第3章认识不等式教学设计2025-2026学年浙教版 数学八年级上册

“认识不等式”教学设计 1、 教学内容解析 “认识不等式”一课属于“数与代数”领域的内容，是浙教版《义务教育教科书·数学》八年级上册第3章“一元一次不等式”的第1节内容。 从知识的上下位来看，不等式是为了表示不等关系而形成的数学式子，是继相等关系、等式（方程）学习后的另一类数学模型，其认识的路径与等式（方程）的研究一致。等式（方程）与不等式之间还存在着特殊与一般、被包含与包含的关系，利用不等式这一代数工具能够表征几何图形中存在的不等关系，利用几何图形（数轴）也能表示不等式。不等式是后续深入学习函数、代数不等式的基础，是实际生活中分析问题的模型，解决问题的工具，能够发展学生的动态思维、极限思维，形成规则意识。 本节课的课题是“认识不等式”，如何处理“认识”？可以从三个方面考虑，分别是为什么认识？认识什么？怎么认识？认识不等式主要是源于实际生活与数学发展的需要，因此从实际情境出发，得出不等式定义及其表示方法是认识的内容，基于概念的获得过程（情境与问题→共性分析与归纳→抽象本质特征、下定义→关键词辨析→简单应用→联系与综合）形成不等式的定义，作为章节起始课，还应当注重课程内容组织的结构化，注重单元整体教学设计，因此从知识发生发展的过程，应继续类比方程的学习，建构不等式的研究路径，为学生后续的学习提供框架。通过本节课的学习，应让学生积累类比与符号化的研究经验，感受等式与不等式的逻辑关联，发展抽象能力、模型观念与几何直观。 基于以上分析，确定本节课的教学重点是：不等式的概念，在多样化情境中辨析不等关系并列出不等式。 二、教学目标设置 1. 目标 在“三会”的课程总目标引领下，通过分析本章内容所要达成的素养要求，制定本节课的教学目标如下： （1）经历情境分析、提出问题的过程，能辨认不等关系，会在数量关系与几何图形中列出不等式，感受不等关系的普遍性、数量关系的系统性，发展抽象能力、模型观念。 （2）经历分析、比较、归纳的过程，了解不等式及不等号的意义，体会类比思想，发展符号意识。 （3）经历合作探究与分析问题、解决问题的过程，会用数轴表示不等式，体会数形结合思想，发展几何直观。 2. 目标解析 达成目标（1）的标志是：能够在数学情境、生活情境中根据关键词辨认不等关系，并能正确书写不等号及不等号两边的代数式；能够在已有情境的基础上结合生活经验提出新的包含不等关系的问题；能够感受到等式与不等式之间存在的被包含与包含的关系，体会等式与不等式研究路径的一致性。 达成目标（2）的标志是：能够通过丰富的实例，与等式比较，归纳出不等式的关键特征——不等号，能够根据不等号的文字表达正确书写相应的不等号；能够类比等式，归纳不等式的定义。 达成目标（3）的标志是：能够用数轴表示“x＜a”、“x≥a”、“b＜x＜a”这类简单的不等式；能够借助数轴分析与解决实际问题，领悟到数形结合的思想方法。 三、学生学情分析 1. 已经具备的认知基础 在知识方面，学生已认识了“＜”“＞”的含义，接触了“≥、≤、≠”等符号；能用数轴上的点表示实数并比较它们的大小；等式（方程）的相关知识。在经验积累方面，学生在生活、数学、科学等情境中接触到了大量的相等关系与不等关系；在方程、数式运算、三角形的学习中积累了类比学习经验。基于此，学生已初步形成了数形结合思想（重点是以数解形）与化归思想，一定基础的抽象能力与模型观念。 2. 可能存在的障碍 学生能够抽象不等式的本质特征，形成不等式的概念，但是难以感受到不等式与等式之间存在的内在逻辑关联，难以形成前后一致、逻辑连贯的研究路径。学生在此前的学习过程中，鲜少涉及到借助几何图形解决代数问题，因此学生难以用不等式的图形语言解决实际问题，并进行解释。 3. 应对策略 在同一情境中形成等式与不等式，结合不等号，感受方程与不等式的逻辑关联，类比方程间的变形，规划不等式的研究路径。在图形语言的建立中通过合作学习感受其合理性，由特殊到一般深化认识，借助数轴提出问题、分析问题感受其直观性。 基于以上分析，确定本节课的教学难点是：在现实情境中体验、理解不等式的意义，利用数轴表示不等式并解决实际问题，建立数量关系研究的系统性。 四、教学策略分析 1. 小组合作，动态生成 不等式这一数学模型源于现实生活，学生已积累了丰富的生活素材，因此由学生自主联想相关例子，以此渗透不等式的工具价值，并以此归纳不等号的意义、不等式的定义，实现知识的自然生长。在不等式的图形语言（数轴）的表示过程中，由学生自主创造合适的表示方法，感受其合理性，由特殊到一般，感受方法的普适性。 2. 提出问题，凸显评价 在例2结束后，让学生基于该情境，自主提出一个包含不等关系的数学问题。在这一过程中，提出问题需对不等关系有深刻的理解，解决问题需要借助不等式的定义及其表示方法，彰显了教-学-评一致性，同时发展了学生创新意识、抽象能力和模型观念。 3. 创设情境，规划路径 不等式的学习路径与等式（方程）的研究路径一致，但如何以学生的观点，让其感受到研究路径是合理生成的，而不是强行灌输的？因此，通过同一情境生成不同形式的等式与不等式，可以自然地类比等式的变形与方程的求解，明确后续研究的方向，生成更加合理的研究路径，培养学生的结构化思维。 本节课以单元整体教学为导向，以发展核心素养为纲领，采用启发式、互动式、探究式等教学方法，突出自主探究、合作交流、体验反思的学法；引导学生充分经历概念的形成、方法的生成，感受知识的自然生长，突出教学重点，突破教学难点，感悟知识学习的必要性与合理性。 五、教学过程设计 1. 创设情境，引入新知 视频播放：舟山交通链的发展。 引言：在刚刚的视频中我们见证了家乡交通链的发展，从水路时代、大桥时代，到未来的高铁时代。随着时代的发展，我们的出行变得越来越便捷，曾经从宁波到舟山需要一个半小时，而未来乘坐高铁我们只需要20分钟，今天就让我们穿越到这一时代，从数学的角度观察与思考。 【设计意图】通过视频让学生以家乡交通、经济的发展变化为引，感受到数学来源于生活，培养学生的应用意识，进一步感受到祖国的繁荣昌盛，激发学生的民族自豪感。 情境：甬舟铁路西起宁波东站，线路全长约为80(km)。 （1）未来，小舟乘坐高铁从宁波到舟山仅用了20分钟，若高铁的平均时速为v(km/h)，那你能表示其中存在的关系吗？ （2）若小舟能在20分钟内到达舟山，又会有怎样的关系呢？ 师生活动：在第（1）问中由学生梳理其中的数学量有速度、路程、时间，并用情境中所给的数字、字母写出三个等价的数学式子（、、），全体学生回忆这三个数学式子为等式，若赋予其中字母以未知数的含义，还可以称为方程，教师从中梳理可以由等量关系列出等式（方程）。在第（2）问中通过在20分钟内这一关键词，学生自然联想到不等量关系，并类比上述三个等式，列出新的三个数学式子（、、），并提炼关键词在……内、超过。 【设计意图】在同一情境下，从“仅用20分钟”到“在20分钟内”、“超过80、240”这一实例，自然的抽象出从等量关系→等式（方程）到不等量关系→？，形成类比源与类比目标，让学生自然的感受到不等关系的研究方法是类比，同时列出两类三个等价的数学式子也为后续类比归纳研究路径作铺垫。 2. 探究归纳 抽象概念 活动1 请尝试在生活中找到满足不等关系的例子，并用恰当的数学式子表示其中的关系。 范例：小明的身高h(cm)超过170(cm)，则h＞170。 思考1：要使代数式有意义，x的值与3之间应满足什么关系？ 师生活动：学生先独立思考，尝试找到生活中满足条件的例子并用数学式子进行表达，然后再在组内分享交流，互相补充完善，教师请个别学生分享例子并补充数学中的例子，在学生回答过程中板书例子中的关键词与数学表达式。 【设计意图】学生在已有情境产生个例的引领下，基于范例的引导，结合已有的认知经验找到生活中的特例并分享交流，教师通过补充数学中的例子，让学生充分的感受到不等关系的普遍性及数学表达的必要性。教师板书关键词与数学表达式不仅为后续归纳不等式的定义作铺垫，也发展了学生的抽象能力。 思考2：将上述式子与曾经学过的数学式子对比，它们有何不同之处？ 追问1：你能给这些符号取个共同的名称吗？ 追问2：你能给这些数学式子再取个共同的名称吗？你能类比等式，给不等式下个定义吗？ 师生活动：学生通过将所列的式子与等式相比，找到连接符号的不同之处，教师引导学生从等号联想到不等号（期间阐述不等号的意义），从等式联想到不等式，再继续类比等式归纳不等式的定义。 【设计意图】通过“找不同”，让学生明确这类式子的共性特征，抽象不等式的本质特征。学生给这些符号取个共同的名称是在无形中引导他们类比，感悟研究方法，从而自然地给这些数学式子取个共同的名称，教师再给出类比的研究策略引导学生归纳定义，是帮助学生将隐性感知显性化，从而将该研究方法自主纳入到自身的数学研究体系之中。 3. 深化概念 多元表示 例1 根据下列数量关系列不等式。 （1）a是正数； （2）y的2倍与6的和比1小； （3）x2减去10不大于10。 师生活动：学生独立完成，教师呈现其中一位学生的答案并请该生阐述书写思路。 【设计意图】学生在前一阶段中对生活例子的抽象是源于经验，而数学要研究如何将经验变成恒定的方法，因此教师选取教材中的前3个例子先让学生独立完成，充分感知不等式文字语言的表达形式，在学生分享书写思路后再引导学生归纳不等式从文字语言转化成符号语言的具体步骤。 思考1：事实上刚刚我们经历了不等式文字语言与符号语言的转化过程，那么我们又是如何实现这一转化的？ 师生活动：学生根据自身体验、同伴分享归纳转化思路，教师进一步引导学生在板书中找到相应的关键词，并帮助学生归纳方法步骤（确定不等号→添上代数式）。 【设计意图】教师设计活动（活动1、例1）让学生充分体验、打造场域（板书中的关键词、学生在阐述例1思路时的圈画等）让学生充分感知到语言的转化过程，进而将主观经验转化成客观方法，形成解决问题的一般思路，初步建构系统思维，同时从文字语言到符号语言的过程也渗透了符号化的数学研究策略，发展了学生的抽象能力、模型观念。 思考2：不等关系是否存在于曾经学过的几何图形之中？请根据图1和图2，写出其中存在的不等式。 图1 图2 师生活动：学生先独立完成，然后再在组内交流补充。教师请某一小组代表进行分享，其他小组补充，在这一过程中，教师对数学思想、数学方法等进行归纳与总结。 【设计意图】数学具有整体性，不等关系不仅存在于代数之中，还广泛的存在于几何图形之中，通过这一练习让学生再次感受到不等关系的普遍性以及不等式的工具价值。图1是前2章三角形学习的载体，以此承接符号语言的表达，通过对所得结论按照边与角两个维度进行有序思考，渗透分类的研究策略；图2中从数的大小比较到数的运算，让学生感受到数轴是研究数和数量关系的重要工具，为后续图形语言的研究作铺垫。 思考3：根据刚刚的练习我们知道不等关系同样广泛的存在于几何图形之中，那么我们是否可以借助图形工具表示不等式呢？ 追问：我们知道不等号事实上是对数的大小比较，那么什么图形工具能比较大小呢？ 师生活动：教师从“数的大小比较”的角度引导学生联想到借助数轴这一工具表示不等式。 【设计意图】在思考2的铺垫下，自然的过渡至用图形语言表示不等式，让学生感受到代数与几何的相互交融，体会其内部存在的逻辑关联。以“数的大小比较”这一角度体现“不等号的内涵”，深化不等式的概念，体会数轴对数的排序作用。 活动2 请探究在数轴上如何表示x＞1的全体数。 师生活动：学生小组合作探究，教师巡视指导，并参与到讨论之中，询问学生“为什么这么画？”“这么画能涵盖所有形式的不等式吗？”等问题引发学生思考，促使它们完善方法，之后请小组代表展示他们的画法并说明理由，最后师生达成共识形成不等式的图形语言。 【设计意图】通过小组合作探究让学生自主创造不等式在数轴上的表示方法，深刻理解这种表示方法中相关要求（在临界位置画空心与实心、向上画折线等）的合理性，也为后续利用数轴研究不等式的性质作铺垫，发展学生的创造性思维。在小组展示与自我评价的过程中发展学生的批判性思维。学生在整个活动的参与过程中感受到了数形结合思想及数学表达的逻辑性。在本环节结束后，形成三种语言表达的板书如图3。 图3 练习1：在数轴上表示下列不等式。 （1） x≤4； （2）≤x＜1。 练习2：仔细观察下列图形，思考它们代表的是x满足什么条件的数？ 师生活动：学生自主完成练习1，教师给出练习1（2）中不等式的意义与读法帮助学生理解，之后教师呈现学生的答案，并请学生分享画法，在此期间教师帮助学生归纳出注意事项。练习2中教师给出一般性的画法，学生通过观察一齐说出x满足的条件。 【设计意图】练习1给出了两种不同形式的不等式帮助学生巩固画法，其中当x在两个数之间时，学生接触的较少且极其容易写错，因此教师特意给出了意义与读法助力学生形成规范的数学表达。在本环节中提炼注意事项（方法步骤）是为了深化学生的系统思维。练习2是让学生从“会画”到“会看”，多维度巩固不等式的图形语言，形成从特殊到一般的研究策略，感受表示方法的普适性。 4. 应用新知 解决问题 例2 甬舟铁路西起宁波东站，线路全长约为80 km。若小舟能在20分钟内到达舟山，且甬舟高速铁路设计时速（最高时速）为250(km/h)。 （1）用不等式表示高铁的平均时速v(km/h)满足的范围，并把它表示在数轴上； （2）当时速在下列位置时，符合要求吗？请用不等式和数轴给出解释。 ① v1＝235； ②v2＝236；③v3＝247；④v4＝249。 师生活动：学生结合本节课不等式的表示方法（符号语言、图形语言）独立完成，教师展示学生的答案，学生阐述表示的理由、解释在不同时速时是否符合要求。 【设计意图】改变教材例2的情境，使之更贴切的融合在课堂情境之中，在保留教材设计意图的基础上，以前后一致的情境保证思维的连贯性，感受图形语言对解决实际问题的直观价值，渗透数形结合思想。 活动3 请继续在该情境下提出一个包含不等关系的问题。 师生活动：首先由学生自主思考提出问题，然后在组内交流，确定出更有价值的问题作为小组的成果。教师在巡视过程中，对每一小组提出问题进行简单的评价与适度的引导，最后选取部分问题在班级内展示，由组长组织班级同学思考与解答，最后呈现小组的答案，同时教师给予点评。 【设计意图】教师选择能引发思考，具备研究价值的问题进行展示，为后续进一步确定不等式组的解集、研究集合间的关系、学习不等式（组）的应用作铺垫。通过让学生基于已有的情境设计问题，培养学生发现问题、提出问题的能力，给予学生合作探究、展示交流、分享评价的机会，让学生充分的应用本节课的知识分析问题、解决问题，彰显教-学-评一致性，发展学生的应用意识、创新意识、抽象能力及模型观念。 5. 总结回顾 形成结构 问题：通过今天的学习，你收获了哪些知识？从中感悟到了哪些思想方法？ 师生活动：学生对着教师的板书梳理本节课获得的知识（不等式的定义及其表示方法），梳理从中感受的类比思想及数形结合思想。教师在三种语言的转化中，呈现数学符号化的研究策略。 追问：借助类比的思想，接下来我们还将如何研究不等式？ 师生活动：教师引导学生借助一开始得到的三个等式和三个不等式之间的关联进行类比思考，自然的得到不等式的研究路径，并提炼符号化的研究是为后续形式化的推理作铺垫，同时将＜、＞改成≤、≥后，让学生感受到在不等式中能够包含方程，体会两者之间存在的内在逻辑关联。 【设计意图】从知识内容、思想方法、研究策略、研究路径等方面对本节课的内容进行总结与升华，以具体的内容为载体进行梳理与规划，让学生感受到数学知识发生发展过程中的逻辑性与合理性，激发学生探究数学、研究数学的欲望，根植数学研究的一般观念。 6. 追古溯今 感受文化 教师将时间轴看成是数轴，结合今天所学的内容再现不等号、不等式发展的三个阶段，具体介绍如图4。 图4 【设计意图】教师创造性的将不等式的图形语言与数学史相融合，以史寓教，再现知识的发生发展过程，让学生感受到数学家的探索精神，感悟不等式的应用价值，激发他们研究数学的兴趣，提升数学的育人价值. 六、课堂教学目标检测 基础作业：作业本“3.1 认识不等式”A组题. 拓展作业：1、作业本“3.1 认识不等式”B组、C组题. 2、（以下作业二选一） ①甬舟铁路西起宁波东站，线路全长约为80(km)，当遇到恶劣天气时，高铁运行时的最高时速会从250(km/h)降低至a(km/h)，但仍要保证在20分钟内到达舟山，请结合数轴说明a应满足的条件。 ②请尽可能多地收集生活中包含不等关系的例子，并用恰当的方法表示出它们。 【设计意图】以分层作业满足个性化需求，以基础作业夯实知识技能，以拓展作业培养抽象思维、创新思维，发展模型观念与应用意识。 学科网（北京）股份有限公司 $