量夹角为锐角的充要条件列方程组求解可判断. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，与共线的单位向量，故B错误； 对于C，因，则， ，由可得， 解得，故C正确； 对于D，因，则， 由与的夹角为锐角，可得：，解得且，故D错误. 故选：AC. 11. 已知正四棱锥的底面边长为1，高为，该正四棱锥的顶点在正方体的内部（包括表面），则下列结论正确的是（ ） A. 的取值范围是 B. 若正四棱锥的侧棱长为，则 C. 当点为正方体的上底面的中心时，正四棱锥外接球的表面积为 D. 当点为正方体的内切球球心时，正方体的内切球与正四棱锥的公共部分的体积为 【答案】CD 【解析】 【分析】设正方形和正方形的中心分别为，当在线段（不含端点）上，即可判断A；根据勾股定理即可判断B；设正四棱锥的外接球球心为，半径为，则点在上，连接，根据勾股定理求得，由球的表面积公式即可判断C；当为正方体的内切球球心时，此时正方体被分割为6个与四棱锥相同的四棱锥，正方体的内切球与正四棱锥的公共部分的体积为内切球体积的，根据球体积公式即可判断D． 【详解】对于A，设正方形和正方形的中心分别为， 因为正四棱锥的底面边长为1，高为， 该正四棱锥的顶点P在正方体的内部（包括表面）， 所以当在线段（不含端点）上，此时，故A错误； 对于B，如图，在中，，故B错误； 对于C，设正四棱锥的外接球球心为，半径为，则点在上，连接， 在中，， 则，解得， 所以正四棱锥的外接球表面积，故C正确； 对于D，当为正方体的内切球球心时， 此时正方体被分割为6个与四棱锥相同的四棱锥， 所以正方体的内切球与正四棱锥的公共部分的体积为内切球体积的， 所以公共部分的体积为，故D正确； 故选：CD． 三、填空题：本题包括3小题，每小题5分，共计15分． 12. 已知函数是上的减函数，则的取值范围是_______ 【答案】 【解析】 【分析】设，.由题可得在上单调递减，在上单调递减，且，据此可得答案. 【详解】设，. 因在R上单调递减，则在上单调递减，在上单调递减，， 即. 故答案为：. 13. 如图，在中，已知点在边上，，，则的长为_______. 【答案】 【解析】 【分析】直接利用诱导公式和余弦定理及解直角三角形知识的应用求出结果． 【详解】中，已知点在边上，，， 则， 又因为， 所以， 在中，， 即，在直角三角形中， 得. 故答案为： 14. 设，分别为双曲线的左、右焦点，过且斜率为的直线l与双曲线C的左支交于点A，与双曲线C的右支交于点B，点D满足，，则双曲线C的离心率为______. 【答案】## 【解析】 【分析】通过向量条件确定点的位置及垂直关系，结合直线与双曲线联立后的韦达定理，建立、、的关系，进而求得离心率. 【详解】设，，直线的方程为. 设，，由，得为的中点，故. 由，得，即. 因，故，即， 化简得. 将，代入上式， 得， 解得，则. 将直线与双曲线联立：， 整理得. 由韦达定理，，约去得， 化简得，即，得. 此时，即渐近线的斜率大于直线的斜率， 直线与双曲线左右两支相交，符合题意. 因，代入得，化简得， 故离心率. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知是等差数列，是等比数列，且，，，． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据和的值求出等比数列的通项公式，再利用，求出等差数列的通项公式. （2）求出的通项公式，结合等差数列的前项和公式及等比数列的前项和公式求解即可. 【小问1详解】 等比数列的公比， 所以，. 设等差数列的公差为，因为，， 所以，解得. 所以. 等差数列的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）知，. 所以， 故数列的前项和为. 16. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，，为上一点，且． （1）求的标准方程； （2）直线与交于、两点，若，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意求出的值，结合的值，可得出的值，由此可得出椭圆的标准方程； （2）设点、，将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，结合弦长公式可得出关于的等式，解之即可. 【小问1详解】 由椭圆的定义可得，可得， 又因为，所以，故， 因此椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 设点、， 联立可得， ， 由韦达定理可得，， 所以 ，解得. 17. 甲、乙两位学生进行答题比赛，每局只有1道题目，比赛时甲、乙同时回答这一个问题，若一人答对且另一人答错，则答对者获得10分，答错者得分；若两人都答对或都答错，则两人均得0分．根据以往答题经验，每道题甲答对的概率为，乙答对的概率为，且甲、乙答对与否互不影响，每次答题的结果也互不影响． （1）求在一局比赛中，甲得10分的概率； （2）设这次比赛共有4局，设为甲得0分的次数，求的分布列和数学期望； （3）设这次比赛共有3局，若比赛结束时，累计得分为正者最终获胜，求甲最终获胜的概率． 【答案】（1） （2） 的分布列为： 0 1 2 3 4 ，2 （3） 【解析】 【分析】（1）借助独立事件概率乘法公式计算即可得； （2）利用互斥事件的概率加法公式可得一局比赛中甲得0分的概率，再求出的所有可能取值及其对应概率，即可得其分布列，利用二项分布期望公式即可得其期望； （3）列出甲最终获胜的所有可能情况及其对应概率即可得. 【小问1详解】 设表示在一局比赛中甲得分，则“”表示甲答对且乙答错的情况， 根据独立事件概率乘法公式，可得； 【小问2详解】 包含两种情况：甲、乙都答对或甲、乙都答错， 甲、乙都答对的概率为， 甲、乙都答错的概率为， 根据互斥事件的概率加法公式，可得， 因为每局比赛甲得分的概率为，且每次答题的结果互不影响，所以. 则， ， ， ， ， 则的分布列为： 0 1 2 3 4 则的数学期望； 【小问3详解】 甲最终获胜有以下四种情况： ① 三局都得10分，其概率为， ② 两局得10分，一局得分，其概率为， ③ 两局得10分，一局得分，其概率为， ④ 一局得10分，两局得分，其概率为， 综上可得，甲最终获胜的概率为. 18. 如图所示，在四棱锥中，侧面平面ABCD，是边长为2的等边三角形，底面ABCD为直角梯形，其中． （1）求证：； （2）求线段PA中点M到平面PCD的距离； （3）线段PD上是否存在一点E，使得平面EAC与平面DAC夹角的余弦值为，若存在求出的值，若不存在请说明理由． 【答案】（1） 取的中点，连接，， 为等边三角形，， 又平面平面，平面平面， 平面，又平面， ，又， ，平面， 所以平面，又平面, 所以； （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，，通过平面，即可求证 ； （2）建系，由点到面的距离公式即可求解； （3）假设存在点使得命题成立，得出点坐标及相关向量坐标，利用垂直关系求出平面法向量，利用向量夹角余弦公式构造方程求出，进而得出的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）以为坐标原点，直线，，分别为，，轴建立下图所示空间直角坐标系， 是边长为2的等边三角形，， ，则，，，，， ，，设平面的法向量为， ，，即，令，则， 又， 到平面的距离． 【小问3详解】 假设线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为， 则， ，， 设平面的法向量为， ，，， ， 令，则， 又平面的法向量为， ， 化简得，解得或，又，，（舍去）， 存在点，此时． 19. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）设函数， （ⅰ）设为的极值点，证明：； （ⅱ）证明：对于任意正实数，，都有. 【答案】（1） （2）（ⅰ），显然单调递减， ∵，， ∴存在，使得，即， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， ∴为的极大值点，， ∵函数在区间上单调递增，∴， ∴； （ⅱ），易知单调递增， 令，即，即， 易知在区间上单调递减，在区间上单调递增， ∴的最小值为， 由（ⅰ）可知，的最大值为，且， 由于函数为增函数，∴， 对于任意正实数，，都有 ， ∵，∴，， ∴， ∴对于任意正实数，，都有. 【解析】 【分析】（1）根据导数几何意义、结合直线的点斜式方程、导数的运算法则进行求解即可； （2）（ⅰ）根据极值点的定义，结合函数零点存在原理、对勾函数的单调性进行求解即可； （ⅱ）利用导数判断函数的单调性，结合任意性的定义、函数的最大值进行求解即可. 【小问1详解】 ，，， ∴曲线在点处的切线方程为， 即； 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 银川市唐徕中学 2025~2026学年度第一学期期末考试 高三年级数学试卷 （考试时间：120分钟，满分：150分） 命题人： 教研组长 一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 集合的真子集个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 7 D. 15 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 5 3. 若的展开式中，所有项的二项式系数之和为1024，则该展开式中的常数项为（ ） A. B. 45 C. D. 90 4. 下列结论中错误的是（ ） A. 在回归模型中，决定系数越大，则回归拟合的效果越好 B. 样本数据，，，的方差为8，则数据，，，的方差为2 C. 若随机变量服从正态分布，且，则 D. 具有线性相关关系的变量，，其经验回归方程为，若样本点中心为，则 5. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 正数满足，，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线，圆，点在直线上运动，是圆上一动点，点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 定义在R上的奇函数，满足，且当时，不等式恒成立，则函数的零点的个数为（    ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 设函数，则下列结论正确的有（ ） A. 的最小正周期是 B. 的图象关于点对称 C. 的图象过点 D. 的图象的对称轴是， 10. 已知向量，则下列结论正确的是（    ） A. B. 的单位向量为 C. 若，则实数的值为 D. 若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 11. 已知正四棱锥的底面边长为1，高为，该正四棱锥的顶点在正方体的内部（包括表面），则下列结论正确的是（ ） A. 的取值范围是 B. 若正四棱锥的侧棱长为，则 C. 当点为正方体的上底面的中心时，正四棱锥外接球的表面积为 D. 当点为正方体的内切球球心时，正方体的内切球与正四棱锥的公共部分的体积为 三、填空题：本题包括3小题，每小题5分，共计15分． 12. 已知函数是上的减函数，则的取值范围是_______ 13. 如图，在中，已知点在边上，，，则的长为_______. 14. 设，分别为双曲线的左、右焦点，过且斜率为的直线l与双曲线C的左支交于点A，与双曲线C的右支交于点B，点D满足，，则双曲线C的离心率为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知是等差数列，是等比数列，且，，，． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 16. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，，为上一点，且． （1）求的标准方程； （2）直线与交于、两点，若，求． 17. 甲、乙两位学生进行答题比赛，每局只有1道题目，比赛时甲、乙同时回答这一个问题，若一人答对且另一人答错，则答对者获得10分，答错者得分；若两人都答对或都答错，则两人均得0分．根据以往答题经验，每道题甲答对的概率为，乙答对的概率为，且甲、乙答对与否互不影响，每次答题的结果也互不影响． （1）求在一局比赛中，甲得10分的概率； （2）设这次比赛共有4局，设为甲得0分的次数，求的分布列和数学期望； （3）设这次比赛共有3局，若比赛结束时，累计得分为正者最终获胜，求甲最终获胜的概率． 18. 如图所示，在四棱锥中，侧面平面ABCD，是边长为2的等边三角形，底面ABCD为直角梯形，其中． （1）求证：； （2）求线段PA中点M到平面PCD的距离； （3）线段PD上是否存在一点E，使得平面EAC与平面DAC夹角的余弦值为，若存在求出的值，若不存在请说明理由． 19. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）设函数， （ⅰ）设为的极值点，证明：； （ⅱ）证明：对于任意正实数，，都有. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $