精品解析：河北省承德市兴隆县2025-2026学年八年级上学期期末考试数学试题

2025-2026学年第一学期期末质量监测 八年级数学试卷 卷Ⅰ（选择题共36分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如果图书上的标签表示图书馆书架上的“2层5格”，那么“5层2格”应该表示为（ ） A. B. C. D. 2. 下列手机APP图案中，属于轴对称的是( ) A B. C. D. 3. 在，，3.14，中，属于无理数的是（ ） A. B. C. 3.14 D. 4. 如图，，那么（ ） A. B. C. D. 5. 根据分式的基本性质填空：，括号内应填（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题正确的是（　　） A. 两边及一角对应相等的两个三角形全等 B. 将32000精确到千位，记为 C. 16的平方根是4 D. 到三角形三个顶点距离相等的点在这个三角形三边的垂直平分线上 7. 如图，一根木棍斜靠在与地面垂直的墙上，设木棍中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行．在此滑动过程中，点P到点O的距离（ ） A. 变小 B. 不变 C. 变大 D. 无法判断 8. 若点在第三象限，则x的值可以是（ ） A. 0 B. C. 2 D. 1 9. 通过如下尺规作图，能说明的面积和的面积相等的是（ ） A. B. C. D. 10. 某种型号油电混合动力汽车从甲地开往乙地时，纯用电行驶，花充电费24元，沿相同路线返程时用纯燃油行驶，花燃油费72元．已知每行驶1千米，纯燃油费用比纯用电费用多0.6元．晓华根据这一情境中的数量关系列出方程，则未知数表示的意义为（ ） A. 每行驶1千米纯用电的费用 B. 每行驶1千米纯燃油的费用 C. 每1元电费可行驶的路程 D. 每1元邮费可行驶的路程 11. 如图，甲、乙、丙三人分别沿不同的路线从A地到B地． 甲：，路程为． 乙：，路程为． 丙：，路程． 下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，图是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理时的青朱出入图，图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形探究学习中，标上字母绘成图所示，若记朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为，已知，，则图中的阴影部分面积为（    ） A. B. C. D. 卷Ⅱ（非选择题，共84分） 二、填空题（共4个小题，每小题3分，共12分．） 13. ______． 14. ______． 15. 如图，在中，，平分．若，，则点D到的距离为____． 16. 已知，线段，作，使得，，，如果只能作出唯一的三角形，则线段的长度为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算： （2）分母有理化： 18. 某同学在化简时，出现错误，错误的化简过程如下： 解：原式① ② ③ 这位同学的错误出现在第___________步．请你写出这道题的正确解答过程，并从，1，三个数字中选择一个合适的数作为的值代入求值． 19. 安全问题，时刻警醒．高空坠物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及造成伤害．经过查阅相关资料，小南同学得到高空坠物下落的时间（单位：）和高度（单位：）近似满足公式．（不考虑风速的影响，，单位：） （1）求从高空抛物到落地时间； （2）若某玩具在高空被抛出后经过后落在地上．求玩具抛出前离地面的高度． 20. 如图，在平面直角坐标系中，A（﹣2，2），B（﹣3，﹣2）． （1）若点D与点A关于y轴对称，则点D坐标为　 　． （2）将点B先向右平移5个单位再向上平移1个单位得到点C，则点C的坐标为　 　； （3）在图上作出点C，D，并顺次连接成四边形ABCD； （4）四边形ABCD的面积为　 　． 21. 如图，，D，E分别是上的点，交于点O，且． 求证： （1）； （2）． 22. 某校为了美化校园环境，开展植树活动，现有甲、乙两个植树小组，甲组每天植树棵，乙组比甲组每天多植树20棵． （1）若甲组植树1000棵与乙组植树1200棵所用的时间相同，求x的值； （2）现让甲组完成植树160棵的任务，乙组完成植树200棵的任务． ①直接用含x的式子分别表示甲组完成该任务、乙组完成该任务所需要的天数； ②嘉淇：“甲组完成任务所用的时间更少．”请你利用作差法，通过计算说明嘉淇的说法是否正确．（作差法：若，则；若，则；若，则．） 23. 勾股定理是重要的数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具，也是数形结合的纽带． （1）应用场景——在数轴上画出表示无理数的点． 如图1，在数轴上找出表示3的点A，过点A作直线L垂直于，在L上取点B，使，以原点O为圆心，为半径作弧，求弧与数轴的交点C表示的数． （2）应用场景2——解决实际问题． 如图2，秋千静止时，踏板离地的垂直高度m，将它往前推6m至C处时，水平距离m，踏板离地的垂直高度m，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 24. 如图，已知中，是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动．且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为t秒． （1）当秒时，求的长； （2）求出发时间为几秒时，等腰三角形？ （3）若沿方向运动，则当点在边上运动时，求能使成为等腰三角形的运动时间． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期期末质量监测 八年级数学试卷 卷Ⅰ（选择题共36分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如果图书上的标签表示图书馆书架上的“2层5格”，那么“5层2格”应该表示为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】该题考查了用有序数对表示位置，根据题意，标签中的第一个数表示层，第二个数表示格，因此“5层2格”对应． 【详解】解：∵标签表示“2层5格”，即第一个数表示层，第二个数表示格． ∴“5层2格”应表示为． 故选：B． 2. 下列手机APP图案中，属于轴对称是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称的定义即可判断. 【详解】A不是轴对称图形，B是轴对称图形，C不是轴对称图形，D不是轴对称图形， 故选B. 【点睛】此题主要考查轴对称图形的定义，解题的关键是熟知轴对称图形的定义. 3. 在，，3.14，中，属于无理数的是（ ） A. B. C. 3.14 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查无理数，根据无理数是无限不循环小数，进行判断即可． 【详解】解：在，，3.14，中，属于无理数的是，其余各数均为有理数； 故选B． 4. 如图，，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形的内角和定理，根据三角形的内角和定理，求出的度数，全等三角形的对应角相等，得到的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴； 故选B． 5. 根据分式的基本性质填空：，括号内应填（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把分式的分母与分子同时除以(x+1)即可得出结论． 【详解】解：∵分式的分母与分子同时除以(x+1)得，， ∴括号内应填x-1． 故选：B． 【点睛】本题考查的是分式的基本性质，熟知分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变是解答此题的关键． 6. 下列命题正确的是（　　） A. 两边及一角对应相等的两个三角形全等 B. 将32000精确到千位，记为 C. 16的平方根是4 D. 到三角形三个顶点距离相等的点在这个三角形三边的垂直平分线上 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查命题正误判断，根据全等三角形判定，即可判断A项，根据科学记数法概念，即可判断B项，根据平方根的概念即可判断C项，根据垂直平分线性质即可判断D． 【详解】解：A、两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，所以A错误，不符合题意． B、将32000精确到千位，记为，所以B错误，不符合题意． C、16的平方根是，所以 C错误，不符合题意． D、到三角形三个顶点距离相等的点在这个三角形三边的垂直平分线上，正确，符合题意． 故选：D． 7. 如图，一根木棍斜靠在与地面垂直的墙上，设木棍中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行．在此滑动过程中，点P到点O的距离（ ） A. 变小 B. 不变 C. 变大 D. 无法判断 【答案】B 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半得出OP=AB=a，即可得出答案． 【详解】解：在木棍滑动的过程中，点P到点O的距离不发生变化， 理由是：连接OP，设 ∵∠AOB=90°，P为AB中点，AB=2a， ∴OP=AB=a， 即在木棍滑动的过程中，点P到点O的距离不发生变化，永远是a； 故选：B． 【点睛】此题考查了解直角三角形，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 8. 若点在第三象限，则x的值可以是（ ） A. 0 B. C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【详解】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征．根据平面直角坐标系中第三象限点的坐标特征：第三象限内的点的横坐标和纵坐标均为负数，判断即可． 【分析】解：∵点在第三象限， ∴其横坐标和纵坐标均为负数，即， 只有B选项为负数，满足题意， 故选B． 9. 通过如下尺规作图，能说明的面积和的面积相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，三角形的中线的性质，掌握三角形中线平分面积的性质即可求解． 根据尺规作图确定中线即可求解． 【详解】解：A、是中的角平分线，不能平分三角形面积，不符合题意； B、，不能平分三角形面积，不符合题意； C、是的中线，能平分三角形面积，符合题意； D、是的垂线，不能平分三角形面积，不符合题意； 故选：C ． 10. 某种型号油电混合动力汽车从甲地开往乙地时，纯用电行驶，花充电费24元，沿相同路线返程时用纯燃油行驶，花燃油费72元．已知每行驶1千米，纯燃油费用比纯用电费用多0.6元．晓华根据这一情境中的数量关系列出方程，则未知数表示的意义为（ ） A. 每行驶1千米纯用电的费用 B. 每行驶1千米纯燃油的费用 C. 每1元电费可行驶的路程 D. 每1元邮费可行驶的路程 【答案】A 【解析】 【分析】根据方程中的两个分母x与，结合语句“已知每行驶1千米，纯燃油费用比纯用电费用多0.6元”即可判断x表示每行驶1千米纯用电的费用． 【详解】根据方程中的两个分母x与，结合语句“已知每行驶1千米，纯燃油费用比纯用电费用多0.6元”，即可判断x表示每行驶1千米纯用电的费用． 故选：A 【点睛】本题考查用方程解决实际问题，正确理解题意是解题的关键． 11. 如图，甲、乙、丙三人分别沿不同的路线从A地到B地． 甲：，路程为． 乙：，路程为． 丙：，路程为． 下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质和判定、三角形三边之间关系，解题的关键是通过设的长度为a，结合图形性质分别计算三人的路程并比较． 设，利用等边三角形性质得出甲、乙的路程均为，分析四边形，得出丙的路程小于，比较得出． 【详解】解：设的长度为a， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴； 同理可得，和是等边三角形，设的边长为m， ∴，， ∴； 如图所示，延长与，交于点I（如图）， 同理可得，是等边三角形， ∴， ∵， ∴ ∴， 综上所述，． 故选：D． 12. 如图，图是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理时的青朱出入图，图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形探究学习中，标上字母绘成图所示，若记朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为，已知，，则图中的阴影部分面积为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，解答本题的关键是熟练运用勾股定理解决问题． 根据题意所求阴影部分面积为，再根据所给条件求面积即可． 【详解】解：如图， ，， 阴影部分面积， 朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为， ，， 青出与青入的三角形全等， ， ， ， ， ，， ， 阴影部分面积 ， 故选：B． 卷Ⅱ（非选择题，共84分） 二、填空题（共4个小题，每小题3分，共12分．） 13. ______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了立方根，根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 14. ______． 【答案】5 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的乘法和性质，平方差公式，根据平方差公式求解即可． 【详解】解： ． 故答案为：5． 15. 如图，在中，，平分．若，，则点D到的距离为____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，过点D作于E，则由角平分线的性质可得，由线段的和差关系求出的长即可得到答案． 【详解】解；如图所示，过点D作于E， ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴点D到的距离为2， 故答案为：2． 16. 已知，线段，作，使得，，，如果只能作出唯一的三角形，则线段的长度为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定条件，关键是画出图形，结合点的位置分类讨论． 【详解】解：在中，，，． 如图，过作的垂线，垂足为，点关于点的对称点为，则，． ①点与点重合时，即，为直角三角形，只有一个； ②当点在线段(不与端点重合)上时，即时，有两个； ③当点在射线(不与端点重合)上时，即时，只有一个． 综上，若只能作出唯一的三角形，则线段的长度为或； 故答案为：或． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算： （2）分母有理化： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】此题考查二次根式的加减混合运算，分母有理化，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． （1）首先化简二次根式，然后合并即可； （2）分子分母同时乘以，然后分母利用平方差公式求解即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 18. 某同学在化简时，出现错误，错误的化简过程如下： 解：原式① ② ③ 这位同学的错误出现在第___________步．请你写出这道题的正确解答过程，并从，1，三个数字中选择一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】②； 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值．根据分式混合运算的法则计算即可． 【详解】解：这位同学的错误出现在第②步， 原式 ， 要使分式有意义，不能取，1， 取． 当时，原式． 19. 安全问题，时刻警醒．高空坠物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及造成伤害．经过查阅相关资料，小南同学得到高空坠物下落的时间（单位：）和高度（单位：）近似满足公式．（不考虑风速的影响，，单位：） （1）求从高空抛物到落地的时间； （2）若某玩具在高空被抛出后经过后落在地上．求玩具抛出前离地面的高度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的应用，掌握二次根式的运算法则和性质是解题的关键． （）把代入公式计算即可； （）把代入公式计算即可； 【小问1详解】 解：当时，， 答：从高空抛物到落地的时间为； 【小问2详解】 解：当时，， 解得， 答：玩具抛出前离地面的高度为． 20. 如图，在平面直角坐标系中，A（﹣2，2），B（﹣3，﹣2）． （1）若点D与点A关于y轴对称，则点D的坐标为　 　． （2）将点B先向右平移5个单位再向上平移1个单位得到点C，则点C的坐标为　 　； （3）在图上作出点C，D，并顺次连接成四边形ABCD； （4）四边形ABCD的面积为　 　． 【答案】（1）D点坐标为（2，2）；（2）点C的坐标为（2，﹣1）；（3）作图见解析；（4）15.5． 【解析】 【分析】（1）根据关于y轴对称的点，纵坐标相等，横坐标互为相反数即可得出D点坐标； （2）根据点的平移“左加右减，上加下减”即可求出C点的坐标； （3）根据C，D两点的坐标描出C，D两点，顺次连接即可连成四边形ABCD; （4）四边形ABCD的面积等于梯形的面积减去直角三角形的面积. 【详解】解：（1）D点坐标为（2，2）； （2）点C的坐标为（2，﹣1）； （3）如图，四边形ABCD所作； （4）四边形ABCD的面积＝×（4+5）×4﹣×5×1＝15.5． 【点睛】本题考查轴对称与坐标变换，理解关于y轴对称的点的坐标特征是解决（1）的关键；掌握平移与点的坐标之间的关系是解决（2）的关键；会利用割补法求不规则图形的面积是解决（4）的关键. 21. 如图，，D，E分别是上的点，交于点O，且． 求证： （1）； （2）． 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析． 【解析】 【分析】本题考查的知识点是全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． （1）利用“边角边”即可证明； （2）由全等三角形的性质推得，即可通过“角角边”证明，再由全等三角形的性质即可证明． 【小问1详解】 证明：，， ， 在和中， ， ； 【小问2详解】 证明：， ， 在和中， ， ， ． 22. 某校为了美化校园环境，开展植树活动，现有甲、乙两个植树小组，甲组每天植树棵，乙组比甲组每天多植树20棵． （1）若甲组植树1000棵与乙组植树1200棵所用的时间相同，求x的值； （2）现让甲组完成植树160棵的任务，乙组完成植树200棵的任务． ①直接用含x的式子分别表示甲组完成该任务、乙组完成该任务所需要的天数； ②嘉淇：“甲组完成任务所用的时间更少．”请你利用作差法，通过计算说明嘉淇的说法是否正确．（作差法：若，则；若，则；若，则．） 【答案】（1） （2）①，；②正确 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用、分式加减的实际应用、列代数式等知识点，读懂题意、根据题中的数量关系正确列出方程和代数式是解题的关键． （1）甲组每天植树棵，则乙组每天植树棵，由题意得，再解分式方程并检验即可； （2）①依据题意直接列式即可；②利用作差法可得，再结合即可得出其符号，进而说明嘉淇的说法是否正确． 【小问1详解】 解：甲组每天植树棵，则乙组每天植树棵， 根据题意列分式方程得： ． 整理得，，解得， 经检验，是原分式方程的解， 的值是． 【小问2详解】 解：①∵甲组每天植树棵，则乙组每天植树棵， ∴甲组完成160棵任务需要天，乙组完成200棵任务需要天． 故答案为：，． ② ， ∵， ， ，即：， ， ∴甲组完成任务所用的时间更少， ∴嘉淇的说法正确． 23. 勾股定理是重要的数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具，也是数形结合的纽带． （1）应用场景——在数轴上画出表示无理数的点． 如图1，在数轴上找出表示3的点A，过点A作直线L垂直于，在L上取点B，使，以原点O为圆心，为半径作弧，求弧与数轴的交点C表示的数． （2）应用场景2——解决实际问题． 如图2，秋千静止时，踏板离地的垂直高度m，将它往前推6m至C处时，水平距离m，踏板离地的垂直高度m，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 【答案】（1） （2）7.5m 【解析】 【分析】（1）勾股定理求出的长，进而得到的长，即可得出结论； （2）设秋千绳索的长度为xm，在中，利用，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：在中，， ∴， ∴点C表示的数是； 故答案：． 【小问2详解】 解：设秋千绳索的长度为xm， 由题意可得xm， 四边形为矩形，， ∴， 在中，， 即 解得； 即的长度为7.5m； 答：绳索的长为7.5m． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 24. 如图，已知中，是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动．且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为t秒． （1）当秒时，求的长； （2）求出发时间为几秒时，是等腰三角形？ （3）若沿方向运动，则当点在边上运动时，求能使成为等腰三角形的运动时间． 【答案】（1） （2） （3）点Q运动秒或6秒或秒时，是等腰三角形 【解析】 【分析】（1）根据题意，，，解答即可． （2）根据题意，，，点P在线段上，则，结合是等腰三角形，得，此时；解答即可． （3）根据等腰三角形性质和判定，分三种情况，解答即可． 本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握定理和性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据题意，得，， 当秒时，，， 此时，， 又， 故． 【小问2详解】 解：根据题意，，， 点P在线段上，则， 由是等腰三角形， 得， 此时； 解得． 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∵动点Q的速度为，设运动时间为， ∴点Q运动路程， ∵点Q在上， ∴所以运动时间大于，， ∵是等腰三角形， 当时， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， 此时，； 当时， 则， 过点B作于点G， 则，， ∴， ∴， 此时，； 当时，此时， 此时，， 综上所述，点Q运动秒或6秒或秒时，是等腰三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $