精品解析：重庆南开中学2025-2026学年七年级上学期数学期末试卷

重庆南开中学2025-2026学年度（上）期末考试初2028届 数学试题 一、选择题：（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列各数中，的倒数是（） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查倒数，根据倒数的定义，乘积为1的两个数互为倒数求解即可． 【详解】解：∵， ∴的倒数是2． 故选：A． 2. 五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从正面看到的图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，理解题意是解决本题的关键． 由图可得，从正面观察几何体即可． 【详解】解：由图可得，从正面看到的图形如下， 故选D． 3. 2026年恰逢重庆南开中学建校90周年，学校为了了解七年级1100名学生对校史知识的掌握情况，从中随机抽取了200名学生进行问卷调查．该项调查中的样本是（ ） A. 1100名学生的校史知识掌握情况 B. 从中抽取的200名学生 C. 从中抽取的200名学生的校史知识掌握情况 D. 1100 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了样本的定义．熟练掌握样本的定义是解题的关键．根据样本是总体中所抽取的一部分个体，据此即可判断． 【详解】解：∵总体是1100名学生的校史知识掌握情况， ∴样本是从中抽取的200名学生的校史知识掌握情况， 故选C． 4. 下列说法正确的是（ ） A. 不相交的两条直线叫做平行线 B. 若，则点B为线段的中点 C. 直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离 D. 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线的定义、线段中点的条件、点到直线的距离的概念以及垂线的性质，根据平行线的定义、线段中点的条件、点到直线的距离的概念以及垂线的性质分别判断即可． 【详解】解：∵平行线定义要求在同一平面内，不相交的两条直线可能不在同一平面，∴A错误； ∵点B可能不在线段上，∴B错误； ∵点到直线的距离是垂线段的长度，而非垂线段本身，∴C错误； ∵在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，∴D正确； 故选：D． 5. 南开中学所在的重庆市沙坪坝区是巴渝文化的重要发祥地，汇集了磁器口古镇、歌乐山烈士陵园等诸多历史文化地标与人文景观．如图所示，以南开中学为观测点，磁器口古镇大约位于南开中学的（ ） A. 北偏东 B. 西偏北 C. 北偏西 D. 西偏南 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了方位角的定义，熟练掌握方位角的表示方法是解题的关键．先明确观测点是南开中学，再根据图中给出的角度和方向标识，判断磁器口古镇相对于观测点的方位，最后结合选项进行选择． 【详解】解：∵图中磁器口古镇位于南开中学的北方向向西偏的位置， ∴磁器口古镇大约位于南开中学的北偏西， 故选：C． 6. 从多边形的一个顶点引出的所有对角线，把这个多边形分成2026个三角形，则这个多边形的边数是（ ） A. 2027 B. 2028 C. 2029 D. 2030 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查多边形的对角线与三角形个数的关系，解题关键是记住“从边形一个顶点引对角线，可将其分成个三角形”这一核心结论． 1． 利用结论：三角形个数=边数； 2． 代入已知三角形个数2026，列方程：边数； 3． 解得边数． 【详解】解：从边形的一个顶点出发，可引出条对角线，把多边形分成个三角形． 已知分成2026个三角形，则： 解得： 所以这个多边形的边数是2028． 故选：B． 7. 下列说法正确的是（ ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查等式的性质，需注意等式变形中的隐含条件，如分母不能为零． 【详解】解：选项A：∵，∴或，故A错误； 选项B：如果且，则，故B错误； 选项C：，两边同时乘以20得：；故C错误； 选项D：如果，由题意得，等式两边同时乘以a，可得，故D正确； 故选D． 8. 《孙子算经》中有一道题，原文是：今有诸生分笺，六人共笺一叠，恰余一叠；四人共笺一叠，尚有八人无笺可分．问生与笺各几何？译文为：现有一群学生分纸笺，要是6个人共用一叠纸笺，会空出来一叠纸笺没人用；要是4个人共用一叠纸笺，会有8个学生没有纸笺可用．问学生有多少人，纸笺有多少叠？设纸笺有x叠，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程解决实际问题，设纸笺有x叠，由6人共一叠，空出一叠，得到学生人数为人；由4人共一叠，有8人无笺，得到学生人数为人，根据两种分法下学生人数相等列方程即可解答． 【详解】解：设纸笺有x叠．根据题意，得． 故选：C． 9. 如图，每个图案都是由若干条边和若干个圆点组成，其中图有9个圆点，图有16个圆点，图有25个圆点，图有36个圆点，……，按此规律，图中圆点的个数是（ ） A. 100 B. 120 C. 121 D. 144 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查图形的规律，根据图片找到圆点数量的变化规律是解题的关键． 根据前面4个图案圆点的个数特征找出规律，即可解答． 【详解】解：根据题意，图①有9个圆点，图②有16个圆点，图③有25个圆点，图④有36个圆点，……，可知圆点个数和图号的个数关系为：图有个圆点，图⑧中圆点的个数是100． 故选：． 10. 按如图所示的程序运算，如果输入的值为，则输出的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了求代数式的值，把的值代入运算程序中进行计算，直到运算结果大于为止． 【详解】解：当时， 可得：, 当时， 可得：, 当时， 可得：, 输出的值为． 故选：C． 11. 如图，大长方形由6个长宽比均为的小长方形组成，其中仅，两个小长方形的形状大小相同．已知小长方形的宽为7，则这个大长方形的面积为（） A. 1701 B. 1702 C. 1703 D. 1704 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程解决实际问题，适当设出未知数，表示出各个长方形的长和宽，找到等量关系列出方程是解题的关键． 设小长方形B的宽为x，则长为，根据每个小长方形的长宽比均为，表示出各个小长方形的长和宽，得到大长方形的长为或，由此列出方程，求解即可． 【详解】解：∵每个小长方形的长宽比均为，小长方形C的宽为7， ∴小长方形C的长为， 设小长方形B的宽为x，则长为， 由图可得小长方形A的宽为，则长为， 则大长方形的长为， 小长方形D的长为，则宽为， 小长方形E，F的长都为，则宽为， 因此大长方形的长为， ∴， 解得， ∴大长方形的长为， 宽为， ∴大长方形的面积为． 故选：B． 12. 已知整式：，其中均为正整数，为正整数，且满足，，下列说法： ①当时，整式可以为二次三项式； ②当时，满足条件的多项式有15个； ③当且时，记满足条件的整式分别为，则关于的方程的解为或． 其中正确的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了整式的定义、解绝对值方程、一元一次方程及分类讨论思想的应用．对于说法①，当时，存在系数序列满足条件，对应二次三项式；对于说法②，当时，仅考虑的情况，枚举所有满足条件的系数序列，共15个；对于说法③，当且时，有两个多项式，解绝对值方程，可得或． 【详解】解：∵ 说法①：当时，取，，，满足且乘积为8，为二次三项式， ∴说法①正确； ∵说法②：当时，，枚举序列： ：至共9对，，，共3对， 故时总计有个多项式； ：，，共3个； ：无序列满足乘积； ∴总15个多项式，∴说法②正确． ∵说法③：当且时，序列为和，对应，， 方程． 分段讨论： 当时，则，解得； 当时，则，解得（不符合题意，舍去）； 当时，则，解得； 综上，解为或，说法③正确． 综上，三个说法均正确． 故选：D． 二、填空题：（本大题共14个小题，每空2分，共30分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应横线上． 13. 新时代全面深化改革取得重大实践成果，我国经济实力跃上新台阶，2025年全年国内生产总值大约为1400000亿元．将数据1400000用科学记数法表示应为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．根据科学记数法定义求解即可． 【详解】解：将数据1400000用科学记数法表示应为， 故答案为：． 14. 重庆冬季某日四个城区的最低气温记录如下： 沙坪坝区： 两江新区： 渝中区： 九龙坡区： 那么，这四个气温中的最高值与最低值之差为________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查正负数的应用，有理数减法的应用．先计算每个城区的实际气温值，再比较得出最高值和最低值，最后计算它们的差即可． 【详解】解：∵，， 又， ∴最高气温为，最低气温为， 它们的差为． 故答案为：6． 15. 下列代数式：，其中单项式有______个． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查单项式的定义，熟练掌握单项式的定义是解题的关键；根据单项式的定义，由数字与字母的乘积或单独的数字、字母组成的代数式是单项式，分母中含有字母的代数式不是单项式；然后问题可求解． 【详解】解：是数字与字母的乘积，是单项式；是数字与字母的乘积，是单项式；1是单独的数字，是单项式；是多项式，不是单项式；分母中含有字母，是分式，不是单项式． 故答案为3． 16. 一个棱柱有条棱，那么它的底面是______边形． 【答案】九 【解析】 【分析】本题考查了棱柱的棱数与底面边数的关系，根据棱柱的棱数是底面边数的倍列方程解答即可求解，掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：设底面边数为，则， 解得， ∴它的底面是九边形， 故答案为：九． 17. 在重庆某长江大桥的工程测量中，需要精确计算桥梁索塔的倾斜监测角．其中一个监测点的理论垂直角度为，则________．（将度、分、秒转化成度） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了角度的单位换算．将分和秒转换为度的小数部分，然后与度部分相加即可． 【详解】解：． 故答案为： 18. 若单项式与的差是，则________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了同类项，同类项定义中的两个“相同”：所含字母相同，相同字母的指数相同，相同字母的指数相同是易混点．根据同类项的定义，列出关于m、n的等式即可求解． 【详解】解：单项式与的差是， ，， 解得：，， 把，代入， 故答案为：12． 19. 规定：，那么________． 【答案】120 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算．根据定义的运算规则，先计算出括号内的，再计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为120． 20. “二十四节气”是中国古代指导农事的补充历法．2026年“春分”交节时间是3月20日22时45分，此时钟表的时针与分针的夹角是________度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了钟面角，根据时针每小时移动30度，每分钟移动度，分针每分钟移动6度，计算夹角即可． 【详解】解：22时即10时，时针在10时整为300度，加上45分钟移动的度， 总角度为度； 分针在45分钟时为270度； 夹角为度， 故答案为：． 21. 某大型造船厂计划为一个航母战斗群建造配套舰艇．已知一个标准的战斗群需要配备1艘航母和4艘驱逐舰．该厂有12个船坞，每个船坞每年可以建造1艘航母或2艘驱逐舰．为了能使航母和驱逐舰刚好配套，每年应该安排________个船坞用于建造航母． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．设每年应该安排个船坞用于建造航母，则安排个船坞用于建造驱逐舰，每年航母产量为艘，驱逐舰产量为艘，根据配套要求，驱逐舰数量应为航母数量的4倍，据此建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设每年应该安排个船坞用于建造航母，则安排个船坞用于建造驱逐舰， 由题意得：， 解得， 故答案为：4． 22. 如图，数轴上从左到右的三个点分别对应数，，，那么________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根据数轴上点的位置判断正负，整式的加减，由数轴得，，再去绝对值后合并同类项即可． 【详解】解：由数轴得，， ∴，，， ∴ 23. 若关于的方程是一元一次方程，且关于的方程的解为整数，则满足条件的整数的值有________个． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，方程的解，先根据一元一次方程的定义求出m的值，再代入关于 y 的方程，根据解为整数求出k的所有可能整数值，并统计个数即可． 【详解】解： 是一元一次方程， ，， 解得：或，， ， 将代入方程，得， 整理得， ， y为整数， 则是8的因数，即， 解得：，共8个整数， 故答案为：8． 24. 如图，已知直线，，，的角平分线与的角平分线交于点，则______． 【答案】142 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定及性质，角平分线，掌握平行线的判定及性质是解题的关键． 过点作，过点作，得到，因此，，，根据角的和差可得，从而有，根据角平分线的定义得到．过点作，则，因此． 【详解】解：过点作，过点作， ， ， ，，， ， ， 即， ， ， 平分，平分， ，， ． 过点作， ， ， ，， ． 故答案为：142． 25. 如图，已知正方形的边长为．若点从点出发，以每秒的速度沿线段运动到点后立即反向以原速向点运动；同时点从点出发，以每秒的速度沿折线方向运动．当点到达点时，两点同时停止运动．当运动时间是________秒时，． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了动点问题中的分类讨论与一元一次方程的应用，熟练掌握根据运动阶段分段表示线段长度并建立方程是解题的关键．先确定运动的不同阶段，分情况讨论点在和阶段、点在和阶段时和的表达式，再根据列方程求解，最后验证解是否在对应阶段的时间范围内． 【详解】解：∵正方形边长为，点速度为/，点速度为/， ∴点从到用时，从到用时；点从到用时，从到用时． 情况：（在，在）， ∵，， ∵， ∴， ∴， ∴（满足）； 情况：（在，在）， ∵，， ∵， ∴， ∴（不满足，舍去）； 情况：（在，在）， ∵，， ∵， ∴， ∴， ∴（满足）； 故答案为：或． 26. 我们规定，一个四位正整数，若满足，则称这个四位数为“倍分数”，例如：四位数5228，因为，所以5228是“倍分数”．按照这个规定，最大的“倍分数”是______．一个“倍分数”将其千位数字与十位数字调换位置，百位数字与个位数字调换位置，得到一个新的四位数，记F（M）＝，Q（M）＝，若被7除余2，则满足条件的所有“倍分数”M中，最大值与最小值的和是______． 【答案】 ①. 9289 ②. 9270 【解析】 【分析】本题考查了整式加减的应用，二元一次方程的解，数字类规律的探索，首先，根据“倍分数”的定义由得，然后判断出c为偶数，且，取，则，故，取，得；根据题意计算 和 ，代入表达式 ，化简后得到，再分情况当时与时，枚举 和可得所有满足条件的，计算出其和即可解答． 【详解】解：， ， ∵a、b、d均为整数，一定是偶数， ∴一定是整数， ∴c为偶数， ∵， ∴， 当数为最大的“倍分数”时，千位取最大的9， ， ， ， 令，则， ， 取，则，故 ，取最大的时，，得最大的“倍分数”是； 对于满足条件的，有，， ， ， ， ， ， ， 当时，， ∵被7除余2， 令（为整数）， ， ， 是7倍数， 由可知c为偶数，且， ， 经检验当或时，是7倍数， 当时，有，代入方程中，当，时有最小数， 当时，有，或， 将代入方程中，当，时有最大数； 当时，， ∵被7除余2， 令（为整数）， ， 是7倍数，即是7倍数， 由可知c为偶数，且，， 为偶数， ， 经检验当（是奇数，舍）时，是7倍数， 当时，有，或； 将代入方程中，当，时有最大数， 综上所述，最大数为8129，最小数为1141，和为， 故答案为：9289，． 三、计算题：（本大题共4个小题，每小题8分，共32分）解答时每小题必须给出必要的演算过程，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 27. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算： （1）根据有理数的加减混合运算法则计算即可； （2）先计算乘方，再计算乘除，然后计算加减即可． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：原式 28. 合并同类项： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查整式加减中的合并同类项，去括号，掌握合并同类项法则和去括号法则是解题的关键． （1）根据合并同类项法则计算即可； （2）先去括号，再合并同类项即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解： ． 29. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可． 【小问1详解】 解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 【小问2详解】 解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 30. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的加减运算、非负数的性质，熟练掌握整式的去括号与合并同类项法则，以及利用平方和绝对值的非负性确定字母的值是解题的关键．先对整式进行去括号、合并同类项来化简原式，再根据平方和绝对值的非负性求出、的值，最后代入化简后的式子计算得出结果． 【详解】解： ， ，，且． ，， ，； ∴，， 原式． 四、解答题：（本大题共5个小题，31-34题每小题10分，35题12分，共52分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 31. 如图，已知，为射线上一点，为射线上一点，连接． （1）请按要求完成尺规作图：在射线下方作出射线，使得（不写作法，只保留作图痕迹）． （2）在（1）的结论下，证明：．请完成下面的证明过程，并在括号中填上理论依据． 证明：（已知）， ∴① （② ）， ③ （④ ）， （已知）， ⑤ （等量代换）． 【答案】（1） ，理由： ∵， ∴都是等腰三角形， ，， ∴， ∴，即， ∴， ∴ （2）①，②同位角相等，两直线平行，③，④两直线平行，内错角相等，⑤ 【解析】 【分析】本题考查作一个角等于已知角，平行线的判定与性质； （1）根据作一个角等于已知角的作图步骤作图即可； （2）先证明，再根据平行线的性质得到，即可得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明：（已知）， ∴（同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）， （已知）， ∴（等量代换）． 故答案为：①，②同位角相等，两直线平行，③，④两直线平行，内错角相等，⑤． 32. 为深入贯彻教育部《进一步加强中小学生心理健康工作十条措施》文件精神，全面落实“双减”政策核心要求，南开中学随机抽取了部分学生开展每日完成作业时间（用表示，单位：小时）的问卷调查，并对收集到的数据逐一整理，深入分析．现将所有数据分为四组（．；．；．；．），绘制了如下两幅不完整的统计图，其中每日完成作业时间低于1小时的人数占总人数的． 根据以上信息，解答下列问题： （1）参与此次调查的学生有________人，请补全频数直方统计图； （2）________，扇形统计图中组对应的扇形的圆心角度数为________； （3）若该校共有学生3300人，根据本次调查结果，请估计该校学生每日完成作业时间不低于1.5小时的学生人数是多少？ 【答案】（1）100； 补全频数直方统计图如下： （2）； （3）165人 【解析】 【分析】本题考查了由样本所占百分比估计总体的数量，频数分布直方图与扇形统计图，求扇形统计图的圆心角等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）将每日完成作业时间低于1小时的人数除以其所占百分比，即可求出此次调查的学生人数，将总人数减去已知的三组的人数，求出C组的人数，即可补全统计图； （2）将A组人数除以调查的总人数，即可求出m的值．将B组人数除以调查的总人数，再乘以即可求出组对应的扇形的圆心角度数， （3）将样本中D组人数占比乘以全校总人数3300，即可得出全校范围的估计人数． 【小问1详解】 解：参与此次调查的学生有（人）， C组人数为（人）， 故答案为：10． 【小问2详解】 解：∵， ∴． B组对应的扇形的圆心角度数为． 故答案为：20；． 【小问3详解】 解：（人） 答：估计该校学生每日完成作业时间不低于1.5小时的人数是165人． 33. 如图，点为线段的中点，点为线段上一点，满足，． （1）求的长； （2）若点在直线上，满足，且点为线段的中点，求的长． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查线段的和差，线段的中点． （1）设，，则，根据点M为中点得到，即可得到，求解即可． （2）分当在点左侧和右侧两种情况求解即可． 【小问1详解】 解：， 设，， ， 为中点， ， 即：， 解得：， ∴，， ． 【小问2详解】 解：由（1）知：，， ①当在点左侧时， 为中点， ， ∴； ②当在点右侧时， 为中点， ， ∴， 综上所述，或． 34. 列一元一次方程解应用题 冬日街头雪地靴热销，某鞋店上新了两款长、短不同的雪地靴．已知每双长款雪地靴的售价为元，利润率为；每双短款雪地靴的进价为元，利润为元． （1）每双长款雪地靴的进价为________元，每双短款雪地靴的售价为________元； （2）若该鞋店第一次用万元购进两款雪地靴，其中长款雪地靴的数量比短款雪地靴的数量多，求该鞋店购进长款雪地靴和短款雪地靴各多少双? （3）在（2）的条件下，该鞋店对两款雪地靴进行第二次采购，相较于第一次采购，短款雪地靴的进价增加了元，数量增加了双，售价增加了元：长款雪地靴的进价减少了元，数量和售价均不变：销售一段时间后，为了回馈消费者，该鞋店进行打折促销，规定：同时购买一双短款雪地靴和一双长款雪地靴可打八折，通过该打折方式售出的短款与长款雪地靴共计100双；最终第二次购进的所有雪地靴销售一空．若第二次购进的两款雪地靴总共获利，求的值． 【答案】（1）； （2）购进短款雪地靴双，则购进长款雪地靴双 （3）的值为 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用（利润问题）、利润率公式的运用、销售数量与总价的关系，熟练掌握利润相关公式、通过设未知数建立方程的方法是解题的关键． （1）设进价为元，根据利润公式列方程求解得长款雪地靴的进价，进而求得短款雪地靴的售价； （2）设短款雪地靴数量为双，利用长款数量比短款多表示出长款数量为双．根据总进价短款总进价长款总进价列方程求解． （3）先确定第二次采购时两款雪地靴的进价、售价和数量．区分打折套装销售和单独销售的收入，结合总获利的条件，即总售价总进价，列方程求解． 【小问1详解】 解：设长款雪地靴进价为元， ， ， ， ， 短款雪地靴售价：元， ；； 【小问2详解】 解：设购进短款雪地靴双，则购进长款雪地靴双， 由题知：， 解得：， ， 答：购进短款雪地靴双，则购进长款雪地靴双； 【小问3详解】 解：由题知：短款进价为元，售价为元， ∴ ， 整理得：， 解得：， 答：的值为． 35. 已知，现将绕点逆时针旋转． （1）如图1，，当射线平分时，则________； （2）如图2，射线在内部，且满足，将的边从的位置开始旋转（当的边与射线重合时，停止运动），在旋转过程中，当时，请直接写出与的比值，并写出其中一种情况的求解过程； （3）如图3，，，将的边从的位置以每秒的速度开始旋转，旋转时间为秒（），在旋转过程中，射线平分，射线平分，射线平分，直线与直线交于点，当时，请直接写出所有满足条件的的值． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了角的和差运算、角平分线的性质、旋转的性质以及分类讨论思想，熟练掌握角的和差关系、角平分线定义，并运用分类讨论思想分析不同位置下的角的关系是解题的关键． （1）由，得，再根据射线平分，得，进而得； （2）设，则，分在内部和、在内部两种情况，根据的数量关系列方程求解，进而求出与的比值． （3）先确定旋转速度为每秒，分、、、、五种情况，结合角平分线的性质表示出与，再根据列方程求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵射线平分， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：，， 设，，则，， ①当在内部时， ， ， ， ， 解得， ，， ； ②当，在内部时， ，， ， ， 解得， ，， ； 【小问3详解】 解：①当时， ， ， ， ， 解得（舍）； ②当时， ， ， ， ， 解得（舍）； ③当时， ， ， ， ， 解得； ④当时， ， ， ， ， 解得； ⑤当时， ， 当时， ， 解得（舍）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆南开中学2025-2026学年度（上）期末考试初2028届 数学试题 一、选择题：（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列各数中，的倒数是（） A. 2 B. C. D. 2. 五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从正面看到的图形是（ ） A. B. C. D. 3. 2026年恰逢重庆南开中学建校90周年，学校为了了解七年级1100名学生对校史知识的掌握情况，从中随机抽取了200名学生进行问卷调查．该项调查中的样本是（ ） A. 1100名学生的校史知识掌握情况 B. 从中抽取的200名学生 C. 从中抽取的200名学生的校史知识掌握情况 D. 1100 4. 下列说法正确的是（ ） A. 不相交的两条直线叫做平行线 B. 若，则点B为线段的中点 C. 直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离 D. 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 5. 南开中学所在的重庆市沙坪坝区是巴渝文化的重要发祥地，汇集了磁器口古镇、歌乐山烈士陵园等诸多历史文化地标与人文景观．如图所示，以南开中学为观测点，磁器口古镇大约位于南开中学的（ ） A. 北偏东 B. 西偏北 C. 北偏西 D. 西偏南 6. 从多边形的一个顶点引出的所有对角线，把这个多边形分成2026个三角形，则这个多边形的边数是（ ） A. 2027 B. 2028 C. 2029 D. 2030 7. 下列说法正确的是（ ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么 8. 《孙子算经》中有一道题，原文是：今有诸生分笺，六人共笺一叠，恰余一叠；四人共笺一叠，尚有八人无笺可分．问生与笺各几何？译文为：现有一群学生分纸笺，要是6个人共用一叠纸笺，会空出来一叠纸笺没人用；要是4个人共用一叠纸笺，会有8个学生没有纸笺可用．问学生有多少人，纸笺有多少叠？设纸笺有x叠，可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，每个图案都是由若干条边和若干个圆点组成，其中图有9个圆点，图有16个圆点，图有25个圆点，图有36个圆点，……，按此规律，图中圆点的个数是（ ） A. 100 B. 120 C. 121 D. 144 10. 按如图所示的程序运算，如果输入的值为，则输出的值为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，大长方形由6个长宽比均为的小长方形组成，其中仅，两个小长方形的形状大小相同．已知小长方形的宽为7，则这个大长方形的面积为（） A. 1701 B. 1702 C. 1703 D. 1704 12. 已知整式：，其中均为正整数，为正整数，且满足，，下列说法： ①当时，整式可以为二次三项式； ②当时，满足条件的多项式有15个； ③当且时，记满足条件的整式分别为，则关于的方程的解为或． 其中正确的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题共14个小题，每空2分，共30分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应横线上． 13. 新时代全面深化改革取得重大实践成果，我国经济实力跃上新台阶，2025年全年国内生产总值大约为1400000亿元．将数据1400000用科学记数法表示应为________． 14. 重庆冬季某日四个城区的最低气温记录如下： 沙坪坝区： 两江新区： 渝中区： 九龙坡区： 那么，这四个气温中的最高值与最低值之差为________． 15. 下列代数式：，其中单项式有______个． 16. 一个棱柱有条棱，那么它的底面是______边形． 17. 在重庆某长江大桥的工程测量中，需要精确计算桥梁索塔的倾斜监测角．其中一个监测点的理论垂直角度为，则________．（将度、分、秒转化成度） 18. 若单项式与的差是，则________． 19. 规定：，那么________． 20. “二十四节气”是中国古代指导农事的补充历法．2026年“春分”交节时间是3月20日22时45分，此时钟表的时针与分针的夹角是________度． 21. 某大型造船厂计划为一个航母战斗群建造配套舰艇．已知一个标准的战斗群需要配备1艘航母和4艘驱逐舰．该厂有12个船坞，每个船坞每年可以建造1艘航母或2艘驱逐舰．为了能使航母和驱逐舰刚好配套，每年应该安排________个船坞用于建造航母． 22. 如图，数轴上从左到右的三个点分别对应数，，，那么________． 23. 若关于的方程是一元一次方程，且关于的方程的解为整数，则满足条件的整数的值有________个． 24. 如图，已知直线，，，的角平分线与的角平分线交于点，则______． 25. 如图，已知正方形的边长为．若点从点出发，以每秒的速度沿线段运动到点后立即反向以原速向点运动；同时点从点出发，以每秒的速度沿折线方向运动．当点到达点时，两点同时停止运动．当运动时间是________秒时，． 26. 我们规定，一个四位正整数，若满足，则称这个四位数为“倍分数”，例如：四位数5228，因为，所以5228是“倍分数”．按照这个规定，最大的“倍分数”是______．一个“倍分数”将其千位数字与十位数字调换位置，百位数字与个位数字调换位置，得到一个新的四位数，记F（M）＝，Q（M）＝，若被7除余2，则满足条件的所有“倍分数”M中，最大值与最小值的和是______． 三、计算题：（本大题共4个小题，每小题8分，共32分）解答时每小题必须给出必要的演算过程，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 27. 计算： （1）； （2）． 28. 合并同类项： （1）； （2）． 29. 解方程： （1）； （2）． 30. 先化简，再求值：，其中． 四、解答题：（本大题共5个小题，31-34题每小题10分，35题12分，共52分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 31. 如图，已知，为射线上一点，为射线上一点，连接． （1）请按要求完成尺规作图：在射线下方作出射线，使得（不写作法，只保留作图痕迹）． （2）在（1）的结论下，证明：．请完成下面的证明过程，并在括号中填上理论依据． 证明：（已知）， ∴① （② ）， ③ （④ ）， （已知）， ⑤ （等量代换）． 32. 为深入贯彻教育部《进一步加强中小学生心理健康工作十条措施》文件精神，全面落实“双减”政策核心要求，南开中学随机抽取了部分学生开展每日完成作业时间（用表示，单位：小时）的问卷调查，并对收集到的数据逐一整理，深入分析．现将所有数据分为四组（．；．；．；．），绘制了如下两幅不完整的统计图，其中每日完成作业时间低于1小时的人数占总人数的． 根据以上信息，解答下列问题： （1）参与此次调查的学生有________人，请补全频数直方统计图； （2）________，扇形统计图中组对应的扇形的圆心角度数为________； （3）若该校共有学生3300人，根据本次调查结果，请估计该校学生每日完成作业时间不低于1.5小时的学生人数是多少？ 33. 如图，点为线段的中点，点为线段上一点，满足，． （1）求的长； （2）若点在直线上，满足，且点为线段的中点，求的长． 34. 列一元一次方程解应用题 冬日街头雪地靴热销，某鞋店上新了两款长、短不同的雪地靴．已知每双长款雪地靴的售价为元，利润率为；每双短款雪地靴的进价为元，利润为元． （1）每双长款雪地靴的进价为________元，每双短款雪地靴的售价为________元； （2）若该鞋店第一次用万元购进两款雪地靴，其中长款雪地靴的数量比短款雪地靴的数量多，求该鞋店购进长款雪地靴和短款雪地靴各多少双? （3）在（2）的条件下，该鞋店对两款雪地靴进行第二次采购，相较于第一次采购，短款雪地靴的进价增加了元，数量增加了双，售价增加了元：长款雪地靴的进价减少了元，数量和售价均不变：销售一段时间后，为了回馈消费者，该鞋店进行打折促销，规定：同时购买一双短款雪地靴和一双长款雪地靴可打八折，通过该打折方式售出的短款与长款雪地靴共计100双；最终第二次购进的所有雪地靴销售一空．若第二次购进的两款雪地靴总共获利，求的值． 35. 已知，现将绕点逆时针旋转． （1）如图1，，当射线平分时，则________； （2）如图2，射线在内部，且满足，将的边从的位置开始旋转（当的边与射线重合时，停止运动），在旋转过程中，当时，请直接写出与的比值，并写出其中一种情况的求解过程； （3）如图3，，，将的边从的位置以每秒的速度开始旋转，旋转时间为秒（），在旋转过程中，射线平分，射线平分，射线平分，直线与直线交于点，当时，请直接写出所有满足条件的的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $