精品解析：湖南省衡阳市衡南县2025--2026学年上学期期末教学质量检测八年级数学试卷

湖南省衡阳市衡南县2025--2026学年上学期期末 教学质量检测八年级数学试卷 时量：120分钟 满分：120分 考生注意：请考生把答案写在答题卡的相应位置上，交卷时只交答题卡． 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列实数中，是无理数的是（     ） A. B. 0.1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：①π类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③具有特殊结构的数，如0.1010010001…（两个1之间依次增加1个0），0.2121121112…（两个2之间依次增加1个1）． 【详解】解：，0.1，是有理数， 是无理数． 故选D． 2. 下列命题中，是真命题的是（　　） A. 的算术平方根是4 B. 9的立方根是3 C. 有一个角是的三角形为等边三角形 D. 全等三角形的面积相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了判断命题真假，涉及算术平方根、立方根、等边三角形的判定、全等三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据算术平方根、立方根、等边三角形的判定、全等三角形的性质，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A、，4的算术平方根是2，故此选项是假命题，不符合题意； B、9的立方根是，故此选项是假命题，不符合题意； C、有一个角是的三角形不一定为等边三角形，故此选项是假命题，不符合题意； D、全等三角形的面积相等，故此选项是真命题，符合题意； 故选：D． 3. 如图，已知，若 ，，则 的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键；由题意易得 ，然后问题可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∵ ， ∴； 故选A． 4. 计算的结果为（ ） A. 1 B. 2025 C. 2024 D. 4049 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的运用，直接利用平方差公式分解计算即可． 【详解】解： ． 故选：D． 5. 在 中，的对边分别记为a，b，c，由下列哪个条件能判定 不是直角三角形（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，通过三角形内角和定理与勾股定理判断各选项是否能判定直角三角形． 【详解】解：选项A：∵, 且，∴，，能判定； 选项B：设, 则， ∵，∴不满足勾股定理, 能判定其不是直角三角形； 选项C：∵，∴，满足勾股定理， 能判定； 选项D：设，则，能判定． 故选：B． 6. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是幂的乘方、积的乘方、同底数幂相乘及合并同类项，熟知以上知识是解题的关键．分别根据同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方法则对各选项进行逐一计算即可． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，正确，符合题意； C、与不是同类项，不能合并，不符合题意； D、，原计算错误，不符合题意． 故选：B． 7. 设a，b，c是三角形的三边，则多项式的值（ ） A. 等于0 B. 大于0 C. 小于0 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】先将原式进行因式分解可得，然后根据三角形的三边关系可得，即可求解． 【详解】解： ， ∵a，b，c是三角形的三边， ∴， ∴， ∴， 故选：C 【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，三角形的三边关系，熟练掌握多项式的因式分解的方法，三角形的三边关系是解题的关键． 8. 如图，在 中，，，直线垂直平分 ，垂足为 ，交 于点 ，则 的周长是（ ） A. 12 B. 15 C. 10 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查中垂线性质：中垂线上一点到线段两端点距离相等．将所求周长转化为 的和即可． 根据据垂直平分线的性质得 ，进而可把△ABD周长转化为 求解． 【详解】解：∵垂直平分 ， ∴ ． ∴ 的周长 ． 故选A． 9. 如图，已知，增加下列条件：①；②；③ ；④．其中能使的条件有（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，掌握边边边，边角边，角边角，角角边的判定方法是关键． 根据全等三角形的判定方法逐一验证即可． 【详解】解：∵ ， ∴，即 ，且， 添加①，运用边角边可判定； 添加②，不能运用边边角判定； 添加③ ，运用角边角判定； 添加④，不能判定． 综上所述，可以使的有①③，共2个， 故选：C． 10. 大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1）．某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2： 为等边三角形， 、、围成的也是等边三角形．已知点 、 、 分别是、、 的中点，若 的面积为14，则的面积是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】连接，由题意知，再由点 、 、 分别是、、 的中点，可得，，即可得出即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： 点 、 、 分别是、、 的中点， ，， 为等边三角形，也是等边三角形， ， ， 是的一个外角， ， 是的一个外角， ， ， 在和中， ， ， 同理，可得， ， ， ， ， ，解得， 故选：B． 【点睛】本题考查求三角形面积，涉及等边三角形的性质，中点性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角性质，正确作出辅助线，得出是解题的关键． 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 16的平方根是________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵， ∴ 的平方根是. 12. 已知等腰三角形的两边长分别为，，则等腰三角形的周长为_______． 【答案】25 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义、三角形三边关系的应用，熟练掌握三角形任意两边之和大于第三边是解题的关键．根据等腰三角形的定义，分两种情况讨论，再结合三角形三边关系即可求解． 【详解】解：若等腰三角形的边长分别为，，， 因为， 所以，，不能构成三角形，不合题意，舍去； 若等腰三角形的边长分别为，，， 因为， 所以， ，能构成三角形， 此时等腰三角形的周长为； 综上所述，等腰三角形的周长为． 故答案为：25． 13. 已知，则__________． 【答案】##2.25 【解析】 【分析】本题考查了因式分解以及整体代入求值，将原式因式分解是解决本题的关键． 先将原式进行因式分解，再由题目已知整体代入求解即可． 【详解】解：， ∵， ∴上式． 故答案为： ． 14. 如图，等腰三角形ABC的底边长为16，底边上的高AD长为6，则腰AB的长度为_____． 【答案】10 【解析】 【分析】根据等腰三角形三线合一可知，BD=CD，再利用勾股定理即可解答. 【详解】∵AD是等腰三角形ABC的底边上的高 ∴BD=CD=8 由勾股定理得： 故答案为10 【点睛】本题考查等腰三角形三线合一以及勾股定理的应用，熟练掌握以上两个知识点是解题关键. 15. 一个无盖的圆柱形杯子的展开图如图所示，现将一根长18cm的吸管放在杯子中，则吸管露在杯子外面的部分至少有 __cm． 【答案】3 【解析】 【分析】根据题意直接利用勾股定理得出杯子内的筷子长度，进而得出答案． 【详解】解：由题意可得： 杯子内的筷子长度为：=15， 则筷子露在杯子外面的筷子长度为：18﹣15＝3（cm）． 故答案为：3． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出杯子内筷子的长是解决问题的关键． 16. 如图，在等边中，平分分别为上的一点，且，若当 时，则的最小值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，合理作出辅助线是关键． 如图所示，过点作，使，连接，证明，当点三点共线时，取最小值 ，可证是等腰直角三角形，即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形，平分， ∴， ， 如图所示，过点作，使，连接， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴， ∴当点三点共线时，取最小值 ， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴的最小值为， 故答案为： ． 三、解答题（本大题8小题，共72分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的加减，幂的乘方， 先根据幂的乘方法则计算，再合并同类项即可． 【详解】解：原式． 18. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式除以单项式，根据多项式除以单项式的计算法则求解即可． 【详解】解： ． 19. 已知的平方根是，的算术平方根是4，求： （1）a、b的值． （2）求的立方根． 【答案】（1）； （2）3． 【解析】 【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根的意义，熟练掌握定义是解答本题的关键． （1）根平方根、算术平方根的意义可以求得a、b的值； （2）先求出的值，再求的立方根即可． 【小问1详解】 解：∵的平方根是， ∴，解得． ∵的算术平方根是4， ∴， 解得， 【小问2详解】 ∵ ∴． ∴的立方根为3． 20. 如图，且 ， ． （1）求证： ； （2）若，，求 的长度． 【答案】（1） 证明：∵， ， 在 和 中， ， ； （2）4 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质； （1）先由平行线的性质可得 ，最后再利用证明 即可； （2）由全等三角形的性质可得 ， ，从而即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可得： ， ， ， ∵，， ， ， ． 21. （深度求索）是一款人工智能模型，该制作团队为了解用户对此模型的体验感设计了调查问卷，用户对调查问卷中的四个选项进行单项选择且调查问卷均有效．团队从所有的调查问卷中抽取了部分调查问卷绘制成如图所示不完整的统计图．设定选项A为“功能建议”，选项B为“界面优化”，选项C为“报告”，选项D为“其他反馈”． 请你根据图中提供的信息，解答下列问题． （1）抽取的调查问卷共______份，______； （2）补全条形统计图； （3）求扇形统计图中选项A“功能建议”对应扇形的圆心角度数． 【答案】（1）200；10 （2）见详解 （3） 【解析】 【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，根据统计图得到信息是解题的关键． （1）用选项A的问卷份数除以所占的比例求出抽取的调查问卷的总份数，再求出选项D所占的比例即可； （2）由（1）知抽取的调查问卷共 份，进而选项C的问卷份数，补全条形图即可； （3）用乘以选项A所占的比例进行求解即可． 【小问1详解】 解：由统计图可知：选项A有70份，占抽取调查问卷的， 因此，抽取的调查问卷共 份， 选项D有20份，则， 故答案为：200，10； 【小问2详解】 解：由（1）知，抽取的调查问卷共 份，则选项B有份， 则条形统计图为： 【小问3详解】 解： ， 因此，扇形统计图中选项A“功能建议”对应扇形的圆心角度数为 ． 22. 如图， 和均为等边三角形，当旋转至点， ， 在同一直线上时，连接． （1）求 的度数． （2）当时，并且，求等边的边长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理．熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键． (1)根据等边三角形的性质可证，，利用可证，根据全等三角形的性质可证，根据角之间的关系可得； (2)根据等边三角形的性质可知，当时，，由(1)可知，根据三角形内角和定理可得，根据等角对等边可知的边长为 ． 【小问1详解】 解： 和均为等边三角形， ，，， ，， ， 在和 中， ， ， ， ； 【小问2详解】 解： ， ， 是等边三角形， ， 由(1)可知， ， ， ， 的边长为 ． 23. 我市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为300km和400km，且 km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域． （1）求证：； （2）海港C受台风影响吗？为什么？ （3）若台风的速度为40km/h，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】（1）见解析 （2）海港C受台风影响，理由见解析 （3）3.5h 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理，即可求解； （2）过点C作于D．根据直角三角形的面积，可得，即可求解； （3）在线段AB上取点E，F，使km，km，则台风中心在线段EF上时正好影响C港口．根据等腰三角形的性质可得ED=FD，然后根据勾股定理可得，从而得到km，即可求解． 【小问1详解】 解：∵km，km， km， ∴． ∴ 是直角三角形， ∴； 【小问2详解】 解：海港C受台风影响．理由如下： 如图，过点C作于D． ∵， ∴． ∵， ∴海港C受到台风影响． 【小问3详解】 解：如图，在线段AB上取点E，F，使km，km，则台风中心在线段EF上时正好影响C港口． ∴EC=FC， ∵CD⊥AB， ∴ED=FD， 在中，由勾股定理得： ， ∴km， ∵台风的速度为40km/h， ∴． ∴台风影响该海港持续的时间为3.5h ． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，勾股定理的实际应用，等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理的逆定理，正确构造直角三角形是解题的关键． 24. 【教材再现】 （1）期中复习期间，数学老师沈老师将教材42页例5复印下来，请你再一次完成证明． 如图1，，，垂足分别为， ，，求证：． 【变式拓展】 （2）沈老师改变（1）中的条件和图形，提出下面的问题，请你解答． 如图2， 是等腰直角三角形， ，， 为 中点， 交 延长线于点 ，于 ．求证：． 【学以致用】 （3）在（2）的条件下，如图3，作关于直线 成轴对称的，连接，若求的面积． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）证明 ，再利用斜边直角边证明即可得到结论； （2）如图，连接 ，作交于点 ．证明，可得 ，再证明，可得是等腰直角三角形．再证明，从而可得结论； （3）如图，取中点 ，连接．证明，． 求解．再证明，可得，由（2）得，可得，再利用面积公式可得答案． 【详解】（1）证明：，， ， 在 和中， ， ， ． （2）证明：如图，连接 ，作交于点 ． 交 延长线于 ， ， ． ∵ 为 中点， ， ， ． ， ， ， ． ， 又， ． ，即． ， ， ，． 是等腰直角三角形． ， ， ， ． ， ． 又， ， ， ． （3）如图，取中点 ，连接． 与关于直线 成轴对称， ， ，． 由（2）得， ， ， ． 为中点， ， ， ， ． 为等腰直角三角形， ， ，即． 在与中， ， ， ，． ， 由（2）得， ． ， ． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，本题难度较大，作出合适的辅助线构建全等三角形是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省衡阳市衡南县2025--2026学年上学期期末 教学质量检测八年级数学试卷 时量：120分钟 满分：120分 考生注意：请考生把答案写在答题卡的相应位置上，交卷时只交答题卡． 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列实数中，是无理数的是（     ） A. B. 0.1 C. D. 2. 下列命题中，是真命题的是（　　） A. 的算术平方根是4 B. 9的立方根是3 C. 有一个角是的三角形为等边三角形 D. 全等三角形的面积相等 3. 如图，已知，若 ，，则 的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 计算的结果为（ ） A. 1 B. 2025 C. 2024 D. 4049 5. 在 中，的对边分别记为a，b，c，由下列哪个条件能判定 不是直角三角形（ ） A. B. C. D. 6. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 设a，b，c是三角形的三边，则多项式的值（ ） A. 等于0 B. 大于0 C. 小于0 D. 无法确定 8. 如图，在 中，，，直线垂直平分 ，垂足为 ，交 于点，则 的周长是（ ） A. 12 B. 15 C. 10 D. 7 9. 如图，已知，增加下列条件：①；②；③ ；④．其中能使的条件有（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 10. 大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1）．某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2： 为等边三角形， 、、围成的也是等边三角形．已知点、 、 分别是、、 的中点，若 的面积为14，则的面积是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 16的平方根是________． 12. 已知等腰三角形的两边长分别为，，则等腰三角形的周长为_______． 13. 已知，则__________． 14. 如图，等腰三角形ABC的底边长为16，底边上的高AD长为6，则腰AB的长度为_____． 15. 一个无盖的圆柱形杯子的展开图如图所示，现将一根长18cm的吸管放在杯子中，则吸管露在杯子外面的部分至少有 __cm． 16. 如图，在等边中，平分分别为上的一点，且，若当 时，则的最小值为____________． 三、解答题（本大题8小题，共72分） 17. 计算：． 18. 计算：． 19. 已知的平方根是，的算术平方根是4，求： （1）a、b的值． （2）求的立方根． 20. 如图，且 ， ． （1）求证： ； （2）若，，求 的长度． 21. （深度求索）是一款人工智能模型，该制作团队为了解用户对此模型的体验感设计了调查问卷，用户对调查问卷中的四个选项进行单项选择且调查问卷均有效．团队从所有的调查问卷中抽取了部分调查问卷绘制成如图所示不完整的统计图．设定选项A为“功能建议”，选项B为“界面优化”，选项C为“报告”，选项D为“其他反馈”． 请你根据图中提供的信息，解答下列问题． （1）抽取的调查问卷共______份，______； （2）补全条形统计图； （3）求扇形统计图中选项A“功能建议”对应扇形的圆心角度数． 22. 如图， 和均为等边三角形，当旋转至点，， 在同一直线上时，连接． （1）求 的度数． （2）当时，并且，求等边的边长． 23. 我市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为300km和400km，且 km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域． （1）求证：； （2）海港C受台风影响吗？为什么？ （3）若台风的速度为40km/h，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 24. 【教材再现】 （1）期中复习期间，数学老师沈老师将教材42页例5复印下来，请你再一次完成证明． 如图1，，，垂足分别为，，，求证：． 【变式拓展】 （2）沈老师改变（1）中的条件和图形，提出下面的问题，请你解答． 如图2， 是等腰直角三角形， ，，为 中点， 交 延长线于点 ，于 ．求证：． 【学以致用】 （3）在（2）的条件下，如图3，作关于直线 成轴对称的，连接，若求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $