第01讲 不等式及其性质（知识解读+题型精讲+随堂检测）-2025-2026学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（浙教版新教材）

第01讲 不等式及其性质 知识点1：不等式的定义 知识点2：不等式的解集 知识点3：不等式的基本性质 （1）不等式：用不等号表示不相等关系的式子，叫做不等式，例如： 等都是不等式． （2）常见的不等号有５种：“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”． 【题型1：不等式的定义】 【典例1】下列式子：①，②，③，④，⑤，⑥中，是不等式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1】下列式子中，是不等式的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中不等式的个数是（     ） A．5 B．2 C．3 D．4 【变式3】年6月5日是我国二十四节气中的芒种，某地当天最高气温是，最低气温是，则该地这天气温的变化范围是（　　） A． B． C． D． ①概念：一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集，求不等式的解集的过程叫做解不等式。 ②用数轴表示不等式解集 解集x>−4在数轴上表示为 解集x≥−4在数轴上表示为 解集 x < 4 在数轴上表示为 解集 x ≤在数轴上表示为 【题型2：不等式的解集】 【典例2】若是某不等式的一个解，则该不等式可以是（    ） A． B． C． D． 【变式1】下面各数中，是不等式的解的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】下列说法中正确的是（　　） A．是不等式的一个解 B．是不等式的解集 C．是不等式的唯一解 D．不是不等式的解 【变式3】下列不等式的解集中，不包括的是（   ） A． B． C． D． 【题型3：在数轴上表示不等式的解集】 【典例3】不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】不等式在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 【变式2】在数轴上表示不等式的解集，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】不等式在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 基本性质１：不等式两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号方向不变． 如果，那么 如果，那么 基本性质２：不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 如果，并且，那么(或) 如果，并且，那么(或) 基本性质３：不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 如果，并且，那么(或) 如果，并且，那么(或) 不等式的互逆性：如果，那么；如果，那么． 不等式的传递性：如果，，那么． 易错点： ①不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． ②在计算的时候符号方向容易忘记改变． 【题型4：不等式的性质】 【典例4】下列不等式的变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式1】如果：，则下列说法中不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】若，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】若，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 一、单选题 1．用不等式可将“a与b的和的平方为非负数”表示为(   ) A． B． C． D． 2．若是不等式，则“”代表的符号可以是（　　） A． B．+ C． D．× 3．2023年5月6日是我国二十四节气中的立夏．据天气预报报道，赫章当天最高气温，最低气温，则当天赫章的气温的变化范围是（    ） A． B． C．，且 D． 4．某品牌酱油的包装上标注了“氨基酸态氮克/100毫升”，它的含义是（    ） A．每100毫升酱油所含氨基酸态氮1.2克 B．每100毫升酱油所含氨基酸态氮高于1.2克 C．每100毫升酱油所含氨基酸态氮不低于1.2克 D．每100毫升酱油所含氨基酸态氮不超过1.2克 5．“a的5倍与3的和不超过”列出的不等式是（    ） A． B． C． D． 6．下列各数中是不等式的解的是（    ） A．－2 B．1 C．2 D．5 7．已知，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 8．x减去y不大于，用不等式表示为 ． 9．假期里全家去旅游，路边的限速标志牌如图所示，爸爸开小型客车走中间车道，你给爸爸建议车速为 ． 10．对于实数，我们把不超过的最大整数记作，例如已知，．若实数满足，则实数的取值范围是 ． 11．某盒新款巧克力饼干共有300克，盒子上注有“每100克蛋白质含量约为4.2～4.5克”，设这盒新款巧克力的蛋白质含量为x克，则x满足的关系式为 ． 12．当 时，不等式的解集是． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 不等式及其性质 知识点1：不等式的定义 知识点2：不等式的解集 知识点3：不等式的基本性质 （1）不等式：用不等号表示不相等关系的式子，叫做不等式，例如： 等都是不等式． （2）常见的不等号有５种：“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”． 【题型1：不等式的定义】 【典例1】下列式子：①，②，③，④，⑤，⑥中，是不等式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的定义，能熟记不等式的定义是解此题的关键，注意：用不等号，，，，表示不等关系的式子，叫不等式． 根据不等式的定义逐个判断即可． 【详解】解：依题意，不等式有：①，②，⑤，⑥，共4个， 故选：C． 【变式1】下列式子中，是不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的定义，正确理解不等式的定义是解题的关键．用不等号连接表示大小关系的式子，叫做不等式．根据不等式的定义判断即可． 【详解】解：A、是代数式，不是不等式，所以选项A不符合题意； B、是方程，不是不等式，所以选项B不符合题意； C、是不等式，所以选项C符合题意； D、是等式，不是不等式，所以选项D不符合题意． 故选：C． 【变式2】下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中不等式的个数是（     ） A．5 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．运用不等式的定义进行判断． 【详解】解：①，是不等式； ②，是不等式； ③，不是不等式； ④，不是不等式； ⑤，是不等式； ⑥，是不等式． 故选：D 【变式3】年6月5日是我国二十四节气中的芒种，某地当天最高气温是，最低气温是，则该地这天气温的变化范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的定义，根据题意找出不等关系是解答本题的关键．根据题意可知，当天的气温应该大于或等于最低气温，且小于或等于最高气温，根据上述分析，即可列出不等式，得到答案． 【详解】解：当天最高气温是，最低气温是， 因此气温的变化范围应满足最低气温最高气温， 即， 故选：B． ①概念：一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集，求不等式的解集的过程叫做解不等式。 ②用数轴表示不等式解集 解集x>−4在数轴上表示为 解集x≥−4在数轴上表示为 解集 x < 4 在数轴上表示为 解集 x ≤在数轴上表示为 【题型2：不等式的解集】 【典例2】若是某不等式的一个解，则该不等式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的解，逐个判断各选项即可． 【详解】解：A、中不包含，不符合题意； B、中不包含，不符合题意； C、中包含，符合题意； D、中不包含，不符合题意； 故选：C． 【变式1】下面各数中，是不等式的解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查不等式的解集，根据不等式的解集为，即找出满足不小于的数即可，熟练掌握不等式的解集的意义是解题的关键． 【详解】解：A、，故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、，故选项不符合题意； D、，故选项符合题意； 故选：D． 【变式2】下列说法中正确的是（　　） A．是不等式的一个解 B．是不等式的解集 C．是不等式的唯一解 D．不是不等式的解 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式得解和解集，熟练掌握定义是解题的关键； 根据解集和解得定义去判定即可． 【详解】 ， ， A、符合条件，是不等式的一个解，故选项符合题意； B、解集是一个范围，而是一个固定值，故选项不符合题意； C、解集是一个范围，所以不是不等式的唯一解，故选项不符合题意； D、符合条件，是不等式的一个解，故选项不符合题意； 故选：A． 【变式3】下列不等式的解集中，不包括的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的解集，根据不等式的解集的定义进行判断即可． 【详解】解：中不包括， 故选：C． 【题型3：在数轴上表示不等式的解集】 【典例3】不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了在数轴上表示不等式解集，正确掌握相关方法是解题的关键，根据不等式解集表示出即可． 【详解】解：将不等式的解集在数轴上表示为： 故选：A． 【变式1】不等式在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查在数轴上表示不等式的解集．根据不等式的意义和特殊点的表示方式，即可求解． 【详解】解：∵， ∴在数轴上表示为， 故选：C． 【变式2】在数轴上表示不等式的解集，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，注意若解集是“或”，则在数轴上用实心点表示，若解集是“或”，则在数轴上用空心点表示． 根据在数轴上表示不等式的解集的方法解答即可． 【详解】解：在数轴上表示不等式的解集，如下： 故选：C 【变式3】不等式在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是熟练掌握数轴表示不等式的解集时的“两定”．根据数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含等于解集为实心点，不含等于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．即可解答． 【详解】解：，开口向数轴的正方向（向右），且x大于等于1，所以要实心． 故选：D． 基本性质１：不等式两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号方向不变． 如果，那么 如果，那么 基本性质２：不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 如果，并且，那么(或) 如果，并且，那么(或) 基本性质３：不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 如果，并且，那么(或) 如果，并且，那么(或) 不等式的互逆性：如果，那么；如果，那么． 不等式的传递性：如果，，那么． 易错点： ①不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． ②在计算的时候符号方向容易忘记改变． 【题型4：不等式的性质】 【典例4】下列不等式的变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．根据不等式的性质，进行计算即可解答． 【详解】解：A、若，则，故不符合题意； B、若，则，故不符合题意； C、若，则，故不符合题意； D、若，则， 若，则，与矛盾， 故，所以，符合题意． 故选：D． 【变式1】如果：，则下列说法中不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式的性质，正确理解不等式的性质是解题关键． 根据不等式的性质以及反例法，逐项分析判断即可． 【详解】解：A.因为，所以，所以，故该选项正确，不符合题意； B. 因为，即，所以，故该选项正确，不符合题意； C. 因为，所以，故该选项正确，不符合题意； D.可令，则，因为，所以此时，即不一定正确，本选项符合题意． 故选：D． 【变式2】若，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的性质，注意不等式两边乘负数要变号是解题关键． 不等式的性质：1．两边加减同数，不等号方向不变；2．两边乘除同正数，不等号方向不变； 3．两边乘除同负数，不等号方向改变． 【详解】A．不等式两边同时减3，不等号方向不变，不符合题意． B．无法确定的正负，所以无法确定的大小关系，不符合题意． C．，，，故选项正确． D．可能为0，所以可能存在，不符合题意． 故选：C． 【变式3】若，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查不等式的基本性质，性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的基本性质逐项判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴，故本选项的结论正确； B、∵， ∴，故本选项的结论正确； C、∵， ∴， ∴，故本选项的结论正确； D、∵， ∴， ∴，故本选项的结论错误． 故选：D 一、单选题 1．用不等式可将“a与b的和的平方为非负数”表示为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列不等式、非负数的概念（非负数即大于等于 0 的数）以及代数式的正确表示；解题的关键是准确拆解文字表述中的数量关系，先确定 “a 与 b 和的平方” 对应的代数式，再结合 “非负数” 的符号特征列出不等式． 先分析文字表述：“a 与 b 的和” 表示为，“和的平方” 即对整体平方，为；“非负数” 表示该式的值大于等于 0，即，由此组合得到对应的不等式，再与选项对比确定答案． 【详解】解：A、选项表示 “a 的平方与 b 的平方的和为非负数”，并非 “a 与 b 和的平方”，此选项不符合题意； B、选项表示 “a 与 b 和的平方为非负数”，与文字表述完全一致，此选项符合题意； C、选项表示 “a 的平方与 b 的平方的和为正数”，既不是 “和的平方” 也排除了非负数中的 0，此选项不符合题意； D、选项表示 “a 与 b 的和的平方为正数”，虽为 “和的平方” 但排除了非负数中的 0，此选项不符合题意； 故选：B． 2．若是不等式，则“”代表的符号可以是（　　） A． B．+ C． D．× 【答案】A 【分析】本题主要考查的是不等式的定义，含有不等号的式子为不等式，直接根据定义进行判断即可． 【详解】解：是不等式， 则“”代表的符号可以是， 故选：A． 3．2023年5月6日是我国二十四节气中的立夏．据天气预报报道，赫章当天最高气温，最低气温，则当天赫章的气温的变化范围是（    ） A． B． C．，且 D． 【答案】D 【分析】本题考查列不等式．当天气温的最高温度为，最低温度为，因此气温的变化范围应介于这两个温度之间，包括端点．据此即可列出不等式． 【详解】解：根据题意，得当天赫章的气温的变化范围是． 故选：D 4．某品牌酱油的包装上标注了“氨基酸态氮克/100毫升”，它的含义是（    ） A．每100毫升酱油所含氨基酸态氮1.2克 B．每100毫升酱油所含氨基酸态氮高于1.2克 C．每100毫升酱油所含氨基酸态氮不低于1.2克 D．每100毫升酱油所含氨基酸态氮不超过1.2克 【答案】C 【分析】“≥”就是不小于，在本题中也就是“不低于”的意思． 【详解】解：根据≥的含义，“氨基酸态氮克/100毫升”，就是“每100毫升酱油所含氨基酸态氮不低于1.2克”， 故选：C． 【点睛】本题主要考查不等号的含义，是需要熟练记忆的内容． 5．“a的5倍与3的和不超过”列出的不等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据a的5倍与3的和，列式为5a+3，再根据不超过，则是小于或等于-3，即可列出不等式5a+3≤-3． 【详解】解：由题意，得5a+3≤-3， 故选：B． 【点睛】本题考查列不等式，掌握“不超过”即是“≤”是解题的关键． 6．下列各数中是不等式的解的是（    ） A．－2 B．1 C．2 D．5 【答案】D 【分析】直接验证4个选项即可得到答案； 【详解】解：选项中只有5是不等式的解， 故选D． 【点睛】本题主要考查了不等式的解，在判断是否不等式的解时，要注意符号． 7．已知，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的基本性质，掌握三个性质是解决本题的关键．不等式的基本性质：基本性质1，不等式两边同时加上或减去同一个整式，不等号的方向不变；基本性质2，不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；基本性质3，不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质即可得出答案． 【详解】解：A、，则，选项错误，不符合题意； B、，则，选项错误，不符合题意； C、，则，选项错误，不符合题意； D、，则，即，选项正确，符合题意， 故选：D． 二、填空题 8．x减去y不大于，用不等式表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列不等式，关键是要抓住题目中的关键词，首先表示x减去y为，再表示“不大于”即为． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 9．假期里全家去旅游，路边的限速标志牌如图所示，爸爸开小型客车走中间车道，你给爸爸建议车速为 ． 【答案】80（答案不唯一） 【分析】本题考查了不等式的定义，掌握图标的意义是解题的关键．根据标志可得出行驶速度的范围，取其中任意数即可． 【详解】解：由图可知：该车道上车辆行驶速度的取值范围， 建议车速为. 故答案为：（答案不唯一）． 10．对于实数，我们把不超过的最大整数记作，例如已知，．若实数满足，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的新定义，根据实数的新定义解答即可求解，理解实数的新定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为： 11．某盒新款巧克力饼干共有300克，盒子上注有“每100克蛋白质含量约为4.2～4.5克”，设这盒新款巧克力的蛋白质含量为x克，则x满足的关系式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列不等式，理解题意，找出不等关系是解题的关键． 先计算这盒新款巧克力的蛋白质含量的最低值和最高值，再列不等式求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：． 12．当 时，不等式的解集是． 【答案】 【分析】本题考查不等式的性质，根据不等式的性质可得不等式两边同时除以不等式变号，则，据此求解即可． 【详解】解：∵不等式的解集是， ∴， 解得， 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $