广东省深圳市龙岗区2025-2026学年高三上学期1月期末质量监测数学试题

龙岗区2025-2026学年第一学期高三期末质量监测 数 学 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数（为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，则的非空子集个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 数据3，5，7，10，13，15，18，20的第25百分位数是（ ） A. 6 B. 5 C. 16 D. 17 4. 美加墨足球世界杯将于2026年6月至7月在美国、加拿大、墨西哥的16座城市举行，将是首次有48支球队参赛的世界杯.现在要从A，B，C，D，E五名志愿者中选派四人分别从事宣传、后勤、礼仪、服务四项不同工作，若A，B只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（ ） A. 24种 B. 36种 C. 60种 D. 120种 5. 已知等差数列的前项和为，，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 若圆上的点到直线的距离为的点有且仅有2个，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知则的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知抛物线，为它的焦点，过的直线交抛物线于两点，过两点分别作垂直于准线的直线，垂足分别为，其中，，则值为（ ） A. B. C. D. 6 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知等比数列满足，公比为，前项和为，前项积为，则（ ） A. B. C. D. 10. 设函数，其中为实数，则（ ） A. 是定义在上的奇函数 B. 若在上单调递增，则的取值范围为 C. 若为在上的极小值点，当时，的最小值为 D. 当时，在上有且仅有2个零点 11. 已知双曲线的左右焦点为，点为双曲线右支上一动点，则下列说法正确的是（ ） A. 若存在点使得为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为 B. 外接圆的面积的最小值为 C. 轴与的内切圆的公共点为定点 D. 设点是的内心，直线的斜率之比为常数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知平面向量，若，则_________. 13. 函数（，且）有两个不同的极值点，则的取值范围为___________. 14. 猫在做完手术后往往需要戴“防舔圈”（也被称为“伊丽莎白圈”)保护伤口，可将其视为一个圆台的侧面、现有一个宽度（圆台的母线）为13厘米的“防舔圈”，戴在一只猫的头上，把猫头理想化为一个半径为5厘米的球，这个球与“防舔圈”口径小的圆台底面相切且与圆台侧面相切，为了舔不到伤口，头到口径大的圆台底面的距离不小于2厘米，则口径小的底面半径最小为____________厘米. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，满足对于任意实数，都有恒成立，且函数相邻两个零点的距离是. （1）求的解析式，并写出的单调递增区间； （2）若满足，求. 16. 已知椭圆的离心率为，上顶点的坐标为. （1）求的标准方程. （2）过的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，直线与椭圆的另一个交点为，，求直线的方程. 17. 如图，在梯形中，，将沿翻折至二面角为，为中点. （1）求证：； （2）线段上是否存在一动点，使得二面角为，若存在，求的值；若不存在，说明理由. 18. 某智慧城市在主干道部署了5个独立边缘计算节点，初始时，2个节点在线，3个为宕机．每个月系统随机等概率巡查1个节点：若该节点为宕机，则修复成功率为；若该节点已在线，则仅进行维护，用表示第个月后在线节点数，表示其期望，且. （1）当时，求； （2）已知每台宕机节点每个月造成2万元经济损失，初始月份不考虑损失，若要求从第1个月开始的总期望经济损失不超过36万元，求的最小值. 19. 已知函数. （1）若，求的单调区间； （2）证明：在区间上存在唯一的零点和极值点； （3）设在区间上的零点为，极值点为，试比较和的大小，并证明你的结论. 龙岗区2025-2026学年第一学期高三期末质量监测 数 学 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】BD 【10题答案】 【答案】ACD 【11题答案】 【答案】ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1）； （2） 【16题答案】 【答案】（1） （2）或 【17题答案】 【答案】（1） 因为且为中点，所以. 又因为二面角为，所以平面平面，且平面平面，，平面， 所以平面，平面，所以. （2）存在点，. 【18题答案】 【答案】（1） （2） 【19题答案】 【答案】（1）的单调递增区间为，单调递减区间为. （2） 对求导可得. 令，即，作出函数在区间的图象： 因为，所以， 又，所以函数在区间内有唯一零点， 当时，，此时两函数图象无交点. 由图可知，当时，当时，当时 所以为函数的极小值点； 因为， 根据零点存在定理，存在唯一的使得， 所以在上存在唯一的零点，因此在上存在唯一的零点和极值点. （3） ，理由如下： 由可得， 由可得. 记，则，所以在上单调递增， 所以当时，，即， ， 对，对求导得. 所以在上单调递增，，即， 因为，所以，又因为， 所以， 因为在上单调递增，且，所以， 因此. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $