精品解析：广东省河源市多校2026届高三上学期10月联考数学试卷

河源市多校2026届高三上学期10月联考 数学试卷 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，，则的子集个数为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】先利用分式不等式的解法以及指数函数的单调性化简集合，再求交集，根据二级结论求出子集个数. 【详解】，即，等价于且，得， 故； ，得，故， 故，其子集个数为. 故选：C 2. “莱洛三角形”是机械学家莱洛研究发现的一种曲边三角形，它在很多特殊领域发挥了超常的贡献值．“莱洛三角形”是分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形（如图所示）．现以边长为4的正三角形作一个“莱洛三角形”，则此“莱洛三角形”的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出正三角形的面积和弓形的面积，进而求出“莱洛三角形”的面积. 【详解】正三角形的面积为， 圆弧的长度为，故一个弓形的面积为， 故“莱洛三角形”的面积为. 故选：A 3. 若m,n为直线，为两个平面，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据线面平行的定义可判断A的正误，根据空间中垂直关系的转化可判断BCD的正误. 【详解】对于A，若，则可平行或异面，故A错误； 对于B，若，则，故B错误； 对于C，若，则存在直线，， 所以由可得，故，故C正确； 对于D，，则与可平行或相交或，故D错误； 故选：C. 4. 下列各组中的函数与是同一个函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据同一函数的概念逐项判断即可． 【详解】函数的定义域为，的定义域为，故A错误； ，故B错误； 的定义域为，的定义域为，故C错误；，的定义域均为，且，故D正确． 故选：D． 5. 若，则值为（ ） A. B. C. D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】根据两角和的正切公式，结合同角的三角函数关系式中商关系进行求解即可. 【详解】由， 所以， 故选：B 6. 过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，过点作的切线，交轴于点，过点作直线的平行线交轴于点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，焦点，由直线过焦点，可得，设在点处的切线方程为，与抛物线方程联立，由于，解得的值，从而求得点M的坐标，过点作直线的平行线，故，可得直线的方程为，从而求得点N的坐标，故而求得，利用基本不等式求得最小值. 【详解】 设，焦点， 设直线方程为，则，化简得， 所以，， 所以， 设在点处的切线方程为， ，化简得， 因为，化简得，， 则在点处得切线方程为，即， 令，则，故， 则， 过点作直线的平行线，故， 所以直线的方程为， 令，则，故, , 所以， 当且仅当时等号成立，取到最小值9. 故选：C. 7. 已知为函数的导函数，当时，有恒成立，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，求导确定其单调性，根据单调性确定建立的不等关系，以及的不等关系，整理化简得答案. 【详解】令，则， 因为当时，有恒成立， 所以当时，， 即在上单调递减， 所以，即，即，A 错误，B正确， ，即，即，CD错误. 故选：B. 8. 如图，在直三棱柱中，为侧棱的中点；，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，根据勾股定理的逆定理可得，由线面垂直的性质可得，建立如图空间直角坐标系，即可利用空间向量法求解线线角. 【详解】不妨设， 故，所以，即， 在直三棱柱中，平面平面， 所以. 以A为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，所以， 所以， 故异面直线与所成角的余弦值为. 故选：D 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知，，且，则（ ） A. 有最大值 B. 有最小值8 C. 有最大值1 D. 有最小值 【答案】ABD 【解析】 【分析】直接使用基本不等式可判断A；利用常数代换法，结合基本不等式可判断B；消元后结合二次函数性质可判断C；配方后使用基本不等式可判断D. 【详解】对A，因为，，且，所以， 整理可得，当且仅当，即时等号成立，正确； 对B，因为，所以， 当且仅当，即时等号成立，正确； 对C，因为，所以，当时等号成立， 又，故取不到等号，即的最大值不是1，错误； 对D，因为，所以， 由上知，，所以，当且仅当时等号成立，正确. 故选：ABD 10. 已知函数，则（ ） A. 在区间单调递减 B. 的图象关于直线对称 C. 当时，的值域为 D. 的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 【答案】AB 【解析】 【分析】整理可得.对于A：以为整体，结合正弦函数的单调性分析判断；对于B：代入求值，结合对称轴与最值点之间的关系分析判断；对于C：以为整体，结合正弦函数的有界性分析判断；对于D：根据三角函数图象变换分析判断. 【详解】因为. 对于选项A：因为，则， 且正弦函数在内单调递减， 所以在区间单调递减，故A正确； 对于选项B：因为，为最小值， 所以的图象关于直线对称，故B正确； 对于选项C：因为，则， 可得，即， 所以的值域为，故C错误； 对于选项D：的图象向左平移个单位长度， 可得，故D错误. 故选：AB. 11. 关于函数，下列说法正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 在处的切线方程为 C. 在上的最小值为 D. 在区间上单调递增 【答案】AC 【解析】 【分析】利用函数奇偶性定义可判断A；利用导数求出切线斜率，再求出，由直线的点斜式方程可判断B；利用导数求出在上的最小值可判断C；利用导数可判断的单调性可判断D. 【详解】函数的定义域为， 对于A，因为，所以是奇函数，故A正确； 对于B，，，，所以在处的切线方程为，故B错误； 对于C，当时，由得，单调递增，由得，单调递减，又，，所以在上的最小值为，故C正确； 对于D，，因为，所以， 当时，，单调递减， 当，，单调递增，故D错误. 故选：AC. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知直线与三次曲线有三个不同交点，则a的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【详解】依题意得：,即有三个不同解, 考虑与相切于, 则, 结合图象可知：. 故答案为：. 13. 某地为发展旅游事业，在旅游手册中给出了当地一年12个月每个月的平均气温表（气温单位：），如图.根据图中提供的数据，试用近似地拟合出月平均气温与时间（单位：月）的函数关系为_________，. 【答案】 【解析】 【分析】从气温曲线找到最高气温：27、最低气温:15求A，由周期求，利用最高点、最低点坐标求、，得函数解析式. 【详解】若以月份为最低气温，月份为最高气温，则可得当解得此时，解得，所以函数解析式为. 【易错警示】第11题中的错误主要发生在求参数时，若代入零点需明确零点的类型；第12题中错误易发生在对图像的理解与应用，不能正确地提取信息.所以解决实际情景中的求模或建模问题的首要一步是准确地提炼信息，然后化归为对应的数学问题正确求解. 【点睛】本题考查三角函数的应用，待定系数法，利用图像解决问题的能力，属于中档题. 14. 若函数在上恰有3个零点，则符合条件的的个数为__________. 【答案】5 【解析】 【分析】该函数零点可以转化为一个二次函数零点与正弦型函数零点的个数之和，再对、、分类讨论，即可得取其取值范围. 【详解】令，则或， 由， 当时，在上没有零点， 则在上应有3个零点， 因为，所以，即， 与联立得，因为，所以m的值依次为9，10； 当时，在上有1个零点， 而在上有3个零点，不满足题意； 当时，在上有2个零点， 故在上应有1个零点， 因为，所以该零点与的零点不相同， 所以，即，与联立得， 因为，所以的取值依次为2，3，4， 综上得符合条件的的个数是5． 故答案是：5． 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知函数的部分图像，如图所示. （1）求函数的解析式； （2）将函数的图像向右平移个单位，再将得到的图像上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，求函数在区间上的单调递增区间. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）结合三角函数的图像求参数的值即可得解； （2）由三角函数图像的平移和伸缩变换求出函数的解析式，再结合三角函数单调区间的求法即可. 【小问1详解】 由题图得， 因为，∴. 由，得， 所以，解得. 又因为，∴当时，. 又由，得. 故. 【小问2详解】 将 的图像向右平移个单位， 得到的图像， 再将得到的图像上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变， 得到的图像. 由，，得， 当时，；当时，， 因为，所以函数在区间上的单调递增区间为， 16. 如图，六面体是直四棱柱 被过点 的平面所截得到的几何体，底面，底面是边长为2的正方形， （1）求证: ； （2）求平面. 与平面 的夹角的余弦值； （3）在线段 DG上是否存在一点 P，使得 若存在，求出 的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明：连接，直四棱柱，， 则点在平面内. 因为平面，且平面， 所以， 又底面为正方形，所以，又， 所以平面，平面， 故； （2） （3）存在，， 理由如下： 设， 则， 线段上存在一点使得平面等价于， 即，解得， 所以. 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的性质可得，由，结合线面垂直的判定定理与性质即可证明； （2）建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求面面角即可； （3）设，由向量线性运算的坐标表示可得，结合计算即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，平面，所以， 又底面为正方形，所以，建立如图空间直角坐标系， 则，故 设平面的一个法向量为， 则，即，令，则，于是. 因为平面，所以是平面的一个法向量. 设平面与平面的夹角为θ， 则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为； 【小问3详解】 存在一点使得平面，此时，理由略. 17. 已知函数，. （1）求函数的最值； （2）讨论函数在上极值点的个数； （3）设函数，若在定义域内有三个不同的极值点，，，且满足，求实数的取值范围. 【答案】（1）最小值为，无最大值. （2）当或时，无极值点；当时，有2个极值点. （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数即可得到函数的单调性及最值. （2）对函数求导，作出函数简图，通过方程根的个数结合极值点两边正负号即可确定参数的范围. （3）化简函数并求导，分析有三个极值点时满足的条件，结合函数单调性求解不等式即可. 【小问1详解】 函数的定义域为，. 令，即，解得. 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 因此在处取得极小值（也是最小值），此时. 无最大值. 所以函数的最小值为，无最大值. 【小问2详解】 由题意知，即讨论在上变号零点个数 对求导可得，. 极值点的个数等价于在上的解的个数，即在上的解的个数. 令（），则， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以在处取得最大值，此时. 且当时，；时，. 当时，在上无解，此时在上无极值点； 当时，在上有2个解，此时在上有2个极值点； 当时，在上有1个解， 但在和上均大于零，故此时在上无极值点； 当时，在上无解，此时在上无极值点； 综上，当或时，无极值点；当时，有2个极值点. 【小问3详解】 ，其定义域为， 则，（）. 令，解得或. 设（），则， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以在处取得最大值，此时， 且当时，；当时，. 因此的大致图象如图所示， 因为在定义域内有三个不同的极值点，，，且为的一个根， 所以与有两个不同的交点（且不等于1），所以， 即在上有两个不同的正根（且不等于1）. 不妨设，则， 所以，即，，也即，， 所以 令（），则 因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递增， 所以， 又，所以， 所以在上单调递增. 因为， 因此当时，， 即当时，恒成立， 所以实数的取值范围是. 18. 已知函数． （1）求函数的图象在处的切线方程； （2）若任意，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）设，证明：． 【答案】（1） （2） （3）证明：由（2）可知，当时，，∴． 又令，求导，得， ∴单调递减， 从而，即在上恒成立． 令，得． ∴． 即， ∴，于是得证． 【解析】 【分析】（1）求导，再利用导数的几何意义求解； （2）将问题转化为，令，用导数法求其最大值即可. （3）易知，易知在上恒成立，令得到证明. 【小问1详解】 解：， ∴， ∴切线方程为． 【小问2详解】 ， 令，则． 令，则． ①当，即时，恒成立，∴单调递增． ∴，∴，∴单调递增， 从而，不符合题意． ②当，即时，恒成立，∴单调递减． ∴，∴，∴单调递减，从而，符合题意． ③当，即时，由，， ∴在上存在，使得，且当时，， ∴单调递增，∴，不符合题意． 综上所述，实数的取值范围是． 【小问3详解】 略. 【点睛】关键点点睛：本题第（2）问对求导后，直接判断导数的正负不太容易，通过对局部式的讨论，再结合，就可以确定的符号，使问题的解决更加清晰． 19. 已知函数． （1）若是的极值点，求a； （2）若，分别是的零点和极值点，证明下面①，②中的一个． ①当时，；②当时，． 注：如果选择①，②分别解答，则按第一个解答计分． 【答案】（1） （2）证明：选择①： 因为分别为的零点和极值点，所以， ，所以. 当时，，则，即 因为，所以当，即时，成立， 当时，若，则只需证明， 设，则 设， 则为增函数，且 所以存在唯一，使得， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 故，所以，单调递增， 所以，则，等价于. 设，则， 当时，若时，，，单调递减， 所以当，所以当时，成立， 设，则， 当时，，单调递增所以当时，， 即成立， 综上，若，分别是的零点和极值点，当时，. 选择②： 因为分别为的零点和极值点，所以， ，所以. 当时，，则，即 若，即则只需证明， 设，则， 当时，，单调递减，所以. 若，设，则，单调递增， 所以，所以，， 所以只需证明. 设，则， 当时，，当时，即时，， 设， 则， 因为当时，函数单调递增， 所以当时，， ，单调递减，此时也有， 所以当时，单调递减，，即当时，， 综上，综上，若，分别是的零点和极值点，当时，. 【解析】 【分析】（1）对函数进行求导，由是函数的极值点，则，即可得，然后将带入原函数进行分析说明即可； （2）选择①因为分别为的零点和极值点，所以，分别求出的值，找出等量关系式，然后根据，对函数式进行分析，利用构造新函数利用函数导数单调性，同时结合已知的条件即可得； 选择②因为分别为的零点和极值点，所以，分别求出的值，找出等量关系式，然后根据，对函数式进行分析，利用构造新函数利用函数导数单调性，同时结合已知的条件即可得； 【小问1详解】 因为，所以， 若是函数的极值点，则，，即， 此时， 设，则，， 所以存在，使得当时，，单调递减， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以当时，是的极值点. 【小问2详解】 略 【点睛】函数与导数综合简答题常常以压轴题的形式出现， 难度相当大，主要考向有以下几点： 1、求函数的单调区间（含参数）或判断函数（含参数）的单调性； 2、求函数在某点处的切线方程，或知道切线方程求参数； 3、求函数的极值（最值）； 4、求函数的零点（零点个数），或知道零点个数求参数的取值范围； 5、证明不等式； 解决方法：对函数进行求导，结合函数导数与函数的单调性等性质解决，在证明不等式或求参数取值范围时，通常会对函数进行参变分离，构造新函数，对新函数求导再结合导数与单调性等解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河源市多校2026届高三上学期10月联考 数学试卷 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，，则的子集个数为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 2. “莱洛三角形”是机械学家莱洛研究发现的一种曲边三角形，它在很多特殊领域发挥了超常的贡献值．“莱洛三角形”是分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形（如图所示）．现以边长为4的正三角形作一个“莱洛三角形”，则此“莱洛三角形”的面积为（ ） A. B. C. D. 3. 若m,n为直线，为两个平面，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 下列各组中的函数与是同一个函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 若，则值为（ ） A. B. C. D. 7 6. 过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，过点作的切线，交轴于点，过点作直线的平行线交轴于点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 7. 已知为函数的导函数，当时，有恒成立，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在直三棱柱中，为侧棱的中点；，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知，，且，则（ ） A. 有最大值 B. 有最小值8 C. 有最大值1 D. 有最小值 10. 已知函数，则（ ） A. 在区间单调递减 B. 的图象关于直线对称 C. 当时，的值域为 D. 的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 11. 关于函数，下列说法正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 在处的切线方程为 C. 在上的最小值为 D. 在区间上单调递增 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知直线与三次曲线有三个不同交点，则a的取值范围为___________. 13. 某地为发展旅游事业，在旅游手册中给出了当地一年12个月每个月的平均气温表（气温单位：），如图.根据图中提供的数据，试用近似地拟合出月平均气温与时间（单位：月）的函数关系为_________，. 14. 若函数在上恰有3个零点，则符合条件的的个数为__________. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知函数的部分图像，如图所示. （1）求函数的解析式； （2）将函数的图像向右平移个单位，再将得到的图像上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，求函数在区间上的单调递增区间. 16. 如图，六面体是直四棱柱 被过点 的平面所截得到的几何体，底面，底面是边长为2的正方形， （1）求证: ； （2）求平面. 与平面 的夹角的余弦值； （3）在线段 DG上是否存在一点 P，使得 若存在，求出 的值；若不存在，说明理由. 17. 已知函数，. （1）求函数的最值； （2）讨论函数在上极值点的个数； （3）设函数，若在定义域内有三个不同的极值点，，，且满足，求实数的取值范围. 18. 已知函数． （1）求函数的图象在处的切线方程； （2）若任意，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）设，证明：． 19. 已知函数． （1）若是的极值点，求a； （2）若，分别是的零点和极值点，证明下面①，②中的一个． ①当时，；②当时，． 注：如果选择①，②分别解答，则按第一个解答计分． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $